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第4讲
上一讲讲概念，这一讲讲计算，要学会熟练地计算
| 考题 | -元函数导数的计算 |
| 题型 | 选择题 |
| 目标 | |
| 重难点 | 求复合函数的导数，分段函数的导数，隐函数的导数 |
基础知识结构
基本求导公式
以下公式要熟记.
( x ^ { \alpha } ) ^ { \prime } { = } { \cos } x ^ { \alpha - 1 } (α为常数）， ( { a ^ { x } } ) ^ { \prime } = a ^ { x } \ln a ( a > 0 , a \neq 1 ) , ( { \mathrm { e } } ^ { x } ) ^ { \prime } = { \mathrm { e } } ^ { x } , ( \log _ { a } x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x \ln a } } ( a > 0 , a \neq 1 ) , ( { \mathrm { e } } ^ { x } ) ^ { \prime } = { \mathrm { e } } ^ { x } , ( \log _ { a } x ) ^ { \prime } = \ln a ( a > 0 , a \neq 1 ) . a拿下来
\begin{array} { l } { { \qquad \displaystyle { \downarrow } } } \\ { { ( a ^ { x } ) ^ { \prime } = ( a ^ { x } \ln a ) ^ { \prime } = a ^ { x } ( \ln a ) ^ { 2 } ~ , } } \end{array}
根据规律得： ( a ^ { x } ) ^ { ( n ) } = a ^ { x } ( \ln a ) ^ { n } \ , ( \mathrm { e } ^ { x } ) ^ { ( n ) } = \mathrm { e } ^ { x }
(类似地，后面的高阶导数也可以用归纳法去推导)
\left( \ln | x | \right) ^ { \prime } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \ln x \right) ^ { \prime } , } & { x > 0 , } \\ { \left[ \ln ( - x ) \right] ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { x } } \bullet ( - 1 ) , } & { x < 0 } \end{array} \right. } = { \frac { 1 } { x } } ( x \neq 0 ) ，视绝对值符号而不见！ \widetilde { \left[ \ln \left| u ( x ) \right| \right] } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \left[ \ln u ( x ) \right] ^ { \prime } = \frac { 1 } { u ( x ) } \bullet u ^ { \prime } ( x ) } , } \\ { \displaystyle { \left\{ \ln \left[ - u ( x ) \right] \right\} ^ { \prime } = - \frac { 1 } { u ( x ) } \left[ - u ^ { \prime } ( x ) \right] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) } { u ( x ) } } } \end{array} \right.
复合函数
( \ln \left| x \right| ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } , \left[ ( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x , ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x , ( \arcsin x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } , \right.
( \operatorname { a r c c o s } x ) ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } , ( \tan x ) ^ { \prime } = \sec ^ { 2 } x , ( \cot x ) ^ { \prime } = - \csc ^ { 2 } x , ( \arctan x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } , ( \tan x ) ^ { \prime } = - \tan ^ { 2 } x .
( \operatorname { a r c c o t } x ) ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } , ( \sec x ) ^ { \prime } = \sec x \tan x , ( \csc x ) ^ { \prime } = - \csc x \cot x , \bigg ] \equiv \widetilde M \widetilde M \widetilde M \widetilde M \widetilde s \widetilde \Psi \cdot \widetilde M \widetilde s \widetilde \Psi \cdot \widetilde s \widetilde \Psi \Psi ^ { 2 } . \widetilde s \widetilde \Psi
\left[ \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } , \left[ \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } .
2四则运算
若以下函数均可导，则
\because \mathcal { H } \sharp \frac { \cdot \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } x } ^ { \mathrm { ~ \cdot ~ } }
和、差的导数（微分） [ u ( x ) \pm \nu ( x ) ] ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) \pm \nu ^ { \prime } ( x ) , \mathrm { d } [ u ( x ) \pm \nu ( x ) ] = \mathrm { d } [ u ( x ) ] \pm \mathrm { d } [ \nu ( x ) ]
积的导数(微分) [ u ( x ) \nu ( x ) ] ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) \nu ( x ) + u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) , \mathrm { d } [ u ( x ) \nu ( x ) ] = u ( x ) \mathrm { d } [ \nu ( x ) ] + \nu ( x ) \mathrm { d } [ u ( x ) ] ^ { \prime }
) \frac { 1 } { 1 0 } \times ( 2 0 0 0 - 4 0 0 0 ) = \frac { 1 } { 1 1 } \times ( 2 0 \times 1 0 0 ) = 1 1 1 7 \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 }
注（1）函数乘积求导公式的证明，设 f ( x ) = u ( x ) \nu ( x ) （2015年考研考过）
\begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta x \xrightarrow [ { \Delta x 0 } ] { f ( x _ { 0 } ) } \cdots \omega \omega . } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta x } \\ & { \quad \quad \quad \quad f ^ { \prime } ( x ) = [ u ( x ) \nu ( x ) ] ^ { \prime } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - [ f ( x ) ] } { \Delta x } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta x } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle = \underset { \Delta x \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { u ( x + \Delta x ) \nu ( x + \Delta x ) - u ( x ) \nu ( x + \Delta x ) + u ( x ) \nu ( x + \Delta x ) - u ( x ) \nu ( x ) } { \Delta x } } \\ { \displaystyle = \underset { \Delta x \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { u ( x + \Delta x ) - u ( x ) } { \Delta x } \Bigg | \bullet \nu ( x + \Delta x ) + \underset { \Delta x \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { \nu ( x + \Delta x ) - \nu ( x ) } { \Delta x } \Bigg | \bullet u ( x ) } \\ { = u ^ { \prime } ( x ) \bullet \nu ( x ) + u ( x ) \bullet \nu ^ { \prime } ( x ) \Longleftarrow } \end{array}
（2) [ u ( x ) \nu ( x ) w ( x ) ] ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) \nu ( x ) w ( x ) + u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) w ( x ) + u ( x ) \nu ( x ) w ^ { \prime } ( x ) ，如果遇到因式超过三个的式子，
一般不要直接求导，而要另谋他法
·公式巧记：3个人排一排，第一个人一巴掌加中间人一巴掌再加最后
商的导数（微分） { \Bigg [ } { \frac { u ( x ) } { \nu ( x ) } } { \Bigg ] } ^ { \prime } = { \frac { u ^ { \prime } ( x ) \nu ( x ) - u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) } { [ \nu ( x ) ] ^ { 2 } } } , \nu ( x ) \neq 0 巩固： C u \pm v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } \pm v ^ { \prime } (uv)'=u'v+uv'.
\mathrm { d } \left[ \frac { u ( x ) } { \nu ( x ) } \right] = \frac { \nu ( x ) \mathrm { d } \left[ u ( x ) \right] - u ( x ) \mathrm { d } \left[ \nu ( x ) \right] } { \left[ \nu ( x ) \right] ^ { 2 } } , \nu ( x ) \ne 0 .
例4.1 设 f ( x ) = \prod _ { n = 1 } ^ { 1 0 0 } \left( \tan { \frac { \pi x ^ { n } } { 4 } } - n \right) ，则f'(1)=
{ \begin{array} { r l } & { \left( { \frac { u } { \nu } } \right) ^ { \prime } = \left( u \cdot { \frac { 1 } { \nu } } \right) ^ { \prime } } \\ & { \qquad = u ^ { \prime } \cdot { \frac { 1 } { \nu } } + u \cdot \left( - { \frac { 1 } { \nu ^ { 2 } } } \right) \cdot \nu ^ { \prime } } \\ & { \qquad = { \frac { u ^ { \prime } \nu - u \nu ^ { \prime } } { \nu ^ { 2 } } } } \end{array} }
分析此题是100项相乘！
f ( x ) = \left( \tan { \frac { \pi } { 4 } } x - 1 \right) \left( \tan { \frac { \pi } { 4 } } x ^ { 2 } - 2 \right) \cdots \left( \tan { \frac { \pi } { 4 } } x ^ { 1 0 0 } - 1 0 0 \right) .
若用乘法求导公式计算，计算量十分大.如果因式超过3项，不要直接求导，另寻他法.把它转化为两项相乘，往“经典形式”转化.
解 应填 - { \frac { \pi \cdot 9 9 ! } { 2 } }
本题的研究对象f(x)是多因式相乘,如果直接对其使用导数定义或者先求导再代值,都比较麻烦.本题希望考生发现，当把x=1代入每个因式后，只有第一项 \tan { \frac { \pi } { 4 } } - 1 = 0 ，而其余所有项都不等于0，抓住第一项这个“特立独行”的主要条件，记 g ( x ) = \prod _ { n = 2 } ^ { 1 0 0 } \left( \tan { \frac { \pi x ^ { n } } { 4 } } - n \right) ，于是
f ( x ) = \left( \tan \frac { \pi x } { 4 } - 1 \right) \bullet \underbrace { g ( x ) } _ { \nu } ,
故
f ^ { \prime } ( x ) = \sec ^ { 2 } { \frac { \pi x } { 4 } } \bullet { \frac { \pi } { 4 } } \bullet g ( x ) + \left( \tan { \frac { \pi x } { 4 } } - 1 \right) \bullet g ^ { \prime } ( x )
f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { \pi } { 4 } \sec ^ { 2 } \frac { \pi x } { 4 } \Bigg | _ { x = 1 } \cdot g ( 1 ) = - \frac { \pi \cdot 9 9 ! } { 2 } \ .
方法总结）多因式相乘的题目不要直接用乘法求导公式计算，而是巧妙地变化为“经典形式”再去算．公式 ( \tan x ) ^ { \prime } = \sec ^ { 2 } x
③复合函数的导数与微分形式不变性徽兮不变性是徽兮学中最重要的计算方法，要认识规则，严守规则.
设 \scriptstyle u = g ( x ) 在点x（没有下标是泛指的点，下同)处可导， y = f ( u ) 在点 \scriptstyle u = g ( x ) 处可导，则
- \bigl \{ f \lbrack g ( x ) \rbrack \bigr \} ^ { \prime } = f ^ { \prime } \lbrack g ( x ) \rbrack g ^ { \prime } ( x ) ,
{ \bigl \{ } f { \bigl [ } g ( x ) { \bigr ] } { \bigr \} } ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } { \bigl \{ } f { \bigl [ } g ( x ) { \bigr ] } { \bigr \} } } { \mathrm { d } x } } = \frac { \mathrm { d } { \bigl \{ } f [ } g ( x ) { \bigr \} { \bigr \} } { \mathrm { d } [ g ( x ) ] } } \bullet { \frac { \mathrm { d } [ g ( x ) ] } { \mathrm { d } x } } = f ^ { \prime } { \bigl [ } g ( x ) { \bigr ] } \bullet g ^ { \prime } ( x ) .
{ \frac { { \bigl \{ } } f [ g ( x ) ] { \bigr \} } { \bigr \downarrow } } ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } { \bigl \{ } } f [ g ( x ) ] { \bigr \} } { \mathrm { d } x } } 而 \frac { \partial f ^ { \prime } [ g ( x ) ] = 0 \{ f [ g ( x ) ] \} } { \big | } ，要看清楚求导符号的位置，不要弄错了.整体对x求导 代表对中间变量求导
一元复合函数求导规则图（链式求导法则）：
\widehat { f u x }
\left\{ f [ g ( x ) ] \right\} ^ { \prime } = f ^ { \prime } ( u ) \bullet u ^ { \prime } = f ^ { \prime } [ g ( x ) ] \bullet g ^ { \prime } ( x ) .
再来一层：
\widehat { f u } \widehat { \nu } \widehat { x }
f _ { x } ^ { \prime } \{ u [ \nu ( x ) ] \} = f _ { u } ^ { \prime } \bullet u _ { \nu } ^ { \prime } \bullet \nu _ { x } ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } f } { \mathrm { d } u } } \bullet { \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } u } } \bullet { \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } x } } .
正如歌词：如果你愿意一层一层一层地剥开“它”的心，你会发现，你会讶异…
考试最多3层，对于多元函数的链式求导法则后面会讲！
\mathsf { d } \big \{ f [ g ( x ) ] \big \} = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] \mathsf { d } \big [ g ( x ) \big ] .
上式就是微分形式的不变性—无论u是中间变量还是自变量， \mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u 都成立.
例4.2 设 y = \ln ( x + \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } ) ( a \neq 0 ) ，求 y ^ { \prime } \big | _ { x = 0 }
分析 当a=1时，就是反双曲正弦函数.本题是复合函数，外层 y = \ln u ，内层 u = x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } .所求的导数等于外层导数乘以内层导数．
解 因为
{ \begin{array} { r l } & { y ^ { \prime } = { \cfrac { 1 } { x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } \cdot ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } ) ^ { \prime } } \\ & { \quad = { \cfrac { 1 } { x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } { \Biggl [ } 1 + { \cfrac { 1 } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } \bullet ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { \prime } { \Biggr ] } } \\ & { \quad = { \cfrac { 1 } { x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } { \Biggl ( } 1 + { \cfrac { x } { { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } { \Biggr ) } = { \cfrac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } , } \end{array} }
所以
y ^ { \prime } | _ { x = 0 } = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } | _ { x = 0 } = { \frac { 1 } { | a | } } ( a \neq 0 ) ~ .
方法总结对于复合函数的求导，直接使用链式求导法则.
公式 ( \ln x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } } , \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } \right) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } \cdot 2 x
例4.3 设函数 f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \ln { \sqrt { x } } , } & { x \geq 1 , } \\ { 2 x - 1 , } & { x < 1 , } \end{array} \right. } 且 y = f [ f ( x ) ] ，则 \left. { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = \mathrm { ~ e ~ } } =
x=e不是分段点！
分析本题是分段函数和复合函数的综合，不要盲目地先求出 f [ f ( x ) ] 的表达式，应先看看对应的求导表达式是什么.
解 应填 \frac { 1 } { \mathbf { e } }
因为
\left. { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = \mathrm { c } } = f ^ { \prime } [ f ( x ) ] f ^ { \prime } ( x ) { \big | } _ { x = \mathrm { c } } = f ^ { \prime } [ f ( \mathrm { e } ) ] f ^ { \prime } ( \mathrm { e } ) ,
其中
f ( \mathsf { e } ) = \ln \sqrt { x } \Big | _ { x = \mathsf { e } } = \frac { 1 } { 2 } , \ f ^ { \prime } [ f ( \mathsf { e } ) ] = f ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = \left( 2 x - 1 \right) ^ { \prime } \Big | _ { x = \frac { 1 } { 2 } } = 2 , \ f ^ { \prime } ( \mathsf { e } ) = ( \ln \sqrt { x } ) ^ { \prime } \Big | _ { x = \mathsf { e } } = \frac { 1 } { 2 \mathsf { e } } ,
所以
\left. \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right| _ { x = \mathrm { ~ c ~ } } = 2 \cdot \frac { 1 } { 2 \mathrm { e } } = \frac { 1 } { \mathrm { ~ e ~ } } .
方法总结本题求的是某一点的导数值，不是求导函数，所以无须先求 f [ f ( x ) ] 的表达式．
公式 { \bigl \{ } f [ f ( x ) ] { \bigr \} } ^ { \prime } = f ^ { \prime } [ f ( x ) ] \bullet f ^ { \prime } ( x )
例4.4 设 y = \mathtt { e } ^ { \sin ( \mathrm { l n } x ) } ，求dy及 \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x }
分析本题是函数求导的题目，可以直接用复合函数的链式求导法则，先求导数，后求微分.也可以用微分形式不变性先求微分，再求导.
方法一：链式求导法则；
方法二：微分形式的不变性.
\mathsf { d } \big \{ f \big [ g ( x ) \big ] \big \} = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] \mathsf { d } \big [ g ( x ) \big ] .
解 由一阶微分形式的不变性，得
\mathsf { d } [ f ( u ) ] = f ^ { \prime } ( u ) \mathsf { d } u \scriptstyle u = g ( x ) 为中间变量，形式不变！
→若u就是x，则 \mathrm { d } [ f ( x ) ] = f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x ，这就是一阶徽分形式不变性！
\begin{array} { r l } & { { \mathsf { d } } [ { \mathsf { e } } ^ { \mathsf { s i n } ( \mathsf { n } \bar { \boldsymbol { x } } ) } ] { = } { \mathsf { e } } ^ { \mathsf { s i n } ( \mathsf { I n } \boldsymbol { x } ) } { \mathsf { d } } [ \mathsf { s i n } ( \mathsf { I n } \boldsymbol { x } ) ] \qquad \Longrightarrow { \mathsf { d } } ( \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { u } } ) { = } ( \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { u } } ) ^ { \prime } \mathsf { d } \boldsymbol { u } = \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { u } } \mathsf { d } \boldsymbol { u } } \\ & { \qquad = { \mathsf { e } } ^ { \mathsf { s i n } ( \mathsf { I n } \boldsymbol { x } ) } \cos ( \ln \boldsymbol { x } ) { \mathsf { d } } ( \ln \boldsymbol { x } ) \qquad \Longrightarrow { \mathsf { d } } ( \sin \nu ) = ( \sin \nu ) ^ { \prime } \mathsf { d } \nu = \cos \nu \mathsf { d } \nu } \\ & { \qquad = \mathsf { e } ^ { \mathsf { s i n } ( \ln \boldsymbol { x } ) } \cos ( \ln \boldsymbol { x } ) \frac { 1 } { \boldsymbol { x } } \mathrm { d } \boldsymbol { x } , } \end{array}
所以
\mathrm { d } y = \mathrm { e } ^ { \sin ( \ln x ) } \cos ( \ln x ) { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x , { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } = \mathrm { e } ^ { \sin ( \ln x ) } \cos ( \ln x ) { \frac { 1 } { x } } .
方法总结求微分的题目可以选择用链式求导法则，也可以选择用一阶微分形式不变性处理.
公式）(e)=e，(sinx)'=cosx, ( \ln x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } }
4分段函数的导数
设 f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ( x ) , } & { x \geq x _ { 0 } } \\ { f _ { 2 } ( x ) , } & { x < x _ { 0 } } \end{array} \right. } 其中 \mathcal { I } _ { 1 } ( x ) , f _ { 2 } ( x ) 分别在 x > x _ { 0 } , x < x _ { 0 } 时可导，则
①在分段点 x _ { 0 } 处用导数定义求导： f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } { \frac { f _ { 1 } ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } , f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { f _ { 2 } ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } .根据 f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) 是否等于 f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) 来判定 f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) 右导数表达式 左导数表达式
②在非分段点用导数公式求导，即 x > x _ { 0 } 时， f ^ { \prime } ( x ) = f _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) ~ ; ~ x < x _ { 0 } 时， f ^ { \prime } ( x ) = f _ { 2 } ^ { \prime } ( x )
例4.5 设 y = \ln \left| x \right| , x \neq 0 ，求 y ^ { \prime } ：
分析 此题需要注意，x=0是无定义点，无定义自然不连续，不连续一定不可导，所以只需要讨论 x \neq 0 时的导数即可.加绝对值的函数无法直接求导，需要先去绝对值将其写成分段函数.
解
y = \ln | x | = { \left\{ \ln x , \qquad x > 0 , \right. } \nonumber
当 x > 0 时，
y ^ { \prime } { = } ( \ln x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } } ;
当 x < 0 时，
y ^ { \prime } = \left[ \ln ( - x ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { - x } } \bullet \left( - x \right) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { - x } } \bullet ( - 1 ) = { \frac { 1 } { x } } \ .
因此
y ^ { \prime } = ( \ln | x | ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } ( x \neq 0 ) \ .
方法总结）对含绝对值的函数求导，先将其写成分段函数，然后在分段点处有定义用导数定义求导，无定义不用求，非分段点用导数公式求导．
公式 \left[ \ln ( - x ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } }
注Inx求导时，可视“绝对值符号”而不见。
例4.6 设函数 y = \left| x \mathbf { e } ^ { - x } \right| ，求 y " ：
分析 带绝对值的题目是考研的热点，需要去绝对值写成分段函数的形式． \mathbf { e } ^ { - x } > 0 ，所以去绝对值只看x的正负.
本题是求二阶导，所以应该先去分析一阶导的情形，即需要分别求出分段点x=0处的导数 y ^ { \prime } ( 0 ) 和非分段点处的导数 y ^ { \prime } ( x ) ( x \neq 0 ) .在求 y ^ { \prime } ( 0 ) 时采用导数的定义，求 y ^ { \prime } ( x ) ( x \neq 0 ) 利用导数公式.本题 y ^ { \prime } ( 0 ) 不存在，即 \scriptstyle x = 0 是不可导点，所以二阶导 y ^ { \prime } ( x ) 其实是非分段点处的导数，直接用导数公式求导.
解 y的表达式含有绝对值符号，可知其为分段函数，x=0为其分段点，则
y = \left| x \mathbf { e } ^ { - x } \right| = \left\{ { \begin{array} { l l } { - x \mathbf { e } ^ { - x } , } & { x < 0 , } \\ { x \mathbf { e } ^ { - x } , } & { x \geqslant 0 , } \end{array} } \right.
所以
非分段点处用导数公式求导.
y ^ { \prime } = \left\{ \left[ { \tt e } ^ { - x } ( x - 1 ) , \right] x < 0 , \right.
而
y _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } { \frac { y ( x ) - y ( 0 ) } { x } } = \operatorname * { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } { \frac { - x { \mathrm { e } } ^ { - x } } { x } } = - 1 \ ,
分段点处用导数定义求导
\underbrace { y _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) } _ { x \to 0 ^ { + } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { y ( x ) - y ( 0 ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { x \mathrm { e } ^ { - x } } { x } } = 1 \ ,
可知y在x=0处不可导.所以
√因为 y _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) \neq y _ { + } ^ { \prime } ( 0 )
→非兮段点处用导数公式求导.
y ^ { * } = \left\{ \left[ { \tt e } ^ { - x } { ( 2 - x ) } , \right] x < 0 , \right.
反函数的导数
设y=f(x)为单调、可导函数，且f'(x)≠0，则存在反函数 x = \varphi ( y ) ，且 \cdot \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } { = } \frac { 1 } { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } ，即 \varphi ^ { \prime } ( y ) = { \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } } →f与Φ互逆<
注（1）设 y = \arcsin x , - 1 < x < 1
由y=arcsinx，得反函数x=siny, y \in \left( - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } \right) .根据反函数求导公式，得
( \arcsin x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { ( \sin y ) ^ { \prime } } } = { \frac { 1 } { \cos y } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } y } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } ( - 1 < x < 1 ) .
（2）反函数的二阶导数重要
在y=f(x)单调，且二阶可导的情况下，若 f ^ { \prime } ( x ) \neq 0 则存在反函数 x = \varphi ( y ) ，记 f ^ { \prime } ( x ) = y _ { x } ^ { \prime } \varphi ^ { \prime } ( y ) = x _ { y } ^ { \prime } ，则有
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast = \ast \ast \ast = \frac { 1 } { \mathrm { d } \ast } = \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
y _ { x } ^ { \prime \prime } = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } = - { \frac { \mathrm { d } \left( { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right) } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } \left( { \frac { 1 } { \left| x _ { y } ^ { \prime } \right| } } \right) } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } \left( { \frac { 1 } { x _ { y } ^ { \prime } } } \right) } { \mathrm { d } y } } \cdot \frac { \mathrm { d } y } { \left| x _ { y } ^ { \prime } \right| = - { \frac { 1 } { \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } \cdot \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { \prime } _ { y } } \cdot { \frac { 1 } { x _ { y } ^ { \prime } } } = - { \frac { x _ { y y } ^ { \prime } } { \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } \cdot { \frac { 1 } { x _ { y } ^ { \prime } } } = - { \frac { x _ { y y } ^ { \prime } } { \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { 3 } } } \cdot
反过来，则有
x _ { y } ^ { \prime } = \frac { 1 } { y _ { x } ^ { \prime } } , x _ { y y } ^ { \prime } = - \frac { y _ { x } ^ { \prime \prime } } { ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 3 } } .
例4.7 当x>0时，设 y = f ( x ) = 3 x ^ { 2 } + \mathbf { e } ^ { x } 有反函数 \scriptstyle x = \varphi ( y ) ，则 \varphi ^ { \prime } ( 3 + { \mathsf { e } } ) \ =
分析）本题若想得式子x=φ(y)比较困难，它考查的是反函数求二阶导数知识，可以直接用公式
\varphi ^ { \prime \prime } ( y ) = - { \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 3 } } } \ .
注意当y=3+e时，x=1.
解 应填 - \frac { 1 } { \left( 6 + \mathrm { e } \right) ^ { 2 } }
当 f ( x ) = 3 x ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { x } = 3 + \mathrm { e } 时，有x=1，于是
\varphi ^ { \prime } ( y ) _ { y = 3 + \mathrm { e } } = - \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 3 } } _ { x = 1 } = - \frac { 6 + \mathrm { e } ^ { x } } { ( 6 x + \mathrm { e } ^ { x } ) ^ { 3 } } \Bigg \vert _ { x = 1 } = - \frac { 1 } { ( 6 + \mathrm { e } ) ^ { 2 } } \ .
方法总结）求反函数的二阶导数，可熟记公式，直接套公式即可．
公式y=f(x），x=𝜑(y)， \varphi ^ { \prime \prime } ( y ) = - { \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 3 } } }
6隐函数求导法 （实际问题中常见，要掌握好方法）
设函数y=y(x)是由方程 F ( x , y ) = 0 确定的可导函数，则
①方程 F ( x , y ) = 0 两边对自变量x求导，注意 y = y ( x ) ，即将y看作中间变量，得到一个关于y的方程； F [ x , y ( x ) ] { = } 0 涉及复合求导！
②解该方程便可求出y.
例4.8 设函数y=y(x)由方程 y ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y + 6 = 0 确定，且 y ^ { \prime } ( 1 ) = 0 ，求 y " ( 1 ) 的值.
分析该方程不容易得到显式 y = y ( x ) ，但仍可以求导.只要方程两边对x求导即可！
解在 y ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y + 6 = 0 两边关于x求导，得
3 y ^ { 2 } y ^ { \prime } + y ^ { 2 } + 2 x y y ^ { \prime } + 2 x y + x ^ { 2 } y ^ { \prime } = 0 \ ,
由y'(1)=0，得 y ^ { 2 } ( 1 ) + 2 \cdot 1 \cdot y ( 1 ) = 0 ，解得y(1)=-2或y(1)=0（不满足题目所给方程，舍去）.
在 3 y ^ { 2 } y ^ { \prime } + y ^ { 2 } + 2 x y y ^ { \prime } + 2 x y + x ^ { 2 } y ^ { \prime } = 0 两边关于x求导，得
( 3 y ^ { 2 } + 2 x y + x ^ { 2 } ) y ^ { \prime \prime } + 2 ( 3 y + x ) ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 4 ( y + x ) y ^ { \prime } + 2 y = 0 ,
代人 \ x = 1 , y ( 1 ) = - 2 与y(l)=0，解得 y ^ { \prime \prime } ( 1 ) = \frac { 4 } { 9 }
方法总结 隐函数求导，直接两边对x求导，注意复合结构.
公式 ( y ^ { 2 } ) ^ { \prime } = 2 y y ^ { \prime } , ( x y y ^ { \prime } ) ^ { \prime } = y y ^ { \prime } + x y ^ { \prime } y ^ { \prime } + x y y ^ { \prime }
7 参数方程所确定的函数的导数 （在实际问题中用得最多）
设函数y=y(x)由参数方程 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = \varphi ( t ) , } \\ { y = \psi ( t ) } \end{array} \right. } 确定，其中t是参数，且φ(t),ν(t)均可导， \varphi ^ { \prime } ( t ) \neq 0 ，则
t是中间变量，要把t拉进来
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } { = } \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } { = } \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) } ~ .
注由参数方程确定的函数的二阶导数，（不要背）
设函数 y = y ( x ) 由参数方程 \left\{ { x = \varphi ( t ) , } \right. 确定，其中t是参数，且𝜑(t)，γ(𝑡)均二阶可导， \varphi ^ { \prime } ( t ) \neq 0
: \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = w ( t ) \ : .
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { d } ( \mathrm { d } y / \mathrm { d } x ) } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } [ w ( t ) ] / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } } = { \frac { w ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) } }
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } = \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) } , \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } \left( \displaystyle \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } \left( \displaystyle \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } = \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) \varphi ^ { \prime } ( t ) - \psi ^ { \prime } ( t ) \varphi ^ { \prime } ( t ) } { [ \varphi ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 3 } }
例4.9 设 y = y ( x ) 由参数方程 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l } { x = \sin t , } \\ { y = t \sin t + \cos t } \end{array} \right. } 确定，则 \left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right| _ { t = { \frac { \pi } { 4 } } } =
分析本题是参数方程求导，将 \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } 转化为 { \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } } = t ，二阶导 \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) \bullet \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x }
解 应填 \sqrt { 2 }
因为
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } { = } \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } { = } t ,
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) \bullet \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x } = \frac { 1 } { \cos t } ,
所以
\left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right| _ { t = { \frac { \pi } { 4 } } } = { \frac { 1 } { \cos { \frac { \pi } { 4 } } } } = \sqrt { 2 } \ .
公式 ( \sin t ) ^ { \prime } = \cos t \ , ( \cos t ) ^ { \prime } = - \sin t
→参数方程求导的题目与其他知识综合考查，提升难度.
例4.10 设函数y=y(x)由 \left\{ \begin{array} { l l } { x = \arctan t , } \\ { 2 y - t y ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { t } = 5 } \end{array} \right. 所确定，则 { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \ =
分析本题是参数方程的求导，第二个方程 2 y - t y ^ { 2 } + \mathbf { e } ^ { t } = 5 是y关于t的隐函数，直接两端对t求导得 \left| \Phi \right. / \mathrm { d } t 然后利用参数方程的求导公式 { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } }
解 应填 \frac { ( y ^ { 2 } - \mathbf { e } ^ { t } ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 ( 1 - t y ) }
{ \frac { { \mathrm { d } } x } { { \mathrm { d } } t } } = { \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } } ,
由 2 { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } - y ^ { 2 } - 2 t y { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } + \mathbf { e } ^ { t } = 0 ，得 \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } = \frac { y ^ { 2 } - \mathrm { e } ^ { t } } { 2 ( 1 - t y ) } ，因而
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { ( y ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { t } ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 ( 1 - t y ) } \ .
方法总结 本题是一个综合型求导题目，根据它的类型套用相应公式！
公式 ( \arctan t ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } }
8对数求导法
称为对数求导法，实际问题中出现多项相乘、相除等问题利用对数，将乘除变成加减.
对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导.
设 y = f ( x ) ( f ( x ) > 0 ) ，则
①等式两边取对数，得 \ln y = \ln f ( x )
②两边对自变量x求导（同样注意 y = f ( x ) ，即将y看作中间变量），得 { \frac { 1 } { y } } y ^ { \prime } { = } [ \ln f ( x ) ] ^ { \prime } ，则
y ^ { \prime } { = } { \frac { y f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } } ·复杂的表达式转化为简单的表达式运算.
例4.11 设函数 y = y ( x ) 由方程 x { \mathbf e } ^ { f ( y ) } = { \mathbf e } ^ { y } \ln { 2 } 确定，其中f具有二阶导数，且 f ^ { \prime } \neq 1 \gg ，则 { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } = 可山大
分析本题中有 " e ^ { f ( y ) } \ " \mathrm { e } ^ { y } 这种复杂的形式，可以考虑两边取对数，同时，经分析可知 \mathrm { e } ^ { y } \ln 2 > 0 所以 x > 0 ，满足取对数条件，此时变为简单的隐函数方程，两边直接对x求导.因为本题是求二阶导数，所以需要再次求导.
解 应填 - \frac { [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 2 } - f ^ { \prime \prime } ( y ) } { x ^ { 2 } [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 3 } }
方程 x \mathbf { e } ^ { f ( y ) } = \mathbf { e } ^ { y } \ln 2 两端取对数，得 \ln x + f ( y ) = y + \ln ( \ln 2 ) .两端关于x求导，得 { \frac { 1 } { x } } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime } = y ^ { \prime } 两端继续关于x求导，得 - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime } = y ^ { \prime } ，由此可得
y ^ { \prime \prime } = - { \frac { [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 2 } - f ^ { \prime \prime } ( y ) } { x ^ { 2 } [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 3 } } } \ .
@方法总结）对于多项式相乘、相除、开方、乘方的式子，先取对数将形式复杂的表达式化为形式简单的表达式，再去求导.
公式 \left[ f ^ { \prime } ( y ) y ^ { \prime } \right] ^ { \prime } = f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime } \bullet y ^ { \prime } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime }
9幂指函数求导法
对于 u ( x ) ^ { \nu ( x ) } ( u ( x ) > 0 ，且u(x)≠1)，除了用上面的对数求导法外，还可以先化成指数函数
u ( x ) ^ { \nu ( x ) } = { \mathrm { e } } ^ { \nu ( x ) \ln \overbrace { u ( x ) } ^ { \nu ( x ) } } , \quad \overbrace { \mathfrak { L } \underbrace { \partial \sin \notin z } } ^ { \nu ( x ) } ,
然后求导，得
{ \Big [ } u ( x ) ^ { \nu ( x ) } { \Big ] } ^ { \prime } = { \Big [ } \mathbf { e } ^ { \nu ( x ) \ln u ( x ) } { \Big ] } ^ { \prime } = u ( x ) ^ { \nu ( x ) } { \Bigg [ } \nu ^ { \prime } ( x ) \ln u ( x ) + \nu ( x ) \cdot { \frac { u ^ { \prime } ( x ) } { u ( x ) } } { \Bigg ] } ，公式不要记，直接求导.
例4.12 求函数 y = x ^ { x } ( x > 0 ) 的导数.
分析 x ^ { x } 是典型的幂指函数，将 x ^ { x } 化为 \mathrm { e } ^ { x \mathrm { i n } x } ，再去求导.
解
\begin{array} { l } { { y ^ { \prime } = ( x ^ { x } ) ^ { \prime } = ( { \mathrm { e } } ^ { x \ln x } ) ^ { \prime } } } \\ { { \ } } \\ { { \ } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle \ = { \mathrm { e } } ^ { x \ln x } ( x \ln x ) ^ { \prime } } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle \ = x ^ { x } ( 1 + \ln x ) ( x > 0 ) ~ . } } \end{array}
方法总结遇到幂指函数，先化成指数函数，转化为简单的复合函数再去求导.
公式 ( x \ln x ) ^ { \prime } = \ln x + 1
山 例4.13 求函数 y = x ^ { \frac { 1 } { x } } ( x > 0 ) 的导数.
分析 \scriptstyle { \frac { 1 } { x ^ { x } } } 是幂指函数，将 \scriptstyle { \frac { 1 } { x ^ { x } } } 化为 \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x } \mathrm { l n } x } ，再去求导.
解
\begin{array} { l } { { \displaystyle y ^ { \prime } = \left( x ^ { \frac 1 { x } } \right) ^ { \prime } = \left( \mathrm { e } ^ { \frac 1 { x } \mathrm { n } x } \right) ^ { \prime } } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle ~ = \mathrm { e } ^ { \frac 1 { x } \mathrm { n } x } \left( - \frac 1 { x ^ { 2 } } \cdot \ln x + \frac 1 { x } \cdot \frac 1 { x } \right) } } \\ { { ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = x ^ { \frac 1 { x } - 2 } ( 1 - \ln x ) ( x > 0 ) ~ . } } \end{array}
方法总结遇到幂指函数，先化成指数函数，转化为简单的复合函数再去求导．
公式 \left( { \frac { 1 } { x } } \ln x \right) ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \ln x + { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } }
n \geqslant 2
是考研数学中一个区分度较高的题型
求高阶导数主要有三种方法.—→不同问题选择不同的方法，题型具有灵活性！
(1)归纳法.
逐次求导，探索规律，得出通式．
例4.14 求 y = \sin x 的n阶导数.
分析）当不知道高阶求导公式时，只能逐阶求导，本题还需要借助于三角函数的诱导公式，写成同名下的三角函数形式，再去探索规律．
解
y ^ { \prime } { = } ( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x ,
y ^ { \prime \prime } { = } ( \cos x ) ^ { \prime } { = } { - } \sin x ,
y ^ { \prime \prime } { = } ( { - } \sin x ) ^ { \prime } { = } { - } \cos x ,
但这样算下去，很难找到规律.想到 \cos x = \sin ( x + { \frac { \pi } { 2 } } ) ，则有
y ^ { \prime } = \left( \sin x \right) ^ { \prime } = \cos x = \sin \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) ,
y ^ { * } = \left[ \sin ( x + { \frac { \pi } { 2 } } ) \right] ^ { \prime } = \cos \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \sin \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \sin \left( x + 2 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) ,
y ^ { \pm } = \left[ \sin ( x + 2 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } ) \right] ^ { \prime } = \cos { \left( x + 2 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) } = \sin { \left( x + 3 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) } ,
于是
y ^ { ( n ) } = \sin \left( x + n \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) ,
即
( \sin x ) ^ { ( n ) } = \sin \left( x + n \bullet { \frac { \pi } { 2 } } \right) , n = 1 , 2 , \cdots .
@方法总结）在没有相应的高阶公式情况下，可以逐阶求导，探索规律，写出通项的表达式.
公式 ( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x \ , ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x
注常用高阶导数（n为正整数）：
( \mathrm { e } ^ { a x + b } ) ^ { ( n ) } = a ^ { n } \mathrm { e } ^ { a x + b } ;
[ \sin ( a x + b ) ] ^ { n } = a ^ { n } \sin ( a x + b + { \frac { n \pi } { 2 } } ) ;
推导： \left( { \frac { 1 } { a x + b } } \right) ^ { \prime } = ( - 1 ) { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { 2 } } } \cdot a
[ \cos ( a x + b ) ] ^ { n } = a ^ { n } \cos ( a x + b + { \frac { n \pi } { 2 } } ) ;
每次求 ( a x + b ) ^ { \prime } = a 就多一个a．
\left( \frac { 1 } { a x + b } \right) ^ { \circ } = ( - 1 ) ( - 2 ) \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { 3 } } \cdot a \cdot a \ ,
[ \ln ( a x + b ) ] ^ { n } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \underline { { { a } } } ^ { n } \frac { ( n - 1 ) ! } { ( a x + b ) ^ { n } } ;
\left( { \frac { 1 } { a x + b } } \right) ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ( - 2 ) \cdots ( - n ) a ^ { n } \cdot { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { n + 1 } } }
\left( \frac { 1 } { a x + b } \right) ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ^ { n } \underline { { { a } } } ^ { n } \frac { n ! } { ( a x + b ) ^ { n + 1 } } .
{ \frac { 1 } { a } } [ \ln ( a x + b ) ] ^ { ( n + 1 ) }
考生若能记住这些式子，那是最好的．若记不住，学会推导的方式，在考试中快速计算出来，也是可以的．
例4.15 设 y = \frac { 1 - x } { 1 + x } ，则y(")(0)=（）.(A) ( - 1 ) ^ { n } 2 \cdot n ! (B) - 2 ^ { n } \cdot n ! (C) 2 ^ { n } \cdot ( n - 1 ) ! (D) - 2 ^ { n } \cdot ( n - 1 ) !
分析）本题不能直接用常用高阶导数公式，可考虑先转化为有常用高阶导数公式的式子.因
y = { \frac { 1 - x } { 1 + x } } = - 1 + { \frac { 2 } { 1 + x } } ,
然后对 \frac { 1 } { 1 + x } 求导可直接套公式.
解 应选(A).
本题考查的知识点是高阶导数运算.求高阶导数的关键在于将 y , y ^ { \prime } , y ^ { \prime } 恒等变形，简化运算以寻找规律.
由于
y = \frac { 1 - x } { 1 + x } = - 1 + \frac { 2 } { 1 + x } = 2 ( 1 + x ) ^ { - 1 } - 1 ,
套公式，得
y ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ^ { n } 2 \cdot n ! ( 1 + x ) ^ { - ( n + 1 ) } ,
因此
y ^ { ( n ) } ( 0 ) = ( - 1 ) ^ { n } 2 \cdot n ! .
故选(A).
方法总结不能直接套用常用高阶导数公式的题目，可考虑先转化为有常用高阶导数公式的函数.
公式 \left( { \frac { 1 } { 1 + x } } \right) ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ^ { n } { \frac { n ! } { ( x + 1 ) ^ { n + 1 } } }
例4.16 已知函数f(x)具有任意阶导数，且 f ^ { \prime } ( x ) = [ f ( x ) ] ^ { 2 } ，其中n为正整数，则 f ^ { ( n ) } ( x ) =
分析本题为抽象函数求导，给出关系式，可考虑用好该关系式，逐次求导，探索规律.若是解答题，探索规律后应给出相应数学归纳法的证明，若是客观题，不必给出证明.
解 应填 n ! [ f ( x ) ] ^ { n + 1 }
f ^ { \prime } ( x ) = [ f ( x ) ] ^ { 2 } 两边同时对x求导，得
f ^ { \prime \prime } ( x ) = 2 f ( x ) f ^ { \prime } ( x ) = 2 [ f ( x ) ] ^ { 3 } ,
f ^ { \prime \prime } ( x ) = 2 \bullet 3 [ f ( x ) ] ^ { 2 } \bullet f ^ { \prime } ( x ) = 2 \bullet 3 [ f ( x ) ] ^ { 4 } ,
f ^ { ( 4 ) } ( x ) = 2 \bullet 3 \bullet 4 [ f ( x ) ] ^ { 3 } \bullet f ^ { \prime } ( x ) = 2 \bullet 3 \bullet 4 [ f ( x ) ] ^ { 5 } ,
于是得到
f ^ { ( n ) } ( x ) = n ! [ f ( x ) ] ^ { n + 1 } \ .
方法总结若题目中给出的是抽象形式的相关等式可考虑用好关系式，逐次求导，探索规律.
公式 ( y ^ { 2 } ) ^ { \prime } = 2 y y ^ { \prime }
注可用数学归纳法严格证明，但考试中不必给出
设n=k时，有 f ^ { ( k ) } ( x ) = k ! [ f ( x ) ] ^ { k + 1 } ，则 n = k + 1 时，将上式两边再对x求导，有
f ^ { ( k + 1 ) } ( x ) = ( k + 1 ) \bullet k ! [ f ( x ) ] ^ { k } f ^ { \prime } ( x ) = ( k + 1 ) ! [ f ( x ) ] ^ { k + 2 } ,
故对正整数n，有 f ^ { ( n ) } ( x ) = n ! [ f ( x ) ] ^ { n + 1 }
(2)莱布尼茨公式→主要考乘积形式
设u=u(x),v=v(x)均n阶可导，则
\begin{array} { c } { { ( \boldsymbol { u } \pm \boldsymbol { \nu } ) ^ { ( n ) } = \boldsymbol { u } ^ { ( n ) } \pm \boldsymbol { \nu } ^ { ( n ) } , } } \\ { { \ } } \\ { { ( \boldsymbol { u } \boldsymbol { \nu } ) ^ { ( n ) } = \boldsymbol { u } ^ { ( n ) } \nu + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } \boldsymbol { u } ^ { ( n - 1 ) } \nu ^ { \prime } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } \boldsymbol { u } ^ { ( n - 2 ) } \nu ^ { \prime } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { k } \boldsymbol { u } ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( k ) } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { n - 1 } \boldsymbol { u } ^ { \prime } \nu ^ { ( n - 1 ) } + \boldsymbol { u } \nu ^ { ( n ) } \overset { \scriptscriptstyle { + } } { \underset { + } { \cdots } } n + 1 \not { \underset { + } { \cdots } } \boldsymbol { \mathscr { R } } } } \\ { { \ } } \\ { { = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } \boldsymbol { u } ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( \widehat { E } ) } . } } \end{array}\tag{*}
考研中往往给出的是低次幂的幂函数作为u(x)或v(x).
例如，给出的u(x)或v(x)为x²，其三阶导数为0，则u(x)·v(x)的n阶导数只有3项
(*)式，就是求函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，其中 \boldsymbol { u } ^ { ( 0 ) } = \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nu } ^ { ( 0 ) } = \boldsymbol { \nu } .
注（1)见到求两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼茨公式即可，有时要结合 ^ { \mathrm { { \sc ~ \mathfrak { \omega } } } } ( 1 ) 归纳法”中的通式；当一个函数求高阶导数较困难时，若能转化成两个函数的乘积形式，亦可用莱布尼茨公式．
（2）若n不太大，其系数 \mathbf { C } _ { n } ^ { 0 } , \mathbf { C } _ { n } ^ { 1 } , \mathbf { C } _ { n } ^ { 2 } , \cdots , \mathbf { C } _ { n } ^ { n - 1 } , \mathbf { C } _ { n } ^ { n } 的记忆方法可按下述“三角形”：
( \arcsin x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } ，则(aresin x)·√1-x² =1.
\cdot u = ( \arcsin x ) ^ { \prime } , \nu = \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } ，故u·v=1.所 \cdots 3 ( u \cdot \nu ) ^ { ( n - 1 ) } = 1 ^ { ( n - 1 ) } = 0
\theta \bar { \rho } \ : \Gamma _ { n - 1 } ^ { 0 } ( \arcsin x ) ^ { ( n ) } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \ : + \cdots + { \Gamma _ { n - 1 } ^ { n - 1 } } ( \arcsin x ) ^ { \prime } \Big ( \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \Big ) ^ { ( n - 1 ) } = 0 \ : ,
1 例4.17 设 f ( x ) = x \mathbf { e } ^ { x } ，则 f ^ { ( n ) } ( x ) =
分析本题是两类不同函数乘积的n阶导数，且其中 u ( x ) = x 是低次幂函数，可以考虑莱布尼茨公式，最后只有2项！
解 应填 ( n + x ) e ^ { x }
f ^ { ( n ) } ( x ) = ( x { \bf e } ^ { x } ) ^ { ( n ) } = ( { \bf e } ^ { x } ) ^ { ( n ) } x + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } ( { \bf e } ^ { x } ) ^ { ( n - 1 ) } \bullet \boldsymbol { 1 } = x { \bf e } ^ { x } + n { \bf e } ^ { x } = ( n + x ) { \bf e } ^ { x } \ .
方法总结）求两类不同函数乘积的n阶导数，用莱布尼茨公式.
\widehat { \varphi ^ { \prime } \mathscr { L } \overrightarrow { \lambda \lambda } } \quad ( u \nu ) ^ { ( n ) } = u ^ { ( n ) } \nu + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } u ^ { ( n - 1 ) } \nu ^ { \prime } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } u ^ { ( n - 2 ) } \nu ^ { \prime } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { k } u ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( k ) } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { n - 1 } u ^ { \prime } \nu ^ { ( n - 1 ) } + u \nu ^ { ( n ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } u ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( k ) } \ .
(3)泰勒展开式.
①任何一个无穷阶可导的函数都可写成
y = f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) } { n ! } ( x - x _ { 0 } ) ^ { n } ,
或者
y = f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } \overbrace { x ^ { ^ n } \cdot \mathrm { ~ . ~ } } ^ { } x _ { _ 0 } = 0
②题目给出一个具体的无穷阶可导函数 y = f ( x ) ，可以通过已知公式展开成幂级数.这些已知公式为
\left\lceil \mathbf { e } ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n ! } } = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + \cdots + { \frac { x ^ { n } } { n ! } } + \cdots , - \infty < x < + \infty \right. .
{ \frac { 1 } { 1 + x } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } x ^ { n } = 1 - x + x ^ { 2 } - x ^ { 3 } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } x ^ { n } + \cdots , - 1 < x < 1 ~ .
{ \frac { 1 } { 1 - x } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } x ^ { n } = 1 + x + x ^ { 2 } + \cdots + x ^ { n } + \cdots , - 1 < x < 1 .
\ln ( 1 + x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } = x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 4 } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } + \cdots , - 1 < x \leqslant 1 \ .
\sin x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } + \cdots , - \infty < x < + \infty \ .
\cos x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } = 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } + \cdots , - \infty < x < + \infty \ .
( 1 + x ) ^ { \alpha } = 1 + \alpha x + { \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) } { 2 ! } } x ^ { 2 } + \cdots + { \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) \cdots ( \alpha - n + 1 ) } { n ! } } x ^ { n } + \cdots , { \left\{ \begin{array} { l l } { x \in ( - 1 , 1 ) , } & { \alpha \leqslant - 1 , } \\ { x \in ( - 1 , 1 ] , } & { - 1 < \alpha < 0 , } \\ { x \in [ - 1 , 1 ] , } & { \alpha > 0 , \alpha \notin \mathbf { N } _ { + } , } \\ { x \in \mathbf { R } , } & { \alpha \in \mathbf { N } _ { + } . } \end{array} \right. }
\tan x = x + { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } + \cdots
\arcsin x = x + { \frac { 1 } { 6 } } x ^ { 3 } + \cdots .
\arctan x = x - { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } + \cdots
③函数泰勒展开式的唯一性：无论f(x)由何种方法展开，其泰勒展开式具有唯一性.于是我们可以通过比较①，②中公式的系数，获得 f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) 或者 f ^ { ( n ) } ( 0 )
例4.18 设 f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - x ) ，则当 n \geqslant 3 时， f ^ { ( n ) } ( 0 ) ~ = ~ ( \qquad ) （A) - { \frac { n ! } { n - 2 } } (B) \frac { n ! } { n - 2 } (C) - { \frac { ( n - 2 ) ! } { n } } (D) \frac { ( n - 2 ) ! } { n }
分析 本题可以用莱布尼茨求导公式，也可以用泰勒公式.
若用泰勒公式，先抽象展开， f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } ，然用具体展开， f ( x ) = - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m + 3 } } { m + 1 } } ，最后令 x ^ { n } 的系数相等.
利用泰勒公式展开，有
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - x ) = x ^ { 2 } \cdot \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m - 1 } \cdot { \frac { ( - 1 ) ^ { m } x ^ { m } } { m } } = - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m + 2 } } { m } } = - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m + 3 } } { m + 1 } } \ .
由于 f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } ，根据函数展开式的唯一性，比较系数，有 n = m + 3 ，所以
\frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } = - \frac { 1 } { m + 1 } ,
即 f ^ { ( n ) } ( 0 ) = - { \frac { n ! } { n - 2 } }
@方法总结对于 g ( x ) = x ^ { k } f ( x ) 型，可以考虑用泰勒公式求 g ^ { ( n ) } ( 0 )
公式 \ln ( 1 + x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } = x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 4 } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } + \cdots , - 1 < x \leqslant 1
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - x ) = x ^ { 2 } \left( - x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - \cdots - { \frac { x ^ { n - 2 } } { n - 2 } } - \cdots \right)
f ( x ) = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + { \frac { f ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 ! } } x ^ { 2 } + \cdots + { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } + \cdots 根据展开式的唯一性，对比 x ^ { n } 的系数，得- \frac { 1 } { n - 2 } = \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } f ^ { ( n ) } ( 0 ) = - { \frac { n ! } { n - 2 } }
例4.19 设 f ( x ) = x ^ { 2 } 2 ^ { x } ，则当 n \geqslant 1 时， f ^ { ( n ) } ( 0 ) =
分析本题可以用莱布尼茨求导公式，也可以用泰勒公式.
莱布尼茨法： x ^ { 2 } 幂次较低， f ^ { ( n ) } ( x ) 只有3项.
泰勒公式： 2 ^ { x } 没有泰勒展开式，需要对其变形后再展开.
解 应填 n ( n - 1 ) ( \ln 2 ) ^ { n - 2 }
方法一利用泰勒公式展开，有
f ( x ) = x ^ { 2 } 2 ^ { x } = x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x \ln 2 } = x ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( x \ln 2 ) ^ { n } } { n ! } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n } } { n ! } } x ^ { n + 2 } = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } x ^ { n } ,
又 f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } ，由泰勒展开式的唯一性，得 { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } = { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } .又 f ^ { \prime } ( 0 ) = 0 ，故
f ^ { ( n ) } ( 0 ) = { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } n ! = n ( n - 1 ) ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \ .
方法二利用莱布尼茨高阶求导公式，有
\begin{array} { l } { { f ^ { ( n ) } ( x ) = \displaystyle \mathrm { C } _ { n } ^ { 0 } x ^ { 2 } ( 2 ^ { x } ) ^ { ( n ) } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } \bullet 2 x \bullet ( 2 ^ { x } ) ^ { ( n - 1 ) } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } \bullet 2 \bullet ( 2 ^ { x } ) ^ { ( n - 2 ) } } } \\ { { \qquad } } \\ { { = x ^ { 2 } \bullet 2 ^ { x } \bullet ( \ln 2 ) ^ { n } + n \bullet 2 x \bullet 2 ^ { x } \bullet ( \ln 2 ) ^ { n - 1 } + \displaystyle \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } \bullet 2 \bullet 2 ^ { x } \bullet ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } , } } \end{array}
当x=0时， f ^ { ( n ) } ( 0 ) = n ( n - 1 ) ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )
方法总结对于 g ( x ) = x ^ { k } f ( x ) 型，k取值较小，本题可以用莱布尼茨求导公式，也可以用泰勒公式.
( \theta ^ { \prime } \overrightarrow { \Delta } \overrightarrow { \mathfrak { x } } \big ) \ \mathrm { e } ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } = 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \cdots + \frac { x ^ { n } } { n ! } + \cdots , - \infty < x < + \infty \ .
( 2 ^ { x } ) ^ { ( n ) } = 2 ^ { x } ( \ln 2 ) ^ { n } \ .
注在方法一中，事实上，由于 f ( 0 ) = 0 , f ^ { \prime } ( 0 ) = 0 ，故
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } \ ,
\sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } x ^ { n } 完全对应
基础习题精练
习题
4.1设函数g(x)可微， h ( x ) = \mathbf { e } ^ { 1 + g ( x ) } h ^ { \prime } ( 1 ) = 1 , g ^ { \prime } ( 1 ) = 2 ，则g(l)=（）.
(A) In3-1 (B) - \ln 3 - 1 (C) -ln2-1 (D) In2-1
4.2设 f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } x { \bigl ( } 1 - 2 t { \bigr ) } ^ { - { \frac { x } { t } } } ，则f(x)=_
4.3已知 f ^ { \prime } ( x ) = A \mathbf { e } ^ { x } （A为正常数)，则f(x)的反函数的二阶导数为
4.4设函数y=y(x)由 \left\{ \begin{array} { l } { { x = \ln ( 1 + t ^ { 2 } ) + 1 , } } \\ { { y = 2 \arctan t - ( t + 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right. 确定，则 { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \ =
4.5设函数f(x)在x=2的某邻域内具有任意阶导数，且 f ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { f ( x ) } , f ( 2 ) = 1 ，则当n≥1时，f ^ { ( n ) } ( 2 ) =
4.6设y=y(x)是由方程 \sin ( x y ) = \ln { \frac { x + e } { y } } + 1 确定的隐函数，求y(0)的值.
4.7已知g(x)在x=0处二阶可导，且 g ( 0 ) = g ^ { \prime } ( 0 ) = 0 ，设
f ( x ) = \{ { \begin{array} { l l } { \displaystyle { g ( x ) } } \\ { \displaystyle x } \end{array} } , \quad x \neq 0 , \quad
证明：f(x)的导函数在x=0处连续.
4.8求函数
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 + x )
在x=0处的n阶导数 f ^ { ( n ) } ( 0 ) ( n \geq 3 )
解答
4.1(C）解 h ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { 1 + g ( x ) } \cdot g ^ { \prime } ( x ) .因 h ^ { \prime } ( 1 ) = 1 , g ^ { \prime } ( 1 ) = 2 ，故
g ( 1 ) = \ln \frac { h ^ { \prime } ( 1 ) } { g ^ { \prime } ( 1 ) } - 1 = \ln \frac { 1 } { 2 } - 1 = - \ln 2 - 1 .
4.2 ( 1 + 2 x ) { \mathrm { e } } ^ { 2 x } 解 f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } x ( 1 - 2 t ) ^ { - { \frac { x } { t } } } = x \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \left[ \left( 1 - 2 t \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 t } } } \right] ^ { 2 x } = x \mathrm { e } ^ { 2 x } ，因此
f ^ { \prime } ( x ) = ( x \mathrm { e } ^ { 2 x } ) ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { 2 x } + x \mathrm { e } ^ { 2 x } \bullet 2 = ( 1 + 2 x ) \mathrm { e } ^ { 2 x } \ .
4.3 - \frac { 1 } { A ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x } } 解设 y = f ( x ) ，则
{ \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } } = { \frac { 1 } { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } } = { \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } \left( \displaystyle \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } \right) } { \mathrm { d } y } = \frac { \mathrm { d } \left[ \displaystyle \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } \right] } { \mathrm { d } x } \cdot \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } = - \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { \left[ f ^ { \prime } ( x ) \right] ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } } \\ & { \quad \quad \quad = - \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { \left[ f ^ { \prime } ( x ) \right] ^ { 3 } } = - \frac { A \mathrm { e } ^ { x } } { \left( A \mathrm { e } ^ { x } \right) ^ { 3 } } = - \frac { 1 } { A ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x } } \ . } \end{array}
- { \frac { ( 1 + 2 t ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 t } }
解
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } \cdot \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } - \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } t } \cdot \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } \\ & { \quad = \frac { \displaystyle \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } \cdot \left[ - \frac { 4 t } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 2 \right] - \frac { 2 - 2 t ^ { 2 } } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \cdot \left[ \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } - 2 ( t + 1 ) \right] } { \frac { 8 t } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } } \\ & { \qquad - \frac { ( 1 + 2 t ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 t } , } \end{array}
或
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { \displaystyle \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } { \displaystyle \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } - 2 ( t + 1 ) \int \frac { \ d t } { \mathrm { d } t } = - ( t ^ { 2 } + t + 1 ) \ : ,
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ - ( t ^ { 2 } + t + 1 ) \right] \cdot \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x } = \frac { \displaystyle \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ - ( t ^ { 2 } + t + 1 ) \right] } { \displaystyle \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = - \frac { ( 1 + 2 t ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 t } \ .
4.5 ( n - 1 ) ! \mathbf { e } ^ { n } 解对 f ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { f ( x ) } 两边关于x求导，得
f ^ { \prime \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { f ( x ) } \bullet f ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { 2 f ( x ) } ,
两边再对x求导，得
f ^ { m } ( x ) = \mathrm { e } ^ { 2 f ( x ) } \cdot 2 f ^ { \prime } ( x ) = 2 ! \mathrm { e } ^ { 3 f ( x ) } ,
两边再对x求导，得
f ^ { ( 4 ) } ( x ) = 2 { \mathrm e } ^ { 3 f ( x ) } \bullet 3 f ^ { \prime } ( x ) = 3 ! { \mathrm e } ^ { 4 f ( x ) } ,
由以上导数规律可得
f ^ { ( n ) } ( x ) = ( n - 1 ) ! \mathrm { e } ^ { n f ( x ) } ,
所以 f ^ { ( n ) } ( 2 ) = ( n - 1 ) ! \mathbf { e } ^ { n }
4.6解在方程中令 \scriptstyle x = 0 可得 0 = \ln \frac { \mathbf e } { y ( 0 ) } + 1 ，故 y ( 0 ) = \mathtt { e } ^ { 2 } .将方程两边对x求导，得
\cos ( x y ) ( y + x y ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { x + e } } - { \frac { y ^ { \prime } } { y } } ~ .
将 x = 0 , y ( 0 ) = \mathbf { e } ^ { 2 } 代人，有 \mathbf { e } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \mathbf { e } } - \frac { y ^ { \prime } ( 0 ) } { \mathbf { e } ^ { 2 } } ，即 y ^ { \prime } ( 0 ) = \mathbf { e } - \mathbf { e } ^ { 4 }
4.7证明根据导数定义，有
f ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { \displaystyle \frac { g ( x ) } { x } - 0 } { x - 0 } = \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { g ( x ) } { x ^ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { 2 x } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { g ^ { \prime } ( x ) - g ^ { \prime } ( 0 ) } { x - 0 } = \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } ( 0 ) \ .
当 x \neq 0 时， f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { x g ^ { \prime } ( x ) - g ( x ) } { x ^ { 2 } } } ，则
\begin{array} { c } { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x 0 } f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { x g ^ { \prime } ( x ) - g ( x ) } { x ^ { 2 } } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { x } - \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \frac { g ( x ) } { x ^ { 2 } } } } \\ { { = g ^ { \prime } ( 0 ) - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } ( 0 ) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } ( 0 ) = f ^ { \prime } ( 0 ) , } } \end{array}
所以f(x)的导函数在x=0处连续.
4.8解方法一由莱布尼茨公式
\left( u \nu \right) ^ { ( n ) } = u ^ { ( n ) } \nu + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } u ^ { ( n - 1 ) } \nu ^ { \prime } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } u ^ { ( n - 2 ) } \nu ^ { \prime } + \cdots + u \nu ^ { ( n ) } ,
及
\left[ \ln ( 1 + x ) \right] ^ { ( k ) } = { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } ( k - 1 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { k } } } ~ ( ~ k ~ { \mathcal { H } } \operatorname { I E } \not \equiv { \mathcal { H } } \not \equiv { \mathcal { H } } \medskip ~ ) ~ ,
得当 n \geqslant 3 时，
f ^ { ( n ) } ( x ) = x ^ { 2 } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { n } } } + 2 n x { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 2 } ( n - 2 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { n - 1 } } } + n ( n - 1 ) \bullet { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } ( n - 3 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { n - 2 } } } ,
所以
f ^ { ( n ) } ( 0 ) = ( - 1 ) ^ { n - 3 } n ( n - 1 ) ( n - 3 ) ! = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } n ! } { n - 2 } } ( n \geqslant 3 ) ~ .
方法二利用泰勒展开，
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 + x ) = x ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } x ^ { n } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } x ^ { n + 2 } = \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } } { n - 2 } } x ^ { n } ,
由泰勒展开系数的唯一性，得 { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } } { n - 2 } } = { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } ，故 f ^ { ( n ) } ( 0 ) = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } } { n - 2 } } n ! = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n - 2 } } n ! ( n \geqslant 3 )