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第13讲多元函数微分学
可用均值不等式 \vert x y \vert \leqslant \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 } 及夹逼准则.
I _ { 2 } ：分子、分母次数均为2.可举反例 L _ { 1 } : \ y = x
应选(A).
0 \leqslant I _ { 1 } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 \atop y \to 0 } { \frac { \left| x y \right| } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } \leqslant \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } = 0 \ ,
由夹逼准则，得 I _ { \mathrm { 1 } } = 0 ，故 I _ { 1 } 存在.
取路径y=x,则 I _ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 \atop y = x } { \frac { x \big | y \big | } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { x \big | x \big | } { 2 x ^ { 2 } } } ，又 \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { x \left| x \right| } { 2 x ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } , \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } { \frac { x \left| x \right| } { 2 x ^ { 2 } } } = - { \frac { 1 } { 2 } } ,极限不存在,故 I _ { \imath } 不存在.
③连续
如果 \operatorname * { l i m } _ { x x _ { 0 } \atop y y _ { 0 } } f ( x , y ) = f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，则称函数f(x，y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处连续，如果f(x，y)在区域D上每一点处都连续，则称f(x，y)在区域D上连续.
注如果多元函数不连续，《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》未要求讨论间断点类型
一元函数连续： \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } f ( x ) = f ( x _ { 0 } )
二元函数连续： \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )
一元函数间断：
二元函数间断：
f ( x , y ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { { \sqrt [ { 3 } ] { 1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } } - 1 } , } & { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \neq 0 , } \\ { { \mathrm { e } } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 } & { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 } \end{array} \right.
为连续函数，则a=
应填 - { \frac { 1 } { 3 } }
二元初等函数在定义区域上是连续的．
\operatorname * { l i m } _ { x \to 0 } \frac { \sqrt [ 3 ] { 1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } - 1 } { \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \atop { y \to 0 } } \frac { 1 } { \left[ \begin{array} { l l } { x \to 0 } & { \frac { 1 } { 3 } [ - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ] } \\ { \frac { 1 } { y \to 0 } } & { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end{array} \right. } = - \frac { 1 } { 3 } \ .
故 a = - { \frac { 1 } { 3 } } .类比：lim \frac { \sqrt [ 3 ] { 1 - u } - 1 } { \mathrm { e } ^ { u } - 1 } = - \frac { 1 } { 3 }
利用等价无穷 \begin{array} { r } { \iota \colon ( x 0 ) \{ \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { x } - 1 \sim x , } \\ { ( 1 + x ) ^ { a } - 1 \sim a x } \end{array} } \end{array}
4偏导数
一元导数→变化率， xx+△x x
方向导数一某方向上的变化率
数学一
(1)定义.
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某邻域内有定义，如果极限
\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } ) - f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } { \Delta x } }
存在，则称此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处对x的偏导数[见图13-4(a)]，记作
徽分：d； \left. { \frac { \partial z } { \partial x } } \right| _ { x = x _ { 0 } } , \left. { \frac { \partial f } { \partial x } } \right| _ { x = x _ { 0 } } , \left. z _ { x } ^ { \prime } \right| _ { x = x _ { 0 } \atop y = y _ { 0 } } 偏徽分：a 或 f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )
即
f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } ) - f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } { \Delta x } } .
类似地，函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处对y的偏导数[见图13-4(b)]定义为
f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta y \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } + \Delta y ) - f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } { \Delta y } } .
(a)
图13-4
(b)
(2)如果 z = f ( x , y ) 在区域D上的每一点 ( x , y ) 处都有偏导数，一般来说，它们仍是x，y的函数，则称为 f ( x , y ) 的偏导函数，简称偏导数，记作
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial z } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial x } , f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) , \frac { \partial z } { \partial y } , \frac { \partial f } { \partial y } , f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) } . } \\ & { } & { \downarrow \qquad } \\ & { } & { = \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial x } } \end{array}
(3)几何意义：
设有二元函数 z = f ( x , y ) ，且 z _ { 0 } = f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，则 f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 在几何上表示曲线 \left\{ { \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = y _ { 0 } } \end{array} } \right. 在点( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处的切线对x轴的斜率.同理， f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 在几何上表示曲线 \left\{ \begin{array} { l l } { z = f ( x , y ) } \\ { x = x _ { 0 } } \end{array} \right. 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处的切线对y轴的斜率.
(4)高阶偏导数.
一元函数的高阶导：二阶，三阶，…，n阶；二元函数的高阶导：组合
如果二 \widehat { \overline { { \mathcal { X } } } } 函数 z = f ( x , y ) 的偏导数 f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) 和 f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) 仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z = f ( x , y ) 的二阶偏导数，记作
\begin{array} { r l } & { \frac { \widehat { \partial } ^ { 2 } z } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { \widehat { \partial } } { \partial x } \bigg [ \frac { \widehat { \partial } z } { \partial x } \bigg ] = f _ { x x } ^ { * } ( x , y ) = z _ { y } ^ { * } , } \\ & { \frac { \widehat { \partial } ^ { 2 } z } { \partial x \widehat { \partial } y } = \frac { \widehat { \partial } } { \partial y } \bigg [ \frac { \widehat { \partial } z } { \partial x } \bigg ] = f _ { y y } ^ { * } ( x , y ) = z _ { y y } ^ { * } , \bigg ] = \widehat { \eta } \widehat { \eta } \widehat { \eta } + ( \widehat { \eta } _ { 1 } - \widehat { \eta } \ast ) } \\ & { \frac { \widehat { \partial } ^ { 2 } z } { \partial y ^ { 2 } } = \frac { \widehat { \partial } } { \partial y } \bigg [ \frac { \widehat { \partial } z } { \partial y } \bigg ] = f _ { y y } ^ { * } ( x , y ) = z _ { y y } ^ { * } , \bigg ) = \widehat { \eta } \widehat { \eta } \widehat { \eta } \widehat { \eta } + \widehat { \eta } \widehat { \eta } \widehat { \eta } + ( \widehat { \xi } , \widehat { \eta } \ast ) } \\ & { \frac { \widehat { \partial } ^ { 2 } z } { \partial y \widehat { \partial } z } = \frac { \widehat { \partial } } { \partial x } \bigg [ \frac { \partial z } { \partial y } \bigg ] = f _ { y x } ^ { * } ( x , y ) = z _ { y z } ^ { * } , } \end{array}
其中，称 \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } z } { { \hat { \sigma } } { \hat { x } } { \hat { \sigma } } y } 与 \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } z } { { \hat { \sigma } } y { \hat { \sigma } } x } 为二阶混合偏导数.类似地，可以定义n(n≥3)阶偏导数.
(5)如果函数 z = f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数 \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } z } { { \hat { \sigma } } { \hat { x } } { \hat { \sigma } } y } 及 \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } z } { { \hat { \sigma } } y { \hat { \sigma } } x } 都在区域D内连续，则在区域D内\frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } y \hat { \sigma } x } ，即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.
例13.3 已知函数 f ( x , y ) = \ln \left( y + \left| x \sin y \right| \right) ，则（）.
(A) \left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } 不存在， \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 0 , 1 ) } 存在 (B) \left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } 存在， \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 0 , 1 } 不存在
\left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } , \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 0 , 1 ) }
\left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } , \left. \frac { \hat { \sigma } f } { \hat { \sigma } y } \right| _ { ( 0 , }
→→u.分析 { \frac { \partial f } { \partial x } } { \biggl | } _ { ( 0 , 1 ) } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( 0 + \Delta x , 1 ) - f ( 0 , 1 ) } { \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 + [ \Delta x \bullet \sinh ] ) - 0 } { \Delta x } } 利用当x→0时， \ln ( 1 + x ) \sim x { \frac { \partial f } { \partial y } } \Bigg \vert _ { ( 0 , 1 ) } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta y \to 0 } { \frac { f ( 0 , 1 + \Delta y ) - f ( 0 , 1 ) } { \Delta y } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta y \to 0 } { \frac { \ln ( 1 + \Delta y ) - 0 } { \Delta y } }
解 应选(A).
因此
因为 f ( x , y ) = \ln \left( y + \left| x \sin y \right| \right) ，所以f ( 0 , 1 ) = \ln ( 1 + 0 ) = 0 , f ( x , 1 ) = \ln \left( 1 + \left| x \sin 1 \right| \right) , f ( 0 , y ) = \ln ( y + 0 ) = \ln y \left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { f ( x , 1 ) - f ( 0 , 1 ) } { x - 0 } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { \ln ( 1 + \left| x \sin 1 \right| ) } { x } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { \left| x \sin 1 \right| } { x } , \left. { \frac { \partial f } { \partial y } } \right| _ { ( 0 , 1 ) } = \operatorname * { l i m } _ { y \to 1 } { \frac { f ( 0 , y ) - f ( 0 , 1 ) } { y - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { y \to 1 } { \frac { \ln y } { y - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { y \to 1 } { \frac { 1 } { y } } = 1 \operatorname * { l i m } _ { y \to 1 } - 1
所以 \left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } 不存在， \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 0 , 1 ) } 存在．
→增量式x+△x=x lim（x，y0）-f（x，y）函数差值式x→x0 x-x0同理， f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta y \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } + \Delta y ) - f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } { \Delta y } } { \frac { y _ { 0 } + \Delta y = y } { \frac { y _ { 0 } + y _ { 0 } } { y - y _ { 0 } } } } { \frac { f ( x _ { 0 } , y ) - f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } { y - y _ { 0 } } }
例13.4 设函数f(t)连续，令 F ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x - y } ( x - y - t ) f ( t ) \mathrm { d } t ，则（）.（A) \frac { \partial F } { \partial x } = \frac { \partial F } { \partial y } , \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } (B) \frac { \partial F } { \partial x } = \frac { \partial F } { \partial y } , \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } } = - \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } (C） \frac { \partial F } { \partial x } = - \frac { \partial F } { \partial y } , \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } (D) { \frac { \partial F } { \partial x } } = - { \frac { \partial F } { \partial y } } , { \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } } } = - { \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } }
解 应选(C).
由题知， F ( x , y ) = x { \int _ { 0 } ^ { x - y } { f ( t ) \mathrm { d } t } } - y { \int _ { 0 } ^ { x - y } { f ( t ) \mathrm { d } t } } - \int _ { 0 } ^ { x - y } t f ( t ) \mathrm { d } t ，则
视y为常数
{ \frac { \partial F } { \partial x } } = \int _ { 0 } ^ { x - y } f ( t ) \mathrm { d } t + x f ( x - y ) - y f ( x - y ) - ( x - y ) f ( x - y ) = \int _ { 0 } ^ { x - y } f ( t ) \mathrm { d } t \ ,
\frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } F } { { \hat { \sigma } } x ^ { 2 } } = f ( x - y ) ,
视x为常数
\frac { \partial F } { \partial y } = - x f ( x - y ) - \int _ { 0 } ^ { x - y } f ( t ) \mathrm { d } t + y f ( x - y ) + ( x - y ) f ( x - y ) = - \int _ { 0 } ^ { x - y } f ( t ) \mathrm { d } t \ : ,
\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } = f ( x - y ) ,
所以 \frac { \partial F } { \partial x } = - \frac { \partial F } { \partial y } , \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }
不可拆兮，换元求导型
例13.5 设函数 f ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x y } \mathrm { e } ^ { - x t ^ { 2 } } \mathrm { d } t ，则 f _ { x } ^ { \prime } ( 1 , + \infty ) \ =
解 应填 - { \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } }
edx =1.
当 x > 0 时，
f ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x y } \mathrm { e } ^ { - x t ^ { 2 } } \mathrm { d } t { \frac { \displaystyle { \widehat { \ast } } { \frac { u } { \sqrt { x } } } = t } { u = { \sqrt { x } } t } } { \frac { 1 } { \sqrt { x } } } \int _ { 0 } ^ { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y } \mathrm { e } ^ { - u ^ { 2 } } \mathrm { d } u \ ,
于是 f ( x , \mathbf { \alpha } , + \infty ) = \operatorname* { l i m } _ { y \to + \infty } f ( x , y ) = \frac { 1 } { \sqrt { x } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathbf { e } ^ { - u ^ { 2 } } \mathrm { d } u = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { x } } ，故
f _ { x } ^ { \prime } ( 1 , + \infty ) = { \frac { \sqrt \pi } { 2 } } { \Bigg ( } { \frac { 1 } { \sqrt x } } { \Bigg ) } ^ { \prime } { \Bigg | } _ { x = 1 } = { \frac { \sqrt \pi } { 2 } } { \Bigg ( } - { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } { \frac { 1 } { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \Bigg | } _ { x = 1 } = - { \frac { \sqrt \pi } { 4 } } \ .
注此题先计算 f ( x , + \infty ) ，再计算 f _ { x } ^ { \prime } ( 1 , + \infty ) 是简便的
\frac { f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) } { \downarrow }
若先计算 ，再代入 ( 1 , + \infty ) ，过程如下：
将y当作常数
f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { \frac { 3 } { 2 } } \cdot \int _ { 0 } ^ { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y } \mathrm { e } ^ { - u ^ { 2 } } \mathrm { d } u + \frac { 1 } { \sqrt { x } } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 3 } y ^ { 2 } } \cdot \frac { 3 } { 2 } \sqrt { x } y \stackrel { - } { , }
前面求导，后面不动+前面不动，后面求导
于是 f _ { x } ^ { \prime } ( 1 , + \infty ) = - \frac { 1 } { 2 } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \mathrm { e } ^ { - u ^ { 2 } } \mathrm { d } u } } = - \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } 略复杂
f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = \left\{ { \begin{array} { l } { f _ { x } ^ { \prime } ( x , y _ { 0 } ) { \big | } _ { x = x _ { 0 } } } \\ { f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) { \big | } _ { y = y _ { 0 } } ^ { x = x _ { 0 } } . } \end{array} } \right. 先代值再求导两种方式计算 f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 得先求导再代值
例13.6 设函数f(x，y)可微， f ( 0 , 0 ) = 0 , \frac { \hat { \sigma } f } { \hat { \sigma } x } = - f ( x , y ) , \frac { \hat { \sigma } f } { \hat { \sigma } y } = { \tt e } ^ { - x } \cos y ，求 f ( x , y )
分析反问题：告诉 f _ { x } ^ { \prime } , f _ { y } ^ { \prime } ，反求f(x，y)，>保证后面表达式运算有意义
例如在一元函数中 F ^ { \prime } ( x ) = { \frac { \mathrm { d } [ F ( x ) ] } { \mathrm { d } x } } = \cos x ，则 F ( x ) = \int \cos { x } \mathrm { d } x = \sin { x } + C
\left\{ \begin{array} { l l } { \varphi ^ { \prime } ( x ) = \varphi ( x ) \Rightarrow \varphi ( x ) = C { \mathrm { e } } ^ { x } , } \\ { \varphi ^ { \prime } ( x ) = - \varphi ( x ) \Rightarrow \varphi ( x ) = C { \mathrm { e } } ^ { - x } . } \end{array} \right. C为伍意常数
视为关于y的常数
解 由 { \frac { \partial f } { \partial y } } = \mathbf { e } ^ { - x } \cos y ，得 f ( x , y ) = \mathbf { e } ^ { - x } \sin y + \underline { { \varphi ( x ) } } 于是 { \frac { \partial f } { \partial x } } = - \mathbf { e } ^ { - x } \sin y + \varphi ^ { \prime } ( x )
又 \cdot \frac { \partial f } { \partial x } = - f ( x , y ) ，故
利用徽分方程 { \frac { \mathrm { d } [ \varphi ( x ) ] } { \mathrm { d } x } } = - \varphi ( x ) 则
- { \mathrm e } ^ { - x } \sin y + \varphi ^ { \prime } ( x ) = - { \mathrm e } ^ { - x } \sin y - \varphi ( x ) ,
于是有 \varphi ^ { \prime } ( x ) + \varphi ( x ) = 0 ，解得 \varphi ( x ) = C { \mathsf { e } } ^ { - x } ，即 f ( x , y ) = \mathbf { e } ^ { - x } \sin y + C \mathbf { e } ^ { - x }
由f(0,0)=0，得C=0，所以 f ( x , y ) = \mathbf { e } ^ { - x } \sin y
\begin{array} { r l r } { { \int \frac { 1 } { \varphi ( x ) } \mathrm { d } [ \varphi ( x ) ] = - \int \mathrm { d } x } } \\ & { } & \\ & { \Rightarrow \ln \varphi ( x ) = - x + \ln C _ { 0 } } \\ & { } & \\ & { } & { \Rightarrow \varphi ( x ) = C _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - x } } \\ & { } & { \Rightarrow \varphi ( x ) = \underbrace { [ \pm C _ { 0 } ] \mathrm { e } ^ { - x } } _ { \in \mathcal { C } } \quad \quad \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } \mathrm { d } \mathrm { ~ } \mathrm { \dag } C _ { 0 } = C } \\ & { } & \\ & { \Rightarrow \varphi ( x ) = C \mathrm { e } ^ { - x } } \end{array}
注本题进一步可求f(x，x)在[0，+α）的部分与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体→=esinx体积，步骤如下： y
\begin{array} { l } { { \displaystyle { V = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \pi [ f ( x , x ) ] ^ { 2 } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \pi \mathrm { e } ^ { - 2 x } \sin ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \pi \mathrm { e } ^ { - 2 x } \frac { 1 - \cos { 2 x } } { 2 } \mathrm { d } x } } } \\ { \displaystyle { \phantom { \frac { 1 - \pi } { 2 } } } } \\ { { \phantom { \frac { 1 - \pi } { 2 } } } } \\ { { \phantom { \frac { 1 - \pi } { 2 } } \frac { 1 + \infty } { 2 } ( 1 - \cos { 2 x } ) \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - 2 x } \mathrm { d } x - \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - 2 x } \cos { 2 x } \mathrm { d } x } } \\ { { \phantom { \frac { 1 - \pi } { 2 } } } } \\ { { \phantom { \frac { 1 - \pi } { 2 } } \frac { \frac { \pi } { 4 } } { \mathrm { d } \mathrm { ~ } } - 2 x \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi } { 4 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - { u } } \cos { u } \mathrm { d } u ~ , } } \end{array}
其中
\begin{array} { r l } & { | { \bf ( e ^ { - \kappa } ) } ^ { \prime } ( \cos u u ) ^ { \prime } | ^ { \kappa = } } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } { { \bf e } ^ { - \kappa } \cos u \mathrm { d } u } = \frac { | { \bf e } ^ { - \kappa } \begin{array} { c } { \cos u u } \\ { ( - 1 ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \end{array} } { ( - 1 ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } | _ { 0 } ^ { \kappa } } \\ & { \qquad \quad = \frac { 1 } { 2 } ( - { \bf e } ^ { - \kappa } \cos u + { \bf e } ^ { - \kappa } \sin u ) \Bigg | _ { 0 } ^ { \kappa = } } \\ & { \qquad \quad = \frac { 1 } { 2 } [ 0 - ( - 1 ) ] = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
故
V = \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 2 } = \frac { \pi } { 8 } \cdot
5可微
先看一个引例.如图13-5所示，设矩形的长和宽分别为x和y，则此矩形的面积为 S = x y 若x，y分别增长△x，△y，则该矩形面积的增量为
\begin{array} { c } { S _ { x } ^ { \prime } = y \qquad S _ { y } ^ { \prime } = x } \\ { \displaystyle et { } { ' } \sum \displaylimits _ { \Delta S = ( x + \Delta x ) ( y + \Delta y ) - x y = \underbrace { [ y ] \Delta x + [ \vec { x } \Delta y + \Delta x \Delta y . } _ { \bigvee } + \Delta x \Delta y . } } \\ { \displaystyle A \Delta x + B \Delta y \ , \ \notin \Delta x , \Delta y \not - \not \cap \not \Delta x \not \not \in \widehat { \sigma } . } \end{array}
上式右端由两部分组成：一部分是 y \Delta x + x \Delta y ，它是关于△x，Δy的线性函数；另一部分是 \left[ \overline { { \Delta x \Delta y } } \right] ，因为
\begin{array} { r l } & { \quad | a b | \leqslant \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } \leqslant } \\ & { \quad ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y ) \quad \quad \quad \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { | \Delta x \Delta y | } { \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } } } \leqslant \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } } { 2 } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } } } { 2 } = 0 , } \\ & { \quad \quad \displaystyle \sum _ { k \to 0 } \quad \frac { | x \Delta z \Delta z | } { \Delta y \to 0 } \frac { | \Delta z \Delta z | } { \left[ \Delta z \right] ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } } \stackrel { \ll } { \delta } \underset { \Delta y \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } } { 2 } = \Delta z \Delta } \end{array}
所以当 \Delta x \to 0 , \Delta y \to 0 时， \Delta x \Delta y 是比 \rho = \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } } 高阶的无穷小量，即
图13-5
\Delta S = y \Delta x + x \Delta y + o ( \rho ) ( \rho \to 0 ) .
y \Delta x + x \Delta y 是△S的主要部分，o(p)是△S与主要部分 y \Delta x + x \Delta y 之间的误差，称 y \Delta x + x \Delta y 为函数S = x y 在点(x，y)处的全微分.
(1)定义.
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { A } } \not \to { \mathbb { E } } \to { \mathbb { \hat { Q } } } \not \to { \mathbb { E } } y = f ( x ) _ { \frac { 1 } { \hat { \sigma } \not \ni ( \not \equiv ) } } } \\ & { \Delta y = f ( x + \Delta x ) - f ( x ) \frac { 1 } { i { \mathbb { Z } } } d \cdot \Delta x + o ( \Delta x ) , } \\ & { i { \mathbb { Z } } \not \to d y = A \cdot \Delta x = A { \mathrm { d } } x , A = f ^ { \prime } ( x ) } \end{array}
设函数 z = f ( x , y ) 在点(x，y)的某邻域内有定义，若z=f(x，y)在该点的全增量
\Delta z = f ( x + \Delta x , \ y + \Delta y ) - f ( x , \ y )
可表示为
\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o ( \rho ) \ ,
其中A,B仅与点(x，y)有关，而与△x,△y无关； \begin{array} { r } { \rho = \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } } } \end{array} ，且当 \Delta x \to 0 , \Delta y \to 0 时， o ( \rho ) 为 \rho 的高阶无穷小，则称函数 z = f ( x , y ) 在点(x，y)处可微，并称 A \Delta x + B \Delta y 为函数 z = f ( x , y ) 在点(x，y)处的全微分，记为
\mathrm { d } z = A \Delta x + B \Delta y = A \mathrm { d } x + B \mathrm { d } y \ .
(2)可微的必要条件.
若函数 z = f ( x , y ) 在点(x，y)处可微，则该函数在该点处的偏导数必存在，且
A = \frac { \hat { o } z } { \hat { \sigma } x } , B = \frac { \hat { o } z } { \hat { \sigma } y } .
由此可得，若函数 z = f ( x , y ) 在点(x，y)处可微，则全微分可记为 \mathrm { d } z = \frac { \partial z } { \partial x } \mathrm { d } x + \frac { \partial z } { \partial y } \mathrm { d } y
注（1）与一元函数的区别.①一元函数：可微可导；②二元函数：可微→偏导数存在
若 \Delta y = f ( x + \Delta x ) - f ( x ) , y 可微时，
\Delta y = A \bullet \Delta x + o ( \Delta x ) \Rightarrow \operatorname * { l i m } _ { \Delta x 0 } { \frac { \Delta y } { \Delta x } } = \operatorname * { l i m } _ { \Delta x 0 } { \frac { A \bullet \Delta x + o ( \Delta x ) } { \Delta x } } = A \ .
反之，若f(x)可导，即 \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { \Delta x } } = A \Rightarrow { \frac { \Delta y } { \Delta x } } = A + \alpha \Rightarrow \Delta y = A \bullet \Delta x + o ( \Delta x ) 记 \mathrm { d } y = A \Delta x = A \mathrm { d } x
②二元函数：z=f（x，y）.
\Delta z = f ( x + \Delta x , y + \Delta y ) - f ( x , y ) , z ^ { \mathrm { ~ m ~ } }
\Delta z = A \bullet \Delta x + B \bullet \Delta y + o ( \rho ) \mathrm { d } z = \frac { \partial z } { \partial x } \cdot \mathrm { d } x + \frac { \partial z } { \partial y } \cdot \mathrm { d } y
(3)可微的充分条件.
\begin{array} { r l } & { f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) \hat { \mathcal { M } } \hat { \mathcal { Z } } \hat { \mathcal { Z } } } \\ & { f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) \hat { \mathcal { M } } \hat { \mathcal { Z } } \hat { \mathcal { Z } } } \end{array}
若函数 z = f ( x , y ) 在点(x，y)处的偏导数存在且连续，则该函数在点(x，y)处可微.
\mathrm { d } f = \frac { \partial f } { \partial x } \mathrm { d } x + \frac { \partial f } { \partial y } \mathrm { d } y = 0
\begin{array} { l } { { \stackrel { { \displaystyle \operatorname* { l i m } } } { } _ { ( \Delta x , \Delta y ) ( 0 , 0 ) } f _ { x } ^ { \prime } ( x + \Delta x , y + \Delta y ) = f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) } } \\ { { \stackrel { { \displaystyle \operatorname* { l i m } } } { } _ { ( \Delta x , \Delta y ) ( 0 , 0 ) } f _ { y } ^ { \prime } ( x + \Delta x , y + \Delta y ) = f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) } } \end{array}
(1)在区域D上，若d[f(x,y)]=0或 \frac { \partial f } { \partial x } = \frac { \partial f } { \partial y } = 0 ，则f(x,y)=C(常数）， ( x , y ) \in D
（2）判别函数z=f（x，y）在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处的偏导数是否连续，步骤如下：
①用定义法求 f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )
②用公式法求 f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x , y )
③计算 \begin{array} { l } { \underset { x x _ { 0 } } { \operatorname* { l i m } } f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) , \underset { x x _ { 0 } } { \operatorname* { l i m } } f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) } \\ { \quad { y y } _ { 0 } } \end{array}
看樓 \begin{array} { l } { \underset { x x _ { 0 } } { \mathrm { ~ ! } } f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , \underset { x x _ { 0 } } { \mathrm { ~ l i m ~ } } f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) = f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ { \underset { y y _ { 0 } } { \mathrm { ~ ! } } \qquad \quad \mathrm { ~ } } \end{array} 是否成立.若成立，则z=f(x，y）在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )
处的偏导数是连续的，
(3)一元函数和多元函数在极限存在、连续、可导、可微的相互关系上，有相同之处，更有相异之处，如图13-6所示（记号“→”表示可推出，“→”表示不一定推出）：
图13-6
(4)可微的判别步骤.
判别函数z=f(x，y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处是否可微，步骤如下：
①写出全增量 \Delta z = f ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y ) - f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ；
②写出线性增量A△x+B△y，其中 A = f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , B = f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )
③作极限 \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta z - ( A \Delta x + B \Delta y ) } { \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } } } } ,若该极限等于0,则z=f(x，y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处可微,否则,就不可微.
例13.7 已知 ( a x y ^ { 3 } - y ^ { 2 } \cos x ) \mathrm { d } x + ( 1 + b y \sin x + 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y 为某一函数u(x，y)的全微分，则(a，b）=（ ）.(A) (2,2) (B) (2,-2) (C) (-2,2) (D) (-2,-2)
分析 \mathrm { d } u = \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } x } \mathrm { d } x + \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } y }
由初等函数在定义域上一定连续，知偏导函数连续 \Rightarrow u _ { x y } ^ { \prime \prime } = u _ { y x } ^ { \prime \prime }
解 应选(B).
依题意，有
\frac { \partial u } { \partial x } = a x y ^ { 3 } - y ^ { 2 } \cos x , \frac { \partial u } { \partial y } = 1 + b y \sin x + 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } ,
则
\frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } u } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } = 3 a x y ^ { 2 } - 2 y \cos x , \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } u } { \hat { \sigma } y \hat { \sigma } x } = b y \cos x + 6 x y ^ { 2 } .
显然 \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } u } { { \hat { \sigma } } { \hat { x } } { \hat { \sigma } } y } 和 \frac { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } u } { { \hat { \sigma } } y { \hat { \sigma } } x } 连续，于是 \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } u } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } u } { \hat { \sigma } y \hat { \sigma } x } ，从而a=2,b=-2.
例13.8 设 z _ { 1 } = \lvert x y \rvert , z _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { x \lvert y \rvert } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , ( x , y ) \neq ( 0 , 0 ) , } \\ { 0 , \ } \end{array} \right. 则（ ）.
(A) z _ { 1 } 在点(0,0)处不可微， z _ { 2 } 在点(0,0)处不可微
(B) z _ { 1 } 在点(0,0)处不可微， z _ { 2 } 在点(0,0)处可微
(C) z _ { 1 } 在点(0,0)处可微， z _ { 2 } 在点(0,0)处不可微
(D) z _ { 1 } 在点(0,0)处可微， z _ { 2 } 在点(0,0)处可微
分析
\Delta z _ { 1 } = z _ { 1 } ( 0 + \Delta x , 0 + \Delta y ) - z _ { 1 } ( 0 , 0 ) = \left| \Delta x \Delta y \right| ,
\mathrm { d } z _ { 1 } = z _ { 1 x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) \bullet \Delta x + z _ { 1 y } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) \bullet \Delta y ,
其中
z _ { 1 x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { z _ { 1 } ( 0 + \Delta x , 0 ) - z _ { 1 } ( 0 , 0 ) } { \Delta x } = 0 ,
同理
z _ { 1 y } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = 0 .
\Delta z _ { 2 } = \frac { \Delta x \cdot \left| \Delta y \right| } { \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } } } ,
\mathrm { d } z _ { 2 } = z _ { 2 x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) \Delta x + z _ { 2 y } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) \bullet \Delta y ,
其中
z _ { 2 x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { \Delta x 0 } \frac { z _ { 2 } ( 0 + \Delta x , 0 ) - z _ { 2 } ( 0 , 0 ) } { \Delta x } = 0 ,
同理
z _ { 2 y } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = 0 \ .
应选(C).
\left. \frac { \hat { \sigma } z _ { 1 } } { \hat { \sigma } x } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = \operatorname * { l i m } _ { x \to 0 } \frac { z _ { 1 } ( x , 0 ) - z _ { 1 } ( 0 , 0 ) } { x - 0 } = 0 ,
\left. \frac { \hat { \sigma } z _ { 1 } } { \hat { \sigma } y } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = \operatorname * { l i m } _ { y \to 0 } { \frac { z _ { 1 } ( 0 , y ) - z _ { 1 } ( 0 , 0 ) } { y - 0 } } = 0 ,
\frac { z _ { 1 } ( x , y ) - z _ { 1 } ( 0 , 0 ) - \frac { \hat { \sigma } z _ { 1 } } { \hat { \sigma } x } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } \bullet x - \frac { \hat { \sigma } z _ { 1 } } { \hat { \sigma } y } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } \bullet y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = \frac { \left| x y \right| } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } ,
由例13.1结合可微的判别步骤可知， z _ { 1 } 在点(0,0)处可微.
\frac { \hat { \sigma } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } x } | _ { ( 0 , 0 ) } = \operatorname * { l i m } _ { x 0 } \frac { z _ { 2 } ( x , 0 ) - z _ { 2 } ( 0 , 0 ) } { x - 0 } = 0 ,
\left. \frac { \hat { \sigma } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } y } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = \operatorname * { l i m } _ { y \to 0 } { \frac { z _ { 2 } ( 0 , y ) - z _ { 2 } ( 0 , 0 ) } { y - 0 } } = 0 ,
\frac { z _ { 2 } ( x , y ) - z _ { 2 } ( 0 , 0 ) - \frac { \hat { \sigma } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } x } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } \cdot x - \frac { \hat { \sigma } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } y } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } \cdot y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = \frac { x \big | y \big | } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ,
由例13.1结合可微的判别步骤可知， z _ { 2 } 在点(0,0)处不可微.
类比一元函数：y=fg(x)]
》先对中间变量求导
多元函数微分法则
=dg
dx dgdx
再乘中间变量对自变量求导
链式求导规则
设 z = f ( u , \nu ) , u = \varphi ( x , y ) , \nu = \dot { \psi } ( x , y ) ，则 z = f [ \varphi ( x , y ) , \psi ( x , y ) ] ，且
\frac { \partial z } { \partial x } = \frac { \partial z } { \partial u } \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial z } { \partial \nu } \frac { \partial \nu } { \partial x } , \frac { \partial z } { \partial y } = \frac { \partial z } { \partial u } \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial z } { \partial \nu } \frac { \partial \nu } { \partial y } .
（1）设 \frac { \mathrm { d } \widehat { z } } { \mathrm { d } t } = \frac { \partial z } { \partial u } \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } + \frac { \partial z } { \partial \nu } \frac { \mathrm { d } \nu } { \mathrm { d } t } V$z = f ( u , \nu ) , u = \varphi ( t ) , \nu = \psi ( t )$ z = f [ \varphi ( t ) , \psi ( t ) ] 且 称为全导数
复合结构图
“祖孙三代，爷爷对每个孩子的爱是不变的”
(2)无论z对哪个变量求导，也无论z已经求了几阶导，求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构
对第1个位置求导对第2个位置求导
例13.9 设 z = f \big ( \mathbf { e } ^ { x } \sin y , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \big ) ，其中f具有二阶连续偏导数， \frac { \uparrow } { \substack { | f _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = 1 | } } , \frac { \uparrow } { \substack { | f _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = - 1 | } } 1
则 \left. \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = ( \mathbf { \Sigma } )
复合结构图
(B)1
(C)2
(D)-1
泣：没有复合函数的情况下求导，如
z=f(x，y)的偏导数可写成 f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x , y )
如果是复合函数，一般用1，2来表示，
应选 (B).
\frac { \partial z } { \partial u } = z _ { u } ^ { \prime } = z _ { 1 } ^ { \prime }
\frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } = \mathbf { e } ^ { x } \sin y f _ { 1 } ^ { \prime } + 2 x f _ { 2 } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \hat { \boldsymbol { \sigma } } ^ { 2 } } { \partial x \partial y } = \frac { \partial \left( \frac { \partial \hat { \boldsymbol { \sigma } } } { \partial x } \right) } { \partial y } } \\ & { \quad = \frac { \partial \left( f _ { 1 } ^ { \prime } \star \mathbf { e } ^ { * } \mathbf { s } \cdot \mathbf { i } \mathbf { n } y \right) } { \partial y } + \frac { \partial \left( f _ { 2 } ^ { \prime } \star 2 x \right) } { \partial y } } \\ & { \quad = \frac { \partial f _ { 1 } ^ { \prime } } { \partial y } \cdot \epsilon \dot { \mathbf { s } } \mathbf { i } \mathbf { n } y + f _ { 1 } ^ { \prime } \star \mathbf { e } ^ { * } \mathbf { s } \cdot \mathbf { o } y + 2 x \cdot \frac { \partial f _ { 2 } ^ { \prime } } { \partial y } } \\ & { \quad = \frac { \partial f _ { 1 } ^ { \prime } } { \partial y } \cdot \epsilon \dot { \mathbf { s } } \mathbf { i } \mathbf { n } y + f _ { 1 } ^ { \prime } \star \mathbf { e } ^ { * } \mathbf { c } \mathbf { s } \cdot \mathbf { o } y + 2 x \cdot \frac { \partial f _ { 2 } ^ { \prime } } { \partial y } } \\ & { \quad = \left( f _ { 1 } ^ { \prime } \star \mathbf { e } ^ { * } \cdot \mathbf { o } \mathbf { s } y + f _ { 1 } ^ { \prime } \star 2 y \right) \epsilon \dot { \mathbf { s } } \cdot \mathbf { i } \mathbf { n } y + f _ { 1 } ^ { \prime } \star \mathbf { e } \mathbf { s } \cdot \mathbf { o } y + 2 x ( f _ { 2 } ^ { \prime } \star \mathbf { e } ^ { * } \mathbf { s } \cdot \mathbf { o } y + f _ { 2 } ^ { \prime } \star 2 y ) } \\ & \quad = \mathbf { e } ^ { 2 } \times \mathbf { i } \mathbf { n } y \cos y \cdot \mathbf { \boldsymbol { \sigma } } _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \mathbf { e } ^ { * } \left( y \mathbf { s } \mathbf { i } \mathbf { n } y + x \cos y \right) f _ { 1 } ^ { \prime } + 4 x y \cdot \mathbf { \boldsymbol { \sigma } } _ \end{array}
于是 \left. \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = f _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = 1 .
→不能推出 f ( x , y ) = x + y
例13.10 设函数 f ( x , \mathbf { e } ^ { x } ) = x + \mathbf { e } ^ { x } ，且 f _ { x } ^ { ^ { \prime } } ( x , y ) \biggl | _ { y = \mathrm { e } ^ { x } } = 1 + 2 \mathrm { e } ^ { x } ，则 f _ { y } ^ { ' } ( x , y ) \bigg | _ { y = \mathrm { e } ^ { x } }
分析 \frac { \mathrm { d } [ f ( \vec { \mathrm { x } } ) , \stackrel { 2 } { \sf e ^ { x } } ) ] } { \mathrm { d } x } = f _ { 1 } ^ { \prime } ( \vec { \mathrm { x } } ) , \mathrm { e } ^ { x } ) \cdot 1 + f _ { 2 } ^ { \prime } ( x , ·e 1号位置X2号位置
f _ { 1 } ^ { \prime } 只表示对第1个位置求导，与第1个位置是什么无关.如f< x，f表示的是f对 u = x ^ { 2 } 求导．cosx
有时用f表示f'，f表示f.—→但是更多的是用f，f这种记号 f _ { x } ^ { \prime } f _ { y } ^ { \prime }
解 应填-1.
\frac { \mathrm { d } [ f ( x , \ : \mathrm { e } ^ { x } ) ] } { \mathrm { d } x } = f _ { x } ^ { ^ { \prime } } ( x , y ) \Big | _ { y = \mathrm { e } ^ { x } } + f _ { y } ^ { ^ { \prime } } ( x , y ) \Big | _ { y = \mathrm { e } ^ { x } } \cdot \mathrm { e } ^ { x } ,
即
1 + { \mathrm e } ^ { x } = 1 + 2 { \mathrm e } ^ { x } + f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) { \Big | } _ { y = { \mathrm e } ^ { x } } \cdot { \mathrm e } ^ { x } ,
\left. f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) \right| _ { y = e ^ { x } } = - 1 .
事实上， f _ { y } ^ { \prime } ( x , \sqsubseteq ) 是f（x，□）对第二个位置求导，故有
\left. f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) \right| _ { y = \mathrm { e } ^ { x } } = f _ { y } ^ { \prime } ( x , \mathrm { e } ^ { x } ) ,
同理
\left. f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) \right| _ { y = \mathrm { e } ^ { x } } = f _ { x } ^ { \prime } ( x , \mathrm { e } ^ { x } ) ~ .
例13.11 设对任意的x，y有 \left( \frac { \partial f } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial f } { \partial y } \right) ^ { 2 } = 4 ，用变量代换 x = u \nu , y = \frac { u ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } { 2 } 将函数 f ( x , y ) 变换成函数 g ( u , \nu ) ，且满足关系式 a \bigg ( \frac { \partial g } { \partial u } \bigg ) ^ { 2 } - b \bigg ( \frac { \partial g } { \partial \nu } \bigg ) ^ { 2 } = u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ，求a，b. /x复合结构圈
解 g ( u , \nu ) = f \Biggl ( u \nu , \frac { u ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } { 2 } \Biggr ) ，于是
\frac { \partial g } { \partial u } = \lvert \frac { \partial f } { \partial x } \rvert \nu + \lvert \frac { \partial f } { \partial y } \rvert ^ { u } , \frac { \partial g } { \partial \nu } = \lvert \frac { \partial f } { \partial x } \rvert u - \lvert \frac { \partial f } { \partial y } \rvert ^ { \nu } ,
代人到 a \bigg ( \frac { \partial g } { \partial u } \bigg ) ^ { 2 } - b \bigg ( \frac { \partial g } { \partial \nu } \bigg ) ^ { 2 } = u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } 中，整理得
( a v ^ { 2 } - b u ^ { 2 } ) \bigg ( \frac { \partial f } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } + 2 ( a + b ) u \nu \frac { \partial f } { \partial x } \cdot \frac { \partial f } { \partial y } + ( a u ^ { 2 } - b v ^ { 2 } ) \bigg ( \frac { \partial f } { \partial y } \bigg ) ^ { 2 } = u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ,
将 \left( \frac { \partial f } { \partial y } \right) ^ { 2 } = 4 - \left( \frac { \partial f } { \partial x } \right) ^ { 2 } 代入上式，并整理得
( a + b ) ( \nu ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) \left( \frac { \partial f } { \partial x } \right) ^ { 2 } + 2 ( a + b ) u \nu \frac { \partial f } { \partial x } \frac { \partial f } { \partial y } + 4 ( a u ^ { 2 } - b \nu ^ { 2 } ) = u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ,
所以有 a + b = 0 ，且 4 a = 1 , - 4 b = 1 ，于是 a = \frac { 1 } { 4 } , b = - \frac { 1 } { 4 } ．类比一元函数； \frac { \mathrm { d } [ f ( u ) ] } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } [ f ( u ) ] } { \mathrm { d } u } \cdot \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } x } 7
2 全微分形式不变性
由 \frac { \mathrm { d } [ f ( u ) ] } { \mathrm { d } u } { = } \underbrace { f ^ { \prime } ( u ) } _ { \downarrow } 得 \mathrm { d } [ f ( u ) ] = f ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u
不管u是自变量还是中间变量，形式都成立
设 z = f ( u , \nu ) , u = u ( x , y ) , \nu = \nu ( x , y ) ，如果 f ( u , \nu ) , u ( x , y ) , \nu ( x , y ) 分别有连续偏导数，则复合函数z=f(u,v)在(x，y)处的全微分仍可表示为
\mathrm { d } z = \frac { \partial z } { \partial u } \mathrm { d } u + \frac { \partial z } { \partial \nu } \mathrm { d } \nu ,
即无论u,v是自变量还是中间变量，上式总成立.
例13.12 若函数 z = z ( x , y ) 由方程 \mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } + x y z = 1 确定，则 \left. \mathrm { d } z \right| _ { ( 0 , 0 ) } =
分析 令 x + 2 y + 3 z = u , x y z = \nu \Rightarrow \mathrm { e } ^ { u } + \nu = 1 \Rightarrow \mathrm { d } \overline { { ( \mathrm { e } ^ { u } + \nu ) } } = 0 令其为F(u,v)，则 \mathrm { d } F = \frac { \partial F } { \partial u } \mathrm { d } u + \frac { \partial F } { \partial v } dv
解 应填 - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { d } x - \frac { 2 } { 3 } \mathrm { d } y
\mathrm { d } u = \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } x } \mathrm { d } x + \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } y } \mathrm { d } y + \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \quad \mathrm { d } v = \frac { \hat { \sigma } v } { \hat { \sigma } x } \mathrm { d } x + \frac { \overset { v } { \hat { \sigma } } \nu } { \hat { \sigma } y } \mathrm { d } y + \frac { \hat { \sigma } \nu } { \hat { \sigma } z } \mathrm { d } z
先求z(0,0).在原方程中令 x = 0 , y = 0 得 \mathbf { e } ^ { 3 z ( 0 , 0 ) } = 1 ，故 z ( 0 , 0 ) = 0
利用全微分形式不变性，将原方程两端求全微分得
\mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } \mathrm { d } ( x + 2 y + 3 z ) + \mathrm { d } ( x y z ) = 0 \ ,
即
\mathbf { e } ^ { x + 2 y + 3 z } ( \mathrm { d } x + 2 \mathrm { d } y + 3 \mathrm { d } z ) + y z \mathrm { d } x + x z \mathrm { d } y + x y \mathrm { d } z = 0 \ ,
x = 0 , y = 0 , z = 0 可得 \left. \mathrm { d } x + 2 \mathrm { d } y + 3 \mathrm { d } z \right| _ { ( 0 , 0 ) } = 0 ，则
\left. \mathrm { d } z \right| _ { ( 0 , 0 ) } = - \frac 1 3 \mathrm { d } x - \frac 2 3 \mathrm { d } y \ .
③隐函数存在定理（公式法） →提供了求隐函数导数的公式
隐函数存在的条件
隐函数存在定理1对于由方程 F ( x , y ) = 0 确定的隐函数y=f(x)，当 \left\lceil F _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) \neq 0 \right\rceil 时，则有
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) } { F _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) } .
注证明如下：
将y=f（x）代入 F ( x , y ) = 0 F [ x , f ( x ) ] = 0 在这个等式两边对x求导，得 F _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) + F _ { y } ^ { \prime } ( x , \ y ) \bullet { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } = 0 F _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) \neq 0 \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } ( x , \ y ) } { F _ { y } ^ { \prime } ( x , \ y ) }
隐函数存在定理2对于由方程 F ( x , y , z ) = 0 确定的隐函数 z = f ( x , y ) ， 当 \boxed { F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) \neq 0 } 时，则有 隐函数存在的条件
\frac { \partial z } { \partial x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } ( x , y , z ) } { F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) } , \frac { \partial z } { \partial y } = - \frac { F _ { y } ^ { \prime } ( x , y , z ) } { F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) } .
注证明如下：
将z=f(x，y）代入F（x,y，z)=0，得 F [ x , y , f ( x , y ) ] = 0 ，在这个等式两边分别对x和y求偏导数，得 F _ { x } ^ { \prime } ( x , y , z ) + F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) \bullet \frac { \widehat { \partial } z } { \partial x } = 0 , F _ { y } ^ { \prime } ( x , y , z ) + F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) \bullet \frac { \widehat { \partial } z } { \partial y } = 0 因 F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) \neq 0 故
\frac { \partial z } { \partial x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } ( x , \ y , z ) } { F _ { z } ^ { \prime } ( x , \ y , z ) } , \frac { \partial z } { \partial y } = - \frac { F _ { y } ^ { \prime } ( x , \ y , z ) } { F _ { z } ^ { \prime } ( x , \ y , z ) }
例13.13 设有三元方程 x y - z \ln y + e ^ { x z } = 1 ，根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）. >基础阶段把本题掌握即可
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x，y)
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x，y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x，z)
解 应选(D).
F ( x , y , z ) = x y - z \ln y + \mathbf { e } ^ { x z } - 1 ,
则 F _ { x } ^ { \prime } ( x , y , z ) = y + \mathrm { e } ^ { x z } z , F _ { y } ^ { \prime } ( x , y , z ) = x - \frac { z } { y } , F _ { z } ^ { \prime } ( x , y , z ) = - \ln y + \mathrm { e } ^ { x z } x .于是，
F _ { x } ^ { \prime } ( 0 , 1 , 1 ) = 2 \neq 0 , F _ { y } ^ { \prime } ( 0 , 1 , 1 ) = - 1 \neq 0 , F _ { z } ^ { \prime } ( 0 , 1 , 1 ) = 0 .
因此，在点(0,1,1)的某一个邻域 U _ { \imath } 内，存在一个连续且具有连续偏导数的隐函数 \scriptstyle x = x ( y , z ) ；在点(0,1,1)的某一个邻域 U _ { 2 } 内，也存在一个连续且具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) .于是，在邻域U = U _ { 1 } \cap U _ { 2 } 内，就存在两个连续且具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) ，故应选 (D).
注一元情况
若 F ( x , y ) = 0 能确定 y = y ( x ) 需要求 F _ { y } ^ { \prime } \neq 0 否则，若 F _ { y } ^ { \prime } = 0 则可能出现： \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } } { F _ { \nu } ^ { \prime } } \infty ，即一个x对应两个y，不符合函数的定义
该例题为隐函数存在定理的完整叙述
例13.14 设F(x,y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某邻域内有连续的偏导数，且 F ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = 0 ，则F _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \neq 0 是 F ( x , y ) = 0 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某邻域内能确定一个连续函数 y = y ( x ) ，且满足 y _ { 0 } = y ( x _ { 0 } ) 并有连续导数的（ ）.
分析充分性显然，必要性可举出反例.
解 应选(B).
由隐函数存在定理1知，在题设条件下， F _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \neq 0 是方程 F ( x , y ) = 0 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某邻域内能确定一个连续函数 y = y ( x ) ，且满足 y _ { 0 } = y ( x _ { 0 } ) ，并有连续导数的充分条件，但不是必要条件.如反例也可举 F ( x , y ) = ( y - x ) ^ { 2 } .有 F ( 0 , 0 ) = 0 ，且 F _ { y } ^ { \prime } = 2 ( y - x ) ，有 F _ { _ { y } } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) { = } 0 ，但 F ( x , y ) = 0 可以确定隐函数 y = x
例13.15 若函数 z = z ( x , y ) 由方程 \mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } + x y z = 1 确定，则 \left. \mathrm { d } z \right| _ { ( 0 , 0 ) } =
解 应填 - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { d } x - \frac { 2 } { 3 } \mathrm { d } y
在例13.12中，已利用全微分形式不变性做过本题，在此利用公式法再做一遍.
先求z(0,0).在原方程中令x=0,y=0得 \mathbf { e } ^ { 3 z ( 0 , 0 ) } = 1 ，故 z ( 0 , 0 ) = 0
令 F ( x , y , z ) = \mathbf { e } ^ { x + 2 y + 3 z } + x y z - 1 ，则由公式法，知 》公式法求导时，x，y，z是独立鹂，对x求导时，y，z都当作常数；对y和对z求导时同理.
\frac { \partial z } { \partial x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } } { F _ { z } ^ { \prime } } = - \frac { \mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } \bullet 1 + y z } { \mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } \bullet 3 + x y } ,
X F [ x , y , z ( x , y ) ] = 0 ，对x求偏
\frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } = - \frac { F _ { y } ^ { \prime } } { F _ { z } ^ { \prime } } = - \frac { \mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } \bullet 2 + x z } { \mathrm { e } ^ { x + 2 y + 3 z } \bullet 3 + x y } ,
导，有 \frac { \partial F } { \partial x } = F _ { [ x ] } ^ { \prime } \bullet 1 + F _ { [ z ] } ^ { \prime } \bullet \frac { \partial z } { \partial x } = 0 \Rightarrow \frac { \partial z } { \partial x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } } { F _ { z } ^ { \prime } }
第1个位置第3个位置
当 x = 0 , y = 0 , z = 0 时， \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } = - \frac { 1 } { 3 } , \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } = - \frac { 2 } { 3 } ，则
\left. \mathrm { d } z \right| _ { ( 0 , 0 ) } = - \frac 1 3 \mathrm { d } x - \frac 2 3 \mathrm { d } y \ .
例13.16 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 F ( x + z y ^ { - 1 } , y + z x ^ { - 1 } ) = 0 所确定，其中F具有连续偏导数，且 x F _ { 1 } ^ { \prime } + y F _ { 2 } ^ { \prime } \neq 0 ，则 x \frac { \partial z } { \partial x } + y \frac { \partial z } { \partial y } =
分析 将x，y，z当作独立变量
解 应填z-xy.
G ( x , y , z ) = F ( x + z y ^ { - 1 } , y + z x ^ { - 1 } ) ，则由公式法得
\frac { \partial z } { \partial x } = - \frac { G _ { x } ^ { \prime } } { G _ { z } ^ { \prime } } = - \frac { F _ { 1 } ^ { \prime } - \frac { z } { x ^ { 2 } } F _ { 2 } ^ { \prime } } { \displaystyle \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } , \frac { \partial z } { \partial y } = - \frac { G _ { y } ^ { \prime } } { G _ { z } ^ { \prime } } = - \frac { - \displaystyle \frac { z } { y ^ { 2 } } F _ { 1 } ^ { \prime } + F _ { 2 } ^ { \prime } } { \displaystyle \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } ,
所以
\begin{array} { r } { x \frac { \hat { \sigma } \hat { z } } { \hat { \omega } x } + y \frac { \hat { Q } z } { \hat { \omega } y } = \frac { \left( - x F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { z } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } \right) + \left( \frac { z } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } - y F _ { 2 } ^ { \prime } \right) } { \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ { = \frac { \left( - x ^ { 2 } y + x z \right) F _ { 1 } ^ { \prime } + \left( y z - x y ^ { 2 } \right) F _ { 2 } ^ { \prime } } { x F _ { 1 } ^ { \prime } + y F _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ { = \frac { x F _ { 1 } ^ { \prime } \left( - x y + z \right) + y F _ { 2 } ^ { \prime } \left( z - x y \right) } { x F _ { 1 } ^ { \prime } + y F _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ { = z - x y . } \end{array}
注此题还有以下两种解法，一是复合函数求导法，二是利用全微分形式不变性。
复合函数求导法 在等式 F \left( x + { \frac { z } { y } } , y + { \frac { z } { x } } \right) = 0 两边对x求偏导，并注意到x,y是自变量，z是因变量，有 注意，z是关于𝑥,y的函数，即z=z(x,y)
F _ { 1 } ^ { \prime } \left( 1 + \frac { 1 } { y } \frac { \partial z } { \partial x } \right) + F _ { 2 } ^ { \prime } \left( \frac { x \frac { \partial z } { \partial x } - z } { x ^ { 2 } } \right) = 0 ,
解得 \frac { \partial z } { \partial x } = \frac { - F _ { 1 } ^ { \prime } + \displaystyle \frac { z } { x ^ { 2 } } F _ { 2 } ^ { \prime } } { \displaystyle \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \displaystyle \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } .同理可得 \frac { \partial z } { \partial y } = \frac { \frac { z } { y ^ { 2 } } F _ { 1 } ^ { \prime } - F _ { 2 } ^ { \prime } } { \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } 余下步骤同上
利用全微分形式不变性对方程 F \left( x + { \frac { z } { y } } , y + { \frac { z } { x } } \right) = 0 两边求全微分，利用全微分的形式不变性，有
F _ { 1 } ^ { \prime } \dot { { \mathsf { d } } } \left( x + \frac { z } { y } \right) + F _ { 2 } ^ { \prime } \dot { { \mathsf { d } } } \left( y + \frac { z } { x } \right) = F _ { 1 } ^ { \prime } \left( { \mathsf { d } } x + \frac { y { \mathsf { d } } z - z { \mathsf { d } } y } { y ^ { 2 } } \right) + F _ { 2 } ^ { \prime } \left( { \mathsf { d } } y + \frac { x { \mathsf { d } } z - z { \mathsf { d } } x } { x ^ { 2 } } \right) = 0 ,
解得
\mathrm { d } z = \frac { - F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { z } { x ^ { 2 } } F _ { 2 } ^ { \prime } } { \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } \mathrm { d } x + \frac { \frac { z } { y ^ { 2 } } F _ { 1 } ^ { \prime } - F _ { 2 } ^ { \prime } } { \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } \mathrm { d } y ,
即有
\frac { \partial z } { \partial x } = \frac { - F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { z } { x ^ { 2 } } F _ { 2 } ^ { \prime } } { \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } } , \frac { \partial z } { \partial y } = \frac { \frac { z } { y ^ { 2 } } F _ { 1 } ^ { \prime } - F _ { 2 } ^ { \prime } } { \frac { 1 } { y } F _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { \prime } }
余下步骤同上
另解：今 u = x + \frac { 2 } { y } , \nu = y + \frac { 2 } { x } ，则F(u,v)=0，有dF=0，即 F _ { 1 } ^ { \prime } \bullet \mathrm { d } u + F _ { 2 } ^ { \prime } \mathrm { d } \nu = 0
\aligned \sqrt { a } \cdot \sin = \frac { \hat { \omega } u } { \hat { \omega } x } \cdot \mathrm { d } x + \frac { \hat { \omega } u } { \hat { \omega } y } \cdot \mathrm { d } y + \frac { \hat { \omega } u } { \hat { \omega } z } \cdot \mathrm { d } z = \mathrm { d } x + \left( - \frac { z } { y ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } y + \frac { 1 } { y } \mathrm { d } z \quad , \quad \mathrm { d } y = \frac { \hat { \omega } \nu } { \hat { \omega } x } \cdot \mathrm { d } x + \frac { \hat { \omega } \nu } { \hat { \omega } y } \cdot \mathrm { d } y + \frac { \hat { \omega } \nu } { \hat { \omega } z } \cdot \mathrm { d } z = \left( - \frac { z } { x ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } x + \mathrm { d } y + \frac { 1 } { x } \mathrm { d } z \mathrm { d } y \cdot \mathrm { d } y \cdot \mathrm { d } z \quad . \endaligned
4二元函数的拉格朗日定理
(1)定理.
设 f ( x , y ) 定义在区域D上，且 { \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial x } } = 0 \ , { \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial y } } = 0 \ , ( x , y ) \in D ，则 f ( x , y ) = C （常数），( x , y ) \in D
注证因区域D是连通集，故其内任意两点 X _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , X _ { n } ( x _ { n } , y _ { n } ) ，必有连续折线将 X _ { 1 } , X _ { n } 连接.不妨记为 X _ { 2 } , X _ { 3 } , \cdots , X _ { n - 1 } 则 { \overline { { X _ { 1 } X _ { 2 } } } } , { \overline { { X _ { 2 } X _ { 3 } } } } , \cdots , { \overline { { X _ { n - 1 } X _ { n } } } } 均在D内.故由二元函数的拉格朗日中值公式，也即（0阶）泰勒公式，有
\begin{array} { r l } & { f ( X _ { 2 } ) - f ( X _ { 1 } ) = f ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) - f ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) } \\ & { = f _ { x } ^ { \prime } [ x _ { 1 } + \theta ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , y _ { 1 } + \theta ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ] ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \ + f _ { y } ^ { \prime } [ x _ { 1 } + \theta ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , y _ { 1 } + \theta ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ] ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) = 0 \ , } \end{array}
即 f ( X _ { 2 } ) = f ( X _ { 1 } ) ，同理可证 f ( X _ { 1 } ) = f ( X _ { 2 } ) = f ( X _ { 3 } ) = \cdots = f ( X _ { n } ) ，即f（x，y）为常数.
(2)注意事项.
设f(x,y)定义在区域D上，当 { \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial x } } = 0 时，无法得到f(x,y)只是y的函数，即不能得到f ( x , y ) = g ( y )
反例：设 f ( x , y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { 2 } , x > 0 , y \geqslant 0 , } \\ { 0 , \nVDash { \mathrm { ~ \# ~ } } 4 { \mathrm { ~ \# ~ } } , } \end{array} \right. } \ ( x , y ) \in D ，其中 \overline { { D } } = \left\{ ( x , y ) \middle | x = 0 , y \geq 0 \right\} D = { { R } ^ { 2 } } - { \overline { { D } } } .显然
f(x,y)在D上有连续偏导数， { \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial x } } = 0 ，但f(1,1)=1，f(-1,1)=0,$f ( x , y )$ 与x有关，不能写f(x,y)=g(y).
事实上，需增加“对D内任意两点 ( x _ { 1 } , y ) , ( x _ { 2 } , y ) , x _ { 1 } < x _ { 2 } ，有\big \{ ( x , y ) \big | x _ { 1 } < x < x _ { 2 } \big \} \subset D ^ { \prime \prime } ，则 f ( x , y ) = g ( y ) 就成立了.因 f ( x _ { 2 } , y ) - f ( x _ { 1 } , y ) = f _ { x } ^ { \prime } [ x _ { 1 } + \theta ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , y ] \bullet ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) = 0 ，即f(x,y)与x无关.
点(0,1)不在D内，固定y，在此线上的拉格朗日中值定理不成立.
所以，设f(x,y)有二阶连续偏导数且 { \frac { \partial f } { \partial y } } \equiv 0 \ \not \approx f ( x , y ) = g ( x ) 或设 u ( r , \theta ) 有二阶连续偏导数且\frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } \theta } \equiv 0 \neq u ( r , \theta ) = g ( r )
初学者往往将一元函数的拉格朗日定理 { } ^ { \ast } f ^ { \prime } ( x ) = 0 \Rightarrow f ( x ) = C ^ { \prime \prime } 简单推广至二元函数，从而出现错误.
多元函数的极值与最值
1概念
若存在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某个邻域，使得在该邻域内任意一点(x，y)处，均有
{ \scriptstyle { \overrightarrow { f } } } ( x , y ) \leqslant f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( { \scriptstyle { \overrightarrow { \bot } } } f ( x , y ) \geqslant f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) )
成立，则称点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为f(x，y)的极大值点(或极小值点）， f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为f(x，y)的极大值(或极小值).极值点并不要求在该点连续或可微.如 Q →极大值点
设点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为f(x，y)定义域内一点，若对于f(x，y)的定义域内任意一点(x，y)，均有
{ \underset { + } { \underbrace { * } } } { \langle { k } ^ { \ell } { } } \rangle _ { f ( x , \ y ) \leqslant f ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } ) ( { \underset { - } { \boxplus } } { \hat { \varepsilon } } f ( x , \ y ) \geqslant f ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } ) ) }
成立，则称 f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为f(x，y)的最大值(或最小值).
例13.17 二元函数f(x，y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处取得极值是一元函数 f ( x , y _ { 0 } ) 和 f ( x _ { 0 } , y ) 分别在 x _ { 0 }
和 y _ { 0 } 处取得极值的（ ）.(A)充分条件 (B)必要条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
解 应选(A).
不妨设二元函数f(x，y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处取得极小值，则在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某邻域内处处有 f ( x , y ) \geqslant f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，显然在此邻域内固定 { \boldsymbol { y } } = { \boldsymbol { y } } _ { 0 } 时有 f ( x , y _ { 0 } ) \geqslant f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，这表明一元函数 f ( x , y _ { 0 } ) 在点 x _ { 0 } 处取得极小值，同理，固定 \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } 时有 f ( x _ { 0 } , y ) \geqslant f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，这表明一元函数 f ( x _ { 0 } , y ) 在点 y _ { 0 } 处取得极小值.反之，若一元函数 f ( x , y _ { 0 } ) 和 f ( x _ { 0 } , y ) 分别在 x _ { 0 } 和 y _ { 0 } 处取得极值，此时未必有二元函数f(x，y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处取得极值，比如二元函数 f ( x , y ) = x ^ { 4 } + y ^ { 4 } - ( x + y ) ^ { 2 } 在点(0,0)处不取极值(取y=-x路径有 f ( x , - x ) = 2 x ^ { 4 } > 0 ，取y=x路径有 f ( x , x ) = 2 x ^ { 4 } - 4 x ^ { 2 } < 0 ，而 f ( 0 , 0 ) = 0 ，于是 f ( x , y ) 在点(0,0)处不取极值），但是一元函数 f ( x , 0 ) = x ^ { 4 } - x ^ { 2 } < 0 = f ( 0 , 0 ) ，即一元函数f(x,0)在x=0处取极大值，f ( 0 , y ) = y ^ { 4 } - y ^ { 2 } < 0 = f ( 0 , 0 ) ，即一元函数f(0，y)在y=0处取极大值.
例13.18 设函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处取极大值，记 a = \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } \Bigg | _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } →本题可以当作结论记住b = \frac { \partial ^ { 2 } f } { { \partial y } ^ { 2 } } \Bigg | _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ，则（ ）(A) a > 0 , b > 0 (B) a \geqslant 0 , b \geqslant 0 (C) a < 0 , b < 0 (D) a \leqslant 0 , b \leqslant 0
解 应选(D).
此题用举特例的方法比较简便.
①取 f ( x , y ) = - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ，则点(0,0)为极大值点.
此时，
a = f _ { x x } ^ { \prime \prime } \left( x , y \right) \Bigr | _ { ( 0 , 0 ) } = - 2 < 0 ,
b = f _ { y y } ^ { \prime \prime } \left( x , y \right) \Bigr | _ { ( 0 , 0 ) } = - 2 < 0 ,
排除(A)，(B).
②再取 f ( x , y ) = - ( x ^ { 4 } + y ^ { 4 } ) ，则点(0,0)为极大值点.
此时，
a = f _ { x x } ^ { \eta } \left( x , y \right) \big | _ { ( 0 , 0 ) } = - 1 2 x ^ { 2 } \big | _ { ( 0 , 0 ) } = 0 ,
b = f _ { y y } ^ { \prime } \left( x , y \right) \big | _ { ( 0 , 0 ) } = - 1 2 y ^ { 2 } \big | _ { ( 0 , 0 ) } = 0 ,
排除(C)，选(D).
事实上， a = { \frac { { \widehat { \sigma } } ^ { 2 } f } { { \widehat { \sigma } } x ^ { 2 } } } \Bigg \vert _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } [ f ( x , y _ { 0 } ) ] } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \Bigg \vert _ { x = x _ { 0 } } ，记 g ( x ) = f ( x , y _ { 0 } ) ，按题设，即g(x)在 { \boldsymbol x } = { \boldsymbol x } _ { 0 } 处取极大值，
故由例5.2知，有 g ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 , g ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) { \leqslant } 0 即 g ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } [ f ( x , y _ { 0 } ) ] } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Bigg \vert _ { x = x _ { 0 } } = a \leqslant 0 ，同理， b \leqslant 0
②无条件极值
[一阶偏导数存在，设 z = f ( x , y ) 在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 处 则 f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) { = } 0 , f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) { = } 0 取极值，
一元函数y=f(x)在点x=x0处 \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { \ 9 } } ^ { \mathrm { ~ g ~ } } } \\ { \qquad \Rightarrow f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 } \\ \end{array} \right.
f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = 0
（2）偏导数不存在的点也可能是极值点
f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = 0
f _ { z } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = 0
x _ { 3 } = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \neq ( 0 , 0 ) 点处取极小值，但其z(0,0)，z',(0,0)均不存在，
小结：找可疑点 f(x,y)=0,f(x,y）=0的点,偏导数不存在的点
f不存在和f，不存在
(0,0)点偏导不存在，但取极小值
(2)二元函数取极值的充分条件→该充分条件不适用于三元及三元"上函数
设f(x,y)在点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) { = } 0 f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) { = } 0
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { x x } ^ { \eta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = A , } \\ { f _ { x y } ^ { \eta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = B , } \\ { f _ { y y } ^ { \eta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) = C , } \end{array} \right. } \end{array} >0→极值 \begin{array} { r } { \left\{ { A < 0 \atop { A > 0 \leq } } \right. } \end{array} 极大值，极小值，
记 则 \scriptstyle A = A C - B ^ { 2 } <0→非极值,=0=方法失效，另谋他法.
注 若 A C - B ^ { 2 } = \Delta > 0 \Rightarrow A C > B ^ { 2 } \geq 0 \Rightarrow A C 同号，即：若 \varDelta > 0 \Rightarrow \left\{ { A > 0 , C > 0 , } \right.
“大鼻子爷爷”4=0→方法失效，
开不开心少年团
“小哑巴猪 \because \Delta < 0 \Rightarrow 不是极值，
“开心”4>0，A>0→极小值，
“不开 \because \Delta > 0 , \Delta < 0 \Rightarrow 极大值
综合(1)，(2)，可用必要条件求出所有可疑点，再用充分条件判别这些可疑点是不是极值点.
例13.19 已知函数z=z(x，y)由方程 ( x ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } ) z + \ln z + 2 ( x + y + 1 ) = 0 确定，求z(x，y)的极值.解在 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) z + \ln z + 2 ( x + y + 1 ) = 0 两端分别对x和y求偏导数，得
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle 2 x z + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \frac { \partial z } { \partial x } + \frac { 1 } { z } \frac { \partial z } { \partial x } + 2 = 0 , } \\ { \displaystyle 2 y z + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \frac { \partial z } { \partial y } + \frac { 1 } { z } \frac { \partial z } { \partial y } + 2 = 0 , } \end{array} \right.\tag{*}
\frac { \partial z } { \partial x } = 0 , \frac { \partial z } { \partial y } = 0 ，得 \left\{ { \begin{array} { l } { x = - { \frac { 1 } { z } } , } \\ { y = - { \frac { 1 } { z } } . } \end{array} } \right.
将 \left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = - { \frac { 1 } { z } } , } \\ { \displaystyle y = - { \frac { 1 } { z } } } \end{array} } \right. 代人方程 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) z + \ln z + 2 ( x + y + 1 ) = 0 ，得 \ln z - { \frac { 2 } { z } } + 2 = 0 >观察法求解 ，可知z=1，从而 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = - 1 , } \\ { y = - 1 } \end{array} \right. }
方程组(*)中两式的两端分别再对x，y求偏导数，得
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle 2 z + 4 x \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { z } \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x ^ { 2 } } = 0 , } \\ { \displaystyle 2 x \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } + 2 y \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } - \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } + \frac { 1 } { z } \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } = 0 , } \\ { \displaystyle 2 z + 4 y \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { z } \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } y ^ { 2 } } = 0 , } \end{array} \right.
从而得 A = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x ^ { 2 } } \Bigg | _ { ( - 1 , - 1 ) } = - \frac { 2 } { 3 } , B = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } \Bigg | _ { ( - 1 , - 1 ) } = 0 , C = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z } { \hat { \sigma } y ^ { 2 } } \Bigg | _ { ( - 1 , - 1 ) } = - \frac { 2 } { 3 }
由于 A C - B ^ { 2 } > 0 , \ A < 0 ，因此z(-1,-1)=1是z(x，y)的极大值.
③条件最值与拉格朗日乘数法
求目标函数 u = f ( x , y , z ) 在约束条件 \begin{array} { c } { { \left\{ \varphi ( x , y , z ) = 0 , \begin{array} { l } { { } } \\ { { \psi ( x , y , z ) = 0 } } \end{array} \right. } } \end{array} 下的最值，则
①构造辅助函数 F ( x , y , z , \lambda , \mu ) = f ( x , y , z ) + \lambda \varphi ( x , y , z ) + \mu \psi ( x , y , z )
②令 自变量个数=目标函数自变量个数+约束个数
\begin{array} { r l } & { \left[ F _ { x } ^ { \prime } = f _ { x } ^ { \prime } + \lambda \varphi _ { x } ^ { \prime } + \mu \psi _ { x } ^ { \prime } = 0 , \right. } \\ & { \left. \left[ F _ { y } ^ { \prime } = f _ { y } ^ { \prime } + \lambda \varphi _ { y } ^ { \prime } + \mu \psi _ { y } ^ { \prime } = 0 , \right. \right. } \\ & { \left. \left. \xi F _ { z } ^ { \prime } = f _ { z } ^ { \prime } + \lambda \varphi _ { z } ^ { \prime } + \mu \psi _ { z } ^ { \prime } = 0 , \right. \right. } \\ & { \left. \left. F _ { \lambda } ^ { \prime } = \varphi ( x , y , z ) = 0 , \right. \right. } \\ & { \left. \left. F _ { \mu } ^ { \prime } = \psi ( x , y , z ) = 0 ; \right. \right. } \end{array}
③解上述方程组得备选点P,i=1,2,3,,n，并求f(P)，取其最大值为 u _ { \mathrm { m a x } } ，最小值为 u _ { \mathrm { m i n } } ；
考研数学基础30讲·高等数学分册
④根据实际问题，必存在最值，所得即为所求.
注若目标函数的约束条件为 \varphi ( x , y , z ) = 0 易解出 \boldsymbol { z } = \boldsymbol { z } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) ，则将其代入 f ( x , y , z ) 得f [ x , y , z ( x , y ) ] 即转化为无条件最值问题
例13.20 设a,b满足 \int _ { a } ^ { b } \lvert x \rvert \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } ( a \leqslant 0 , b \geqslant 0 ) ，求曲线 y = x ^ { 2 } + a x 与直线 y = b x 所围区域面积的最大值和最小值. →综合题 y
解 \int _ { a } ^ { b } \lvert x \rvert \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { 0 } ( - x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { b } x \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } ，故
a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 ( a \leqslant 0 , b \geqslant 0 ) ,
曲线 y = x ^ { 2 } + a x 与直线 y = b x 的交点的横坐标分别为
x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } = b - a ,
于是面积
→四曲线：将目标函数化为 S=[bx-(x²+ax）]dx=(b-a） 6 故bx-(x²+ax)≥0
注意到 { \frac { 1 } { 6 } } ( b - \overbrace { a } ) ^ { 3 } 的最值点与 \bigoplus _ { b \mathrm { - } a } ^ { } 的最值点是一样的，故转化成求 s ^ { * } = b - a 在条件 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 ( a \leqslant 0 , b \geqslant 0 ) 下的最值点，利用拉格朗日乘数法，令 F ( a , b , \lambda ) = b - a + \lambda ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 1 ) ，由
F _ { a } ^ { \prime } = - 1 + 2 \lambda a = 0 , F _ { b } ^ { \prime } = 1 + 2 \lambda b = 0 , F _ { \lambda } ^ { \prime } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 1 = 0 ,
解得驻点 ( a , b ) = \left( - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \right) ，此时 S = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } .又当 a = 0 , b = 1 时， S = \frac { 1 } { 6 } ；当 a = - 1 , b = 0 时， S = \frac { 1 } { 6 } 比较以上函数值，知所求区域面积的最大值是 \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } ，最小值是 \frac { 1 } { 6 }
注 本题的约束条件 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 ( a \leqslant 0 , b \geqslant 0 ) 不是封闭的整个圆，而只是第二象限的部分，是不封闭曲线，对不封闭曲线在用拉格朗日乘数法时要注意比较端点处的函数值
4最远（近）点的垂线原理
用好此原理，可能在多元最值问题上节约大量时间，提高效率
如果r是光滑闭曲线，点Q是r外的一个点，点 P _ { 1 } , P _ { 2 } 分别是「上与点Q的最远点，最近点，则直线 P _ { 1 } Q , P _ { 2 } Q 分别在点 P _ { 1 } 处， P _ { 2 } 处与r垂直，即 P _ { 1 } Q , P _ { 2 } Q 分别与点 P _ { 1 } , P _ { 2 } 的切线垂直.
若光滑闭曲线 \boldsymbol { { \cal T } } _ { 1 } , \boldsymbol { { \cal T } } _ { 2 } 不相交，点 P _ { 1 } , P _ { 2 } 分别是它们之间的最远（近)点，则直线 P _ { 1 } P _ { 2 } 是 \varGamma _ { 1 } , \varGamma _ { 2 } 的公垂线，即 P _ { 1 } P _ { 2 } 同时垂直于 T _ { \scriptscriptstyle 1 } , T _ { \scriptscriptstyle 2 } 在这两个点处的切线. \big < \big < \big > ^ { T _ { 1 } }
例13.21 求曲线 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 上到直线 2 x + 3 y - 6 = 0 的距离最近的点. \mathcal { \Delta } _ { P _ { 2 } } ^ { \itGamma _ { 2 } }
解 方法一设 P ( x , y ) 为曲线 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 上任意一点，则点P到直线 2 x + 3 y - 6 = 0 的距离 V 数学一要掌握
d = \frac { \left| 2 x + 3 y - 6 \right| } { \sqrt { 1 3 } }
( x _ { 0 } , y _ { 0 } )
A x + B y + C = 0
离公式： d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } }
因为求函数d的最小值点即求 d ^ { 2 } 的最小值点，所以问题可抽象为如下数学模型：
求目标函数 d ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 3 } ( 2 x + 3 y - 6 ) ^ { 2 } 在约束条件 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 下的最小值.
作拉格朗日函数 F ( x , y , \lambda ) = \frac { 1 } { 1 3 } ( 2 x + 3 y - 6 ) ^ { 2 } + \lambda ( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 ) 区
\left( F _ { x } ^ { \prime } = \frac { 4 } { 1 3 } ( 2 x + 3 y - 6 ) + 2 \lambda x = 0 , \right.\tag{①}
\left\{ F _ { y } ^ { \prime } = \frac { 6 } { 1 3 } ( 2 x + 3 y - 6 ) + 8 \lambda y = 0 , \right.
\scriptstyle \lfloor F _ { \lambda } ^ { \prime } = x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 = 0 .\tag{②}
③
若 \lambda = 0 ，则上述方程组转化为 \textstyle { \left\{ 2 x + 3 y - 6 = 0 , \right. } 即求曲线与直线的交点.事实上，二者并不相交，此时方程组无解.
若 \lambda \neq 0 ，由①，②式得 { \frac { \frac { 4 } { 1 3 } } { \frac { 6 } { 1 3 } } } = { \frac { - 2 x } { - 8 y } } , x = { \frac { 8 } { 3 } } y ，代人③式，解得 x _ { 1 } = \frac { 8 } { 5 } , y _ { 1 } = \frac { 3 } { 5 } ; x _ { 2 } = - \frac { 8 } { 5 } , y _ { 2 } = - \frac { 3 } { 5 }
d \big | _ { ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 3 } } } , d \big | _ { ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } = { \frac { 1 1 } { \sqrt { 1 3 } } } \ .
根据问题的实际意义可知，最近距离一定存在，因此 \left( { \frac { 8 } { 5 } } , { \frac { 3 } { 5 } } \right) 即为所求点.
方法二设 可学完第17讲再看此方法 P ( x , y ) 为所求点，因曲线 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 可写成参数方程 \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = x , } \\ { \displaystyle y ^ { 2 } = 1 - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } } \end{array} \right. 故其在点 P ( x , y ) 处的切向向量可表示为 \pmb { \tau } = \left( 1 , - \frac { x } { 4 y } \right)
或令 F _ { 1 } ( x , y ) = x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4
则 \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = - \frac { F _ { 1 x } ^ { \prime } } { F _ { 1 y } ^ { \prime } } = - \frac { x } { 4 y }
或令 F _ { 2 } ( x , y ) = 2 x + 3 y - 6
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = - \frac { F _ { 2 x } ^ { \prime } } { F _ { 2 y } ^ { \prime } } = - \frac { 2 } { 3 }
又直线 2 x + 3 y - 6 = 0 的法向向量 \pmb { n } = ( 2 , 3 ) ，根据最远（近）点的垂线原理，有 \pmb { n } \perp \tau ，即 \scriptstyle n \cdot \tau = 0 2 \bullet 1 + 3 \bullet \left( - { \frac { x } { 4 y } } \right) = 0 ，即有 x = \frac { 8 } { 3 } y ，代人 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 ，得 \left\{ { x _ { 1 } = \frac { 8 } { 5 } , \atop { y _ { 1 } = \frac { 3 } { 5 } , \atop { \left\downarrow { y _ { 2 } = - \frac { 3 } { 5 } . } \right. } } } \right.
又由点到直线的距离公式知， \left( { \frac { 8 } { 5 } } , { \frac { 3 } { 5 } } \right) 即为所求点.
5有界闭区域上连续函数的最值问题
(1)理论依据 -最大值与最小值定理：有界闭区域D上的多元连续函数，在区域D上一定有最大值和最小值.
(2)求法： →与一元函数做好联系与对比
①根据 f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) 为0或不存在，求出区域D内部的所有可疑点；
②用拉格朗日乘数法或代入法求出区域D边界上的所有可疑点；
③比较以上所有可疑点的函数值大小，取其最小者为最小值，最大者为最大值.
例13.22 已知函数 z = f ( x , y ) 的全微分 \mathrm { d } z = \underbrace { 2 x \mathrm { d } x [ - 2 y \mathrm { d } y } _ { \downarrow } ，并且 f ( 1 , 1 ) = 2 .求 f ( x , y ) 在椭圆域 D = \left\{ ( x , y ) \bigg | x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } { \leqslant } 1 \right\} 上的最大值和最小值. \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial z } { \partial x } } & { { } } & { } & { { } \frac { \partial z } { \partial y } } \end{array}
解 由 \mathrm { d } z = 2 x \mathrm { d } x - 2 y \mathrm { d } y 可知
z = f ( x , y ) = x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + C ,
再由f(1,1)=2，得C=2，故
z = f ( x , y ) = x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + 2 \ .
令 \frac { \partial f } { \partial x } = 2 x = 0 , \frac { \partial f } { \partial y } = - 2 y = 0 ，解得驻点(0,0).在椭圆 x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 上， z = x ^ { 2 } - ( 4 - 4 x ^ { 2 } ) + 2 即在D内 z = 5 x ^ { 2 } - 2 ( - 1 \leqslant x \leqslant 1 ) \ , 在边界上
其最大值为 z { \big | } _ { x = \pm 1 } = 3 ，最小值为 z { \big | } _ { x = 0 } = - 2 ，再与 f ( 0 , 0 ) = 2 比较，可知 f ( x , y ) 在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2.
注在边界 x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 上的最值也可以直接利用拉格朗日乘数法，令
F ( x , y , \lambda ) = x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + 2 + \lambda \left( x ^ { 2 } + { \frac { y ^ { 2 } } { 4 } } - 1 \right) .
\left\lceil \frac { \partial F } { \partial x } - 2 x + 2 \lambda x = 0 , \right\rceil
令 \frac { \partial F } { \partial y } = - 2 y + \frac { \lambda } { 2 } y = 0 M _ { 1 } ( 0 , 2 ) , M _ { 2 } ( 0 , - 2 ) , M _ { 3 } ( 1 , 0 ) , M _ { 4 } ( - 1 , 0 ) 此时\frac { \partial F } { \partial \lambda } = x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } - 1 = 0 ,
f ( M _ { 1 } ) = f ( M _ { 2 } ) = - 2 , f ( M _ { 3 } ) = f ( M _ { 4 } ) = 3 \ ,
故在边界 x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 上的最大值是3，最小值是-2.
基础习题精练
习题
13.1设f(0,0)=0，f(x,y)在(0,0)点连续，则当(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)可能为（）.（A) \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } (B) \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } (C） \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } (D) \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 4 } + y ^ { 2 } }
13.2 设f(x,y)具有一阶连续偏导数，且对任意(x,y)都有 \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial x } > 0 , \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial y } < 0 ，则）（A) f ( 0 , 0 ) > f ( 1 , 1 ) (B) f ( 0 , 0 ) < f ( 1 , 1 ) (C) f ( 0 , 1 ) > f ( 1 , 0 ) (D) f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 0 )
13.3函数 f ( x , y ) = { \sqrt { \left| x y \right| } } 在点(0,0)处（）.(A)偏导数不存在 (B)偏导数存在，但不可微(C)可微，但偏导数不连续 (D)偏导数连续
13.4 设函数f与g均可微， z = f [ x y , \ln x + g ( x y ) ] ，则 x \frac { \partial z } { \partial x } - y \frac { \partial z } { \partial y } = \left( \begin{array} { l l } & { } \end{array} \right) (A) f _ { 1 } ^ { \prime } (B) f _ { 2 } ^ { \prime } (C） f _ { 1 } ^ { \prime } + f _ { 2 } ^ { \prime } (D) f _ { 1 } ^ { \prime } - f _ { 2 } ^ { \prime }
13.5设 z _ { 1 } = \left| x + y \right| \mathrm { d } z _ { 2 } = ( 3 x ^ { 2 } + 6 x ) \mathrm { d } x - ( 3 y ^ { 2 } - 6 y ) \mathrm { d } y ，则点(0,0)（）.
(A)不是 z _ { 1 } 的极值点，也不是 z _ { 2 } 的极值点
(B)是 z _ { 1 } 的极大值点，也是 z _ { 2 } 的极大值点
(C)是 z _ { 1 } 的极小值点，是 z _ { 2 } 的极大值点
(D)是 z _ { 1 } 的极小值点，也是 z _ { 2 } 的极小值点
13.6（仅数学三）以 p _ { A } , p _ { B } 分别表示A，B两种商品的价格，设商品A的需求函数为
Q _ { A } = 5 0 0 - p _ { A } ^ { 2 } - p _ { A } p _ { B } + 2 p _ { B } ^ { 2 } ,
则当 p _ { _ A } { = } 1 0 , p _ { _ B } { = } 2 0 时，商品A的需求量对自身价格的弹性 \eta _ { A A } ( \eta _ { A A } > 0 ) 为
13.7设函数 z = \left( 1 + { \frac { x } { y } } \right) ^ { 2 } ，则 \left. \mathrm { d } z \right| _ { ( 1 , 1 ) }
13.8 设函数f(x)可微，且 f ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { 1 } { 2 } ，则 z = f ( 4 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) 在点(1,2)处的全微分 \left. \mathrm { d } z \right| _ { ( 1 , 2 ) } =
13.9设z=z(x,y)由 ( z + y ) ^ { x } = x ^ { 2 } 确定，则 \left. \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \right| _ { ( 1 , 1 ) } =
13.10设 z = f ( x ^ { 2 } y ^ { 2 } , \mathbf { e } ^ { x y } ) ，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求 z _ { x x } ^ { \prime \prime } , z _ { y y } ^ { \prime \prime } , z _ { x y } ^ { \prime \prime }
13.11设函数 u = f ( x ^ { 2 } , x y , x z ) 具有一阶连续偏导数，又函数 y = y ( x ) , z = z ( x ) 分别由
\sin x y = y , \mathrm { e } ^ { z } = \int _ { 0 } ^ { x } \sin t \mathrm { d } t
确定，求 \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } x }
13.12求二元函数 f ( x , y ) = x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x \ln x 的极值.
13.13已知函数f(x，y)满足 f _ { x y } ^ { \prime \prime } ( x , y ) = 2 ( y + 1 ) \mathrm { e } ^ { x } , f _ { x } ^ { \prime } ( x , 0 ) = ( x + 1 ) \mathrm { e } ^ { x } , f ( 0 , y ) = y ^ { 2 } + 2 y ，求 f ( x , y ) 的极值.
13.14求曲线 x ^ { 3 } - x y + y ^ { 3 } = 1 ( x \geqslant 0 , y \geqslant 0 ) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
解答
13.1(C）解对于(C)，由基本不等式：
\left| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right| \leqslant \frac { 1 } { 2 } \vert x \vert \leqslant \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } .
对于任给的 \varepsilon > 0 ，取 \delta = 2 \varepsilon ，当 0 < \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } < \delta 时， \left| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right| < \varepsilon .由定义，可得
\operatorname * { l i m } _ { ( x , y ) ( 0 , 0 ) } f ( x , y ) = 0 = f ( 0 , 0 ) \ .
对于(A),取y=kx，则 f ( x , y ) = f ( x , k x ) = { \frac { k } { 1 + k ^ { 2 } } } ( ( x , y ) \neq ( 0 , 0 ) ) ，从而 \operatorname * { l i m } _ { y = k \atop x 0 } f ( x , y ) = \frac { k } { 1 + k ^ { 2 } } ,随k而异.
(B)与(A)同理.对于(D)，取 \cdot y = k x ^ { 2 } \operatorname * { l i m } _ { y = k x ^ { 2 } \atop x \to 0 } f ( x , y ) = \frac { k } { 1 + k ^ { 2 } } ，随k而异.
13.2(D）解因为 \frac { \partial [ f ( x , y ) ] } { \partial x } > 0 ，所以f(x,y)关于x是单调递增函数（此时y固定），故f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 1 )
又因为 \frac { \hat { \sigma } [ f ( x , y ) ] } { \hat { \sigma } y } < 0 ，所以 f ( x , y ) 关于y是单调递减函数（此时x固定），故 f ( 1 , 1 ) < f ( 1 , 0 )
因此 f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 0 ) ，(C)不正确，故选(D).
对于选项(A),(B),举反例， f ( x , y ) = x - y ,符合题干条件,但f(0,0)=f(1,1),故(A),(B)均不正确.
13.3(B）解
f _ { x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ( 0 + \Delta x , 0 ) - f ( 0 , 0 ) } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \sqrt { \left| \Delta x \bullet 0 \right| } - 0 } { \Delta x } = 0 = A ,
f _ { y } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta y \to 0 } \frac { f ( 0 , 0 + \Delta y ) - f ( 0 , 0 ) } { \Delta y } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta y \to 0 } \frac { \sqrt { | 0 \bullet \Delta y | } - 0 } { \Delta y } = 0 = B ,
故f(x，y)在点(0,0)处偏导数存在.又
\Delta z = f ( 0 + \Delta x , 0 + \Delta y ) - f ( 0 , 0 ) = \sqrt { \left| \Delta x \bullet \Delta y \right| } - 0 = \sqrt { \left| \Delta x \bullet \Delta y \right| } ,
故有 \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \Delta z - A \Delta x - B \Delta y } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \sqrt { \left| \Delta x \bullet \Delta y \right| } } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } } } 不存在.从而f(x，y)在点(0,0)处不可微.
13.4(B）解
\frac { \partial z } { \partial x } = f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet y + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet \left( \frac { 1 } { x } + g ^ { \prime } \bullet y \right) ,
\frac { \partial z } { \partial y } = f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet x + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet g ^ { \prime } \bullet x ,
故 x \frac { \partial z } { \partial x } - y \frac { \partial z } { \partial y } = f _ { 2 } ^ { \prime }
13.5(D）解由于 \left. { \frac { \partial z _ { 1 } } { \partial x } } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x , 0 ) - f ( 0 , 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { | x | - 0 } { x - 0 } } 不存在，即其在点(0,0)处偏导数不存在，只能利用极值的定义来考虑.
因 z _ { \mathrm { \scriptscriptstyle 1 } } ( 0 , 0 ) = 0 ，又当 ( x , y ) \neq ( 0 , 0 ) 时，总有 z _ { 1 } ( x , y ) { \geqslant } 0 ，可知点(0,0)为 z _ { 1 } 的极小值点.
由 \mathrm { d } z _ { 2 } = ( 3 x ^ { 2 } + 6 x ) \mathrm { d } x - ( 3 y ^ { 2 } - 6 y ) \mathrm { d } y ，可知 \frac { \partial z _ { 2 } } { \partial x } = 3 x ^ { 2 } + 6 x , \frac { \partial z _ { 2 } } { \partial y } = - ( 3 y ^ { 2 } - 6 y ) ，且 \frac { \hat { \sigma } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } x } | _ { ( 0 , 0 ) } = 0 , \frac { \hat { \sigma } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } y } | _ { ( 0 , 0 ) } = 0.又
\frac { \partial ^ { 2 } z _ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } = 6 x + 6 , \frac { \hat { \partial } ^ { 2 } z _ { 2 } } { \hat { \partial } x \hat { \partial } y } = 0 , \frac { \hat { \partial } ^ { 2 } z _ { 2 } } { \hat { \partial } y ^ { 2 } } = - 6 y + 6 ,
则
\left. A = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } x ^ { 2 } } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = 6 , \left. B = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } x \hat { \sigma } y } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = 0 , \left. C = \frac { \hat { \sigma } ^ { 2 } z _ { 2 } } { \hat { \sigma } y ^ { 2 } } \right| _ { ( 0 , 0 ) } = 6 ,
A C - B ^ { 2 } = 3 6 > 0 , A > 0 ,
可知点(0,0)为 z _ { 2 } 的极小值点.
故选 (D).
13.60.4解根据弹性的定义，有
\eta _ { _ { A l } } = - \frac { p _ { _ A } } { Q _ { _ A } } \bullet \frac { \partial Q _ { _ A } } { \partial p _ { _ A } } = - \frac { p _ { _ A } } { Q _ { _ A } } \bullet ( - 2 p _ { _ A } - p _ { _ B } ) = \frac { p _ { _ A } ( 2 p _ { _ A } + p _ { _ B } ) } { 5 0 0 - p _ { _ A } ^ { 2 } - p _ { _ A } p _ { _ B } + 2 p _ { _ B } ^ { 2 } } ,
故当 p _ { _ A } { = } 1 0 , p _ { _ B } { = } 2 0 时， \eta _ { _ { A A } } = 0 . 4
13.74(dx-dy）解设 u = \frac { x } { y } ，则
z = \left( 1 + { \frac { x } { y } } \right) ^ { 2 } = ( 1 + u ) ^ { 2 } ,
\frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } u } = 2 ( 1 + u ) , \frac { \partial u } { \partial x } = \frac { 1 } { y } , \frac { \partial u } { \partial y } = - \frac { x } { y ^ { 2 } } ,
故
\frac { \partial z } { \partial x } = \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } u } \bullet \frac { \partial u } { \partial x } = 2 ( 1 + u ) \bullet \frac { 1 } { y } = \frac { 2 } { y } \left( 1 + \frac { x } { y } \right) ,
\frac { \partial z } { \partial y } = \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } u } \bullet \frac { \partial u } { \partial y } = 2 ( 1 + u ) \bullet \left( - \frac { x } { y ^ { 2 } } \right) = - \frac { 2 x } { y ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { x } { y } \right) ,
因此
\mathrm { d } z = \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } \mathrm { d } x + \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } \mathrm { d } y = \frac { 2 } { y } \left( 1 + \frac { x } { y } \right) \left( \mathrm { d } x - \frac { x } { y } \mathrm { d } y \right) ,
故
\Phi \big | _ { ( 1 , 1 ) } = 4 ( \mathrm { d } x - \mathrm { d } y ) \ .
13.84dx-2dy解令 u = 4 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ，则 z = f ( u ) ，于是
\frac { { \hat { \sigma } } z } { { \hat { \sigma } } x } = f ^ { \prime } ( u ) ( 4 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) _ { ~ x } ^ { \prime } = 8 x f ^ { \prime } ( u ) , \frac { { \hat { \sigma } } z } { { \hat { \sigma } } x } \bigg | _ { ( 1 , 2 ) } = 8 f ^ { \prime } ( 0 ) = 4 ,
\frac { \partial z } { \partial y } = f ^ { \prime } ( u ) { \left( 4 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) } ^ { \prime } , = - 2 y f ^ { \prime } ( u ) , \left. \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } \right| _ { ( 1 , 2 ) } = - 4 f ^ { \prime } ( 0 ) = - 2 ,
所以 \left. { \bf d } z \right| _ { ( 1 , 2 ) } = 4 { \bf d } x - 2 { \bf d } y
13.92解将所给方程变形为 ( z + y ) ^ { x } - x ^ { 2 } = 0 令 F ( x , y , z ) = ( z + y ) ^ { x } - x ^ { 2 } ，则
F _ { x } ^ { \prime } = ( z + y ) ^ { x } \ln ( z + y ) - 2 x ,
F _ { z } ^ { \prime } = x ( z + y ) ^ { x - 1 } \ .
将x=0代人所给方程，不成立，故 x \neq 0 , F _ { z } ^ { \prime } \neq 0 ，则有
\frac { \partial z } { \partial x } = - \frac { F _ { x } ^ { \prime } } { F _ { z } ^ { \prime } } = - \frac { ( z + y ) ^ { x } \ln ( z + y ) - 2 x } { x ( z + y ) ^ { x - 1 } } .\tag{*}
当 x = 1 , y = 1 时，由原方程可得 z = 0 ，代人(*)式可得 \left. { \frac { \partial z } { \partial x } } \right| _ { ( 1 , 1 ) } = 2
13.10解
z _ { x } ^ { \prime } = f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet 2 x y ^ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet y \mathrm { e } ^ { x y } , z _ { y } ^ { \prime } = f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet 2 x ^ { 2 } y + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet x \mathrm { e } ^ { x y } ,
\begin{array} { r l } & { z _ { x x } ^ { \prime \prime } = f _ { 1 1 } ^ { \prime \prime } \bullet ( 2 x y ^ { 2 } ) ^ { 2 } + f _ { 1 2 } ^ { \prime \prime } \bullet y \mathrm { e } ^ { x y } \bullet 2 x y ^ { 2 } + f _ { 1 } ^ { \prime \prime } \bullet 2 y ^ { 2 } + f _ { 2 1 } ^ { \prime \prime } \bullet 2 x y ^ { 2 } \bullet y \mathrm { e } ^ { x y } + f _ { 2 2 } ^ { \prime \prime } \bullet ( y \mathrm { e } ^ { x y } ) ^ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet y ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x y } } \\ & { \qquad = f _ { 1 1 } ^ { \prime \prime } \bullet 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } + f _ { 2 2 } ^ { \prime \prime } \bullet y ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x y } + f _ { 1 2 } ^ { \prime \prime } \bullet 4 x y ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { x y } + f _ { 1 } ^ { \prime \prime } \bullet 2 y ^ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet y ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x y } \ . } \end{array}
同理可得
\begin{array} { r } { z _ { y y } ^ { \prime } = f _ { 1 1 } ^ { \prime } \bullet 4 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + f _ { 2 2 } ^ { \prime \prime } \bullet x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x y } + f _ { 1 2 } ^ { \prime \prime } \bullet 4 x ^ { 3 } y \mathrm { e } ^ { x y } + f _ { 1 } ^ { \prime \prime } \bullet 2 x ^ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z _ { x y } ^ { * } = f _ { 1 1 } ^ { * } \bullet 2 x ^ { 2 } y \bullet 2 x y ^ { 2 } + f _ { 1 2 } ^ { * } \bullet x \mathrm { e } ^ { \mathrm { s y } } \bullet 2 x y ^ { 2 } + f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet 4 x y + f _ { 2 1 } ^ { \prime } \bullet 2 x ^ { 2 } y \bullet y \mathrm { e } ^ { \mathrm { y } } + f _ { 2 2 } ^ { \prime \prime } \bullet x \mathrm { e } ^ { \mathrm { s y } } \bullet y \mathrm { e } ^ { \mathrm { y } } + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { x y } } + x y \mathrm { e } ^ { \mathrm { y } } ) } \\ & { \qquad = f _ { 1 1 } ^ { * } \bullet 4 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + f _ { 2 2 } ^ { \prime \prime } \bullet x y \mathrm { e } ^ { 2 y } + f _ { 1 2 } ^ { * } \bullet 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { s y } } + f _ { 1 } ^ { \prime \prime } \bullet 4 x y + f _ { 2 } ^ { \prime \prime } \bullet ( 1 + x y ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { s y } } . } \end{array}
13.11解复合函数 u = f ( x ^ { 2 } , x y , x z ) 两边对x求导数得
\frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } x } = f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet 2 x + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet \left( y + x \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) + f _ { 3 } ^ { \prime } \bullet \left( z + x \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } \right) .\tag{①}
由隐函数 \sin x y = y 求 \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } .等式 \sin x y = y 两边对x求导数得
( \cos x y ) \bullet \left( y + x { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right) = { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } ,
解得
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } { = } \frac { y \cos x y } { 1 - x \cos x y } .\tag{②}
由隐函数 \mathbf { e } ^ { z } = \int _ { 0 } ^ { x z } \sin t \mathrm { d } t 求 \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } .等式 \mathbf { e } ^ { z } = \int _ { 0 } ^ { x z } \sin t \mathrm { d } t 两边对x求导数得
\mathbf { e } ^ { z } \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } = ( \sin x z ) \cdot \left( z + x \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } \right) ,
解得
\frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } = \frac { z \sin { x z } } { \mathrm { e } ^ { z } - x \sin { x z } } .\tag{③}
将②，③式代人①式，得
\frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } x } = f _ { 1 } ^ { \prime } \bullet 2 x + f _ { 2 } ^ { \prime } \bullet \left( y + x \frac { y \cos x y } { 1 - x \cos x y } \right) + f _ { 3 } ^ { \prime } \bullet \left( z + x \frac { z \sin x z } { \mathrm { e } ^ { z } - x \sin x z } \right) .
13.12解
f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = 2 x y ^ { 2 } + 1 + \ln x , f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) = 2 x ^ { 2 } y ~ .
区
\left\{ \begin{array} { l } { f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = 0 , } \\ { f _ { y } ^ { \prime } ( x , y ) = 0 , } \end{array} \right.
解得唯一驻点 \left( \frac { 1 } { \mathsf { e } } , 0 \right) .由
f _ { x x } ^ { \prime \prime } = 2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } , f _ { x y } ^ { \prime \prime } = 4 x y , f _ { y y } ^ { \prime \prime } = 2 x ^ { 2 } ,
得
A = f _ { x x } ^ { n } \left( \frac { 1 } { \mathrm { e } } , 0 \right) = \mathrm { e } , B = f _ { x y } ^ { n } \left( \frac { 1 } { \mathrm { e } } , 0 \right) = 0 , C = f _ { y y } ^ { n } \left( \frac { 1 } { \mathrm { e } } , 0 \right) = \frac { 2 } { \mathrm { e } ^ { 2 } } ,
故 A C - B ^ { 2 } = \frac { 2 } { \mathrm { e } } > 0 , A = { \mathrm { e } } > 0 ，可知点 \left( \frac { 1 } { \mathsf { e } } , 0 \right) 为 f ( x , y ) 的极小值点，极小值为 - \frac { 1 } { \mathrm { ~ \frac ~ { ~ e ~ } ~ } }
13.13解由 f _ { x y } ^ { \prime \prime } ( x , y ) { = } 2 ( y + 1 ) \mathrm { e } ^ { x } ，得
f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = ( y ^ { 2 } + 2 y ) { \mathrm { e } } ^ { x } + \varphi ( x ) \ .
因为 f _ { x } ^ { \prime } ( x , 0 ) = ( x + 1 ) \mathrm { { e } } ^ { x } ，所以 \varphi ( x ) = ( x + 1 ) \mathrm { e } ^ { x } ，从而
f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = ( y ^ { 2 } + 2 y ) { \mathrm { e } } ^ { x } + ( x + 1 ) { \mathrm { e } } ^ { x } ,
将上式两端对x积分得
f ( x , y ) = ( y ^ { 2 } + 2 y ) { \mathrm { e } } ^ { x } + x { \mathrm { e } } ^ { x } + \phi ( y ) ~ .
因为 f ( 0 , y ) = y ^ { 2 } + 2 y ，所以Φ(y)=0，从而
f ( x , y ) = ( x + y ^ { 2 } + 2 y ) \mathrm { e } ^ { x } \ : ,
于是f(x，y)=(2y+2)e，f(x,y)=(x+y²+2y+2)e，fx(x，y)=2e，fx=f=(2y+2)e².
区 f _ { x } ^ { \prime } ( x , y ) = 0 , f _ { \nu } ^ { \prime } ( x , y ) = 0 ，得驻点(0,-1)，所以
A = f _ { x x } ^ { \pi } ( 0 , - 1 ) = 1 , B = f _ { x y } ^ { \pi } ( 0 , - 1 ) = 0 , C = f _ { y y } ^ { \pi } ( 0 , - 1 ) = 2 ,
由于 A C - B ^ { 2 } > 0 , \ A > 0 ，因此函数f(x,y)的极小值为 f ( 0 , - 1 ) = - 1
13.14解方法一设(x，y)为曲线上的任意一点，目标函数为距离的平方，即 f ( x , y ) = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } 构造拉格朗日函数
F ( x , y , \lambda ) = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + \lambda ( x ^ { 3 } - x y + y ^ { 3 } - 1 ) ~ .
\left( \frac { \partial F } { \partial x } = 2 x + ( 3 x ^ { 2 } - y ) \lambda = 0 , \right.\tag{①}
\left\{ \frac { \partial F } { \partial y } = 2 y + ( 3 y ^ { 2 } - x ) \lambda = 0 , \right.\tag{②}
\left\lfloor { \frac { \partial F } { \partial \lambda } } = x ^ { 3 } - x y + y ^ { 3 } - 1 = 0 , \right.\tag{③}
当 x > 0 , y > 0 时，由①，②式得
{ \frac { x } { y } } = { \frac { 3 x ^ { 2 } - y } { 3 y ^ { 2 } - x } } , { \mathrm { ~ } } \mathbb { H } \ 3 x y ( y - x ) = ( x + y ) ( x - y ) \ ,
得y=x或 3 x y = - ( x + y ) （由于 x > 0 , y > 0 ，因此舍去).
将y=x代人③式得
2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 1 = 0 \ , \mathbb { H } \left( x - 1 \right) \left( 2 x ^ { 2 } + x + 1 \right) = 0 \ ,
解得x=1，从而点(1,1)为唯一可能的极值点.
又当x=0时，y=1；当y=0时，x=1.分别计算点(1,1),(0,1)及(1,0)处的目标函数值，有
f ( 1 , 1 ) = 2 , f ( 0 , 1 ) = f ( 1 , 0 ) = 1 ,
故所求最长距离为 \sqrt { 2 } ，最短距离为1.
方法二由导数的几何意义知，平面曲线上任意一点 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的切向向量为 ( 1 , y _ { x _ { 0 } } ^ { \prime } )
对曲线 x ^ { 3 } - x y + y ^ { 3 } = 1 两边关于x求导得 3 x ^ { 2 } - y - x y ^ { \prime } + 3 y ^ { 2 } y ^ { \prime } = 0 ，解得 y ^ { \prime } = \frac { y - 3 x ^ { 2 } } { 3 y ^ { 2 } - x }
由最远（近）点的垂线原理知，坐标原点到曲线C距离的最值点(x，y)满足 ( x , y ) \bullet ( 1 , y _ { x } ^ { \prime } ) = 0 ，即x + { \frac { y - 3 x ^ { 2 } } { 3 y ^ { 2 } - x } } \bullet y = 0 ，整理得 ( 3 x y + x + y ) ( y - x ) = 0 ，解得y=x或 3 x y = - ( x + y ) （不符合题意，舍去）.
余下步骤同方法一.