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## 第8讲
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## 一元函数积分学的概念与性质
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<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>不定积分、定积分、变限积分、反常积分</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念（仅数学一、数学二）；理解原函数与不定积分的概念，了解定积分的概念（仅数学三）.②掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理（仅数学一、数学二）；掌握不定积分的基本性质，了解定积分的基本性质，了解定积分中值定理（仅数学三）.③理解积分上限的函数，会求它的导数.④理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>①不定积分和定积分的性质及积分中值定理；②变限积分函数的概念与性质；③反常积分的概念及敛散性</td></tr></table>
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## 基础知识结构
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## 不定积分
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## 原函数与不定积分
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设函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x)，对于该区间上任意一点都有 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ 成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.称 $\overbrace { \iint f ( x ) \mathrm { d } x } ^ { \qquad \mathrm { \displaystyle } } = F ( x ) + C$ 为f(x)在区间I上的不定积分.函数的记号 ↓
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问：为什么强调一个？
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全体原函数
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答：因为若 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$
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则对于伎意常数C，都有 $\left[ F ( x ) + C \right] ^ { \prime } = F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$
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故F(x)+C也是原函数，所f(x)若有原函数，则原函数一定有无穷多个， $F ( x ) { + } C$ 称为全体原函数
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## 注谈到函数f（x)的原函数与不定积分，必须指明f（x）所定义的区间
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例8.1 设 $0 < x < 1$ ，且 $\int ( 1 - x ^ { 2 } ) f ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x = \arcsin x + C$ ，则f(x)=（）.（A) $( 1 - x ) ^ { \frac { 3 } { 2 } }$ (B) $( 1 - x ) ^ { \frac { 3 } { 2 } }$ (C) $( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } }$ (D) $( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } }$
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分析 按照原函数定义 $\int \displaylimits _ { F ^ { \prime } ( x ) } ^ { \iint ( f ( x ) ) \mathrm { d } x = F ( x ) + C }$ 解 应选(B).
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根据原函数F(x)的定义 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ 求解.
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将所给表达式的等式两端分别关于x求导，得
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\left[ \int ( 1 - x ^ { 2 } ) f ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \right] ^ { \prime } = ( \arcsin x + C ) ^ { \prime } ,
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即 故
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( 1 - x ^ { 2 } ) f ( x ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } ,
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f ( x ^ { 2 } ) = ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ,
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f ( x ) = ( 1 - x ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } .
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故选 (B).
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例8.2 函数 $f ( x ) = \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } , ~ x { \leqslant } 0 , \right.$ 的一个原函数为（ ）
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（A) $F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \ln \left( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } - x \right) , } & { x \leqslant 0 , } \\ { ( x + 1 ) \cos x - \sin x , } & { x > 0 } \end{array} \right.$ (B) $F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \ln \left( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } - x \right) + 1 , } & { x \leqslant 0 , } \\ { ( x + 1 ) \cos x - \sin x , } & { x > 0 } \end{array} \right.$ (C) $F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \ln \left( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } + x \right) , } & { x \leq 0 , } \\ { ( x + 1 ) \sin x + \cos x , } & { x > 0 } \end{array} \right.$ (D) $F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \ln \left( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } + x \right) + 1 , x \leqslant 0 , } \\ { ( x + 1 ) \sin x + \cos x , x > 0 } \end{array} \right.$
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分析 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ .由f(x)处处有定义得F(x)处处可导，推出F(x)处处连续.
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对于选项(A): $\operatorname * { l i m } _ { x 0 ^ { - } } F ( x ) = 0 \ , \operatorname * { l i m } _ { x 0 ^ { + } } F ( x ) = 1$ ，由于F(x)在x=0处左右极限不同，故F(x)不连续.
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对于选项(C): $\operatorname* { l i m } _ { x 0 ^ { - } } F ( x ) = 0$ ， $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } F ( x ) = 1$ ，由于F(x)在x=0处左右极限不同，故F(x)不连续.
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由 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ 知，F(x)必连续，故可排除(A)，(C).对于选项(B):当x>0时， $F ^ { \prime } ( x ) = \cos x - ( x + 1 ) \sin x - \cos x = - ( x + 1 ) \sin x \neq ( x + 1 ) \cos x$ ，故可排除(B).
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因此选 (D).
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## 2 原函数（不定积分）存在定理
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(1)连续函数f(x)必有原函数F(x). →不作要求，但最好在草稿本上写一遍，大致思路要懂
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[注证明：如果函数f（x）在[a，b]上连续，则函数 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在[a，b]上可导，且 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ 证若 $x \in ( a , b )$ ，取△x使 $x + \Delta x \in ( a , b )$ ，则 说明{f(x)dx=1f()dr+C
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\begin{array} { l } { \displaystyle \Delta F = F ( x + \Delta x ) - F ( x ) = \int _ { a } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } \\ { \displaystyle = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t + \int _ { x } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = \overline { { \int _ { x } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t } } \overline { { , } } } \end{array}
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使用积分中值定理，有 $\int _ { x } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t = f ( \xi ) \Delta x$ 其中5介于x与 $x + \Delta x$ 之间，当 $\Delta x 0$ 时， $\xi \to x$ 于是
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F ^ { \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { { \scriptstyle \left\{ \Delta F \right\} } } { \scriptscriptstyle \left\{ \Delta x \right\} } } = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { { \scriptstyle \left\{ \Delta F \right\} } } { \scriptscriptstyle \Delta x \to 0 } } f ( \xi ) = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { { \scriptstyle \left\{ \xi \to x \right\} } } { \scriptscriptstyle \left\{ \xi \right\} } } f ( \xi ) \stackrel { { \scriptstyle \left\{ \beta \right\} } } { \scriptscriptstyle \left\{ \Delta \xi \right\} } = f ( x ) \ .
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若 $x = a$ ，取 $\Delta x > 0$ ，则同理可证 $F _ { _ { + } } ^ { \prime } ( a ) = f ( a )$ ；若x=b，取 $\Delta x < 0$ ，则同理可证 $F _ { - } ^ { \prime } ( b ) = f ( b )$ 注意：当四则运算中出现不同形式的表达式时，需要化为统一的形式，本题借助了积分中值定理① $\int f ( x ) \mathrm { d } x$ 称为不定积分，表示全体原函数.
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② $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 称为定积分，表示面积。
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③ $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 称为变上限积分，表示动态的面积．
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④积分中值定理：若函数f（x)在区间[a，b]上连续，则至少存在一点 $\xi \in [ a , b ]$ ，使
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\int \limits _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )
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总结：f（x）连续→ $\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle { \left\{ \int f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t + C , \right. } } \\ & { } & { \displaystyle { \left\{ \left[ \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \right] ^ { \prime } = f ( x ) . \right. } } \end{array}$
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(2)含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x)
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可去间断点第一类间断点《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》考查四类间断点 点 第二类间断点
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（1）函数f（x）在定义域I上可导，则
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f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { X \to x } { \frac { f ( X ) - f ( x ) } { X - x } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } \\ { a \neq 0 . } \end{array} \right. }
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（可导时，y与Y们比達续时靠得更近）
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（2）函数f（x）存在与f（x）存在的区别.
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①a.f（x）在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处的极限存在不能得出f（x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处连续．如 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) = a$ ，但 $f ( x _ { 0 } )$ 有可能等于a，也有可能不等于a.
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b.f（x）可导，且 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ^ { \prime } ( x ) = a$ ，则f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续．f'（x)存在
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证
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f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \frac { \frac { 0 } { 0 } } { { \sqrt { \operatorname* { d e t } \langle \operatorname* { d e t } \rangle } } \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ^ { \prime } ( x ) } } \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ^ { \prime } ( x ) = a ~ .
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②a.f（x）存在不能得出f（x）有介值性.
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介值定理：函数f（x)在[a，b]上连续，且 $f ( a ) = A \ , \ f ( b ) = B$ 则当 $A < u < B$ 时，存在 $\xi \in ( a , b )$ 使 $f ( \xi ) = u$
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b.f'（x）存在，可得f（x）有介值性
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达布定理：f（x)在[a，b]上可导， $f _ { + } ^ { \prime } ( a ) \neq f _ { - } ^ { \prime } ( b )$ ，则对任意介于f（a)与f（(b）之间的u，存在 $\xi \in ( a , b )$ ，使得
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f ^ { \prime } ( \xi ) = u ,
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证令F（x）=f（x）-ux，则 $F ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x ) - u$
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不妨设 $f _ { + } ^ { \prime } ( a ) < u < f _ { - } ^ { \prime } ( b )$ ，则 $f _ { + } ^ { \prime } ( a ) - u < 0 \ , f _ { - } ^ { \prime } ( b ) - u > 0$ ，即 $F _ { + } ^ { \prime } ( a ) < 0 \ , F _ { - } ^ { \prime } ( b ) > 0$
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由例6.3，可知存在 $\xi \in ( a , b )$ ，使 $F ^ { \prime } ( \xi ) = 0$ ，即 $f ^ { \prime } ( \xi ) = u$
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③由②b.可得 $\left\{ \begin{array} { l l } { { f ^ { \prime } ( x ) \not | \not | \not \equiv 0 , } } \\ { { } } \\ { { \not \equiv [ a , b ] \underline { { { \vdash } } } f ^ { \prime } ( x ) } } \end{array} \right.$ 则f（x)必保号（恒正或恒负）反证：假设存 则存在 $\xi \in ( a , b ) , f ^ { \prime } ( \xi ) = 0$ $\not \equiv f ^ { \prime } ( a ) < 0 \ , \ f ^ { \prime } ( b ) > 0$ 矛盾存在，则f'(x)无第一类间断点.
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注证设F（x)为f（x)在I内的一个原函数，则F（x)在I内可导，且 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ ，并设$x = x _ { 0 } \in I$ 为 $F ^ { \prime } ( x )$ 的间断点，我们讨论如下三种情况： IF'(x)
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(1) $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 为可去间断点，即 $\operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } F ^ { \prime } ( x )$ 存在且为A，但 $A \neq F ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，而
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F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \frac { { \frac { \rlap { / } { \ast } \langle x _ { 0 } \rangle } { \rlap { / } { \ k } \langle x _ { 0 } \rangle } } - \rlap { / } { \ k } \ ! } { \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } F ^ { \prime } ( x ) } } = A , { \vec { \mathcal { X } } } , { \rlap { / } { \xi } } { \overbrace { \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } } } ,
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(2) $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 为跳跃间断点，即 $\operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } ^ { + } } F ^ { \prime } ( x )$ 存在且为 $A _ { \ast } , \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } ^ { \prime } } ( x )$ 存在且为A，但 $A _ { + } \neq A _ { - }$ ，而
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F _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \frac { { \sqrt { g } } \cdot | \zeta | \pm \zeta \pm | \pm | \beta | } { x - x _ { 0 } ^ { + } } } \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } F ^ { \prime } ( x ) = A _ { + } ,
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F(x)在1上处处可导
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F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \frac { | / k / \pm k / \pm k / \operatorname { l i m } } { x \to x _ { 0 } ^ { - } } } \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } F ^ { \prime } ( x ) = A _ { - } ,
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又 $F ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 是存在的，则 $F _ { \ast } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = F _ { \ast } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，即 ${ \cal A } _ { \scriptscriptstyle + } = { \cal A } _ { \scriptscriptstyle - }$ ，矛盾；
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(3) $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 为无穷间断点，即 $\operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } F ^ { \prime } ( x ) = \infty$ ，而
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F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \frac { { \frac { \gamma _ { k } } { ( x - x ) _ { 0 } } } { \frac { \gamma _ { k } } { ( x - x ) _ { 0 } } } \ j \ j \ j } { x - x _ { 0 } } } \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } F ^ { \prime } ( x ) = \infty ,
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又 $F ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 是存在的，矛盾
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综上所述，(1)，(2)和(3)的情形均不存在原函数，即导函数 $F ^ { \prime } ( x )$ 在I内必定没有第一类间断点和无穷间断点，也即含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内没有原函数 $F ( x )$
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含有振荡间断点的函数是否有原函数呢？这是不确定的.举例来说，对于
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f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x \sin \displaystyle \frac { 1 } { x } - \cos \displaystyle \frac { 1 } { x } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 , } \end{array} \right.
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$$
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$\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x )$ 不存在，其在 $( - \infty , + \infty )$ 上不连续，它有一个振荡间断点 $x = 0$ ，但是它在 $( - \infty , + \infty )$ 上存在原函数
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\begin{array}{c} F ( x ) = \left\{ { x ^ { 2 } \sin \frac { 1 } { x } , x \neq 0 , } \\ { 0 , x = 0 . } \end{array} \right.
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经验证，当 $x \neq 0$ 时 $F ^ { \prime } ( x ) = 2 x \sin { \frac { 1 } { x } } - \cos { \frac { 1 } { x } }$ $x = 0$ $F ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { x ^ { 2 } \cdot \sin { \frac { 1 } { x } } - 0 } { x - 0 } } = 0$ 即对于$( - \infty , + \infty )$ 上任一点都有 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ 成立
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当然，对于
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f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { 1 } { x } } \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { ~ x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { ~ x = 0 , } \end{array} \right. }
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$$
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其在 $( - \infty , + \infty )$ 上也有一个振荡间断点 $\scriptstyle x = 0$ ，但其在 $( - \infty , + \infty )$ 上没有原函数
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4综合以上几点，可以得出重要结论：可导函数F（x)求导后的函数 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ 不一定是连续函数，也可能有振荡间断点 「连续函数或含振荡间断点的函数
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有介值性
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\ 是 F ( x ) \land \operatorname { \{ \cdot } \operatorname { \{ \cdot } \operatorname { \{ \cdot \ln \operatorname { \vert \varepsilon \eta \vert } } \beta \Rightarrow F ^ { \prime } ( x ) .
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极限存在F（x）连续
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\neq 0 \Rightarrow F ( x ) \ncong \mathrm { i } \mathbb { E }
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注至此，我们可以总结导函数f（x）的性质了
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（1）如果导函数f（x）存在，当导函数在一点极限存在时，导函数在这一点必连续
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对比函数就会知道，如果函数在一点极限存在，并不能得出函数在这一点连续的结论
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导函数之所以有这个特性，而函数没有，归根结底是因为导函数存在（即函数可导），是指那些点相依相偎、充分靠近，也就是说，导函数如果存在，它们天生就是点点相依相偎的，而函数存在，只是每个点都在那里，也就是在那里而已，它们无牵无挂．所以，不要只记住导函数也是函数，更要记住，导函数是性质极强的函数，导函数在这一点存在（事实上函数在这一点连续就够了），就能保证点点相依相偎，那么，如果导函数在一点存在，且它在这一点的极限值也存在时，必等于这一点的导数值，也就是说导函数在这一点必连续．
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所以可以继续思考下去，得到微积分里极为重要的一个结论：
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（2）如果导函数在一点存在，则这一点一定不会是导函数的第一类间断点
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对比函数，函数在一点存在，可以是第一类间断点。
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为什么？因为导函数在一点存在，讨论它在这一点是不是第一类间断点，关键是看在导函数左右极限都存在的条件下，是左右极限不等（跳跃间断），还是左右极限相等但不等于导数值（可去间断）.显然，导函数在一点存在时，它的左极限和右极限如果存在，必然分别等于这一点的左右导数值，由于这一点可导，左右导数值相等，于是导函数的左右极限值也必然相等，也就回到了（1）.故一个可导函数的导函数是没有第一类间断点的．
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请再思考：在一条处处有切线的曲线上，会不会发生切线斜率值在一点突变的情况？为什么？
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答：在几何上讲的曲线处处有切线，在微分学上对应的就是导函数处处存在或无穷大．这里，切线斜率为无穷大是一种需要斟酌的情形.在高等数学（微积分）中，无穷大是（特殊的）不存在，对应着铅直切线（斜率无穷大，不存在)，但事实上，如果我们把y=𝑥对调（或者说旋转 $9 0 ^ { \circ } )$ ，铅直变成水平，斜率为0，这就是存在的了，比如 $y = x ^ { 3 }$ 与 $y = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 就很容易理解.既然x=0附近$y = x ^ { 3 }$ 切线的斜率是没有突变的，那么x=0附近 $y = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 切线的斜率也不会突变.非零无穷小和无穷大互为倒数关系，在斜率这里就有了很好的体现.琢磨一下，为什么说非零无穷小和无穷大对应呢？因为 $y = x ^ { 3 }$ 虽然在x=0处导数（变化率）等于0，可是它不是没有变化，显然x=0处左边的函数值为负，右边的函数值为正，只是从导数这个变化率工具上来说，它没有能力（不够精确）测量到这
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<table><tr><td>个变化而已（也许以后你们还会接触到分数阶导数甚至更为精细的刻画变化率的工具） (3)若f(x)可导，则 $f ^ { \prime } ( x )$ 可能连续，也可能含有振荡间断点. 连续不难理解，那么振荡间断点是什么样子？它是真的断了吗？在现代数学提出了超实数理论 后，我们已经知道了，事实上，没有什么线是连着的，只是点与点近不近，有多近的问题罢了. ①设 $f _ { 1 } ( x ) = \sin { x }$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \sin x$ 振荡不存在，其大致图形为 <img src="images/1839f1f088f8e2031647f08f5f7bf43e7f8cd291bcd903563e9c1705eec92f38.jpg"/> $f _ { 2 } ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 , } \end{array} } \right.$ ②设</td></tr><tr><td>可以看出， $\sin { \frac { 1 } { x } }$ 由sinu和 $u = { \frac { 1 } { x } }$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } \sin { \frac { 1 } { x } }$ 复合而成．当 $x \to 0 ^ { + }$ 时， $u \to + \infty$ 故 依然是振荡不存在 但这里有一个关键问题：这里的振荡是在 $x \to 0 ^ { + }$ 时发生的，也就是x与0充分靠近、无限靠近时 发生的，于是可以看作将①中的 “无限压缩”成 <img src="images/22e9c91613ef8c56b835f0d5ea1cfd946ac4a22223d1fe3f3617f647e59c9bf7.jpg"/> <img src="images/3e99837ba689695a9ef8bc8a63c6e1b9a2c34aae7336f1d336eb8731981defe5.jpg"/></td></tr><tr><td>将 $x \to 0 ^ { - }$ 也画出来，则大致图形为 <img src="images/4ec672a2b675e702a75a72d6fc64482693611614507b65e2c485c9c2c02f38ec.jpg"/></td></tr><tr><td>a.所谓“无限压缩”，可以认为在x=0的任意邻域内，都有无数次-1到1的振荡.</td></tr><tr><td></td></tr><tr><td>b.若将横坐标x的比例放大无穷倍，就会看到形如 <img src="images/058c651d8b6a99dff74d31e2351caa20df2c0faf95fe95b651cf07631045486f.jpg"/> 的样子了.我们能够放 大无穷倍吗？显然不能，故我们是看不到实际图形的，好在人类有思考能力可以想象到</td></tr><tr><td>c.振荡间断点露出了本来的面目，放大无穷倍后，即 ，还原成原来的样子，</td></tr></table>
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密集地像矩形块一样无限靠
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近y轴
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b.“间断”只是在描述上述特征，即 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \sin { \frac { 1 } { x } }$ 不存在。
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谁叫连续的定义是 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) = f ( x _ { 0 } )$ 呢，就因为 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \operatorname { s i n } { \frac { 1 } { x } } \neq \sin { \frac { 1 } { x } } \Bigg \vert _ { x = 0 }$ （无定义），于是只能叫间断即使定义成 $\left\{ \begin{array} { l l } { \sin \displaystyle \frac { 1 } { x } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 , } \end{array} \right.$ 依然是 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \sin { \frac { 1 } { x } } \neq 0$ 也只能叫间断
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不过，对于 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sin \frac { 1 } { x } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 } \end{array} \right.$ 这样的振荡间断点，我们可以说，曲线上的点均是相依相偎的，它
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们并没有“断开”（如像
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样跳跃断开，或像
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样可去断开）
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而是像图形
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总之，形如 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 } \end{array} \right. }$ 这样的振荡间断点，没有实际上的“断开”，它们是点点相依相偎的，只是它有一个独特的地方，即无限次振荡，故只能称间断，曰：（无限次）振荡使得极限不存在而不得不称为间断的点.
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还记得“连续函数”必有原函数吗？原函数当然是可导函数，也就是说，一个“点点相依相偎”（连续）的函数，一定有（是）一个“点点相依相偎更近”（可导）的函数求导而得到的.反过来说，一个“点点相依相偎更近”（可导）的函数，求导后，会得到一个“点点相依相偎”（可以理解为靠近程度降低）的函数.于是，不只是连续函数“点点相依相偎”，我们研究得如此细致的“振荡间断函数”也可以“点点相依相偎”啊！故可导函数求导后，可能得到连续函数，也可能得到含振荡间断点的函数，只要这些函数“点点相依相偎”（足够近）就行.
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于是，若f（x)可导，则f‘（x)可能连续，也可能含有振荡间断点现在可以准确回答这个问题了—振荡间断点是什么样子？它是真的断了吗？设
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f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x ^ { 2 } \cos \frac { 1 } { x } , ~ x \neq 0 , } \\ { 0 , ~ x = 0 , } \end{array} \right.
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其在 $( - \infty , + \infty )$ 上处处可导，且其导函数为
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f ^ { \prime } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x \cos \displaystyle \frac { 1 } { x } + \sin \displaystyle \frac { 1 } { x } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 . } \end{array} \right.
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显然，
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\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ^ { \prime } ( x ) { \stackrel { ( * ) } { - } } \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } 2 x \cos { \frac { 1 } { x } } + \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \sin { \frac { 1 } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \sin { \frac { 1 } { x } } ,
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极限振荡不存在.请原谅我在(\*)处鲁莽地拆开了，那只是为了让各位更清楚地看到 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \sin { \frac { 1 } { x } }$ .如前
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所述，函数 $\left\{ { \begin{array} { l l } { \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 } \end{array} } \right.$ 放大无穷倍后的样子为
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导函数的值不会突变，我们可以放心了
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以上我们讨论了函数真实存在的样子，事实上，微积分就是在研究函数微观上的样子，当你懂得了这些，就会逐渐发现它们的威力，并拥有了揭示真实的力量。
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## 定积分
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## 定义
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①分割（分割方法不唯一，只要分成n份即可)：②近似；③求和；④取极限.
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(1)定积分的概念.
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若函数f(x)在区间[a,b]上有界，在(a,b)上任取n-1个分点 $x _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots , n - 1 )$ ，定义 $x _ { 0 } = a$ 和 $\scriptstyle x _ { n } = b$ ，且 $a = x _ { 0 } < x _ { 1 } < x _ { 2 } < x _ { 3 } < \dots < x _ { n - 1 } < x _ { n } = b$ ，记 $\Delta x _ { k } = x _ { k } - x _ { k - 1 } , k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n$ .并任取一点$\xi _ { k } \in \left[ x _ { k - 1 } , \ x _ { k } \right]$ ，记 $\lambda = \operatorname* { m a x } _ { | \leqslant k \leqslant n } \left\{ \Delta x _ { k } \right\}$ ，若当λ→0时，极限 $\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f { \big ( } \xi _ { k } { \big ) } \Delta x _ { k }$ 存在且与分点 $x _ { i }$ 及点 $\xi _ { k }$ 的取法
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无关，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，即
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如果你问我，积分号 $\cdot \int \cdot$ 是怎么来的，我情愿你这样看：
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但事实上，积分号 $\cdot \int \cdot$ 是莱布尼茨给出的，在德国小城汉诺威（菜布尼茨在这里度过了人生的最后时光）的菜布尼茨纪念馆的一份他的手稿中，明确写到： $\int \limits _ { } ^ { + \infty } d \phi \dot { } ^ { 2 } \sin \theta \dot { } \theta$ 的首字母s拉长，写成了“「”·
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注定积分的定义是由德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann)给出的，故这种积分又被称为黎曼积分
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(2)几何意义：
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黎曼（1826-1866）
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在[a,b]上，①若f(x)≥0，定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 表示由曲线 $y = f ( x )$ 、直线 $x = a$ 、直线 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { b }$ 与x轴所围成的曲边梯形的面积[见图8-1(a)}；②若f(x)≤0，定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 表示由曲线y=f(x)、直线 $x = a$ 直线x=b与x轴所围成的曲边梯形面积的负值[见图8-1(b)]；③若f(x)既有正值又有负值，定积分$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 表示x轴上方图形的面积减去x轴下方图形的面积[见图8-1(c).
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(a)
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图8-1
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(c)
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(3)定积分的精确定义.
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当定积分存在时，存在两个“任取”：分点 $x _ { i }$ 任取，一点 $\xi _ { i } \in ( x _ { i - 1 } , x _ { i } )$ 任取.故可作两个“特取”：
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将[a,b]n等分且取每个小区间的右端点为 $\xi _ { i }$ （见图8-2)，即
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f { \Biggl ( } a + { \frac { b - a } { n } } i { \Biggl ) } { \frac { b - a } { n } }
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①n等分并取右端点的函数值作为高：
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②近似；
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③求和：
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④取极限.
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取左端点的函数值作为高：
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\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } f { \biggl ( } a + { \frac { b - a } { n } } i { \biggr ) } { \frac { b - a } { n } } = \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x
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图8-2
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若将式子中的a,b特殊化为0,1这两个数，得出的形式更为简单：
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\boxed \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x = \lim _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \frac { i } { n } ) \frac { 1 } { n } ~ \cdot ~ \Bigg | \star \star \star
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(4)定积分的值与字母无关.
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当定积分存在时，有
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { a } ^ { b } f ( u ) \mathrm { d } u \ ,
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注：积分与字母无关，无论x，t，u，都只是一个符号
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这就是说，定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关.
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是个客观存在的数量值
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## ②存在定理
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定积分的存在性，也称一元函数的（常义)可积性.这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”，也有人称为“黎曼”可积性，与后面要谈到的“区间无穷，函数无界”的“反常”积分有所区别.在本讲中所谈到的可积性都是指常义可积性. y √
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函数与积分区间被限制在框之内.
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按照《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》，定积分存在定理包括下面两个方面.
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(1)定积分存在的充分条件.
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闭区间上连续函数一定有界；连续函数一定存在不定积分；①若f(x)在[a,b]上连续，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在. 连续函数一定存在定积分.
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②若f(x)在[a,b]上单调，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在． ↓
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由于函数单调，故f(a)，f(b)即为函数的界，对位意x∈(a,b)，f(x)一定介于f(a)，f(b)之间
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③若f(x)在 $[ a , b ]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在．
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不包含无穷间断点，因为无穷间断点会导致无界
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④若f(x)在[a,b]上有有限个第一类间断点，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在.
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(2)定积分存在的必要条件.
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可积函数必有界，即若定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在，则f(x)在[a,b]上必有界.
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关于定积分存在的必要条件，不妨这样理解：当我们任意分割图形底边为若干小段时，若f(x)在区间[a，b]上无界，则至少存在一个小段△x，在△x上，f（x)可以任意大，于是一个“小竖条”的面积f(x)△x便可以无穷大，这样整个曲边梯形的面积就是无穷大，于是极限就不存在了，所以可积函数必有界
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注意与反常积分作区分：反常积分有可能出现函数无界的情况.
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函数不定积分存在定理与定积分存在定理的区别与联系见例8.3.
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## ③性质（假设以下积分均存在）
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两个规定：
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(1)当b=a时， $\int _ { a } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x = 0$
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(2)当a>b时， $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = - \int _ { b } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x$
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性质1（求区间长度）假设 $a < b$ ，则 $\int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x = b - a = L$ ，其中L为区间［a,b]的长度.
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性质2（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则 $\int _ { a } ^ { b } [ k _ { 1 } f ( x ) \pm k _ { 2 } g ( x ) ] \mathrm { d } x = k _ { 1 } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \pm k _ { 2 } \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$
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性质3(积分的可加（拆)性）无论a,b,c的大小如何，总有 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$
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性质4（积分的保号性）若在区间 $[ a , b ]$ 上 $f ( x ) { \leqslant } g ( x )$ ，则有 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$
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特殊地，有
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由图可得， $\left| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \right| = \left| 5 - 3 \right| = 2$ $\int _ { a } ^ { b } \lvert f ( x ) \rvert \mathrm { d } x = 5 + 3 = 8$ 则有 $\left| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { a } ^ { b } { \bigl | } f ( x ) { \bigr | } \mathrm { d } x$
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注事实上，设f（x）是[a，b]上非负的连续函数，只要f（x）不恒等于零，则必有
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x > 0 .
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在有些积分不等式的证明与定积分值的估计中，要求获得严格的不等式结果，便需要用到这个结论，其证明见例8.7.
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极限戴帽法： $f ( x ) > 0$ 贝 $\operatorname* { l i m } _ { x \to - } f ( x ) \geq 0$ 与极限作区分 极限脱帽法： $\operatorname* { l i m } _ { x \to - } f ( x ) > 0$ ，则f(x)>0.
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积分： $f ( x ) - g ( x ) \leqslant 0 , a < b$ 则 $\int _ { a } ^ { b } { \bigl [ } f ( x ) - g ( x ) { \bigr ] } \mathrm { d } x \leq 0$
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若有条件f(x)-g(x)连续，且不恒为0，则 $\int \displaylimits _ { a } ^ { b } [ f ( x ) - g ( x ) ] d x < 0$
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性质5(估值定理）设M,m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，L为区间[a,b]的长度，则有
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m L { \leqslant } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \leqslant } M L \ .
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证 $\int _ { a } ^ { b } m \mathrm { d } x \leqslant \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \int _ { a } ^ { b } M \mathrm { d } x$ ，有 $m L \leqslant \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant M L$ $\partial _ { m } \leqslant f ( x ) \leqslant M$
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★★★性质6(中值定理）设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点 $\xi$ ，使得
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a ) \ .
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例8.3 在区间[-1,2]上，以下四个结论：
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AY x=0是跳跃间断点$\scriptstyle | f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , } & { x > 0 , } \\ { 1 , } & { x = 0 , } \\ { - 1 , } & { x < 0 } \end{array} \right. }$ 2① 有原函数，但其定积分不存在；→x0-1
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$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x \sin \displaystyle \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x } \cos \displaystyle \frac { 1 } { x ^ { 2 } } , } & { ~ x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { ~ x = 0 } \end{array} \right.$ 有原函数，其定积分也存在；
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$f ( x ) = \left\{ { \frac { 1 } { x } } , \quad x \neq 0 , \right.$ 没有原函数，其定积分也不存在；
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$f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x \cos { \frac { 1 } { x } } + \sin { \frac { 1 } { x } } } \\ { 0 , } \end{array} \right. }$ $\begin{array} { l } { { { x } \neq 0 , } } \\ { { \ } } \\ { { { x } = 0 } } \end{array}$ 有原函数，其定积分也存在. x=0是无穷间断点
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正确结论的个数为（ ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4分析有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数.
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定积分存在的充分条件：①f(x)在[a,b]上连续；②f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点；③f(x)在 [a,b]上单调.
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定积分存在的必要条件：①[a,b]有限长度；②f(x)在[a,b]上有界.
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应选 (B).
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本题通过具体的例子考查考生是否能够明确区分不定积分与定积分的存在性.逐个分析即可.
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对于 $f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { 2 , } & { x > 0 , } \\ { 1 , } & { x = 0 , } \\ { - 1 , } & { x < 0 , } \end{array} } \right.$ ，由于x=0是其跳跃间断点，根据不定积分存在定理，在任意一个包含x=0的区间[a,b]上，f(x)一定不存在原函数，但由于f(x)满足定积分存在定理，故定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在，所以①错误.
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对于 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x \sin \displaystyle \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x } \cos \displaystyle \frac { 1 } { x ^ { 2 } } , } & { ~ x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { ~ x = 0 , } \end{array} \right.$ x=0是其振荡间断点，但是容易验证：
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若 $F ( x ) = \left\{ { x ^ { 2 } \sin \frac { 1 } { x ^ { 2 } } , } \quad x \neq 0 , \right.$ 则 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x ) ( - \infty < x < + \infty )$ ，所以f(x)存在原函数，但在任意一个包含x=0的区间[a,b]上，定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 不存在，因为在x=0的邻域内f(x)无界，所以②错误.
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对于 $f ( x ) = \left\{ { \frac { 1 } { x } } , \quad x \neq 0 , \right.$ 因为x=0是其无穷间断点，所以f(x)在包含x=0的区间[a,b]上不存在原函数，定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也不存在，所以③正确.
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对于 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x \cos \frac { 1 } { x } + \sin \frac { 1 } { x } , } & { ~ x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { ~ x = 0 , } \end{array} \right.$ 它在 $( - \infty , + \infty )$ 内存在原函数 $F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { x ^ { 2 } \cos \frac { 1 } { x } , } } & { { x \neq 0 , } } \\ { { 0 , } } & { { x = 0 , } } \end{array} \right.$ 并且在任意一个包含x=0的区间[a,b]上，定积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也存在，因为f(x)有界且只有一个振荡间断点，↓所以④正确. $\left| 2 x \cos { \frac { 1 } { x } } + \sin { \frac { 1 } { x } } \right| \leqslant 2 \left| x \right| \cdot \left| \cos { \frac { 1 } { x } } \right| + \left| \sin { \frac { 1 } { x } } \right| \leqslant 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1 = 5$
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综上所述，答案选择 (B).
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例8.4 设可导函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是[0,+∞)，f(0)=0,f'(x)>0,x=φ(y)是y=f(x)的反函数.记 $I = \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { b } \varphi ( y ) \mathrm { d } y$ ，常数a,b>0，当 $a < \varphi ( b )$ 时，则（ ）.y=f(x)和x=φ(y)是同一条曲(A) $I > a b$ (B) $I < a b$ 线，与 $y = f ^ { - 1 } ( x )$ 关于y=x对称(C) $I = a b$ (D)I与ab的大小关系不确定
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解 应选(A).
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由题设易知，f(x)是过原点且在 $[ 0 , + \infty )$ 上单调递增的函数.已知x=φ(y)是y=f(x)的反函数，则 $x = \varphi ( y )$ 与y=f(x)在同一坐标系下共线，如图8-3所示.
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图8-3
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由图8-3可知，
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\begin{array} { l } { \displaystyle { I = \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { b } \varphi ( y ) \mathrm { d } y } } \\ { \displaystyle { \phantom { \frac { I } { \ d H } } = S _ { 1 } + S _ { 2 } + S _ { 3 } > S _ { 1 } + S _ { 2 } = a b \ , } } \end{array}
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$$
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故 $I > a b$ .因此选(A).
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例8.5 $y = \mathsf { e } ^ { - x } \sin x$ 在 $[ 0 , + \infty )$ 上与x轴所围平面区域的面积写成如下表达式：$\int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \left| \sin x \right| \mathrm { d } x$ ② $\left| \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \sin { x } \mathrm { d } x \right|$ ③ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left| \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x \right|$
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其中正确表达式的个数是（）.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
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解 应选(C).
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由 $^ { \# } \sum _ { \cdot } , 1 . ( 2 ) ^ { \prime \prime }$ 定积分的几何意义，因 $y = \operatorname { e } ^ { - x } \sin x$ 在 $[ 0 , + \infty )$ 上既有正值，也有负值，故 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \sin { x } \mathrm { d } x$
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表示其在x轴上方所围图形的面积减去其在x轴下方所围图形的面积，如图8-4所示. $\left| \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \sin { x } \mathrm { d } x \right|$ 表示面积差的绝对值，不符合题意，排除②.
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而 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \left| \sin x \right| \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left| \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \right| \mathrm { d } x$ ，表示 $\left| \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \right|$ 在[0,+8)上与x轴所围图形的面积，如图8-5所示，符合题意，故①正确.
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图8-4
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对于③， $\left| \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin { x } \mathrm { d } x \right|$ 表示在[kπ,(k+1)π]上 ${ \mathfrak { e } } ^ { - x } \sin x$ 与x轴所围图形的面积，故 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left| \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin { x } \mathrm { d } x \right|$ 亦符合题意，故③正确.所以正确的表达式有2个.
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图8-5
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例8.6 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { n + 1 } { n ^ { 2 } + 1 } } + { \frac { n + 2 } { n ^ { 2 } + 4 } } + { \frac { n + 3 } { n ^ { 2 } + 9 } } + \cdots + { \frac { n + n } { n ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } \right) = ~ ( \qquad )$ （A) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 + x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ (B) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + x } \mathrm { d } x$ (C) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ (D) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 x } { 1 + { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$
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分析 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f { \biggl ( } { \frac { i } { n } } { \biggr ) } \bullet { \frac { 1 } { n } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f { \bigg ( } { \frac { 2 i - 1 } { 2 n } } { \bigg ) } { \frac { 1 } { n } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x$
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如 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } + n + 2 } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } + n + n } } \right)$ ，利用夹逼准则，有
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\frac { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } { n ^ { 2 } + n + n } \leqslant \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { i } { n ^ { 2 } + n + i } \leqslant \frac { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } { n ^ { 2 } + n + 1 } ,
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$$
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故 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { i } { n ^ { 2 } + n + i } } = { \frac { 1 } { 2 } }$
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此题若用夹逼准则，有
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\frac { n ^ { 2 } + \displaystyle \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } { n ^ { 2 } + n ^ { 2 } } < \sum _ { i = 1 } ^ { n } \displaystyle \frac { n + i } { n ^ { 2 } + i ^ { 2 } } < \frac { n ^ { 2 } + \displaystyle \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } { n ^ { 2 } + 1 } ,
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夹不住
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所以此题采用“凑定积分定义”法，即对于 $\operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } g ( n , i )$ ，判别g(n,i)能否写成 $f { \Biggl ( } { \frac { i } { n } } { \Biggr ) } \cdot { \frac { 1 } { n } } \operatorname { \mathbb { E } } { \frac { 1 } { n } } f { \Biggl ( } { \frac { 2 i - 1 } { 2 n } } { \Biggr ) }$
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→对于n项和的极限，先提 $\frac { 1 } { n }$ ：
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\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { n + 1 } { n ^ { 2 } + 1 } } + { \frac { n + 2 } { n ^ { 2 } + 4 } } + { \frac { n + 3 } { n ^ { 2 } + 9 } } + \cdots + { \frac { n + n } { n ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { n + i } { n ^ { 2 } + i ^ { 2 } } }
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$$
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若能凑成 $f { \Bigg ( } { \frac { i } { n } } { \Bigg ) }$ 则用定积分定义；
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若不能，则考虑夹逼准则.
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\underline { { \underline { { \mathbb { D } } } } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { n ^ { 2 } + n i } { n ^ { 2 } + i ^ { 2 } } \bullet \frac { 1 } { n } \{ \underline { { \underline { { \mathcal { Q } } } } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 + \frac { i } { n } } { 1 + \left( \frac { i } { n } \right) ^ { 2 } } \bullet \frac { 1 } { n } \underline { { \underline { { \mathbb { Q } } } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 + x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \ .
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## 注“凑定积分定义”的步骤如下：
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①先提出 $\frac { 1 } { n }$ ②再凑出 $\frac { i } { n }$ ③由于 $\frac { i } { n } = 0 + \frac { 1 - 0 } { n } i$ , 故 $\frac { i } { n }$ 可以读作 ${ } ^ { \mathfrak { a } }$ 到1上的 $x ^ { \prime \prime }$ 且 $\frac { 1 } { n } = \frac { 1 - 0 } { n }$ 读作 ${ } ^ { \mathfrak { a } }$ 到1上的 $\mathrm { d } x ^ { \prime \prime }$ ，于是，“凑定义”完毕.
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例8.7 设f(x)是[a,b]上非负的连续函数，且f(x)不恒等于零，证明必有 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x > 0$
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因函数f(x)在[a,b]上不恒等于零，且非负，故至少存在一点 $x _ { 0 } \in ( a , b )$ ，使得 $f ( x _ { 0 } ) \neq 0$ ，即$f ( x _ { 0 } ) > 0$
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## 考研数学基础30讲·高等数学分册
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由连续函数的局部保号性知，存在 $\delta > 0$ 与 $\eta > 0$ ，使得当 $x \in [ x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } + \delta ] \subset [ a , b ]$ 时，恒有$f ( x ) \geq \eta > 0$
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根据定积分的不等式性质，有 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \geqslant \int _ { x _ { 0 } - \delta } ^ { x _ { 0 } + \delta } f ( x ) \mathrm { d } x \geqslant \eta \int _ { x _ { 0 } - \delta } ^ { x _ { 0 } + \delta } \mathrm { d } x = 2 \eta \delta > 0$
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注该命题的推论：若连续函数f（x），g（x）满足 $f ( x ) \geq g ( x )$ ，且f(x)不恒等于 $g ( x )$ 又 $a < b$ 则必有严格不等式 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x > \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$
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\begin{array} { c } { f ( x ) - g ( x ) \geq 0 } \\ { \Downarrow } \end{array}
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\int _ { a } ^ { b } [ f ( x ) - g ( x ) ] \mathrm { d } x \geq 0
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \geq \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x
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例8.8 设f(x)在［a,b]上连续，证明存在 $\xi \in [ a , b ]$ ，使得
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a ) \ .
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证 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上存在最大值M与最小值m，使得
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m ( b - a ) { \leqslant } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \leqslant } M ( b - a ) ,
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故
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m { \leqslant } \frac { 1 } { b - a } { \int _ { a } ^ { b } { f ( x ) \mathrm { d } x } } { \leqslant } M \ .
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由介值定理可知，存在 $\xi \in [ a , b ]$ ，使得 $f ( \xi ) = { \frac { 1 } { b - a } } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ ，得证．
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## 注如何证明 $\xi \in ( a , b )$ 时，结论仍成立？
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设f（x）在[a，b]上连续，证明存在 $\xi \in ( a , b )$ ，使得 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )$
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证方法一 令 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在 $[ a , b ]$ 上用拉格朗日中值定理，则 $F ( b ) - F ( a ) = F ^ { \prime } ( \xi ) ( b - a )$ 即
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x - 0 = f ( \xi ) ( b - a ) , \xi \in ( a , b ) ,
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得证
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①用积分中值定理： $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )$ 见到f(x)dx②改成ʃ²f(t)dt ，辅助法。
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )
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$k = { \frac { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x } { b - a } }$ 设 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t - k ( x - a )$ 则F(b)=F(a)=0，故由罗尔定理知，存在$\xi \in ( a , b )$ 使F（ξ)=0，故 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )$ 考研真题中已经考过，可直接在大题中使用，不必证明．
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例8.9 设 $I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \tan x } { x } \mathrm { d } x , I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { x } { \tan x } \mathrm { d } x$ ，则（ ）.(A) $I _ { 1 } > I _ { 2 } > 1$ (B) $1 > I _ { 1 } > I _ { 2 }$ (C） $I _ { 2 } > I _ { 1 } > 1$ (D) $1 > I _ { 2 } > I _ { 1 }$
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## 解 应选 (B).
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方法一当 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 4 } } \right)$ 时， $0 < \sin x < x < \tan x$ ，故 $\frac { \tan x } { x } > \frac { x } { \tan x }$ ，则
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I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \tan x } { x } \mathrm { d } x > \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { x } { \tan x } \mathrm { d } x = I _ { 2 } \ .
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$$
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这便排除了选项(C)和(D).
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由第2讲 ${ } ^ { * } 6 .$ 注 $\enclose{circle} { 2 } \enclose{circle} { 7 } \mathrm { Y }$ 重要不等式可知，当 $0 < x < \frac { \pi } { 4 }$ 时， $\frac { \tan x } { x } < \frac { 4 } { \pi }$ ，则有 $I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \tan x } { x } \mathrm { d } x < \frac { 4 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { d } x = 1$ 故(B)正确.
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方法二
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I _ { 2 } - I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { x } { \tan x } - \frac { \tan x } { x } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { ( x + \tan x ) ( x - \tan x ) } { x \tan x } \mathrm { d } x .
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由积分的保号性，可知当 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 4 } } \right)$ 时， $x - \tan x < 0$ ，故 $I _ { 2 } - I _ { 1 } < 0$ ，即 $I _ { 2 } < I _ { 1 }$
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区 $g ( x ) = { \frac { \tan x } { x } }$ ，则 $g ^ { \prime } ( x ) = { \frac { x \sec ^ { 2 } x - \tan x } { x ^ { 2 } } } = { \frac { x - \sin x \bullet \cos x } { x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x } }$
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当 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 4 } } \right)$ 时， $g ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，故g(x)单调递增，则
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g ( x ) < g \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = \frac { 4 } { \pi } ,
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即 $I _ { 1 } < 1$ ，故 $I _ { 2 } < I _ { 1 } < 1$ .因此选 (B).
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例8.10 设 $M = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ( \sin x ) \mathrm { d } x$ $N = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ( \cos x ) \mathrm { d } x$ ，则（ ）(A) $M < 1 < N$ (B) $M < N < 1$
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（C） $N < M < 1$
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(D) $1 < M < N$
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分析考查复合函数 $f [ g ( x ) ]$
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涉及知识点： $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \cos x ) \mathrm { d } x$
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$x = \frac { \pi } { 2 } - t$ ，则有 $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \sin x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \cos t ) \mathrm { d } t$ 积分与字母无关 ff(cosxDar
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## 解 应选(A).
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sin(sin x),cos(cos x) 均在 $\left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$ 上连续，由 $\sin x \leqslant x$ 知 $\sin ( \sin x ) { \leqslant } \sin x$ ，且 sin(sin x)≠sin x $\left( x \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right] \right)$ ，故
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$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ( \sin x ) \mathrm { d } x < \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin x \mathrm { d } x = 1$ ，即 $M < 1$
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又
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$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ( \cos x ) \mathrm { d } x \frac { \widehat { \mathcal { A } } _ { \sigma } = \frac { \pi } { 2 } - t } { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ( \sin t ) \mathrm { d } t > \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos t \mathrm { d } t = 1 }$ ，即 $N > 1$
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因此选 (A).
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## 变限积分
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→本质是一个由定积分定义的函数.
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## 1 概念
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当x在[a,b]上变动时，对应于每一个x值，积分 $\int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 都有一个确定的值，因此 $\int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 是一个关于x的函数，记作
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F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \left( a \leqslant x \leqslant b \right) ,
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称函数F(x)为变上限的定积分.同理可以定义变下限的定积分和上、下限都变化的定积分，这些都称为变限积分.事实上，变限积分就是定积分的推广. √
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## 2性质
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\tilde { \chi } _ { 3 } \int _ { x ^ { 2 } } ^ { e ^ { x } } f ( t ) \mathrm { d } t
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$$
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(1)函数f(x)在I上可积，则函数 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在I上连续 $, f ( x ) \det { \frac { \mathfrak { g } } { \mathfrak { d } } } \Rightarrow \operatorname { i f } 3 3 \neq { \mathfrak { g } } { \mathfrak { s } } \Rightarrow { \mathfrak { g } } { \mathfrak { s } } \Rightarrow { \mathfrak { K } } \oplus$
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F(x)若存在，则其一定连续.与f(x)作区分：f(x)存在但其并不一定连续.
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★★★(2)函数f(x)在I上连续，则函数 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在I上可导且 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$
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(3)若 $x = x _ { 0 } \in I$ 是f(x)唯一的跳跃间断点，则 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在 $x _ { 0 }$ 处不可导，且 $\{ { \begin{array} { l } { F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } ^ { - } } f ( x ) } \\ { F _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } ^ { + } } f ( x ) . } \end{array} } $ 若 ${ \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } _ { 0 } \in I$ 是f(x)唯一的可去间断点，则 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导，且 $F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) \neq f ( x _ { 0 } )$ 依据可去间断点的定义 依掘可土间断占函定义
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## 注（1）第一个性质的证明如下，—→该证明不需掌握，看懂即可.
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证对任意 $x , x + \Delta x \in I$ ，有
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F ( x + \Delta x ) - F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t .
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由可积的必要条件可知，存在M>0，使得在I上有 $\vert f ( x ) \vert \leqslant M$ ，所以有
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0 \leqslant \left| F ( x + \Delta x ) - F ( x ) \right| \leqslant M \left| \Delta x \right| ,
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则 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x 0 } | F ( x + \Delta x ) - F ( x ) | = 0$ $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x 0 } [ F ( x + \Delta x ) - F ( x ) ] = 0$ 或 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x 0 } F ( x + \Delta x ) = F ( x )$ 得证
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## 充要条件
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F(x)在x点连续的定义由此可见，对于变限积分 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 只要它存在，就必然是连续的
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（2）第二个性质的证明如下
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证对任意的 $x , x + \Delta x \in I$ ，由于函数f（x）连续，因此
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\begin{array} { r l r } { { \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { F ( x + \Delta x ) - F ( x ) } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \int _ { a } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { \Delta x } } } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \int _ { x } ^ { x + \Delta x } f ( t ) \mathrm { d } t } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ( \xi ) \Delta x } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } f ( \xi ) = f ( x ) , } \end{array}
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$$
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其中5介于x与 $x + \Delta x$ 之间
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由此可见，如果函数f(x)在区间1上连续，则 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 是f(x)在区间I上的一个原函数.
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（3）第三个性质的证明如下
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证因为 $x = x _ { 0 } \in I$ 是f(x)唯一的间断点，所以 $\boldsymbol { x } \neq \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 时，f(x)连续，此时 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t ~ { \overline { { \operatorname { p } } } } \int$
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$F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$ $F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ →这两个等号使用洛必达法则$x _ { 0 } \in I$ 是f(x)的跳跃间断点，则 $F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) { \underset { x x _ { 0 } ^ { + } } { = } } { \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } ^ { - } } } f ( x ) , F _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) { \underset { x x _ { 0 } ^ { + } } { = } } { \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } ^ { + } } } f ( x )$ 因为 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } f ( x ) \neq \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } f ( x )$
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所以此时 $F _ { \mathrm { - } } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq F _ { \mathrm { + } } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ $F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在 $x _ { 0 }$ 处不可导.$x _ { 0 } \in I$ 是f(x)的可去间断点，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x )$ 存在，于是 $F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x )$ 存在
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例8.11 设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形如图8-6所示，则函数 $F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 的图形为（）
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图8-6
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(A)
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(B)
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(C)
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(D)
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## 解 应选(D).
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本题有三个要点：第一，变限积分只要存在就必连续，故排除(B);第二，由f(x)有两个跳跃间断点可知，F(x)应有两个不可导点，排除(A);第三， $F ( 0 ) = \int _ { 0 } ^ { 0 } f ( t ) \mathrm { d } t = 0$ ,所以F(x)的图像过原点,排除(C).故答案选择 (D).
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注本题是考研真题，如果考生能够熟练掌握一元函数积分学的有关概念和性质，便可轻松解决这个问题，而无须进行烦琐的计算，从这个角度说，本题是概念题．
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例8.12 设函数 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos x , } & { 0 \leqslant x < \pi , } \\ { 1 , } & { \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi } \end{array} \right. }$ $F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，则（）.(A)x=π是函数F(x)的跳跃间断点 (B)x=π是函数F(x)的可去间断点(C)F(x)在x=π处连续但不可导 (D)F(x)在x=π处可导
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解应选(C). limcos x=-1： lim1=1x→π x-→x
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方法一由于x=π为f(x)的跳跃间断点，因此 $F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在x=π处连续但不可导，故选(C).
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方法二 $F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = { \Biggl \{ } { \int _ { 0 } ^ { x } \cos t \mathrm { d } t } { , } $ $\begin{array} { l } { 0 { \leqslant } x < \pi , } \\ { \pi { \leqslant } x { < } 2 \pi } \end{array} = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin x , } & { 0 { \leqslant } x < \pi , } \\ { x - \pi , } & { \pi { \leqslant } x { \leqslant } 2 \pi . } \end{array} \right.$
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因为 $\operatorname* { l i m } _ { x \to \pi ^ { * } } F ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to \pi ^ { - } } F ( x ) = F ( \pi ) = 0$ ，所以F(x)在x=π处连续.而$F _ { _ { x } - } ^ { \prime } ( \pi ) = \operatorname * { l i m } _ { x \pi ^ { - } } \frac { F ( x ) - F ( \pi ) } { x - \pi } = \operatorname * { l i m } _ { x \pi ^ { - } } \frac { \sin x - 0 } { x - \pi } = \operatorname * { l i m } _ { x \pi ^ { - } } \frac { \cos x } { 1 } = - 1 \ ,$ $F _ { + } ^ { \prime } ( \pi ) = \operatorname * { l i m } _ { x \pi ^ { + } } \frac { F ( x ) - F ( \pi ) } { x - \pi } = \operatorname * { l i m } _ { x \pi ^ { + } } \frac { x - \pi - 0 } { x - \pi } = 1 \ ,$
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因此 $F _ { - } ^ { \prime } ( \pi ) \neq F _ { + } ^ { \prime } ( \pi )$ ，即F(x)在x=π处不可导.
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例8.13 设 $f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { \mathbf { e } ^ { x ^ { 2 } } + x ^ { 2 } , } & { x \neq 0 , } \\ { a , } & { x = 0 , } \end{array} } \right.$ 其中a为常数，令 $F ( x ) = \int _ { - 1 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，则以下命题：①当a=1时，F(x)在x=0处可导;
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②当a≠1时，F(x)在x=0处可导；
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③当a=1时，F(x)在x=0处不可导；
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④当a≠1时，F(x)在x=0处不可导.
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所有真命题的序号为（）.
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（A)①④ (B)①② (C)③④ (D)②③
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F ^ { \prime } ( 0 ) = f ( 0 ) = 1
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$$
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F ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { \int _ { - 1 } ^ { x } ( { \mathrm { e } } ^ { t ^ { 2 } } + t ^ { 2 } ) \mathrm { d } t - \int _ { - 1 } ^ { 0 } ( { \mathrm { e } } ^ { t ^ { 2 } } + t ^ { 2 } ) \mathrm { d } t } { x - 0 } \frac { \mathrm { i } \sharp _ { + } \langle \zeta _ { - } \rangle \xi \mathrm { d } \xi \mathrm { d } \mathrm { H } } { x \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } ( { \mathrm { e } } ^ { x ^ { 2 } } + x ^ { 2 } ) = 1
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$$
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于是 $F ^ { \prime } ( 0 )$ 存在，即F(x)在x=0处仍可导，故选(B). 或用 F(x)在x=0处可导. $\ = 2 . ( 3 ) ^ { \circ }$ 的结论，直接有
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当 $a \neq 1$ 时， $F ^ { \prime } ( 0 ) = 1 \neq a = f ( 0 )$ ，在包含x=0的区间上， $F ( x )$ 不是f（x）的原函数.
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例8.14 设 $\mathbf { \nabla } _ { a > 0 }$ ，函数f(x)在 $[ 0 , + \infty )$ 内连续有界，C为任意常数，证明： $y = \mathbf { e } ^ { - a x } \left[ \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { e } ^ { a t } \mathrm { d } t + C \right]$ 有界.
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证 由f(x)在 $[ 0 , + \infty )$ 内有界，设 $\vert f ( x ) \vert { \leqslant } M$ ，则当 $x \geqslant 0$ 时，有
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\begin{array} { l } { \displaystyle \left. y ( x ) \right. = \left. \mathrm { e } ^ { - \alpha x } \Biggl [ C + \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { e } ^ { a t } \mathrm { d } t \Biggr ] \right. \leqslant \left. C \mathrm { e } ^ { - \alpha x } \right. + \mathrm { e } ^ { - \alpha x } \Biggl \vert \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { e } ^ { a t } \mathrm { d } t \Biggl \vert \longrightarrow \left. \mathbb { R } \mathbb { R } \right. \left. a \pm b \right. \leqslant \left. a \right. + \left. b \right. } \\ { \displaystyle \qquad \leqslant \left. C \right. + \mathrm { e } ^ { - \alpha x } \int _ { 0 } ^ { x } \left. f ( t ) \mathrm { e } ^ { a t } \right. \mathrm { d } t \leqslant \left. C \right. + M \mathrm { e } ^ { - \alpha x } \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { e } ^ { a t } \mathrm { d } t } \\ { \displaystyle \qquad = \left. C \right. + \displaystyle \frac { M } { a } \displaystyle \frac { \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \alpha x } \right) \leqslant \left. C \right. + \displaystyle \frac { M } { a } } { a } \mathrm { , ~ } } \end{array}
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得证.
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## 反常积分
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## 概念
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前面已经指出，定积分存在有两个必要条件：一是积分区间有限，二是被积函数有界.如果破坏了积分区间的有限性，就引出无穷区间上的反常积分；如果破坏了被积函数的有界性，就引出无界函数的反常积分.
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区间有限定积分(常义积分)被积函数有界反常积分（广义积分）
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(1)无穷区间上反常积分的概念与敛散性.
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定义1 设F(x)是f(x)在相应区间上的一个原函数.
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①
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若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散.
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②
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\int _ { - \infty } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( b ) - \operatorname* { l i m } _ { x - \infty } F ( x ) \stackrel { - } { , }
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$$
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若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散.
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③
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$$
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\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { - \infty } ^ { x _ { 0 } } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { x _ { 0 } } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x \mathrm { ~ , ~ }
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$$
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若右端两个积分都收敛，则称反常积分收敛，否则称发散：
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只要有一个发散，则原反常积分就发散
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使f(x)在 $x _ { 0 }$ 的邻域内无界的点即为瑕点，
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$\not { D } \operatorname* { l i m } _ { x 0 } { \frac { 1 } { x } } = \infty , x = 0$ 为瑕点：
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(2)无界函数的反常积分的概念与敛散性.
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再 $\operatorname* { s u p } _ { x \to 0 } { \frac { 1 } { x } } \sin { \frac { 1 } { x } } = \#$ 界振茵，x=0为瑕点.y
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定义2设F(x)是f(x)在相应区间上的一个原函数， $x _ { 0 }$ 为f(x)的瑕点.
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①若 $x = a$ 是唯一瑕点，则
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$$
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( b ) - \operatorname* { l i m } _ { x a ^ { + } } F ( x ) \ ,
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$$
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若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散.
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②若x=b是唯一瑕点，则
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$$
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { x b ^ { - } } F ( x ) - F ( a ) { \stackrel { - } { , } }
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$$
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若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散.
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③若 ${ x = c \in ( a , b ) }$ 是唯一瑕点，则
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$$
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\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \ ;
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$$
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只要等号右边有一个发散，左边即发散.不存在“发散+发散=收敛”的情形.如 $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 3 } \mathrm { d } x = \int _ { - \infty } ^ { 0 } x ^ { 3 } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 3 } \mathrm { d } x$ 由
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于 $\int _ { - \infty } ^ { 0 } x ^ { 3 } \mathrm { d } x = - \infty$ ，发散，故 $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 3 } \mathrm { d } x$ 发散，而不是 $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 3 } \mathrm { d } x = 0 \ldots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 3 } \mathrm { d } x \ne \operatorname* { l i m } _ { R + \infty } \int _ { - R } ^ { R } x ^ { 3 } \mathrm { d } x$ ，只有当反常积分收敛时，个
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$\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { R + \infty } \int _ { - R } ^ { R } f ( x ) \mathrm { d } x$ 才成立.
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若右端两个积分都收敛，则称反常积分收敛，否则称发散.
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注在反常积分中，一般把“”和瑕点统称为奇点，→判别前提
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在判别积分敛散性时，一个积分中只能有一个奇点，若出现两个及以上奇点，需拆分。
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注请看（2）的①，当 $x = a$ 为f(x)的瑕点时，f(x)便是一个无界函数了，积分 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也可能存在.细心的考生可能会联想到，前面我们不是说 ${ \mathfrak { u } } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 存在的必要条件是f（x)有界”吗？这不是矛盾了吗？事实上，前面所说的 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 是定积分（黎曼积分），而这里的 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 是反常积分，它们并不是一个概念，所以没有任何矛盾，只是当考生读完这一段，最好今后在提到积分存在时，特别强调一下，是定积分存在（黎曼可积，常义可积），还是反常积分存在（广义可积）.
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## ②敛散性的判别法
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(1)无穷区间.
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比较判别法 设函数f(x)，g(x)在区间 $[ a , + \infty )$ 上连续，并且 $0 { \leqslant } \boxed { f ( x ) { \leqslant } g ( x ) } ( a { \leqslant } x < + \infty )$ ，则
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①当 $\int _ { a } ^ { + \infty } g ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛时， $\int _ { a } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛；
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②当 $\int _ { a } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 发散时， $\int _ { a } ^ { + \infty } g ( x ) \mathrm { d } x$ 发散.
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★比较判别法的极限形式 设函数f(x)，g(x)在区间 $[ a , + \infty )$ 上连续，且 $f ( x ) \geqslant 0 , g ( x ) > 0 , \lceil \operatorname* { l i m } _ { x + \infty } { \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } \rceil = \lambda$ （有限或8），则 →说明f(x)，g(x)是同阶无穷小计算极限
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①当 $\lambda \neq 0$ 且≠∞时， $\int _ { a } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 与 $\int _ { a } ^ { + \infty } g ( x ) \mathrm { d } x$ 有相同的敛散性；
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→f(x)趋于0的速度比g(x)更快
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②当 $\overline { { \lambda = 0 } }$ 时，若 $\int _ { a } ^ { + \infty } g ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛，则 $\int _ { a } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也收敛；
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→g(x)趋于0的速度比f(x)更快
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③当 $\lambda = \alpha$ 时，若 $\int _ { a } ^ { + \infty } g ( x ) \mathrm { d } x$ 发散，则 $\int _ { a } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也发散.
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(2)无界函数.
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比较判别法设f(x)，g(x)在(a,b]上连续，瑕点同为x=a，并且 $0 { \leqslant } \boxed { f ( x ) { \leqslant } g ( x ) } ( a < x { \leqslant } b )$ ，则
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①当 $\int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛时， $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛；
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②当 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 发散时， $\int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$ 发散.
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比较判别法的极限形式设f(x)，g(x)在(a,b]上连续，瑕点同为x=a，并且 $f ( x ) { \geqslant } 0 , g ( x ) >$ $0 ( a < x \leqslant b ) , \left| \operatorname* { l i m } _ { x \to a ^ { + } } { \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } \right| = \lambda$ （有限或），则 →计算极限
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→说明f(x)，g(x)是同阶无穷大
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①当 $\sqrt { \lambda \neq 0 }$ $\lambda \neq \infty$ 时， $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 和 $\int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$ 有相同的敛散性;
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g(x)趋于∞的速度比f(x)更快
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②当 $\scriptstyle { \left| \lambda = 0 \right| }$ 时，若 $\int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也收敛；
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→f(x)趋于∞的速度比g(x)更快
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③当 $\sqrt { \lambda = \alpha }$ 时，若 $\int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$ 发散，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 也发散.
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注两个重要结论
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① $\int \limits _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \vert x ^ { p } \vert } \mathrm { d } x .$ 收教， $0 < p < 1$ →p=1是临界值 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x = 0 - \operatorname* { l i m } _ { x 0 } \ln x = + \infty$ $p { \geqslant } 1$ p越小越收斂
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收敛， $p > 1$ $p { \leqslant } 1$ 加越大越收敛
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\Rightarrow \int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \ln x - \ln 1 = + \infty
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$$
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对于①，盯着 $x \to 0 ^ { + }$ 看， $x ^ { p }$ 的次数p：当 $p { \geqslant } 1$ 时， $x ^ { p }$ 趋于0的“速度”够快，其倒数 $\frac { 1 } { x ^ { p } }$ 趋于+∞的“速度”亦够快，积分发散；当 $0 < p < 1$ 时， $x ^ { p }$ 趋于0的“速度”不够快，其倒数 $\frac { 1 } { x ^ { p } }$ 趋于 $+ \infty$ 的“速度”亦不够快，积分收敛.
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懂得了以上道理后，便可有所发挥，如当 $x \to 0 ^ { + }$ 时， $\sin x \sim x$ 这意味着sinx与x趋于0的“速度”一样.故 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sin ^ { p } x } \mathrm { d } x$ （有时命制成 $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 1 } { \sin ^ { p } x } \mathrm { d } x )$ 依然满足 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { \sin x } { x } } = 1 . \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \sin ^ { p } x } { x ^ { p } } } = 1$
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收敛， $0 < p < 1$ 发散， $p \geqslant 1$
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事实上，凡是与x趋于0的“速度”一样的函数f（x）均可如上讨论。
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对于②，盯着 $x + \infty$ 看， $x ^ { p }$ 的次数p：当p>1时， $x ^ { p }$ 趋于+∞的“速度”够快，其倒数 $\frac { 1 } { x ^ { p } }$ 趋于0的“速度”亦够快，积分收敛；当 $p \leqslant 1$ 时， $x ^ { p }$ 趋于+∞的“速度”不够快，其倒数 $\frac { 1 } { x ^ { p } }$ 趋于0的“速度”亦不够快，积分发散．
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这里的发挥简单些，如当x→+∞且a>0时， $a x + b$ 亦趋于+∞，与𝑥趋于+∞的“速度”一样收敛， $p > 1$ $a x + b \geq k > 0$ 时 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { p } } } \mathrm { d } x$ 依然满足 发散， $p { \leqslant } 1$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { ( a x + b ) ^ { p } } { ( a x ) ^ { p } } } = 1$
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例8.15 设 $a > b > 0$ ，反常积分 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { a } + x ^ { b } } }$ dx收敛，则（(A)a>1且b>1 (B)a>1且 $b < 1$ (C)a<1且 $a + b > 1$ (D)a<1且b<1
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理论依据在“四、 $2 "$ 的注中讲过了，来看此题：
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$$
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I = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { { x ^ { a } + x ^ { b } } } \mathrm { d } x + \int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { { x ^ { a } + x ^ { b } } } \mathrm { d } x = I _ { 1 } + I _ { 2 } \ .
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$$
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对于 $I _ { 1 }$ ，盯着 $x \to 0 ^ { + }$ 看，由于 $a > b > 0$ ，因此 $x ^ { b }$ 趋于0的“速度”慢于 $x ^ { a }$ 趋于0的“速度”，
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$x ^ { a } + x ^ { b } \sim x ^ { b }$ ，于是 $I _ { 1 }$ 与 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { x ^ { b } } } \mathrm { d } x$ 同敛散，则b<1.
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对于 $I _ { 2 }$ ，盯着x→+∞看，由于 $a > b > 0$ ，因此 $x ^ { a }$ 趋于+8的“速度”快于 $x ^ { b }$ 趋于+8的“速度”，$x ^ { a } + x ^ { b }$ 与 $x ^ { a }$ 为等价无穷大量，于是 $I _ { 2 }$ 与 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { a } } } \mathrm { d } x$ 同敛散，则 $a > 1$
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综上，a>1且 $b < 1$ ，故选(B).
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例8.16 若反常积分 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \left( e ^ { - \cos \frac { 1 } { x } } - e ^ { - 1 } \right) d x$ kdx收敛，则k的取值范围是
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盯着x→+8看，由 $\mathbf { e } ^ { - \cos \frac { 1 } { x } } - \mathbf { e } ^ { - 1 } = \mathbf { e } ^ { - 1 } \left( \mathbf { e } ^ { - \cos \frac { 1 } { x } + 1 } - 1 \right)$ ，又当x→+∞时,$\mathrm { e } ^ { - \cos { \frac { 1 } { x } } + 1 } - 1 \sim 1 - \cos { \frac { 1 } { x } } \sim { \frac { 1 } { 2 } } \bullet { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } ,$
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故原反常积分与 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 - k } } \mathrm { d } x$ 同敛散，故当2-k>1，即k<1时，原反常积分收敛.
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例8.17 以下反常积分发散的是（ ）.(A) $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \left[ \ln \left( 1 + \frac { 1 } { x } \right) - \frac { 1 } { 1 + x } \right] \mathrm { d } x$ (B) $\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ (C） $\int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \sin x }$ (D) $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \sin { x } } { 1 + { x } ^ { 2 } } \mathrm { d } x$
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解 应选(C). lr $\scriptstyle \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) = \ln { \frac { x + 1 } { x } } = \ln ( x + 1 ) - \ln x$ 拉格朗日中值定理 1 $x < \xi < x + 1$
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对于(A)，对x∈[1,+∞)，有 故 $\frac { 1 } { x + 1 } < \frac { 1 } { \xi } < \frac { 1 } { x } \ , \beta \bar { \mathbb { P } } \frac { 1 } { x + 1 } < \ln \left( 1 + \frac { 1 } { x } \right) < \frac { 1 } { x }$ $0 < \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) - { \frac { 1 } { 1 + x } } < { \frac { 1 } { x } } - { \frac { 1 } { x + 1 } } = { \frac { 1 } { x ( x + 1 ) } } < { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \ .$
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由 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$ 收敛，可知 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \left[ \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) - { \frac { 1 } { 1 + x } } \right]$ dx收敛.
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对于(B)， $\int _ { 0 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x + \int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$ 当x→+8时， $\operatorname* { l i m } _ { x + \infty } { \frac { \ln x } { \displaystyle { \frac { \ln x } { x ^ { 2 } } } } } = 1$ 7
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因为 故 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln { x } } { 1 + x ^ { 2 } }$ dx敛散性与 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ 相同，此$\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } } = 1$ 式收敛，则 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } }$ dx收敛
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且反常积分 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \ln x \mathrm { d } x$ 收敛，所以反常积分 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } }$ dx收敛.√又因为 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { * } } { \frac { \ln x } { 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { * } } { \sqrt { x } } \ln x = 0$ 而 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { x } } \mathrm { d } x$ 收敛，故In xdx收敛.
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\operatorname* { l i m } _ { x + \infty } { \frac { \ln x } { \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 } } } = 0 \ ,
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$$
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且反常积分 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } x$ 收敛，所以反常积分 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ 收敛.
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综上可知，反常积分 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ 收敛.
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对于(C)，由于 $\cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { \frac { 1 } { \sin x } } { \frac { 1 } { x } } } = 1$ ，因此 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sin x } \mathrm { d } x$ 发散.而 $\int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sin x } \mathrm { d } x = \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { 1 } { \sin x } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sin x } \mathrm { d } x$ ，可知 $\int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sin x } \mathrm { d } x$ 发散． 散.
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对于(D)， $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \sin { x } } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { \sin { x } } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sin { x } } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ ，且有
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\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \leqslant \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left| \frac { \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \right| \mathrm { d } x \leqslant \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \arctan x \Big | _ { 0 } ^ { + \infty } = \frac { \pi } { 2 } \ : ,
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由对称区间反常积分结论（见下面的注），可知 $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { \sin { x } } { 1 + { x } ^ { 2 } } }$ dx收敛.
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当f（x）为偶函数且 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛时，
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\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x .
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$$
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当f（x）为奇函数且 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛时，
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\int \limits _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 .
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例8.18 已知α>0，则对于反常积分 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } \mathrm { d } x$ 的敛散性的判别，正确的是（）.
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(A)当α≥1时，积分收敛
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(C)敛散性与α的取值无关，必收敛
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(D)敛散性与α的取值无关，必发散
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分析 比较判别法 $\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \bigoplus \mathbin { \twoheadrightarrow \emptyset } \zeta \not { \exists } \not \in 0 \leqslant f ( x ) \leqslant g ( x ) \ ; } \\ { \qquad } \\ { \bigoplus \qquad } \\ { \bigoplus \mathbin { \updownarrow } + \mathbin { \dot { \ P } } + \mathop { \# } \mathbin { \vrule h \vrule h \vrule h \vrule h 0 \rceil } } \\ { \qquad } \\ { \qquad } \\ { \qquad } \\ { \qquad } \\ { \qquad } \end{array} \right. } \end{array}$
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当α<1时，取充分小的正数ε，使得 $\alpha + \varepsilon < 1$ ，由于
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故当 $x \to 0 ^ { + }$ 时， $\frac { 1 } { x ^ { \alpha + \varepsilon } }$ 是比 $\frac { \ln x } { x ^ { \alpha } }$ 高阶的无穷大量，因为当 $\alpha + \varepsilon < 1$ 时， $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { \alpha + \varepsilon } } \mathrm { d } x$ 收敛，于是 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } \mathrm { d } x$ 收敛，选项(B)正确；
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当 $\alpha \geqslant 1$ 时，由于 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } x ^ { \alpha } { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } = \infty$ ，故当 $x \to 0 ^ { + }$ 时， $\frac { 1 } { x ^ { \alpha } }$ 是比 $\frac { \ln x } { x ^ { \alpha } }$ 低阶的无穷大量，因为当 $\alpha \geqslant 1$ 时，$\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } } \mathrm { d } x$ 发散，于是 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } \mathrm { d } x$ 发散． $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { * } } { \frac { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } { \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } } }$ 是比较判别法的极限形式
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国 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { x ^ { p } } } \mathrm { d } x \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle } \end{array} \right.$ 收敛， $0 \leqslant p < 1$ 发散， $p \geqslant 1$
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\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } \mathrm { d } x
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(A)当0<α≤1时，积分收敛
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(C)敛散性与α无关，必收敛
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分析反常积分判别敛散性.
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①放缩法 $0 \leqslant f ( x ) \leqslant g ( x )$ ②计算极限 ${ \frac { 0 } { 0 } } , { \frac { \infty } { \infty } } ;$ 比较判别法$\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { p } } \mathrm { d } x \Bigg \{ } } \\ { \displaystyle { } } \\ { \displaystyle { \int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x ^ { p } } \mathrm { d } x \Bigg \{ } } \end{array} \right.$ 收敛，0<p<1， 发散，p≥1； $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { x ^ { p } } } \mathrm { d } x \Bigg \{$ 发散，p≥1. 收敛， $0 \leqslant p < 1$ ③4个结论收敛， $\left. \begin{array} { l } { { p > 1 ~ , } } \\ { { { } } } \\ { { p \leqslant 1 ~ ; } } \end{array} \right\} _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { x ^ { p } } \mathrm { d } x \left\{ \begin{array} { l } { { } } \\ { { } } \end{array} \right.$ 收敛， $p > 1$ 发散， 发散， $p { \leqslant } 1$
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补充：若 $\operatorname* { l i m } _ { x + \infty } x ^ { p } f ( x ) = \lambda \geqslant 0$ ，且 $p > 1$ ，则 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛． 解应选(B). $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { f ( x ) } { \displaystyle { \frac { 1 } { x ^ { p } } } } } = 0$ ，p>1时. $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { p } } } \mathrm { d } x$ 收敛，故 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x$ 收敛.
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当 $0 < \alpha \leqslant 1$ 且x充分大时， ${ \frac { \ln x } { { x ^ { \alpha } } } } > { \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } }$ ，由于 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } }$ dx发散，因此 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } \mathrm { d } x$ 发散；
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当 $\alpha > 1$ 时，取充分小的正数ε，使 $\alpha - \varepsilon > 1$ ，由 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { { \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } } } { \frac { 1 } { x ^ { \alpha - \varepsilon } } } } { \frac { { { \mathrm { \# } } _ { 0 } } } { 0 } } \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \ln x } { x ^ { \varepsilon } } } = 0$ ，且 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { { x } ^ { \alpha - \varepsilon } } } \mathrm { d } x$ 收敛，
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故 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { x ^ { \alpha } } \mathrm { d } x$ 收敛.
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故选(B).
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## 基础习题精练
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## 习题
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8.1设 $I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin x } { x } \mathrm { d } x , I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { x } { \sin x } \mathrm { d } x$ ，则（ ）.（A) $I _ { 1 } > I _ { 2 } > 1$ (B) $1 > I _ { 1 } > I _ { 2 }$ (C) $I _ { 2 } > I _ { 1 } > 1$ (D) $1 > I _ { 2 } > I _ { 1 }$
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8.2设 $f ( x ) = \left\{ { \frac { x } { 2 } } , x = 0 , \right.$ 则下列命题：
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①f(x)在[-1,1]上有原函数； ②f(x)在[-1,1]上可积；
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③ $F ( x ) = \int _ { - 1 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在x=0处可导； ④ $F ( x ) = \int _ { - 1 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 在x=0处连续但不可导. 正确命题的个数为（ ）
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(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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8.3若反常积分 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } } ($ x收敛，则（ ）（A) $p < 1$ (B) $p > 1$ (C) $0 < p < 1$ (D) $0 \leqslant p < 1$
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8.4 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } } } + { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + 2 n } } } + { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + 3 n } } } + \cdots + { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } } \right) =$
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8.5 $\operatorname * { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \sin { \frac { i \pi } { n } } } { n + { \frac { 1 } { i } } } } =$
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8.6设 $F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t - [ t ] ) \mathrm { d } t$ ，其中[x]表示不超过x的最大整数，则 $F _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) + F _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) ~ =$
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8.7讨论 $\int _ { 2 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x \ln ^ { p } x } \mathrm { d } x$ 的敛散性，其中p为任意实数.
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## 解答
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8.1(C）解当 $x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ 时， $\sin x < x$ ，故 $\frac { x } { \sin x } > 1 > \frac { \sin x } { x }$ ，则
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I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { x } { \sin x } \mathrm { d } x > \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin x } { x } \mathrm { d } x = I _ { 1 } ,
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排除选项(A)和(B).
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由第2讲 ${ } ^ { \mathfrak { a } } 6 .$ 注(2) $\enclose{circle}{8} ^ { \prime \prime }$ 可知，当 $0 < x < \frac { \pi } { 2 }$ 时， ${ \frac { \sin x } { x } } > { \frac { 2 } { \pi } }$ ，则有
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$$
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I _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \frac { \sin x } { x } \mathrm { d } x > \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \frac { 2 } { \pi } \mathrm { d } x = 1 ~ .
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故(C)正确.
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8.2(B）解x=0是f(x)的跳跃间断点，于是①错误;
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f(x)在[-1,1]上有界且只有一个间断点，于是②正确；
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在f(x)的跳跃间断点x=0处， $F ( x )$ 连续但不可导，于是③错误，④正确.
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注进一步，本题的 $f ( x ) = \left\{ { \frac { x } { 2 } } , x = 0 , \right.$ $\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } { \frac { x + \mathrm { e } ^ { \frac { x } { t } } } { 1 + \mathrm { e } ^ { \frac { x } { t } } } }$ 获得，即 $f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { x + e ^ { \frac { x } { t } } } { 1 + e ^ { \frac { x } { t } } } }$
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8.3（C）解此积分为有一个瑕点x=0的无穷区间上的反常积分，可写为
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\int _ { 0 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } } \mathrm { d } x + \int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } } \mathrm { d } x .
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对任意 $\varepsilon > 0$ ，有
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\operatorname * { l i m } _ { x 0 ^ { + } } \frac { \displaystyle \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } } { \displaystyle \frac { 1 } { x ^ { 1 - p + \varepsilon } } } = \operatorname * { l i m } _ { x 0 ^ { + } } x ^ { \varepsilon } \ln x = 0 \ ,
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若 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { 1 - p + \varepsilon } } \mathrm { d } x$ 收敛，即 $1 - p < 1 , \ p > 0$ ，则 $\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } }$ dx也收敛.
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对任意 $\varepsilon > 0$ ，有
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\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \displaystyle { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } } } { \displaystyle { \frac { 1 } { x ^ { 2 - p - \varepsilon } } } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \ln x } { x ^ { \varepsilon } } } = 0 \ ,
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若 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 - p - \varepsilon } } \mathrm { d } x$ 收敛，即 $2 - p > 1 , \ p < 1$ ，则 $\int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } }$ dx也收敛.
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综上，当 $0 < p < 1$ 时，反常积分 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { ( 1 + x ) x ^ { 1 - p } } \mathrm { d } x$ 收敛.
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8.4 $2 \sqrt { 2 } - 2$ 解原式 ${ \begin{array} { l } { \displaystyle : = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + n i } } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + { \frac { i } { n } } } } } \cdot { \frac { 1 } { n } } } \\ { \displaystyle = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x } } } \mathrm { d } x = 2 { \sqrt { 1 + x } } { \Big \vert } _ { 0 } ^ { 1 } = 2 { \sqrt { 2 } } - 2 ~ . } \end{array} }$
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注能凑成 $\frac { i } { n }$ 则用定积分定义；凑不成的，先用放缩法，放缩后再用定积分定义
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常见的几种凑定积分定义的式子有
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(1)
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\begin{array} { l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \displaystyle \frac { 1 } { n + 1 } + \displaystyle \frac { 1 } { n + 2 } + \cdots + \displaystyle \frac { 1 } { n + n } \right) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \displaystyle \frac { 1 } { n + i } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \displaystyle \frac { 1 } { 1 + \displaystyle \frac { i } { n } } \cdot \displaystyle \frac { 1 } { n } } \\ { \displaystyle \qquad = \int _ { 0 } ^ { 1 } \displaystyle \frac { 1 } { 1 + x } \mathrm { d } x = \ln \left( 1 + x \right) \Big | _ { 0 } ^ { 1 } = \ln 2 ~ . } \end{array}
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这里分母上有 $n + i$ ，提出n后，会化成 $1 + { \frac { i } { n } }$
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(2)
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\begin{array} { l } { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } + \frac { n } { n ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } + \cdots + \frac { n } { n ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { n } { n ^ { 2 } + i ^ { 2 } } } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } + i ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 1 + \left( \displaystyle \frac { i } { n } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { n } } } \\ { { \displaystyle = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \arctan x _ { 0 } ^ { 1 } = \displaystyle \frac { \pi } { 4 } ~ . } } \end{array}
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这里分母上有 $n ^ { 2 } + i ^ { 2 }$ ，提出 $n ^ { 2 }$ 后，会化成 $1 + \left( { \frac { i } { n } } \right) ^ { 2 }$
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(3)对于本题，分母上有 $n ^ { 2 } + n i$ ，提出 $n ^ { 2 }$ 后，会化成 $1 + { \frac { i } { n } }$
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8.5 $\frac { 2 } { \pi }$ 解当各项分母相同且均为n时，
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\operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \sin { \frac { i \pi } { n } } } { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \infty } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sin { \frac { i } { n } } \pi = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sin \pi x \mathrm { d } x ,
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于是，先对 $\sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \sin { \frac { i \pi } { n } } } { n + { \frac { 1 } { i } } } }$ 进行放缩，有
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\sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sin \frac { i \pi } { n } } { n + 1 } { \leqslant } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sin \frac { i \pi } { n } } { n + \frac { 1 } { i } } { \leqslant } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sin \frac { i \pi } { n } } { n } ,
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由于
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\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sin \frac { i \pi } { n } } { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sin \frac { i } { n } \pi = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sin \pi x { \mathrm { d } } x = \frac { 2 } { \pi } ,
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\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \sin { \frac { i \pi } { n } } } { n + 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n } { n + 1 } } \bullet { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sin { \frac { i } { n } } \pi = 1 \bullet \int _ { 0 } ^ { 1 } \sin \pi \mathrm { d } x = { \frac { 2 } { \pi } } ,
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因此，由夹逼准则得
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\operatorname * { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sin \displaystyle \frac { i \pi } { n } } { n + \displaystyle \frac { 1 } { i } } = \displaystyle \frac { 2 } { \pi } \ .
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8.61解设 $f ( x ) = x - [ x ]$ ，其图形如图8-7所示.
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图8-7
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方法一 因为x=1是y=f(x)的跳跃间断点，所以
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F _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 ^ { - } } f ( x ) = 1 , F _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 ^ { + } } f ( x ) = 0 ,
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故 $F _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) + F _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = 1$
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方法二
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F _ { _ { x } } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { - } } \frac { F ( x ) - F ( 1 ) } { x - 1 } = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { - } } \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } t \mathrm { d } t - \frac { 1 } { 2 } } { x - 1 } = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { - } } \frac { x } { 1 } = 1 \ ,
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\begin{array} { l } { { \displaystyle F _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { + } } \frac { F ( x ) - F ( 1 ) } { x - 1 } = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { + } } \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } t \mathrm { d } t + \displaystyle \int _ { 1 } ^ { x } ( t - 1 ) \mathrm { d } t - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } { x - 1 } } } \\ { { \displaystyle \quad = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { + } } \frac { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { x } ( t - 1 ) \mathrm { d } t } { x - 1 } = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { + } } \frac { x - 1 } { 1 } = 0 \ : , } } \end{array}
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故 $F _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) + F _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = 1$
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8.7分析本题考查反常积分敛散性的判别法（通过计算结果来判别是否收敛)，是历届考生复习
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得比较薄弱的知识点.
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解①当 $p = 1$ 时， $\int _ { 2 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x \ln x } \mathrm { d } x = \ln { \left| \ln x \right| } \big | _ { 2 } ^ { + \infty } = + \infty$ ，发散；
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②当 $p \neq 1$ 时，
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\int _ { 2 } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } x } { x \ln ^ { p } x } = \frac { 1 } { 1 - p } ( \ln x ) ^ { 1 - p } \Bigg | _ { 2 } ^ { + \infty } ,
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当 $p > 1$ 时， $\operatorname* { l i m } _ { x + \infty } ( \ln x ) ^ { 1 - p } = 0$ ，故收敛；当 $p < 1$ 时， $\operatorname* { l i m } _ { x + \infty } ( \ln x ) ^ { 1 - p } = + \infty$ ，故发散．
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综上， $\int _ { 2 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x \ln ^ { p } x } \mathrm { d } x \Bigg \{ $ 收敛， $p > 1$ 发散， $p { \leqslant } 1$
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