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## 第10讲
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## 一元函数积分学的应用（一）一几何应用
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总旨标：套公式，做计算→第9讲的内容。核心
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<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>①平面图形的面积，旋转体的体积，函数的平均值；②形心坐标公式，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（侧面积）（仅数学一、数学二）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、质心、形心等）及函数的平均值（仅数学一、数学二）；②会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>平面图形的面积、旋转体的体积</td></tr></table>
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## 基础知识结构
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## 基础内容精讲
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假设以下曲线都是光滑的.
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>三大体系下的图形：
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①直角坐标系下(直接算)
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直接算(少)②参数方程下换元法
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## 用定积分表达和计算平面图形的面积
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③极坐标系下（直接算）
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→可推广为用收敛的反常积分进行表示
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推广：可能用到在收敛情况下的反常积分及时回看，补上，免遗忘
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(1)曲线 $y = y _ { 1 } ( x )$ 与 $y = y _ { 2 } ( x )$ 及 $\scriptstyle x = a , x = b ( a < b )$ 所围成的平面图形的面积
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S = \int _ { a } ^ { b } \bigl | y _ { 1 } ( x ) - y _ { 2 } ( x ) \bigr | \mathrm { d } { \overline { { x } } } .
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计算一个带绝对值的函数的定积分
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小提示：随着学习的进行，知识会遗忘，所以要及时进行复习，因此在学面积之前，可以先回看前面学到的平面图形.
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》及时复习的话，遗忘曲线就会出现许多跳跃间断点
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记忆小曲线=复习2\~3次，遗忘内容大幅度减少
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微元法．
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用大的面积减去小的面积，即 $S = \int _ { a } ^ { b } y _ { 1 } \mathrm { d } x - \int _ { a } ^ { b } y _ { 2 } \mathrm { d } x$
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①取微元： $\Delta S = \rvert \boldsymbol { y } _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ) - \boldsymbol { y } _ { 2 } ( \boldsymbol { x } ) \rvert \mathrm { d } \boldsymbol { x }$
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②积分： $S = \int _ { a } ^ { b } { \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| } \mathrm { d } x$
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(2)曲线 $r = r _ { \mathrm { { l } } } ( \theta )$ 与 $r = r _ { 2 } ( \theta )$ 与两射线 $\theta = \alpha$ 与 $\theta = \beta \left( 0 < \beta - \alpha \leqslant 2 \pi \right)$ 所围成的曲边扇形的面积
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S = \frac { 1 } { 2 } { \int _ { \alpha } ^ { \beta } } \Bigl | r _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) - r _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) \Bigr | \mathrm { d } \theta \ .
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绝对值：保证差值非负
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当 $\mathbf { d } \theta 0$ 时，可将扇形区域近似看作三角形，计算三角形面积： $\frac { 1 } { 2 } r _ { 2 } ( \theta ) \bullet r _ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta - \frac { 1 } { 2 } r _ { 1 } ( \theta ) \bullet r _ { 1 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta$ 微元法．
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①用经过0的射线去切分扇形区域.
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②取微元：用大“三角形”面积-小“三角形”面积.
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\Delta S = { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 2 } ( \theta ) \bullet r _ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta - { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( \theta ) \bullet r _ { 1 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = { \frac { 1 } { 2 } } { \Big | } r _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) - r _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) { \Big | } \mathrm { d } \theta ~ .
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③积分： $S = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \frac { 1 } { 2 } \big | r _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) - r _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) \big | \mathrm { d } \theta$
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例10.1 设 $A _ { n }$ 是曲线 $y = x ^ { n }$ 与 $y = x ^ { n + 1 } ( n = 1 , 2 , \cdots )$ 所围区域的面积，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \infty } ( 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } ) ^ { n } \ =$
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分析①求交点. $\left\{ \begin{array} { l l } { \gamma = x ^ { n } , } \\ { y = x ^ { n + 1 } } \end{array} \right. \Rightarrow x ^ { n } = x ^ { n + 1 } \Rightarrow x = 0 \# _ { \mathcal { X } } x = 1$
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②画图（见图10-1）
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图10-1
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③套公式，做计算，得到 $A _ { n }$ 的具体表达式.
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④代入 $A _ { n }$ ，求极限.
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解 应填 $\mathrm { e } ^ { - 2 }$
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由
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\left\{ \begin{array} { l } { { y = x ^ { n } , } } \\ { { y = x ^ { n + 1 } } } \end{array} \right. \Rightarrow x ^ { n + 1 } - x ^ { n } = 0 \Rightarrow x ^ { n } ( x - 1 ) = 0 \Rightarrow x = 0 , x = 1 \mathrm { ~ , ~ }
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得 $y = x ^ { n }$ 与 $y = x ^ { n + 1 }$ 的交点为(0,0),(1,1)，故
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A _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { n } - x ^ { n + 1 } ) \mathrm { d } x = \left( { \frac { 1 } { n + 1 } } x ^ { n + 1 } - { \frac { 1 } { n + 2 } } x ^ { n + 2 } \right) \Bigg | _ { 0 } ^ { 1 } = { \frac { 1 } { n + 1 } } - { \frac { 1 } { n + 2 } } ,
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则
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\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } \right) ^ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( { \frac { 2 } { k + 1 } } - { \frac { 2 } { k + 2 } } \right) \right] ^ { n }
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= \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 2 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 2 } { 3 } } - { \frac { 2 } { 4 } } + \cdots + { \frac { 2 } { n + 1 } } - { \frac { 2 } { n + 2 } } \right) ^ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 1 - { \frac { \dot { 2 } } { n + 2 } } \right) ^ { n } = \operatorname { e } ^ { - 2 }
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↓ 可以把n当作x，无须用归结原则化为函数极限
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★★★例10.2求由摆线 $\left\{ \begin{array} { l } { { x = a ( t - \sin t ) , } } \\ { { y = a ( 1 - \cos t ) } } \end{array} \right. ( a > 0 )$ 的一拱(见图10-2)与x轴所围平面图形的→平摆线面积.
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图10-2
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参数方程下的问题是重点.① $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = \left[ y ( t ) \right] ^ { } \Rightarrow y = \left[ f ( x ) \right] . } \end{array} } \right.$ 它们所有对应点的函数值均相同给定参数方程，其实是对定积分计算的换元法的变相 考查.当f复杂时，引进一个新的自变量t进行处理. $3 ) S = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi a } f ( x ) \mathrm { d } x ( \pounds / _ { 1 } / \sharp \ngeq \sharp , \sharp ) .$ x=y()x()dt=5²y(d()
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分析①画出摆线（考试不会给出图！！！）.
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②按照直角坐标系去理解参数方程，套直角坐标系下的面积公式进行计算.
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\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) \qquad \underset { y _ { 0 } } { \overset { } { \Rightarrow } } y = f ( x ) = f [ x ( t ) ] = y ( t ) \ . } \\ { \qquad \underset { x _ { 0 } } { \overset { } { \downarrow } } \qquad \underset { t _ { 0 } } { \overset { } { \downarrow } } } \end{array} \right. } \end{array}
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比如： $\left\{ { \begin{array} { l } { { x = 2 t , } } \\ { { y = t ^ { 2 } } } \end{array} } \right. \Rightarrow y = { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } = f ( x ) = f [ x ( t ) ] = { \frac { 1 } { 4 } } ( 2 t ) ^ { 2 } = t ^ { 2 } = y ( t )$
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S = \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \frac { x = x ( t ) } { \int _ { x ^ { - 1 } ( a ) } ^ { x ^ { - 1 } ( b ) } f [ x ( t ) ] \mathrm { d } [ x ( t ) ] = \int _ { \alpha } ^ { \beta } y ( t ) x ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \ . } }
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解 当t=0或t=2π时，y=0.故当t由0变到2π时，曲线正好成一拱，所以
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\begin{array} { r l } & { S = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi a } y ( x ) \mathrm { d } x \frac { x = a ( t - \sin t ) } { y ( x ) = y [ a ( t - \sin t ) ] } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ( 1 - \cos t ) [ a ( t - \sin t ) ] ^ { ' } \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \quad = y [ x ( t ) ] } \\ & { \quad = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ^ { 2 } ( 1 - \cos t ) ^ { 2 } \mathrm { d } t - a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( 1 - 2 \cos t + \cos ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t } \\ & { \quad = a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } t - 2 a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { c o s } t \mathrm { d } t + a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \\ & { \quad = 2 a ^ { 2 } \pi + 4 a ^ { 2 } \left| \frac { \pi } { \int _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \right| = 3 a ^ { 2 } \pi . } \end{array}
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方法总结 参数方程下面积公式的本质：直角坐标系下的面积公式的换元法形式
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例10.3 伯努利双纽线 $r ^ { 2 } = a ^ { 2 } \cos 2 \theta$ 围成的图形的面积为
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分析①画图.②套公式，做计算（借助对称性简化计算）.
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解 应填 $a ^ { 2 }$
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如图10-3所示，利用对称性，所求图形面积是阴影部分面积的4倍.
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阴影部分的图形由射线 $\scriptstyle \theta = 0 , \theta = { \frac { \pi } { 4 } }$ 与伯努利双纽线 $r ^ { 2 } = a ^ { 2 } \cos 2 \theta$ 围成，于是所求的平面图形面积为
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S = 4 { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } } { \frac { 1 } { 2 } } a ^ { 2 } \cos 2 \theta \mathrm { d } \theta = a ^ { 2 } \sin 2 \theta { \left| _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \right. } = a ^ { 2 } \ .
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图10-3
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例10.4 求曲线 $y = \mathbf { e } ^ { - x } \sin x ( x \geq 0 )$ 与x轴所围平面图形的面积.
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分析①画图：如图10-4所示.
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图10-4
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②套公式： $S = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \underbrace { \mathrm { e } ^ { - x } \left| \sin { x } \right| } _ { \downarrow } \mathrm { d } x$
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保持非负(对应图形在x轴下方的部分向上翻折)
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③做计算（难度在于处理绝对值）：
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S = \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x + \int _ { \pi } ^ { 2 \pi } ( - \mathrm { e } ^ { - x } \sin x ) \mathrm { d } x + \int _ { 2 \pi } ^ { 3 \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x + \cdots = \operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } | \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x | .
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解 $S = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \left| \sin x \right| \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left| \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x \right|$ ，其中
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“前世今生”见例8.5③
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\begin{array} { l } { { { \displaystyle { \int _ { k n } ^ { ( k + 1 ) n } \mathrm { e } ^ { - s } \sin \mathrm { \Delta x d x } = { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } } { \left( \mathrm { e } ^ { - x } \right) ^ { n } \left( \mathrm { e } ^ { - x } \right) ^ { n } \left( \mathrm { s i n } { x } \right) } ^ { n / ( k + 1 ) n } } } \quad } } \\ { { \mathrm { ~ } } } \\ { \displaystyle { = - { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - x } { \left( \cos x + \sin x \right) } { \displaystyle { \Biggl \} } _ { k n } ^ { ( k + 1 ) n } } } } \\ { { \mathrm { ~ } } } \\ { { \displaystyle { \mathrm { ~ } } = - { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - ( k + 1 ) n } \mathrm { \cdot } { \left( - 1 \right) ^ { k + 1 } + { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - k n } \cdot ( - 1 ) ^ { k } } } } \quad } } \\ { { \mathrm { ~ } } } \\ { { \displaystyle { \mathrm { ~ } } = { \displaystyle { \frac { { \left( - 1 \right) ^ { k } } } { 2 } \mathrm { e } ^ { - x } { \left( \mathrm { e } ^ { - x } + 1 \right) } } , } } } \end{array}
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故
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S = { \frac { \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 } { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( \mathrm { e } ^ { - \pi } ) ^ { k } = { \frac { \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 } { 2 } } \bullet { \frac { 1 } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \pi } } } = { \frac { \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 } { 2 ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \pi } ) } } \ .
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## 用定积分表达和计算旋转体的体积
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>套公式
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(1)曲线 $y = y ( x )$ 与x=a,x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积为
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V _ { _ x } = \int _ { a } ^ { b } \pi y ^ { 2 } ( x ) { \widetilde { \mathrm { d } x } } ~ .
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这是怎么推导出来的呢？
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用微元法：①取微元
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“小硬币”
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? $\Delta V = \pi y ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x .$
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③积分： $V _ { x } = \int _ { a } ^ { b } \pi y ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x$
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例10.5 求曲线 $y = \mathtt { e } ^ { \frac { x } { 2 } } { \sqrt { \sin x } }$ 在[0,2π]部分与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.
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分析①确定x的取值范围： ${ \sqrt { \sin x } } \Rightarrow \sin x \geqslant 0 \Rightarrow x \in [ 0 ,$ π].
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②套公式： $V _ { x } = \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi ( \mathrm { e } ^ { - \frac { x } { 2 } } \sqrt { \sin x } ) ^ { 2 } \mathrm { d } x$
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解 $y = \mathtt { e } ^ { - \frac { x } { 2 } } \sqrt { \sin x }$ 在[0,π]上存在，在(π,2π)内不存在，故
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V = \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi y ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x { \frac { \mathcal { R } \mathrm { i } \pm } { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } } \pi ( 1 + \mathrm { e } ^ { - \pi } ) \ .
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\mathbf { E } \equiv \Big | \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 2 } \Big | \big ( \mathrm { e } ^ { - x } \big ) ^ { \prime } \quad ( \sin x ) ^ { \prime } \Big | \Bigg | _ { 0 } ^ { \pi } = - \frac { \pi } { 2 } ( \cos x + \sin x ) \mathrm { e } ^ { - x } \Bigg | _ { 0 } ^ { \pi } = \frac { \pi } { 2 } \big ( \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 \big )
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(2)曲线 $y = y ( x )$ 与 $\scriptstyle x = a , x = b ( 0 \leqslant a < b )$ 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的 体积为
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V _ { y } = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } x | y ( x ) | \mathrm { d } x \ .\tag{*}
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注公式（\*）有时用起来很方便，现简单推导如下（微元法）：
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取 $[ x , x + \Delta x ] ( \Delta x > 0 )$ ，得到一个小竖条，如图10-5的阴影区域所示，此小竖条绕着y轴旋转一周，成为一个“圆柱壳”，将其沿任何一条竖线“切开”，可展开为一个“长方体”，其体积为
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\begin{array} { r } { \mathrm { d } V _ { \nu } = 2 \pi \times \vert y ( { \boldsymbol { { x } } } ) \vert \mathrm { d } x , } \end{array}
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故
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V _ { y } = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } x | y ( x ) | \mathrm { d } x .
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图10-5
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总结 $V _ { x } = \pi \int _ { a } ^ { b } \widehat { \prod ^ { 2 } \mathrm { d } x } ,$ 往“”里代V=2πxdx.
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“前世今生”，见例1.2.
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例10.6 设函数f(x)的定义域为(0,+8)，且满足 $2 f ( x ) + x ^ { 2 } f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { x } } { \Bigg ) } = { \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } }$ .求f(x)，并求曲线 $y = f ( x )$ ，直线 $y = \frac { 1 } { 2 } , y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 及y轴所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
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分析①x与y地位交换，求出 $y = f ( x ) \Rightarrow x = \varphi ( y )$
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②套 $V _ { y }$ 体积公式，y作自变量，x作因变量，有 $V _ { y } = \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } 2 \pi y \cdot \varphi ( y ) \mathrm { d } y$
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由例1.2知
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\begin{array} { r l } & { \qquad ( 1 + x ^ { 2 } ) y ^ { 2 } = x ^ { 2 } } \\ & { \Rightarrow y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 0 } \\ & { \Rightarrow x ^ { 2 } ( y ^ { 2 } - 1 ) = - y ^ { 2 } } \\ & { \Rightarrow x = \frac { y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } } \\ & { \underset { \mathrm { \scriptsize \textit { \textbf { } } } } { \Rightarrow } { } } \end{array}
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$$
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f ( x ) = \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ( x > 0 ) .
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x，y地位交换了，反解出x=Φ(y)
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由 $y = \frac { \stackrel { \textstyle \bigwedge } { x } } { \textstyle \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } }$ 得 $x = \frac { y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } ( 0 < y < 1 )$ ，从而 $y = f ( x ) , y = \frac { 1 } { 2 } , y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 及y轴所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为
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\begin{array} { l } { { V = 2 \pi \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } x y \mathrm { d } y = 2 \pi \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \mathrm { d } y } } \\ { { \displaystyle \phantom { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \frac { y - \sin t } { \cos \mathrm { d } \pi } 2 \pi \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \sin ^ { 2 } \displaystyle t \mathrm { d } t = 2 \pi \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \displaystyle \frac { 1 - \cos 2 t } { 2 } \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle \phantom { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } ~ . } } \end{array}
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方法总结 学会利用反函数，将绕x轴旋转用 $V _ { y }$ 的体积公式表示出来.
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①要把f(x)求出来.注此题增加了2个综合性考查：②x，y地位交换，先反解，再套公式计算
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(3)平面曲线绕定直线旋转．套公式 若出现2个及以上的交点，则不适用，如平面曲线L： $y = f ( x ) , a \leqslant x \leqslant b$ ，且f(x)可导.
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定直线 $L _ { 0 } : \ A x + B y + C = 0$ ，且过 $L _ { 0 }$ 的任一条垂线与L至多有一个交点，如图10-6所示，则L绕$L _ { 0 }$ 旋转一周所得旋转体的体积为
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\star V = \frac { \pi } { ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int _ { a } ^ { b } [ A x + B f ( x ) + C ] ^ { 2 } \big | A f ^ { \prime } ( x ) - B \big | \mathrm { d } x \ .\tag{10-1}
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图10-6
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特别地，若 $A = C = 0 , B \neq 0$ ，则 $L _ { 0 }$ 为y=0（x轴)，如图10-7所示，L绕 $L _ { 0 }$ 旋转一周所得旋转体的体积为
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\begin{array}{c} V = \pi \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \longleftrightarrow \displaystyle \longrightarrow V = \frac { \pi } { { ( B ^ { 2 } ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int _ { a } ^ { b } [ B f ( x ) ] ^ { 2 } \big | - B \big | \mathrm { d } x \\ { = \frac { \pi } { \big | B \big | ^ { 3 } } \int _ { a } ^ { b } B ^ { 2 } \big | B \big | f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x = \pi \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x } \end{array}
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图10-7
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注掌握住此结论，会套公式即可
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公式 $\mid B ^ { 3 } \mid = \mid B \mid B ^ { 2 } = B ^ { 2 } \mid B \mid$
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例10.7 过坐标原点作曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 的切线，该切线与曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求：
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(1)D的面积A;
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(2)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
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分析先求切点与切线方程，进而套面积公式和旋转体体积公式.
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解 设切点坐标为 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，于是曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 在点P的切线斜率为
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y ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } ,
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切线方程为
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y - y _ { 0 } = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } ( x - x _ { 0 } ) \ .
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因为该切线经过点(0,0)，所以 $- y _ { 0 } = - x _ { 0 } \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } }$ .又因为 $y _ { 0 } = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } }$ ，代人求得 $x _ { 0 } = 1$ ，从而 $y _ { 0 } = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } = \mathbf { e }$ ，切线方程为 $y = \mathrm { e x }$ ，如图10-8所示.
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(1)取水平条面积微元，则D的面积
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图10-8
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↓ 若取竖直条面积徼元：
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\Delta S _ { 1 } = \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x , \Delta S _ { 2 } = ( \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } x ) \mathrm { d } x \ ,
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再积分： $S = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } x ) \mathrm { d } x$
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则较为麻烦，故不建议
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(2)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
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先取徽元：用“大体积”－“小体积” $\underline { { \mathrm { d } } } V = \left[ \pi ( 1 - \ln y ) ^ { 2 } - \pi \left( 1 - \frac { y } { \mathrm { e } } \right) ^ { 2 } \ \right] \mathrm { d } y \ ,$ 从而
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\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } \displaystyle \mathcal { \bar { H } } \mathcal { \bar { A } } \beta \stackrel { * } { \Im } \longleftarrow \quad \quad \quad V = \pi \int _ { 0 } ^ { \mathsf { e } } \biggl ( \ln ^ { 2 } y - 2 \ln y + \frac { 2 y } { \mathsf { e } } - \frac { y ^ { 2 } } { \mathsf { e } ^ { 2 } } \biggr ) \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \quad = \pi \left( y \ln ^ { 2 } y - 4 y \ln y + 4 y + \frac { y ^ { 2 } } { \mathsf { e } } - \frac { y ^ { 3 } } { 3 \mathrm { e } ^ { 2 } } \right) \biggr | _ { 0 } ^ { \mathsf { e } } = \frac { 5 } { 3 } \pi \mathrm { e } . } \end{array}
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## 注第（2）问也可以直接套公式（10-1），可得方法二
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$L _ { 0 } : x = 1 \Rightarrow A x + B y + C = 0$ 中,A=1,B=0,C=-1
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L : y _ { \star } = \mathrm { e } ^ { x } , y _ { \wedge } = \mathrm { e } x .
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由
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V = { \frac { \pi } { ( { \cal A } ^ { 2 } + { \cal B } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \int _ { a } ^ { b } [ { \cal A } x + { \cal B } f ( x ) + C ] ^ { 2 } \big | { \cal A } f ^ { \prime } ( x ) - { \cal B } \big | \mathrm { d } x ,
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得则
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V _ { \star } = \pi \int _ { - \infty } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x , V _ { \wedge } = \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { e } \mathrm { d } x ,
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\begin{array} { r l } & { V = V _ { \mathrm { s } } - \mathcal { F } _ { \mathrm { s } } } \\ & { = - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) \xi ^ { \dagger } \xi ^ { \dagger } \xi ^ { \dagger } \xi \overline { { \alpha } } ^ { \dagger } \mathbf { a } ^ { \dagger } - \mathbf { 1 } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { k } ^ { \dagger } \xi ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { k } } \\ & { \quad - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) ^ { 2 } \overline { { \alpha } } \overline { { \alpha } } \overline { { \sigma } } ^ { \dagger } \xi \overline { { \alpha } } ^ { \dagger } \mathbf { a } ^ { \dagger } - 2 x \mathbf { 1 } \overline { { \alpha } } \overline { { \alpha } } \mathbf { k } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } } \\ & { \quad - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \mathbf { e } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { b } ^ { \dagger } } \\ & { \quad - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \mathbf { e } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { b } ^ { \dagger } \xi \overline { { \alpha } } \mathbf { a } \overline { { \beta } } } \\ & { \quad - 2 \mathbf { a } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { i } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \\ & \quad - 2 \overline { { \alpha } } \mathbf { i } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline \alpha \end{array}
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## ③用定积分表达和计算函数的平均值
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设 $x \in [ a , b ]$ ，函数y(x)在[a,b]上的平均值为 $\overline { { y } } = \frac { 1 } { b - a } { \int _ { a } ^ { b } y ( x ) \mathrm { d } x } \Rightarrow \overline { { y } } = y ( \xi ) , \xi \in [ a , b ]$ （由积分中→一般认为y(x)是连续函数值定理可得）.
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例10.8 设f(x)连续，且 $\frac { f ( x + 2 ) - f ( x ) = x , } { \divideontimes \operatorname* { m a x } _ { \Vec { x } \Vec { x } } } , \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 } { \uparrow }$ ，则f(x)在[1,3]上的平均值为
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分析①套公式： $\overline { { f } } = \frac { 1 } { 3 - 1 } \int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x$
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②a.f(x+2)-f(x)=联想周期性（本题中的f(x)未必具有周期性）.
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若f(x)是周期为T的周期函数，则 $\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x ( f ( x + T ) = f ( x ) )$
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设 $F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，则 $\overline { { f } } = \frac { F ( 1 ) } { 2 }$
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b.反写一至两步，联想经典形式 $\left[ \int _ { \varphi _ { 1 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( x ) } f ( t ) \mathrm { d } t \right] ^ { \prime }$ ，则
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\left[ \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t \right] ^ { \prime } = f ( x + 2 ) - f ( x ) ~ .
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由a.或者b.都可以想到，令 $F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t$
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解 应填 $\frac { 1 } { 4 }$
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记 $F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，则
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变限积分函数
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F ^ { \prime } ( x ) = f ( x + 2 ) - f ( x ) = x ,
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故
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F ( x ) = \int x \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + C \ .
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由 $F ( 0 ) = \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 = C$ ，得 $F ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 }$ ，则 $\int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( 1 ) = \frac { 1 } { 2 }$ ，故
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\overline { { f } } = \frac { 1 } { 3 - 1 } \int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } F ( 1 ) = \frac { 1 } { 4 } \ .
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方法总结 学会观察条件，得到有效信息，产生联想，进而快速解题.
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## 4 其他几何应用（仅数学一、数学二）
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》是几何量，还有质心、重心
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(1）“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式.
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设平面区域 $D = \{ ( x , y ) | 0 \leqslant y \leqslant f ( x ) , a \leqslant x \leqslant b \}$ ，y=f(x)在[a,b]上连续，如图10-9所示.现推导D的形心坐标x，y的计算公式.
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\begin{array}{c} \begin{array} { r } { \overbrace { x } = \underbrace { D } _ { D } } \\ { \overbrace { \int _ { D } \mathrm { d } \sigma } } \end{array} = \overbrace { \left[ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { f ( x ) } \mathrm { d } y \right] } ^ { \displaystyle { \iint _ { a } } \mathrm { d } x } = \overbrace { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle { \iint _ { a } ^ { b } x \mathrm { d } \sigma } } \end{array}
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\overline { { y } } = \frac { \displaystyle \iint _ { D } y \mathrm { d } \sigma } { \displaystyle \iint _ { D } \mathrm { d } \sigma } = \overline { { \left[ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { f ( x ) } y \mathrm { d } y \right] } } = \overline { { \left[ \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \right. } } \\ { \left. \overline { { \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x } } \right] \int _ { 0 } ^ { b } \mathrm { d } x } \mathrm { d } y \mathrm { ~ }
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图10-9
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今公式，记住结论即可
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例10.9 设曲线L的方程为 $y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln x , 1 \leqslant x \leqslant \mathbf { e }$ ，D是由曲线L和直线x=1,x=e及x轴围成的平面图形，则D的形心的横坐标为
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分析 直接套公式得 $\begin{array} { r } { \overline { { x } } = \frac { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \circ } x \left( \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln { x } \right) \mathrm { d } x } { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \circ } \left( \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln { x } \right) \mathrm { d } x } } \end{array}$
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解 应填 $\frac { 3 ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 } - 3 ) } { 4 ( \mathrm { e } ^ { 3 } - 7 ) }$
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平面图形D的形心的横坐标的计算公式为 $\scriptstyle { \frac { \prime } { \underline { { x } } } } = { \frac { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \infty } x y \mathrm { d } x } { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \infty } y \mathrm { d } x } }$ ，其中
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\int _ { 1 } ^ { \circ } x y \mathrm { d } x = \int _ { 1 } ^ { \circ } x \left( { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \ln x \right) \mathrm { d } x = \left( { \frac { 1 } { 1 6 } } x ^ { 4 } - { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } \ln x + { \frac { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } \right) { \Biggl | } _ { 1 } ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } ( \mathbf { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathbf { e } ^ { 2 } - 3 ) ,
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\int _ { 1 } ^ { \circ } y \mathrm { d } x = \int _ { 1 } ^ { \circ } \left( { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \ln x \right) \mathrm { d } x = \left( { \frac { 1 } { 1 2 } } x ^ { 3 } - { \frac { 1 } { 2 } } x \ln x + { \frac { 1 } { 2 } } x \right) { \Biggl | } _ { 1 } ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 2 } } \mathbf { e } ^ { 3 } - { \frac { 7 } { 1 2 } } ,
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所以D的形心的横坐标为
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$\overline { { { x } } } = \frac { \displaystyle \frac { 1 } { 1 6 } ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 } - 3 ) } { \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 } \mathrm { e } ^ { 3 } - \frac { 7 } { 1 2 } } = \left[ \frac { 3 ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 } - 3 ) } { 4 ( \mathrm { e } ^ { 3 } - 7 ) } \right] ^ { }$ —→考研题答案未必简洁，要多做计算
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(2)平面曲线的弧长.
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①若平面光滑曲线由直角坐标方程 $y = y ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ 给出，则 $s = \int _ { a } ^ { b } { \sqrt { 1 + [ y ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$
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②若平面光滑曲线由参数方程 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} } \right. ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta )$ 给出，则 $s = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t$
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③若平面光滑曲线由极坐标方程 $r = r ( \theta ) ( \alpha { \leqslant } \theta { \leqslant } \beta )$ 给出，则 $s = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { \left[ r ( \theta ) \right] ^ { 2 } + \left[ r ^ { \prime } ( \theta ) \right] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta$
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例10.10 曲线 $y = \ln ( 1 - x ^ { 2 } )$ 上相应于 $0 \leqslant x \leqslant \frac { 1 } { 2 }$ 的一段弧的长度为
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分析只需套公式，做计算即可，不用画图.
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解 应填 $\ln 3 - { \frac { 1 } { 2 } }$
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\begin{array} { l } { { \displaystyle \# \mathbb { E } \mathbb { H } ^ { \leq } \mathbb { E } ^ { \lambda } \overbrace { 0 ^ { \lambda } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { \lambda = 1 } ^ { \infty } \sum _ { 0 } ^ { \lambda } \sqrt { 1 + \left( \frac { - 2 x } { 1 - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle \bigcap ^ { 2 } } } } \\ { { \displaystyle \# \mathbb { E } \mathbb { H } ^ { \lambda } \mathbb { H } ^ { < } \overbrace { 0 ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { x ^ { 2 } - 1 + 2 } { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle \sum _ { ( 1 + x ) = 1 } ^ { \lambda } \sum _ { 0 } ^ { \lambda } \left( \frac { 2 } { 1 - x ^ { 2 } } - 1 \right) \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle \big ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \lambda - x ^ { 2 } } \big ) } } } \\ { { \displaystyle \qquad = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 + x } + \frac { 1 } { 1 - x } - 1 \right) \mathrm { d } x = \ln 3 - \frac { 1 } { 2 } ~ . } } \end{array}
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例10.11 阿基米德螺线 $r = \theta$ 上相应于0从0到2π一段的弧长为
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分析套极坐标求弧长的公式.
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解 应填 $\pi \sqrt { 1 + 4 \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln { \left( 2 \pi + \sqrt { 1 + 4 \pi ^ { 2 } } \right) }$
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阿基米德螺线的图形如图10-10所示.
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由题意，所求弧长为
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图10-10
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\begin{array} { r l } & { s = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { \theta ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } \\ & { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { \theta ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } } \\ & { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \theta - \mathrm { s u r f } } { \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } } \frac { \theta - \mathrm { s u r f } } { [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \theta + 1 ] } \int _ { \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \theta } \\ & { = \sec { \cdot } \tan { ( - [ \sin { \alpha } ] ) } \sec { \mathrm { d } \theta } } \\ { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 } \sec { \mathrm { d } \cdot } \tan { ( - [ \sin { \alpha } ] ) } \sec { \mathrm { d } \theta } } \\ { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 } \tan { ( - [ 1 + \theta ^ { 2 } ] ) } \mathrm { d } \theta } \\ { = [ \frac { \theta } { 2 } \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln { ( \theta + \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } ) } ] _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sec { \cdot } \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } \cdot \theta + \frac { 1 } { 2 } \ln { ( \sqrt { \theta ^ { 2 } + 1 } + \theta ) } + C } \\ = \pi \sqrt { 1 + 4 \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln ( 2 \pi + \sqrt 1 + 4 \pi ^ \end{array}
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(3)旋转曲面的面积(侧面积).—→在孤长公式基础上多乘了 2π|y(xl.
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①曲线L： $y = f ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积
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S = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } \bigl | y \bigr | \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \ .
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②曲线L： $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} \right. } ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta , \ x ^ { \prime } ( t ) \neq 0 )$ 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积
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S = 2 \pi \int _ { \alpha } ^ { \beta } \bigl | y ( t ) \bigr | \sqrt { ( x _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t \ .
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算体积用dx，算侧面积用ds
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S = \int _ { a } ^ { b } 2 \pi { \left| f ( x ) \right| } { \mathord { \left/ { \vphantom { \left| { \mathrm { d } } _ { s } \right|} } \right.} \kern - delimiterspace } { \mathrm { d } s }
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③曲线L: $r = r ( \theta ) ( \alpha { \leqslant } \theta { \leqslant } \beta )$ 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积
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孤徽分
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S = 2 \pi \int _ { \alpha } ^ { \beta } \bigl | r ( \theta ) \sin \theta \bigr | \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta \ .
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例10.12 曲线 $y = { \sqrt { x - 1 } } ( 1 \leqslant x \leqslant 2 )$ 绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
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解 应填 $\frac { \pi } { 6 } ( 5 \sqrt { 5 } - 1 )$
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曲线 $y = { \sqrt { x - 1 } } ( 1 \leqslant x \leqslant 2 )$ 绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
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S = \int _ { 1 } ^ { 2 } 2 \pi y \sqrt { 1 + ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \pi \int _ { 1 } ^ { 2 } \sqrt { 4 x - 3 } \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 6 } ( 5 \sqrt { 5 } - 1 ) \enspace .
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算出来多少就是多少，不用担心结果古怪.
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例10.13 已知星形线的方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 \cos ^ { 3 } t , } \\ { y = 2 \sin ^ { 3 } t , } \end{array} \right.$ 则它绕x轴旋转一周而成的旋转体的表面积为
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分析利用对称性算出y轴右侧的表面积，再乘以2即可.
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套公式： $S = \int _ { \alpha } ^ { \beta } 2 \pi | \boldsymbol { y } ( t ) | \sqrt { ( x _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t$ ，再做计算．
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解 应填 $\frac { 4 8 } { 5 } \pi$
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旋转体的表面积为
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\begin{array} { r l } & { S = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 2 \pi y \sqrt { ( x _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \textstyle \underbrace { ( y _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \mathrm { d } t } \\ & { \quad = \sqrt { 3 6 \pi \mathrm { i } ^ { 2 } t ( \cos ^ { 2 } t ( \cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t ) } } \\ & { \quad = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 2 \sin ^ { 3 } t \cdot 6 \sin t \cos x \mathrm { d } t \quad \quad = 6 \sin t \cos t , } \\ & { \quad = 4 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } t \mathrm { d } ( \sin t ) } \\ & { \quad = 4 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } t \mathrm { d } ( \sin t ) } \\ & { \quad = 4 8 \pi \cdot \frac { \sin ^ { 5 } t } { 5 } \Bigg | _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } = \frac { 4 8 } { 5 } \pi . } \end{array}
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(4)平行截面面积为已知的立体体积．(考研未考过)
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考研历史上尚未出现过，考题不太好出
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如图10-11所示，在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到的截面面积为x的连续函数A(x)，取体积微元： $\mathrm { d } V = A ( x ) \mathrm { d } x$ ，则Ω的体积为
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V = \int _ { a } ^ { b } A ( x ) \mathrm { d } x .
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图10-11
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旋转体体积是其特例.
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例10.14 曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 与 $y = x$ 所围平面有界区域绕直线 $y = x$ 旋转一周所得旋转体的体积
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为
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分析 $r = { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } }$
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取微元： $\mathrm { d } V = \pi \bullet \left( { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \bullet { \sqrt { 2 } } \mathrm { d } x$ ${ \frac { \sqrt { 2 } } { 6 0 } } \pi$ A(x)解 应填
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$y = { \sqrt { x } }$ 与y=x交于点(0,0),(1,1)，如图10-12所示，曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 上的点到y=x的距离
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为 $r = { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } }$ ，故垂直于x轴的平面截“该旋转体”所得的截面面积为$A ( x ) = \sqrt { 2 } \pi \left( { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 }$ .因此，旋转体的体积为
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V = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { 2 } \pi } \left( { \frac { { \sqrt { x } } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \pi } { \sqrt { 2 } } } ( x - 2 x ^ { \frac { 3 } { 2 } } + x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x = { \frac { \sqrt { 2 } } { 6 0 } } \pi \ .
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图10-12
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V = \int _ { a } ^ { b } A ( x ) \mathrm { d } x
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V = \int _ { a } ^ { b } \pi f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x
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A ( x ) = { \sqrt { 2 } } \cdot \pi \left( { \frac { { \sqrt { x } } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 }
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设α为曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 任一点的切线与x轴正方向的夹角，β为直线y=x与x轴正方向的夹角.
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由于此题的对称性，视任一点处 $\alpha = \beta$ ，误差抵消，为0.（\*）如图10-13所示，在曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 上的任一点 $( x _ { i } , \sqrt { x _ { i } } )$ 处均作平行于y=x的直线，则
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图10-13
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\Delta u = \sqrt { 2 } \Delta x \ , r ( x _ { i } ) = [ f ( x _ { i } ) - x _ { i } ] \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { x _ { i } } - x _ { i } } { \sqrt { 2 } } \ ,
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V = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \pi \bullet r ^ { 2 } ( x _ { i } ) \bullet \Delta u = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \pi \bullet \left( { \frac { { \sqrt { x _ { i } } } - x _ { i } } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \bullet { \sqrt { 2 } } \Delta x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \pi \left( { \frac { { \sqrt { x } } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \bullet { \sqrt { 2 } } \mathrm { d } x = { \frac { \sqrt { 2 } } { 6 0 } } \pi
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（\*）处的解释如图10-14所示：
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图10-14
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本题所用方法要有足够的经验，才能作上述等价变换，这是一种数学“直觉”，此方法要视具体情况而定，不能一味套公式，要求较高，供参考
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## 基础习题精练
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## 习题
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10.1位于曲线 $y = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ( 0 \leqslant x < + \infty )$ 下方，x轴上方的无界区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
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10.2圆域 $x ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } \leqslant k ^ { 2 } ( 0 < k < b )$ 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V=
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10.3（仅数学一、数学二）曲线 $x = \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln y$ 相应于 $1 \leqslant y \leqslant e$ 的一段弧的长度为
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10.4（仅数学一、数学二）星形线 $x = \cos ^ { 3 } t , y = \sin ^ { 3 } t ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi )$ 的弧长为
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10.5函数 $y = \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } }$ 在区间 $\left[ { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right]$ 上的平均值为
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10.6求曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0,x=2所围成图形的面积最小.
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10.7设 $D _ { \ u { \mathrm { l } } }$ 是由抛物线 $y = 2 x ^ { 2 }$ 和直线 $x = a , x = 2$ 及y=0所围成的平面区域， $D _ { 2 }$ 是由抛物线
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$y = 2 x ^ { 2 }$ 和直线 $y = 0 , x = a$ 所围成的平面区域，其中 $0 < a < 2$
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(1)求 $D _ { \parallel }$ 绕x轴旋转一周而成的旋转体体积 $V _ { 1 } , D _ { 2 }$ 绕y轴旋转一周而成的旋转体体积 $V _ { 2 }$
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(2)问当a为何值时， $V _ { 1 } + V _ { 2 }$ 取得最大值？并求此最大值.
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10.8计算由摆线 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = a ( t - \sin t ) , } \\ { y = a ( 1 - \cos t ) } \end{array} \right. ( a > 0 , 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi )$ 与x轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
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10.9求曲线 $y = 3 - \left| x ^ { 2 } - 1 \right|$ 与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转一周所得旋转体的体积.
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## 解答
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10.1 $\frac { \pi ^ { 2 } } { 2 }$ 解所求体积为
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\int _ { 0 } ^ { + \infty } { \pi } ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } \mathrm { { d } } x = \operatorname* { l i m } _ { b + \infty } { \pi } \int _ { 0 } ^ { b } { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x = { \pi } \operatorname* { l i m } _ { b + \infty } { \arctan { x } } \bigg | _ { 0 } ^ { b } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \ .
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10.2 $2 \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } b$ 解如图10-15所示，上半圆周为 $y _ { 2 } = b + \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$ ，下半圆周为 $y _ { 1 } = b - { \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }$ 其体积微元为
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\begin{array} { l } { \displaystyle \mathrm { d } V = ( \pi y _ { 2 } ^ { 2 } - \pi y _ { 1 } ^ { 2 } ) \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle \quad = \pi [ ( b + \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - ( b - \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ] \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle \quad = 4 \pi b \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x , } \end{array}
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则所求旋转体的体积为
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\begin{array} { l } { { V = 4 \pi b \int _ { - k } ^ { k } \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = 8 \pi b \int _ { 0 } ^ { k } \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { { \nonumber } } \\ { { = 8 \pi b \cdot { \frac { \pi k ^ { 2 } } { 4 } } = 2 \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } b ~ . } } \end{array}
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图10-15
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注采用对y积分，即取微元 $[ y , y + \mathrm { d } y ]$ 亦可算出V
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10.3 ${ \frac { 1 } { 4 } } ( { \mathrm { e } } ^ { 2 } + 1 )$ 解以y作为参数，则
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\mathrm { d } s = { \sqrt { \left( { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \mathrm { d } y = { \sqrt { \left( { \frac { y } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 y } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \mathrm { d } y = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( y + { \frac { 1 } { y } } \right) } \mathrm { d } y \ ,
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故弧长为
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s = \int _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } \frac { 1 } { 2 } \left( y + \frac { 1 } { y } \right) \mathrm { d } y = \frac { 1 } { 4 } ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) \ .
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10.46解如图10-16所示，曲线具有对称性，我们只需计算在第一象限的弧段，即 $t \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ 对应部分的弧长.故 y
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\begin{array} { r l } & { s = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { ~ = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sqrt { ( - 3 \cos ^ { 2 } t \sin t ) ^ { 2 } + ( 3 \sin ^ { 2 } t \cos t ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { ~ = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 3 \big | \sin t \cos t \big | \mathrm { d } t = 1 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin t \cos t \mathrm { d } t = 6 \ . } \end{array}
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图10-16
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10.5 ${ \frac { { \sqrt { 3 } } + 1 } { 1 2 } } \pi$ 解函数 $y = f ( x )$ 在区间[a,b]上的平均值是指 ${ \frac { 1 } { b - a } } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ ，故所求的平均值为
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{ \frac { 2 } { \sqrt { 3 } - 1 } } \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \mathrm { d } x \ .
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$x = \sin \theta$ ，则
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\mathrm { ~ \mathcal ~ { ~ L ~ } ~ } \vec { \mathfrak { x } } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } - 1 } \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \sin ^ { 2 } \theta \mathrm { d } \theta = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \theta - \frac { 1 } { 4 } \sin 2 \theta \Bigg ) \Bigg | _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } = \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { 1 2 } \pi \mathrm { ~ . ~ }
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10.6解因为 $y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$ ，所以 $y = { \sqrt { x } }$ 在点 $( t , \sqrt { t } )$ 处的切线l的方程为
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y - \sqrt { t } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } ( x - t ) , \mathbb { H } y = \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } x + \frac { \sqrt { t } } { 2 } .
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所围面积为
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S ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } x + \frac { \sqrt { t } } { 2 } \right) - \sqrt { x } \right] \mathrm { d } x = \frac { 1 } { \sqrt { t } } + \sqrt { t } - \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 3 } \ .
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$S ^ { \prime } ( t ) = - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = 0$ ，得t=1.
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又 $S ^ { \prime \prime } ( 1 ) > 0$ ，故当t=1时，S取最小值，此时l的方程为 $y = \frac { x } { 2 } + \frac { 1 } { 2 }$
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## 10.7解 (1)由题意得
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V _ { \mathrm { 1 } } = \pi { \int _ { a } ^ { 2 } } ( 2 x ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \frac { 4 } { 5 } \pi ( 3 2 - a ^ { 5 } ) ,
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V _ { _ 2 } = \pi a ^ { 2 } \cdot 2 a ^ { 2 } - \pi \int _ { 0 } ^ { 2 a ^ { 2 } } \frac { y } { 2 } \mathrm { d } y = \pi a ^ { 4 } ~ .
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(2)由(1)得
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V = V _ { 1 } + V _ { 2 } = \frac { 4 } { 5 } \pi ( 3 2 - a ^ { 5 } ) + \pi a ^ { 4 } ~ .
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V ^ { \prime } = 4 \pi a ^ { 3 } ( 1 - a ) = 0 ,
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得区间(0,2)内唯一的驻点a=1，且 $V ^ { \prime \prime } ( 1 ) = - 4 \pi < 0$ ，因此a=1是极大值点，即最大值点，此时
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V _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 2 9 } { 5 } \pi \ .
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10.8解作平面图形，如图10-17所示.
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方法一平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为
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\begin{array} { r l } & { V _ { y } = \pi \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { 2 a } x _ { 2 } ^ { 2 } ( y ) \mathrm { d } y - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 a } x _ { 1 } ^ { 2 } ( y ) \mathrm { d } y \Bigg ] } \\ & { \quad = \pi \Bigg [ \int _ { 2 \pi } ^ { \pi } a ^ { 2 } ( t - \sin t ) ^ { 2 } a \sin t \mathrm { d } t - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } a ^ { 2 } ( t - \sin t ) ^ { 2 } a \sin t \mathrm { d } t \Bigg ] } \\ & { \quad = \pi a ^ { 3 } \Bigg [ - \displaystyle \int _ { \pi } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t \Bigg ] } \\ & { \quad = - \pi a ^ { 3 } \Bigg \} _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t , } \end{array}
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图10-17
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其中
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\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t ^ { 2 } \sin t + \sin ^ { 3 } t - 2 t \sin ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } t ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t \ .
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因为
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\begin{array} { r l r } { { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } t ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t = - t ^ { 2 } \cos t \big \vert _ { 0 } ^ { 2 \pi } + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \cos t \mathrm { d } t } } \\ & { } & \\ & { } & { = - 4 \pi ^ { 2 } + 2 t \sin t \big \vert _ { 0 } ^ { 2 \pi } - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 \sin t \mathrm { d } t = - 4 \pi ^ { 2 } , \quad } \end{array}
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\begin{array} { r l } & { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t } = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \frac { 1 - \cos 2 t } { 2 } \mathrm { d } t } = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - t \cos 2 t ) \mathrm { d } t } } \\ & { \quad \quad \quad = \displaystyle { \left( \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } - \frac { t \sin 2 t } { 2 } \right) _ { 0 } ^ { 2 \pi } + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sin 2 t } { 2 } \mathrm { d } t } } \\ & { \quad \quad \quad = 2 \pi ^ { 2 } - \displaystyle { \frac { \cos 2 t } { 4 } \Bigg | _ { 0 } ^ { 2 \pi } = 2 \pi ^ { 2 } } , } \end{array}
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所以
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\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t = - 4 \pi ^ { 2 } - 2 \pi ^ { 2 } = - 6 \pi ^ { 2 } ,
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则
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V _ { _ { y } } = - \pi a ^ { 3 } \cdot ( - 6 \pi ^ { 2 } ) = 6 \pi ^ { 3 } a ^ { 3 } .
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方法二平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为
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\begin{array} { l } { { V _ { y } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 2 \pi a } x y ( x ) \mathrm { d } x } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle \quad = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ( t - \sin t ) a ( 1 - \cos t ) a ( 1 - \cos t ) \mathrm { d } t } } \\ { { \ \displaystyle = 2 \pi a ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - 2 t \cos t + t \cos ^ { 2 } t - \sin t + 2 \sin t \cos t - \sin t \cos ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t } } \\ { { \ \displaystyle = 6 \pi ^ { 3 } a ^ { 3 } \ . } } \end{array}
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10.9解作出图形，如图10-18所示.
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$\widehat { A B }$ 的方程为 $y = x ^ { 2 } + 2 ( 0 \leqslant x \leqslant 1 )$ $\widehat { B C }$ 的方程为 $y = 4 - x ^ { 2 } ( 1 \leqslant x \leqslant 2 )$
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图10-18
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设旋转体在区间[0,1]上的体积为 $V _ { 1 }$ ，在区间[1,2]上的体积为 $V _ { 2 }$ ，则它们的体积微元分别为
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\mathrm { d } V _ { 1 } = \pi \{ 3 ^ { 2 } - [ 3 - ( x ^ { 2 } + 2 ) ] ^ { 2 } \} \mathrm { d } x = \pi ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x ,
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\mathrm { d } V _ { 2 } = \pi \{ 3 ^ { 2 } - [ 3 - ( 4 - x ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } \} \mathrm { d } x = \pi ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x \ .
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由对称性得
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\begin{array} { l } { { \displaystyle { V = 2 ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x + 2 \pi \int _ { 1 } ^ { 2 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \frac { V = 2 ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x } } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \frac { V = 2 ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x } } } } = \frac { 4 4 8 } { 1 5 } \pi ~ . } \end{array}
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