v1.1.4; Add ZMP margin metric

assets/docs/zmp_margin.md

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+# zmp_margin
+
+参考论文：[ZERO-MOMENT POINT -- THIRTY FIVE YEARS OF ITS LIFE](https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219843604000083)
+
+## 基本定义
+
+- Zero Moment Point（ZMP，零矩点）：机械系统的惯性力和重力的净力矩在该点沿水平轴分量为零。
+- Support Polygon（支撑多边形）：机械系统所有与地面接触点构成的凸包。
+- FZMP（fictitious ZMP，虚拟零矩点）：当 ZMP 落在支撑多边形外时，称 ZMP 为 FZMP，此时系统可能处于非平衡状态。
+- Virtual Horizontal Plane（虚拟水平投影面）：机械系统所有与地面接触点的几何中心记为 $O'$，将世界坐标系平移到 $O'$，得到的 $xy$ 平面。
+
+## MuJoCo 中的符号约定
+
+设机器人总共包含 $N$ 个刚体。对于第 $i$ 个刚体，在当前时刻具有如下量：
+
+- 质量：$m_i$
+- 质心位置：$\boldsymbol{p}_i$
+  这里相对于当前 `base_link` 在世界坐标系 $z$ 轴方向上平移到虚拟水平投影面的点。
+- 质心线加速度：$\boldsymbol{\ddot{p}}_i$
+- 角速度：$\boldsymbol{\omega}_i$
+- 角加速度：$\boldsymbol{\dot{\omega}}_i$
+- 惯性张量：$\boldsymbol{I}_i$
+
+上述量均相对于世界坐标系，保持相对于惯性参考系表达；本体坐标系不一定是参考系。计算 $\boldsymbol{I}_i$ 时需要确保其已经转换到世界坐标系下。
+
+## 总力与总力矩
+
+整个系统的总力与总力矩定义为：
+
+$$
+\boldsymbol{F}_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{N} m_i \left(\boldsymbol{g} - \boldsymbol{\ddot{p}}_i\right)
+$$
+
+$$
+\boldsymbol{M}_{\text{total}} =
+\sum_{i=1}^{N}
+\left[
+\left(\boldsymbol{p}_i \times m_i \left(\boldsymbol{g} - \boldsymbol{\ddot{p}}_i\right)\right)
+- \left(\boldsymbol{I}_i \boldsymbol{\dot{\omega}}_i + \boldsymbol{\omega}_i \times \left(\boldsymbol{I}_i \boldsymbol{\omega}_i\right)\right)
+\right]
+$$
+
+## ZMP 坐标
+
+由
+
+$$
+\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}
+$$
+
+可得
+
+$$
+\begin{cases}
+\boldsymbol{M}_y = -x_{\text{zmp}} \boldsymbol{F}_z + z_{\text{zmp}} \boldsymbol{F}_x \\
+\boldsymbol{M}_x = \phantom{-}y_{\text{zmp}} \boldsymbol{F}_z + z_{\text{zmp}} \boldsymbol{F}_y
+\end{cases}
+$$
+
+当 $z_{\text{zmp}} = 0$ 时，有
+
+$$
+\begin{cases}
+x_{\text{zmp}} = -\dfrac{\boldsymbol{M}_y}{\boldsymbol{F}_z} \\
+y_{\text{zmp}} = \phantom{-}\dfrac{\boldsymbol{M}_x}{\boldsymbol{F}_z}
+\end{cases}
+$$
+
+## 最终指标
+
+令默认状态下的对角足端距离为 $D_{\text{norm}}$，则总的 `zmp_margin` 定义为：
+
+$$
+m_{\text{zmp_margin}} =
+\max \left(
+0,
+1 - \dfrac{\left\| (x_{\text{zmp}}, y_{\text{zmp}}) \right\|_2}{D_{\text{norm}}}
+\right)
+$$