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第9讲 一元函数积分学的计算
| 考题 | 不定积分、定积分、变限积分和反常积分的计算 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分与定积分的换元积分法与分部积分法；②会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分；③掌握牛顿－莱布尼茨公式；④会计算反常积分 |
| 重难点 | ①不定积分和反常积分的计算；②定积分的计算和方法；③变限积分的计算和结论；④有些原函数无法用基本初等函数进行表示 |
基础知识结构
基本积分公式的由来： \left[ F ( x ) \right] ^ { \prime } = f ( x ) \Rightarrow \int f ( x ) \mathrm { d } x = F ( x ) + C . \cdot \left( \frac { 1 } { k + 1 } x ^ { k + 1 } \right) ^ { \prime } = x ^ { k } \Rightarrow \int x ^ { k } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { k + 1 } x ^ { k + 1 } + C . \cdot
需要牢记，是所有积分计算的基础！！！所有的积分计算通过各种方法最后都化为基本积分公式.
两个难点： \enclose{circle} { 1 } F ^ { \prime } ( x ) = f ( x ) ，使用基本的积分方法找不到 F ( x )
→引入中间变量
②有的原函数无法用基本初等函数进行表示.
基本积分公式
以下10组公式，要牢记.
①x²dx= -xk++C,k≠-1； \begin{array} { l } { \displaystyle \{ \displaystyle \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = - \frac { 1 } { x } + C , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { x } } \mathrm { d } x = 2 \sqrt { x } + C . } \end{array} k+1
\enclose{circle} { 2 } \int \frac { 1 } { x } \mathrm { d } x = \ln { \left| x \right| } + C . \longrightarrow ( \ln { x } ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x }
③[e²dx =e²+C; \int a ^ { x } \mathrm { d } x = \frac { a ^ { x } } { \ln a } + C , a > 0 且 a \neq 1 \ . { \longrightarrow } ( a ^ { x } ) ^ { \prime } = a ^ { x } \ln a
④ \int \sin { x } \mathrm { d } x = - \cos { x } + C ; \int \cos { x } \mathrm { d } x = \sin { x } + C
\int \limits _ { \log 3 } ^ { \log 3 d x } d x = - \ln ( \cos x ) + C ; \int \cot x \mathrm { d } x = \ln ( \sin x ) + C ;
\ P S _ { \mid \mid } \stackrel { \mathbb { V } } { \longrightarrow } { _ { \colon \thinspace \left( - \ln \left| \cos { x } \right| \right) ^ { \prime } = \tan { x } \Rightarrow \int \tan { x } \mathrm { d } x } } = - \ln { \left| \cos { x } \right| } + C .
角度二： [tan xdx= sin x dx =- (cos x)'dx (凑徽分) cos x cosx u=cosx du =-In|u|+C=-ln｜cosx|+C. u
\int { \frac { \mathrm { d } x } { \cos x } } = \int \sec x \mathrm { d } x = \ln \left| \sec x + \tan x \right| + C ; \star
\int { \frac { \mathrm { d } x } { \sin x } } = \int \csc x \mathrm { d } x = \ln \left| \csc x - \cot x \right| + C ;
\int \sec ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \tan x + C ; \int \csc ^ { 2 } x \mathrm { d } x = - \cot x + C ;
\int \sec { x } \tan { x } \mathrm { d } x = \sec { x } + C ; \int \csc { x } \cot { x } \mathrm { d } x = - \csc { x } + C .
\enclose{circle} { 5 } \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \int _ { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \arctan x + C , } } \\ { \displaystyle { \int _ { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { a } \arctan \frac { x } { a } + C ( a > 0 ) . } } \end{array} \right.
\enclose{circle} { 6 } \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \int _ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \arcsin x + C \mathrm { , } } } \\ { \displaystyle { \int _ { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \arcsin \frac { x } { a } + C ( a > 0 ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { c } { { \displaystyle { \int } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac 1 a { \displaystyle { \int } \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { x } { a } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x } { a } \right) ^ { \prime } \mathrm { d } x } \nonumber } } \\ { { { \displaystyle { \frac { x } { a } = u } \frac { 1 } { a } { \displaystyle { \int } \frac { 1 } { 1 + u ^ { 2 } } } \mathrm { d } u = \frac 1 a \mathrm { a r c t a n } u + C } } } \\ { { { \displaystyle { \phantom { \displaystyle { \frac { x } { a } = u } \mathrm { a r c t a n } \frac { x } { a } + C } } } } } \end{array}
\enclose{circle} { \enclose{circle} { 7 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } ~ \mathrm { d } x = \ln ( x + \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } ) + C ( \frac { \sqrt { y ^ { 2 } } } { \sqrt { y ^ { 2 } } } , \operatorname { f l } ~ a = 1 ) , } \\ { \displaystyle \int \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } ~ \mathrm { d } x = \ln \left| x + \sqrt { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \right| + C ( \left| x \right| > \left| a \right| ) . } \end{array} \right.
\enclose{circle} { 3 } \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } } ~ \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 a } \ln \left| \frac { x - a } { x + a } \right| + C \left( \int \frac { 1 } { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 a } \ln \left| \frac { x + a } { x - a } \right| + C \right) .
\enclose{circle} { 9 } \int \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } \arcsin \frac { x } { a } + \frac { x } { 2 } \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + C ( a > \left| x \right| \geqslant 0 ) \ .
\begin{array} { c l } { { \displaystyle { \gamma \int \frac { 1 } { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = - \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \mathrm { d } x = - \frac { 1 } { 2 a } \mathrm { l n } \left| \frac { x - a } { x + a } \right| + C } } } \\ { { \displaystyle { = \frac { 1 } { 2 a } \mathrm { l n } \left| \frac { x + a } { x - a } \right| + C . } } } \end{array}
\int \sin ^ { 2 } x \mathrm { d } x = { \frac { x } { 2 } } - { \frac { \sin 2 x } { 4 } } + C { \left( \sin ^ { 2 } x = { \frac { 1 - \cos 2 x } { 2 } } \right) } ；—→记住2次方即可，3次方不用再记
\int \cos ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \frac { x } { 2 } + \frac { \sin 2 x } { 4 } + C \left( \cos ^ { 2 } x = \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } \right) ;
\int \tan ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \tan x - x + C ( \tan ^ { 2 } x = \sec ^ { 2 } x - 1 ) ;
\int \cot ^ { 2 } x \mathrm { d } x = - \cot x - x + C ( \cot ^ { 2 } x = \csc ^ { 2 } x - 1 ) \enspace .
不定积分的积分法
凑微分法
\scriptstyle \bigwedge _ { \vec { \mathbf { \tau } } } g ( { \pmb x } ) = { \pmb u }
\int f [ g ( x ) ] g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = \int f [ g ( x ) ] \mathrm { d } [ g ( x ) ] = \int f ( u ) \mathrm { d } u .—→若可以代入基本积分公式，则结束
当被积函数比较复杂时，拿出一部分放到d后面去，若能凑成 \int f ( u ) \mathrm { d } u 的形式，则凑微分成功.比如，
\begin{array} { c } { { { \displaystyle { \int } } { \frac { \ln ^ { 5 } x } { x } } \mathrm { d } x = { \displaystyle { \int } } \ln ^ { 5 } x \cdot { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x = { \displaystyle { \int } } \ln ^ { 5 } x \mathrm { d } ( \ln x ) = { \frac { \ln ^ { 6 } x } { 6 } } + C . } } \\ { { { } } } \\ { { { \displaystyle { \int } \ln ^ { 5 } x \cdot ( \ln x ) ^ { \prime } \mathrm { d } x } } } \\ { { { } } } \\ { { { \displaystyle { f [ g ( x ) ] } } g ^ { \prime } ( x ) } } \end{array}
即注2的⑤
→放入d后面要熟练
常用的凑微分公式：
①由于 x \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } ( x ^ { 2 } ) ，故 \int x f ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 2 } } \int f ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } ( x ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int f ( u ) \mathrm { d } u
②由于 { \sqrt { x } } \mathrm { d } x = { \frac { 2 } { 3 } } \mathrm { d } ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) ，故 \int \sqrt { x } f ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) \mathrm { d } x = \frac { 2 } { 3 } \int f ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) \mathrm { d } ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) = \frac { 2 } { 3 } \int f ( u ) \mathrm { d } u
③由于 \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { x } } = 2 \mathrm { d } ( \sqrt { x } ) \int { \frac { f ( { \sqrt { x } } ) } { \sqrt { x } } } \mathrm { d } x = 2 \int f ( { \sqrt { x } } ) \mathrm { d } ( { \sqrt { x } } ) = 2 \int f ( u ) \mathrm { d } u
④由于 { \frac { \mathrm { d } x } { { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } } } = \mathrm { d } \left( - { \frac { 1 } { x } } \right) \int { \frac { f \left( - { \frac { 1 } { x } } \right) } { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \int f \left( - { \frac { 1 } { x } } \right) \mathrm { d } \left( - { \frac { 1 } { x } } \right) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
⑤由于当x>0时， { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( \ln x ) ，故 \int { \frac { f ( \ln x ) } { x } } \mathrm { d } x = \int f ( \ln x ) \mathrm { d } ( \ln x ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 \operatorname { e } ^ { x } \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( \operatorname { e } ^ { x } ) ，故 \int \mathrm { e } ^ { x } f ( \mathrm { e } ^ { x } ) \mathrm { d } x = \int f ( \mathrm { e } ^ { x } ) \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { x } ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 a ^ { x } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { \ln a } \mathrm { d } ( a ^ { x } ) , a > 0 , a \neq 1 做 \int a ^ { x } f ( a ^ { x } ) \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { \ln a } } \int f ( a ^ { x } ) \mathrm { d } ( a ^ { x } ) = { \frac { 1 } { \ln a } } \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 \sin x \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( - \cos x ) ，故 \int \sin { x } \cdot f ( - \cos { x } ) \mathrm { d } x = \int f ( - \cos { x } ) \mathrm { d } ( - \cos { x } ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 \cos x \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( \sin x ) 故 \int \cos { x } \cdot f ( \sin { x } ) \mathrm { d } x = \int f ( \sin { x } ) \mathrm { d } ( \sin { x } ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 \frac { \mathrm { d } x } { \cos ^ { 2 } x } = \sec ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( \tan x ) )，故 \int { \frac { f ( \tan x ) } { \cos ^ { 2 } x } } \mathrm { d } x = \int f ( \tan x ) \mathrm { d } ( \tan x ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由 \mp \frac { \mathrm { d } x } { \sin ^ { 2 } x } = \csc ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( - \cot x ) ，故 \int { \frac { f ( - \cot x ) } { \sin ^ { 2 } x } } \mathrm { d } x = \int f ( - \cot x ) \mathrm { d } ( - \cot x ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( \arctan x ) 做 \int { \frac { f ( \arctan x ) } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \int f ( \arctan x ) \mathrm { d } ( \arctan x ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
由于 \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \mathrm { d } ( \arcsin x ) 做 \int { \frac { f ( \arcsin x ) } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \mathrm { d } x = \int f ( \arcsin x ) \mathrm { d } ( \arcsin x ) = \int f ( u ) \mathrm { d } u
选择复杂部分求导 \frac { ( \arcsin x ) ^ { \prime } } { \downarrow } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } }
例9.1 求不定积分 \int \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { 4 - x ^ { 3 } } } \mathrm { d } x
解
\int \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { 4 - x ^ { 3 } } } \mathrm { d } x = \frac { 2 } { 3 } \int \frac { \mathrm { d } ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } { \sqrt { 4 - ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) ^ { 2 } } } = \frac { 2 } { 3 } \int \frac { \mathrm { d } ( x ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } { 2 \sqrt { 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } }
= \frac { 2 } { 3 } \int \frac { \mathrm { d } { \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) } } { \sqrt { 1 - { \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) } ^ { 2 } } } \overset { > } { = } \frac { 2 } { 3 } \mathrm { a r c s i n } { \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) } + C \mathrm { ~ . ~ }
例9.2 求不定积分 \int \mathrm { e } ^ { \frac { \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } } \bullet \frac { 1 } { \left( \cos \theta + \sin \theta \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta (真题中大题最后一步)
分析）若不是常用的凑微分公式，则可对被积函数的复杂部分g(x)求导，若 g ^ { \prime } ( x ) = f ( x ) 即 \mathrm { d } [ g ( x ) ] = f ( x ) \mathrm { d } x 则 \int f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x = \int g ( x ) \mathrm { d } [ g ( x ) ] ，凑微分成功.
解 对复杂部分求导：
\left( { \frac { \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } } \right) ^ { \prime } = { \frac { \cos \theta ( \cos \theta + \sin \theta ) - \sin \theta ( - \sin \theta + \cos \theta ) } { \left( \cos \theta + \sin \theta \right) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { \left( \cos \theta + \sin \theta \right) ^ { 2 } } } ,
故
\mathrm { d } \left( \frac { \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } \right) = \frac { 1 } { \left( \cos \theta + \sin \theta \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ,
于是
②换元法
\overbrace { \underbrace { \vphantom { \int } \sum _ { j \in \mathcal { S } } ^ { m } \frac { \partial } { \partial \Psi } } } ^ { \substack { \sum } } = \ \int _ { \underset { f \left[ g \left( x \right) \right] } { \underbrace { \vphantom { \int } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \theta } } } ^ { \infty \frac { \sin \theta } { \sin \theta } } \mathrm { d } \left( \underset { \underset { g \left( x \right) } { \underbrace { \vphantom { \int } \sin \theta } } } { \underbrace { \sin \theta } } \right) = \mathrm { e } ^ { \frac { \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } } + C \ .
(1)基本思想.
\int f ( x ) \mathrm { d } x { \frac { x = g ( u ) } { \int f [ g ( u ) ] \mathrm { d } [ g ( u ) ] = \int f [ g ( u ) ] g ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u ~ . } }
↓ { \mathfrak { x } } _ { 5 } \cdot { \textstyle \sqrt { \mathrm { ~ \alpha ~ } } } ^ { * } \cdot { \mathrm { ~ \sqrt { e ^ { x } + 1 } ~ } } , \ { \sqrt { \frac { 2 x + 1 } { x + 1 } } } , \ { \frac { 1 } { \sqrt { { \mathrm { e } } ^ { 2 x } + 1 } } } . 本质：f(x)比较复杂，
引入新的自变量u，将原式化简为 \int h ( u ) \mathrm { d } u ，可代入公式
注(1)当被积函数不容易积分（比如含有根式或含有反三角函数）时，可以通过换元的方法从d后面拿出一部分放到前面来，就成为 \int f [ g ( u ) ] g ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u 的形式，若 f [ g ( u ) ] g ^ { \prime } ( u ) 容易积分，则换元成功(2) \scriptstyle x = g ( u ) 须是单调可导函数，且不要忘记计算结束后用反函数 u = g ^ { - 1 } ( x ) 回代
(2)常用换元法.
①三角函数代换—当被积函数含有如下根式时，可作三角函数代换，这里 a > 0
√a²-x→令x=sint,<；
√a²+x²→令x=tant,<，
若x>0，则 0 < t < \frac { \pi } { 2 }
若x<0，则 \frac { \pi } { 2 } < t < \pi .
②恒等变形后作三角函数代换 当被积函数含有根式 \sqrt { a x ^ { 2 } + b x + c } 时，可先化为以下三种形式：
\sqrt { \varphi ^ { 2 } ( x ) + k ^ { 2 } } , \sqrt { \varphi ^ { 2 } ( x ) - k ^ { 2 } } , \sqrt { k ^ { 2 } - \varphi ^ { 2 } ( x ) } ,
再作三角函数代换.
解题利器：“令复杂=t"
“举重若轻"7★★★③根式代换一 一当被积函数含有根式 { \sqrt [ n ] { a x + b } } , { \sqrt { \frac { a x + b } { c x + d } } } , { \sqrt { a \mathbf { e } ^ { b x } + c } } 等时，一般令根式 { \sqrt { * } } = t （因为事实上，很难通过根号内换元的办法凑成平方，所以根号无法去掉).对既含有 \sqrt [ n ] { a x + b } ，也含有\sqrt [ m ] { a x + b } 的函数，一般取m,n的最小公倍数l，令 { \sqrt [ [object Object] ] { a x + b } } = t
￥比如，含有ax+b，ax+b的函数，令 t = \sqrt [ 6 ] { a x + b }
④倒代换一当被积函数分母的幂次比分子高两次及两次以上时，作倒代换，令 x = \frac { 1 } { t }
未必一定用.如 √ \begin{array} { l } { { \displaystyle { \int } \frac { 1 } { x ( x ^ { 3 } + 1 ) } \mathrm { d } x = \int \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } ( x ^ { 3 } + 1 ) } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 3 } \int \frac { 1 } { x ^ { 3 } ( x ^ { 3 } + 1 ) } \mathrm { d } ( x ^ { 3 } ) } } \\ { { \displaystyle { \qquad \frac { x ^ { 3 } - t } { 3 } \frac { 1 } { 3 } \int _ { t ( t + 1 ) } ^ { 1 } \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 3 } \int \left( \frac { 1 } { t } - \frac { 1 } { t + 1 } \right) \mathrm { d } t } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \frac { 1 } { 3 } ( \ln | t | - \ln | t + 1 | ) + C } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \frac { 1 } { 3 } \ln \left| \frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 3 } + 1 } \right| + C } } } \end{array}
③复杂函数的直接代换一—当被积函数中含有 a ^ { x } , \mathbf { e } ^ { x } ,In x,arcsinx，arctan x等时，可考虑直接令复杂函数等于t，值得指出的是，当Inx,arcsin x，arctan x与 P _ { n } ( x ) 或 \mathrm { e } ^ { a x } 作乘法时（其中 P _ { n } ( x ) 为x的n次多项式)，优先考虑分部积分法.
例9.3 求不定积分 \int \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x ( a > 0 )
\longrightarrow - a \leqslant x \leqslant a , - \frac { \pi } { 2 } \leqslant t \leqslant \frac { \pi } { 2 }
解设 x = a \sin t ，则 \mathrm { d } x = a \cos { \iota } tdt， \scriptstyle \prime = \arcsin { \frac { x } { a } } ，所以
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int } \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int \sqrt { a ^ { 2 } - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t } \cdot a \cos t \mathrm { d } t = a ^ { 2 } \displaystyle { \int } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } \int \bigl ( 1 + \cos 2 t \bigr ) \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } t + \frac { a ^ { 2 } } { 4 } \sin 2 t + C = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } t + \frac { a ^ { 2 } } { 2 } \sin t \cos t + C } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } \arcsin \frac { x } { a } + \frac { x } { 2 } \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + C . } } \end{array}
③分部积分法
(1) \int \limits _ { \sin A } u \mathrm { d } \nu = u \nu - \int \nu \mathrm { d } u
这个方法主要适用于求[udv比较困难，而[vdu比较容易的情形
注积分后会“简单”些的函数宜取作v；微分后会“简单”些的函数宜取作u．故u，v的选取原则为 指、三均可为u
相对位置在左边的宜选作u，用来求导；相对位置在右边的宜选作v，用来积分，即
（1）被积函数为 P _ { n } ( x ) \mathrm { e } ^ { i x } , P _ { n } ( x ) \sin a x , P _ { n } ( x ) \cos a x 等形式时，一般来说选取 u = P _ { n } ( x )
（2）被积函数为 \mathrm { e } ^ { a x } \sin b x , \mathrm { e } ^ { a x } \cos b x 等形式时，u可以取两因子中的任意一个；
（3）被积函数为 P _ { n } ( x ) \ln x , P _ { n } ( x ) \arcsin x , P _ { n } ( x ) \arctan x 等形式时，一般分别选取
u = \ln x , u = \arcsin x , u = \arctan x .
\begin{array} { l } { \displaystyle \downarrow \downarrow \bigcup _ { u } { \bigcup _ { u } { { \big ( 1 + x ^ { 2 } \big ) } \mathord { \bigcup _ { v } } } } = \displaystyle { \int _ { \ln { \big ( 1 + x ^ { 2 } \big ) } } } \cdot { x ^ { \prime } } \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle { \bigcup _ { u } { \big ( 1 + x ^ { 2 } \big ) } } \cdot { \bigcup _ { u } { \big ( 1 + x ^ { 2 } \big ) } } \cdot { \big \downarrow } } \\ { \displaystyle { \qquad = \ln ( 1 + x ^ { 2 } ) \cdot x - \int x \cdot \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { \displaystyle { \qquad = x \ln ( 1 + x ^ { 2 } ) - 2 \Big \lceil \frac { x ^ { 2 } + 1 - 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } x } } \\ { \displaystyle { \qquad = x \ln ( 1 + x ^ { 2 } ) - 2 x + 2 \arctan x + C . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \not \downarrow \delta > \int x ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x = \displaystyle \int x ^ { 3 } \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { x } ) = x ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { x } - \int \mathrm { e } ^ { x } \ast 3 x ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \qquad = x ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { x } - 3 \int x ^ { 2 } \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { x } ) } \\ & { \qquad = x ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { x } - 3 \left( x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x } - \int \mathrm { e } ^ { x } \ast 2 x \mathrm { d } x \right) } \\ & { \qquad = x ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { x } - 3 x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x } + 6 x \mathrm { e } ^ { x } - 6 \mathrm { e } ^ { x } + C } \end{array}
(2)分部积分法的推广公式与 \int P _ { n } ( x ) \mathrm { e } ^ { k x } \mathrm { d } x , \int P _ { n } ( x ) \sin a x \mathrm { d } x , \int P _ { n } ( x ) \cos b x \mathrm { d } x
设函数 \scriptstyle u = u ( x ) 与 \nu = \nu ( x ) 具有直到第n+1阶的连续导数，并根据分部积分公式
\int u \mathrm { d } \nu = u \nu - \int \nu \mathrm { d } u ,
则有
\int u \nu ^ { ( n + 1 ) } \mathrm { d } x = u \nu ^ { ( n ) } - u ^ { \prime } \nu ^ { ( n - 1 ) } + u ^ { \prime } \nu ^ { ( n - 2 ) } - \cdots + ( - 1 ) ^ { n } u ^ { ( n ) } \nu + ( - 1 ) ^ { n + 1 } \int u ^ { ( n + 1 ) } \nu \mathrm { d } x \ .
注证明n=3时，如下：
证
\begin{array} { r l } & { \int u v ^ { ( 4 ) } \mathrm { d } x = u v ^ { ( 3 ) } - u ^ { \prime } v ^ { \prime } + u ^ { \prime } v ^ { \prime } - u ^ { ( 3 ) } v + \int u ^ { ( 4 ) } v \mathrm { d } x \ . } \\ & { \qquad \int u v ^ { ( 4 ) } \mathrm { d } x = \int u \mathrm { d } [ v ^ { ( 3 ) } ] = u v ^ { ( 3 ) } - \int u ^ { \prime } v ^ { ( 3 ) } \mathrm { d } x \ . } \\ & { \qquad \int u ^ { \prime } v ^ { ( 3 ) } \mathrm { d } x = \int u ^ { \prime } \mathrm { d } ( v ^ { \prime } ) = u ^ { \prime } v ^ { \prime } - \int u ^ { \prime } v ^ { \prime } \mathrm { d } x \ . } \\ & { \qquad \int u ^ { \prime } v ^ { \prime } \mathrm { d } x = \int u ^ { \prime } \mathrm { d } ( v ^ { \prime } ) = u ^ { \prime } v ^ { \prime } - \int u ^ { ( 3 ) } v ^ { \prime } \mathrm { d } x \ . } \\ & { \qquad \int u ^ { ( 3 ) } v ^ { \prime } \mathrm { d } x = \int u ^ { ( 3 ) } \mathrm { d } v - u ^ { ( 3 ) } v - \int u ^ { ( 4 ) } v \mathrm { d } x \ . } \end{array}
联立以上式子，得
\int u \nu ^ { ( 4 ) } \mathrm { d } x = u \nu ^ { ( 3 ) } - u ^ { \prime } \nu ^ { \prime } + u ^ { \prime \prime } \nu ^ { \prime } - u ^ { ( 3 ) } \nu + \int u ^ { ( 4 ) } \nu \mathrm { d } x ~ .
事实上，可写成如下表格：
| u的各阶导数 | $\boldsymbol { u }$ | $u ^ { \prime }$ | $u ^ { ( 3 ) }$ | $\frac { \boldsymbol { u } ^ { ( 4 ) } } { \updownarrow }$ | |
| $\nu ^ { ( 4 ) }$ 的各阶原函数 | $\nu ^ { ( 4 ) }$ | $\nu ^ { ( 3 ) }$ | $\nu ^ { \prime \prime }$ |
计算方法：以u作起点左上、右下错位相乘，各项符号 " + " - " 相间，最后一项为 \int u ^ { ( 4 ) } \nu \mathrm { d } x 比如，求不定积分 \int ( x ^ { 3 } + 2 x + 6 ) \mathrm { e } ^ { 2 x } \mathrm { d } x ，则
| $x ^ { 3 } + 2 x + 6$ | $3 x ^ { 2 } + 2$ | $_ { 6 x }$ | ||
| $\nu ^ { ( 4 ) }$ $\mathrm { e } ^ { 2 x }$ | $\frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ | ${ \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ | $\frac { 1 } { 8 } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ | ${ \frac { 1 } { 1 6 } } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ |
利用上述表格，可得
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \ J _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { G } } \frac { \ d \bf \to \bar { x } } { \ d \bf \bar { x } } = ( x ^ { 3 } + 2 x + 6 ) \left( \frac 1 2 { \bf e } ^ { 2 x } \right) - ( 3 x ^ { 2 } + 2 ) \left( \frac 1 4 { \bf e } ^ { 2 x } \right) + 6 x \left( \frac 1 8 { \bf e } ^ { 2 x } \right) - 6 \left( \frac 1 { 1 6 } { \bf e } ^ { 2 x } \right) + \int 0 \cdot \left( \frac 1 { 1 6 } { \bf e } ^ { 2 x } \right) \mathrm { d } x } \\ & { \quad \quad = \left( \frac 1 2 x ^ { 3 } - \frac 3 4 x ^ { 2 } + \frac 7 4 x + \frac { 1 7 } { 8 } \right) { \bf e } ^ { 2 x } + C \ . } \end{array}
例9.4 求不定积分 \int \frac { x \mathrm { e } ^ { x } } { \sqrt { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } } \mathrm { d } x
分析 \int \displaylimits _ { \downarrow } \Delta \mathrm { d } x \int \displaylimits _ { \downarrow } \mathrm { d } x .②带且无平方项，整体代换令其为u.稳定不好求易求
解 本题主要考查换元法、分部积分法．
u = \sqrt { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } ，则 \scriptstyle x = \ln ( 1 + u ^ { 2 } ) ，dx = \frac { 2 u } { 1 + u ^ { 2 } } \mathrm { d } u ，从而
\begin{array} { l } { \displaystyle \int \frac { x \mathrm { e } ^ { x } } { \sqrt { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } } \mathrm { d } x = \displaystyle \int \frac { ( 1 + u ^ { 2 } ) \ln ( 1 + u ^ { 2 } ) } { u } \cdot \frac { 2 u } { 1 + u ^ { 2 } } \mathrm { d } u = 2 \displaystyle \int \ln ( 1 + u ^ { 2 } ) \mathrm { d } u } \\ { \displaystyle \qquad = 2 u \ln ( 1 + u ^ { 2 } ) - \int \frac { 4 u ^ { 2 } } { 1 + u ^ { 2 } } \mathrm { d } u = 2 u \ln ( 1 + u ^ { 2 } ) - 4 u + 4 \arctan u + C } \\ { \displaystyle \qquad = 2 x \sqrt { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } - 4 \sqrt { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } + 4 \arctan \sqrt { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } + C \ . } \end{array}
例9.5 求不定积分 \int { \frac { x \mathrm { e } ^ { \arctan x } } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \mathrm { d } x
分析带 \sqrt { { ~ ^ { ~ } } ^ { ~ } } 且有平方项→三角代换x=tant→消 \sqrt { { ~ ^ { ~ } } ^ { ~ } }
解 本题涉及换元法、分部积分法.
设x=tant，则
又
\begin{array} { r l } & { \int \displaystyle \frac { x \mathrm { e } ^ { i \alpha \mathrm { m } x } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } x = \int \displaystyle \frac { \mathrm { e } ^ { i } \tan t } { \left( 1 + \tan ^ { 2 } t \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { s e c } ^ { \alpha } t \mathrm { d } t = \int \mathrm { e } ^ { i } \sin t \mathrm { d } t , } \\ & { \int \displaystyle \mathrm { e } ^ { i } \sin t \mathrm { d } t \frac { ( \mathrm { e } ^ { + } ) } { - \int } \mathrm { e } ^ { i } \mathrm { d } ( \cos t ) = - \Big ( \mathrm { e } ^ { i } \cos t - \int \mathrm { e } ^ { i } \cos t \mathrm { d } t \Big ) \quad \Bigg ] _ { \left. \frac { \mathrm { e } ^ { + } \sin \frac { 4 } { 9 } \sqrt { 9 } \mathrm { e } ^ { i } \frac { { \lambda } { \sqrt { 3 } } } { 2 } } \mathrm { d } \alpha \right. \frac { 4 } { 5 } \frac { \sin \frac { t } { 2 } \sin \frac { 4 } { 9 } \sqrt { 9 } } { 4 } } } \\ & { \qquad = - \mathrm { e } ^ { i } \cos t + \mathrm { e } ^ { i } \sin t - \int \mathrm { e } ^ { i } \sin t \mathrm { d } t , } \end{array}
故原式 = \int \mathrm { e } ^ { t } \sin t \mathrm { d } t = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { t } ( \sin t - \cos t ) + C = { \frac { ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { a \mathrm { r c t a n } x } } { 2 { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } + C
注（*）处亦可直接套用如下公式：
\enclose{circle} { 1 } \int \mathrm { e } ^ { a x } \sin b x \mathrm { d } x = \frac { \left| \mathrm { e } ^ { a x } - \mathrm { s i n } b x \right| ^ { \prime } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + C = \frac { a \mathrm { e } ^ { a x } \sin b x - b \mathrm { e } ^ { a x } \cos b x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + C ;
\enclose{circle} { 2 } \int \mathrm { e } ^ { a x } \cos b x \mathrm { d } x = \frac { | \mathrm { e } ^ { a x } \langle \mathrm { } \cos b x \rangle ^ { \prime } | } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + C = \frac { a \mathrm { e } ^ { a x } \cos b x + b \mathrm { e } ^ { a x } \sin b x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + C \ .
再如， \int \mathrm { e } ^ { - x } \sin n x \mathrm { d } x = { \frac { - \mathrm { e } ^ { - x } \sin n x - n \mathrm { e } ^ { - x } \cos n x } { ( - 1 ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } + C
例9.6 设 f ( \ln x ) = { \frac { \ln ( 1 + x ) } { x } } ，计算 \int f ( x ) \mathrm { d } x
分析首先，本题要求出f(x)的表达式，一般方法是令t=lnx.其次，计算具体积分，或先凑微分再分部积分，或换元再分部积分.
解 设lnx=t，则 x = { \mathrm { e } } ^ { t } , f ( t ) = { \frac { \ln ( 1 + { \mathrm { e } } ^ { t } ) } { { \mathrm { e } } ^ { t } } } ，故
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int f ( x ) \mathrm { d } x = \int \frac { \mathrm { l n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) } { \mathrm { e } ^ { x } } \mathrm { d } x = - \int \mathrm { l n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { - x } ) } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { \displaystyle { \phantom { \int } { } { = } - \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { l n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) + \int [ 1 + \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { \frac { } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } { = } - \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { l n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) + x - \mathrm { l n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) + C } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \int } { } { = } x - ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) \mathrm { l n } ( 1 + \mathrm { e } ^ { x } ) + C . } } } \end{array}
例9.7 计算不定积分 \int \mathrm { e } ^ { 2 x } ( \tan x + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x
分析）展开平方，利用三角函数公式化简.
解
{ \begin{array} { r l } & { \int \mathbf { e } ^ { 2 x } ( \tan x + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \int \mathbf { e } ^ { 2 x } ( \sec ^ { 2 } x + 2 \tan x ) \mathrm { d } x } \\ & { \qquad = \int \mathbf { e } ^ { 2 x } \sec ^ { 2 } x \mathrm { d } x + 2 \int \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \mathrm { d } x } \\ & { \qquad = \int \mathbf { e } ^ { 2 x } \mathrm { d } ( \tan x ) + 2 \int \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \mathrm { d } x } \\ & { \qquad = \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \left[ - 2 \left[ \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \mathrm { d } x + 2 \right] \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \mathrm { d } x \right] } \\ & { \qquad = \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \left[ { \frac { - 2 \left[ \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \mathrm { d } x + 2 \right] \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x \mathrm { d } x } { \hbar } } \right] \cdots \left. { \frac { \mathbf { i } } { \hbar } } { \frac { \mathbf { i } } { \hbar } } + { \frac { 1 } { 6 } } { \frac { \partial } { \partial } } { \frac { \partial } { \partial } } { \frac { \partial } { \partial } } { \frac { \partial } { \partial } } { \frac { \partial } { \partial } } \right. \ , \ \pm \Re { \mathrm { d } } { \frac { \partial } { \partial } } { \frac { \partial } { \partial } } \ } \\ & { \qquad = \mathbf { e } ^ { 2 x } \tan x + C \ . } \end{array} }
4有理函数的积分
(1)定义.
形如 \int \frac { P _ { n } ( x ) } { Q _ { m } ( x ) } \mathrm { d } x ( n < m ) 的积分称为有理函数的积分，其中 P _ { n } ( x ) , Q _ { m } ( x ) 分别是x的n次多项式和m次多项式. → \frac { P _ { n } ( x ) } { Q _ { m } ( x ) } \bigg \{ { n < m } 莫分式， 假分式=多项式+真分式.比如： { \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } } = { \frac { x ^ { 2 } - 1 + 1 } { x + 1 } } = x - 1 + { \frac { 1 } { x + 1 } }
(2)思想.
若 Q _ { m } ( x ) 在实数域内可因式分解，则因式分解后再把 \frac { P _ { n } ( x ) } { Q _ { m } ( x ) } 拆成若干项最简有理分式之和.
有理式=最简有理分式之和，其中最简有理分式分为 \frac { A } { a x + b } , \frac { A _ { k } } { ( a x + b ) ^ { k } } , \frac { A x + B } { p x ^ { 2 } + q x + r } , \frac { A _ { k } x + B _ { k } } { ( p x ^ { 2 } + q x + r ) ^ { k } } ( k = 2 , 3 , \cdots ) 积分易算
比如
\int { \frac { 1 } { x + 1 } } \mathrm { d } x = \ln { \left| x + 1 \right| } + C ,
\int \frac { 2 } { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } { \mathrm { d } } x = \int \frac { 1 } { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } { \mathrm { d } } ( 2 x - 1 ) = - \frac { 1 } { 2 x - 1 } + C ,
\int \frac { x - 1 } { { x } ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } x = \int \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 x } { { x } ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } x - \int \frac { 1 } { { x } ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \ln ( { x } ^ { 2 } + 1 ) - \arctan { x } + C ~ .
利用分部积分逆推 I = \int \frac { \mathrm { d } x } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ，由于
\begin{array} { r } \displaystyle { \int } \displaystyle { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } + \int x \bullet \frac { 2 x } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x } \\ { = \displaystyle { \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } + 2 \int \frac { x ^ { 2 } + 1 - 1 } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { = \displaystyle { \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } + 2 \arctan { x } - 2 I } , } \end{array}
因此 I = \frac { x } { 2 ( 1 + x ^ { 2 } ) } + \frac { 1 } { 2 } \arctan x + C
(3)方法（如何拆）.
Q _ { m } ( x ) 的一次单因式 a x + b 产生一项 \frac { A } { a x + b }
② Q _ { m } ( x ) 的k重一次因式 ( a x + b ) ^ { k } \vec { \jmath } ^ { s } 生k项，分别为 \frac { A _ { 1 } } { a x + b } , \frac { A _ { 2 } } { ( a x + b ) ^ { 2 } } , \cdots , \frac { A _ { k } } { ( a x + b ) ^ { k } } ( k = 2 , 3 , \cdots )
Q _ { m } ( x ) 的二次单因式 p x ^ { 2 } + q x + r { \vec { y } } ^ { 2 } 生一项 \frac { A x + B } { p x ^ { 2 } + q x + r }
④ Q _ { m } ( x ) 的k重二次因式 ( p x ^ { 2 } + q x + r ) ^ { k } 产生k项，分别为
{ \frac { A _ { 1 } x + B _ { 1 } } { p x ^ { 2 } + q x + r } } , { \frac { A _ { 2 } x + B _ { 2 } } { \left( p x ^ { 2 } + q x + r \right) ^ { 2 } } } , \cdots , { \frac { A _ { k } x + B _ { k } } { \left( p x ^ { 2 } + q x + r \right) ^ { k } } }
比如， Q _ { m } ( x ) = ( a x + b ) ^ { 2 } ( p x ^ { 2 } + q x + r ) ^ { 2 } ，则有
\frac { P } { Q } = \frac { A _ { 1 } } { a x + b } + \frac { A _ { 2 } } { \left( a x + b \right) ^ { 2 } } + \frac { A _ { 3 } x + B } { p x ^ { 2 } + q x + r } + \frac { A _ { 4 } x + C } { \left( p x ^ { 2 } + q x + r \right) ^ { 2 } } \ .
山 例9.8 求 \int \frac { 4 x ^ { 2 } - 6 x - 1 } { ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x
解 本题主要考查有理函数的积分.
先将被积函数分解为最简有理分式之和.这时应有分解式
{ \frac { 4 x ^ { 2 } - 6 x - 1 } { ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } } = { \frac { A } { x + 1 } } + { \frac { B } { 2 x - 1 } } + { \frac { C } { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } } ,
问题是如何定出A，B,C这三个数.右边通分后等号左、右两边的分子应恒等，即
4 x ^ { 2 } - 6 x - 1 \equiv A ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } + B ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) + C ( x + 1 ) ~ .\tag{*}
由此恒等式不难定出A,B,C来，常用的方法有两种.
一种方法是将等式右端展开，得到
4 x ^ { 2 } - 6 x - 1 \equiv ( 4 A + 2 B ) x ^ { 2 } + ( - 4 A + B + C ) x + ( A - B + C ) ,
因为这是恒等式，等号左、右两边x的同次幂的系数应该相等，故应有
\left\{ \begin{array} { l } { { 4 A + 2 B = 4 , } } \\ { { - 4 A + B + C = - 6 , } } \\ { { A - B + C = - 1 , } } \end{array} \right.
解得 A = 1 , B = 0 , C = - 2
这种方法比较死板，且解系数满足的方程组有时较烦琐.我们希望能求得A,B,C应满足的较简单的条件.
另一种方法是根据在恒等式中以变量x的任意值代入等号两边应该得到相同的值，利用这一性质，赋予x适当的值，可以得到A,B,C应满足的简单条件.例如，在(*)式中
x = - 1 ，有 9 = 9 A , A = 1
x = \frac { 1 } { 2 } ，有 - 3 = \frac { 3 } { 2 } C , C = - 2
x = 0 ，有 - 1 = A - B + C ，可求出 B = 0
两种方法求得的结果一致：
{ \frac { 4 x ^ { 2 } - 6 x - 1 } { ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { x + 1 } } - { \frac { 2 } { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } } \ .
因此可求得
\int \frac { 4 x ^ { 2 } - 6 x - 1 } { ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } { \mathrm { d } } x = \int \frac { { \mathrm { d } } x } { x + 1 } - \int \frac { 2 } { \left( 2 x - 1 \right) ^ { 2 } } { \mathrm { d } } x
例9.9 求 \int { \frac { x } { { { x } ^ { 3 } } - { { x } ^ { 2 } } + { x } - 1 } } \mathrm { d } x
分析）对分母进行因式分解（不会很难）→拆分母，求参数→对最简有理分式积分.
解 本题主要考查有理函数的积分.
因为 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x - 1 = ( x - 1 ) ( x ^ { 2 } + 1 ) ，设
{ \frac { x } { x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x - 1 } } = { \frac { A } { x - 1 } } + { \frac { B x + C } { x ^ { 2 } + 1 } } ,
这时应有
x \equiv A ( x ^ { 2 } + 1 ) + ( B x + C ) ( x - 1 ) ,\tag{*}
在(*)式中，令x=1，得 1 = 2 A , A = { \frac { 1 } { 2 } } ；令x=0，得 0 = A - C , C = \frac { 1 } { 2 }
比较(*)式两端 x ^ { 2 } 的系数，有 0 = A + B ，已求得 A = \frac { 1 } { 2 } ，故有 B = - \frac 1 2 .于是可得
\begin{array} { l } \displaystyle { \int \frac { x } { { { x ^ { 3 } } - { x ^ { 2 } } + { x - 1 } } } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \displaystyle { \int \frac { \mathrm { d } x } { x - 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \displaystyle { \int \frac { x - 1 } { { x ^ { 2 } } + 1 } \mathrm { d } x } } \\ { \displaystyle { \qquad = \frac { 1 } { 2 } \ln \left| x - 1 \right| - \frac { 1 } { 4 } \ln ( { x ^ { 2 } } + 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \arctan x + C _ { 1 } } } \\ { \displaystyle { \qquad = \frac { 1 } { 4 } \ln \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { { x ^ { 2 } } + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \arctan x + C _ { 1 } ~ . } } \end{array}
注①形如R(sinx，cosx)的有理式称为三角函数有理式→有理函数
a令 t = \tan \frac { x } { 2 } \sin x = \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } \cos x = \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } （万能公式），则有
\int R ( \sin x , \cos x ) { \mathrm { d } } x = \int R \left( { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } , { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } \right) { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } t = \int { \frac { P _ { n } ( t ) } { Q _ { m } ( t ) } } { \mathrm { d } } t \ ,
b.若 R ( \sin x , \cos x ) = - R ( - \sin x , \cos x ) ，令cosx=t凑微分
若 R ( \sin x , \cos x ) = - R ( \sin x , - \cos x ) ，令sinx=t凑微分
若 R ( \sin x , \cos x ) = R ( - \sin x , - \cos x ) ，令tanx=t凑微分
\int f ( \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } ) d x \xrightarrow { x = a \tan 1 } 有理函数
\int f \left( \sqrt { \frac { a x + b } { c x + d } } \right) \mathrm { d } x \xrightarrow [ ] { t = \sqrt { \frac { a x + b } { c x + d } } } \quad \quad 有理函数．
例9.10 \int \frac { 2 x + 3 } { x ^ { 2 } - x + 1 } \mathrm { d } x
解 应填 \ln ( x ^ { 2 } - x + 1 ) + { \frac { 8 { \sqrt { 3 } } } { 3 } } \arctan { \frac { 2 x - 1 } { \sqrt { 3 } } } + C
已是最简有理分式，请泣意看接下来的积分方法
\begin{array} { l } { { { \displaystyle { \int } \frac { 2 x + 3 } { x ^ { 2 } - x + 1 } \mathrm { d } x = \displaystyle { \int } \frac { 2 x - 1 + 4 } { x ^ { 2 } - x + 1 } \mathrm { d } x } \qquad { \displaystyle { \int } \frac { u ^ { \prime } } { u } \mathrm { d } x = \displaystyle { \int } \frac { \mathrm { d } u } { u } = \mathrm { h } \left| u \right| + C } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \displaystyle { \int } \frac { 1 } { x ^ { 2 } - x + 1 } \mathrm { d } ( x ^ { 2 } - x + 1 ) + \displaystyle { \int } \frac { 4 } { x ^ { 2 } - x + 1 } \mathrm { d } x } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \ln ( x ^ { 2 } - x + 1 ) + 4 \displaystyle { \int } \frac { 1 } { x ^ { 2 } - x + 1 } \mathrm { d } x } } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle = \ln ( x ^ { 2 } - x + 1 ) + 4 \int \frac { 1 } { \left( x - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \left( x - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \right) } } \\ { { \displaystyle = \ln ( x ^ { 2 } - x + 1 ) + \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 } \arctan \frac { 2 x - 1 } { \sqrt { 3 } } + C \ . } } \end{array}
定积分的计算
→牛顿-菜布尼茨公式及其推广
设函数F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数，则
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( x ) { \big | } _ { a } ^ { b } = F ( b ) - F ( a ) ~ .
牛顿（1643-1727）
国证令 G ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t , a \leqslant x \leqslant b ，则有
G ( b ) = \int _ { a } ^ { b } f ( t ) \mathrm { d } t , G ( a ) = 0 ,
又 F ^ { \prime } ( x ) = f ( x ) 且 G ( x ) = F ( x ) + C ，则
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = G ( b ) - G ( a ) = F ( b ) - F ( a ) \ .
小故事：菜布尼茨写信给康熙皇帝请求在北京创立研究院被拒绝，否则可能此公式会被称为康熙公式
注牛顿-莱布尼茨公式推广
（1）若f（x）在[a，b]上有原函数F（x），则 \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( b ) - F ( a )
★（2)若f(x）在[a,b]上分段有原函数，如[a,c)上有原函数F(x)，(c,b]上有原函数 F _ { 2 } ( x ) ，则
\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle = F _ { 1 } ( c - 0 ) - F _ { 1 } ( a ) + F _ { 2 } ( b ) - F _ { 2 } ( c + 0 ) } \end{array}
莱布尼茨（1646—1716）
若 F _ { 1 } ( c - 0 ) , F _ { 2 } ( c + 0 ) 存在，则 \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x 收敛，见习题9.10.
若 F _ { 1 } ( c - 0 ) , F _ { 2 } ( c + 0 ) 至少有一个不存在，则 \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x 发散
例9.11 设 f { \Bigg ( } x + { \frac { 1 } { x } } { \Bigg ) } = { \frac { x + x ^ { 3 } } { 1 + x ^ { 4 } } } ，则 \int _ { 2 } ^ { 2 \sqrt { 2 } } f ( x ) \mathrm { d } x =
分析求f(x)→计算积分.
解 应填 { \frac { 1 } { 2 } } \ln 3
由例1.1知，当 x \geqslant 2 时， f ( x ) = { \frac { x } { x ^ { 2 } - 2 } } ，则
\int _ { 2 } ^ { 2 \sqrt { 2 } } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 2 } ^ { 2 \sqrt { 2 } } { \frac { x } { x ^ { 2 } - 2 } } \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( x ^ { 2 } - 2 ) { \Biggl | } _ { 2 } ^ { 2 \sqrt { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 } } \ln 3 .
由牛顿-莱布尼茨公式结合不定积分的计算方法，有定积分的换元积分法和分部积分法，分别如下.换元要三换：①被积函数要换：②积分变量要换：③上下限要换
(1)定积分的换元积分法．
设f(x)在[a,b]上连续，函数 \scriptstyle x = \varphi ( t ) 满足① \varphi ( \alpha ) = a , \varphi ( \beta ) = b ； \enclose{circle} { 2 } x = \varphi ( t ) 在[a，β]或 [ \beta , \alpha ] ) 上有连续的导数，且其值域为 R _ { \varphi } = [ a , b ] ，则有 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } \pm t \right) = \cos t ; } \\ { \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } \pm t \right) = \mp \sin t . } \end{array} \right. } 常考： \scriptstyle \cdot { \pmb x } = { \frac { \pi } { 2 } } \pm t ，则有
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ \varphi ( t ) ] \varphi ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \ .
令x=π±t，则有 \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ( \pi \pm t ) = \mp \sin t ; } \\ { \cos ( \pi \pm t ) = - \cos t } \end{array} \right.
当 \varphi ( t ) 的值域 R _ { \varphi } 超出[a，b]，但 \varphi ( t ) 满足其余条件时，只要f（x)在 R _ { \varphi } 上连续，则上述结论仍成立
(2)定积分的分部积分法.
\int _ { a } ^ { b } u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = u ( x ) \nu ( x ) \big | _ { a } ^ { b } - \int _ { a } ^ { b } \nu ( x ) u ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x ,
这里要求 u ^ { \prime } ( x ) , \nu ^ { \prime } ( x ) 在[a,b]上连续.
注在计算定积分时，下面这些结论是很有用的
（1）设f（x）为连续的偶函数，则
\int _ { - a } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x .
（2）设f(x)为连续的奇函数，则
\int _ { - a } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 \ .
（3）设f（x）是以T为周期的连续函数，则对任意的实数a，都有
\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x ,
即在长度为一个周期的区间上的定积分，与该区间的起点位置无关，其证明见例9.16
（4）设f（x）为连续函数，则
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } f ( a + b - x ) \mathrm { d } x ,
这叫“区间再现公式”，其证明见例9.17.
3 n为大于1的奇数，
2 1.匹 2 n为正偶数.
\star ( 6 ) \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { n } x \mathrm { d } x = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \bullet \frac { n - 1 } { n } \bullet \frac { n - 3 } { n - 2 } \bullet \cdots \bullet \frac { 2 } { 3 } \bullet 1 , } \\ { 2 \bullet \frac { n - 1 } { n } \bullet \frac { n - 3 } { n - 2 } \bullet \cdots \bullet \frac { 1 } { 2 } \bullet \frac { \pi } { 2 } , } \end{array} \right.
n为大于1的奇数，
n为正偶数，
\int \limits _ { 0 } ^ { \pi } \cos ^ { n } x \mathrm { d } x = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } \\ { 2 \cdot \frac { n - 1 } { n } \cdot \frac { n - 3 } { n - 2 } \cdots \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } , } \end{array} \right.
n为正奇数，
n为正偶数
\star ( 7 ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { n } x \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { n } x \mathrm { d } x = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { } \\ { 4 \cdot \displaystyle { \frac { n - 1 } { n } } \cdot \displaystyle { \frac { n - 3 } { n - 2 } } \cdot \cdots \cdot { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } } , } & { } \end{array} \right.
n为正奇数，
（5），(6)，（7）叫华里士公式，利用华里士公式可快速计算某些特殊的定积分，如
\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 8 } x \mathrm { d } x = \frac { 7 } { 8 } \cdot \frac { 5 } { 6 } \cdot \frac { 3 } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } = \frac { 3 5 \pi } { 2 5 6 } ,
点火公式”
\int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { 9 } x \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 9 } x \mathrm { d } x = 2 \cdot \frac { 8 } { 9 } \cdot \frac { 6 } { 7 } \cdot \frac { 4 } { 5 } \cdot \frac { 2 } { 3 } \cdot 1 = \frac { 2 5 6 } { 3 1 5 } .
例9.12 \operatorname * { l i m } _ { n \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } [ \ln ( 3 n - 2 i ) - \ln ( n + 2 i ) ] \ =
分析 \ln ( 3 n - 2 i ) - \ln ( n + 2 i ) = \ln { \frac { 3 n - 2 i } { n + 2 i } } = \ln { \frac { 3 - 2 { \frac { i } { n } } } { 1 + 2 { \frac { i } { n } } } } ~ .
应填0.
\begin{array} { l } { \displaystyle | \widehat { \mathbb { H } } _ { \mathfrak { N } } ^ { \sharp } \widehat { \mathbf { x } } | _ { = \displaystyle \operatorname* { m i n } } ^ { \displaystyle - } \sum _ { n = 1 } ^ { \mathfrak { N } } \ln \frac { 3 n - 2 i } { n + 2 i } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln \frac { 3 - 2 \frac { i } { n } } { 1 + 2 \frac { i } { n } } } \\ { \displaystyle \qquad \quad } \\ { \displaystyle = \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln \frac { 3 - 2 x } { 1 + 2 x } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln \frac { 2 } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } + x } \mathrm { d } x \frac { \widehat { \ast } x - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } = t } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { 1 - t } { 1 + t } \mathrm { d } t } , } \end{array}
由于 \ln { \frac { 1 - t } { 1 + t } } = \ln ( 1 - t ) - \ln ( 1 + t ) 为奇函数，故原式=0.
例9.13 求 \int _ { - 1 } ^ { 1 } x ^ { 2 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x
分析 \sqrt { { ~ ^ { ~ } } ^ { ~ } } 中含平方项→三角函数代换.
解 因被积函数为偶函数，故
\int _ { - 1 } ^ { 1 } x ^ { 2 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x ~ .
再作三角变换，令 x = \sin t ，当x=0时，可取t=0；当x=1时，可取 t = \frac { \pi } { 2 } ，且当 t \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right] 时，x = \sin t 不超出原上、下限的区间[0,1]，在 \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right] 上， x ^ { \prime } = x ^ { \prime } ( t ) = \cos t 连续.于是
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \mathfrak { A } } ^ { \mathfrak { a } } \mathbb { E } _ { \mathfrak { A } } ^ { \mathfrak { b } } = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 2 } t \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \\ & { \quad \quad = 2 \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } t \mathrm { d } t \Bigg ) } \\ & { \quad \quad = 2 \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \times \frac { \pi } { 2 } - \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 1 } { 2 } \times \frac { \pi } { 2 } \Bigg ) = \frac { \pi } { 8 } \ . } \end{array}
注从原则上讲，作变换 x = \sin t { \sqrt { \frac { 2 } { \Pi } } } 当x=0时，可取 t = 0 , \pm \pi , \pm 2 \pi , \cdots ; 当x=1时，可取 t = { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { \pi } { 2 } } \pm 2 \pi , \cdots 上、下限有多种组合可满足定理条件.但被积函数中 { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } = { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } t } } = \left| \cos t \right| 在不同组合中，此绝对值的处理有简有繁，应引起注意，不要自找麻烦。
例9.14 \int _ { 0 } ^ { 1 } \arcsin { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \ =
分析 ① \intop _ { u } \arcsin \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \intop _ { \nu } u \mathrm { d } \nu \textrm { ( } \underset { \ast } { \ast } \frac { \varkappa } { \xi } \frac { \varkappa } { \xi } \frac { \varkappa } { \xi } \textrm { ) } = u \nu - \intop \nu \mathrm { d } u （易算）.
2 \sqrt { { ~ ^ { ~ } } ^ { ~ } } 中含平方项→三角函数代换.
解 应填1.
方法一分部积分法.
{ \begin{array} { r l } & { \qquad \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } \arcsin { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = x \arcsin { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \displaystyle { \Big | _ { 0 } ^ { 1 } } - \int _ { 0 } ^ { 1 } x \mathrm { d } ( \arcsin { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } ) } \\ & { = - { \Big \int _ { 0 } ^ { 1 } } x \mathrm { d } ( \arcsin { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } ) = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } x { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \mathrm { d } x = - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \mathrm { d } ( 1 - x ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } } \\ & { = - { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { \Big | _ { 0 } ^ { 1 } } = 1 ~ . } \end{array} }
方法二换元法.
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } \arcsin \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \frac { x = \cos t } { 2 } \int _ { - \pi } ^ { 0 } \arcsin ( - \sin t ) \cdot ( - \sin t ) \mathrm { d } t } } } \\ { { \displaystyle { = \int _ { - \pi } ^ { 0 } t \sin t \mathrm { d } t = - t \cos t \left| _ { - \pi } ^ { 0 } + \sin t \right| _ { - \pi } ^ { 0 } = 1 . } } } \end{array}
例9.15 \int _ { 0 } ^ { 1 } x \arcsin { \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \ = ·(重要题源）
分析 { \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } } = { \sqrt { 1 ^ { 2 } - ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } } } \Rightarrow \equiv 角函数代换，令 1 - 2 x = \cos t （从头开始）
\Rightarrow { \widehat { \ast } } \ 1 - 2 x = t （利用例9.14方法一的结论）.
解 应填 \frac { 1 } { 2 }
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } x \arcsin \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } x \arcsin \sqrt { 1 - ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x } \\ & { \quad \displaystyle \frac { \bigtriangleup 1 - 2 x = t } { x - 1 - ( 1 - t ) } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { - 1 } ( 1 - t ) \arcsin \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \biggl ( - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } t \biggr ) = \frac { 1 } { 4 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \arcsin \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { \quad = \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \arcsin \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t - \frac { 1 } { 4 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } t \arcsin \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { \quad = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \arcsin \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t , } \end{array}
由例9.14知, \int _ { 0 } ^ { 1 } \arcsin { \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } } \mathrm { d } t = 1 ，故原式 = \frac { 1 } { 2 }
例9.16 证明：若函数f(x)是以T为周期的连续函数，则对任意的实数a，都有
\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x .
\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { 0 } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { T } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x
设 t = x - T ，则
\int _ { T } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { a } f ( t + T ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { a } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x ,
所以
\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { 0 } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x \mathrm { ~ . ~ }
注若函数f（x）是连续且以T为周期的奇函数，则 \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x = 0
例9.17 设f(x)为连续函数，证明 \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } f ( a + b - x ) \mathrm { d } x
证 作变量代换，令 x = a + b - t ，则
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { b } ^ { a } f ( a + b - t ) ( - \mathrm { d } t )
= \int _ { a } ^ { b } f ( a + b - t ) \mathrm { d } t = \int _ { a } ^ { b } f ( a + b - x ) \mathrm { d } x ,
证毕.
注（1）此结论的证明过程比较简单，但其用处很大
（2)若f(x)复杂， f ( x ) + f ( a + b - x ) 简单，则考虑 \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } { \frac { f ( x ) + f ( a + b - x ) } { 2 } } \mathrm { d } x 比如
\begin{array} { r } { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 4 } } \ln ( 1 + \tan x ) \mathrm { d } x = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 4 } } \ln \left[ 1 + \tan \left( \frac { \pi } { 4 } - x \right) \right] \mathrm { d } x = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 4 } } \ln \frac { 2 } { 1 + \tan x } \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle { - \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 4 } } \frac { \ln ( 1 + \tan x ) + \ln \frac { 2 } { 1 + \tan x } } { 2 } \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 8 } \ln 2 . } \end{array}
例9.18 设f(x)在[0,1]上连续，证明 \int _ { 0 } ^ { \pi } { x } f ( \sin { x } ) \mathrm { d } x = { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } { f ( \sin { x } ) \mathrm { d } x } ，并计算 \int _ { 0 } ^ { \pi } x \sin ^ { 9 } x \mathrm { d } x 分析 \int _ { 0 } ^ { \pi } \ d x f ( \sin x ) \mathrm { d } x \frac { \lambda ^ { \sharp } \ d y ^ { } } { \ d y ^ { } } 区间再现.
解 令 \scriptstyle x = \pi - t ，作区间再现换元，有
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } x f ( \sin x ) \mathrm { d } x = \displaystyle \int _ { \pi } ^ { 0 } ( \pi - t ) f [ \sin ( \pi - t ) ] ( - \mathrm { d } t ) } \\ & { \quad \quad \quad = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } ( \pi - t ) f ( \sin t ) \mathrm { d } t = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } ( \pi - x ) f ( \sin x ) \mathrm { d } x } \\ & { \quad \quad \quad = \displaystyle \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) \mathrm { d } x - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } x f ( \sin x ) \mathrm { d } x \mathrm { , } } \end{array}
故
\int _ { 0 } ^ { \pi } x f ( \sin x ) \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) \mathrm { d } x .
\int _ { 0 } ^ { \pi } { x \sin ^ { 9 } x \mathrm { d } x } = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \sin ^ { 9 } x \mathrm { d } x } = \pi \times \frac { 8 } { 9 } \times \frac { 6 } { 7 } \times \frac { 4 } { 5 } \times \frac { 2 } { 3 } = \frac { 1 2 8 \pi } { 3 1 5 } \ .
例9.19 设 f ( x ) = \int _ { 1 } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t ，则 \int _ { 0 } ^ { 1 } x f ( x ) \mathrm { d } x = \mathrm { ~ ( ~ } \qquad ) (A) \frac { 1 } { 4 } ( \mathrm { e } ^ { - 1 } + 1 ) (B) \frac { 1 } { 4 } ( \mathbf { e } ^ { - 1 } - 1 ) (C) \frac 1 4 ( { \tt e } + 1 ) (D) \frac 1 4 ( \mathrm { e } - 1 )
分析①可积不可求积函数见例14.6的注；
②变限积分求导公式见“四、变限积分的计算”；
\int u \mathrm { d } \nu = u \nu - \int \nu \mathrm { d } u （不可求积先求导）.
解 应选 (B).
由于 f ( x ) = \int _ { 1 } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t 不能积出来，故由分部积分公式有 \int _ { 0 } ^ { 1 } x f ( x ) \mathrm { d } x = { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } f ( x ) { \Bigg | } _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \bullet f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x ，可见，
如果能得出f(1)，f'(x)，即可求解本题.
令x=1，由f(x)表达式可得 f ( 1 ) = \int _ { 1 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t = 0 ，又 f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { - x ^ { 4 } } ( x ^ { 2 } ) ^ { \prime } = 2 x \mathrm { e } ^ { - x ^ { 4 } } ，因此
\begin{array} { l } { { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } x f ( x ) \mathrm { d } x = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \bullet 2 x \mathrm { e } ^ { - x ^ { 4 } } \mathrm { d } x = - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 4 } } \mathrm { d } x = \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 4 } } \mathrm { d } ( - x ^ { 4 } ) } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 4 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 4 } } \displaystyle \Bigg \vert _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } ( \mathrm { e } ^ { - 1 } - 1 ) ~ . } } \end{array}
故选 (B).
变限积分的计算
求导公式
设 F ( x ) = \int _ { \varphi _ { 1 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( x ) } f ( t ) \mathrm { d } t ，其中f(x)在[a,b]上连续，可导函数 \varphi _ { 1 } ( x ) 和 \varphi _ { 2 } ( x ) 的值域在 [ a , b ] 上，则在函数 \varphi _ { 1 } ( x ) 和 \varphi _ { 2 } ( x ) 的公共定义域上，有
\begin{array} { r } { F ^ { \prime } ( x ) = \displaystyle \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \biggl [ \int _ { \varphi _ { 1 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( x ) } f ( t ) \mathrm { d } t \biggr ] = f [ \varphi _ { 2 } ( x ) ] \varphi _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) - f [ \varphi _ { 1 } ( x ) ] \varphi _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) \ . } \\ { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { s i n } ^ { 2 } x } f ( t ^ { 2 } ) \mathrm { d } t \biggr ] ^ { \prime } = 2 \sin x \cos x \cdot f ( \sin ^ { 4 } x ) - 2 x \bullet f ( x ^ { 4 } ) } \end{array}
注我们称上面公式中的x为“求导变量”，t为“积分变量”.当被积函数中只含“积分变量”t时，才能用求导公式，若被积函数中有“求导变量”x，则必须通过恒等变形（比如变量代换等）将其移出被积函数，才能使用变限积分求导公式，>如f(xt)中令xt=u (x当作常量)
例9.20 曲线 y = \int _ { 0 } ^ { \sin x } \mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } } \mathrm { d } t 在点(0,0)处的法线方程为（ ）.(A) y = { \frac { 1 } { 2 } } x (B) y = - { \frac { 1 } { 2 } } x (C) y = x (D) y = - x
分析）欲求曲线在给定点处的法线方程，应先检查此点是否在曲线上，如果此点在曲线上，再求该点处切线的斜率，最后利用点斜式求法线方程．
解 应选(D).
易知点(0,0)在曲线 y = \int _ { 0 } ^ { \sin x } \mathbf { e } ^ { t ^ { 2 } } \mathrm { d } t _ { - } 上.
由于 y ^ { \prime } = \mathbf { e } ^ { \sin ^ { 2 } x } \cdot \cos x , \left. y ^ { \prime } \right| _ { x = 0 } = 1 ，可知切线斜率k=1，法线斜率为 - \frac { 1 } { k } = - 1 ，因此所求法线方程为y = - x .故选(D).
★★★例9.21 F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \Bigl | \sin x - \sin t \Bigr | \mathrm { d } t ( x \geq 0 ) 在 x \to 0 ^ { + } 处的二次泰勒多项式为 a + b x + c x ^ { 2 } ，则
abc
分析 \int _ { a } ^ { b } f ( x , t ) \mathrm { d } t = F ( x ) 不是一个定积分，而是一个函数．
解 应填 - { \frac { \pi } { 2 } }
「求极限；|f（x)，f（xD求导；[求积分.业去掉绝对值=求F(x)=泰勒公式 直接展开(定义法）利用已有展开式（公式法）
当 x \to 0 ^ { + } 时，
\begin{array} { l } { { \displaystyle F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( \sin x - \sin t ) \mathrm { d } t + \int _ { x } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( \sin t - \sin x ) \mathrm { d } t } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = x \sin x + ( \cos x - 1 ) + \cos x - \sin x \cdot \left( \frac { \pi } { 2 } - x \right) \phantom { \displaystyle } } } \\ { { \displaystyle ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = \left( 2 x - \frac { \pi } { 2 } \right) \sin x + 2 \cos x - 1 } ~ . } \end{array}
方法一直接展开.
\sin x = x + o ( x ^ { 2 } ) ,
\cos x = 1 - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + o ( x ^ { 2 } ) \ : ,
\begin{array} { l } { { F ( x ) = \displaystyle \biggl ( 2 x - \frac { \pi } { 2 } \biggr ) [ x + o ( x ^ { 2 } ) ] + 2 \biggl [ 1 - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + o ( x ^ { 2 } ) \biggr ] - 1 } } \\ { { { } } } \\ { { { } ~ = 1 - \displaystyle \frac { \pi } { 2 } x + x ^ { 2 } + o ( x ^ { 2 } ) ~ , } } \end{array}
因此 a = 1 , b = - \frac { \pi } { 2 } , c = 1 ，故 a b c = - { \frac { \pi } { 2 } }
方法二由
F ^ { \prime } ( x ) = 2 \sin x + \left( 2 x - { \frac { \pi } { 2 } } \right) \cos x - 2 \sin x = \left( 2 x - { \frac { \pi } { 2 } } \right) \cos x \ ,
F ^ { \prime \prime } ( x ) = 2 \cos x - \left( 2 x - { \frac { \pi } { 2 } } \right) \sin x \ ,
故
F ( 0 ) = 1 , F _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = - \frac { \pi } { 2 } , F _ { + } ^ { \prime \prime } ( 0 ) = 2 ,
\begin{array} { c } { { F ( x ) = F ( 0 ) + F _ { \ast } ^ { \prime } ( 0 ) x + \displaystyle \frac { F _ { \ast } ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \cdots } } \\ { { { } } } \\ { { { } = 1 - \displaystyle \frac { \pi } { 2 } x + x ^ { 2 } + \cdots , } } \end{array}
即 a = 1 , b = - \frac { \pi } { 2 } , c = 1 ，故 a b c = - { \frac { \pi } { 2 } }
f ( x ) < - 2 x f ^ { \prime } ( x )
F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x ^ { 2 } - t ^ { 2 } ) \mathrm { d } t
(A)在x=0处取极大值 (B)在x=0处取极小值
(C)拐点是(0,0)
(D)在(0,0)处既非极值点也非拐点
分析①对于 f ( x ^ { 2 } - t ^ { 2 } ) x ^ { 2 } - t ^ { 2 } = u \Rightarrow f ( u )
②换元后对x求导，利用极值充分判别法.
解 应选(A).
x ^ { 2 } - t ^ { 2 } = u ，则
F ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } f ( u ) \mathrm { d } u \ ,
于是
F ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \bullet 2 x f ( x ^ { 2 } ) = x f ( x ^ { 2 } ) \ ,
F ^ { \prime \prime } ( x ) = f ( x ^ { 2 } ) + 2 x ^ { 2 } f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \ .
因为 f ( x ) < - 2 x f ^ { \prime } ( x ) ，所以 f ( x ^ { 2 } ) + 2 x ^ { 2 } f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) < 0 ，即 F ^ { \prime \prime } ( x ) < 0 ，另外， F ( 0 ) = F ^ { \prime } ( 0 ) = 0 ，故由判别极值的第二充分条件，F(x)在x=0处取极大值，选(A).
②重要结论
\Rightarrow { \left\{ \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \right. } 为偶函数， (1)f(x)为可积的奇函数 为偶函数 ( a \neq 0 ) f(x)偶
注(1)若f(x)为连续的奇函数，则 \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t + C 也是偶函数，故f(x)的全体原函数均为偶函数(2)只需要被积函数可积，即可有变限积分的相关性质，只有被积函数连续时，才能谈原函数的相关性质，以下同.
(2)f(x)为可积的偶函数→ \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \dot { \mathcal { X } } \dot { \mathrm { ~ \scriptstyle { \cal ~ a } ~ } } } } \\ { \displaystyle { \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t ( a \neq 0 ) + \frac { \ } { } } } \end{array} \right. 数若若 \begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } \\ { \displaystyle \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \neq \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } \end{array} ，为奇函数， ，为非奇非偶函数. f(x)奇
注若f(x)为连续的偶函数，则f（x)的全体原函数中，只有 \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t 是奇函数
(3)f(x)是可积的且以T为周期的周期函数，则 \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t 是以T为周期的周期函数 \Leftrightarrow \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 V f ^ { \prime } ( x ) { \mathrel { \ast } } \mathbb { \to } T 为周期
\frac { \displaystyle \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = \displaystyle \frac { \int _ { a } ^ { 0 } f ( t ) \mathrm { d } t } { \nu } + \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { \nu } } { \displaystyle \operatorname* { d } _ { \mathrm { K } \neq \mathrm { K } } \mathrm { ~ } } 亦是以T为周期的周期函数 ( a \neq 0 )
例9.23 证明连续的奇函数的一切原函数都是偶函数；连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数.
证 设f(x)是连续函数，则其一个原函数可以表示为 F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t
若f(x)是连续的奇函数，即有f(x)=-f(-x)，且 \int _ { - a } ^ { a } f ( t ) \mathrm { d } t = 0 ，则
F ( - x ) = \int _ { a } ^ { - x } { f ( t ) \mathrm { d } t } \frac { { t ^ { a } } - { u } } { \sum _ { - a } { f ( - u ) \mathrm { d } u } } = \int _ { - a } ^ { x } { f ( u ) \mathrm { d } u } + \int _ { a } ^ { x } { f ( u ) \mathrm { d } u } = 0 + F ( x ) = F ( x ) ,
所以连续的奇函数的一切原函数都是偶函数.
若f(x)是连续的偶函数，即有f(-x)=f(x)，且 \int _ { - a } ^ { a } f ( t ) \mathrm { d } t = 2 \int _ { 0 } ^ { a } f ( t ) \mathrm { d } t ，则
F ( - x ) = \int _ { a } ^ { - x } { f ( t ) \mathrm { d } t \frac { t ^ { 1 - u } - u } { - \int _ { - a } ^ { x } { f ( - u ) \mathrm { d } u } = - \int _ { - a } ^ { a } { f ( u ) \mathrm { d } u } - \int _ { a } ^ { x } { f ( u ) \mathrm { d } u } = - 2 \int _ { 0 } ^ { a } { f ( u ) \mathrm { d } u } - F ( x ) } } ,
只有当 \int _ { 0 } ^ { a } f ( u ) \mathrm { d } u = 0 时， F ( - x ) = - F ( x ) ，即连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数为奇函数．
( - \infty , + \infty )
(A) \int _ { 0 } ^ { x } [ \cos f ( t ) + f ^ { \prime } ( t ) ] dt是奇函数 (B) \int _ { 0 } ^ { x } [ \cos f ( t ) + f ^ { \prime } ( t ) ] \mathrm { d } t 是偶函数(C) \int _ { 0 } ^ { x } [ \cos f ^ { \prime } ( t ) + f ( t ) ] \mathrm { d } t 是奇函数 (D) \int _ { 0 } ^ { x } [ \cos f ^ { \prime } ( t ) + f ( t ) ] \mathrm { d } t 是偶函数
分析）内偶则偶，内奇同外.
cos f(t)=偶，cosf'(t)=偶；
\cos f ( t ) + f ^ { \prime } ( t ) \Rightarrow 偶， \cos f ^ { \prime } ( t ) + f ( t ) \Rightarrow 非奇非偶.
解 应选(A).
由题设可知cosf(x)和f"(x)均为偶函数，则由上述重要结论(2)知， \int _ { 0 } ^ { x } [ \cos f ( t ) + f ^ { \prime } ( t ) ] dt为奇函数.
f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \sin x } \cos t ^ { 2 } \mathrm { d } t
分析 令 h ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } \cos t ^ { 2 } \mathrm { d } t ，则 f ( x ) = h ( \sin x ) = h [ g ( x ) ] ，又有内奇同外，且h(x)为奇函数，故f(x)为奇函数.
F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t
证明：(1)当且仅当 \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 时，F(x)以T为周期；
(2) F ( x ) - { \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } } x 以T为周期.
F ( x + T ) = \int _ { a } ^ { x + T } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t + \int _ { x } ^ { x + T } f ( t ) \mathrm { d } t ,
因为f(x)以T为周期，于是 \int _ { x } ^ { x + T } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { T } f ( t ) \mathrm { d } t ，即 F ( x + T ) - F ( x ) = \int _ { 0 } ^ { T } f ( t ) \mathrm { d } t ，所以当且仅当
\int _ { 0 } ^ { T } f ( t ) \mathrm { d } t = 0 ，即 \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 时， F ( x ) 以T为周期.
(2)记
\varphi ( x ) = F ( x ) - { \frac { \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } } x = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t - { \frac { \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } } x \ ,
于是
\begin{array} { l l l } { \displaystyle { \varphi ( x + T ) - \varphi ( x ) = \int _ { a } ^ { x + T } f ( t ) \mathrm { d } t - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } ( x + T ) - \left[ \int _ { a } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } x \right] } } \\ { \displaystyle { = \int _ { x } ^ { x + T } f ( t ) \mathrm { d } t - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } \bullet T = \int _ { 0 } ^ { T } f ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 \ , } } \end{array}
故 \varphi ( x ) = F ( x ) - { \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x } { T } } x 以T为周期.
反常积分的计算
在计算反常积分时，注意识别奇点（端点、内部）>小心！
例9.26 计算反常积分 \int \limits _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { | x - x ^ { 2 } | } } \cdot \quad \quad \cdot \sqrt { | x - x | }
分析注意内部的点x=1为瑕点， \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { 1 } { \sqrt { \left| x - x ^ { 2 } \right| } } } = \infty \Rightarrow 反常积分拆区间去绝对值.
解 注意到被积函数含有绝对值符号且x=1是其无穷间断点，故
\sqrt { \sharp } \overrightarrow { \mathfrak { x } } = \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { x - x ^ { 2 } } } + \int _ { 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { x ^ { 2 } - x } } \ .
而
\int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { x - x ^ { 2 } } } = \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } = \arcsin \left( 2 x - 1 \right) \left| _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \left[ 1 \right] } = \arcsin 1 = \frac { \pi } { 2 } \right. ,
\begin{array} { r l r } { { \int _ { 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { x ^ { 2 } - x } } = \int _ { 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { ( x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } } = \ln [ ( x - \frac { 1 } { 2 } ) + \sqrt { ( x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } ] [ \underset { \mathrm { i f } } { \overset { \cdot } { \longrightarrow } } ] \underset { \mathrm { i f } } { \overset { \cdot } { \longrightarrow } } } } \\ & { } & { = \ln ( 2 + \sqrt { 3 } ) ~ , } \end{array}
因此
\int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { \left| x - x ^ { 2 } \right| } } = \frac { \pi } { 2 } + \ln ( 2 + \sqrt { 3 } ) \ .
例9.27 求 \int _ { 3 } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } x } { ( x - 1 ) ^ { 4 } \sqrt { x ^ { 2 } - 2 x } }
解
\begin{array} { l l } { { \displaystyle | \overrightarrow { \mathrm { J } } _ { \mathrm { J } } ^ { \pm } \overrightarrow { \dot { x } } | = \int _ { 3 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \mathrm { d } x } { \left( x - 1 \right) ^ { 4 } \sqrt { \left( x - 1 \right) ^ { 2 } - 1 } } \frac { x - 1 = \sec \theta } { \displaystyle \int _ { \frac { \pi } { 3 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sec \theta \tan \theta } { \sec ^ { 4 } \theta \tan \theta } \mathrm { d } \theta } } } \\ { { \displaystyle ~ = \int _ { \frac { \pi } { 3 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta ) \cos \theta \mathrm { d } \theta = \frac { 2 } { 3 } - \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 8 } ~ . } } \end{array}
注在收敛的条件下，通过换元可能实现反常积分与定积分的相互转化
★★★ 例9.28 计算 I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { n } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x （n为非负整数).
分析分部积分法可能会建立递推式 I _ { n } = f ( I _ { n - 1 } )
解 由分部积分法，得
I _ { n } = - \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { n } \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { - x } ) = \left( - x ^ { n } \mathrm { e } ^ { - x } \right) { \Big | } _ { 0 } ^ { + \infty } + n { \int _ { 0 } ^ { + \infty } } x ^ { n - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x = n I _ { n - 1 } , n = 1 , 2 , \cdots ,
其中 \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } x ^ { n } \mathbf { e } ^ { - x } = 0 .又因为
I _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x = - \mathrm { e } ^ { - x } \Big | _ { 0 } ^ { + \infty } = 1 ,
所以
I _ { n } = n I _ { n - 1 } = n ( n - 1 ) I _ { n - 2 } = \cdots = n ( n - 1 ) \cdots \overbrace { \cdots 1 \cdot I _ { 0 } } ^ { \substack { \mathrm { e x t } \mathrm { d } \mathrm { \Delta } } } = n ! . \qquad
注计算积分时，若能用上“T函数”的知识，会既快速又准确。
1定义： \Gamma ( \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x \frac { x ^ { = } t ^ { 2 } } { 2 } 2 \int _ { 0 } ^ { + \infty } t ^ { 2 \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t ( x , t > 0 )
（2）递推式：
\Gamma ( \alpha + 1 ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x = - \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha } \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { - x } ) = - x ^ { \alpha } \mathrm { e } ^ { - x } \bigg | _ { 0 } ^ { + \alpha } + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \alpha x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { d } x = \alpha \Gamma ( \alpha ) ,
其中 r(1) =1, \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = \sqrt { \pi } \Gamma ( n + 1 ) = n ! , \Gamma ( 2 ) = 1 , \Gamma \left( { \frac { 5 } { 2 } } \right) = { \frac { 3 } { 2 } } \bullet { \frac { 1 } { 2 } } \bullet \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) = { \frac { 3 } { 4 } } \sqrt { \pi }
\Gamma ( 1 ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x = 1
> \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = 2 \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t = \sqrt { \pi }
诺贝尔物理学奖得主费曼喜欢“在积分号下求导”这种被数学家认为不严谨甚至“荒唐”的方法. y _ { 3 } e ^ { - x _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { + x } e ^ { - x } \mathrm { d } x = 1 ，简单推广为\int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - a x } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { a } , a > 0 , 一个有意思的现象是：视a为变量，等式两边对a求导，注意左边是在积分号下对a求导，有 \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( { \mathrm e } ^ { - a x } ) _ { a } ^ { \prime } \mathrm { d } x = \left( \frac { 1 } { a } \right) ^ { \prime } 即 - \int _ { 0 } ^ { + \infty } x \bullet e ^ { - \alpha x } \mathrm { d } x = - \frac { 1 } { a ^ { 2 } } ，重复上述工作，直到 ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { n } \mathrm { e } ^ { - a x } \mathrm { d } x = ( - 1 ) ^ { n } { \frac { n ! } { a ^ { n + 1 } } } ，再令a=1，得 \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { n } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x = n ! .费曼对自己的这个“戏法”非常得意，他说：“无论用什么方法，即使是戏法，只有答案对了，才是唯一重要的.”
例9.29 设 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { \displaystyle { 4 x ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } , } & { x > 0 , } \\ { a ^ { 3 } { \sqrt { \pi } } } & { x \leq 0 , } \\ { 0 , } & { x \leq 0 , } \end{array} \right. a为正常数，则 \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x =
解 应填 { \frac { 3 } { 2 } } a ^ { 2 }
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = { \frac { 2 a ^ { 2 } } { \sqrt \pi } } \bullet 2 { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( { \frac { x } { a } } \right) ^ { 2 \cdot { \frac { 5 } { 2 } - 1 } } } { \mathrm { e } ^ { - \left( { \frac { x } { a } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \left( { \frac { x } { a } } \right) } = { \frac { 2 a ^ { 2 } } { \sqrt \pi } } \bullet \Gamma \left( { \frac { 5 } { 2 } } \right) } } } } \\ { { { } } } \\ { { \displaystyle { = { \frac { 2 a ^ { 2 } } { \sqrt \pi } } \bullet { \frac { 3 } { 2 } } \bullet { \frac { 1 } { 2 } } \bullet \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) = { \frac { 3 } { 2 } } a ^ { 2 } ~ . } } } \end{array}
\Gamma ( \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x + \int _ { 1 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x .
①当 \alpha - 1 \geq 0 时，
\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } { \frac { \frac { 0 } { 0 } } { \frac { x } { x ^ { \alpha + \infty } } } } \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } x ^ { \alpha + 1 } \mathrm { e } ^ { - x } = 0 \ ,
由于 \int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x 收敛，因此 \int _ { 1 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha - 1 } e ^ { - x } \mathrm { d } x 收敛.
②当 \alpha - 1 < 0 时， \int \limits _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { 1 - \alpha } } e ^ { - x } \mathrm { d } x 等价于研究 \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { x ^ { 1 - \alpha } } } \mathrm { d } x 的敛散性，则 1 - \alpha < 1 ，即当 0 < \alpha < 1 时，\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { 1 - \alpha } } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x 收敛，显然 \int _ { 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { x ^ { 1 - \alpha } } } \operatorname { e } ^ { - x } \mathrm { d } x 收敛
综上所述，当 \alpha > 0 时，(α)收敛.
基础习题精练
习题
9.1若 \int x f ( x ) \mathrm { d } x = \arcsin x + C ，则 \int { \frac { 1 } { f ( x ) } } \mathrm { d } x =
9.2若 f ( x ) = { \frac { 1 } { 1 + { x } ^ { 2 } } } + { x } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x ，则 \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \ =
9.3极限 \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { \mathrm { e } } ^ { x } \left( 1 - { \frac { 1 } { t } } \right) ^ { t } \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { e } t } \mathrm { d } t } { \mathrm { e } ^ { \mathrm { e } x } } } =
9.4设f(x)的一个原函数为 \ln ^ { 2 } x ，则ʃxf'(x)dx =
9.5 \int \frac { \arcsin { \sqrt { x } } } { \sqrt { x } } \mathrm { d } x \ =
9.6 \int _ { 2 } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } x } { ( x + 7 ) \sqrt { x - 2 } } =
9.7计算 \int \arcsin { \sqrt { \frac { x } { a + x } } } \mathrm { d } x （a是大于0的常数）.
9.8求 \int { \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { x } } } \mathrm { d } x
9.9求 \int \operatorname* { m a x } \{ 1 , | x | \} \mathrm { d } x
9.10求定积分 \int _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 4 } \pi } \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x
9.11计算 \int _ { \frac { \pi } { 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \frac { \cos x - \sin x } { \sqrt { \cos x } } \mathrm { d } x
9.12计算 I = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { x \sin x } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x
9.13求 \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { x + 1 } { 1 + \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x
9.14设 f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { 1 } { 1 + \sin x } } , } & { \ x \geqslant 0 , } \\ { \displaystyle { \frac { 1 } { 1 + \mathrm { e } ^ { x } } } , } & { \ x < 0 , } \end{array} \right. 求 \int _ { - 1 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } f ( x ) \mathrm { d } x
9.15设x≥-1，求 \int _ { - 1 } ^ { x } ( 1 - | t | ) \mathrm { d } t
9.16求连续函数f(x)，使它满足 \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( t x ) \mathrm { d } t = f ( x ) + x \sin x
9.17设 f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } t { \big | } t - x { \big | } \mathrm { d } t ，求f(x).
解答
9.1 - \frac { 1 } { 3 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } + C _ { 1 } 解由 \int x f ( x ) \mathrm { d } x = \arcsin x + C 求导可得 x f ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } ，则 { \frac { 1 } { f ( x ) } } = x { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } 故 {d=x-xd=x.
9.2 \frac { \pi } { 3 } 解定积分 \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x 是一个常数，所以等式两端同时在[0,1]上对x进行积分得
\int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl [ x ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \biggr ] \mathrm { d } x ,
即
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } f ( x ) { \mathrm d } x = \arctan x { \Big \vert _ { 0 } ^ { 1 } } + \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) { \mathrm d } x { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } x ^ { 3 } } { \mathrm d } x } } \\ { { \displaystyle { = \frac { \pi } { 4 } } + \frac { 1 } { 4 } { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } f ( x ) { \mathrm d } x } , } } \end{array}
解得 \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 3 }
9.3 \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { 2 } } 解原式 = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \left( 1 - { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { x } \cdot \operatorname { e } ^ { \mathrm { { e } } x } } { \mathrm { e } \cdot \operatorname { e } ^ { \mathrm { { e } } x } } } = { \frac { \operatorname { e } ^ { - 1 } } { \mathrm { e } } } = { \frac { 1 } { \operatorname { e } ^ { 2 } } }
2 \ln x - \ln ^ { 2 } x + C 解被积函数中有 f ^ { \prime } ( x ) ，用分部积分法.
\int x f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = \int x \mathrm { d } [ f ( x ) ] = x f ( x ) - \int f ( x ) \mathrm { d } x = x f ( x ) - \ln ^ { 2 } x + C ,
其中
f ( x ) = ( \ln ^ { 2 } x ) ^ { \prime } = { \frac { 2 \ln x } { x } } ,
于是
\int x f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = 2 \ln x - \ln ^ { 2 } x + C \ .
9.5 2 { \sqrt { x } } \arcsin { \sqrt { x } } + 2 { \sqrt { 1 - x } } + C 解去掉根号将会使计算变得简单.令 { \sqrt { x } } = t , x = t ^ { 2 } ，则
\int \frac { \arcsin { \sqrt { x } } } { \sqrt { x } } \mathrm { d } x = 2 \int t \cdot \frac { \arcsin { t } } { t } \mathrm { d } t = 2 \int \arcsin { t } \mathrm { d } t = 2 \big ( t \arcsin { t } + \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \big ) + C
9.6 \frac { \pi } { 3 } 解令 t = { \sqrt { x - 2 } } ，则 x = t ^ { 2 } + 2 , \mathrm { d } x = 2 t \mathrm { d } t .当x=2时，t=0；当 x \to + \infty 时， t \to + \infty
\left| \overleftrightarrow { \mathbb { H } } \thinspace \mathbf { \vec { x } } \right| = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left. \frac { 2 t \mathrm { d } t } { ( t ^ { 2 } + 9 ) t } = \operatorname* { l i m } _ { b \right. + \infty } \left( \frac { 2 } { 3 } \arctan \frac { t } { 3 } \right| _ { 0 } ^ { b } \right) = \frac { \pi } { 3 } \left. \ .
9.7解令 \arcsin { \sqrt { \frac { x } { a + x } } } = t , x = { \frac { a \sin ^ { 2 } t } { 1 - \sin ^ { 2 } t } } = a \tan ^ { 2 } t ，于是
\begin{array} { l } { { \displaystyle \int \arcsin \sqrt { \frac { x } { a + x } } { \mathrm { d } } x = \int t { \mathrm { d } } ( a \tan ^ { 2 } t ) = a t \tan ^ { 2 } t - a \int \tan ^ { 2 } t { \mathrm { d } } t } \ ~ } \\ { { } } \\ { { = a t \tan ^ { 2 } t + a \int ( 1 - \sec ^ { 2 } t ) { \mathrm { d } } t = a t \tan ^ { 2 } t + a t - a \tan t + C \ ~ } } \\ { { } } \\ { { = ( a + x ) \arcsin \sqrt { \frac { x } { a + x } } - \sqrt { a x } + C \ . } } \end{array}
9.8解因为不满足凑微分法的条件，所以要用分部积分法．
方法一
\begin{array} { l } { { \displaystyle \int \frac { \arctan { \mathrm { e } ^ { x } } } { \mathrm { e } ^ { x } } \mathrm { d } x = - \displaystyle \int \arctan { \mathrm { e } ^ { x } } \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { - x } ) = - \mathrm { e } ^ { - x } \arctan { \mathrm { e } ^ { x } } + \displaystyle \int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \mathrm { e } ^ { 2 x } } } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle ~ = - \mathrm { e } ^ { - x } \arctan { \mathrm { e } ^ { x } } + \displaystyle \int \Biggl ( 1 - \frac { \mathrm { e } ^ { 2 x } } { 1 + \mathrm { e } ^ { 2 x } } \Biggr ) \mathrm { d } x } } \\ { { ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = - \mathrm { e } ^ { - x } \arctan { \mathrm { e } ^ { x } } + x - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \ln ( 1 + \mathrm { e } ^ { 2 x } ) + C ~ . } } \end{array}
方法二 令 \mathrm { e } ^ { x } = t ，则
\begin{array}{c} \int \frac { \mathrm { a r c t a n } \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { x } } \mathrm { d } x = \int \frac { \arctan t } { t ^ { 2 } } \mathrm { d } t = - \int \arctan t \mathrm { d } \left( \frac { 1 } { t } \right) = - \frac { 1 } { t } \arctan t + \int \frac { \mathrm { d } t } { t ( 1 + t ^ { 2 } ) } \\ { = - \frac { 1 } { t } \arctan t + \int \frac { \mathrm { d } t } { t } - \int \frac { t \mathrm { d } t } { 1 + t ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { t } \arctan t + \ln t - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 1 + t ^ { 2 } ) + C } \\ { = - \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { x } } \arctan \mathrm { e } ^ { x } + x - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 1 + \mathrm { e } ^ { 2 x } ) + C \ . } \end{array}
9.9解设 f ( x ) = \mathrm { m a x } { \big \{ } 1 , | x | { \big \} } ，则
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - x , } & { x < - 1 , } \\ { 1 , } & { - 1 \leqslant x \leqslant 1 , } \\ { x , } & { x > 1 . } \end{array} \right.
由于f(x)在 ( - \infty , + \infty ) 上连续，因此必存在原函数 F ( x ) ，即
F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 1 } } , } & { ~ x < - 1 , } \\ { \displaystyle x + C _ { 2 } , } & { ~ - 1 \leqslant x \leqslant 1 , } \\ { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 3 } } , } & { ~ x > 1 , } \end{array} \right.
又 F ( x ) 在 ( - \infty , + \infty ) 上处处连续，可得 \left\{ \begin{array} { l l } { { - { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } + C _ { 1 } = - 1 + C _ { 2 } } } \\ { { } } \\ { { 1 + C _ { 2 } = { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } + C _ { 3 } , } } \end{array} \right. 令 C _ { 1 } { = } C ，则可得 C _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } + C , C _ { 3 } = 1 + C .故
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \jmath } _ { \overrightarrow { \mathbf { J } } _ { 1 } } \overrightarrow { \mathbf { x } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + C , } & { \quad x < - 1 , } \\ { \displaystyle x + \frac { 1 } { 2 } + C , } & { - 1 \leqslant x \leqslant 1 , } \\ { \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 1 + C , } & { \quad x > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
注事实上，本题是一个分段函数的不定积分，这类问题的关键是分段求出每段上的原函数后，适当调整每一段上的常数使其原函数在分段函数的分段点处连续.
9.10解
\begin{array} { c } { { { \displaystyle { \int } \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x = \int } \displaystyle { \frac { \sec ^ { 2 } x } { 2 + \tan ^ { 2 } x } \mathrm { d } x } = \int } \displaystyle { \frac { \sqrt { 2 } \mathrm { d } \left( \displaystyle { \frac { \tan x } { \sqrt { 2 } } } \right) } { 2 \left[ 1 + \left( \displaystyle { \frac { \tan x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \right] } } } \\ { { { } } } \\ { { { } = \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \arctan \displaystyle { \frac { \tan x } { \sqrt { 2 } } } + \mathcal { C } } , } } \end{array}
取C=0即得 \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } 的一个原函数
F ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \arctan { \frac { \tan x } { \sqrt { 2 } } } ,
于是 \int _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 4 } \pi } \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \arctan \frac { \tan x } { \sqrt { 2 } } \Bigg | _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 4 } \pi } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \arctan \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } ，根据积分的保号性，这显然是错误的结果，错误的根源在于误用牛顿-莱布尼茨公式，这里 F ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \arctan { \frac { \tan x } { \sqrt { 2 } } } 并不是 \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } 在 \left[ 0 , { \frac { 3 } { 4 } } \pi \right] 上的原函数(F(x)在 x = \frac { \pi } { 2 } 处无意义)，应该分区间使用牛顿－莱布尼茨公式.于是
\begin{array} { l } { { { \int _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 4 } } \displaystyle \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \displaystyle \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x + \int _ { \frac { 1 } { 2 ^ { \pi } } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } \displaystyle \frac { 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x } } } \\ { { \mathrm { = \operatorname* { l i m } _ { \scriptstyle x \diamond \binom { 3 } { 2 } } } } } \\ { { \mathrm { = \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bullet \frac { \pi } { 2 } \bullet 0 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \ a r c t a n \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bullet \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) } } } \\ { { \mathrm { = \displaystyle \frac { \pi } { \sqrt { 2 } } \bullet \frac { \pi } { 2 } \bullet \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \ a r c t a n \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bullet \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) } } } \\ { { \mathrm { = \displaystyle \frac { \pi } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \ a r c t a n \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ~ . } } } \end{array}
9.11解
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \frac { \pi } { 4 } } \frac { e ^ { \frac { x } { 2 } } } { 4 } \frac { \cos x - \sin x } { \sqrt { \cos x } } \mathrm { d } x = \int _ { \frac { 1 } { - 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { e ^ { \frac { x } { 2 } } } { \sqrt { 2 } \sqrt { \cos x } \mathrm { d } x } - \int _ { \frac { 1 } { + 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { e ^ { \frac { x } { 2 } } } { \sqrt { \cos x } } \mathrm { d } x } \\ & { \quad \quad = \int _ { \frac { 1 } { - 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \sqrt { \cos x } \mathrm { d } x + 2 \int _ { \frac { 1 } { - 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \mathrm { d } ( \sqrt { \cos x } ) } \\ & { \quad \quad = \int _ { \frac { 1 } { - 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \sqrt { \cos x } \mathrm { d } x + 2 \mathrm { e } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sqrt { \cos x } \bigg | _ { \frac { 1 } { - 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } - \int _ { \frac { 1 } { - 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \sqrt { \cos x } \mathrm { d } x } \\ & { \quad \quad = \sqrt { \frac { \pi } { 4 } } \left( \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } - \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \right) . } \end{array}
积分过程中， \int _ { - \frac { \pi } { 4 } } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 2 } } \sqrt { \cos x } \mathrm { d } x 被相互抵消，这是分部积分法的一种特殊类型，与循环积分类似.
9.12解令x=π-t，则
\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { x \sin x } { 1 + \cos ^ { 2 } x } \mathrm { d } x = \int _ { \pi } ^ { 0 } \displaystyle \frac { ( \pi - t ) \sin ( \pi - t ) } { 1 + \cos ^ { 2 } ( \pi - t ) } ( - \mathrm { d } t ) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \frac { ( \pi - t ) \sin t } { 1 + \cos ^ { 2 } t } \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle = \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \frac { \sin t } { 1 + \cos ^ { 2 } t } \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \frac { t \sin t } { 1 + \cos ^ { 2 } t } \mathrm { d } t = \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \frac { \sin t } { 1 + \cos ^ { 2 } t } \mathrm { d } t - I , } } \end{array}
于是
I = { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { \sin t } { 1 + \cos ^ { 2 } t } } \mathrm { d } t = - { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { \cdot 1 } { 1 + \cos ^ { 2 } t } } \mathrm { d } ( \cos t ) = - { \frac { \pi } { 2 } } \cdot \arctan ( \cos t ) { \Bigg | } _ { 0 } ^ { \pi } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } ~ .
9.13解如果作变换 { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } = t ，则 \scriptstyle x = \pm { \sqrt { t ^ { 3 } } } .在x的区间[-1,1]上的积分，应分两段[-1,0]与[0,1]来处理（即相应地，在前一段上取 x = - \sqrt { t ^ { 3 } } ；在后一段上取 \scriptstyle x = { \sqrt { t ^ { 3 } } } \ ) .如果作变换 { \sqrt [ 3 ] { x } } = t ，则 x = t ^ { 3 } 虽然不必将区间[-1,1]分两段处理，但也不是最好的办法.经仔细审题发现
\int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { x + 1 } { 1 + \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } ~ \mathrm { d } x = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { x } { 1 + \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } ~ \mathrm { d } x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } ~ \mathrm { d } x = 0 + 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } ~ \mathrm { d } x ,
其中前一项因为被积函数是奇函数，故在对称区间上的积分应为0；后一项因为被积函数在对称区间上是偶函数.
再作积分变量代换，令 { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } = t ，有 \scriptstyle x = { \sqrt { t ^ { 3 } } } , \ d x = { \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt { t } } \ d t .当 x = 0 时， t = 0 ；当 x = 1 时， t = 1 .于是
\int \limits _ { \mathrm { J } } ^ { \mathrm { E } } \frac { \mathrm { d } \mathrm { \vec { c } } } { \mathrm { d } t } = 3 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sqrt { t } } { 1 + t } \mathrm { d } t \frac { \sqrt { t } = u } { \mathrm { d } t } 6 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { u ^ { 2 } } { 1 + u ^ { 2 } } \mathrm { d } u = 6 - 6 \arctan 1 = 6 - \frac { 3 } { 2 } \pi ~ .
注可见仔细审题，利用积分性质，会给解题带来方便
9.14解 \int _ { - 1 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { - 1 } ^ { 0 } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \mathrm { e } ^ { x } } + \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x } ,
\int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \mathrm { e } ^ { x } } \frac { \mathrm { e } ^ { x } = t } { \mathrm { e } ^ { x } } \int _ { \mathrm { e } ^ { - 1 } } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + t } \bullet \frac { 1 } { t } \mathrm { d } t = \int _ { \mathrm { e } ^ { - 1 } } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - \frac { 1 } { 1 + t } \right) \mathrm { d } t = \ln \frac { t } { 1 + t } \bigg | _ { \mathrm { e } ^ { - 1 } } ^ { 1 } = - \ln 2 + \ln ( 1 + \mathrm { e } ) ,
{ \begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x } } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 1 - \sin x } { \cos ^ { 2 } x } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \sec ^ { 2 } x \mathrm { d } x - \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { \sin x } { \cos ^ { 2 } x } } \mathrm { d } x } \\ { = \tan x { \Biggl | } _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } - { \frac { 1 } { \cos x } } { \Biggl | } _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } = 1 - ( { \sqrt { 2 } } - 1 ) = 2 - { \sqrt { 2 } } , } \end{array} }
从而
\int _ { - 1 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } f ( x ) \mathrm { d } x = - \ln 2 + \ln ( 1 + \mathrm { e } ) + 2 - \sqrt { 2 } .
9.15解当 - 1 \leqslant x < 0 时，
\sqrt { \Xi } \mp \ddagger = \int _ { - 1 } ^ { x } ( 1 + t ) \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + t ) ^ { 2 } \bigg | _ { - 1 } ^ { x } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + x ) ^ { 2 } \ ;
当 x \geqslant 0 时，
\sqrt { \Xi } \dddot { \boldsymbol { \mathfrak { I } } } \bar { \boldsymbol { \mathfrak { I } } } = \int _ { - 1 } ^ { 0 } ( 1 + t ) \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { x } ( 1 - t ) \mathrm { d } t = 1 - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } \ .
9.16解当 x \neq 0 时，令 \scriptstyle { t x = u } ，则原式 = \frac { 1 } { x } \int _ { 0 } ^ { x } f ( u ) \mathrm { d } u = f ( x ) + x \sin { x } ，即
\int _ { 0 } ^ { x } f ( u ) \mathrm { d } u = x f ( x ) + x ^ { 2 } \sin { x } ,
两边对x求导，得
f ( x ) = f ( x ) + x f ^ { \prime } ( x ) + 2 x \sin x + x ^ { 2 } \cos x \ ,
即
f ^ { \prime } ( x ) = - 2 \sin x - x \cos x \ ,
积分，得
\begin{array} { c } { { f ( x ) = 2 \cos x - \displaystyle \int x \mathrm { d } ( \sin x ) = 2 \cos x - x \sin x - \cos x + C \nonumber } } \\ { { { } } } \\ { { = \cos x - x \sin x + C ~ . } } \end{array}
当 x = 0 时，上式f(0)仍满足题干.
不要把 \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( t ) d t 误认为定积分，
9.17解当 x \leqslant 0 时，
f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } t ( t - x ) \mathrm { d } t = { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { x } { 2 } } ;
当 0 < x \leqslant 1 时，
\begin{array} { l } { { f ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } t ( x - t ) \mathrm { d } t + \displaystyle \int _ { x } ^ { 1 } t ( t - x ) \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 3 } - \frac { x } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } ; } \end{array}
当 x > 1 时，
f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } t ( x - t ) \mathrm { d } t = \frac { x } { 2 } { - } \frac { 1 } { 3 } ,
则
f ^ { \prime } ( x ) = \left\{ x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } , \quad \quad x < 0 , \right. \nonumber
又
f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 0 ^ { - } } \frac { \frac { 1 } { 3 } - \frac { x } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } } { x - 0 } = - \frac { 1 } { 2 } , f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 0 ^ { + } } \frac { \frac { 1 } { 3 } - \frac { x } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } } { x - 0 } = - \frac { 1 } { 2 } ,
可知 f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) ，故 f ^ { \prime } ( 0 ) = - \frac { 1 } { 2 }
又
f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { - } } \frac { \frac { 1 } { 3 } - \frac { x } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { 1 } { 6 } } { x - 1 } = \frac { 1 } { 2 } , f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x 1 ^ { + } } \frac { \frac { x } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 6 } } { x - 1 } = \frac { 1 } { 2 } ,
可知 f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) ，故 f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { 1 } { 2 }
综上，
f ^ { \prime } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } , } & { \quad x < 0 , } \\ { \displaystyle x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , } & { 0 \leqslant x < 1 , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } , } & { \quad x \geqslant 1 . } \end{array} \right.