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第13讲
↓ ①联系联想与一元的 [形式[②区别[本质
| 考题 | 连续、可微、隐函数存在定理、极值与最值 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式不变性，了解隐函数 存在定理，会求多元隐函数的偏导数； ②了解二元函数的二阶泰勒公式（仅数学一）； ③掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极 值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题 |
| 重难点 | ①可微的判断；②条件最值与拉格朗日乘数法 |
基础知识结构
基础内容精讲
基本概念
1邻域
δ邻域设 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 的距离小于δ的点P(x，y)的全体，称为点 P _ { 0 } 的δ邻域（见图13-1），记为 U ( P _ { 0 } , \delta ) ，即
图13-1
U ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ P \big | \big | P P _ { 0 } \big | < \delta \big \} \xrightarrow { \sharp \widehat { \chi } } U ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ ( x , y ) \Big | \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } < \delta \}
去心δ邻域点 P _ { 0 } 的去心δ邻域（见图13-2），记作 \overset { \circ } { U } ( P _ { 0 } , \delta ) ，郎\overset { \circ } { U } ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ P | 0 < | P P _ { 0 } | < \delta \}
特别指出，如果不需要强调邻域的半径δ，则用 U ( P _ { 0 } ) 表示点 P _ { 0 } 的某个邻域，点 P _ { 0 } 的去心邻域记作 \check { U } ( P _ { 0 } )
图13-2
8邻域的几何意义 U ( P _ { 0 } , \delta ) 表示 x O y 平面上以点 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 为中心， \delta > 0 为半径的圆内部的点P ( x , y ) 的全体，一元极限： \operatorname* { l i m } _ { x x _ { 0 } } f ( x ) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , 0 < | x - x _ { 0 } | < \delta 时，|f(x)-A<ε—→此刻画f(x)与A充分靠近
2 极限
设函数f(x，y)在区域D上有定义， P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in D 或为区域D边界上的一点.如果对于任意给定的\varepsilon > 0 ，总存在 \delta > 0 ，当点 P ( x , y ) \in D ，且满足 0 < \left| P P _ { 0 } \right| = \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } < \delta 时，恒有
\left| f ( x , y ) - A \right| < \varepsilon ,
则称常数A为 ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 时f(x，y)的极限，记作
也常记作
\begin{array} { c } { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = { \cal A } \frac { \equiv \Re \bigl [ \operatorname * { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { f ( x , y ) = A } \bigr ] } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { x \to x _ { 0 } } { \to y _ { 0 } } } \frac { - ( x , y ) } { } } } } \\ { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { P \to P _ { 0 } } f ( P ) = { \cal A } ~ . } } \end{array}
注（1）一元极限中 x \to x _ { 0 } 有且仅有两种方式 ( \boldsymbol { x } \to \boldsymbol { x } _ { 0 } ^ { - } 和 x x _ { 0 } ^ { + } ) 二重极限中 ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 一般有无穷多种方式，如图13-3所示.
→否定存在
图13-3
★(2)若有两条不同路径使极限 \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) 的值不相等或某一路径使极限 \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) 的值不存在，则说明 \operatorname * { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) 不存在.（根据极限若存在，则必具有唯一性这一准则去判断.）
肯定存在
★（3)除洛必达法则和单调有界准则外，可照搬一元函数求极限的方法来求二重极限，二重极限保持了一元极限的各种性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性、运算规则及脱帽法：\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = A \Leftrightarrow f ( x , y ) = A + \alpha 其中当 ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) 时，α是无穷小量．
一元脱帽法： \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { n } } f ( x ) = A \Leftrightarrow f ( x ) = A + \alpha , \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { n } } \alpha = 0
等价替换法： \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ , ( x , y ) ( 0 , 0 )
例13.1 设 I _ { 1 } = \operatorname* { l i m } _ { { x 0 } \atop { y 0 } } { \frac { | x y | } { \sqrt { { x ^ { 2 } } + { y ^ { 2 } } } } } I _ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 \atop y \to 0 } { \frac { x \big | y \big | } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } ，则（
（A) I _ { 1 } 存在， I _ { 2 } 不存在 (B) I _ { 1 } 存在， I _ { \imath } 存在
(C) I _ { 1 } 不存在， I _ { 2 } 存在 (D) I _ { \ u _ { 1 } } 不存在， I _ { 2 } 不存在
分析 I _ { 1 } ：分子次数为2，分母次数为1.