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第17讲
多元函数积分学的预备知识（仅数学一）
| 考题 | 空间曲线与曲面方程、曲线切线与法平面、曲面切平面与法线的求解，散度与旋度的概念、方向导数和梯度的计算 |
| 题型 | 选择题、填空题 |
| 目标 | ①会计算空间曲线与曲面的方程，会求曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；②了解散度与旋度的概念，并会计算方向导数和梯度 |
| 重难点 | 空间曲线与曲面方程的求解 |
基础知识结构
基础内容精讲
向量代数
向量及其表达形式
既有大小又有方向的量称为向量.
注两个向量，只要它们的大小相等、方向相同，它们就是相等的向量，与它们在空间中的位置无关（这也称为向量的自由性）.
向量的表达形式为
\boxed { a } = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) = a _ { x } \dot { \iota } + a _ { y } \dot { \pm } { a _ { z } } k \ .
→高等数学中手写要打箭头：a.
②向量的运算及其应用
设 a = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) , b = ( b _ { x } , b _ { y } , b _ { z } ) , c = ( c _ { x } , c _ { y } , c _ { z } ) , a , b , c 均是非零向量.
线性代数中不需要， a = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] }
(1)数量积（内积、点积)及其应用.
→结果是数
① \begin{array} { r } { { \bf { \sigma } } \cdot { \bf { \sigma } } b = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) \bullet ( b _ { x } , b _ { y } , b _ { z } ) = a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } } \end{array}
》可以用此公式反求买用\scriptstyle a \cdot b = \left| a \right| \left| b \right| \cos \theta ，则 \cos \theta = \frac { { a \cdot b } } { { \left| a \right| } { \left| b \right| } } = \frac { { a _ { x } } { b _ { x } } + { a _ { y } } { b _ { y } } + { a _ { z } } { b _ { z } } } { \sqrt { { a _ { x } ^ { 2 } } + { a _ { y } ^ { 2 } } + { a _ { z } ^ { 2 } } } \cdot \sqrt { { b _ { x } ^ { 2 } } + { b _ { y } ^ { 2 } } + { b _ { z } ^ { 2 } } } } ，其中θ为a,b的夹角.
a \perp b \Leftrightarrow \theta = \frac { \pi } { 2 } \Leftrightarrow a \cdot b = \left| a \right| \left| b \right| \cos \theta = 0 \Leftrightarrow \left| a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } = 0 \right| ·垂直方程最常用 J
例：若(1，2，1)与(a，1，-1)垂直，则a+2-1=0，即a=-1
=lalcosθA
\boxed { \mathrm { P r } \mathbf { j } _ { b } \pmb { a } } = \frac { \pmb { a } \cdot \pmb { b } } { \vert \pmb { b } \vert } = \frac { a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } } { \sqrt { b _ { x } ^ { 2 } + b _ { y } ^ { 2 } + b _ { z } ^ { 2 } } }，称为a在b上的投影，
(2)向量积(外积、叉积)及其应用.
\pmb { a } \times \pmb { b } = \left| a _ { x } \begin{array} { c c c } { \pmb { i } } & { \pmb { j } } & { \pmb { k } } \\ { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \\ { b _ { x } } & { b _ { y } } & { b _ { z } } \end{array} \right| → →b，其中 | \pmb { a } \times \pmb { b } | = | \pmb { a } | | \pmb { b } | \sin \theta ，用右手规则确定方向（转向角不超过π)，0为a,b
的夹角.
反平行a / / \ b \Leftrightarrow \theta = 0 或 \left| \Leftrightarrow \middle | \frac { a _ { x } } { b _ { x } } = \frac { a _ { y } } { b _ { y } } = \frac { a _ { z } } { b _ { z } } \right|
(3)混合积及其应用.
② \scriptstyle { \left| \begin{array} { l l l } { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \\ { b _ { x } } & { b _ { y } } & { b _ { z } } \\ { c _ { x } } & { c _ { y } } & { c _ { z } } \end{array} \right| } = 0 \Leftrightarrow 三向量共面：
③向量的方向角和方向余弦
(1)非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角α，β，γ称为a的方向角.
(2) \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma 称为a的方向余弦，且 \cos \alpha = \frac { a _ { x } } { \left| a \right| } , \cos \beta = \frac { a _ { y } } { \left| a \right| } , \cos \gamma = \frac { a _ { z } } { \left| a \right| }
(3) \stackrel { \circ } { \pmb { a } ^ { \circ } } = \frac { \pmb { a } } { | \pmb { a } | } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ) 称为向量a的单位向量(表示方向的向量).
r = x i + y j + z k = ( r \cos \alpha , r \cos \beta , r \cos \gamma ) = r ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )
\cos \alpha , \cos \beta
cosγ为r的方向余弦，r为r的模, \cos \alpha = \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \cos \beta = \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \cos \gamma = \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , r = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \gamma = 1
例a=(1,1,2), \vert a \vert = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 6 }
例17.1 设函数f(x，y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,
a ^ { \circ } = \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } , { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } , { \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } } \right)
\left. \pmb { n } = \left( \frac { \partial f } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial y } , - 1 \right) \right| _ { ( 0 , 0 ) } ，则，lim n.(x，y，f(x，y))(x，）（0,0） √x²+y²
分析可微：△z-dz=(p).
解 应填0.
因为f(x，y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，所以
f ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) = \frac { \partial f } { \partial x } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } ( x - 0 ) + \frac { \partial f } { \partial y } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } ( y - 0 ) + o \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) ,
故 { \frac { \partial f } { \partial x } } { \bigg | } _ { ( 0 , 0 ) } x + { \frac { \partial f } { \partial y } } { \bigg | } _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) = o \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ，即
\operatorname * { l i m } _ { ( x , y ) ( 0 , 0 ) } \frac { \frac { \partial f } { \partial x } | _ { ( 0 , 0 ) } x + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = 0 .
因为 \left. \pmb { n } = \left( \frac { \partial f } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial y } , - 1 \right) \right| _ { ( 0 , 0 ] } ，所以 \pmb { n } \bullet ( \boldsymbol { x } , y , f ( x , y ) ) = \frac { \partial f } { \partial x } | _ { ( 0 , 0 ) } x + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) ，从而
\operatorname * { l i m } _ { ( x , y ) ( 0 , 0 ) } \frac { n \cdot ( x , y , f ( x , y ) ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = 0 \ .
空间平面与直线
平面方程
以下假设平面的法向量n=(A,B,C)
①一般式： A x + B y + C z + D = 0
{ \mathfrak { L } } \sharp \circ \varprojlim _ { \mathbf { \Phi } ^ { * } \mathbf { \Phi } ^ { * } } \varPsi _ { \mathfrak { o } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } , \ z _ { 0 } ) } 一法向量n)，定平面的二要素过一点P。
\overrightarrow { P _ { 0 } P } = ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } , z - z _ { 0 } ) , \ ; \ ; \ ; \overrightarrow { P _ { 0 } P } \perp n \Rightarrow ( \overrightarrow { P _ { 0 } P } , n ) = 0 ,
即 A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0
将点法式展开，记 D _ { 1 } = A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 } ，则得到一般式的形式
②点法式： A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0
③三点式： \begin{array} { r l } { \left| x - x _ { 1 } \quad y - y _ { 1 } \quad z - z _ { 1 } \right| } & { { } } \\ { \left| x - x _ { 2 } \quad y - y _ { 2 } \quad z - z _ { 2 } \right| = 0 } & { { } } \\ { \left| x - x _ { 3 } \quad y - y _ { 3 } \quad z - z _ { 3 } \right| ( \vec { x } . } \end{array} （平面过不共线的三点 P _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } ) , i = 1 , 2 , 3 \ ) 常用）
三点连线构成一个平面
④截距式： \displaystyle { \frac { x } { a } } + { \frac { y } { b } } + { \frac { z } { c } } = 1 （平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点）.
③平面束方程：设 \pi _ { i } \colon A _ { i } x + B _ { i } y + C _ { i } z + D _ { i } = 0 , i = 1 , ~ 2 ~ . ~ A _ { 1 } , ~ B _ { 1 } , ~ C _ { 1 } 与 A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } 不成比例，则 过L： \left\{ \begin{array} { l } { { A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 , } } \\ { { A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 } } \end{array} \right. 的平面束方程为
(交面式方程)
A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } + \lambda ( A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } ) = 0 \ ( \widehat { \mathcal { K } } \widehat { \Xi } \ \pi _ { 2 } \ ) ,
或
A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } + \lambda ( A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } ) = 0 \ ( \widehat { \mathcal { K } } \widehat { \Xi } \ \pi _ { 1 } \ ) .
π，π的法向量分别为n=(A，B，Ci)，n=(A，B,C)，
\lambda n _ { 1 } + \mu n _ { 2 } 生成整个平面，
\lambda ( A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } ) + \mu ( A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } ) = 0 表示过交线的所有平面.
令=1，则不包含π，令μ=1，则不包含 \pi _ { 1 }
②直线方程
以下假设直线的方向向量 \pmb { \tau } = ( l , m , n )
①一般式： \begin{array} { r } { \left\{ A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 , n _ { 1 } = ( A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 } ) , \right. } \\ { \left. A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 , n _ { 2 } = ( A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } ) \right. } \end{array} 其中 \pmb { n } _ { 1 } 不平行于 { \pmb n } _ { 2 } (交面式方程)
注其几何背景很直观，是两个平面的交线，且该直线的方向向量 { \pmb \tau } = { \pmb n } _ { 1 } \times { \pmb n } _ { 2 }
[方向向量②点向式： { \frac { x - x _ { 0 } } { l } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { m } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { n } } 二要素过一点P。
\pmb { n } _ { 1 }
\pmb { n } _ { 2 }
③参数式： \left\{ \begin{array} { l l } { x = x _ { 0 } + l t , } \\ { y = y _ { 0 } + m t , P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } \\ { z = z _ { 0 } + n t , } \end{array} \right. 为直线上的已知点，t为参数.
④两点式： { \frac { x - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } } = { \frac { y - y _ { 1 } } { y _ { 2 } - y _ { 1 } } } = { \frac { z - z _ { 1 } } { z _ { 2 } - z _ { 1 } } } （直线过不同的两点 P _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } ) , i = 1 , 2 \ ) 1
③位置关系
(1)点到直线的距离.
点 M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) 到直线 L \colon \frac { x - x _ { 0 } } { l } = \frac { y - y _ { 0 } } { m } = \frac { z - z _ { 0 } } { n } 的距离
其中向量 \overrightarrow { M _ { 1 } M } _ { 0 } = ( x _ { 0 } - x _ { 1 } , y _ { 0 } - y _ { 1 } , z _ { 0 } - z _ { 1 } ) , M _ { 0 } = ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) , \tau = ( l , m , n )
注更为简单的是平面的情形：设在二维平面上直线L的方程为 A x + B y + C = 0 ，点 P _ { 0 } 的坐标为( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，则点 P _ { 0 } 到直线L的距离公式为 d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } \mathrm { ~ , ~ }
若B≠0， \left\{ \begin{array} { l } { { S _ { \square } = \displaystyle \left| \overrightarrow { P _ { 0 } } \stackrel { \star } { P } \times \tau \right| } , } \\ { { S _ { \square } = \displaystyle \left| \tau \right| \cdot d } , } \end{array} \right. 则 | d = { \frac { \left\| x - x _ { 0 } \quad y _ { \ast } - y _ { 0 } \right\| } { \sqrt { 1 + \left( - { \frac { A } { B } } \right) ^ { 2 } } } } = { \frac { | A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C | } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } .
若 A \neq 0 , B = 0 则 A x + C = 0 , x = - { \frac { C } { A } } , 于是
綜上，成立
d = \left| x - x _ { 0 } \right| = \left| x _ { 0 } + { \frac { C } { A } } \right| = { \frac { \left| A x _ { 0 } + 0 y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } } } .
(2)点到平面的距离.
点 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 到平面 A x + B y + C z + D = 0 的距离 d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 } + D \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } (3)直线与直线
设 \pmb { \tau } _ { 1 } = ( l _ { 1 } , m _ { 1 } , n _ { 1 } ) , \pmb { \tau } _ { 2 } = ( l _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 } ) 分别为直线 L _ { 1 } , L _ { 2 } 的方向向量.
① \begin{array} { r } { I _ { 1 } \perp I _ { 2 } \Leftrightarrow \tau _ { 1 } \perp \tau _ { 2 } \Leftrightarrow l _ { 1 } l _ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 2 } + n _ { 1 } n _ { 2 } = 0 } \end{array}
② L _ { 1 } / / L _ { 2 } \Leftrightarrow \pmb { \tau } _ { 1 } / / \tau _ { 2 } \Leftrightarrow \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } = \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } = \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } }
\begin{array} { l } { \displaystyle = \big \lvert \overrightarrow { P _ { 0 } P } \big \rvert \cos \theta } \\ { \displaystyle = \frac { \big \lvert A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) \big \rvert } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } } \end{array}
③直线 L _ { 1 } , L _ { 2 } 的夹角 \theta = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \bullet { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \right| \left| { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } } ，其中 \theta = \operatorname* { m i n } \{ ( { \widehat { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ) , \pi - ( { \widehat { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ) \} \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]
(4)平面与平面.
设平面 \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } 的法向量分别为 { \pmb n } _ { 1 } = ( A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 } ) , { \pmb n } _ { 2 } = ( A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } )
① \pi _ { 1 } \perp \pi _ { 2 } \Leftrightarrow n _ { 1 } \perp n _ { 2 } \Leftrightarrow A _ { 1 } A _ { 2 } + B _ { 1 } B _ { 2 } + C _ { 1 } C _ { 2 } = 0
② \pi _ { 1 } / / \pi _ { 2 } \Leftrightarrow n _ { 1 } / / n _ { 2 } \Leftrightarrow \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } = \frac { B _ { 1 } } { B _ { 2 } } = \frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } }
③平面 \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } 的夹角 \theta = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| \pmb { n } _ { 1 } \cdot \pmb { n } _ { 2 } \right| } { \left| \pmb { n } _ { 1 } \right| \left| \pmb { n } _ { 2 } \right| } } ，其中 \theta = \operatorname * { m i n } \{ ( { \widehat { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ) , \pi - ( { \widehat { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ) \} \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]
(5)平面与直线.
设直线L的方向向量为 { \pmb \tau } = ( l , m , n ) ，平面π的法向量为 \pmb { n } = ( A , B , C )
L \perp \pi \Leftrightarrow \tau / / n \Leftrightarrow \frac { l } { A } = \frac { m } { B } = \frac { n } { C } 平行方程
②1 \cdot / / \pi \Leftrightarrow \tau \bot n \Leftrightarrow A l + B m + C n = 0 垂直方程
③直线L与平面π的夹角 \theta = \arcsin { \frac { | { \boldsymbol { \tau } } \cdot { \boldsymbol { n } } | } { | { \boldsymbol { \tau } } | | { \boldsymbol { n } } | } } ，其中 \theta = \left[ \frac { \pi } { 2 } - ( \widehat { \pmb { \tau } , \pmb { n } } ) \right| \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]
例17.2 与两直线
\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \overrightarrow { \left[ x = 1 \right] } , } \\ { \displaystyle y = - 1 + t , \frac { x + 1 } { 1 } = \frac { y + 2 } { 2 } = \frac { z - 1 } { 1 } } \\ { \displaystyle z = 2 + t , } \end{array} \right. }
{ \boldsymbol { \tau } } \bullet { \boldsymbol { n } } = \left| { \boldsymbol { \tau } } \right| \bullet \left| { \boldsymbol { n } } \right| \bullet \cos ( { \boldsymbol { \widehat { \tau } } } , { \boldsymbol { n } } ) .
都平行，且过原点的平面方程为
分析 两直线的方向向量分别为 \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } ，则所求平面的法向量 \pmb { n } = \pmb { \tau } _ { 1 } \times \pmb { \tau } _ { 2 }
解 应填 x - y + z = 0
所求平面法向量可取为
\pmb { n } = \left| \begin{array} { c c c } { { i } } & { { j } } & { { k } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = - i + j - k \ .
由题设可知所求平面过原点，则所求平面方程为
- 1 \bullet ( x - 0 ) + 1 \bullet ( y - 0 ) - 1 \bullet ( z - 0 ) = 0 \ ,
即
x - y + z = 0 .
例17.3 已知直线L是直线 L _ { 0 }
\left\{ { \begin{array} { l } { 2 x - z - 3 = 0 , } \\ { y - 2 z + 4 = 0 } \end{array} } \right.
在平面 x + y - z = 5 上的投影方程，求L的表达式.
→用交面式方程表示
解设过直线 L _ { 0 } 的平面束方程为 ( 2 x - z - 3 ) + \lambda ( y - 2 z + 4 ) = 0 ，即
2 x + \lambda y - ( 2 \lambda + 1 ) z + 4 \lambda - 3 = 0 \ ,
其中λ为待定常数.此平面与平面x+y-z=5垂直的条件是
2 \bullet 1 + \lambda \bullet 1 - ( 2 \lambda + 1 ) \bullet ( - 1 ) = 0 \ ,
解得λ=-1，故直线L为
\scriptstyle { \left\{ { \begin{array} { l l } { { 2 x - y + z - 7 = 0 , } } \\ { { x + y - z = 5 . } } \end{array} } \right. }
例17.4设有直线 L _ { \eta } ： { \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y - 5 } { - 2 } } = { \frac { z + 8 } { 1 } } 与 L _ { 2 } ： \begin{array} { r } { \left\{ { x - y = 6 , \atop 2 y + z = 3 } \right. } \end{array} 则 L _ { \eta } 与 L _ { 2 } 的夹角为（）.（A) \frac { \pi } { 6 } (B) \frac { \pi } { 4 }
(C） \frac { \pi } { 3 }
(D) \frac { \pi } { 2 }
分析先求出直线 L _ { 1 } , L _ { 2 } 的方向向量 \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ，再利用公式 \varphi = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \bullet { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \right| \left| { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } } 求出其夹角.
解 应选(C).
直线 L _ { \mathrm { r } } 的方向向量为 \pmb { \tau } _ { 1 } = ( 1 , - 2 , 1 ) ，直线 L _ { 2 } 的方向向量为
\pmb { \tau } _ { 2 } = \left| \begin{array} { c c c } { { i } } & { { j } } & { { k } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = - i - j + 2 k ~ ,
从而直线 L _ { \eta } 和 L _ { 2 } 的夹角φ的余弦为 \cos \varphi = \frac { \left| \pmb { \tau } _ { 1 } \bullet \pmb { \tau } _ { 2 } \right| } { \left| \pmb { \tau } _ { 1 } \right| \left| \pmb { \tau } _ { 2 } \right| } = \frac { 3 } { \sqrt { 6 } \bullet \sqrt { 6 } } = \frac { 1 } { 2 } ，因此 \varphi = \frac { \pi } { 3 }
空间曲线与曲面
1 空间曲线
(1)一般式 \Gamma \colon \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 } , \atop { G ( x , y , z ) = 0 . } \right.
注其几何背景为两个曲面的交线
(2)参数方程 \Gamma \colon \left\{ \begin{array} { l } { x = \varphi ( t ) , } \\ { y = \psi ( t ) , t \in [ \alpha , \beta ] } \\ { z = \omega ( t ) , } \end{array} \right.
注在 \left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right. 中选取某直角坐标变量为自变量（看作参数），解出其他两变量为此变量的函数，即得参数式.如曲线 \left\{ \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) } \\ { y = 0 , } \end{array} \right. x=t，则可写成参数式方程： \left\{ \begin{array} { l l } { x = t , } \\ { y = 0 , } \\ { z = f ( t , 0 ) } \end{array} \right. 当然，有时由于后两变量解出为第一变量的函数表达式带来多值或根式等麻烦事，或者甚至“解不出”，故一般用新的变量作参数再写参数方程，如下面的注；亦或题设直接给出参数方程，如例17.6.
(3)在坐标面上的投影.
以求曲线厂在xOy平面上的投影曲线为例.将 \begin{array} { r } { \Gamma \colon \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 \mathrm { , } } \right. } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} 中的z消去，得到 \varphi ( x , y ) = 0 则曲线r在xOy面上的投影曲线包含于曲线 \left\{ \begin{array} { l } { \varphi ( x , y ) = 0 } \\ { z = 0 . } \end{array} \right. V①往xOy面投影，消z；往xOz面投影，消y；往yOz面投影，消x.曲线厂在其他平面上的投影曲线可类似求得. ②联立方程，且令z=0或y=0或x=0.
国将 \left\{ { \cal F } ( x , y , z ) = 0 , \right. 消去某变量（例如消去z），便得该曲线在z=0平面上的投影曲线方程\left\{ { \begin{array} { l } { f ( x , y ) = 0 } \\ { z = 0 , } \end{array} } \right. 如果 f ( x , y ) = 0 能容易地写出它的参数式：
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } = \boldsymbol { y } ( t ) , t \in I , } \end{array}
其中I为某区间，则以x=x(t)，y=y(t)代入原曲线的方程中，若能解得单值的 z = z ( t ) ，则得原曲线的参数式：
\begin{array} { r } { x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) , t \in I . } \end{array}
如将 r : \left\{ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 , \atop z = x + y } \right. 的方程化为参数形式
\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos t , } \\ { y = \sin t , \qquad ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ) } \\ { z = \cos t + \sin t } \end{array} \right. .
②空间曲面
(1)曲面方程： F ( x , y , z ) = 0
(2)二次曲面.
| 曲面名称 | 方程 | 图形 |
| 椭球面 | $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ 当 $a = b = c$ 时为球面 | 用平行于坐标平→面的平面去切， 得出椭圆或圆 |
| 单叶双曲面 | $\displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ | 用 $x = k _ { 1 } ( k _ { 1 }$ 不等于a)或 $y =$ $k _ { 2 } ( k _ { 2 }$ 不等于b)切得双曲线， ${ z = k _ { 3 } ( }$ 伍意常数)切得椭圓或圆 |
| 双叶双曲面 | $\begin{array} { r } { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { \overset { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } ^ { - } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dot { \nabla } _ { \perp \perp \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \xi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \times \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \sin \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } } } \end{array}$ |  用y=k或z=k切得双曲线，用 $\scriptstyle x = k ( | k | > | a | )$ 切得椭圓或圓 |
| 椭圆抛物面 | ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } } = z ( p , q > 0 )$ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z$  | 用x=k或y=k切得抛物线， 用 $z = k ( k > 0 )$ 切得椭圆或圆 |
| 椭圆锥面 | $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }$ V $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，只有上半部分AZV般考a=bo →yx |  |