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第12讲
一元函数积分学的应用（三）物理应用与经济应用
| 考题 | 变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的求法（仅数学一、数学二），经济类题目求解（仅数学三） |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①掌握求解变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的方法（仅数学一、数学二）；②掌握求解经济应用的题目（仅数学三） |
| 重难点 | 静水压力的求法（仅数学一、数学二） |
基础知识结构
'基础内容精讲
物理应用（仅数学一、数学二）
1变力沿直线做功
设方向沿x轴正向的力函数为 y = F ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b ) ，则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功（见图12-1)为
几何上为曲边梯形的面积，物理上为变力沿直线做功.
W = \int _ { a } ^ { b } \frac { F ( x ) \mathrm { d } x } { \downarrow } ,
功的微元 \mathrm { d } W = F ( x ) \mathrm { d } x
表示小的矩形条的面积(从a到b进行累加，表示总功）
例12.1 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉
图12-1
击人木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次击打做功相等，则第二锤可将铁钉又击入
分析①翻译成数学语言 + 引入记号↓ ↓成正比：f=kx 阻力：f 深度：x功相等： { \cal W } _ { 1 } = { \cal W } _ { 2 } 第一次做的功： W _ { 1 } 第二次做的功： W _ { 2 }
②取微元： \mathrm { d } W _ { 1 } = k x \mathrm { d } x \ , ~ \mathrm { d } W _ { 2 } = k x \mathrm { d } x
③积分 W _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } k x \mathrm { d } x , W _ { 2 } = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } k x \mathrm { d } x
解 应填 ( \sqrt { 2 } - 1 ) \mathsf { c m }
设第n次击打后，铁钉击入木板的深度为 x _ { n } ~ \mathrm { c m } ，第n次击打时，铁锤所做的功为 W _ { n } ( n = 1 , ~ 2 ) ，由题设，当铁钉击入木板的深度为xcm时，木板对铁钉的阻力的大小为kx（k为常数），所以
W _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } k x \mathrm { d } x = \frac { k } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } , x _ { 1 } = 1 ;
W _ { _ 2 } = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } k x \mathrm { d } x = { \frac { k } { 2 } } x _ { 2 } ^ { 2 } - { \frac { k } { 2 } } x _ { 1 } ^ { 2 } ,
又 { \cal W } _ { 2 } = { \cal W } _ { 1 } ，从而
{ \frac { k } { 2 } } x _ { 2 } ^ { 2 } = 2 W _ { 1 } = k ,
于是
x _ { 2 } = { \sqrt { 2 } } ,
所以第二锤可将铁钉又击入 ( \sqrt { 2 } - 1 ) \mathsf { c m }
考研数学基础30讲·高等数学分册
② 抽水做功
如图12-2所示，将容器中的水全部抽出所做的功为
W = \rho g \int _ { a } ^ { b } x A ( x ) \mathrm { d } x ,
其中 \rho 为水的密度， g 为重力加速度.
功的微元 \mathrm { d } W = \rho g x A ( x ) \mathrm { d } x 为位于x处厚度为dx，水平截面面积为A(x)的一层水被抽出（路程为x）所做的功.
图12-2
求解这类问题的关键是确定x处的水平截面面积A(x)，其余的量都是固定的.
d W = \lbrack \underbrace { \rho g A ( x ) \mathrm { d } x } _ { \downarrow } \bullet \underbrace { x } _ { \downarrow } = \rho g A ( x ) \bullet x \mathrm { d } x
例12.2 有一倒圆锥形容器，高为a，上底半径为b，装满水.记水的密度为 \rho ，重力加速度为g，则将容器中的水全部从容器顶部抽出所做的功为
分析①建立坐标系（对称、高为正）；
②取微元 \mathrm { d } W = \rho g A ( x ) x \mathrm { d } x
\pi \bullet { \frac { ( a - x ) ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } }
③积分 W = \int _ { 0 } ^ { a } \rho { g \pi } x \frac { ( a - x ) ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \mathrm { d } x
解 应填 \frac { 1 } { 1 2 } \rho g a ^ { 2 } b ^ { 2 } \pi
如图12-3所示，建立坐标系.在x处的水平截面的半径r满足 \frac { r } { b } = \frac { a - x } { a } ，即
r = \frac { b ( a - x ) } { a } \ .
截面面积
A ( x ) = \pi r ^ { 2 } = \pi \bullet \left[ { \frac { b ( a - x ) } { a } } \right] ^ { 2 } = { \frac { b ^ { 2 } ( a - x ) ^ { 2 } \pi } { a ^ { 2 } } } \ .
所以将水全部抽出所做的功
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal W } = \rho g \int _ { 0 } ^ { a } x { \cal A } ( x ) \mathrm { d } x = \rho g \int _ { 0 } ^ { a } x \displaystyle \frac { b ^ { 2 } ( a - x ) ^ { 2 } \pi } { a ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { { \displaystyle ~ = \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 } \rho g a ^ { 2 } b ^ { 2 } \pi ~ . } } \end{array}
图12-3
→默认不流动水给的压力为静水压力
③静水压力（水压力）
垂直浸没在水中的平板ABCD (见图12-4)的一侧受到的水压力为
P = \rho g \int _ { a } ^ { b } x [ f ( x ) - h ( x ) ] \mathrm { d } x ,
其中 \rho 为水的密度，g为重力加速度.
压力微元 \mathrm { d } P = \rho g x [ f ( x ) - h ( x ) ] \mathrm { d } x ，即图中矩形条所受到的压力.x表示水深，f(x)-h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度.
图12-4
注水压力问题的特点：压强随水的深度的改变而改变.求解这类问题的关键是确定水深x处的平板的宽度 f ( x ) - h ( x )
例12.3 斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐.记重力加速度为g，水的密度为p，则该平板一侧所受的水压力为
分析建系、取微元、再积分即可.
解 应填 { \frac { 1 } { 3 } } a ^ { 3 } \rho g
如图12-5所示，该平板一侧所受的水压力为
P = \int _ { 0 } ^ { a } 2 \rho g ( a - y ) y \mathrm { d } y = 2 \rho g \int _ { 0 } ^ { a } ( a y - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = 2 \rho g \left( { \frac { a ^ { 3 } } { 2 } } - { \frac { a ^ { 3 } } { 3 } } \right) = { \frac { 1 } { 3 } } a ^ { 3 } \rho g \ .
图12-5
4引力
设有一长度为l、线密度为常数u的细棒，在与细棒右端的距离为a处有一质量为m的质点M（见图12-6），已知引力常量为G，则质点M与细棒之间的引力的大小为 \int _ { - l } ^ { 0 } \frac { G m \mu } { \left( a - x \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x
图12-6
古鲁金第一定理及其应用（仅数学一、数学二）
“三心”的概念
首先，要知道质心、重心与形心的概念.
质心是指物体的质量分布中心，是物体的固有特性.
重心是指物体所受地球引力的重力分布中心，依赖于重力场，在均匀重力场下，重心与质心重合，在非均匀重力场下，重心一般不是质心.
形心是指几何图形的分布中心，是固有几何量.当物体密度为常数时，物体质心与其几何体形心重合.
故在满足均匀重力场及均质条件下，重心、质心、形心三心重合.
2 质心计算公式与力矩计算公式
先考虑一个简单情形.
如图12-7(a)所示，设 x _ { 1 } 处质量为 m _ { 1 } , x _ { 2 } 处质量为 m _ { 2 } ，问x为何值时，系统平衡？
显然，由力矩相等，有 ( { \overline { { x } } } - x _ { 1 } ) m _ { 1 } g = ( x _ { 2 } - { \overline { { x } } } ) m _ { 2 } g ，得
\overline { { x } } = \frac { x _ { 1 } m _ { 1 } + x _ { 2 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \ .
推广至二维平面上有n个质点的情形，如图12-7(b)所示，有
{ \overline { { x } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } m _ { i } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } , { \overline { { y } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } m _ { i } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } ,
其中， M _ { y } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } m _ { i } 刻画系统绕y轴旋转的趋势大小，称为力矩． M _ { x } 同理可解释.
(b)
图12-7
进一步地，如图12-8(a)所示，质量系统对任一条直线 L _ { 0 } \colon \ a x + b y + c = 0 的力矩为
M _ { L _ { 0 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } m _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \left| a x _ { i } + b y _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } m _ { i } \ .
当质量系统为连续可求长曲线段L： y = f ( x ) 时，如图12-8(b)所示，有
\Delta m _ { i } = \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } , \Delta M _ { i L _ { 0 } } = r _ { i } \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } ,
故总力矩为
\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta M _ { i L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } = \int _ { a } ^ { b } \frac { \displaystyle a x + b y + c } { \displaystyle \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x ) \mathrm { d } s } } \\ { { \displaystyle ~ = \int _ { a } ^ { b } \frac { a x + b y + c } { \displaystyle \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x ) \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } . } \end{array}\tag{12-1}
当 \rho = 常数时，则有
r ( \overline { { x } } , \ \overline { { y } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { \int _ { a } ^ { b } \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } { \int _ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ,\tag{12-2}
其中 r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } ) 指形心(x，y)到直线 L _ { 0 } 的距离.
(a)
(b)
图12-8
③古鲁金第一定理
如图12-9所示，将曲线段L任意切分成n段， \Delta s _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n ) 为每一小段的长度，在 \Delta \boldsymbol { s } _ { i } 上任取一点 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) ，记 \lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta s _ { i } \} ，则 \Delta s _ { i } 绕直线 L _ { 0 } 旋转一周的侧面积为
\Delta A _ { i } = 2 \pi r _ { i } \Delta s _ { i } = 2 \pi \bullet \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta s _ { i } ,
故曲线段L绕直线 L _ { 0 } 旋转一周的侧面积为
\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle { \cal A } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta { \cal A } _ { i } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } 2 \pi \bullet \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta s _ { i } } \\ & { } & \\ & { } & { \displaystyle = \int _ { a } ^ { b } 2 \pi \bullet \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } { \mathrm { d } } x \ . } \end{array}\tag{12-3}
与公式(12-2)比较，得
r ( \overline { { { x } } } , \overline { { { y } } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { 2 \pi M _ { L _ { 0 } } } { 2 \pi M } = \frac { A } { 2 \pi \bullet l } \ : ,
即
图12-9
如图12-10所示，当质量系统为连续可求面积的平面有界闭区域时，有
\Delta M _ { i } = \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } , \Delta M _ { i L _ { 0 } } = r _ { i } \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } ,
记 \lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta \sigma _ { i } \} ，则总力矩为
\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta M _ { i L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } = \displaystyle { \iint r ( x , y ) \rho ( x , y ) \mathrm { d } \sigma } } } \\ { { \displaystyle \quad = \int _ { D } \frac { \ l } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x , y ) \mathrm { d } \sigma . } } \end{array} \tag{12-4}
当 \rho = 常数时，则有
r ( \overline { { x } } , \ \overline { { y } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { \displaystyle \iint _ { 0 } \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \mathrm { d } \sigma } { \displaystyle \iint _ { D } \mathrm { d } \sigma } ,\tag{12-5}
其中 r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } ) 为形心(x，y)到直线L的距离.
图12-10
注注例曲线 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的表面积为解由古鲁金第一定理，有
\begin{array} { c } { { A = 2 \pi \cdot l \cdot r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } ) } } \\ { { { } } } \\ { { = 2 \pi \cdot 2 \pi \cdot 2 = 8 \pi ^ { 2 } } } \end{array}
经济应用（仅数学三
①总成本 C(Q)，边际成本C(Q)，固定成本 C _ { 0 } 之间的关系为
C ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { Q } C ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t + C _ { 0 } \ .
②总收益R(Q)与边际收益R(Q)之间的关系为
R ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { Q } R ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t .
经济量国 \overline { { y } } = \frac { 1 } { b - a } \int _ { a } ^ { b } f ( \overline { { x ) \mathrm { d } x } }
例12.4 已知某产品的边际成本为 4 + { \frac { x } { 4 } } （万元／单位），固定成本为1万元，产品对价格的需求弹性为 \frac { p } { 8 - p } , p > 0 ，产品最大需求量为8，其中x表示产量，p表示价格，求使产品取最大利润时的产量和价格.
分析 翻译成数学语言+引入记号： \left\{ { \begin{array} { l } { { \displaystyle C ^ { \prime } ( x ) = 4 + \frac { x } { 4 } , C ( 0 ) = 1 , } } \\ { { \displaystyle - \frac { { \mathrm { d } } x } { { \mathrm { d } } p } \cdot \frac { p } { x } = \frac { p } { 8 - p } , x ( 0 ) = 8 . } } \end{array} } \right.
解 由 C ^ { \prime } ( x ) = 4 + \frac { x } { 4 } , C ( 0 ) = 1 ，可得
C ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } C ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t + C ( 0 ) = 4 x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } + 1 .
又 \eta _ { 0 } = \frac { - p \mathrm { d } x } { x \mathrm { d } p } = \frac { p } { 8 - p } （注意：由经济意义知 \frac { p } { 8 - p } > 0 \ ) ，故 \frac { \mathrm { d } x } { x } { = } \frac { \mathrm { d } p } { p - 8 } ，可得
\ln { \left| x \right| } = \ln { \left| p - 8 \right| } + \ln c .
由x(0)=8可得c=1.所以 x = 8 - p , R ( x ) = 8 x - x ^ { 2 } .故
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal L } ( x ) = R ( x ) - C ( x ) = ( 8 x - x ^ { 2 } ) - \left( 4 x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } + 1 \right) } } \\ { { \displaystyle ~ = - \frac { 9 } { 8 } x ^ { 2 } + 4 x - 1 } . } \end{array}
L ^ { \prime } ( x ) = 4 - { \frac { 9 } { 4 } } x = 0 ，可得 x _ { 0 } = \frac { 1 6 } { 9 }
因为 L ^ { \prime \prime } ( x ) = - \frac { 9 } { 4 } < 0 ，所以 x _ { 0 } = \frac { 1 6 } { 9 } 为最大值点，这时 p = 8 - x _ { 0 } = \frac { 5 6 } { 9 } .故当产量为 \frac { 1 6 } { 9 } 个单位，价格为 \frac { 5 6 } { 9 } 万元时，利润最大.
基础习题精练
习题
12.1（仅数学一、数学二)由曲线 y = f _ { 1 } ( x ) , y = f _ { 2 } ( x ) 及直线
\scriptstyle x = a , x = b ( a < b ) 所围成的平面板铅直地没入容重为 r ( r = \rho g ，表示
单位体积液体的重力）的液体中，x轴铅直向下，液面与y轴重合，如
图12-11所示，平面板所受液压力为（）.(A) \int _ { a } ^ { b } x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x (B) \int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 1 } ( x ) - f _ { 2 } ( x ) ] \mathrm { d } x (C) \int _ { a } ^ { b } r [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x (D) \int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x
图12-11
12.2（仅数学三）当某商品销售量为a时，边际收入为 { \cal R } ^ { \prime } ( a ) = 2 0 0 - \frac { a } { 5 0 } ，则销售量为2000时的平均单位收入为
12.3（仅数学一、数学二)有一半径为4m的半球形水池蓄满了水，现在要将水全部抽到距水池原水面6m高的水箱中，求需做多少功（水的密度 \rho { = } 1 0 0 0 \mathrm { k g / m } ^ { 3 } ，重力加速度 g = 9 . 8 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } , \pi = 3 . 1 4 \ )
12.4（仅数学三)设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数 Q = Q ( p ) ，需求弹性\eta = \frac { p } { 1 2 0 - p } \left( \eta > 0 \right) ，p为单价（单位：万元）.
(1)求需求函数的表达式;
(2)求p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义.
解答
12.1(D）解由图12-12可知，在 [ x , x + \mathrm { d } x ] 上液体对阴影部分的压力微元为
r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x \ .
因此平面板所受液压力为
图12-12
F = \int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x .
故选 (D).
12.2180解由题意可得,
\overline { { { R } } } = \frac { 1 } { 2 \ 0 0 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 0 0 \bigg ( 2 0 0 - \frac { a } { 5 0 } \bigg ) } { \mathrm d } a = \frac { 1 } { 2 \ 0 0 0 } \Bigg ( 2 0 0 a - \frac { a ^ { 2 } } { 1 0 0 } \Bigg ) \Bigg | _ { 0 } ^ { 2 0 0 0 } = 1 8 0 \ .
12.3解如图12-13所示，建立坐标系.在y处的水面面积为
\pi ( 4 ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) = \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) ,
在区间 [ y , y + \mathrm { d } y ] 上的体积微元为
\pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
提升此体积微元的水所需要的力的微元为
\rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
图12-13
其中 \rho = 1 0 0 0 \mathrm { k g / m } ^ { 3 } , g = 9 . 8 \ : \mathrm { m / s ^ { 2 } } ，π=3.14.提升到距原水面6m高处等于提升距离为 ( 6 - y ) \mathrm { m } ，从而提升此微元的水需做功的微元为
( 6 - y ) \rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
所以将水全部提升至原水面上方6m处需做功为
W = \int _ { - 4 } ^ { 0 } ( 6 - y ) \rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = 3 2 0 \pi \rho g \approx 9 8 4 7 \mathrm { ( k J ) } \ .
12.4解(1)由题设
- \frac { p } { Q } Q ^ { \prime } = \frac { p } { 1 2 0 - p } ,
所以 \int \frac { \mathrm { d } Q } { Q } = - \int \frac { 1 } { 1 2 0 - p } \mathrm { d } p ，可得 \ln Q = \ln ( 1 2 0 - p ) + \ln C ，即 Q = C ( 1 2 0 - p )
又最大需求量为1200件，故C=10，所以需求函数 Q = 1 2 0 0 - 1 0 p
(2)由(1)知，收益函数 R = 1 2 0 { \cal Q } - { \frac { 1 } { 1 0 } } { \cal Q } ^ { 2 } ，边际收益 R ^ { \prime } ( Q ) = 1 2 0 - \frac { 1 } { 5 } Q
当 p = 1 0 0 时， Q = 2 0 0 ，故当 p = 1 0 0 万元时的边际收益 R ^ { \prime } ( 2 0 0 ) = 8 0 .其经济意义：当销售量为200时，再增加一个单位的销售量，商品所得收益增加80万元.