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第18讲

多元函数积分学（仅数学一）

考题	三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲线积分、第二型曲面积分
题型	选择题、填空题、解答题 ①理解三重积分的概念，了解三重积分的性质；
目标 重难点	②会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）； ③理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系； ④掌握计算两类曲线积分的方法； ③掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数； ③了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌 握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分； ⑦会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面
	积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等） ①第二型曲线积分；②第二型曲面积分；③格林公式；④高斯公式；⑤斯托克斯公式

基础知识结构

基础内容精讲

三重积分

1概念

设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将 ^ { \varOmega } 任意分成n个小闭区域

\Delta \nu _ { 1 } , \Delta \nu _ { 2 } , \cdots , \Delta \nu _ { n } ,

知识回硕

二重积兮：分割、近似，求和，取极限

其中 \Delta \nu _ { i } 表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个 \Delta \nu _ { i } 上任取→近似
一点 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) ，作乘积 f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \bar { \zeta _ { i } } ) \Delta \nu _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n ) ，并作和
\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta \nu _ { i } 和 .如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，取极限
这和的极限总存在（与 \Delta \nu _ { i } 的分法及 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) 的取法均无关），
则称此极限值为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域Ω上的三重积分，记作
\iiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu ，即

\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { k } , \eta _ { k } ) \Delta \sigma _ { k } = \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma

\underline { { \iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma } }

\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \displaystyle \operatorname * { j i f } _ { a } \hat { z } _ { \scriptscriptstyle 1 } \hat { z } _ { \scriptscriptstyle 2 } \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \operatorname * { j i f } _ { a } f ( x , y , z ) \underline { { { \mathrm { d } } } } \nu = \operatorname * { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta \nu _ { i } , } } \end{array}

\begin{array} { l } { f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } \\ { { \widehat { \underline { { z } } } } { \mathrm { ~ i } } { \widehat { \boldsymbol { \theta } } } { \mathrm { ] } } } \end{array}

其中 f ( x , y , z ) 称为被积函数， f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu 称为被积表达式，dv称为体积元素，x，y与z称为积分变量，Ω称为积分区域， \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta \nu _ { i } 称为积分和.

若 f ( x , y , z ) 在Ω上连续，则三重积分

\iiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu

一定存在.

注三重积分的物理意义：设一物体占有Oxyz上的闭区域5Ω，在点 ( x , y , z ) 处的体密度为\rho ( x , y , z ) ，假定 \rho ( x , y , z ) 在5Ω上连续，则物体的质量

M = \iiint _ { \Omega } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .

性质

以下总假设Ω为空间有界闭区域.

性质1（求空间区域的体积） \iiint _ { \mathcal { Q } } 1 \mathrm { d } \nu = \iiint _ { \mathcal { Q } } \mathrm { d } \nu = V ，其中V为Ω的体积.

性质2（可积函数必有界）设 f ( x , y , z ) 在Ω上可积，则其在Ω上必有界.

性质3（积分的线性性质）设 k _ { 1 } , k _ { 2 } 为常数，则

\iiint _ { \varOmega } [ k _ { 1 } f ( x , y , z ) \pm k _ { 2 } g ( x , y , z ) ] \mathrm { d } \nu = k _ { 1 } \iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \pm k _ { 2 } \iiint _ { \varOmega } g ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .

性质4(积分的可加性）设f(x，y，z)在Ω上可积，且 \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } = \Omega , \Omega _ { 1 } \cap \Omega _ { 2 } = \emptyset ，则

\iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \iiint _ { \varOmega _ { 1 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu + \iiint _ { \varOmega _ { 2 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .

性质5（积分的保号性）设 f ( x , y , z ) , g ( x , y , z ) 在Ω上可积，且在Ω上 f ( x , y , z ) \leqslant g ( x , y , z ) 则有

\iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \leqslant \iiint _ { a } g ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .

特殊地，有

| \underset { \Omega } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu | \leqslant \int \underset { \Omega } { \iint } \vert f ( x , y , z ) \vert \mathrm { d } \nu  \uparrow \mathrm { d } \varepsilon \mathrm { d } \ast \langle \mathrm { d } \xi \cdot \mathrm { d } \xi \vert \mathrm { d } \xi \vert \mathrm { d } \xi \rangle

性质6（三重积分的估值定理）设M，m分别是 f ( x , y , z ) 在Ω上的最大值和最小值，V为Ω的体积，则有

m V { \leqslant } \coprod _ { \varOmega } f ( x , y , z ) { \mathrm { d } } \nu { \leqslant } M V .

性质7（三重积分的中值定理）设 f ( x , y , z ) 在Ω上连续，V为Ω的体积，则在Ω上至少存在一点 ( \xi , \eta , \zeta ) ，使得

\iiint _ { \mathcal { Q } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = f ( \xi , \eta , \zeta ) V .

③普通对称性与轮换对称性

分析方法与二重积分完全一样．>关于yOz（前后）：(x，y，z)与(-x,y,z)对应

(1)普通对称性：

假设Ω关于xOz面对称（见图18-1），则

x，z不动，关于y为偶函数

\iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \left\{ { 2 \iint _ { a _ { 1 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } , \ f ( x , y , z ) = f ( x , - y , z ) , \atop 0  \right.

其中 \varOmega _ { 1 } 是Ω在xOz面右边的部分.

图18-1

关于其他坐标面对称的情况与此类似.

(2)轮换对称性.

在直角坐标系下，若把x与y对调后，Ω不变，则 \iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint _ { a } f ( y , x , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z ，这就是轮换对称性. dv=dxdydz具有交换律，可两两交换， x _ { 3 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \leq 1

用轮换对称性就是为了相加后，被积函数简单

关于其他情况与此类似.

如 \scriptstyle \mathcal { \Omega } = \left\{ ( x , y , z ) \left| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant R ^ { 2 } \right. \right\} ，则 \iiint f ( x ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint f ( y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint _ { a } f ( z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z 可以化简计算．

具体应用见后面的例子.

注空间区域Ω大观

考生应能熟练画出以下图形，并时常翻之，看之，动手画图。

\left\{ { x } ^ { 2 } + { y } ^ { 2 } = { R } ^ { 2 } , \right.

F（x,y）=0

x ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 2 a z

( x - \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 }

4计算

(1)直角坐标系.

\mathrm { d } z { \overbrace { \underbrace { \phantom { \left( \frac { 1 } { \hbar } \right) \varepsilon ^ { ( 1 - 1 ) } } \mathrm { d } x } } ^ { \mathrm { d } z \mathrm { d } } } \ \mathrm { d } \nu { = } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z

①先一后二法（先z后xy法，也叫投影穿线法）.

a.适用场合.

Ω有下曲面 z = z _ { 1 } ( x , y ) 、上曲面 z = z _ { 2 } ( x , y ) ，无侧面或侧面为柱面，如图18-2所示.

(a)

图18-2

b.计算方法．

如图18-3所示，有 \iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \int _ { D _ { x y } } \mathrm { d } \sigma \int _ { z _ { 1 } ( x , y ) } ^ { z _ { 2 } ( x , y ) } f ( x , y , z ) \mathrm { d } z

(a)

(b)

→定限原则

图18-3

后积先定限，限内画条线，先交写下限（下曲面），后交写上限.②先二后一法（先xy后z法，也叫定限截面法

a.适用场合.

2是旋转体，其旋转曲面方程为 \scriptstyle { \mathcal { Z } } : z = z ( x , y ) ，如图18-4所示.

图18-4

b.计算方法.

后积先定限限内截个面

如图18-5所示，有 \iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = [ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } z ] [ \int _ { D } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \sigma

图18-5

例18.1 设Ω是由平面 x + y + z = 1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 \iiint _ { Q } ( x + 2 y + 3 z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z =

分析用轮换对称性.

此题投影穿线法更简单

解 应填 \frac { 1 } { 4 }

方法一积分区域如图18-6(a)所示.

图18-6

由轮换对称性知，

\iiint _ { \varOmega } x \mathrm { d } \nu = \int _ { \varOmega } y \mathrm { d } \nu = \int _ { \varOmega } z \mathrm { d } \nu ,

则

I = \int \limits _ { \Omega } \iint ( x + 2 y + 3 z ) \mathrm { d } \nu = 6 \iiiint z \mathrm { d } \nu \ .

记 \varOmega \colon 0 { \leqslant } z { \leqslant } 1 , ( x , y ) { \in } D ( z ) ,D(z)是过z轴上[0,1]中任一点z作垂直于z轴的平面截Ω所得平面区域[平移到 x O y 平面上，见图18-6(b)]，其面积为 \frac { 1 } { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } ，于是由先二后一法(定限截面法），得

\begin{array} { l } { { \displaystyle { \iint z \mathrm { d } \nu = \int _ { 0 } ^ { 1 } z \mathrm { d } z \Bigg [ \ o { \iint \mathrm { d } x \mathrm { d } y } _ { \nu } \Bigg ] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } z \mathrm { d } z } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } ( z - 2 z ^ { 2 } + z ^ { 3 } ) \mathrm { d } z } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } z ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } z ^ { 4 } \right) \Bigg | _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 4 } } , } } \end{array}

因此 I = 6 \times \frac { 1 } { 2 4 } = \frac { 1 } { 4 }

方法二同方法一，有 I = 6 { \int _ { \Omega } \iint _ { z } z \mathrm { d } \nu }

记： 0 \leqslant z \leqslant 1 - x - y , ( x , y ) \in D _ { x y } , D _ { x y } = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 - x \} ，如图18-6(c)所示.于是由先一后二法（投影穿线法），得

\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { u _ { * } } \| \mathrm { d } \sigma \| _ { 0 } ^ { 1 - \epsilon } \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { u } \int _ { \alpha } \mathrm { d } \nu = \| \int _ { u _ { * } } [ \int _ { 0 } ^ { 1 - \kappa - y } \mathrm { d } \alpha ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \| \int _ { u _ { * } } \frac { 1 } { 2 \kappa - y } ( 1 - x - y ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y  } \\ { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \| _ { 0 } ^ { 1 - x } ( 1 - x - y ) ^ { 2 } \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Biggl [ - \frac { 1 } { 3 } ( 1 - x - y ) ^ { y } \Biggr ] _ { \nu = 0 } ^ { \nu + x - y } \Biggr ] \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ) ^ { 3 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 4 } , } \end{array}

因此 I = 6 \times \frac { 1 } { 2 4 } = \frac { 1 } { 4 }

(2)柱面坐标系=极坐标系下二重积分与定积分.

在直角坐标系的计算中，如若 \begin{array} { l } { \displaystyle \iint \mathrm { d } \sigma } \end{array} 适用于极坐标系，则令 \left\{ { \begin{array} { l } { x = r \cos \theta , } \\ { y = r \sin \theta , } \end{array} } \right. 便有

\iiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint _ { \Omega } f ( r \cos \theta , r \sin \theta , z ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } z ,

此种计算方法称为柱面坐标系下三重积分的计算.

x ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 1

8 z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }

域，则 I = \iiint _ { \Omega } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } \nu \ =

解 应填 \frac { 6 4 } { 7 5 }

如图18-7所示，用先一后二法(投影穿线法），即

柱面坐标法

\begin{array} { r l } & { I = \displaystyle \int \int \int \mathrm { d } \sigma \int _ { 0 } ^ { \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 8 } } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } z } \\ & { \quad - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { i } \omega \theta } r \mathrm { d } r \int _ { 0 } ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 8 } } r \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { i } \omega \theta } r ^ { 4 } \mathrm { d } r } \\ & { \quad \quad = \displaystyle \frac { 4 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { i } \omega } r ^ { 5 } \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta = \frac { 4 } { 5 } \Bigg ( 2 \times \frac { 4 } { 5 } \times \frac { 2 } { 3 } \Bigg ) = \frac { 6 4 } { 7 5 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ^ { 4 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 1 } { 4 0 } \cdot 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta ^ { 2 \mathrm { i } \omega } \ e ^ { - \mathrm { i } \left( 2 \pi + \frac { \pi } { 7 } \right) } \mathrm { d } \theta } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ &  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \end{array}

(3)球面坐标系.

①适用场合.

a.被积函数中含 \left\{ { \begin{array} { l } { f ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) , } \\ { f ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) . } \end{array} } \right.

[球或球的部分，b.积分区域为锥或锥的部分.

②计算方法．

则 \mathrm { d } \nu = \sum _ { r ^ { 2 } \sin \varphi \operatorname { d } r \operatorname { d } \varphi \operatorname { d } \theta }

球面坐标系应该是整个高等数学或者说徼积兮里最复杂的一种计算方法，我们打一套拳来把这个问题解决.

第一步，转：从xOz面出发，拉着一扇门绕z轴(从z轴正向向下看)逆时针旋转一周.见a.

第二步，开：从z轴出发，喇叭花开花，伸展运动，从0开到180见b.

第三步，穿：从原点发出一条射线，至无穷远处.见c.

这套搴可称为“球系太极拳”，在解决积分问题的同时，舒展筋骨，强身健体.

测度的倍数

a.过z轴的半平面与xOz面正向夹角为θ（取值范围[0,2π]） 「先碰到Ω，记 \theta _ { 1 } 后离开Ω，记 \theta _ { 2 }

b.顶点在原点，以z轴为中心轴的圆锥面半顶角为（取值范围[0，π]） 先碰到Ω，记 \varphi _ { 1 } ( \theta ) 后离开Ω，记 \varphi _ { 2 } ( \theta )

先碰到Ω，记 r _ { 1 } ( \varphi , \theta ) c.从原点出发画一条长为r的线（取值范围[0,+） 后离开Ω，记 r _ { 2 } ( \varphi , \theta )

于是

\begin{array} { r l } & { \underset { \varOmega } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \underset { \varOmega } { \iint } f ( \underline { { r } } \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi ) { r ^ { 2 } } \mathrm { s i n } \varphi \mathrm { d } r \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta } \\ & { \qquad = \displaystyle \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { \varphi _ { 1 } ( \theta ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( \theta ) } \mathrm { d } \varphi \int _ { r _ { 1 } ( \varphi , \theta ) } ^ { r _ { 2 } ( \varphi , \theta ) } f ( r \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi ) r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r \ . } \end{array}

例18.3 设 \scriptstyle \varOmega = \{ ( x , y , z ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant 1 \} ，则 { \underset { \Omega } { \iint } } z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z =

解 应填 \frac { 4 \pi } { 1 5 }

由轮换对称性可知, \iiint z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint x ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint y ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z ，所以

\begin{array} { l } { { \displaystyle \iint z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 3 } \iiint _ { a } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 3 } \bullet \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \bullet r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 2 \pi } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 4 } \mathrm { d } r = \frac { 4 \pi } { 1 5 } ~ . } } \end{array}

例18.4 设 \scriptstyle \mathcal { Q } = \left\{ ( x , y , z ) \left\lfloor \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leqslant z \leqslant 1 } { 4 \hbar \bar { \infty } } \right. \right\} ，则 \iiint _ { a } { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \mathrm { d } \nu \ =

解 应填 ( \sqrt { 2 } - 1 ) \pi

如图18-8所示，从原点引射线穿过Ω，从z=1穿出，即 r \cos \varphi = 1 ，则 r = \frac { 1 } { \cos \varphi } 为上限，于是

I = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \cos \varphi } } { \frac { 1 } { r } } \cdot r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } { \Biggl | } _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \cos \varphi } } \cdot \sin \varphi \mathrm { d } \varphi

图18-8

= \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \varphi } \cdot \sin \varphi \mathrm { d } \varphi = - \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \varphi } \mathrm { d } ( \cos \varphi ) = \pi \bullet \frac { 1 } { \cos \varphi } \Bigg | _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } = ( \sqrt { 2 } - 1 ) \pi \ .

(4)换元法.

\begin{array} { l } { \displaystyle \iint \int f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ { \displaystyle \frac { [ \Omega _ { \mathrm { m } } ] } { [ \Omega _ { \mathrm { m } } ] } \to \$ 4 . 3, \mathrm { ~ } \hat { y } \downarrow \ast \ast \ast \ast \ast } \end{array}

\begin{array} { r l r } & { } & { \qquad \quad \cdot \frac { \dot { r } + \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathfrak { L } } \dot { \mathfrak { W } } \dot { \mathfrak { L } } } { \mu _ { 2 } } \varDelta _ { \mathfrak { m } } \to \bar { \Psi } \dot { \mathfrak { L } } [  \frac { \partial } { \partial \varphi } | \mathfrak { L }  \overline { { \mathfrak { L } } }  \overline { { \mathfrak { W } } }   } \\ & { } & {   \nu , \textbf { \Upsilon } _ { \mathcal { W } }     | \frac { y = y ( u , \nu , w ) } { z = z ( u , \nu , w ) } \iint \iint f [ x ( u , \nu , w ) , y ( u , \nu , w ) , z ( u , \nu , w ) ] | \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , \nu , w ) } | \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu \mathrm { d } w   } \end{array}

\enclose{circle} { 1 } f ( x , y , z ) \to f [ x ( u , \nu , w ) , y ( u , \nu , w ) , z ( u , \nu , w ) ] ~ .

\bigstar _ { \Omega _ { x x } } \bigl [ \int \int \displaylimits _ { x } \to \bigr \{ \int \displaylimits _ { x } \int \displaylimits _ { x } \big .

\enclose{circle} { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z \to \left| \frac { \hat { \sigma } ( x , y , z ) } { \hat { \sigma } ( u , \nu , w ) } \right| \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu \mathrm { d } w \stackrel { \longrightarrow } { \longrightarrow } \ast \ast \mathrm { d } { _ { x } \mathrm { d } \nu } \mathrm { d } z = r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } \theta ,

其中

a. \left\{ \begin{array} { l } { x = x ( u , \nu , w ) , } \\ { y = y ( u , \nu , w ) , } \\ { z = z ( u , \nu , w ) } \end{array} \right. 是空间 ( x , y , z ) 到空间(u,v,w)的一一映射;

b x = x ( u , \nu , w ) , y = y ( u , \nu , w ) , z = z ( u , \nu , w ) 有一阶连续偏导数，且

柱面坐标系

{ \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , \nu , w ) } } = \left| { \frac { \partial y } { \partial u } } \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial \nu } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \nu } } } \\ { { \frac { \partial y } { \partial \nu } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \nu } } } \end{array} \frac { \partial y } { \partial w } \right| \neq 0 ~ .

另外， \left\{ \begin{array} { l l } { x = r \mathrm { c o s } \theta , } \\ { y = r \sin \theta , } \\ { z = z , } \end{array} \right. 则

\begin{array} { r l }  \frac { \iint \int ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { y } , z ) \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } z - \iiint ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \mathrm { r i n h } \theta , z ) | \overline { { \partial } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \psi } , z ) | \mathrm { d } \boldsymbol { r } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } } & { } \\ { \frac { \iint \partial \boldsymbol { r } } { \partial \boldsymbol { r } } } & { } \\ & { = \frac { \iint \partial \boldsymbol { r } } { \partial \boldsymbol { r } } ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \mathrm { r i n h } \theta , z ) \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial t } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial \boldsymbol { \Phi } } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial z } \Biggr \} } \\ & { = \frac { \iint \int \int ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \mathrm { r i n h } ^ { \mathrm { ~ } } \boldsymbol { \theta } , z ) \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } } { \partial t } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial z } \frac { \partial \boldsymbol { \Phi } } { \partial z } \frac { \partial \boldsymbol { \Phi } } { \partial z } \Biggr \} \mathrm { d } \boldsymbol { r } \mathrm { d } \boldsymbol { \theta } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } } \\ & { \qquad \quad \times \mathrm { i n } \mathrm { ~ } \exp ( \mathrm { i } \frac { \partial \Omega } { \partial z } \mathrm { ~ \partial ~ \partial ~ \Omega ~ } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial z } \mathrm { ~ \partial ~ \overline { { \theta } } ^ { * } } ) } \\ &  \qquad - \frac { \iint \int ( \int ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { r } \mathrm { s i n h } \theta , z ) \mathrm { d } \boldsymbol { s } \theta } , \mathrm { ~ \gamma \ r a i n ~ } \theta \mathrm { ~ \partial ~ \Omega ~ } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } \mathrm { \boldsymbol { \Phi } } \mathrm  d \boldsymbol { \Phi }  \end{array}

这就是直角坐标系到柱面坐标系的换元过程.

\begin{array} { l } { \displaystyle \{ \begin{array} { l } { x = r \sin \varphi \cos \theta , } \\ { \displaystyle \{ y = r \sin \varphi \sin \theta , \mathbb { M } \} } \\ { \displaystyle z = r \cos \varphi , } \end{array}  } \\  \medskip \displaystyle \{ \begin{array} { l } { \displaystyle \iint f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint \int f ( r \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi ) \Big | \hat { \frac { \partial } { \partial ( r , \theta , \varphi ) } } \Big | \mathrm { d } r \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta } \\  \displaystyle  \frac { \partial } { \partial \theta _ { m } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^  - \mathrm { i } \ \end{array} \end{array}

\begin{array} { r l } { | \frac { \partial x } { \partial r } \ \frac { \partial x } { \partial \theta } \ \frac { \partial x } { \partial \theta } | } & { , } \\ { = \displaystyle \frac { | \iint \int ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) | \frac { \partial y } { \partial r } ~ \frac { \partial y } { \partial \theta } ~ \frac { \partial y } { \partial \varphi } | } { \partial \theta } \mathrm { d } \mathbf { \mathrm { \overline { { \phi } } } } \rho \mathrm { d } \mathbf { \mathrm { \overline { { \phi } } } } \rho } \\ { | \frac { \partial z } { \partial r } ~ \frac { \partial z } { \partial \theta } ~ \frac { \partial z } { \partial \varphi } | } \\ & { = \displaystyle \iint \int ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) \cdot | \sin \varphi \cos \theta ~ - r \sin \varphi \sin \theta ~ r \cos \varphi \cos \theta | } \\ { \displaystyle \frac { | \sin \varphi \cos \theta ~ \theta | } { \partial \varphi } ~ \frac { | \sin \varphi \cos \theta ~ | } { | \cos \varphi | } ~ r \sin \varphi \cos \theta ~ r \cos \varphi \sin \theta | \mathrm { d } \mathbf { \mathrm { \overline { { \phi } } } } \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta } & { } \\ { = \displaystyle \iint ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta } & { , } \\ { = \displaystyle \iint _ { \Omega _ { \phi } } \{ \int ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta \} \rho } \end{array}

这就是直角坐标系到球面坐标系的换元过程.

例18.5 设 \scriptstyle \varOmega = \{ ( x , y , z ) | x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant 1 \} ，则 I = \underset { \mathcal { Q } } { \iint } \big ( 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } \big ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z =

x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 4 } } + z ^ { 2 } \leq 1 \enclose{circle} { > } \frac { 4 } { 4 } + 3 \times 3 \times 4 =

分析 令 \left\{ { \begin{array} { l } { x = x _ { 1 } , } \\ { 2 y = y _ { 1 } } \\ { z = z _ { 1 } , } \end{array} } \right. ，则川 ( 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \coprod _ { x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } \leqslant 1 } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \bullet \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } y _ { 1 } \mathrm { d } z _ { 1 } \ . x²+4y²+2²≤

解 应填 \frac { 4 \pi } { 1 5 }

区

\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = r \sin \varphi \cos \theta , } \\ { \displaystyle y = \frac { 1 } { 2 } r \sin \varphi \sin \theta , } \\ { \displaystyle z = r \cos \varphi , } \end{array} \right.

于是

J = { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( r , \theta , \varphi ) } } = \left| { \frac { \partial y } { \partial r } } \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \varphi } } } \\ { { \overline { { \partial } } } r } & { { \frac { \partial y } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \varphi } } } \\ { { \overline { { \partial } } } { \overline { { c } } } } & { { \frac { \partial z } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial z } { \partial \varphi } } } \end{array}  \right| = - { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } \sin \varphi ,

则

\begin{array} { l } { { I = \displaystyle \iint _ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant 1 } ( 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } } \\ { { \displaystyle = \ \iint _ { x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 + z ^ { 2 } \leqslant 1 } \leqslant 1 } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } y _ { 1 } \mathrm { d } z _ { 1 } } } \\ { { \displaystyle = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \varphi \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r = \frac { 4 \pi } { 1 5 } ~ . ~ z _ { 1 } = r \cos \varphi } } \end{array}

5应用

(1)若Ω是物体所占的空间区域，则其体积为 V = \iiint _ { \Omega } \mathrm { d } \nu

★(2)对于空间物体，若体密度为 \rho ( x , y , z ) ，Ω是物体所占的空间区域，则计算重心(x，y，z)的公式为

\begin{array} { l } { \displaystyle \overrightarrow { x } = \frac { \displaystyle \iint \int x \rho ( x , \overrightarrow { y , z } ) \mathrm { d } \nu } { \displaystyle \iint \int \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } , \frac { \displaystyle \iint \int y \rho ( x , \overrightarrow { y , z } ) \mathrm { d } \nu } { \displaystyle \iint \int \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } , \frac { \displaystyle \iint z \rho ( x , \overrightarrow { y , z } ) \mathrm { d } \nu } { \displaystyle \int \int \int \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } . } \end{array}

注（1）在考研的范畴内，重心就是质心

（2）当密度 \rho ( x , y ) 或者 \rho ( x , y , z ) 为常数时，重心就成了形心

(3)形心公式的逆用． 常，母都

由 \overline { { x } } = \frac { \iiint _ { \partial } x \mathrm { d } \nu } { \iiint _ { \partial } \mathrm { d } \nu } , 得 \iiint x \mathrm { d } \nu = { \overline { { x } } } \cdot V 其中V为Ω的体积.若x与V均易于求出，则可快速计算出Ω的体积
{ \underset { \Omega } { \iint } } x \mathrm { d } \nu 以下同理

精由 \overline { { y } } = \frac { \iiint y \mathrm { d } \nu } { \iiint \mathrm { d } \nu } \iiint y \mathrm { d } \nu = \overline { { y } } \cdot V 其中V为Ω的体积

\overline { { z } } = \frac { \iiint z \mathrm { d } \nu } { \iiint \mathrm { d } \nu } { \underset { \Omega } { \iint } } z \mathrm { d } \nu = { \overline { { z } } } \cdot V 其中V为Ω的体积

(3)对于空间物体，若体密度为 \rho ( x , y , z ) ，Ω是物体所占的空间区域，则计算该物体对x轴、y轴、z轴和原点O的转动惯量 I _ { x } , I _ { y } , I _ { z } 和 I _ { o } 公式分别为

I _ { x } = \iiint _ { \varOmega } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu , I _ { y } = \iiint _ { \varOmega } ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu ,

I _ { z } = \iiint ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu , I _ { o } = \iiint ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \cdot \underbrace { \mathrm { d } m ~ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } _ { ( x , y , z ) } \Bigg \} ^ { z } ( 0 , ~ 0 , z )

(4)对于空间物体，若体密度为 \rho ( x , y , z ) ，Ω是物体所占的空间区域，则rdm为徽元对z轴的转动惯量计算该物体对物体外一点 M _ { \mathrm { 0 } } ( x _ { \mathrm { 0 } } , y _ { \mathrm { 0 } } , z _ { \mathrm { 0 } } ) 处的质量为m的质点的引力 \boxed { ( F _ { x } , F _ { y } , F _ { z } ) } 公式为

F _ { x } = G m { \iiint } \frac { \rho ( x , y , z ) ( x - x _ { 0 } ) } { { \lbrack { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } \rbrack ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \mathrm { d } { \nu } } ,

F _ { y } = G m { \iiint } \frac { \rho ( x , y , z ) { \left( y - y _ { 0 } \right) } } { { \left[ { \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( z - z _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \mathrm { d } } \nu ,

F _ { z } = G m { \int \limits _ { \varOmega } { \int } \int } \frac { { \rho ( x , y , z ) ( z - z _ { 0 } ) } } { { [ { ( x - x _ { 0 } ) } ^ { 2 } + { ( y - y _ { 0 } ) } ^ { 2 } + { ( z - z _ { 0 } ) } ^ { 2 } ] } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \mathrm { d } } \nu \ .

例18.6 设 \mathcal { Q } = \{ ( x , y , z ) | 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 2 z \leqslant 3 \} ，则 \iiint z \mathrm d \nu =

解 应填 { \frac { 1 6 } { 3 } } \pi x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + \frac { ( z - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } \leq 1 为椭球体

由于 \mathcal { Q } = \left\{ ( x , y , z ) \middle | x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + \frac { ( z - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } \leqslant 1 \right\} ，其形心坐标为(0,0,1)，于是

\iiint z { \mathrm d } \nu = { \overline { { z } } } \bullet V _ { \varOmega } = 1 \bullet { \frac { 4 } { 3 } } \bullet \pi \bullet { \frac { 1 } { a } } \bullet { \frac { 2 } { b } } \bullet { \frac { 2 } { c } } = { \frac { 1 6 } { 3 } } \pi 椭球体 { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \leqslant 1 的体积为 { \frac { 4 } { 3 } } \pi a b c

例18.7 设 \scriptstyle \mathcal { Q } = \{ ( x , y , z ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant z \leqslant 1 \} ，则Ω的形心的竖坐标=

解 应填 \frac { 2 } { 3 }

设 D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 \} ，则

\iiint \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint \mathrm { d } x \mathrm { d } y \int _ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ^ { 1 } \mathrm { d } z = \iint \bigl ( 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \bigr ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 2 } ) r \mathrm { d } r = \frac { \pi } { 2 } ,

\iiint z \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint _ { \cal D } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \int _ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ^ { 1 } z \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 2 } \iint [ 1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 4 } ) r \mathrm { d } r = \frac { \pi } { 3 } \ : ,

所以 \overline { { z } } = \frac { \displaystyle \iint _ { 2 } z \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } { \displaystyle \iint _ { 2 } \int _ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } = \frac { 2 } { 3 }

第一型曲线积分

1 概念

设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数 f ( x , y ) 在L上有界，在L上任意插入一系列点M _ { 1 } , M _ { 2 } , \cdots , M _ { n - 1 } 把L分成n个小段.设第i个小弧段的长度为 \Delta { s } _ { i } ，又 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) 为第i个小弧段上任意取→近似 \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta s _ { i } 定的一点，作乘积 f ( \xi _ { i } ^ { \prime } , \eta _ { i } ) \Delta s _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n ) ，并作和 ，如果当各小弧段长度的最大值→取极限λ趋于零时，这和的极限总存在（与 \Delta \boldsymbol { s } _ { i } 的分法及 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) 的取法均无关），则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一型曲线积分，记作 \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s ，即

\int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta s _ { i } ,

其中 f ( x , y ) 称为被积函数， f ( x , y ) { \mathrm { d } } s 称为被积表达式，x与y称为积分变量，L称为积分弧段.

\mathrm { d } s = \sqrt { ( \mathrm { d } x ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } y ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } z ) ^ { 2 } }

此定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧「的情形，即函数f ( x , y , z ) 在曲线弧厂上对弧长的曲线积分区别：

= \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x

\int _ { \cal { T } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \operatorname * { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta s _ { i } .

①底部直线变曲线， ②第一型曲线积分弧徽分， ds =√(dx)² +(dy)² 个

注但事实上，如果仅理解到此，还是不够的.不妨把定积分和第一型曲线积分放在一起作个对比，加深我们对概念的理解.定积分定义在“直线段”上，而第一型曲线积分定义在“曲线段”上，如图18-9、图18-10所示，由于f(x，y)定义在 L \colon y = y ( x ) 上，故曲线方程L可代入被积函数，从而化简计算.

\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x

图18-9
直线变曲线

第一型曲线积分 \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s

图18-10

性质

以下总假设厂为空间有限长分段光滑曲线．

性质1(求空间曲线的长度（弧长）) \int _ { \cal { r } } 1 \mathrm { d } s = l _ { \cal { r } } ，其中 l _ { r } 为r的长度.

性质2（可积函数必有界）设 f ( x , y , z ) 在r上可积，则其在Γ上必有界.

同定积分

性质3（积分的线性性质）设 k _ { 1 } , k _ { 2 } 为常数，则

\int _ { \cal T } [ k _ { 1 } f ( x , y , z ) \pm k _ { 2 } g ( x , y , z ) ] \mathrm { d } s = k _ { 1 } \int _ { \cal T } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s \pm k _ { 2 } \int _ { \cal T } g ( x , y , z ) \mathrm { d } s \ .

性质4（积分的可加性）设f(x，y，z)在r上可积，且 T _ { 1 } \cup T _ { 2 } = T , T _ { 1 } \cap T _ { 2 } = \emptyset ，则

\int _ { \cal T } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \int _ { \cal T _ { 1 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s + \int _ { \cal T _ { 2 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s .

性质5（积分的保号性）设 f ( x , y , z ) , g ( x , y , z ) 在r上可积，且在「上 f ( x , y , z ) { \leqslant } g ( x , y , z \ ) 则有

\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathop { \longleftrightarrow } _ { \bf { k } } ^ { \mathrm { } } \mathcal { E } \large \{ x , y , z \large ) \mathrm { d } s \leq \int _ { \cal { r } } ^ { } g ( x , y , z ) \mathrm { d } s \ .

特殊地，有

\begin{array} { r l } & { \{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } \mathcal { K } \mathcal { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \hat { \phi } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x . } \\ { \overline { { \phi } } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \ V \Rightarrow \mathrm { d } x > 0 . } \\ { \overline { { \phi } } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \partial \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } } \\ { \mathcal { D } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \int \int f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma . } \end{array}  } \\ &  \{ \begin{array} { l l } { \mathrm { i } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } ; \quad \mathrm { d } \sigma > 0 . } \\  \mathrm { i } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak  \end{array} \end{array}

性质6(第一型曲线积分的估值定理）设M，m分别是f(x，y，z)在r上的最大值和最小值， l _ { r } 为r的长度，则有

与定积兮、二重积分、三重积分类似

m l _ { \scriptscriptstyle { T } } \leqslant \int _ { \cal { T } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s \leqslant M l _ { \scriptscriptstyle { T } } .

性质7(第一型曲线积分的中值定理）设f(x，y，z)在r上连续， l _ { r } 为「的长度，则在r上至少存在一点(,n,5)，使得

\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = f ( \xi , \eta , \zeta ) l _ { \cal { r } } .

③普通对称性与轮换对称性

左右对称，变的是y

分析方法与二重积分、三重积分完全一样.

(1)普通对称性.

假设r关于 x O z 面对称，则

\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 \displaystyle { \int _ { \cal { r } _ { 1 } } f ( x , y , z ) } } { \mathrm { d } s } , } & { { f ( x , y , z ) = f ( x , - y , z ) , } } \\ { { 0 , } } & { { f ( x , y , z ) = - f ( x , - y , z ) , } } \end{array} \right.

其中 \varGamma _ { 1 } 是r在 x O z 面右边的部分.

关于其他坐标面对称的情况与此类似.

(2)轮换对称性.

若把x与y对调后，r不变，则 \int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \int _ { \cal { r } } f ( y , x , z ) \mathrm { d } s ，这就是轮换对称性.关于其他情况与此类似. V

具体应用见后面的例子.

因为 \mathrm { d } s = \sqrt { ( \mathrm { d } x ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } y ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } z ) ^ { 2 } } 在加法上有交换律，交换x与y后，ds不变

4计算

由于第一型曲线积分就是由定积分推广而来的，因此计算第一型曲线积分的基本方法就是将其化为定积分口诀为“一投二代三计算” 从定积分来，回到定积分去

(1)平面情形.

①若平面曲线L由 y = y ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b ) 给出，则 { \mathrm { d } } s = \sqrt { 1 + [ y ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x ，且

掌握三种体系下曲线积分的计算：①直角坐标系下：②参数式下：③极坐标系下

一投二代三计算，这是基本方法的口诀。

以平面为例，

②若平面曲线L由参数式 \left\{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } ( t ) , } \\ { { \boldsymbol { y } } = { \boldsymbol { y } } ( t ) } \end{array} \right. ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta ) 给出，则 \mathrm { d } s = \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t ，且

一投：把L投到x轴上去，写成 \int _ { a } ^ { b }

→二代：注意这里的x，y不是独立的，它是受约束于方程y=y(x)的，一定要把y=y(x)代入f(x，y)（这是曲线（曲面）积分的特点，因为这里的变量是定义在线上（面上）的，不具有独立性，所以这里必须代入）；

三计算：之前讲过孤徽兮计算公式

\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s } \\ & { } & { \displaystyle \underbrace { \vphantom { \int _ { \mathbb { Z } } ^ { \beta } \mathrm { d } \tilde { \mathcal { E } } } \int _ { \mathcal { X } } ( \stackrel {  } {  } \mathcal { K } ) \quad \quad \stackrel {  } { \ r ^ { \prime } ( t ) } \ast \mathrm { d } t } _ { \displaystyle = \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ x ( t ) , y ( t ) ] \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } } \end{array}

\mathrm { d } s = \sqrt { \left( \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } + \left( \mathrm { d } y \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + [ y ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x .

投二代三计算，就化成了定积分.

③若平面曲线L由极坐标形式 r = r ( \theta ) ( \alpha { \leqslant } \theta { \leqslant } \beta ) 给出，则 \mathrm { d } s = \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ，且

\begin{array} { r l } & { \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \underbrace { \bigl \langle - \mathrm { i } \boldsymbol { \mathfrak { A } } \atop { \mathfrak { V } } ^ { } } \qquad \leq \qquad \quad \mathrm { i } + \mathcal { H } } \\ & { = \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ r ( \theta ) \cos \theta , r ( \theta ) \sin \theta ] \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta . } \end{array}

(2)空间情形.

若空间曲线厂由参数式 \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta ) } \\ { z = z ( t ) } \end{array} \right. 给出，则

\mathrm { d } s = \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ z ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t ,

且

\begin{array} { r l } & { \displaystyle \int _ { { \cal T } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s } \\ & { \quad \scriptstyle \downarrow - \mathrm { i } \boldsymbol { \mathfrak { L } } \qquad \stackrel { \scriptstyle \sharp \nearrow } { \displaystyle \sum _ { y } z ( t ) \cdot \sum _ { \tau ( t ) } ^ { \prime } \int [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ z ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } \end{array}

最终为t的一元函数

例18.8 已知曲线 L : y = x ^ { 2 } ( 0 \leqslant x \leqslant { \sqrt { 2 } } ) ，则 \int _ { L } x \mathrm { d } s =

分析利用“一投二代三计算”的口诀计算直角坐标系下的第一型曲线积分.

解 应填 \frac { 1 3 } { 6 }

凑徽分

\int _ { L } x \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } x \sqrt { 1 + ( 2 x ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + 4 x ^ { 2 } } \mathrm { d } ( 1 + 4 x ^ { 2 } )

= \frac { 1 } { 1 2 } ( 1 + 4 x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Bigg | _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } = \frac { 1 3 } { 6 } ~ .

例18.9 设 L \colon x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = - 2 y ，则 I = \oint _ { L } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } s =

→封闭曲线的专用符号

分析 根据曲线L及被积函数的表达式，不难发现都含有平方和，所以本题不宜用直角坐标计算，故采用极坐标解题. A

解 应填8.

\operatorname { d } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = - 2 y \Rightarrow r ^ { 2 } = - 2 r \sin \theta \Rightarrow r = - 2 \sin \theta

将曲线方程用极坐标表示： r ^ { \stackrel { \prime } { = } - 2 \sin \theta ( - \pi \leqslant \theta \leqslant 0 ) } ，则

x = r \cos \theta , y = r \sin \theta , \mathrm { d } s = { \sqrt { \left[ r ( \theta ) \right] ^ { 2 } + \left[ r ^ { \prime } ( \theta ) \right] ^ { 2 } } } \mathrm { d } \theta = { \sqrt { 4 \sin ^ { 2 } \theta + 4 \cos ^ { 2 } \theta } } \mathrm { d } \theta = 2 \mathrm { d } \theta ~ .

故

\underbrace { I = \int _ { - \pi } ^ { 0 } ( - 2 \sin \theta ) \bullet 2 \mathrm { d } \theta = - 4 \int _ { - \pi } ^ { 0 } \sin \theta \mathrm { d } \theta = 8 } _ { - \land \mathtt { f l } \div \mathtt { d } \xrightarrow { \mu \mathrm { d } } \mp \mathtt { d } \oplus \mp \mathtt { d } \theta } .

例18.10 设r是空间曲线 \left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 } \\ { x + y + z = 0 , } \end{array} } \right. 则 \oint _ { r } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s =

分析）空间曲线是过原点的平面切球心在原点的单位球面所切出的一个大圆，且x，y，z地位相等，故可以考虑用轮换对称性.后续所有积分，首先考虑用性质进行化简.

解 应填 { \frac { 4 } { 3 } } \pi

由轮换对称性知 \oint _ { \cal { r } } { x ^ { 2 } } \mathrm { d } s = \oint _ { \cal { r } } { y ^ { 2 } } \mathrm { d } s = \oint _ { \cal { r } } { z ^ { 2 } } \mathrm { d } s ，于是

\begin{array} { l } { { \displaystyle { \oint _ { { \cal T } } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) { \mathrm { d } } s = \oint _ { { \cal T } } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s + \oint _ { { \cal T } } y ^ { 2 } { \mathrm { d } } s } } \\ { { } } \\ { { = 2 \oint _ { { \cal T } } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s = \frac { 2 } { 3 } \Big ( \oint _ { { \cal T } } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s + \oint _ { { \cal T } } y ^ { 2 } { \mathrm { d } } s + \oint _ { { \cal T } } z ^ { 2 } { \mathrm { d } } s \Big ) } } \\ { { } } \\ { { = \frac { 2 } { 3 } \oint _ { { \cal T } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) { \mathrm { d } } s \frac { ( * ) } { 2 } \frac { 2 } { 3 } \oint _ { { \cal T } } 1 { \mathrm { d } } s = \frac { 2 } { 3 } \times 2 \pi \times 1 = \frac { 4 } { 3 } \pi \ . } } \end{array}

(1 \Omega : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1 ，不止包括曲面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 ，还包括曲面内部，即三重积分的积分区域 \Omega : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1 为实心球体．

如果在三重积分中，被积函数里出现 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ，那么 \iiint \limits _ { \varDelta \cdot x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \mathrm { d } \nu 是不能直接将被积函数代为1的.

(2) r : \{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 曲线既在单位球面上，又在平面上，即为两个面的交线，故曲线、曲面积分的积分区域只有边界线或边界面．

在第一型曲线、曲面积分中，可以将积分曲线或曲面代入被积函数，如本题中（*）处来自曲线方\left\{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 \right. 可直接代入被积函数，从而化简计算.

5应用

(1)对于空间光滑曲线Γ，若其由参数式 \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta ) } \\ { z = z ( t ) } \end{array} \right. 给出，则计算空间曲线的长度（弧长）的公式为

l = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ z ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t \ .

(2)对于空间光滑曲线L，若线密度为 \rho ( x , y , z ) ，则计算重心(x，y，)的公式为

\overline { { x } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } x \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } , ~ \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } y \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } , ~ \overline { { z } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } z \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } .

注(1)在考研的范畴内，重心就是质心

（2）当密度p（x，y）或者 \rho ( x , y , z ) 为常数时，重心就成了形心

（3）形心公式的逆用

廣由 \overline { { x } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } x \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } 1 \mathrm { d } s } 寸 \int _ { L } x \mathrm { d } s = \overline { { x } } \cdot l 其中 l = \int _ { L } 1 \mathrm { d } s 为曲线L的长度；

紅由級 \begin{array} { r } { \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } y \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } 1 \mathrm { d } s } } \end{array} \int _ { L } y \mathrm { d } s = \overline { y } \cdot l 其中 l = \int _ { L } \mathrm { l d } s 为曲线L的长度；

\overline { { z } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } z \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } 1 \mathrm { d } s } \int _ { L } z \mathrm { d } s = \overline { { z } } \cdot \boldsymbol { l } 其中 l = \int _ { L } 1 \mathrm { d } s 为曲线L的长度

(3)对于光滑曲线L，线密度为 \rho ( x , y , z ) ，则计算该曲线对x轴、y轴、z轴和原点O的转动惯量I _ { x } , I _ { y } , I _ { z } 和 I _ { o } 公式分别为

I _ { x } = \int _ { L } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s , I _ { y } = \int _ { L } ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s ,

I _ { z } = \int _ { L } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s , I _ { o } = \int _ { L } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s .

例18.11 设C是曲线 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 ( x + y ) ，则 \oint _ { C } ( 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s =

分析将曲线中x与y对调，此时曲线不变，故可以考虑用轮换对称性解题.

解 应填 2 0 \sqrt { 2 } \pi

C是圆 ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 2 ，关于y=x对称，由轮换对称性知

\oint _ { C } x ^ { 2 } \mathrm { d } s = \oint _ { C } y ^ { 2 } \mathrm { d } s \ ,

故

\begin{array} { r l } & { \oint _ { c } ( 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s = \frac { 5 } { 2 } \oint _ { c } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s = 5 \oint _ { c } ( x + y ) \mathrm { d } s } \\ & { \qquad = 5 \frac { \overline { { x } } } { \pi } \bullet \underline { l _ { c } } + 5 \overline { { y } } \bullet l _ { c } = \underline { 1 0 l _ { c } } = 2 0 \sqrt { 2 } \pi \ . } \\ & { \qquad \ast \mathbb { S } \propto \frac { \pi \overline { { u } } } { 2 } \ddagger } \end{array}

第一型曲面积分

"从二重积分来，回到二重积兮去”

1 概念

7@分割 >②近似

设曲面Σ是光滑的，函数f(x，y，z)在Σ上有界，把Σ任意分成n个小块 \Delta S _ { i } ~ ( \ \Delta S _ { i } 同时也代表第i个小块曲面的面积)，设 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) 是 \Delta S _ { _ i } 上任意取定的一点，作乘积 f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta S _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n ) 并作和 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \widehat { f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) } \Delta S _ { i } .如果当各小块曲面的直径的最大值λ趋于零时，该和的极限总存在（与 \Delta S _ { i } →④取极限的分法及 ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) 的取法均无关)，则称此极限值为函数 f ( x , y , z ) 在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一型曲面积分，记作 \iiint _ { \mathcal { D } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S ，即

\int \displaylimits _ { \boldsymbol { \Sigma } } f ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) \mathrm { d } S = \operatorname* { l i m } _ { \boldsymbol { \lambda } \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta S _ { i } ,

其中 f ( x , y , z ) 称为被积函数，∑称为积分曲面.

注（1）第一型曲面积分的物理背景是以 f ( x , y , z ) 为面密度的空间物质曲面的质量.

（2）把二重积分和第一型曲面积分放在一起作个对比，如图18-11所示

图18-11

（3）第一型曲面积分是由二重积分变换来的

2 性质

以下均假设Σ为空间有限分片光滑曲面.

性质1(求空间曲面的面积） \iint _ { \Sigma } 1 \mathrm { d } S = S ，其中S为Σ的面积.

性质2（可积函数必有界）设 f ( x , y , z ) 在Σ上可积，则其在Σ上必有界．

性质3（积分的线性性质）设 k _ { 1 } , k _ { 2 } 为常数，则

\int _ { \bar { x } } \left[ k _ { 1 } f ( x , y , z ) \pm k _ { 2 } g ( x , y , z ) \right] \mathrm { d } S = k _ { 1 } \int _ { \bar { x } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S \pm k _ { 2 } \int _ { \bar { x } } g ( x , y , z ) \mathrm { d } S \ .

性质4(积分的可加性）设f(x，y，z)在Σ上可积，且 \varSigma _ { 1 } \cup \varSigma _ { 2 } = \varSigma , \varSigma _ { 1 } \cap \varSigma _ { 2 } = \emptyset ，则

\int _ { \bar { x } } \int f ( x , y , z ) \mathrm { d } S = \int _ { \bar { x } _ { 1 } } \int f ( x , y , z ) \mathrm { d } S + \int _ { \bar { x } _ { 2 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S ~ .

性质5（积分的保号性）设 f ( x , y , z ) , g ( x , y , z ) 在Σ上可积，且在Σ上 f ( x , y , z ) { \leqslant } g ( x , y , z ) 则有

\underset { \ b { \Sigma } } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S \leqslant \underset { \ b { \Sigma } } { \iint } g ( x , y , z ) \mathrm { d } S .

特殊地，有

\left| \underset { \ b { \Sigma } } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S \right| { \leqslant } \int \int _ { \ b { \Sigma } } \left| f ( x , y , z ) \vert \mathrm { d } S \right. .

性质6（第一型曲面积分的估值定理）设M，m分别是 f ( x , y , z ) 在Σ上的最大值和最小值，S为£的面积，则有

m S { \leqslant } \coprod _ { \Sigma } f ( x , y , z ) { \mathrm { d } } S { \leqslant } M S \ .

性质7（第一型曲面积分的中值定理）设 f ( x , y , z ) 在Σ上连续，S为Σ的面积，则在Σ上至少存在一点 ( \xi , \eta , \zeta ) ，使得

\underset { \boldsymbol { \Sigma } } { \iint } f ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) \mathrm { d } S = f ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \zeta } ) S .

③普通对称性与轮换对称性

分析方法与二重积分、三重积分和第一型曲线积分完全一样.

(1)普通对称性.

假设Σ关于 x O z 面对称，则

\iint f ( x , y , z ) \mathrm { d } S = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \underset { z _ { 1 } } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S , \quad f ( x , y , z ) = f ( x , - y , z ) , } \\ { \hfill z _ { 1 } } \\ { 0 , \quad } & { f ( x , y , z ) = - f ( x , - y , z ) , } \end{array} \right.

其中 \varSigma _ { 1 } 是Σ在 x O z 面右边的部分.

关于其他坐标面对称的情况与此类似.

\begin{array} { r } { i ^ { 2 } i ^ { 2 } \neq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } \Bigg [ \frac { \widehat { \Phi } \tilde { \mathbf { 0 } } ^ { i } \widehat { \mathbf { m } } ^ { i } \widehat { \mathbf { s } } ^ { j } } { 3 6 } \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ , } \\ { \qquad \vdots } \\ { \widehat { \mathbf { 0 } } \mathrm { d } S = \widehat { \mathbf { 0 } } ^ { i } \widehat { \mathbf { s } } ^ { j } \mathrm { d } s = \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x ~ . } \\ { \mathcal { D } \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } z \mathrm { d } x ~ . } \\ { \qquad \vdots } \\ { \mathcal { D } \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( x _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( x _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \end{array} \right. } \end{array}

(2)轮换对称性.

当 \scriptstyle { \mathcal { Z } } : \ z = z ( x , y ) 为单值函数时，若把x与y对调后，£不变，则 \iint f ( x , y , z ) \underset { \mathcal { X } } { \mathrm { d } } S = \iint f ( y , x , z ) \mathrm { d } S 这就是轮换对称性.

关于其他情况与此类似.

4 计算

因为第一型曲面积分就是由二重积分推广而来的，所以计算第一型曲面积分的基本方法就是将其化为二重积分.口诀为“一投二代三计算”

无论空间曲面Σ是由显式 z = z ( x , y ) 还是隐式 F ( x , y , z ) = 0 给出的，我们都需要做三件事（无逻辑上的先后顺序，哪件事情最有利于解题就先做哪件）.

①一投：将Σ投影到某一平面（比如xOy面)上，设投影区域为D（比如 D _ { x y } \ . ：

②二代：将 z = z ( x , y ) 或 F ( x , y , z ) = 0 代人 f ( x , y , z )

③三计算：计算 z _ { x } ^ { \prime } , z _ { y } ^ { \prime } ，则 \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y

这就把第一型曲面积分化成了二重积分（比如化成关于x，y的二重积分)，得到

\overbrace { \int _ { \begin{array} { c } { { \scriptstyle \{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c } { { \scriptstyle 1 } } \\ { { \scriptstyle \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle 2 } } \\ { { \scriptstyle \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle 1 } } \\ { { \scriptstyle \{ \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle 2 } } \end{array} \} } } \} } \} } } \end{array} } } } } } \{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c } { { \displaystyle \iint \boldsymbol { f } ( x , y , z ) \mathrm { d } S } } \\ { { \scriptstyle \{ \varnothing - \mathrm { i } \mathrm { d } \mathrm { } \mathrm { } \Lambda } } \end{array}  } } \\ { { \begin{array} { c } { { \scriptstyle = \displaystyle \displaystyle \{ \int \boldsymbol { f } [ x , y , z ( x , y ) ] \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x } \mathrm { d } y . } } \\ { { \scriptstyle  \begin{array} { c } { { \scriptstyle 0 } \\ { \mathrm { } } \end{array} \} } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array}  ^ { \{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c } { { \scriptstyle { \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle { \{ \begin{array} { c } { {  \begin{array} { c } { {  \Lambda } } { {  } {  \begin{array} { c } { {  } {  \begin{array} { c } {  } {  \begin{array} { c }  {  {  }       }  }  }  }  }  }  } }  } }  } } } } \\ { {  {      } }  } } \end{array}  } } \end{array}     \end{array}   \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array}

化成关于其他变量的二重积分与此类似.

注（1）这里有一点需要特别强调，将Σ投影到哪个平面上由你自己决定，但是Σ上的任何两点的投影点不能重合，换言之，假如要将Σ投向 x O y 面，则 z = z ( x , y ) 必须是单值函数，忘记了这一点，就可能算错结果.

如果将Σ投向某一平面，但是曲面投影后有重合点，且对称性不能使用时，则

①要么将£转投向另一个平面，使得曲面投影后无重合点；

②要么将£分成若干曲面 \Sigma _ { 1 } , \Sigma _ { 2 } , \cdots ，使得这些曲面各自投影后无重合点．

(2)曲面拆分方法（即求拆分曲线的方法）：若将Σ投向 x O y 面时有重合点，取曲面拆分曲线上一点 P ( x , y , z ) 记该点的切平面的法向量为n，则法向量n与z轴垂直，即法向量n与(0,0,1)垂直，即可得到拆分曲线的轨迹方程.

例18.12 求 \iint _ { \Sigma } z \mathrm { d } S ，其中Σ为柱面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } ( R > 0 ) 被x=0，y=0,z=0及z=1所截得的第一卦限部分，如图18-12所示.

分析投影点不可重合，故可向xOz面投（向左投）.

解 选择向xOz面投影，由曲面方程得

\begin{array} { r } { y = \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \ , \qquad \Rightarrow \qquad \mathscr { G } \notin y = y ( x , z ) \ \notin \breve { 4 } \breve { 3 } \notin \breve { y } } \\ { \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z \qquad } \end{array}

\begin{array} { r l } { \sqrt { 1 + \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } = \sqrt { \displaystyle \frac { R ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } & { { } = \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { - 2 x } { 2 \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \\ { \quad } & { { } = \frac { R } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z \ , } \end{array}

图18-12

故 \iint _ { \varSigma } z \mathrm { d } S = \iint _ { D _ { x } } \frac { R z } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z ，其中 D _ { x z } = \{ ( x , z ) | 0 { \leqslant } x { \leqslant } R , 0 { \leqslant } z { \leqslant } 1 \} ，即

\iint z \mathrm { d } S = R \int _ { 0 } ^ { R } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { z } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } z = \frac { \pi } { 4 } R ~ . ~ \int _ { 0 } ^ { R } \frac { 1 } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } z \mathrm { d } z = \arcsin \frac { x } { R } \bigg | _ { 0 } ^ { R } \cdot \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } \bigg | _ { \upsilon } ^ { 4 } = \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } = \frac { \pi } { 4 }

（1）由于在 x O y 面上的投影仅为一条曲线，若选择向xOy面投影，则投影区域的面积为0，于是 \iint _ { \Sigma } z \mathrm { d } S = 0 .这是错误的，因为投影点不能重合

（2)以下常考：可背一下！

①柱面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 } 的 \mathrm { d } S = \frac { a } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z 比如 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 \mathrm { d } S = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z

②球面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = a ^ { 2 } \mathrm { d } S = \frac { a } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y

③锥面 z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } 的 \mathrm { d } S = \sqrt { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y

例18.13 设Σ为椭球面 { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } + z ^ { 2 } = 1 的上半部分，点 P ( x , y , z ) \in { \mathcal { X } } ，π为Σ在点P处的切平面， \rho ( x , y , z ) 为点O(0,0,0)到平面π的距离，求 \iint _ { \Sigma } \frac { z } { \rho ( x , y , z ) } \mathrm { d } S

分析①求 \rho ( x , y , z ) ；②代入 \iint _ { z } \frac { z } { \rho } \mathrm { d } s

解 设(X，Y，Z)为π上任意一点，则π的方程为

\frac { x X } { 2 } + \frac { y Y } { 2 } + z Z = 1 \ ,

由第17讲的 ^ { * } \infty , 2 . ( 1 ) ^ { * } F ( x , y , z ) = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } - 1 则 F _ { x } ^ { \prime } = x , F _ { y } ^ { \prime } = y , F _ { z } ^ { \prime } = 2 z ，故π的法向量为 ( x , y , 2 z ) ，π的方程为 x ( X - x ) + y ( Y - y ) + 2 z ( Z - z ) = 0 ，又因为 P ( x , y , z ) \in { \mathcal { X } } 所 \cdot \cdot 3 \ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1 ，代入π的方程化简可得

\frac { x X } { 2 } + \frac { y Y } { 2 } + z Z = 1

从而知

由

\begin{array} { c c c } { \rho ( x , y , z ) = \displaystyle \frac { \left| 0 + 0 + 0 - 1 \right| } { \sqrt { \left( \displaystyle \frac { x } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { y } { 2 } \right) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } = \left( \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \\ { z = \sqrt { 1 - \left( \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } , } \end{array}

把z换了，得 \rho = \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }

有

\frac { \partial z } { \partial x } = \frac { - x } { 2 \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } , \frac { \partial z } { \partial y } = \frac { - y } { 2 \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } ,

于是

\begin{array} { r l } & { \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \sigma = \sqrt { 1 + \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } \mathrm { d } \sigma } \\ & { = \sqrt { \displaystyle \frac { 4 - 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } \mathrm { d } \sigma = \frac { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } { 2 \sqrt { 1 - \left( \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } \mathrm { d } \sigma , } \end{array}

所以

\iint _ { \Sigma } \frac { z \mathrm { d } S } { \rho ( x , y , z ) } = \frac { 1 } { 4 } \iint ( 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \sigma = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } ( 4 - r ^ { 2 } ) r \mathrm { d } r = \frac { 3 } { 2 } \pi ,

其中 D _ { x y } = \{ ( x , y ) \left| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 2 \right. \}

应用 三重积分：形心最重要，[第一型曲面积分：曲面面积最重要

(1)对于光滑曲面薄片Σ，若Σ由单值函数 z = z ( x , y ) 给出， D _ { x y } 为曲面Σ在 x O y 面上的投影区域，则其面积

A = \coprod _ { D _ { y } } \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y .

注同理，在同样保证单值函数的情况下，可向另外两个坐标面投影，得

A = \coprod _ { D _ { y } } \sqrt { 1 + ( x _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( x _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \ \mathrm { d } y \mathrm { d } z ,

其中 \mathcal { \Sigma } \colon x = x ( y , z ) , D _ { y z } 是曲面在yOz面上的投影区域；

A = \iint _ { D _ { x } } \sqrt { 1 + ( y _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ~ \mathrm d z \mathrm d x ,

其中： y = y ( x , z ) , D _ { x } 是曲面在 z O x 面上的投影区域，

事实上，曲面面积就是当第一型曲面积分的被积函数是1时，用投影法所得出的积分，请大家注意这个联系

(2)对于光滑曲面薄片Σ，若面密度为 \rho ( x , y , z ) ，则计算重心(x，y,z)的公式为

\frac { \displaystyle \iint x \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \overline { { x } } = \frac { \int \int x \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } } , ~ \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \iint y \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } , ~ \overline { { z } } = \frac { \displaystyle \iint z \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } .

注(1）在考研的范畴内，重心就是质心

（2）当密度 \rho ( x , y ) 或者 \rho ( x , y , z ) 为常数时，重心就成了形心

（3）形心公式的逆用

由 { \overline { { x } } } = { \frac { \displaystyle \iint _ { x } x \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint _ { x } 1 \mathrm { d } S } } \iint _ { \Sigma } \boldsymbol { x } \mathrm { d } \boldsymbol { S } = \overline { { \boldsymbol { x } } } \cdot \boldsymbol { A } A = \iint \limits _ { \Sigma } 1 \mathrm { d } S 为曲面Σ的面积；

紅由 \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \iint _ { \Sigma } y \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint _ { \Sigma } \mathrm { d } S } \iint _ { \Sigma } y \mathrm { d } S = \overline { { y } } \cdot A 其中 A = \iint \limits _ { 5 } ^ { 1 } \mathrm { d } S 为曲面Σ的面积；

由 { \overline { { z } } } = { \frac { \displaystyle \iint _ { z } z \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint _ { z } 1 \mathrm { d } S } } \iint _ { \Sigma } z \mathrm { d } S = \overline { { z } } \cdot A 其中 A = \int \limits _ { z } ^ { \infty } \iint 1 \mathrm { d } S 为曲面Σ的面积

(3)对于光滑曲面薄片Σ，若面密度为 \rho ( x , y , z ) ，则计算该薄片对x轴、y轴、z轴和原点O的转动惯量 I _ { x } , I _ { y } , I _ { z } 和 I _ { o } 的公式分别为

I _ { x } = \int _ { \frac { z } { z } } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S , I _ { y } = \int _ { \frac { z } { z } } ^ { } ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S ,

I _ { z } = \int _ { \frac { z } { z } } \int ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S , I _ { o } = \int _ { \frac { z } { z } } \int ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S .

例18.14 设薄片形物体Σ是圆锥面 z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } 被柱面 z ^ { 2 } = 2 x 截下的有限部分，其上任一点的密度为 \scriptstyle \mu ( x , y , z ) = 9 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } .记圆锥面与柱面的交线为C.

(1)求C在 x O y 平面上的投影曲线的方程；

(2)求Σ的质量M.

分析(1)联立锥面与柱面，得到交线C，将其投影到 x O y 面，也就是消去交线中的z，且让其与 x O y 面（即平面 { z = } 0 \ ) 联立.

(2)∑的质量 M = \underset { \Sigma } { \iint } \mathrm { d } m = \underset { \Sigma } { \iint } \mu \underset { \bigstar } { \iint } S 面密度

解 (1)如图18-13所示，圆锥面与柱面的交线C的方程为 \left\{ z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right. '消去z，得C在xOy平面

的投影柱面为 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x ，故所求投影曲线的方程为 \left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.

(2)因为Σ的点密度为 \scriptstyle \mu ( x , y , z ) = 9 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ，所以Σ的质量为

“代”曲面方程 z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \longleftrightarrow \longleftrightarrow \longleftrightarrow \longleftrightarrow \longleftrightarrow \zeta \int \mit 9 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \underline { { \mathrm { d } S \cdot \partial \sqrt { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ : , \ : \ : \mathcal { L } \rlap / { \bmod { 1 } } 1 8 . 1 2 } }

又Σ在xOy面上的投影区域为 D _ { x y } = \{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 2 x \} ，所以

图18-13

\begin{array} { r l } & { M = 9 \displaystyle \int _ { D _ { y } } \sqrt { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \sqrt { 1 + \left( \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { \qquad = 1 8 \displaystyle \iint _ { D _ { y } } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 1 8 \displaystyle \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r \star r \mathrm { d } r } \\ & { \qquad = 4 8 \displaystyle \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { 3 } \theta \mathrm { d } \theta = 9 6 \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { 3 } \theta \mathrm { d } \theta = 6 4 \ . } \end{array}

平面第二型曲线积分

变力沿曲线做功

在一个向量场—变力场中，设某质点在变力 F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j 作用下，沿着有向曲线L从起点A移动到终点B，总共做了多少功？（这个物理背景请大家熟记，考研中出现过基于这种背景的考题.)

设沿着有向曲线L在 M ( x , y ) 点移动了一个微位移\mathrm { d } s = \mathrm { d } x \pm \mathrm { d } y j ，将变力 F ( x , y ) 近似看作常力，则力在此微位移上的微功 \mathrm { d } W = F ( x , y ) \bullet \mathrm { d } s ，于是变力 F ( x , y ) 沿着有向曲线L从起点A移动到终点B所做的总功为

\begin{array} { l } { W = \displaystyle \int _ { L } \mathrm { d } W = \displaystyle \int _ { L } F ( x , y ) \cdot \mathrm { d } s = \displaystyle \int _ { L } ( P ( x , y ) , Q ( x , y ) ) \bullet ( \mathrm { d } x , \mathrm { d } y ) } \\ { \displaystyle \qquad F \widehat { \mathrm { \neq ~ d } } \mathrm { s \ } \frac { \mathrm { d } \phi \mathrm { \neq ~ } \phi \mathrm { \neq ~ } \phi } { \uparrow } \mathrm { \neq ~ } \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { d } x \mathrm { \ - \ } \mathrm { \ < \ } } } \\  \displaystyle = \displaystyle \int _ { L } \displaystyle \frac { \left[ P ( x , y ) \mathrm { d } x + \frac { Q ( x , y ) \mathrm { d } y } { \downarrow } \right] = \displaystyle \int _ { L } P \mathrm { d } x + \displaystyle \int _ { L } Q \mathrm { d } y , } \\ { \displaystyle \qquad \widehat { \mathrm { \neq ~ } \phi \mathrm { \neq ~ } \phi } \qquad \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { \neq ~ } \phi \mathrm { \ < \ } } \widehat { \mathrm { \neq ~ } } \phi } \\ { \displaystyle \qquad \mathrm { d } \widehat { \mathrm { \neq ~ } } \widehat { \mathrm { \neq ~ } } \frac { \phi \mathrm { d } \mathrm { \ \neq ~ } \phi } { \uparrow } \mathrm { \ < \ } } \end{array}

于是我们就引出了第二型曲线积分的概念.

2概念

第二型曲线积分的被积函数 F ( x , y ) { = } P ( x , y ) i { + } Q ( x , y ) j 定义在平面有向曲线L上，其物理背景是变力 F ( x , y ) 在平面曲线L上从起点移动到终点所做的总功：

\int _ { L } P ( x , y ) \mathrm { d } x + Q ( x , y ) \mathrm { d } y \ .

由此可以看出，前面所学的定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分有着完全一致的背景，都是一个数量函数在定义区域上计算几何量（面积、体积等)，但是第二型曲线积分与之不同，它是一个向量函数沿有向曲线的积分（无几何量可言).于是，有些性质和计算方法都不一样了，一定要加以对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了.

\int _ { L } F \mathrm { d } s

③性质

以下总假设厂为空间有限长分段光滑曲线.

性质1（积分的线性性质）设 k _ { 1 } , k _ { 2 } 为常数，则 \int _ { \cal T } \underline { { { \left( k _ { 1 } { \cal F } _ { 1 } \pm k _ { 2 } { \cal F } _ { 2 } \right) } } } \bullet \mathrm { d } s = k _ { 1 } \int _ { \cal T } { \cal F } _ { 1 } \bullet \mathrm { d } s \pm k _ { 2 } \int _ { \cal T } { \cal F } _ { 2 } \bullet \mathrm { d } s √
性质2（积分的有向性） \int _ { { \widehat { A B } } } { \boldsymbol { F } } \bullet \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } = - \int _ { { \widehat { B A } } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } 两个力的线性组合

性质3（积分的可加性）当 \widehat { A C } = \widehat { A B } + \widehat { B C } 时， \int _ { \widehat { A C } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } = \int _ { \widehat { A B } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } + \int _ { \widehat { B C } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } }

注第二型曲线积分的“对称性”

若L为从起点A到终点B的有向曲线，如图18-14(a)所示.由于L是有向曲线，故它并不关于y轴对称.如图18-14(a)中的点(x,y)处的ds与点(-x，y)处的ds并不对称.细致看来，将两处的ds作水平、垂直分解，就会发现，两处的dx同向，均为dxi；dy反向，分别为dyj与-dyj.此时，若有力\scriptstyle { F = x ^ { 2 } y j } 沿L做功，则两处的功的微元分别为 x ^ { 2 } y \mathrm { d } y \ { \overset { \underset { \cdot } { } } { } } \ - x ^ { 2 } y \mathrm { d } y ，加起来即为零，故 \int \limits _ { L } x ^ { 2 } y d y = 0 .这与数量积分（如第一型曲线积分）完全不同.因为若 f ( x , y ) = x ^ { 2 } y , L 是如图18-14(b)所示的关于y轴对称的曲线，则 \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s = \int _ { L } x ^ { 2 } y \mathrm { d } s = 2 \int _ { L _ { 1 } } x ^ { 2 } y \mathrm { d } s 究其原因，数量积分的对称性是基于几何背景的，而向量积分（第二型曲线、曲面积分）没有几何背景，它们是物理问题的数学表达，多了“方向”这个重要因素．所以严格来讲，第二型曲线、曲面积分没有几何上的对称性，而是“在物理概念的基础上，得出数学表达式并确定好方向后，在数量大小上看是否相等”.记住上面这段话，就可以很好地解决问题了.

图18-14

第一型曲线积分可讨论对称性

计算

(1)基本方法一化为定积分． (仅多了一个有向性) 不管α，β的大小关系，与第一型曲线积分不同

/ 要求 \alpha \leqslant t \leqslant \beta 如果平面有向曲线L由参数方程 \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} \right. ( t ; \ \alpha \to \stackrel { \prime } { \beta } ) 给出，其中t=α对应着起点A,t=β对应着终点B，则可以将平面第二型曲线积分化为定积分.如

\begin{array} { r l } { \int _ { L } P ( x , y ) \mathrm { d } x } & { { } } \\ { - \mathrm { i } \mathfrak { k } } & { { } = \overbrace { \int _ { \mathfrak { x } } \int _ { \mathfrak { x } } ( x \mathrm { d } \mathrm { \Delta } \cdot y ( t ) \mathrm { d } x ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } ^ { - \mathrm { i } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { a } } ) \mathrm { d } t , } \end{array}

这里的 \alpha , \beta 谁大谁小无关紧要，关键是分别与起点和终点对应.

如果L由方程 y = y ( x ) ( x \colon a \to b ) 给出，可以看作参数方程 \left\{ { \begin{array} { l } { x = x , } \\ { y = y ( x ) } \end{array} } \right. 于是有,

\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \int _ { L } P ( x , y ) { \mathrm { d } } x + Q ( x , y ) { \mathrm { d } } y } \\ & { = \displaystyle \iint _ { \left[ a \right] } ^ { a } \{ P [ x , y ( x ) ] + Q [ x , y ( x ) ] y ^ { \prime } ( x ) \} { \mathrm { d } } x } \\ & { \quad \quad > \mathcal { Z } _ { \texttt { N } } \neq . . . , \mathcal { Z } _ { \texttt { N } } \neq \mathcal { Z } \} } \end{array} .

注如果你理解了上面的注释，则也可这样处理：

\begin{array} { r l r } { \underset { a \neq b } { \iint } \underset { \mathrm { d } x \mathrm { d } b } {  } \mathcal { X } } & { \underset { b \neq c } { \iint } \underset { \mathrm { d } x \mathrm { d } a } { \iint } } & { \underset { c = \mathrm { d } x \mathrm { d } } { \iint } P [ x , y ) \mathrm { d } x } & \\ { \underset { \mathrm { d } x > 0 } { \iint } } & { \underset { c \neq b - \mathrm { d } x } { \underbrace { \mathrm { d } x \mathrm { d } } } } & { \underset { \mathrm { d } x \mathrm { d } } { \iint } \underset { \mathrm { m i n } \{ a , b \} } { \underbrace { - \mathrm { d } \mathcal { R } } } } & { \underset { \mathrm { d } x > 0 } { \underbrace { \mathrm { d } \mathcal { R } } } } \end{array}

其中，当 a < b 时，取+dx；当 a > b 时，取-dx.

★ 例18.15 设D是由曲线L： \left\{ \begin{array} { l } { x = \cos ^ { 3 } t , } \\ { y = \sin ^ { 3 } t } \end{array} \right. ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ) 与x轴所围平面有界闭区域在第一、二象限的部分，aD为其边界，取逆时针方向，计算 \oint _ { \partial D } \left| x \right| \mathrm { d } y + \big | \underline { { y } } \big | \mathrm { d } x \ . _ { \partial ^ { \cdot } } 水平力

分析从物理背景出发，在边界线上做功，分为3段进行处理，其中力

F = \lg \mathit { \Delta } _ { i } + \lg \mathit { \Delta } _ { i } \mathit { \Delta } _ { j }

有心无另有力无心

解 如图18-15所示，对于曲线 L _ { 1 } , L _ { 2 } ，在水平方向上,由于点(x，y)和点(-x,y)处的功的微元均为 \lvert y \rvert ( - \mathrm { d } x ) ，则y ( - \mathrm { d } x ) + y ( - \mathrm { d } x ) = - 2 y \mathrm { d } x ，在铅直方向上，功的微元分别为 \left| x \right| \mathrm { d } y 与| x | ( - \mathrm { d } y ) ，则 \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | x \big | ( - \mathrm { d } y ) = 0 .对于曲线 L _ { 3 } \colon y = 0 ,x从-1→1，于是 \int _ { L _ { 3 } } \left| x \right| \mathrm { d } y + \left| y \right| \mathrm { d } x = 0 .故

图18-15

\begin{array} { r l } & { \qquad \oint _ { \partial D } \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | y \big | \mathrm { d } x = \oint _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } + L _ { 3 } } \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | y \big | \mathrm { d } x = \int _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } } \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | y \big | \mathrm { d } x } \\ & { \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { \int _ { L _ { t + 2 } \geq y ^ { d } } \ast \mathrm { d } x ( - i ) } & { = \int _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } } \big | y \big | \mathrm { d } x = - \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 y \mathrm { d } x = - \int _ { \frac { 0 } { 2 } } ^ { 0 } 2 \sin ^ { 3 } t \mathrm { d } ( \cos ^ { 3 } t ) } & { \qquad \mathrm { d } L _ { 1 } , \big \scriptstyle { \Sigma } _ { 1 } \big | x \big | j \cdot \mathrm { d } y j = \big | x \big | \mathrm { d } y \ast 1 \big | , } \\ { = - \int _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } } y \mathrm { d } x } & { \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { = - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } y \mathrm { d } x } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 3 } t \ast 3 \cos ^ { 2 } t ( - \sin t ) \mathrm { d } t } &  \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  \end{array}

\begin{array} { l } { { \displaystyle = - 6 \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \sin ^ { 4 } t ( 1 - \sin ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle = - 6 \times \left( \frac 3 4 \times \frac 1 2 \times \frac { \pi } { 2 } - \frac { 5 } { 6 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 1 } { 2 } \times \frac { \pi } { 2 } \right) = - \frac 3 { 1 6 } \pi ~ . } } \end{array}

例18.16 在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族 y = a \sin x ( a > 0 ) 中，求一条曲线L，使沿该曲线从0到A的积分 \int _ { L } ( 1 + y ^ { 3 } ) \mathrm { d } x + ( 2 x + y ) \mathrm { d } y 的值最小. y=asinx

分析先将a当作常数代入积分中，利用参数法，令 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l } { x = x , } \\ { y = a \sin x , } \end{array} \right. } 再将a当作变量，利用导数为零求得a. 0 A

解

\begin{array}{c} \begin{array} { l } { { \left. \begin{array} { l } { { - \infty \displaystyle \sum } } \\ { { \begin{array} { r } { { \mathcal { I } } \left( a \right) = \displaystyle \sum _ { 0 } ^ { \pi } [ 1 + \underline { { { a } } } ^ { 3 } \sin ^ { 3 } x + ( 2 x + \underline { { { a } } } \sin x ) a \cos x ] \underline { { \array} { \cos } } \scriptscriptstyle { \mathrm { ( } } \underline { { { \mathcal { I } } \equiv { \dot { I } } \mathrm { ( } } } + \underline { { { \mathcal { H } } } } + \underline { { { \mathcal { H } } } } ) } \\ { { \left. \begin{array} { r } { { \mathrm { ( } } a \mathrm { ) } \end{array} } \right]} \\ { { \mathrm { ( } } a \mathrm { ) } \end{array} } } \end{array}  } \stackrel { \mathrm { d } y = a \cos x \mathrm { d } x } { \mathop { \longrightarrow } } = \pi - 4 a + \frac { 4 } { 3 } a ^ { 3 } \ . } \right.} \end{array}  }  \end{array}

{ \cal I } ^ { \prime } ( a ) = 4 ( a ^ { 2 } - 1 ) = 0 ，得 a = 1 ( a = - 1 舍去)，且a=1是I(a)在(0,+∞)内的唯一驻点.

又因为 I ^ { \prime \prime } ( 1 ) = 8 > 0 ，所以I(a)在a=1处取到最小值.因此所求曲线是

验证

\circ _ { | \vec { \mathbb { E } } } - \not \delta \not \to \emptyset , | \ast \langle \not \gets \sum _ { y = \sin x ( 0 \leqslant x \leqslant \pi ) } .

注本题是一道小的综合题，主要考查平面第二型曲线积分的基本方法（化为定积分）及一元函数的最值.

总结）从近几年考查的题型来看，例18.15这种类型的题目比较容易出解答题，且具有一定区分度；例18.16这类综合题反而不是很难，更可能出选择题.

第二型曲线积分 (边界)★★★(2)格林公式.→→化为→二重积兮（內部）

\begin{array} { r l } & { { \ddag \hslash } { \mathit { \ddot { z } } } { \mathit { \ddot { t } } } { \hat { \mathbf { z } } } { \hat { \mathbf { z } } } { \hat { \mathbf { z } } } \times : { \mathit { \dot { \phi } } } _ { : } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \ddot { \phi } } } _ { : } { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \ddot { z } } } \left[ { \mathit { \phi } } _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( x ) \right| _ { a } ^ { b } , { \mathit { \Psi } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathrm { - } } { \mathit { \Phi } } { \mathit { \ddot { z } } } } \\ & { | { \widehat { \mathbf { z } } } | { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \hat { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \hat { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } | { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } } \end{array}

设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成， P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在D上具有一阶连续偏导数，L取正向，则 ①曲线封闭 ?③

\begin{array} { r l } & { \underbrace { \overset { 3 \ll 4 . 8 \div 4 . 4 } { \overbrace { \oint _ { L } } } P ( x , y ) \mathrm { d } x } _ { \overset { \mathrm { f } ^ { * } } { \overbrace { \oint _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } + \underbrace { Q ( x , y ) \mathrm { d } y } _ { \overset { \mathrm { f } ^ { * } } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } = \overset { \overset { , } { \overbrace { \int _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } \frac { \partial } { \partial _ { \mathcal { H } } } } \mathrm { d } \mathcal { \bar { P } } } } } { \overbrace { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma } . } \\ &  \underbrace { \overset { 1 \ll 4 . 8 \ll 4 . 4 } { \overbrace { \int _ { \mathcal { H } } \frac { * } { \partial _ { \mathcal { H } } } \mathrm { d } \mathcal { H } } \underset { \mathrm { f } ^ { * } \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } \frac { \partial } { \partial _ { \mathcal { H } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } } } _ { \overset { \mathrm { f ^ { * } } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } \frac { \partial } { \partial _ { \mathcal { H } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } } } \end{array}

伟大的数学家格林花了七天七夜闭关修炼，创立了格林公式，他出关的时候他的朋友挖苦他：你这个书呆子，七天七夜不和人讲话，你怎么耐得住寂寞？格林轻轻回了一句：我根本没有寂寞，何来寂寞可耐？

这个故事送给各位考研的同学，考研需要闭关修炼，闭关修炼的时候你怎么耐得住寂寞？以伟大酌数学家格林为榜样——我没有寂寞，何来寂寞可耐！

注 所谓L取正向，是指当一个人沿着L的这个方向前进时，左手始终在L所围成的区域D内，如图18-16所示.试想一下：假如你在学校的环形操场上跑步，你的左手始终在草坪中，说明你跑的方向是正向

图18-16

①曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式.

》没有破坏一阶偏导连续这一条件的点

若给的是封闭曲线的曲线积分 \oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ，可以验算P和Q是否满足“在该封闭曲线所包围的?区域D内，P和Q具有一阶连续偏导数”，若满足，则可用格林公式

\oint _ { L } \boldsymbol { P } \mathrm { d } x + \boldsymbol { Q } \mathrm { d } y = \iint _ { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma

计算．这里要求L为D的边界，且正向

边界 反方向例18.17 设质点在力 F = \boxed { - x ^ { 2 } y } i + \boxed { \frac { x y ^ { 2 } } { Q } } . j作用下沿圆周 \ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 1 的顺时针方向运动一周，则F所做的功W=

分析 求做功即计算第二型曲线积分，恰好此题也满足格林公式的三个条件，故直接利用格林公式解题即可. 此处不能代 \scriptstyle \bigwedge _ { } ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ，你代入了吗？如果代

解 应填 - { \frac { 1 } { 2 } } \pi

.了，立即推：复习到两点！

设曲线 C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 围成的区域为D，则

顺时针做功，添负号即可

W = \oint _ { C } ( - x ^ { 2 } y ) \mathrm { d } x + x y ^ { 2 } \mathrm { d } y = - \iint _ { D } \left( y ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 3 } \mathrm { d } r = - \frac { \pi } { 2 } \ .

②非封闭曲线且 \frac { \partial Q } { \partial x } \neq \frac { \partial P } { \partial y } ，可补线使其封闭（加线减线）.

如果不是封闭曲线的曲线积分，可以考虑补一条线 C _ { B A } ，使 L _ { A B } + C _ { B A } 构成一封闭曲线，并且使其包围的区域为一单连通区域D，在D上P(x，y)和Q(x，y)具有一阶连续偏导数，则有

\begin{array} { r l } & { \displaystyle \int _ { L _ { A B } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = \int _ { L _ { A B } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y + \int _ { C _ { A A } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y - \int _ { C _ { B A } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \mathrm { d } \vec { \mathrm { e } } \llangle \vec { x } , } \\ & { \qquad = \pm \displaystyle \iint _ { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma + \int _ { C _ { A B } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y \ , } \end{array}

其中 L = L _ { _ { A B } } + C _ { _ { B A } } ，公式中的“±”号由L的方向而定.若L为正向则取正号，若L为负向则取负号． C _ { A B } 为 C _ { B A } 的反向弧.如果上式右边的二重积分和 \int _ { { \cal { C } } _ { A B } } 容易计算的话，那么就可利用上述转换方法计算原积分 \int _ { L _ { A B } }

例18.18 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x 到点(2,0)，再沿圆周 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分 I = \int _ { L } 3 x ^ { 2 } y \mathrm { d } x + ( x ^ { 3 } + x - 2 y ) \mathrm { d } y

解 如图18-17所示，取有向线段 L _ { \mathrm { r } } 的方程为x=0，起点(0,2)，终点(0,0).由L与 L _ { \eta } 围成的平面区域记为D，于是有

\begin{array} { r l } {  { I = \displaystyle \int _ { L } 3 x ^ { 2 } y \mathrm { d } x + ( x ^ { 3 } + x - 2 y ) \mathrm { d } y } } \\ { \quad } \\ { \quad } \\ { \quad \overset { \mathrm { \scriptsize { + } } } { \underset { { \mathrm { \neq } } 1 } { \mathrm {  } } 1 } \overset [ \mathbb { M } ] { \underset { { \mathrm { \neq } } 1 } { \mathrm { \cdots } } } } \end{array}

根据格林公式，得

补的线一般为规则曲线

又

图18-17

所以

恒等—→无旋场，做功与路径无关

③曲线封闭但有奇点在其内部，且除奇点外 \cdot \left| \frac { \partial Q } { \partial x } \equiv \frac { \partial P } { \partial y } \right| ，则换路径（一般令分母等于常数作为路径，\frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } 为二维平面上的旋度 (最大的旋转度量)路径的起点和终点无须与原路径重合.)

若给的是封闭曲线的曲线积分 \oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q dy，满足条件“在D内除了奇点外，P和Q具有一阶连续偏导数，并且除奇点外，均有 \frac { \partial Q } { \partial x } \equiv \frac { \partial P } { \partial y } , ，则可以换一条封闭曲线 L _ { \tau } 代替L，它全在D内，并能将奇点包含在 L _ { \eta } 的内部.则有公式

\oint _ { L } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y \frac { \left( * \right) } { \mathrm { d } z } \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y \ .

这里要求 L _ { \eta } 与L的方向相同.如果后者容易计算，就可达到目的.

注（*）处得来过程如图18-18所示，若L所围区域D内有奇点Q，则用 L _ { \tau } “挖去”它，并记挖去奇点后的阴影区域为D'，于是 负负得正

\begin{array} { r l } & { \oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = \oint _ { L + L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y - \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y } \\ & { = \iint _ { \frac { L } { L ^ { \prime } } } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma + \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ~ \stackrel { \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { ~ } \mathcal { R } } { = } ~ L _ { 1 } ~ \pm \sharp \mathrm { d } x ~ \mathcal { H } _ { 1 } ~ \xrightarrow { \mathrm { d } \mathrm { ~ } \mathcal { H } } ~ \mp } \\ & { = \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ~ . } \end{array}

例18.19 计算曲线积分 I = \oint _ { L } \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y ，其中L是 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 ，方向为逆时针方向.

分析分母 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } 在(0,0)处为零，即在积分区域内有奇点，影响一阶偏导数连续这一条件，因此不可用格林公式.

解 经计算有

\frac { \partial } { \partial x } \ ( \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ) = \frac { y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } - 8 x y } { ( 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { \partial } { \partial y } \ ( \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ) , \frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y } ( \ast / \overrightarrow { z k } / \overrightarrow { s k } / 0 )

但是这里不能用格林公式，因为在L围成的区域内点O(0,0)处，P,Q均不连续，故在该区域内作一曲线 L _ { 1 } \colon 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \varepsilon ^ { 2 } ( \varepsilon > 0 ) ，取逆时针方向，从而

\begin{array} { r l } & { \quad \oint _ { \mathbb { L } } \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y } \\ & { = \oint _ { \mathbb { L } _ { 1 } } \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \oint _ { \mathbb { L } _ { 1 } } ( 4 x - y ) \mathrm { d } x + ( x + y ) \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \iint 2 \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \pi , } \end{array}

其中 D _ { 1 } 为 L _ { \parallel } 围成的区域.

(3)平面曲线积分与路径无关．一→与格林公式联系紧密 ( \stackrel { } { \varepsilon } \frac { \partial Q } { \partial x } \equiv \frac { \partial P } { \partial y } ，则平面①概念. 旋度为0，也即曲线积分与路径无关）

设G是一个区域，P(x，y)以及Q(x，y)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A,B以及G内从点A到点B的任意两条曲线 L _ { \tau } L _ { 2 } （见图18-19），等式

\int _ { L _ { 1 } } { P } \mathrm { d } x + \boldsymbol { Q } \mathrm { d } y = \int _ { L _ { 2 } } { P } \mathrm { d } x + \boldsymbol { Q } \mathrm { d } y

图18-19

恒成立，就说曲线积分 \int _ { L } { P \mathrm { d } x } + \mathcal { Q } \mathrm { d } y 在G内与路径无关，否则便说与路径有关．

在以上叙述中注意到，如果曲线积分与路径无关，那么

\int _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y = \int _ { L _ { 2 } } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y \ .

因为

\int _ { L _ { 2 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = \stackrel { \sqrt { } } { - } \int _ { L _ { 2 } ^ { - } } ^ { \infty } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ,

所以

从而

\int _ { { \cal { L } } _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y + \int _ { { \cal { L } } _ { 2 } ^ { - } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = 0 \Longrightarrow \overbrace { \int _ { { \cal { L } } _ { 1 } } ^ { \overline { { { \cal { L } } } } } { \cal { L } } _ { 1 } } ^ { \bar { \cal { L } } _ { 2 } ^ { - } } G

\oint _ { { L _ { 1 } } + { L _ { 2 } } } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y = 0 \longrightarrow \underset { \underset { \left\{ \vphantom { \int _ { { L } } } } } { \ii\right\nt } } { \left\{ \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right\} \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0 } 

这里 L _ { 1 } + L _ { 2 } ^ { - } 是一条有向闭曲线.因此，在区域G内由曲线积分与路径无关可推得在G内沿闭曲线的曲线积分为零.反过来，如果在区域G内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可推得在G内曲线积分与路径无关.由此得出结论：曲线积分 \int _ { L } { P \mathrm { d } x } + { Q } \mathrm { d } y 在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分

\oint _ { c } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = 0 .

②条件.

设 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在单连通区域G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 \int _ { L } { P \mathrm { d } x } + { Q } \mathrm { d } y 在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是在G内处处有

（或在G内存在函数 u ( x , y ) ，使 \begin{array} { r } { \frac { \displaystyle \hat { \frac { \partial P } { \partial y } } = \frac { \hat { \partial Q } } { \partial x } ~ . } { \mathrm { d } u } = \frac { \displaystyle \hat { \widetilde { \partial u } } } { \displaystyle \frac { | \partial u | } { \partial x } \mathrm { d } x } \mathrm { d } x + \frac { \displaystyle \vert \widehat { \partial u } | } { \displaystyle \frac { | \partial y } { \partial y } \mathrm { d } y } \frac { P ~ . ~ Q - \frac { | \vec { y } | } { \partial z } \mathrm { d } \frac { \partial } { \partial z } \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } u } { \displaystyle \frac { | \vec { y } - \vec { y } | } { \partial x } \mathrm { d } y } \mathrm { d } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x } } \\ { \frac { \mathrm { d } u = P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ~ . ~ ) } { \displaystyle \longrightarrow ~ \int _ { P } ~ \int _ { Q } ~ } \frac { \mathrm { d } } { \partial y } ~ \frac { \partial } { \partial x } } \end{array}

注（1)设D为平面区域，若D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包含点“洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（包含点“洞”）的区域.例如，平面上的圆形区域 \{ ( x , y ) x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 1 \} ，上半平面 \left\{ ( x , y ) \middle | y > 0 \right\} 都是单连通区域，圆环形区域 \left\{ ( x , y ) \vert 1 < x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 4 \right\} \left\{ ( x , y ) \left| 0 < x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 2 \right. \right\} 都是会出现“点调”复连通区域

（2）平面曲线积分与路径无关

D是单连通区域，且P，Q具有一阶连续偏导数，则以下6个命题等价．

① \underbrace { \partial Q } _ { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y } （旋度为零的等式）在D内处处成立；绝大多数的题都用它

②沿D内任意分段光滑闭曲线L都有 \oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = 0

③ \int _ { L _ { 1 } } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y = \int _ { L _ { 2 } } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y （积分与路径无关）；

④ \mathrm { d } u = P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y \ ( P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y 为某二元函数u（x，y）的全微分）；

③Pdx+Qdy=0是全微分方程；

⑥(P，Q)是某二元函数u的梯度.

③计算.

a.按折线 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x , y _ { 0 } ) ( x , y ) [见图18-20(a)]或按折线 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } , y ) ( x , y ) [见图18-20(b)]计算u.计算公式分别为

\int _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { ( x , y ) } \mathrm { d } u = \int _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { ( x , y ) } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y

u ( x , y ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } P ( x , y _ { 0 } ) \mathrm { d } x + \int _ { y _ { 0 } } ^ { y } Q ( x , y ) \mathrm { d } y

或

u ( x , y ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } P ( x , y ) \mathrm { d } x + \int _ { y _ { 0 } } ^ { y } Q ( x _ { 0 } , y ) \mathrm { d } y .

(a)

图18-20

这里要求折线的路径应在D内.以上公式得出的u(x，y)再加任意常数C就得到了所有原函数.b.按折线或用u（终点）-u（起点)计算积分 \int P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y

比如： u ( 1 , 1 ) - u ( 0 , 0 ) = \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y

例18.20 若曲线积分 \int _ { L } { \frac { x \mathrm { d } x - a y \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } } 在区域 D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 1 \right\} 内与路径无关，则a

分析 D为单连通区域，且P，Q一阶偏导连续，则在D内曲线积分与路径无关 \Leftrightarrow \frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y } \Rightarrow 解出参数a.
解 应填-1.

由题设知

P = \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } , Q = \frac { - a y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } ,

则

{ \frac { \partial P } { \partial y } } = { \frac { - 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } , { \frac { \partial Q } { \partial x } } = { \frac { 2 a x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } ~ .

由在D内曲线积分与路径无关知

\frac { \partial { Q } } { \partial x } = \frac { \partial { P } } { \partial y } ,

解得 a = - 1

例18.21 设曲线积分 \int _ { C } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y 与路径无关，其中 \varphi ( x ) 具有连续的导数，且 \varphi ( 0 ) = 0 计算 \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y 的值.

分析由曲线积分与路径无关 \Leftrightarrow \frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y } ，求出 \varphi ( x )

解 由 P ( x , y ) = x y ^ { 2 } , Q ( x , y ) = y \varphi ( x ) , \frac { \partial P } { \partial y } = \frac { \partial Q } { \partial x } ，得

2 x y = y \varphi ^ { \prime } ( x ) , \varphi ( x ) = x ^ { 2 } + C ~ .

再由 \varphi ( 0 ) = 0 ，得C=0，故 \varphi ( x ) = x ^ { 2 } ，所以

\int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y = \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + x ^ { 2 } y \mathrm { d } y ~ .

方法一沿直线 y = x 从点(0,0)到点(1,1)积分，得

\int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ^ { 3 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \ .

方法二利用折线法求积分.

\begin{array} { l } { \displaystyle { \left. \overrightarrow { \mathcal { A } } _ { 1 } ^ { \ast } \overrightarrow { \mathcal { Z } } _ { \ast } ^ { \ast } \right. } = \displaystyle { \int _ { L _ { 1 } } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x } + x ^ { 2 } y \mathrm { d } y + \displaystyle { \int _ { L _ { 2 } } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x } + x ^ { 2 } y \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle { } } \\ { = 0 + \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } x \mathrm { d } x } } \\ { \displaystyle { } } \\ { = \frac { 1 } { 2 } ~ . } \end{array}

方法三利用凑微分找全微分.

\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int } _ { c } ^ { \overline { { { \bf { j } } } } } \overrightarrow { { \bf { \vec { x } } } ^ { \prime } } = \int _ { c } ^ { } \overrightarrow { { \bf { \nabla } } \lambda \gamma ^ { 2 } } { \bf { \vec { d } } } { \bf { \vec { x } } } + \overrightarrow { y \cdot { \bf { \vec { x } } } ^ { \prime } { \bf { \vec { d } } } { \bf { \vec { y } } } } } } \\ { { \displaystyle { \ \ } } } \\ { { \displaystyle { \ \ } = \int _ { c } y ^ { 2 } { \bf { \vec { d } } } \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) + x ^ { 2 } { \bf { d } } \left( \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right) \longrightarrow u { \bf { d } } { \bf { \vec { \nu } } } + { \bf { \vec { \nu } } } { \bf { d } } u = { \bf { d } } \left( u v \right) } } \\ { { \displaystyle { \ \ } } } \\ { { \displaystyle { \ \mathrm { \Gamma } = \int _ { c } { \bf { d } } \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } \right) } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } \Bigg \vert _ { { \bf { \vec { \nu } } } = { \bf { 0 } } } ^ { \left( 1 , 1 \right) } = \frac { 1 } { 2 } \ . } } \end{array}

五第二型曲面积分

思考：第二型曲面积分和谁一脉相承呢？答：与第二型曲线积分一脉相承.

向量场的通量 （第二型曲面积分的背景）

简单回顾一下向量场的概念.如果Ω上的每一点M(x，y,z)都对应着一个向量F，则在Ω上就确定了一个向量函数 F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ，它表示一个向量场．

在一个向量场（比如电场、磁场或者某种不可压缩流体的速度场）中，Σ为该场中的某一有向分片光滑曲面，并指定了曲面的外侧，则向量函数 F ( x , y , z ) 通过曲面Σ的通量（比如电场中的电通量，磁场中的磁通量，或者某流体的流量）为

在一点处切平面的法向量，若该点可徽，它的方向就是指向曲面在这点处变化率最快的方向

面徽分向量：
大小和我们前面讲的第一型曲面积分的大小是一个概念

\iint _ { \varSigma } F \cdot \mathrm { d } S = \iint _ { \varSigma } F \cdot n ^ { \circ } \mathrm { d } S ,

其中 \pmb { n } ^ { \circ } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ) 是有向曲面Σ在指定侧的单位法向量，且由 \mathrm { d } S = ( \mathrm { d } y \mathrm { d } z , \ \mathrm { d } z \mathrm { d } x , \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) ，得

\iint F \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } = \iint _ { z } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ .

于是就引出了第二型曲面积分的概念.

2概念

第二型曲面积分的被积函数 F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k 定义在光滑的空间有向曲面Σ上，其物理背景是向量函数 F ( x , y , z ) 通过曲面Σ的通量：

\int \limits _ { \Sigma } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ .

由此可以看出，第二型曲面积分是一个向量函数通过某有向曲面的通量(无几何量可言).要加强和前面所学积分的横向对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了.

③性质 与第二型曲线积分是一样的

以下总假设Σ是有向分片光滑曲面.

线性性质，这个本身是点积性质里的，当然成立了：

性质1（积分的线性性质）设 k _ { 1 } , k _ { 2 } 为常数，则 \iint _ { \Sigma } \left( k _ { 1 } \boldsymbol { F } _ { 1 } \pm k _ { 2 } \boldsymbol { F } _ { 2 } \right) \bullet \mathrm { d } \boldsymbol { S } = k _ { 1 } \underset { \Sigma } { \iint } \boldsymbol { F } _ { 1 } \bullet \mathrm { d } \boldsymbol { S } \pm k _ { 2 } \underset { \Sigma } { \iint } \boldsymbol { F } _ { 2 } \bullet \mathrm { d } \boldsymbol { S }

性质2（积分的方向性） \iint _ { \Sigma ^ { - } } \boldsymbol { F } \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } = - \iint _ { \Sigma ^ { + } } \boldsymbol { F } \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } ，其中Σ为 \Sigma ^ { + } 的另一侧.

性质3（积分的可加性）当 \varSigma _ { 1 } \cup \varSigma _ { 2 } = \varSigma , \varSigma _ { 1 } \cap \varSigma _ { 2 } = \emptyset 时， \iint _ { \varSigma } F \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } = \iint _ { \varSigma _ { 1 } } F \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } + \iint F \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S }

大曲面：分成两块，等于流过这两块曲面通量之和.

注第二型曲面积分的“对称性”（与第二型曲线积分类似，第二型曲面积分是没有几何上的对称性的，要说对称性，只是在计算出数量后，有一个形式上的抵消或者两倍，仅此而已.)

曲面是关于 x O z 面对称的有向曲面，设函数 Q ( x , y , z ) = x y ^ { 2 } z （关于y的偶函数），则有

\int \limits _ { 5 } ^ { \infty } \int \limits _ { 0 } ^ { \infty } ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x = \int \int x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x = 0 \ .

以下从两个角度解释上述结果：

①如图18-21所示，对称的两处dS的法向量在j方向上的投影方向相反，故 Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x = x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x , Q ( x , - y , z ) ( - \mathrm { d } z \mathrm { d } x ) = - x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x 于是 \iint _ { \Sigma } x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x = 0

②从通量的角度来理解，一般规定，流入为负通量，流出为正通量.如图18-22所示，从A流入，从B流出，通量为0，故积分为0.

图18-21

图18-22

4计算

(1)基本方法—化为二重积分. \iiint _ { \Sigma } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S ，其中 \mathrm { d } S = \varsqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \biggl ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \frac { 1 } { \cos { \gamma } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ①拆成三个积分(如果有的话)，一个一个做：

\iint _ { \Sigma } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y

= \int _ { \stackrel { z } { z } } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + \int _ { \stackrel { z } { z } } Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + \int _ { \stackrel { z } { z } } P ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ .

②分别投影到相应的坐标面上.

例如，对于 \iiint _ { \Sigma } R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ，将曲面Σ投影到 x O y 平面上去.

a.若Σ在 x O y 平面上的投影为一条线，即Σ垂直于xOy平面，则此积分为零.

注(1)对于第一型曲面积分而言，投影时并不允许随便选择投影方向，要确保 z = z ( x , y ) 写得出来才行，如果写不出函数，说明此时的投影方向是错的.

(2)在第二型曲面积分中，dydz，dzdx，dxdy这三个不能想换什么换什么，一旦要转换投影，要先经过计算，确保能转化为dxdy，才能往xOy面投影.类似地，如果是转化为dzdx，只能往xOz面投影，如果是转化为dydz，就只能往 y O z 面投影

对于图示的无底无顶铁圆柱桶，若求其质量。用到的是第一型曲面积分，泣意，计算时不能往xOy面投影（因为x，y取定值时，对应无数多个z，z=z（x，y）是多值函数），只能往yOz面（前，后）或xOz面（左，右）投影.在往yOz面或xOz面投影时，还要把柱面切成两部分（若不切，也是多值函数）分别去求第一型曲面积分，然后把两个积分相加

对于圆柱面Σ，有 \iint _ { \Sigma } R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint _ { \Sigma } R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0 线上的二重积兮当然是零

b.若不是 \because a ^ { \dag } 的情形，且Σ上存在两点，它们在 x O y 平面上的投影点重合，则应将Σ剖分成若干个曲面片，使对于每一曲面片上的点投影到 x O y 平面上的投影点不重合.

c.假设已如 \ " \mathbf { b } \ " 剖分好了，不妨将剖分之后的曲面片仍记为Σ.此时将Σ的方程写成 z = z ( x , y ) 的形式（只有投影到 x O y 平面上的投影点不重合时，∑的方程才能写成 z = z ( x , y ) 的形式).

③一投二代三计算.

a.一投：确定出Σ在xOy平面上的投影域 D _ { y }

b.二代：将 z = z ( x , y ) 代人 R ( x , y , z )

c.三计算：将dxdy写成±dxdy.其中 " \pm " 号选取方式如下.

类比第二型曲线积分：
JL:a→b Pdx
a<b=+dx
a>b=-dx

当当 \cos \gamma > 0 ，即Σ的法向量与z轴交角为锐角，亦即当Σ的指定侧为上侧时，取“+”；\cos \gamma < 0 ，即Σ的法向量与z轴交角为钝角，亦即当Σ的指定侧为下侧时，取“-”于是便得

考研数学基础30讲·高等数学分册

注必须注意，上式等号左边是第二型曲面积分， \iint _ { \Sigma } 表明了这件事，其中dxdy为有向曲面微元在 x O y 平面上的投影分量；等式右边是xOy平面上的二重积分， \iint _ { \mathcal { D } _ { \it 3 7 } } 表明了这件事，其中dxdy为二重积分的面积微元，R中的z已用Σ的方程 \boldsymbol { z } = \boldsymbol { z } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) 代入了，它是x，y的函数.两个dxdy虽然写法样，但其意义不一样

其他两个第二型曲面积分的计算与此类似，请考生参照“②，③”两条自行写出。

④计算已转化成的二重积分.

例18.22 设直线L过点A(-1,0,1)与B(0,0,O)，L绕z轴旋转一周得曲面 \varSigma _ { 0 } ，计算I = \oiint _ { \Sigma } \frac { \mathrm { e } ^ { z } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ，其中Σ是由 \scriptstyle { \mathcal { Z } } _ { 0 } , z = 1 , z = 2 所围有界闭区域的边界曲面，取外侧.就是铅直方向的流量

分析先写出曲面 \scriptstyle { \mathcal { L } } _ { 0 } ，然后选面求积分，之后加起来即可.

\left\{ \begin{array} { l l } { x = - 1 + t } \\ { y = 0 , } \\ { z = 1 - t , } \end{array} \right. ， \left\{ { x = - z \atop y = 0 } \right. 解 L的方程为 { \frac { x + 1 } { 1 } } = { \frac { y } { 0 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } } ，可得其参数方程为 即

由第17讲“三、 2 . ( 4 ) ^ { " } 中的注，有 \varSigma _ { 0 } 的方程为 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z ^ { 2 } + 0 = z ^ { 2 }

如图18-23所示，记 \begin{array} { r } { \Sigma = \Sigma _ { 1 } + \Sigma _ { 2 } + \Sigma _ { 3 } } \end{array} ，其中 \Sigma _ { 1 } : z = 1 , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \ ; \quad \Sigma _ { 2 } : z = 2 , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 \scriptstyle \sum _ { 3 } \colon z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , 1 \leqslant z \leqslant 2 .则

I = \oiint _ { \Sigma } = \iint _ { \Sigma _ { 1 } } + \iint _ { \Sigma _ { 2 } } + \iint _ { \Sigma _ { 3 } } ,

\iint _ { \Sigma _ { 1 } } = - \iint _ { { D _ { 1 } } } \frac { { \mathrm { e } } ^ { 1 } } { \sqrt { { x } ^ { 2 } + { y } ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y = - { \mathrm { e } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \mathrm { d } } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { r } \cdot r { \mathrm { d } } r = - 2 \pi { \mathrm { e } } \ ,

\int \int _ { \Sigma _ { 2 } } = \int \int \frac { \mathrm { e } ^ { 2 } } { D _ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y = \mathrm { e } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \mathrm { d } } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { r } \cdot r { \mathrm { d } } r = 4 \pi \mathrm { e } ^ { 2 } \ ,

\iint _ { \Sigma _ { 3 } } = - \iint _ { D _ { 3 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \mathrm { e } ^ { r } } { r } \bullet r \mathrm { d } r = - 2 \pi ( \mathrm { e } ^ { 2 } - \mathrm { e } ) \ ,

图18-23

其中 D _ { 1 } = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \} , D _ { 2 } = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 \} , D _ { 3 } = \{ ( x , y ) | 1 \leqslant x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 \} .故

I = - 2 \pi \mathrm { e } + 4 \pi \mathrm { e } ^ { 2 } - 2 \pi ( \mathrm { e } ^ { 2 } - \mathrm { e } ) = 2 \pi \mathrm { e } ^ { 2 } \ .

(2)转换投影法.

①转换投影法中有向曲面正向单位法向量的求法.

设£ : z = z ( x , y ) ，其中z有一阶连续偏导数，则

{ \pmb { n } } = ^ { \ast } \pm ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \displaystyle \frac { \partial z } { \partial x } , - \displaystyle \frac { \partial z } { \partial y } , 1 \right) ,

当上侧为正时，取 " + " ；下侧为正时，取 ^ { * } - { } ^ { p } .（上正下负）

注同理，设 \Sigma : y = y ( x , z ) ，其中y有一阶连续偏导数，则

{ \pmb { n } } = ^ { \alpha } \pm ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \partial y } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \partial y } { \partial z } \right) ^ { 2 } } } \left( - \displaystyle \frac { \partial y } { \partial x } , 1 , - \displaystyle \frac { \partial y } { \partial z } \right) ,

当右侧为正时，取 " + " ；左侧为正时，取 ^ { 6 6 } - { } ^ { p } （右正左负）

设 \Sigma : x = x ( y , z ) ，其中x有一阶连续偏导数，则

\pmb { n } = ^ { \infty } \pm ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial x } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial x } { \partial z } \right) ^ { 2 } } } \left( 1 , - \frac { \partial x } { \partial y } , - \frac { \partial x } { \partial z } \right) ,

当前侧为正时，取 " + " ；后侧为正时，取 ^ { * } - { } ^ { p } （前正后负）

例18.23 已知曲面 \scriptstyle { \mathcal { Z } } : z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } ，下侧为正，求其正向单位法向量.

解因为 { \frac { \partial z } { \partial x } } = { \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } , { \frac { \partial z } { \partial y } } = { \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } ，且下侧为正，所以其正向单位法向量为

n = - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial z } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial z } { \partial y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } , - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \sigma } y } , 1 \right) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left( \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , - 1 \right) .

例18.24 若柱面 \scriptstyle { \mathcal { Z } } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 的外侧为正，求其后半柱面正向单位法向量.

解 后半柱面，后侧为正， x = - { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \pmb { n } = - \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } \left( 1 , - \frac { y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } , 0 \right)

②转换投影定理.

设曲面 \scriptstyle { \mathcal { Z } } : z = z ( x , y ) ，z有一阶连续偏导数，且 P ( x , y , z ) ，Q(x，y,z）， R ( x , y , z ) 在Σ上连续，则

\begin{array} { r l r } {  { \int _ { \Sigma } \int \int P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ & { } & { = \stackrel { \omega } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { * } \displaystyle \iint _ { D } ( - P \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } - Q \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } + R ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ , } \end{array}

其中 P = P { \big [ } x , y , z ( x , y ) { \big ] } ，Q=Q[x,y,z(x,y)]， R = R \left[ x , y , z ( x , y ) \right]

考研数学基础30讲·高等数学分册

注证因为

\pmb { n } = ^ { \ast } \pm ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \frac { \partial z } { \partial x } , - \frac { \partial z } { \partial y } , 1 \right) ,

\mathrm { d } S = \sqrt { 1 + \left( \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \mathrm { ~ , ~ }

并记 \boldsymbol { F } = ( P , \boldsymbol { Q } , \boldsymbol { R } ) , \mathrm { d } \boldsymbol { S } = ( \mathrm { d } y \mathrm { d } z , \mathrm { d } z \mathrm { d } x , \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) ，则

\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \iint \int P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \displaystyle \iint _ { z } F ( x , y , z ) \cdot \mathrm { d } S = \displaystyle \iint _ { z } F ( x , y , z ) \cdot n \mathrm { d } S } \\ & { \quad = \displaystyle \iint ( P , Q , R ) \cdot \left[ \frac { 1 } { \pm \sqrt { 1 + \left( \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } , - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } , 1 \right) \right] \mathrm { d } S } \\ & { \quad \quad = \displaystyle \frac { \nu _ { \mathrm { d } } } { \pm \nu } \cdot \displaystyle \iint \left( - P \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } - Q \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } + R \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y , } \end{array}

其中，“士”的选取显然就是前述①的情形。

例18.25 设Σ为曲面 z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ( z \leqslant 1 ) 的上侧，计算曲面积分

I = \int \int _ { \Sigma } { ( x - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z } + ( y - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + ( z - 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ .

解 曲面Σ在 x O y 坐标面上投影域为 D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\} .因为 \frac { \hat { o } z } { \hat { o } x } = 2 x \frac { \partial z } { \partial y } = 2 y ，所以

\begin{array} { r l } {  { I = \iint _ { \Sigma } \int ( x - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( y - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + ( z - 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ & { = \underset { \underset { D } { \int } } { \iint } \Bigl [ ( x - 1 ) ^ { 3 } \ast ( - 2 x ) + ( y - 1 ) ^ { 3 } \ast ( - 2 y ) + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 ) \Bigr ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { = - \underset { \underset { D } { \int } } { \iint } ( 2 x ^ { 4 } - 6 x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } - 2 x + 2 y ^ { 4 } - 6 y ^ { 3 } + 5 y ^ { 2 } - 2 y + 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ . } \end{array}

因为区域D关于坐标轴对称，所以 \iint _ { D } ( - 6 x ^ { 3 } - 2 x - 6 y ^ { 3 } - 2 y ) \mathop { } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0 ，从而

\begin{array} { l } { \displaystyle { I = - \int _ { D } \int _ { D } ( 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 4 } + 5 y ^ { 2 } + 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { \displaystyle { \quad = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \Bigl [ 2 r ^ { 4 } ( \cos ^ { 4 } \theta + \sin ^ { 4 } \theta ) + 5 r ^ { 2 } + 1 \Bigr ] r \mathrm { d } r } } \end{array}

\begin{array} { l } { { \displaystyle = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \biggl [ \frac { 1 } { 3 } ( \cos ^ { 4 } \theta + \sin ^ { 4 } \theta ) + \frac { 7 } { 4 } \biggr ] \mathrm { d } \theta } } \\ { { \displaystyle = - \frac { 7 \pi } { 2 } - \frac { 8 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } \theta \mathrm { d } \theta = - \frac { 7 \pi } { 2 } - \frac { 8 } { 3 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 1 } { 2 } \times \frac { \pi } { 2 } = - 4 \pi ~ . } } \end{array}

(3)高斯公式·联想到格林公式

设空间有界闭区域 \varOmega \vert 由有向分片光滑封闭曲面Σ围成， P ( x , y , z ) ~ , ~ Q ( x , y , z ) , ~ R ( x , y , z ) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式 边界曲面上的第二型曲面积分化为内部立体的三重积兮

\iint \displaylimits _ { \frac { L } { \rho } } ^ { \rho } P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint \displaylimits _ { \frac { L } { \rho } } ^ { \left[ \widehat { \partial } P \right. } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \right) \mathrm { d } \nu ,

其中，Σ是Ω的整个边界曲面的外侧.

注第二型曲面积分与“源”的概念是紧密联系的，所以就有了散度的概念，在空间区域上的某点处的散度是指这个点发散的强度.如果在一个空间区域上，每一点处的三个偏导数加起来都是零，那就说明每一点处的散度都是零，即这个场是没有源头的，也就是说每一点都没有发散，也没有吸收，是个安安静静的场，称之为“无源场”

如 \oint P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y \equiv 0 即任何一点都是没有散度的，是个“无源场”，则 \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } = 0

①封闭曲面且内部无奇点，直接用高斯公式.

例18.26 设空间有界区域Ω由柱面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 与平面z=0和 x + z = 1 围成．Σ为Ω的边界曲面的外侧.计算曲面积分

I = \oiint 2 x z { \mathrm { d } } y { \mathrm { d } } z + x z \cos y { \mathrm { d } } z { \mathrm { d } } x + 3 y z \sin x { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y ~ .

分析首先将该曲面积分通过高斯公式转化为三重积分，然后利用概念、对称性化简，最后再计算剩下的部分.

解 根据高斯公式，得

进入多少

I = \int \limits _ { \Omega } \iint ( 2 z - x z \sin y + 3 y \sin x ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z \ .

因为Ω关于 x O z 坐标面对称，所以

因为 y - y V 时，Ω不变，故Ω关 \iiint x z \sin y \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = 0 , \iiint 3 y \sin x \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = 0 于xOz坐标面对称.

记 D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 \} ，则

\begin{array} { l } { \displaystyle { I = \iint \iint 2 z \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint _ { D } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { 1 - x } 2 z \mathrm { d } z } } \\ { \displaystyle { \ } } \\ { \displaystyle { = \iint _ { D } ( 1 + x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \pi + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 3 } \mathrm { d } r = \frac { 5 \pi } { 4 } \ . } } \end{array}

方法总结）计算三重积分时，利用好概念、对称性.

②非封闭曲面，且 \mathrm { d i v } F = { \frac { \partial P } { \partial x } } + { \frac { \partial Q } { \partial y } } + { \frac { \partial R } { \partial z } } \neq 0 ，补面使其封闭（加面减面).

例18.27 计算 \iint _ { \Sigma } \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ，其中Σ为下半球面 z = - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } 的上侧．

分析利用第二型曲面积分的替代法，然后补面用高斯公式.

解先将 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 1 代入被积函数.

I = \int _ { \stackrel { z } { z } } \int _ { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \underline { { x \mathrm { d } } } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } = \int _ { \stackrel { z } { z } } \int _ { x } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ .

补充一块有向平面 \begin{array} { l } { \displaystyle { \boldsymbol { \itSigma } _ { 1 } : \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 } \\ { \displaystyle z = 0 , } \end{array} \right. } } \end{array} 其法向量与z轴正向相反，从而得到

\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \iint _ { z + z _ { 1 } } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y - \iint _ { z _ { 1 } } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle = - \iint _ { z 2 } \lVert \int _ { 0 } ( 3 + 2 z ) \mathrm { d } \nu + \iint _ { D } 1 \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ , } } \end{array}

其中Ω为 \scriptstyle { \mathcal { Z } } + { \mathcal { Z } } _ { 1 } 围成的空间区域，D为z=0上的平面区域 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 ，于是

I = - 2 \pi - 2 \iiint z \mathrm { d } \nu + \pi = - \pi - 2 \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r \mathrm { d } r \int _ { - \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } } ^ { 0 } z \mathrm { d } z = - \frac { \pi } { 2 } \ .

★③封闭曲面，有奇点在其内部，且除奇点外 \stackrel { \mathcal { k } } { \cdot } \stackrel { \mathcal { k } } { \partial \mathrm { i v } } F = 0 \mathrm { \ } 可换个面积分（边界无须与原曲面重合）

注为什么可以换个面积分？divF=0是指所给场无“源”，于是通过任何封闭曲面（且无奇点在其内部）的通量为0.如图18-24所示，由于 \iint _ { \Sigma + \Sigma _ { 1 } } = 0 是 \iint _ { \Sigma } = - \iint _ { \Sigma _ { 1 } } = \iint _ { \Sigma _ { 1 } } (∑与 \textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 } 同向）

图18-24

有时虽然所给的曲面是一张封闭曲面，法向量指的也是外侧，但“在Σ所包围的有界闭区域5的内部有奇点，但除奇点外P，Q，R具有连续的一阶偏导数，且满足 \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \equiv 0 \ ^ { , , } .此时，可以作一封闭曲面 \varSigma _ { 1 } \subset \varOmega ，将上述使偏导数不连续的点都包含在 \varSigma _ { 1 } 的内部， \varSigma _ { 1 } 的法向量指向它所包围的有界区域的外侧，则有公式

\oint _ { \cal { L } } P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \oint _ { \cal { L } _ { 1 } } P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ .

= \varepsilon ^ { 2 }

如果后一积分比前一积分容易计算，就达到化难为易的目的了．

例18.28 设£是椭球面 { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } = 1 ，法向量指向外侧，则 \begin{array} { r } { \oint _ { z } \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } = } \end{array}

分析）与格林公式的挖洞法是一样的，除奇点外，通量全是零，包围奇点的任一曲面的积分都是相等的.
解 应填4π.

经计算有

\frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \equiv 0 , \frac { \ d y } { \ d z } \left( x , y , z \right) \ne \left( 0 , 0 , 0 \right) .

但是这里不能用高斯公式，因为在Σ内部的点O(0,0,0)处，P,Q,R都不连续，故在Σ内部作一球面

\Sigma _ { 1 } \colon x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r > 0 ) ,

它的法向量指向球面外侧，于是有

，

\begin{array} { r l } & { \quad \quad \oint \oint \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \frac { ( x ) } { x } \frac { \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \oint \oint \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { x _ { 1 } } } \\ & { \qquad \quad \frac { ( x ) } { r ^ { 3 } } \oint \oint x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \frac { ( x ) } { r ^ { 3 } } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \iint \int \int \mathrm { d } y \mathrm { d } \nu = \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \cdot 3 \cdot \frac { 4 } { 3 } \pi \nu ^ { 3 } = 4 \pi \mathrm { , } } \end{array}

其中(*)处来自高斯公式， \varOmega _ { \mathrm { r } } 为 \varSigma _ { 1 } 所包围的闭球域.

方法总结挖洞后利用高斯公式，在包围奇点的任一曲面上的积分都是相等的.

□ 例18.29 计算

\begin{array} { r } { I = \displaystyle \iint \big | x y \big | z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \Big [ \big | x \big | y ^ { 2 } z \mathrm { d } y \mathrm { d } z \Big ] , \textit { \textmd { d } \textless \oint \textmu z = 1 \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } z } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \downarrow \ , } \\ { \underset { \textit { \enclose{circle} { 1 } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { \tiny ~ \times ~ \Omega } } } { \mathrm { \oint \mathrm { i } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } } } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } } \end{array}

其中Σ为 z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } 与z=1所围区域Ω的表面，方向向外.

分析这个题稍难，但并非难题，可以利用概念解题，一个卦限的通量×4即可．

I = 4 { \left( \int \limits _ { 5 } ^ { \infty } f ( \mathbf { j } ) d \mathbf { j } \right) }

= 4 \left[ \underset { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 } { \iint } \ \underset { \ast x } { \iiint } \ \underset { \ast \mathrm { d } x \mathrm { d } y } + \underset { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 } { \iint } \ x y ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( - \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) \right] = \frac { 1 } { 4 } \mathrm { , }

其中 \textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 } 为图18-25所示卦限的上面， \varSigma _ { 2 } 为图18-25所示卦限的侧面，

本题也可利用高斯公式去解题.方法见解.

解 由题设得， I = \oiint _ { z } \left. x y \right. z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + 州 y ^ { 2 } z \mathrm { d } y \mathrm { d } z \overset { \mathrm { i } } { \mathrm { = } } I _ { 1 } + I _ { 2 } ，如图18-25所示，则

\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } \frac { \widetilde { H } _ { 1 } \widetilde { H } _ { 1 } } { 2 \widetilde { x } \widetilde { x } } \iiint [ | x y | \cdot 2 z \mathrm { d } y - \iiint ( \big | 2 | x y | z \mathrm { d } y   } \\ & {   - 8  \int   ( x y \mathrm { Z } \mathrm { d } v - 8 \big ) \iint \mathrm { d } \sigma \int _ { x ^ { + } y ^ { * } } ^ { 1 } x y z \mathrm { d } z   } \\ & {    x _ { x , y , \infty } ^ { 0 }  \qquad \quad \quad \quad \quad \quad x _ { x , y , \infty } ^ { + + } \mathrm { e } ^ { 2 }  \mathrm { e } ^ { 4 } } \\ & { = 4 \iint \mathrm { J }  1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 }  \mathrm { d } \sigma } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad x _ { x , y , \infty } ^ { + + } } \\ & { = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta ( 1 - r ^ { 4 } ) r \mathrm { d } r = \frac { 1 } { 4 } \ . } \end{array}

图18-25

I _ { 2 } 不能用高斯公式，因 \frac { \hat { \sigma } } { \hat { \sigma } x } ( \left| x \right| y ^ { 2 } z ) 在x=0，yz≠0处不存在.而在点(x，y，z)与点 ( - x , y , z ) 处的通量分别为 \left| x \right| y ^ { 2 } z \mathrm { d } y \mathrm { d } z 与x y ^ { 2 } z ( - \mathrm { d } y \mathrm { d } z ) ，又在面z=1上dz=0，故 I _ { 2 } = \oiint _ { \Sigma } \left| x \right| y ^ { 2 } z \mathrm d y \mathrm d z = 0 .于是 I = \frac { 1 } { 4 }

空间第二型曲线积分的计算

①一投二代三计算.（基本方法）

设厂： \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , t \colon \alpha \to \beta } \\ { z = z ( t ) , } \end{array} \right. ，则有

\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \int _ { r } P \mathrm { d } \boldsymbol { x } + Q \mathrm { d } y + R \mathrm { d } z } \\ & { = \displaystyle \int _ { \alpha } ^ { \beta } \{ P [ \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { z } ( t ) ] \boldsymbol { x } ^ { \prime } ( t ) + Q [ \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { z } ( t ) ] \boldsymbol { y } ^ { \prime } ( t ) + R [ \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { z } ( t ) ] \boldsymbol { z } ^ { \prime } ( t ) \} \mathrm { d } t \ . } \end{array}

②用斯托克斯公式.—→实现边界与内部的转换

设Ω为某空间区域，£为Ω内的分片光滑有向曲面片，「为逐段光滑的Σ的边界，它的方向与Σ的法向量成右手系，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) 与 R ( x , y , z ) 在Ω内具有连续的一阶偏导数，则有斯托克斯公式：

\oint _ { r } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y + R \mathrm { d } z = \iint _ { \Sigma } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } y \mathrm { d } z } & { \mathrm { d } z \mathrm { d } x \quad \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \displaystyle P } & { \displaystyle Q } & { \textit { \textbf { R } } } \end{array} } \end{array} \right\} （此为第二型曲面积分形式）= \iint _ { \Sigma } \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \Bigg | , dS（此为第一型曲面积分形式），

其中 { \pmb n } ^ { \circ } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ) 为Σ的单位外法向量.

注可以证明（这里不证），公式的成立与绷在厂上的曲面大小、形状无关，如图18-26所示，有網 \oint _ { r } = \iint _ { \Sigma _ { 1 } } = \iint _ { \Sigma _ { 2 } }

举个容易理解的例子，小孩玩的泡泡棒（泡泡机），蘸了肥皂水吹一下泡泡就出来了，Γ就是蘸肥皂水的塑料圈，上面绷着的就是泡泡，在这些泡泡中无论是哪个，不管大小和形状，都可以作为计算公式中的∑
再问大家，绷在厂上的什么曲面最简单？答得好，平面！在泡泡还没有脱离圈圈之前可…有各种形状，但最简单的形状是平面，是吹之前的最原始的形状！

图18-26

例18.30 已知曲线L的方程为 \left\{ { \begin{array} { l } { z = { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } \\ { z = x , } \end{array} } \right. 起点为 A ( 0 , { \sqrt { 2 } } , 0 ) ，终点为 B ( 0 , - \sqrt { 2 } , 0 ) 计算曲线积分 I = \int _ { L } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z

2 T分析方法一利用基本方法（参数法）.0-2 B

方法二利用斯托克斯公式.

方法三利用做功取微元分析.

对于i方向做功微元： ( - y + z ) ( - \mathrm { d } x ) + ( y + z ) \mathrm { d } x = 2 y \mathrm { d } x

对于j方向做功微元： ( - y ) \mathrm { d } y + y \mathrm { d } y = 0

对于k方向做功微元： x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( - \mathrm { d } z ) + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z = 0

解方法一由 \left\{ { \begin{array} { l } { z = { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } \\ { z = x } \end{array} } \right. '得 { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } = x ，即 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 ，亦即 x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1

于是曲线L的参数方程为 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = \cos t , } \\ { y = { \sqrt { 2 } } \sin t } \\ { z = \cos t , } \end{array} \right. } ，t从 \frac { \pi } { 2 } （起点A）到 - { \frac { \pi } { 2 } } （终点B）.

\begin{array} { r l } & { I = \int _ { L } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z } \\ & { = \int _ { \frac { z } { 2 } } ^ { \frac { x } { 2 } } [ ( \sqrt { 2 } \sin t + \cos t ) \cdot ( - \sin t ) + \sqrt { 2 } \sin t \cdot \sqrt { 2 } \cos t + \cos ^ { 2 } t \cdot 2 \sin ^ { 2 } t \cdot ( - \sin t ) ] \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \frac { z } { 2 } } ^ { \frac { x } { 2 } } ( - \sqrt { 2 } \sin ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t = \int _ { \frac { z } { 2 } } ^ { \frac { z } { 2 } } \sqrt { 2 } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \\ & { = 2 \sqrt { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { z } { 2 } } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t = 2 \sqrt { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \pi \ . } \end{array}

方法二设 L _ { \eta } 是从点B到点A的直线段，£为平面z=x上由L与 L _ { \eta } 围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为 \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } , 0 , - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \right) ，且在L与 L _ { \mathrm { 1 } } 上，均有 z ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 0

由斯托克斯公式，

\oint _ { L + L _ { 1 } } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z

= \iint _ { \Sigma } \left| \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \displaystyle \frac { y + z } { y + z } } & { y } & { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } \end{array} \right| \mathrm { d } S = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \iint ( 2 x ^ { 2 } y + 1 ) \mathrm { d } S \ .

因为曲面Σ关于xOz平面对称，所以 \iint _ { \varSigma } 2 x ^ { 2 } y \mathrm { d } S = 0 ，故

\oint _ { L _ { L + L _ { 1 } } } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \iint \mathrm { d } S = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi ~ .

又 L _ { \eta } 的参数方程为 x = 0 , y = y , z = 0 \ ( \ y \not \cup - \sqrt { 2 } 到 \sqrt { 2 } ) ，所以

\int _ { L _ { 1 } } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z = \int _ { - \sqrt { 2 } } ^ { \sqrt { 2 } } y \mathrm { d } y = 0 \ .

因此 I = \oint _ { L + L _ { 1 } } - \int _ { L _ { 1 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi

方法三如图18-27所示，在点(x，y,z)和(x,-y，z)处的三个方向的通量分别为

\begin{array} { r } { ( y + z ) \mathrm { d } x , ( - y + z ) ( - \mathrm { d } x ) , } \\ { \qquad \quad } \\ { y ( - \mathrm { d } y ) , ( - y ) ( - \mathrm { d } y ) , } \\ { \qquad \quad } \\ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z , x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( - \mathrm { d } z ) . } \end{array}

于是

I = \int _ { L } y \mathrm { d } x { \frac { \mathrm { d } | { \mathcal { H } } | { \mathcal { H } } { \mathrm { i } } \Sigma - } { \frac { \pi } { 2 } { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } } \sin t \mathrm { d } ( \cos t ) } } = 2 { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t = 2 { \sqrt { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } } \bullet { \frac { \pi } { 2 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi \ .

图18-27

基础习题精练

习题

18.1设L为曲线 \left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y + z = 0 , } \end{array} } \right. 则 \oint _ { L } ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } s = \left( \begin{array} { l l l } { \begin{array} { r l } \end{array} } & { \begin{array} { r l } \end{array} } & { } \end{array} \right) （A) 2 7 \pi (B) 18π (C) 12π (D) 6π

18.2设£为球面 ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = 1 ，则 \bigoplus _ { \mathfrak { x } } ( 2 x + 3 y + z ) \mathrm { d } S = \left( \begin{array} { l l } { \quad } & { \quad } \end{array} \right) (A)4π (B)2π （C）π (D)0

18.3设L是柱面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 与平面 z = x + y 的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 \oint _ { L } x z \mathrm { d } x + x \mathrm { d } y + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { d } z =

18.4设L为取正向的圆 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 } , a > 0 ，则曲线积分 \oint _ { L } \frac { ( \mathbf { e } ^ { x ^ { 2 } } - x ^ { 2 } y ) \mathrm { d } x + ( x y ^ { 2 } - \sin y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }

18.5设Σ为球面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 ，则第一型曲面积分 \bigoplus _ { z } x ( 4 x - z ) \mathrm { d } S =

18.6设曲面 \textstyle { \mathcal { Z } } : \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 1 ，则 \bigoplus _ { \Sigma } ( x + \vert y \vert ) \mathrm { d } S =

18.7设Σ为球面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = a ^ { 2 } 的外侧， a > 0 ，则第二型曲面积分 { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ( x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + M$z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) \ =$

18.8设Ω是由椭圆抛物面 z = 4 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) 和平面z=4所围成的区域，则三重积分 \iiint _ { \mathcal { Q } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \nu =

18.9设L为自点O(0,0)沿曲线y=sin x至点A(π,0)的有向弧段，计算平面第二型曲线积分

I = \int _ { L } [ { \mathrm { e } } ^ { x } \cos y + 2 ( x + y ) ] { \mathrm { d } } x + \left( - { \mathrm { e } } ^ { x } \sin y + { \frac { 3 } { 2 } } x \right) { \mathrm { d } } y .

18.10计算曲面积分 \iint _ { \Sigma } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y ，其中Σ为有向曲面 z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ( 0 \leqslant z \leqslant 1 ) ，其法向量与z轴正向夹角为锐角.

18.11设Σ为任意封闭曲面，

I = \oiint _ { \mathscr { L } _ { \mathrm { p q e } } } \bigg ( x - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \bigg ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z - \frac { 4 } { 3 } y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + \bigg ( 3 y - \frac { 1 } { 3 } z ^ { 3 } \bigg ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \enspace .

(1)证明Σ为椭球面 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 时，I达到最大值;

(2)求I的最大值.

解答

18.1(B）解由轮换对称性可得

\begin{array} { r } { \oint _ { L } ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) { \mathrm { d } } s = \oint _ { L } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s = \oint _ { L } \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { 3 } { \mathrm { d } } s } \\ { = 3 \oint _ { L } { \mathrm { d } } s = 3 ( 2 \pi \times 3 ) = 1 8 \pi ~ . } \end{array}

18.2（A）解 \bigoplus _ { \boldsymbol { \Sigma } } ( 2 x + 3 y + z ) \mathrm { d } S = 2 \big \{ \iint _ { \mathcal { X } } x \mathrm { d } S + 3 \big \} \big \{ \int _ { \mathcal { X } } y \mathrm { d } S + \big \{ \iint _ { \mathcal { Z } } z \mathrm { d } S ，又有 { \overline { { x } } } = { \frac { 1 } { S } } fxds, { \overline { { y } } } = { \frac { 1 } { S } } fyds,£ ∑\overline { { z } } = \frac { 1 } { S } fzds是球面 ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = 1 的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1,0,-1)处，故£

\oint _ { \cal { S } } ( 2 x + 3 y + z ) \mathrm { d } { \cal { S } } = ( 2 \overline { { { x } } } + 3 \overline { { { y } } } + \overline { { { z } } } ) { \cal { S } } = ( 2 + 0 - 1 ) \bullet 4 \pi = 4 \pi \ .

18.3π解方法一将L的方程化为参数形式

\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos t , } \\ { y = \sin t , \qquad ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ) , } \\ { z = \cos t + \sin t } \end{array} \right.

则

\begin{array} { c } { { \displaystyle \oint _ { \cal L } x z \mathrm { d } x + x \mathrm { d } y + \frac { y ^ { 2 } } 2 \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left[ \cos t \cdot ( \cos t + \sin t ) \cdot ( - \sin t ) + \cos t \cdot \cos t + \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } t \cdot ( - \sin t + \cos t ) \right] \mathrm { d } t } } \\ { { { } } } \\ { { = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 + \cos 2 t } { 2 } \mathrm { d } t = \pi \ . } } \end{array}

方法二 记S是平面 z = x + y 上位于柱面 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 内的部分，则S在 x O y 平面上的投影为D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 \} ，平面 z = x + y 向上的单位法向量为 \left( - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } , - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } , { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \right)

根据斯托克斯公式，得

\begin{array} { r l } { | \displaystyle \frac { - 1 } { \sqrt { 3 } }  } & { - \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }  \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } | } \\ {  \oint _ { L } x \mathrm { d } x + x \mathrm { d } y + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { d } z = \int _ { s } ^ { [ 1 ] }  \frac { \partial } { \partial x } \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { \partial y } } \end{array} | \mathrm { d } S } \\ { = \displaystyle \int \int \displaystyle \frac { 1 } { s } ( 1 - x - y ) \mathrm { d } S } \\ { = \displaystyle \iint \displaystyle \frac { 1 } { s } ( 1 - x - y ) \sqrt { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \pi \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}

18.4 { \frac { 1 } { 2 } } \pi a ^ { 2 } 解先将L的方程 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 } 代人，得

{ \begin{array} { l } { \displaystyle | { \overrightarrow { \mathfrak { H } } } | { \overrightarrow { \mathfrak { L } } } | = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \oint _ { L } ( \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - x ^ { 2 } y ) \mathrm { d } x + ( x y ^ { 2 } - \sin y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \iint _ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant a ^ { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { a } r ^ { 2 } \bullet r \mathrm { d } r = { \frac { 1 } { 2 } } \pi a ^ { 2 } ~ . } \end{array} }

18.5 \frac { 1 6 \pi } { 3 } 分析本题考查关于轮换对称性的判断.

①函数xz在Σ的8个卦限内，4正4负，且对应点有相同的绝对值，故 \oint _ { z } ^ { } { \boldsymbol { x } } z \mathrm { d } S = 0

②根据轮换对称性得到 \oiint _ { \varSigma } { x ^ { 2 } \mathrm { d } \varSigma } = \oiint _ { \varSigma } { y ^ { 2 } \mathrm { d } \varSigma } = \oiint _ { \varSigma } { z ^ { 2 } \mathrm { d } \varSigma }

解 \iint _ { \Sigma } { x ( 4 x - z ) \mathrm { d } S } = \underset { \Sigma } { \iint } 4 x ^ { 2 } \mathrm { d } S = \frac { 4 } { 3 } \underset { \Sigma } { \iint } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \mathrm { d } S = \frac { 4 } { 3 } \underset { \Sigma } { \iint } \mathrm { d } S = \frac { 1 6 \pi } { 3 }

18.6 { \frac { 4 } { 3 } } { \sqrt { 3 } } 解曲面£对称于 y O z 平面，x为关于x的奇函数，所以 \bigoplus _ { z } x \mathbf { d } S = 0 .又因Σ关于x , y , \overset { \cdot } { z } 轮换对称，所以

\begin{array} { l } { \displaystyle \iint \big | y \big | \mathrm { d } S = \displaystyle \iint \big | z \big | \mathrm { d } S = \displaystyle \iint \big | x \big | \mathrm { d } S , } \\ { \displaystyle \iint \big | y \big | \mathrm { d } S = \frac { 1 } { 3 } \iint ( | x | + | y | + \big | z \big | ) \mathrm { d } S = \frac { 1 } { 3 } \iint \mathrm { d } S } \\ { \displaystyle \qquad \quad = \frac { 1 } { 3 } \times A _ { z } , } \end{array}

其中 A _ { \Sigma } 为Σ的面积.而Σ由8块同样的等边三角形组成，每块等边三角形的边长为 \sqrt { 2 } ，所以

A _ { \scriptscriptstyle 5 } = 8 \times { \frac { 1 } { 2 } } \times ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } \times \sin { \frac { \pi } { 3 } } = 4 \sqrt { 3 } \ ,

所以 \big | \big | y \big | \big | \big | \big | \big | \big | \big | = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { 3 } ，从而原式 = { \frac { 4 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }

18.7 { \frac { 1 2 } { 5 } } \pi a ^ { 3 } 解记Ω是£所围的空间区域.

\begin{array} { l } { { \displaystyle \iint \frac { x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } = \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \oint \int x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \frac { 3 } { a ^ { 2 } } \iiint \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 3 } { a ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { a } r ^ { 4 } \sin \varphi \mathrm { d } r = \frac { 1 2 } { 5 } \pi a ^ { 3 } ~ . } } \end{array}

18.8 \frac { 2 } { 3 } \pi 解如图18-28所示，积分区域 ^ { g } 在 x O y 面上的投影是一个圆心在原点的单位圆，所以

\mathcal { Q } = \left\{ ( r , \theta , z ) \big | 0 \leqslant r \leqslant 1 , 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi , 4 r ^ { 2 } \leqslant z \leqslant 4 \right\} \ .

于是

\begin{array} { l } { \displaystyle { \iiint ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \nu = \iiint r ^ { 2 } \cdot r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \cdot r \mathrm { d } r \int _ { 4 r ^ { 2 } } ^ { 4 } \mathrm { d } z } } \\ { \displaystyle { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 4 r ^ { 3 } - 4 r ^ { 5 } ) \mathrm { d } r = \frac { 2 } { 3 } \pi \ . } } \end{array}

图18-28

18.9解补线，用格林公式.

\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \oint _ { L + \overline { { { A O } } } } - \int _ { \overline { { { A O } } } } = - \iint _ { D } \biggl [ - \displaystyle \frac 1 2 \biggl ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y - \int _ { \pi } ^ { 0 } ( \mathrm { e } ^ { x } + 2 x ) \mathrm { d } x } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle ~ = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \mathrm { s i n } x } \mathrm { d } y - ( \mathrm { e } ^ { x } + x ^ { 2 } ) \biggr | _ { \pi } ^ { 0 } } } \\ { { ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = \frac 1 2 \times 2 - [ 1 - ( \mathrm { e } ^ { \pi } + \pi ^ { 2 } ) ] = \mathrm { e } ^ { \pi } + \pi ^ { 2 } ~ . } } \end{array}

18.10解以 \varSigma _ { 1 } 表示法向量指向z轴负向的有向平面 z = 1 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 ) ，D为 \varSigma _ { 1 } 在 x O y 平面上的投影区域，则

\int \limits _ { \Sigma _ { 1 } } ^ { \Delta } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \iint \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \pi \ .

设 \pmb { \varOmega } . 表示由Σ和 \varSigma _ { 1 } 所围成的空间区域，则由高斯公式知

\begin{array} { r } { \underset { \underset { \overset { . } { z } + z _ { 1 } } { \xi + z _ { 1 } } } { \iint } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \underset { \overset { . } { z } } { \iint } ( 2 + 1 ) \mathrm { d } \nu = - 3 \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r \mathrm { d } r \int _ { r ^ { 2 } } ^ { 1 } \mathrm { d } z } \\ { = - 6 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( r - r ^ { 3 } ) \mathrm { d } r = - 6 \pi \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) = - \frac { 3 } { 2 } \pi \ . } \end{array}

因此， \int \limits _ { 5 } ^ { \infty } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \frac { 3 } { 2 } \pi - ( - \pi ) = - \frac { 1 } { 2 } \pi

18.11 (1)证明根据高斯公式， I = \underset { \Omega } { \iint } \{ 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z ，其中为Σ所围的空间区域.为

使I最大，要求Ω是使得 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } \geqslant 0 的最大空间区域，即

\Omega = \{ ( x , y , z ) | 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } \geqslant 0 \} \ ,

Σ为的表面，即为椭球面 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 时，I最大.

(2)解由例18.5知， I _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 4 \pi } { 1 5 }

附录1

图像变换

图像变换方式一般有如下三种.

(1)平移变换.

①将函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移 x _ { 0 } ( x _ { 0 } > 0 ) 个单位长度，得到函数 y = f ( x + x _ { 0 } ) 的图像[见图1(a)；将函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移 x _ { 0 } ( x _ { 0 } > 0 ) 个单位长度，得到函数 y = f ( x - x _ { 0 } ) 的图像[见图1(b)].

(a)

(b)
图1

②将函数y=f(x)的图像沿y轴向上平移 y _ { 0 } ( y _ { 0 } > 0 ) 个单位长度，得到函数 y = f ( x ) + y _ { 0 } 的图像[见图2(a)]；将函数y=f(x)的图像沿y轴向下平移 y _ { 0 } ( y _ { 0 } > 0 ) 个单位长度，得到函数 y = f ( x ) - y _ { 0 } 的图像[见图2(b)].

(a)

(b)
图2

(2)对称变换.

①将函数y=f(x)的图像关于x轴对称，得到函数y=-f(x)的图像[见图3(a)].

②将函数y=f(x)的图像关于y轴对称，得到函数y=f(-x)的图像[见图3(b)].

(a)

(b)
图3

③将函数 y = f ( x ) 的图像关于原点对称，得到函数y=-f(-x)的图像[见图4(a)]

④将函数 y = f ( x ) 的图像关于直线 y = x 对称，得到函数 y = f ^ { - 1 } ( x ) 的图像[见图4(b)].

(a)

(b)
图4

③保留函数y=f(x)在x轴及x轴上方的部分，把x轴下方的部分关于x轴对称到x轴上方并去掉原来下方的部分，得到函数 y = \left| f ( x ) \right| 的图像[见图5(a)].

⑥保留函数 y = f ( x ) 在y轴及y轴右侧的部分，去掉y轴左侧的部分，再将y轴右侧图像关于y轴对称到y轴左侧，得到函数 y = f ( \boldsymbol { \vert x \vert } ) 的图像[见图5(b)].

(a)

(b)

图5

注 y = f ( x ) \Rightarrow F ( x , y ) = f ( x ) - y

①若 F ( x , y ) = F ( - x , y ) ，则 y = f ( x ) 关于y轴（x=0）对称.<对应

②若 F ( x , y ) = F ( 2 T - x , y ) 或 F ( T + x , y ) = F ( T - x , y ) ，则 y = f ( x ) 关于x=T对称.

③若 F ( x , y ) = F ( x , - y ) ，则 y = f ( x ) 关于x轴（y=0）对称.<对应

④若F(x，y）=F（x，2T-y）或 F ( x , T + y ) = F ( x , T - y ) ，则y=f（x）关于y=T对称.

③若F(x，y）=F（-x，-y），则y=f（x）关于（0,0）点对称.

若 F ( a + x , y ) = F ( a - x , - y ) ，则y=f（x）关于（a，0）点对称.

?若 F ( x , y ) = F ( y , x ) ，则y=f（x）关于y=x对称

以上结论中，②，④，⑥分别是①，③，⑤的更一般结论，将原对称性进行“平移”，要重视。

如

y ^ { 2 } = x ^ { 3 } - x ^ { 4 } , \frac { y ^ { 2 } = ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { \sqrt { \frac { \displaystyle { 3 + y ^ { 3 } - 3 x y } = 0 } { \displaystyle { \frac { \displaystyle { 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 x y } } { \displaystyle { \frac { \displaystyle { 3 x ^ { 3 } } { \displaystyle { \sqrt { \pi } } } } } } } } } } .

\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 2 } = ( 2 \pi - t ) - \sin ( 2 \pi - t ) = 2 \pi - ( t - \sin t ) = 2 \pi - x _ { 1 } , } \\ { y _ { 2 } = 1 - \cos ( 2 \pi - t ) = 1 - \cos t = y _ { 1 } , } \end{array} \right.

关于x=π对称

(3)伸缩变换.

①水平伸缩：y=f(kx)(k>1)的图像，可由y=f(x)的图像上每点的横坐标缩短到原来的 \frac { 1 } { k } 倍且纵坐标不变得到[见图6(a)}; y = f ( k x ) ( 0 < k < 1 ) 的图像，可由y=f(x)的图像上每点的横坐标伸长到原来的 \frac { 1 } { k } 倍且纵坐标不变得到.

②垂直伸缩：y=kf(x)(k>1)的图像，可由 y = f ( x ) 的图像上每点的纵坐标伸长到原来的k倍且横坐标不变得到[见图6(b)]; y = k f ( x ) ( 0 < k < 1 ) 的图像，可由 y = f ( x ) 的图像上每点的纵坐标缩短到原来的k倍且横坐标不变得到.

(a)

图6

(b)

附录2

(1)心形线（外摆线的一种）.

(a)

(2)伯努利双纽线.

(3)阿基米德螺线.

(4)对数螺线.

(5)双曲螺线.

(6)三叶玫瑰线.

(7)四叶玫瑰线.

(8)摆线（平摆线）.

(9)星形线（内摆线的一种）.

(10)笛卡儿叶形线.

\displaystyle { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } - 3 a x y = 0 \frac { \pi } { x } \left\{ \displaystyle { x = \frac { 3 a t } { 1 + t ^ { 3 } } } , \right. } ( a > 0 ) 

附录3

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 } , z \geqslant 0 , a > 0

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

附录4

重要公式

1三角函数常用公式

(1)诱导公式.

★小结： \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } \pm \alpha \right) = \cos \alpha , } \\ { \sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp \sin \alpha , } \\ { \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } \pm \alpha \right) = \mp \sin \alpha , } \\ { \cos ( \pi \pm \alpha ) = - \cos \alpha , } \end{array} \right. } 这8个公式要熟稔于心

角θ函数	${ \frac { \pi } { 2 } } - \alpha$	${ \frac { \pi } { 2 } } + \alpha$	π-α	π+α	$\frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha$	$\frac { 3 \pi } { 2 } + \alpha$	2π-α
sinθ	cosα	cosa	sina	-sina	-cosa	-cosa	-sina
cos0	sina	-sina	-cosα	-cosa	-sina	sina	cosa
tanθ	cota	-cotα	-tan α	tan a	cota	-cotα	-tan a
cotθ	tan a	-tan α	-cota	cotα	tan a	-tanα	-cotα

注(1)如上表所示，奇变偶不变，符号看象限（因任一角度均可表示为 \frac { k \pi } { 2 } + \alpha , k \in { \bf Z } , | \alpha | \leq \frac { \pi } { 4 } 故k为奇数时得角α的异名函数值，k为偶数时得角α的同名函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原来函数值的符号）

（2)三角函数在四个象限中的符号如下表所示

角0所在象限函数	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
sinθ
cos0
tanθ
cotθ

(3) secα和csca的函数值可由 \frac { 1 } { \cos \alpha } 和ä \frac { 1 } { \sin \alpha } 得出．

(2)倍角公式.

\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha , \cos 2 \alpha = \cos ^ { 2 } \alpha - \sin ^ { 2 } \alpha = 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha = 2 \cos ^ { 2 } \alpha - 1 ,

\sin 3 \alpha = - 4 \sin ^ { 3 } \alpha + 3 \sin \alpha , \cos 3 \alpha = 4 \cos ^ { 3 } \alpha - 3 \cos \alpha ,

\tan 2 \alpha = { \frac { 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^ { 2 } \alpha } } , \cot 2 \alpha = { \frac { \cot ^ { 2 } \alpha - 1 } { 2 \cot \alpha } } .

(3)半角公式.

\sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \cos \alpha ) , \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \cos \alpha ) , ( | \sharp \sharp \sharp / \angle \cdot \ j \ d { \overline { { \Sigma } } } | )

\sin { \frac { \alpha } { 2 } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 - \cos \alpha } { 2 } } } , \cos { \frac { \alpha } { 2 } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } } ,

\tan { \frac { \alpha } { 2 } } = { \frac { 1 - \cos \alpha } { \sin \alpha } } = { \frac { \sin \alpha } { 1 + \cos \alpha } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 - \cos \alpha } { 1 + \cos \alpha } } } ,

\cot { \frac { \alpha } { 2 } } = { \frac { \sin \alpha } { 1 - \cos \alpha } } = { \frac { 1 + \cos \alpha } { \sin \alpha } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 1 - \cos \alpha } } } \ .

(4)和差公式.

\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta , \cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,

\tan ( \alpha \pm \beta ) = { \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 mp \tan \alpha \tan \beta } } , \cot ( \alpha \pm \beta ) = { \frac { \cot \alpha \cot \beta \mp 1 } { \cot \beta \pm \cot \alpha } } .

(5)积化和差与和差化积公式.

①积化和差公式.

\tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } - \alpha \right) = { \frac { 1 - \tan \alpha } { 1 + \tan \alpha } }

\sin \alpha \cos \beta = { \frac { 1 } { 2 } } [ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) ] , \cos \alpha \sin \beta = { \frac { 1 } { 2 } } [ \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) ] ,

\cos \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) ] , \sin \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \cos ( \alpha - \beta ) - \cos ( \alpha + \beta ) ] ~ .

②和差化积公式.

\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac { \alpha + \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha - \beta } { 2 } , \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac { \alpha - \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha + \beta } { 2 } ,

\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac { \alpha + \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha - \beta } { 2 } , \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac { \alpha + \beta } { 2 } \sin \frac { \alpha - \beta } { 2 } .

(6)万能公式.

若 u = \tan \frac { x } { 2 } ( - \pi < x < \pi ) ，则 \sin x = { \frac { 2 u } { 1 + u ^ { 2 } } } , \cos x = { \frac { 1 - u ^ { 2 } } { 1 + u ^ { 2 } } }

②一元二次方程基础

①一元二次方程 a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 )

②判别式 \scriptstyle { \mathcal { A } } = b ^ { 2 } - 4 a c

\scriptstyle A \geq 0 ，方程有两个实根 x _ { 1 , 2 } = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } ; A < 0 ，方程有两个共轭的复根 \scriptstyle { x _ { 1 , 2 } = { \frac { - b \pm { \sqrt { 4 a c - b ^ { 2 } } } \mathrm { { i } } } { 2 a } } }

③根与系数的关系（韦达定理） x _ { 1 } + x _ { 2 } = - { \frac { b } { a } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = { \frac { c } { a } }

③ 因式分解公式

① ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } ② ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 }

\left( a + b \right) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } ( a - b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } - 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } - b ^ { 3 }

a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b )

a ^ { 3 } - b ^ { 3 } = ( a - b ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } )

? a ^ { 3 } + b ^ { 3 } = ( a + b ) ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } )

a ^ { n } - b ^ { n } = ( a - b ) ( a ^ { n - 1 } + a ^ { n - 2 } b + \cdots + a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } ) ( n 是正整数）.

⑨n为正奇数时， a ^ { n } + b ^ { n } = ( a + b ) ( a ^ { n - 1 } - a ^ { n - 2 } b + \cdots - a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } )

@二项式定理

( a + b ) ^ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathbf { C } _ { n } ^ { k } a ^ { n - k } b ^ { k } = a ^ { n } + n a ^ { n - 1 } b + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 ! } } a ^ { n - 2 } b ^ { 2 } + \cdots + { \frac { n ( n - 1 ) \cdots ( n - k + 1 ) } { k ! } } a ^ { n - k } b ^ { k } + \cdots + n a b ^ { n - 1 } + b ^ { n } .

4阶乘与双阶乘

①n!=1·2·3…·n，规定0!=1.

② ( 2 n ) ! ! = 2 \bullet 4 \bullet 6 \cdots \bullet 2 n ) = 2 ^ { n } \bullet n !

③ ( 2 n - 1 ) ! ! = 1 \bullet 3 \bullet 5 \bullet \cdots \bullet ( 2 n - 1 )

附录5

从指数函数到双曲函数

指数函数

对于指数函数 y = a ^ { x } ，底数a可以是不等于1的任何正数.在实际问题中常遇到以e为底数的指数函数 y = \mathbf { e } ^ { x } ，e是一个常数.

在微分方程中，凡是因变量y的变化速率与因变量y成正比的函数关系都是这种指数函数.即\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } = k y ( k > 0 ) ，得 \int { \frac { \mathrm { d } y } { y } } = \int k \mathrm { d } t ，有

\ln \left| y \right| = k t + \ln C _ { 1 } ,

于是 \vert y \vert = C _ { 1 } \mathrm { e } ^ { k t } , y = \pm C _ { 1 } \mathrm { e } ^ { k t } = C \mathrm { e } ^ { k t }

指数函数 y = \mathbf { e } ^ { - x } = \left( { \frac { 1 } { \mathbf { e } } } \right) ^ { x } 也具有同样的重要性（见图1）.

图1

下面列出一张简单的函数值表，将有助于我们认识这两种指数函数.详细的函数表可在各种数学手册中查到.

$x$	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
$\boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { x }$	1	1.65	2.72	4.48	7.39	12.2	20.1
$\mathbf { e } ^ { - x }$	1	0.607	0.368	0.223	0.135	0.082	0.050

指数函数 y = \mathbf { e } ^ { x } 的反函数是 y = \log _ { \mathrm { e } } x .正像 \log _ { 1 0 } x 常简记为lgx一样， \log _ { \mathfrak { e } } x 也常简记为lnx，称之

为自然对数.

自然对数与普通以10为底的对数的联系是

\ln x = \ln 1 0 \cdot \lg x ( \ln 1 0 \approx 2 . 3 0 2 5 8 5 ) ,

\begin{array} { r } { \log x = \lg \mathrm { e } \cdot \ln x ( \log \mathrm { e } \approx 0 . 4 3 4 2 9 4 ) \ . } \end{array}

2双曲函数

双曲函数是由指数函数 \mathrm { e } ^ { x } 与 \mathbf { e } ^ { - x } 构成的初等函数.

(1)定义.

双曲正弦函数

\mathrm { s h } x = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { 2 } \ .

双曲余弦函数

\mathtt { c h } x = \frac { \mathtt { e } ^ { x } + \mathtt { e } ^ { - x } } { 2 } \ .

双曲正切函数

\mathrm { t h } \ x = \frac { \mathrm { s h } \ x } { \mathrm { c h } \ x } = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { \mathrm { e } ^ { x } + \mathrm { e } ^ { - x } } \ .

\mathtt { s h } ( - x ) = { \frac { \mathtt { e } ^ { - x } - \mathtt { e } ^ { x } } { 2 } } = - { \frac { \mathtt { e } ^ { x } - \mathtt { e } ^ { - x } } { 2 } } = - \mathtt { s h } x \ ,

\operatorname { c h } ( - x ) = { \frac { \mathrm { e } ^ { - x } + \mathrm { e } ^ { x } } { 2 } } = { \frac { \mathrm { e } ^ { x } + \mathrm { e } ^ { - x } } { 2 } } = \operatorname { c h } x \ ,

\operatorname { t h } ( - x ) = { \frac { \operatorname { s h } ( - x ) } { \operatorname { c h } ( - x ) } } = { \frac { - \operatorname { s h } x } { \operatorname { c h } x } } = - \operatorname { t h } x ,

故shx，thx都是奇函数，chx是偶函数.

想要画出这三种函数的图形，只要先画出右半平面的曲线部分 ( x \geqslant 0 ) ，再根据对称性就能画出整个曲线（见图2）.注意到

\mathrm { s h } x = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { x } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { - x } ,

\mathrm { c h } x = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { - x } \ ,

先作出 y = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x } 与 y = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { - x } 的图形，shx的值正是这两条曲线在点x处的纵坐标之差，chx的值正是这两条曲线在点x处的纵坐标之和.容易看出，当x很大时，chx总是大于 \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x } ，但很接近它，shx总是小于 \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x } ，也很接近它．

图2

由于

\operatorname { t h } x = { \frac { \sin x } { \operatorname { c h } x } } ,

当x从0变大时，shx，chx都取正值，且ch x>shx，故x>0时，thx的值总是介于0与1之间，并且当x很大时，thx很接近于1，由此就容易画出y=thx在右半平面的曲线部分.根据曲线关于原点的对称性，就可画出整个图形来（见图3）.

图3

(2)关系式.

双曲函数之间具有一些重要恒等式.

根据双曲正弦与双曲余弦的定义立即可知

\displaystyle \mathbf { e } ^ { x } = \mathrm { c h } x + \mathrm { s h } x , \displaystyle \mathbf { e } ^ { - x } = \mathrm { c h } x - \mathrm { s h } x ,

利用这两个恒等式，就能通过指数函数的性质来证明一些关于双曲函数的恒等式.如

\begin{array} { l } { { \displaystyle \mathrm { s h } ( u + \nu ) = \frac { 1 } { 2 } [ \mathrm { e } ^ { ( u + \nu ) } - \mathrm { e } ^ { - ( u + \nu ) } ] = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { e } ^ { u } \cdot \mathrm { e } ^ { \nu } - \mathrm { e } ^ { - u } \cdot \mathrm { e } ^ { - \nu } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 2 } [ ( \mathrm { c h } u + \mathrm { s h } u ) ( \mathrm { c h } \nu + \mathrm { s h } \nu ) - ( \mathrm { c h } u - \mathrm { s h } u ) ( \mathrm { c h } \nu - \mathrm { s h } \nu ) ] } \ , } \end{array}

也就是

\sinh ( u + \nu ) = \sinh u \cosh \nu + \coth u \sinh \nu \ .

在这个恒等式中，将两端所包含的v换作-v，并利用双曲函数的奇偶性，立即可得

\mathtt { s h } ( u - \nu ) = \mathtt { s h } u \mathtt { c h } ( - \nu ) + \mathtt { c h } u \mathtt { s h } ( - \nu )

= \sinh u \operatorname { c h } \nu - \operatorname { c h } u \sinh \nu \ .

同样可证明关于 \operatorname { c h } ( u \pm \nu ) 的恒等式.故有

\mathrm { s h } ( u \pm \nu ) = \mathrm { s h } u \mathrm { c h } \nu \pm \mathrm { c h } u \mathrm { s h } \nu ,\tag{5-1}

\operatorname { c h } ( u \pm \nu ) = \operatorname { c h } u \operatorname { c h } \nu \pm \operatorname { s h } u \operatorname { s h } \nu ~ .\tag{5-2}

在关于 \operatorname { c h } ( u - \nu ) 的恒等式中，令 \nu = u ，又可得到一个重要的恒等式

{ \mathrm { c h } } ^ { 2 } u - { \mathrm { s h } } ^ { 2 } u = 1 \ .\tag{5-3}

由(5-1)~(5-3)可以推出很多恒等式.(5-3)式两端同除以 \operatorname { c h } ^ { 2 } { u } ，就得到

1 - \mathrm { t h } ^ { 2 } u = { \frac { 1 } { \mathrm { c h } ^ { 2 } u } } \ .\tag{5-4}

(5-1)，(5-2)式中（取加号的情况），令 \nu = u ，就得到

\sinh 2 u = 2 \mathrm { s h } u \mathrm { c h } u \ ,\tag{5-5}

\mathrm { c h } ~ 2 u = \mathrm { c h } ^ { 2 } ~ u + \mathrm { s h } ^ { 2 } ~ u = 2 \mathrm { c h } ^ { 2 } ~ u - 1 ~ .\tag{5-6}

双曲函数的反函数叫作反双曲函数，分别记作arsh x，arch x及arthx.由于双曲函数是由指数函数构成的，故反双曲函数与对数函数有一定的联系.

设 y = \mathrm { a r s h } x ，则 x = \operatorname { s h } y ，即

x = { \frac { { \bf e } ^ { y } - { \bf e } ^ { - y } } { 2 } } ,\tag{5-7}

我们希望由此解出 y ，将 y 表达为x的一个数学式子.

(5-7)式两端乘以 2 \mathrm { e } ^ { y } ，就得到

( \mathrm { e } ^ { y } ) ^ { 2 } - 2 x \mathrm { e } ^ { y } - 1 = 0 ~ ,\tag{5-8}

将(5-8)式看成关于 \mathrm { e } ^ { y } 的二次方程，即可解得

\mathbf { e } ^ { y } = x \pm { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ~ ,\tag{5-9}

但 \mathrm { e } ^ { y } 不能取负值，故(5-9)式右端只取正号，即

\mathbf { e } ^ { y } = x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ~ ,

也就是

y = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) ,

这样，我们就得到

y = \operatorname { a r s h } x = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) ~ .

应该注意到反双曲正弦函数的定义域.由于 y = \mathop { \mathrm { a r s h } } x 就是 x = \operatorname { s h } y ，由后式可以看出，x的取值范围是 ( - \infty , + \infty ) ，故得

\operatorname { a r s h } x = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) \quad ( - \infty < x < + \infty ) \ .\tag{5-10}

同样，可以求得

\operatorname { a r c h } x = \pm \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } ) ( x \geq 1 ) ,\tag{5-11}

\operatorname { a r t h } x = \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { 1 + x } { 1 - x } \ ( - 1 < x < 1 ) \ .\tag{5-12}

推导 (5-11)式时，化简过程中要用到

\ln ( x - \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } ) = \ln \frac { 1 } { x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } = - \ln ( x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } ) \ ( x \geq 1 ) \ .

y = \operatorname { a r s h } x ， y = \operatorname { a r t h } x 都是单值函数，而 y = \operatorname { a r c h } x 是双值函数，一般取它在上半平面的那一支作为主值分支，即取表达式 \operatorname { a r c h } x = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } ) ( x \geq 1 )

反双曲函数的图形与相应的双曲函数的图形关于直线 y = x 对称，由此就容易画出反双曲函数的图形(见图4).

图4

附录6

变形技巧

数学考题的解题过程，本质上就是建立一座连接条件与结论的桥梁，搭建这座桥梁的每一步都是一个转化.无论这种转化所体现的是“等量关系”“等价关系”，还是“不等量放缩”“充分关系”“必要关系”，均可在形式上统称为变形、在做题中，变形的处理，贯穿始终，请读者务必高度重视，且在多次研读本部分内容后做到实践，总结，再实践，再总结，形成自己强大的数学题变形转化的能力，使变形如行云流水，必有所成.

1 等式变形与等价变形

用“=”连接数学中的量A与量B，称为等式，于是A与B的相互转化，即等式变形.

用“”连接命题A与命题B，称为等价，于是A与B的相互转化，即等价变形.

(1)定义法.

定义法是说，用A定义B，则 B \Leftrightarrow A ，给出B，回归定义A，这是最基本的方法.

如 \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = 0 ，用定义：任给ε>0，存在 \delta > 0 ，当 0 < \mid x \mid < \delta 时，恒有 \left| f ( x ) \right| < \varepsilon ，按题意取δ,如下面的注例.

注例设f（x）具有一阶连续导数，且 \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } [ x - f ( x ) ] = 0 \ , f ( 1 ) < 1 ，证明：

(1)存在 \xi > 1 ，使得 | \xi - f ( \xi ) | < 1 - f ( 1 ) ！

（2)存在n>1，使得f‘(n)>1.

证（1）由 \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } [ x - f ( x ) ] = 0 ，得对于任意的ε>0，存在𝑋>1，当 \xi > X > 1 有 | \xi - f ( \xi ) | < \varepsilon 取 \varepsilon = 1 - f ( 1 ) > 0 得证

（2）由 | \xi - f ( \xi ) | \geq \xi - f ( \xi ) ，结合（1)），有 \xi - f ( \xi ) { \le } | \xi - f ( \xi ) | { < } 1 - f ( 1 ) ，移项得 \xi - 1 < f ( \xi ) - f ( 1 )

由拉格朗日中值定理，存在 \eta \in ( 1 , \xi ) ,使 f ^ { \prime } ( \eta ) = \frac { f ( \xi ) - f ( 1 ) } { \xi - 1 } > 1 ,得证.

再如，导数定义是常考题：

①给出f(x)在 \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } 处连续，且 \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { x - x _ { 0 } } } = a ，则

\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = 0 = f ( x _ { 0 } ) ,

于是 f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = a

②给出f(x)在 \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } 的某邻域内一阶可导，且 \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } } = a ，则

\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = 0 = f ( x _ { 0 } ) ,

于是 f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } } ( x - x _ { 0 } ) = a \bullet 0 = 0

③给出可导函数f(x)在 { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } _ { 0 } 处的切线方程为 y = g ( x ) ，则 f ( x _ { 0 } ) = g ( x _ { 0 } ) \ , \ f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = g ^ { \prime } ( x _ { 0 } )

进一步，若 f ^ { \prime \prime } ( x ) > 0 ，且令 F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ，则有

F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) - g ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 ~ ,

F ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0 ,

所以 \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } 为F(x)的极小值点.

④给出可导函数f(x)与g(x)在 { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } _ { 0 } 处相切，则 f ( x _ { 0 } ) = g ( x _ { 0 } ) \ , f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = g ^ { \prime } ( x _ { 0 } )

进一步，若 f ^ { \prime \prime } ( x ) > 0 \ , g ^ { \prime \prime } ( x ) < 0 ，且令 F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ，则有

F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) - g ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 ~ ,

F ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) - g ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0 \ ,

所以 \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } 为 F ( x ) 的极小值点.

(2)公式法.

数学公式是用数学思想与方法已经得出的解决问题的简便数学表达.一方面，要注意公式的特征（也就是说，这个数学表达式的独特性在哪里？此独特性就指向解题思考的方向）；另一方面，要注意公式的成立条件（也就是说，这个数学表达式在什么条件下使用？对成立条件的思考，可加强对解题方向的把握）.

如：

f ( x ) = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + \frac { f ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { 2 } x ^ { 2 } + \cdots ,

泰勒展开式的独特性就在于它用函数在 x = 0 处的各阶导数值来近似表示 x = 0 附近的值，形式上联系了{ } ^ { \ast } f ( x ) { } ^ { \prime \prime } 与 { } ^ { 4 } f ^ { ( n ) } ( x ) , n \geqslant 2 ^ { \prime \prime } .独特性的成立条件是“n阶可导， n \geq 2 ^ { \prime \prime } ，更可确认用泰勒公式.

(3)换元法.

引入新元，代换掉旧元，使问题在形式或表述上简单化、规范化和常规化，从而解决问题.

①复杂部分代换.

正如前述，引入新元，使表达式简单，易于处理，如计算 \int \ln \left( 1 + \sqrt { \frac { 1 + x } { x } } \right) \mathrm { d } x , 令 t = \ln \left( 1 + { \sqrt { \frac { 1 + x } { x } } } \right) 即可打开局面.

②平移换元法 \begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \vec { \mathcal { J } } _ { \triangle } ^ { \pm } \vec { \mathcal { K } } \vec { \mathcal { K } } , } \\ { \vec { \mathcal { W } } \vec { \mathcal { K } } \vec { \mathcal { K } } . } \end{array} \right. } \end{array}

a.宏观上，若x→1，令 t = x - 1 ，则 t \to 0

b.微观上，若 a < b ，则令 c = a + \varepsilon ( 0 < \varepsilon < b - a ) ，于是有 a < a + \varepsilon < b

当 b - a 很小时，可称“见缝插针”，此法常用于研究局部性质.

③消元换元法．

此换元法的目的在于消元.

a.若 x _ { 1 } > x _ { 2 } ，可令 x _ { 1 } = x _ { 2 } + t , t > 0 ，则 x _ { 1 } x _ { 2 } = ( x _ { 2 } + t ) x _ { 2 }

b.若 x _ { 1 } > x _ { 2 } > 0 ，可令 x _ { 1 } = t x _ { 2 } \ , t > 1 ，则 x _ { 1 } x _ { 2 } = t x _ { 2 } ^ { 2 }

c.零和换元法.

当 x _ { 1 } + x _ { 2 } = a 时，令

x _ { 1 } = { \frac { a } { 2 } } + t \ , x _ { 2 } = { \frac { a } { 2 } } - t \ .

当 2 x + y = 1 时，令

2 x = \frac { 1 } { 2 } + t \ , y = \frac { 1 } { 2 } - t \ .

当 x + y + z = 1 时，令

x = \frac { 1 } { 3 } + t _ { 1 } , y = \frac { 1 } { 3 } + t _ { 2 } , z = \frac { 1 } { 3 } - t _ { 1 } - t _ { 2 } .

注多说一句，对数学一、数学三的读者，看到 x + y + z = 1 可否想到概率的归一性？如下面的注例

注例设x，y，z均大于0，且 x + y + z = 1 证明

\frac { 4 } { x } + \frac { 1 } { y } + \frac { 1 } { z } \geq 1 6 .

证设随机变量X的分布为

P \left\{ X = { \frac { 2 } { x } } \right\} = x , P \left\{ X = { \frac { 1 } { y } } \right\} = y , P \left\{ X = { \frac { 1 } { z } } \right\} = z ,

则有

E X = x \cdot { \frac { 2 } { x } } + y \cdot { \frac { 1 } { y } } + z \cdot { \frac { 1 } { z } } = 4 ,

E ( X ^ { 2 } ) = x \cdot { \frac { 4 } { x ^ { 2 } } } + y \cdot { \frac { 1 } { y ^ { 2 } } } + z \cdot { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { x } } + { \frac { 1 } { y } } + { \frac { 1 } { z } } \ .

由于

D X = E ( X ^ { 2 } ) - ( E X ) ^ { 2 } \geq 0 ~ ,

因此

\frac { 4 } { x } + \frac { 1 } { y } + \frac { 1 } { z } \geq 1 6 ,

得证

\begin{array} { r } { \underset { \mathrm { H F - } } { \overset { { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ r ~ } } } {  } } \frac { \mathrm { ~ \mathord { \mathbb ~ g } ~ } } { \mathrm { \mathbb ~ g } } + \frac { \mathrm { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ f ~ } } } { \mathrm { \mathbb ~ g } } \frac { \mathrm {  { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ } } } } { \mathrm { \mathbb ~ H } } \mathrm {  ~ } E ( X ^ { 2 } ) \geq ( E X ) ^ { 2 } \overset { + } { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ f ~ } } \frac { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ f ~ } } { \mathrm { \mathbb ~ g } } \mathrm {  { \mathbb ~ g } } \mathrm {  { \mathbb ~ g } } \ast \mathrm {  { \mathbb ~ g } } \ast \mathrm {  ~ \{ \mathbb ~ R } ~ } _ { 0 } \mathrm {  ~ \mathrm { \scriptstyle ~ f ~ f ~ } } \ast \mathrm {  ~ { \mathbb ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \mathbb ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ f ~ } } \ast \mathrm {  ~ { \mathbb ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^  \end{array}

④商抵换元法.

当 x _ { 1 } x _ { 2 } = a ^ { 2 } 时，令 \scriptstyle x _ { 1 } = t a \ , x _ { 2 } = { \frac { a } { t } }

（4）相消法.

加减相消法、乘除相消法和错位相消法是相消法的三种情况.

①加减相消法.

a.裂项为 a _ { n + 1 } - a _ { n } ; \mathsf { b } . 创造 a _ { n + 1 } - a _ { n } = f ( n ) ，然后得 a _ { n + 1 } = a _ { n + 1 } - a _ { n } + a _ { n } - a _ { n - 1 } + \dots + a _ { 2 } - a _ { 1 } + a _ { 1 } ，本质 上是通分的逆运算，形式上作同形分解.

如

{ \frac { 1 } { n ( n + k ) } } = { \frac { 1 } { k } } \left( { \frac { 1 } { n } } - { \frac { 1 } { n + k } } \right) ,

\frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 n - 1 } - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \right) ,

\frac { 1 } { n ( n + 1 ) ( n + 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \Bigg [ \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } - \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } \Bigg ] ,

{ \frac { \mathrm { e } ^ { - n } ( \mathrm { e } - 1 ) } { ( 1 - \mathrm { e } ^ { - n } ) ( \mathrm { e } - \mathrm { e } ^ { - n } ) } } = { \frac { \mathrm { e } ^ { n } ( \mathrm { e } - 1 ) } { ( \mathrm { e } ^ { n } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { n + 1 } - 1 ) } } = { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { n } - 1 } } - { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { n + 1 } - 1 } } ,

在思想上，还可与共轭法和对数运算性质结合在一起思考.

关键就是有同形分解的意识和办法.

\not { k } | | | \frac { 2 ^ { - n } } { ( 1 - 2 ^ { - n } ) ( 2 - 2 ^ { - n } ) } = \frac { 2 ^ { n } } { ( 2 ^ { n } - 1 ) ( 2 ^ { n + 1 } - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 ^ { ^ n } - 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { ^ n + 1 } - 1 } \ .

又如 \frac { a _ { n + 1 } } { n } = \frac { a _ { n } } { ( n + 1 ) ( n a _ { n } + 1 ) } , a _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ，则

( n + 1 ) a _ { n + 1 } = \frac { n a _ { n } } { n a _ { n } + 1 } \Rightarrow \frac { 1 } { ( n + 1 ) a _ { n + 1 } } = 1 + \frac { 1 } { n a _ { n } } \Rightarrow \frac { 1 } { ( n + 1 ) a _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { n a _ { n } } = 1 \ ,

故

\frac { 1 } { n a _ { n } } = \frac { 1 } { n a _ { n } } - \frac { 1 } { ( n - 1 ) a _ { n - 1 } } + \frac { \cdot } { ( n - 1 ) a _ { n - 1 } } - \frac { 1 } { ( n - 2 ) a _ { n - 2 } } + \cdots + \left( \frac { 1 } { 2 a _ { 2 } } - \frac { 1 } { a _ { 1 } } \right) + \frac { 1 } { a _ { 1 } } = ( n - 1 ) + 2 = n + 1 \Rightarrow a _ { n } = \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } \ .

②乘除相消法.

创造 \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = f ( n ) ，然后得 a _ { n } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } \bullet { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } \bullet \cdots \bullet { \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } } \bullet a _ { 1 }

如 a _ { n } = ( n - 1 ) a _ { n - 1 } + \cdots + 3 a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } + a _ { 1 } \ , a _ { 1 } = 1 \ , n \geqslant 2 ，则 \scriptstyle a _ { n + 1 } - a _ { n } = n a _ { n } , \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } = n + 1

故 a _ { n } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } \bullet { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } \bullet \cdots \bullet { \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } } \bullet a _ { 2 } = n ( n - 1 ) \bullet \cdots \bullet a _ { 3 } \bullet a _ { 2 } ，且 a _ { 2 } = a _ { 1 } = 1 ，得 a _ { n } = { \frac { n ! } { 2 } }

③错位相消法.

S _ { n } = a + a q + a q ^ { 2 } + \cdots + a q ^ { n - 1 } ,\tag{*}

q S _ { n } = a q + a q ^ { 2 } + \cdots + a q ^ { n } \ ,\tag{**}

由(*)-(**），得 ( 1 - q ) S _ { n } = a - a q ^ { n } ，于是 S _ { n } = { \frac { a ( 1 - q ^ { n } ) } { 1 - q } } , q \not = 1

(5)同除法或解方程法.

①形如 a _ { n + 1 } = k a _ { n } + f ( n ) ( k \neq 0 , 1 ) \Rightarrow { \frac { a _ { n + 1 } } { k ^ { n + 1 } } } = { \frac { a _ { n } } { k ^ { n } } } + { \frac { f ( n ) } { k ^ { n + 1 } } } ，得 \left\{ { \frac { a _ { n } } { k ^ { n } } } \right\}

例1 设数列 \left\{ a _ { n } \right\} 满足 a _ { n + 1 } = 2 a _ { n } + 2 ^ { n + 2 } , a _ { 1 } = 2 ，求 a _ { n } 的表达式．

解 由题设可知,

\frac { a _ { n + 1 } } { 2 ^ { n + 1 } } = \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } + 2 \Rightarrow \frac { a _ { n + 1 } } { 2 ^ { n + 1 } } - \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } = 2 \ ,

因此 \left\{ { \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } } \right\} 是以1为首项，2为公差的等差数列，则

\frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } = 1 + 2 ( n - 1 ) = 2 n - 1 \ .

故 a _ { n } = 2 ^ { n } ( 2 n - 1 )

②当 a _ { n + 1 } + A a _ { n } = B ^ { n } \bullet P _ { m } ( n ) 时，有 a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { C \bullet ( - A ) ^ { n } + B ^ { n } Q _ { m } ( n ) , } & { B \neq - A , } \\ { C \bullet ( - A ) ^ { n } + n \bullet B ^ { n } Q _ { m } ( n ) , } & { B = - A , } \end{array} \right. 其中 P _ { m } ( n ) 为n的m次多项式，

Q _ { m } ( n ) 为n的m次多项式.

如例1中， a _ { n + 1 } - 2 a _ { n } = 4 \bullet 2 ^ { n } ，则 a _ { n } = C { \bullet } 2 ^ { n } + n { \bullet } 2 ^ { n } { \bullet } D .又 a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 2 ，有 a _ { 2 } = 2 \bullet a _ { 1 } + 2 ^ { 3 } = 1 2 ，因此有

2 = a _ { 1 } = C \bullet 2 + 2 \bullet D , 1 2 = a _ { 2 } = C \bullet 2 ^ { 2 } + 2 \bullet 2 ^ { 2 } \bullet D \Rightarrow \left\{ { C + D = 1 , \atop C + 2 D = 3 }  \right\} { C = - 1 , }

故 a _ { n } = ( - 1 ) \bullet 2 ^ { n } + 2 n \bullet 2 ^ { n } = 2 ^ { n } ( 2 n - 1 )

③形如 a _ { n } a _ { n + 1 } = p a _ { n } + q a _ { n + 1 }

当 p q \neq 0 时， \frac { p } { a _ { n + 1 } } + \frac { q } { a _ { n } } = 1

当 p + q \neq 0 时， p { \left( { \frac { 1 } { a _ { n + 1 } } } - a \right) } + q { \left( { \frac { 1 } { a _ { n } } } - a \right) } = 0 \ , a = { \frac { 1 } { p + q } }

例2 已知数列 \left\{ a _ { n } \right\} 满足 \sqrt { a _ { n } a _ { n - 2 } } = \sqrt { a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } } + 2 a _ { n - 1 } ( n \geqslant 2 ) ，且 a _ { 0 } = a _ { 1 } = 1 ，求 a _ { n } ( n \geqslant 2 ) 的表达式.解 由题设可知， { \sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } } - 2 { \sqrt { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } } = 1 ，因此有 \sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } + 1 = 2 \left( \sqrt { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } + 1 \right) ，故 \left\{ { \sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } } + 1 \right\} 是以\sqrt { \frac { a _ { 1 } } { a _ { 0 } } } + 1 = 2 为首项，以2为公比的等比数列，所以 \sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } + 1 = 2 ^ { n } ，故 \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = \left( 2 ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 } ，所以

a _ { n } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } \bullet { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } \bullet \cdots \bullet 1 = \prod _ { k = 2 } ^ { n } \left( 2 ^ { k } - 1 \right) ^ { 2 } ( n \geqslant 2 ) ~ .

④若有 f ( a _ { n + 1 } , \ a _ { n } , \ a _ { n - 1 } ) = 0 ，可创造 a _ { n + 1 } - a _ { n } , a _ { n } - a _ { n - 1 } ，命其分别为 b _ { n + 1 } , b _ { n } ，再创造如①,③的情形.

例3 已知数列 \left\{ a _ { n } \right\} 满足 a _ { n + 1 } = { \frac { 1 } { n + 1 } } ( n a _ { n } + a _ { n - 1 } ) ( n \geqslant 1 ) ，a=1， a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 0 ，求 a _ { n } - a _ { n - 1 } ( n \geq 1 )

解 由题设可知， ( n + 1 ) a _ { n + 1 } - ( n + 1 ) a _ { n } = - ( a _ { n } - a _ { n - 1 } ) ，故 a _ { n + 1 } - a _ { n } = - { \frac { 1 } { n + 1 } } ( a _ { n } - a _ { n - 1 } ) ，所以

a _ { n } - a _ { n - 1 } = \left( - \frac { 1 } { n } \right) \bullet \left( - \frac { 1 } { n - 1 } \right) \bullet \cdots \bullet \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \bullet ( a _ { 1 } - a _ { 0 } ) = ( - 1 ) ^ { n } \bullet \frac { 1 } { n ! } ( n \geqslant 1 ) \ .

⑤当 f ( a _ { n + 1 } , \ a _ { n } , \ a _ { n - 1 } ) = 0 为线性方程，即 a _ { n + 1 } + A a _ { n } + B a _ { n - 1 } = 0 时，因 a _ { n } = \lambda ^ { n } 是其解的形式，故\lambda ^ { n + 1 } + A \lambda ^ { n } + B \lambda ^ { n - 1 } = 0 ，有 \lambda ^ { n - 1 } ( \lambda ^ { 2 } + A \lambda + B ) = 0 ，若 \scriptstyle 4 = A ^ { 2 } - 4 B > 0 ，解此方程有两个互异的实根 \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } 则根据线性方程的解的结构有 a _ { n } = C _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { ~ n } + C _ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { ~ n } .若 \scriptstyle 4 = A ^ { 2 } - 4 B = 0 ，有 a _ { n } = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } n ) { \biggl ( } - { \frac { A } { 2 } } { \biggr ) } ^ { n } ，并由初始条件来定 C _ { 1 } , \ C _ { 2 } 即可．

(6)倒置法.

将题给表达式取倒数，改变表达式结构，常用于分母复杂、分子单一的情形，即将 \ " \Delta \ " \ \ " \nabla \ " 例4 已知数列 \left\{ a _ { n } \right\} 满足 a _ { n + 1 } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n } + 2 } } ，且 a _ { 1 } = 1 ，求 a _ { n } 的表达式.

解 由题设可知， \frac { 1 } { a _ { n + 1 } } = 1 + \frac { 2 } { a _ { n } } ，因此有

\frac { 1 } { a _ { n + 1 } } + 1 = 2 \biggl ( \frac { 1 } { a _ { n } } + 1 \biggr ) ,

又 a _ { 1 } = 1 ，则 \frac { 1 } { a _ { 1 } } + 1 = 2 ，故 { \frac { 1 } { a _ { n } } } + 1 = 2 ^ { n } ，所以 a _ { n } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } - 1 } }

(7)平方开方法.

将题给表达式配成 a ^ { 2 } 或 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } 的形式，其表达式一般有如下特征．

①倒数之和，即若 a = \frac { 1 } { b } ，则有 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 = ( a - b ) ^ { 2 } + 2 ，如

x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } - 2 = \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 \ ,

{ \bf e } ^ { 2 x } + { \bf e } ^ { - 2 x } = ( { \bf e } ^ { x } + { \bf e } ^ { - x } ) ^ { 2 } - 2 = ( { \bf e } ^ { x } - { \bf e } ^ { - x } ) ^ { 2 } + 2 .

②线性组合，如若 a + { \frac { b } { 2 } } = c （定值），则

a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } = \left( a + { \frac { b } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 4 } } b ^ { 2 } = c ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 4 } } b ^ { 2 } \ .

\widehat { 3 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } , a + b + c , a b + b c + a c , ( a + b ) ^ { 2 } + ( b + c ) ^ { 2 } + ( c + a ) ^ { 2 } + \ldots 的关系．

a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = ( a + b + c ) ^ { 2 } - 2 ( a b + b c + a c ) \ ,\tag{*}

a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + a b + b c + a c = \frac { 1 } { 2 } [ ( a + b ) ^ { 2 } + ( b + c ) ^ { 2 } + ( a + c ) ^ { 2 } ] .\tag{**}

(*)，(**)式可将上述表达式联系起来，遇到相关表达式时，可用(*)，(**)式试着作等式变形与转化.
④三角函数的倍角公式.

1 + \sin 2 \theta = \left( \sin \theta + \cos \theta \right) ^ { 2 } \ .

注这里可有启发：若 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ( x > 0 , y > 0 ) 7 \{ x = \cos \theta , \quad \theta \in ( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } ) \quad 则可化简一些式子，如z = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } + \frac { x } { y } + 1 = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } + \cot \theta + 1 = \csc ^ { 2 } \theta + \cot \theta + 1 = \left( \cot \theta + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 7 } { 4 } \geqslant \frac { 7 } { 4 } >1+cot²0

③平方后可简化.

若 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = A a b = B ，则 \vert a + b \vert = \sqrt { \left( a + b \right) ^ { 2 } } = \sqrt { A + 2 B }

如

\sqrt { 1 + \sqrt { a _ { n } } } + \sqrt { 1 - \sqrt { a _ { n } } } = \sqrt { 2 + 2 \sqrt { 1 - a _ { n } } } \ ,

{ \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 3 } } } } = { \sqrt { 4 + 2 { \times } 1 } } = { \sqrt { 6 } } ~ .

又如

y = \sqrt { x + 1 } + \sqrt { 2 - x } \Rightarrow y ^ { 2 } = 3 + 2 \sqrt { ( 2 - x ) ( x + 1 ) } \ ,

这样一变形，方便讨论最值.

(8)特殊值法.

区 \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } ，使欲求表达式与条件表达式产生联系．

如 f ( x ) = a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d ，则

a + b + c + d = f ( 1 ) ,

a - b + c - d = - f ( - 1 ) ,

3 a + 2 b + c = f ^ { \prime } ( 1 ) ,

所以

a + c = \frac { 1 } { 2 } [ f ( 1 ) - f ( - 1 ) ] \ ,

b + d = \frac { 1 } { 2 } [ f ( 1 ) + f ( - 1 ) ] \ .

(9)因式分解法.

a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } = { \frac { a ^ { 3 } - b ^ { 3 } } { a - b } } ,

a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } = { \frac { a ^ { 3 } + b ^ { 3 } } { a + b } } \ .

当 _ n 为正整数时， a ^ { n - 1 } + a ^ { n - 2 } b + \cdots + a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } = { \frac { a ^ { n } - b ^ { n } } { a - b } }

当n为正奇数时， a ^ { n - 1 } - a ^ { n - 2 } b + \cdots - a b ^ { ^ { n - 2 } } + b ^ { n - 1 } = \frac { a ^ { n } + b ^ { n } } { a + b }

(10)整数幂和法.

1 ^ { k } + 2 ^ { k } + \cdots + n ^ { k } = { \frac { 1 } { k + 1 } } n ^ { k + 1 } + R _ { k } \ .

如

1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + \cdots + n ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 3 } } n ^ { 3 } + R _ { 2 } ,

1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + \cdots + n ^ { 3 } = { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 4 } + R _ { 3 } ,

1 ^ { 4 } + 2 ^ { 4 } + \cdots + n ^ { 4 } = { \frac { 1 } { 5 } } n ^ { 5 } + R _ { 4 } \ .

这在放缩法中有重要作用.

山 例5 计算 \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \sin { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + \sin { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + \sin { \frac { n } { n ^ { 2 } } } \right)

解 由

x - { \frac { 1 } { 6 } } x ^ { 3 } < \sin x < x ( 0 < x < 1 ) ,

故 { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { 1 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + { \frac { 2 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + \cdots + { \frac { n ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } \right) < \sin { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + \sin { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + \sin { \frac { n } { n ^ { 2 } } } < { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } + \cdots 而

\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } n ( n + 1 ) } { n ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } , \qquad { \frac { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + \cdots + n ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } = { \frac { { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 4 } + R _ { 3 } } { n ^ { 6 } } } \to 0 ,

无须计算

\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \left( { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } \right) - { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { 1 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + { \frac { 2 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + \cdots + { \frac { n ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } \right) \right] = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { 2 } } n ( n + 1 ) \atop n ^ { 2 }  - 0 = { \frac { 1 } { 2 } } , \qquad N = 2 \pi .

由夹逼准则,

\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } ( \sin \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \sin \frac { 2 } { n ^ { 2 } } + \cdots + \sin \frac { n } { n ^ { 2 } } ) = \frac { 1 } { 2 } \ .

注此题不是形如 \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum f { \biggl ( } { \frac { k } { n } } { \biggr ) } { \frac { 1 } { n } } 的问题，不能用定积分定义

(11)三角公式法.

①

\begin{array} { l } { { a \sin x + b \cos x = \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } \Bigg ( \sin x { \bullet } \frac { a } { \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } } + \cos x { \bullet } \frac { b } { \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } } \Bigg ) } } \\ { { = \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } ( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi ) = \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } \sin ( x + \varphi ) ~ , } } \end{array}

其中φ为向量(a，b)的方向角.

② \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } - \alpha \right) = { \frac { 1 - \tan \alpha } { 1 + \tan \alpha } }

(12)共轭法.

A与B互为共轭式，可理解为A，B具有函数形式上的相似性，且其代数运算结果简单，当题中出现A时，可考虑B，并与A作运算．

①由于 { \sqrt { a } } - { \sqrt { b } } = { \frac { a - b } { { \sqrt { a } } + { \sqrt { b } } } } ，故见到 { \sqrt { a } } - { \sqrt { b } } ，可考虑其共轭式 \sqrt { a } + \sqrt { b }

当然，更为广泛地， a + b 与a-b亦互为共轭式.

②由于 \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x = 1 或 2 \sin x \cos x = \sin 2 x ，则 sin x与cos x互为共轭式.

③由于

( a \sin x + b \cos x ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x + 2 a b \sin x \cos x \ ,

( b \sin x - a \cos x ) ^ { 2 } = b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x - 2 a b \sin x \cos x \ ,

故

( a \sin x + b \cos x ) ^ { 2 } + ( b \sin x - a \cos x ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \ .

所以见到 a \sin x + b \cos x ，可考虑其共轭式 b \sin x - a \cos x

④由于

\cos a x \cos b x + \sin a x \sin b x = \cos ( a - b ) x \ ,

\cos a x \cos b x - \sin a x \sin b x = \cos ( a + b ) x \ ,

故见到cos ax cos bx，可考虑其共轭式 sin ax sin bx.

例6已知 f ( x ) = \cos a x \cos b x ，则 f ^ { ( n ) } ( x ) = { \underline { { \quad } } }

解 应填 \frac { ( a + b ) ^ { n } } { 2 } \cos \left[ ( a + b ) x + \frac { n \pi } { 2 } \right] + \frac { ( a - b ) ^ { n } } { 2 } \cos \left[ ( a - b ) x + \frac { n \pi } { 2 } \right] .

方法一积化和差.

先将函数变形为 \scriptstyle { \mathcal { f } } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } [ \cos ( a + b ) x + \cos ( a - b ) x ] ，再利用常用函数的高阶导数公式得

f ^ { ( n ) } ( x ) = { \frac { ( a + b ) ^ { n } } { 2 } } \cos \left[ ( a + b ) x + { \frac { n \pi } { 2 } } \right] + { \frac { ( a - b ) ^ { n } } { 2 } } \cos \left[ ( a - b ) x + { \frac { n \pi } { 2 } } \right] .

方法二直接使用莱布尼茨公式.

{ \begin{array} { r } { f ^ { ( n ) } ( x ) = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } a ^ { k } \cos { \left( a x + { \frac { k \pi } { 2 } } \right) } \bullet b ^ { n - k } \cos { \left[ b x + { \frac { ( n - k ) \pi } { 2 } } \right] } } \\ { = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } a ^ { k } b ^ { n - k } \cos { \left( a x + { \frac { k \pi } { 2 } } \right) } \cos { \left[ b x + { \frac { ( n - k ) \pi } { 2 } } \right] } . } \end{array} }

注尽管法二看起来似乎直接，但读者应当充分意识到，其结果是没有什么实用价值的，如果要求0处的高阶导数值，法二的结果做不到，真正有价值的结果应该仍然是法一所给出的（至少不带有求和符号），而这就需要对三角函数进行积化和差的变换：题目所给的是乘积的形式，求导是复杂的，但如果能变成加减法，每一项求导是简单的，几个式子的加减当然仍然是简单的，我们常见的裂项、这里的积化和差，都是朝加减法的角度做转化.

也希望读者能借此记住三角函数的积化和差与和差化积公式，形如此题的积化和差不仅在求高阶导数时会遇到，未来在求原函数时一样可能遇到.

此题中涉及的公式可以简要推导如下，即寻找cosaxcosbx的共轭式：

\cos a x \cos b x + \sin a x \sin b x = \cos ( a - b ) x ~ , ~ \cos a x \cos b x - \sin a x \sin b x = \cos ( a + b ) x ~ ,

两式相加、相减即得到两个积化和差公式，类似方法可以得到另外两个积化和差公式，对其换元，即可得到和差化积公式

显然，以上内容还未包括以下常用的等式变形：

① a = a + b - b （加项减项）.

a = \frac { a } { b } \bullet b （除项乘项）.

1 1 = a \bullet { \frac { 1 } { a } } = \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x = a ^ { 0 } （1的转化）（如 1 = \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { \circ } } \ \boldsymbol { ) }

x ^ { 4 } + 1 = x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) （创造 a + \frac { 1 } { a } )

⑤ a ^ { b } = c ^ { d } \Rightarrow b \ln a = d \ln c （取对数法）.

⑥ \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x

②不等式变形

用不等号连接数学中的量A与量B，称为不等式，于是A与B的相互转化形成了放大与缩小，即不等式变形.

(1)抽象型基本不等关系.

① 0 \leqslant a + | a | \leqslant 2 | a |

② \mid a \mid = \mid a - b + b \mid \leqslant \mid a - b \mid + \mid b \mid

③ \mid a - b \mid = \mid a - c + c - b \mid \leqslant \mid a - c \mid + \mid c - b \mid →三个量的关系

{ \frac { 2 } { { \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { b } } } } \leqslant \sqrt [ 6 ] { a b } \leqslant { \frac { a + b } { 2 } } \leqslant \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } \ ( a , \ b > 0 )

5 \vert \stackrel { \lbrack a b ) \vert \leqslant \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

\enclose{circle} { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \geq 2 a b . \cdots ^ { - 3 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 为目标放缩4 a b { \leqslant } ( a + b ) ^ { 2 } \leqslant 2 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) \begin{array} { l l } { { \ldots } } & { { } ^ { \bullet } a + b { \mathrm { ~ \Pi ~ } } ^ { \bullet } { \mathfrak { K } } { \mathrm { ~ \} } ^ { \bullet } ( a + b ) ^ { 2 } { \mathrm { ~ \cdot ~ } } } } \\ { { \widehat { \mathcal { H } } { \mathrm { ~ \div ~ } } { \widehat { \mathcal { H } } } { \mathrm { ~ \div ~ } } { \widehat { \mathcal { H } } } { \mathrm { ~ \xi ~ } } { \widehat { \mathcal { H } } } { \mathrm { ~ \cdot ~ } } } } \end{array}

8 \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \geq \frac { 2 } { \sqrt { a b } } ( a , b > 0 ) \gamma ^ { \cdots 3 } \cdot \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \cdot 为目标放缩

\enclose{circle} { 9 } \enclose{circle}  \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \geq \frac { 4 } { a + b } ( a , \ b > 0 )

10 \enclose{circle} { ( a + b ) } \left( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \right) \geqslant 4 ( a , \ b > 0 ) \ . \qquad \stackrel { \triangledown } { \scriptscriptstyle \mathscr { A } } { } ^ { * } = a + b ^ { * } \ { } ^ { * } \ { } ^ { * } \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } ^ { * } \ . 为目标放缩

① \scriptstyle \sum _ { c } ^ { \prime } + { \frac { b ^ { 2 } } { d } } \geq { \frac { ( a + b ) ^ { 2 } } { c + d } } ( a , \ b , \ c , \ d > 0 ) \ . \ldots 3 \ ^ { - } k _ { 1 } a ^ { 2 } + k _ { 2 } b ^ { 2 } \ ^ { - } 为目标放缩

① { \frac { a + b + c } { 3 } } \geqslant { \sqrt [ { 3 } ] { a b c } } ( a , b , c > 0 )

如： a > 0 \ , \frac { 2 a ^ { 3 } + 1 } { 3 a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 3 } \left( a + a + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \right) \geqslant \sqrt [ 3 ] { a \bullet a \bullet \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } = 1

? a + { \frac { 1 } { a } } \geq 2 ( a > 0 )

如：a>1， \frac { ( a - 1 ) ^ { 2 } + 1 } { a - 1 } = a - 1 + \frac { 1 } { a - 1 } \geqslant 2 \sqrt { ( a - 1 ) \bullet \frac { 1 } { a - 1 } } = 2 ‘(x-a)²+(b-x)²”为目标放缩

4 \frac { ( b - a ) ^ { 2 } } { 2 } \leqslant ( \lfloor - a \rfloor ^ { 2 } + ( b - x ) ^ { 2 } ) \leqslant ( b - a ) ^ { 2 } , x \in [ a , \ b ]

\enclose{circle} { 1 5 } \frac { ( b - a ) ^ { 3 } } { 4 } \leqslant \left( \underline { { { ( x - a ) } } } ^ { 3 } + { ( b - x ) } ^ { 3 } \right) \leqslant ( b - a ) ^ { 3 } , \ x \in [ a , \ b ] ^ { - 3 } \ . \ x - a ) ^ { 3 } + ( b - x ) ^ { 3 - \ \frac { 2 } { 9 0 } } \ \sharp \sharp \sharp \sharp \sharp \cdot \partial _ { x } \varphi .

\| \widehat { \Theta } \left| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { a } ^ { b } \left| f ( x ) \right| \mathrm { d } x ( a < b ) \ .

\left\| { \mathfrak { D } } \right\| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \bigg | } = \left| \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { a } ^ { c } [ f ( x ) | \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } | f ( x ) | \mathrm { d } x \ .

?8 ( a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } ) ( b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) （柯西不等式）.

注设 \alpha = ( a _ { 1 } , \ a _ { 2 } ) \ , \beta = ( b _ { 1 } , \ b _ { 2 } ) 则 \alpha \cdot \beta = \| \alpha \| \| \beta \| \cos \theta 即 a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } = \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } \bullet \sqrt { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } , \cos \theta .显然， \cos \theta { \leqslant } 1 故有 ( a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } ) \bullet ( b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) cosθ是刻画α，β位置关系的量，α，β越趋向于“正交”位置关系， a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } 越小，此不等式在积分学中的表达为

{ \biggl [ } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x { \biggr ] } ^ { 2 } \leqslant \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \bullet \int _ { a } ^ { b } g ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \ .

(2)抽象型条件不等关系.

这里的不等关系，是要在相关变量满足一定条件下才能成立的，故称条件不等关系.

① 0 < a < 1 \Rightarrow a > a ^ { 2 } , \frac { a ^ { 2 } } { 2 } < a - \frac { a ^ { 2 } } { 2 } < a

② 0 < a < 1 \Rightarrow ( 1 - a ) ^ { n } - ( 1 - a ) ^ { n + 1 } = ( 1 - a ) ^ { n } ( 1 - 1 + a ) = ( 1 - a ) ^ { n } \bullet a > 0

V 以“ab”为起点， " a + b " ③若 \enclose{circle} { a b } = A ，则 \enclose{circle} { a + b } { \geq } 2 \sqrt { A } ( a , b > 0 ) . 为目标放缩

④若 \enclose{circle} { a + b } = A ，则 \enclose{circle} { a b } { < } \frac { 1 } { 4 } A ^ { 2 } ( a , b > 0 ) \overrightarrow { a } + b ^ { - } 为起点， " a b " 为目标放缩

如： x _ { 0 } + ( 1 - x _ { 0 } ) = 1 \ , x _ { 0 } \in ( 0 , \ 1 ) ，则 x _ { 0 } ( 1 - x _ { 0 } ) { \leqslant } \frac { 1 } { 4 } , \ \frac { 1 } { x _ { 0 } ( 1 - x _ { 0 } ) } { \geqslant } 4

⑤ c \geqslant M \Rightarrow a + b + c \geqslant a + b + M

⑥ c { \leqslant } M \Rightarrow a + b + c { \leqslant } a + b + M

? \mid c \mid \leqslant M \Rightarrow \mid a + b + c \mid \leqslant \mid a \mid + \mid b \mid + \mid c \mid \leqslant \mid a \mid + \mid b \mid + M

8 a _ { n } > 0 \ , a _ { n } 单调减少 \cdot \Rightarrow a _ { n + 1 } \leqslant { \sqrt { a _ { n } a _ { n + 1 } } }

⑨ a , \ b > 0 \Rightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { a + b } } } < { \frac { 1 } { \sqrt { a } } }

a>1,b>0=-va<a-√a <1 a+b a

① \alpha > 1 \Rightarrow \frac { a } { 1 + a } > \frac { 1 } { 2 }

0 < a < 1 \Rightarrow { \frac { a } { 2 } } < { \frac { a } { 1 + a } } < a

3 0 < a < \frac { 1 } { 2 } \Rightarrow a < \frac { a } { 1 - a } < 2 a

4 0 < a < 1 \Rightarrow \frac { a } { 1 - a } > a

\mid 0 < a < 1 \Rightarrow 1 - \sqrt { 1 - a } = \frac { a } { 1 + \sqrt { 1 - a } } < a

16 \textrm { ) } a > 0 \Rightarrow \sqrt { b ^ { 2 } - 2 a b + 2 a ^ { 2 } } = \sqrt { ( b - a ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \geqslant | b - a |

? b > a > 0 \Rightarrow \sqrt { b ^ { 2 } - 2 a b + 2 a ^ { 2 } } = \sqrt { b ^ { 2 } - 2 a ( b - a ) } \leqslant b

0 < a < 2 \Rightarrow \sqrt { a ( 2 - a ) } \leqslant \frac { a + 2 - a } { 2 } = 1

\enclose{circle} { 1 9 } 0 < a < \frac { 1 } { 2 } \Rightarrow \sqrt { a ( 1 - 2 a ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 2 a ( 1 - 2 a ) } \leqslant \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bullet \frac { 2 a + 1 - 2 a } { 2 } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \ .

b

\displaystyle a + \frac { 4 } { a } ( a > 0 ) \leqslant 4 \Longrightarrow ( a - 2 ) ^ { 2 } \leqslant 0 \Longrightarrow a = 2

4,<<4=444

(3)初等函数不等关系.

\mathbf { e } ^ { x } \geqslant x + 1 \Rightarrow \mathbf { e } ^ { \circ } \geqslant \ j + 1 ，如： \mathbf { e } ^ { x - 1 } \geqslant x

② \mathtt { e } ^ { x } \geqslant \mathtt { e } x

③ 1 - { \frac { 1 } { x } } \leqslant \ln x \leqslant x - 1

④当 0 < x < 1 时， { \frac { x } { x + 1 } } { \leqslant } \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) { \leqslant } { \frac { 1 } { x } }

如： \ln ( 1 + n ) \leqslant n ；ln n < n ~ ; ~ \frac { 1 } { \ln \sqrt { n } } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { 2 } \ln n } = \frac { 2 } { \ln n } > \frac { 2 } { n } ~ .

事实上，根据泰勒展开式，当 x > 0 时，

\ln ( 1 + x ) = x - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } - \cdots .

又有

\ln ( 1 + x ) - x = - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } - \cdots > - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } ,

x - \ln ( 1 + x ) = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \cdots < \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } ,

故

\frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \ln \frac { n ^ { 2 } + 1 } { n ^ { 2 } } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \ln \left( 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) < \frac { 1 } { 2 n ^ { 4 } } \ .

⑤ \mathrm { e } ^ { x } - \ln x > 2

⑥ n ! < n ^ { n } , \ln n ! < \ln n ^ { n } = n \ln n , n > 1

7 \sin x < x < \tan x \ , x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right)

⑧ { \frac { 2 } { \pi } } < { \frac { \sin x } { x } } < 1 , \ x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right)

9 1 < \frac { \tan x } { x } < \frac { 4 } { \pi } , \ x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)

\left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { x } < \mathbf { e } , \ x > 0

① x \ln x \geq - { \frac { 1 } { \mathrm { e } } } , \ x > 0

① \lvert \cos x \lvert = \left. \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } - x \right) \right. \leqslant \left. x - { \frac { \pi } { 2 } } \right.

(4)函数性态中的不等关系.

①极限保号性中的不等关系.

若 \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a \neq 0 ，则当n足够大时，有 \left| x _ { n } \right| > { \frac { \left| a \right| } { 2 } }

若 \operatorname* { l i m } _ { x \to \cdot } f ( x ) = a \neq 0 ，则当x与·足够接近时，有 | f ( x ) | > { \frac { | a | } { 2 } }

当a=0时，当n足够大时，有 \left| x _ { n } \right| < { \frac { 1 } { 2 } } ，当x与·足够接近时，有 | f ( x ) | < \frac { 1 } { 2 }

②函数单调性中的不等关系.

a.若f(x)单调递增，则当 x > x _ { 0 } 时， f ( x ) \geqslant f ( x _ { 0 } )

b.若f(x)单调递增，则 ( x - x _ { 0 } ) [ f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) ] { \geqslant } 0

如：f(x)在[a,b]上单调递增 \Rightarrow { \Bigg \{ } { \Bigg [ } f ( x ) - f { \Bigg ( } { \frac { a + b } { 2 } } { \Bigg ) } { \Bigg ] } { \Bigg ( } x - { \frac { a + b } { 2 } } { \Bigg ) } \geq 0 ,

c.a， b > 0 \ , a = \ln ( a + \mathrm { e } ^ { b } ) \Rightarrow a > \ln \mathrm { e } ^ { b } = b ( \ln x . 单调）.

d.0<a，b<π cosa-a=cosb=cosa-cosb=a>0（cos x单调） \Rightarrow b > a 2

e.若f(x)单调递增，x>0，则 { \frac { x f ( x ) - \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { x ^ { 2 } } } = { \frac { x f ( x ) - f ( \xi ) x } { x ^ { 2 } } } = { \frac { f ( x ) - f ( \xi ) } { x } } > 0 \ , \xi \in ( 0 , \ x )

f.若f(x)单调递减，则 \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } f ( k + 1 ) \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } f ( k ) \mathrm { d } x = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } f ( k )

如： \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { k + 1 } } \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } { \frac { 1 } { k } } \mathrm { d } x = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { k } } 即 { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } \leqslant \int _ { 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x \leqslant 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n - 1 } } ，也即 { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } \leqslant \ln n \leqslant 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n - 1 } } ，从而 \ln 2 > { \frac { 1 } { 2 } } , \ln 3 > { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } > { \frac { 2 } { 3 } } , \cdots , \ln n > { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } > { \frac { n - 1 } { n } }

故 \ln 2 \bullet \ln 3 \bullet \cdots \ln n > { \frac { 1 } { 2 } } \bullet { \frac { 2 } { 3 } } \bullet \cdots \bullet { \frac { n - 1 } { n } } = { \frac { 1 } { n } }

③曲线凹凸性中的不等关系.

f ^ { \prime } ( x ) > 0 \Longrightarrow f ( x ) \leqslant f ( a ) + \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } ( x - a ) , \ a \leqslant x \leqslant b \ .

④积分不等关系.

0 < a _ { n } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \tan ^ { n } x \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { t ^ { n } } { 1 + t ^ { 2 } } } \mathrm { d } t < \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \mathrm { d } t = { \frac { 1 } { n + 1 } } \Rightarrow 0 < a _ { n } < { \frac { 1 } { n + 1 } } < { \frac { 1 } { n } } \Rightarrow { \frac { a _ { n } } { n ^ { p } } } < { \frac { 1 } { n ^ { 1 + p } } } \ .

③绝对值不等关系.

\begin{array} { r l } { \displaystyle \| { \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x - \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \frac { k - 1 } { n } ) } \| = \displaystyle | { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { \frac { k - 1 } { n } } ^ { \frac { k } { n } } f ( x ) \mathrm { d } x - \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \frac { k - 1 } { n } ) } | } & { } \\ { \displaystyle } & { = | { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { \frac { k } { n } - 1 } ^ { \frac { k } { n } } [ f ( x ) - f ( \frac { k - 1 } { n } ) ] \mathrm { d } x } | } \\ { \displaystyle } & { \leqslant { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { \frac { k } { n } - 1 } ^ { \frac { k } { n } } \int _ { f } ( x ) - f ( \frac { k - 1 } { n } ) } \| \mathrm { d } x \ . } \end{array}

(5)消去法中的不等关系.

①因 \frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } } > \frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 n - 1 } - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \right) \nonumber ，故

{ \begin{array} { r l } & { 1 + { \cfrac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + { \cfrac { 1 } { 5 ^ { 2 } } } + \dots + { \cfrac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } } } > 1 + { \cfrac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { 1 } { 3 } } - { \cfrac { 1 } { 5 } } + { \cfrac { 1 } { 5 } } - { \cfrac { 1 } { 7 } } + \dots + { \cfrac { 1 } { 2 n - 1 } } - { \cfrac { 1 } { 2 n + 1 } } \right) } \\ & { \qquad = 1 + { \cfrac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { 1 } { 3 } } - { \cfrac { 1 } { 2 n + 1 } } \right) } \\ & { \qquad = { \cfrac { 7 } { 6 } } - { \cfrac { 1 } { 2 ( 2 n + 1 ) } } ~ . } \end{array} }

( \overline { { { 2 } } } ) 0 < a < b \ , \ \sqrt { b } - \frac { a } { \sqrt { b } } = \frac { b - a } { \sqrt { b } } = \frac { ( \sqrt { b } + \sqrt { a } ) ( \sqrt { b } - \sqrt { a } ) } { \sqrt { b } } = \left( 1 + \sqrt { \frac { a } { b } } \right) ( \sqrt { b } - \sqrt { a } ) < 2 ( \sqrt { b } - \sqrt { a } ) \ .\tag{③}

S _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } \ , a _ { n } > 0 \Rightarrow { \frac { a _ { n } } { S _ { n } ^ { 2 } } } = { \frac { S _ { n } - S _ { n - 1 } } { S _ { n } ^ { 2 } } } < { \frac { S _ { n } - S _ { n - 1 } } { S _ { n } \bullet S _ { n - 1 } } } = { \frac { 1 } { S _ { n - 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { n } } } \ ,

故

\sum _ { k = 2 } ^ { n } { \frac { a _ { k } } { S _ { k } ^ { 2 } } } < { \frac { 1 } { S _ { 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { 2 } } } + { \frac { 1 } { S _ { 2 } } } - { \frac { 1 } { S _ { 3 } } } + \ldots + { \frac { 1 } { S _ { n - 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { n } } } = { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { n } } } \ .

本部分内容至此结束，但本书作者希望考生将本部分内容反复练习、思考，自行扩充，甚至反复抄写，达到能背诵的程度，你自会发现能力不知不觉上来了.变形能力的提升，既要在科学的方向，也要有足够量的反复实践，若解题者数学变形可如行云流水，则可达“用数学思考数学”的状态，这便是真正学会了.

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高等数学18讲主编张宇 A

活动时间

打卡时间：2025.10.15-2026.8.30

兑奖时间：2025.10.15-2026.8.30

以下两种玩法任选其一

玩法

活动规则

活动期间发布10篇优质笔记（不要求连续，且每天最多发布1篇），内容必须原创。

（1）平台：仅限小红书

(2）标题：张宇30讲【某章节/知识点】复盘总结（例如中值定理）

(3）正文：>500字（本章节的详细复盘总结）

（4）图片：>5张（必须含30讲封面、内页笔记、张宇课程页面）

（5）话题词：#张宇基础30讲#考研数学基础#27考研 #30讲#张宇30讲

玩法②

活动规则

活动期间发布打卡笔记满足60天/90天（不要求连续，且每天最多发布1篇），内容必须原创。

(1）平台：小红书或抖音

(2）标题：张宇30讲+打卡第X天+【某章节/知识点】

(3）正文：>100字，内容为今日学习内容（某章节、某知识点、某题目等）、学习感受

（4）图片或视频：图片>3张或视频>1min（必须含30讲封面、内页笔记、张宇课程页面）

（5）话题词：#张宇基础30讲#考研数学基础#27考研#30讲#张宇30讲

奖品内容

审核通过可免费获得1本27版《张宇高数18讲》

温馨提示

1、玩法①和玩法②不可重复参与。

2、玩法②两项奖励不叠加。

3、本活动最终解释权归启航教育所有。

奖品内容

打卡60天，可免费获得1本27版《张宇高数18讲》

打卡90天，可免费获得1套27版《张宇强化36讲》（包含高数18讲、线代9讲、概率9讲）

兑奖入口

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第①步