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第17讲多元函数积分学的预备知识（仅数学一）
续表
| 曲面名称 | 方程 | 图形 | ||
| 双曲抛物面（马鞍面） | $- \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } = z ( p , q > 0 )$ | 用2 $z = k ( k > 0 )$ 切得双曲线， 用x=k或y=k切得抛物线，其中k为位意常数 | ||
| 双曲抛物面（马鞍面） | $\scriptstyle z = x y$ 坐标变换： $\scriptstyle { \widehat { \varphi } } \sqrt [ ] { u = y + x } , $ | >在上图的基础上，令x轴与y 轴逆时针旋转 $\frac { \pi } { 4 }$ | ||
$z = x y$ 中由x+y=1截出的图形，  可以与三重积分、曲线积分、曲面积分相结合缺z，母线平行于z轴<(3)柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面. | ||||
| 椭圆柱面 | ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ |  →准线是椭圆或圆 | ||
| 双曲柱面 | ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ |  →准线是双曲线 | ||
| 抛物柱面 | $y = a x ^ { 2 } ( a > 0 )$ |  | ||
(4)旋转曲面：曲线厂绕一条定直线旋转一周所形成的曲面.
曲线 \Gamma \colon \textstyle \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 } \right. \mathrm { } 绕直线 L \colon \frac { x - x _ { 0 } } { l } = \frac { y - y _ { 0 } } { m } = \frac { z - z _ { 0 } } { n } 旋转一周形成一个旋转曲面，旋转曲面方程的求法如下.
如图17-1所示，设 M _ { \scriptscriptstyle 0 } ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } , y _ { \scriptscriptstyle 0 } , z _ { \scriptscriptstyle 0 } ) ，方向向量 \pmb { \tau } = ( l , m , n ) .在母线r上任取一点 M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) ，则过 M _ { 1 } 的纬圆上的任意一点P(x，y,z)满足条件
图17-1
\overrightarrow { M _ { 1 } P } \perp \tau , \ \left| \overrightarrow { M _ { 0 } P } \right| = \left| \overrightarrow { M _ { 0 } M } _ { 1 } \right| ,
即
\left\{ \begin{array} { l l } { l ( x - x _ { 1 } ) + m ( y - y _ { 1 } ) + n ( z - z _ { 1 } ) = 0 , } \\ { \qquad \quad \hfill ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) ^ { 2 } , } \end{array} \right.
与方程 F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = 0 和 G ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = 0 联立消去 x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ，便可得到旋转曲面的方程.
常考曲线厂： \left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right. 绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程如图17-2所示，在曲线Γ上任取一点 M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) 则过点 M _ { 1 } 的纬圆上的任意一点P(x,y，z)满足条件 \left. \overrightarrow { O P } \right. { = } \left. \overrightarrow { O M _ { 1 } } \right. 和 \scriptstyle z = z _ { 1 } 即x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } 且 { z = z _ { 1 } } ，得 因为 ( x - x _ { 1 } , y - y _ { 1 } , z - z _ { 1 } ) \perp ( 0 , 0 , 1 )
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } .
从方程组 \left\{ \begin{array} { l l } { F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z ) = 0 , } \\ { G ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z ) = 0 , } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right. 中消去 x _ { 1 } 和 y _ { 1 } ，便得到旋转曲面的方程
图17-2
如果能从方程组 \left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right. 中解出 \scriptstyle x = f _ { 1 } ( z ) 和 y = f _ { 2 } ( z ) 则旋转曲面的方程为
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = [ f _ { 1 } ( z ) ] ^ { 2 } + [ f _ { 2 } ( z ) ] ^ { 2 }
如求 \left\{ y ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 2 } = 1 , \right. 绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程，由方程组知 \left\{ \begin{array} { l } { { x = 0 , } } \\ { { y ^ { 2 } = 1 + ( z - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right. 则旋,转曲面的方程为 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + 1 + ( z - 1 ) ^ { 2 } ，即 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 2 } = 1
例17.5设 \varSigma _ { 1 } 是由过点(0,-1,1)与点(0,0,0)的直线L绕z轴旋转一周所得的旋转曲面位于z \geqslant 0 的部分， \varSigma _ { 2 } 的方程为 z ^ { 2 } = 2 x ，则 \textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 } 与 \varSigma _ { 2 } 的交线r在xOy面上的投影曲线方程为
解 应填 \left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.
直线L的两点式方程为 { \frac { x } { 0 } } = { \frac { y + 1 } { 1 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } } ，参数方程为 \left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 , } \\ { y = - 1 + t , } \\ { z = 1 - t , } \end{array} \right. t为参数，即 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 , } \\ { y = - z } \end{array} \right. } 由“三、2.（4)注”，得 \varSigma _ { 1 } 的方程为 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + ( - z ) ^ { 2 } = z ^ { 2 } ，也即 z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }
将 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } \\ { z ^ { 2 } = 2 x } \end{array} \right. } '中的z消去，得 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x ，即得到投影曲线方程为\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x , } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right. 曲线r和其在 x O y 面上的投影如图17-3所示.
图17-3
四多元函数微分学的几何应用
1空间曲线的切线与法平面
(1)用参数方程给出曲线： \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , \ t \in I } \\ { z = z ( t ) , } \end{array} \right.
其中 x(t)，y(t),z(t)在I上可导，且三个导数不同时为0，则曲线在 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处的切向量\tau = ( x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) , y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) , z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) )
切线方程： \frac { x - x _ { 0 } } { x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) } = \frac { y - y _ { 0 } } { y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) } = \frac { z - z _ { 0 } } { z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) }
法平面方程： x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) + y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) + z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( z - z _ { 0 } ) = 0
(2)用方程组给出曲线： \left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 . } \end{array} } \right.
当 \left. \frac { \partial ( F , G ) } { \partial ( y , z ) } = \right| \frac { \partial F } { \partial y } \left. \frac { \partial F } { \partial z } \right| _ { \partial z } 时，可确定 \begin{array}{c} \begin{array} { l } { \left\{ x = x , \right. } \\ { \left\{ y = y ( x ) \right. } \\ { \left. z = z ( x ) . \right.} \end{array} \end{array}
雅可比行列式
其在 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处的切向量 \underline { { \tau } } = \left| \frac { i } { \underline { { F } } _ { x } ^ { \prime } } \begin{array} { c c c } { j } & { k } \\ { \underline { { F } } _ { y } ^ { \prime } } & { F _ { z } ^ { \prime } } \end{array} \right| _ { \underline { { \tau } } } = ( A , B , C ) 梯度向量n两个梯度向量的叉乘：n×nG在P的梯度向量n
切线方程： { \frac { x - x _ { 0 } } { A } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { B } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { C } }
法平面方程： A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0
②空间曲面的切平面与法线
(1)用隐式方程给出曲面： F ( x , y , z ) = 0 ，其中F的一阶偏导数连续．F在P的梯度向量
其在 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处的法向量 \left. \pmb { n } = ( F _ { x } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } , F _ { y } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } , F _ { z } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } ) \right.
切平面方程： \left. F _ { x } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( x - x _ { 0 } \right) + \left. F _ { y } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( y - y _ { 0 } \right) + \left. F _ { z } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( z - z _ { 0 } \right) = 0
法线方程： \frac { x - x _ { 0 } } { \left. F _ { x } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } = \frac { y - y _ { 0 } } { \left. F _ { y } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } = \frac { z - z _ { 0 } } { \left. F _ { z } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } 或 z - f ( x , y ) = 0 则曲面在P处的法向量为 ( - f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , - f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , 1 )
(2)用显式函数给出曲面： \ O _ { z } = f ( x , y ) \Rightarrow f ( x , y ) - \stackrel { \textstyle \top } { z } = 0 ，其中f的一阶偏导数连续．
其在 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处的法向量 { \pmb n } = ( f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , - 1 ) .此法向量方向向下.
→若为正值，与z轴正方向夹角为切平面方程： f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) + f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) - ( z - z _ { 0 } ) = 0 锐角，即法向量向上：若为负值，与z轴正方向夹角为钝角，即法向量向下
法线方程： { \frac { x - x _ { 0 } } { f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } ) } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } ) } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { - 1 } }
例17.6 空间曲线 r : \left\{ \begin{array} { l l } { { x = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { u } \cos u \mathrm { d } u , } } \\ { { y = 2 \sin t + \cos t } } \\ { { z = 1 + \mathrm { e } ^ { 3 t } } } \end{array} \right. 在t=0处的切线方程为
分析x，y，z分别对t求导，然后代入t=0.
解 应填 { \frac { x - 0 } { 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z - 2 } { 3 } }
当t=0时， x = 0 , y = 1 , z = 2 ；由 x ^ { \prime } = \mathbf { e } ^ { t } \cos t , y ^ { \prime } = 2 \cos t - \sin t , z ^ { \prime } = 3 \mathrm { e } ^ { 3 t } ，得 x ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , y ^ { \prime } ( 0 ) = 2 z ^ { \prime } ( 0 ) = 3 .于是，切线方程为 { \frac { x - 0 } { 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z - 2 } { 3 } }
例17.7 设函数z=f(x，y)在点(0,0)附近有定义，且f(0,0)=3，则曲线 \left\{ \begin{array} { l l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = 0 } \end{array} \right. 在 点(0,0,f(0,0))处的法平面方程为
解 应填 x + 3 z - 3 f ( 0 , 0 ) = 0
曲线 \left\{ \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = 0 } \end{array} \right. 可写成参数式： \left\{ { \begin{array} { l } { x = t , } \\ { y = 0 , } \\ { z = f ( t , \ 0 ) } \end{array} } \right. 则
\tau = ( x _ { t } ^ { \prime } , y _ { t } ^ { \prime } , z _ { t } ^ { \prime } ) \big | _ { t = 0 } = ( 1 , 0 , f _ { x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) ) = ( 1 , 0 , 3 ) \ .
故所求法平面方程为 x + 3 z - 3 f ( 0 , 0 ) = 0
例17.8 曲面 z - \mathbf { e } ^ { z } + 2 x y = 3 在点(1,2,0)处的切平面方程为
应填2x+y-4=0.
F ( x , y , z ) = z - \mathbf { e } ^ { z } + 2 x y - 3 ，则 \pmb { n } = ( F _ { x } ^ { \prime } , F _ { y } ^ { \prime } , F _ { z } ^ { \prime } ) | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } ，其中
F _ { x } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 y | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 , F _ { y } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 x | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 , F _ { z } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = ( 1 - \mathrm { e } ^ { z } ) | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 0 \ .
故切平面方程为 4 ( x - 1 ) + 2 ( y - 2 ) + 0 \bullet ( z - 0 ) = 0 ，即 2 x + y - 4 = 0
例17.9 设f可微，则曲面 \mathrm { e } ^ { 2 x - z } = f ( \pi y - \sqrt { 2 } z ) 是（ ）.
(A)旋转抛物面 (B)双叶双曲面 (C)单叶双曲面 (D)柱面
解 应选(D).
设 F = f ( \pi y - { \sqrt { 2 } } z ) - \mathbf { e } ^ { 2 x - z } ，则曲面上任一点处的法向量为
定直线L
\pmb { n } = ( - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x - z } , \pi f ^ { \prime } , - \sqrt { 2 } f ^ { \prime } + \mathrm { e } ^ { 2 x - z } ) \ .
设某定向量τ=(a,b,c)（a,b,c不同时为零)与n垂直，即
{ \pmb n } \bullet ( a , b , c ) = - 2 a { \bf e } ^ { 2 x - z } + \pi b f ^ { \prime } + ( - \sqrt { 2 } f ^ { \prime } + { \bf e } ^ { 2 x - z } ) c \equiv 0 ,
解得 a = { \frac { c } { 2 } } , b = { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } c ，令c=1，则 a = { \frac { 1 } { 2 } } , b = { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } ，这样曲面上任一点处的法向量n均与定向量\left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } , 1 \right) 垂直，这说明该曲面是柱面.
场论初步
什么叫“场”？从数学上说，场就是空间区域Ω上的一种对应法则.
(1)如果Ω上的每一点M(x，y,z)都对应着一个数量u，则在Ω上就确定了一个数量函数u = u ( x , y , z ) ，它表示一个数量场.数量场的例子很多，比如温度场，温度场只讲大小，不讲方向.
(2)如果Ω上的每一点M(x，y，z)都对应着一个向量F，则在Ω上就确定了一个向量函数
F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ,
它表示一个向量场.向量场的例子也很多，比如引力场，引力场既讲大小，也讲方向.
1方向导数
定义设三元函数 u = u ( x , y , z ) 在点 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 的某空间邻域 U \subset { \mathbf { R } } ^ { 3 } 内有定义，1为从点 P _ { 0 } 出发的射线， P ( x , y , z ) 为l上且在U内的任一点，则
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x - x _ { 0 } = \Delta x = t \cos \alpha , } \\ { \displaystyle y - y _ { 0 } = \Delta y = t \cos \beta , } \\ { \displaystyle z - z _ { 0 } = \Delta z = t \cos \gamma . } \end{array} \right. \overset { , } { = } \mathrm { , }
以 t = \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } + \left( \Delta z \right) ^ { 2 } } 表示P与 P _ { 0 } 之间的距离，如图17-4所示，若极限
\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( P ) - u ( P _ { 0 } ) } { t } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( x _ { 0 } + t \cos \alpha , y _ { 0 } + t \cos \beta , z _ { 0 } + t \cos \gamma ) - u ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } { t }
存在，则称此极限为函数 u = u ( x , y , z ) 在点 P _ { 0 } 沿方向I的方向导数，记作 \left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \alpha } l } \right| _ { P _ { 0 } }
定理（方向导数的计算公式）设三元函数 u = u ( x , y , z ) 在点P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处可微分，则 u = u ( x , y , z ) 在点 P _ { 0 } 处沿任一方向1的方向导数都存在，且
图17-
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \frac { \hat { \omega } u } { \hat { \omega } l } \bigg \vert _ { P _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y , z _ { 0 } + \Delta z ) - u ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } \longmapsto _ { \Delta u } } \\ & { \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta x + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta y + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta z + o ( t ) } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } \quad \quad \xrightarrow { \mathrm { d } x } \quad \quad \quad \quad \Delta x } \\ & { \quad = u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \alpha + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \beta + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \gamma , \quad \quad \quad \quad \frac { \Delta y } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } = \cos \beta , } \end{array}
其中cosα，cosβ,cosγ为方向l的方向余弦.
(cosα,cosβ，cosy)一定是单位向量
注二元函数f（x，y）的情况与三元函数类似
②梯度
定义设三元函数 u = u ( x , y , z ) 在点 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处具有一阶连续偏导数，则定义
\left. \mathbf { g r a d } u \right| _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) \longrightarrow _ { \# \# \# , \frac { 5 } { 4 } \# , \frac { 5 } { 4 } \delta \xi \xi \xi \eta \neq \frac { 5 } { 4 0 } \# \delta \xi \xi \eta \neq \frac { 5 } { 4 0 } \# \frac { 5 } { 4 0 } \# \frac { 5 } { 4 0 } \frac { \delta \eta } { \delta x } }
为函数 u = u ( x , y , z ) 在点 P _ { 0 } 处的梯度.
\mathbf { g r a d } { \binom { u } { \nu } } = { \frac { \nu \mathbf { g r a d } u - u \mathbf { g r a d } \nu } { \nu ^ { 2 } } } ( \nu \neq 0 ) .
③方向导数与梯度的关系
由方向导数的计算公式 \left. { \frac { \hat { \partial } { \boldsymbol u } } { \hat { \partial } t } } \right| _ { P _ { 0 } } = u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \alpha + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \beta + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \gamma 与梯度的定义
\begin{array} { r } { \mathbf { g r a d } u \vert _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) , } \end{array}
可得到
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \hat { \boldsymbol \alpha } \boldsymbol { u } } { \hat { \boldsymbol \alpha } \boldsymbol { l } } \bigg \vert _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) \bullet ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ) = \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \cdot \boldsymbol { l } ^ { \prime } } \\ { \displaystyle \quad \quad = \big \vert \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \big \vert \big \vert l ^ { \circ } \big \vert \cos \theta = \big \vert \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \big \vert \cos \theta , } \end{array}
其中θ为 \left. \mathbf { g r a d } u \right| _ { P _ { 0 } } 与l的夹角.
→此时向量与梯度同方向①当 \cos \theta = 1 时， \left. \frac { \partial u } { \partial l } \right| _ { P _ { 0 } } 有最大值.
②当 \cos \theta = 0 ，即 \theta = \frac { \pi } { 2 } 时，向量l与梯度垂直，有 \left. \frac { \partial u } { \partial t } \right| _ { P _ { 0 } } = 0 ，即变化率为0.
于是有重要结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，为
\left| \mathbf { g r a d } u \right| = \sqrt { ( u _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( u _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( u _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } .
4 散度
定义设向量场 A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ，则
\operatorname { d i v } A = \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z }
叫作向量场A的散度.
5旋度
表示向外（内）流的强度
定义设向量场 A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ，则
\begin{array} { r } { \mathbf { r o t } ~ A = \left| \frac { i } { \partial x } ~ \frac { \partial } { \partial y } ~ \frac { \partial } { \partial z } \right| } \\ { P ~ Q ~ R \left| ~ R \right| } \end{array}
叫作向量场A的旋度.描述向量场中向量旋转量的强度
例17.10 函数 f ( x , y , z ) = x ^ { 2 } y + z ^ { 2 } 在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为（）.(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
解 应选(D).
因为函数可微分，且
\left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 x y \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 , \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = x ^ { 2 } \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 1 , \left. \frac { \partial f } { \partial z } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 z \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 0 \ ,
与n同方向的单位向量为 { \frac { n } { | n | } } = \left( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } \right) ，所以所求方向导数为
\left. \frac { \partial f } { \partial n } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 \times \frac { 1 } { 3 } + 1 \times \frac { 2 } { 3 } + 0 \times \frac { 2 } { 3 } = 2 .
例17.11 设a,b为实数，函数 z = 2 + a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } 在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10.则a,b的值分别为（ ）(A)-1，-1 (B)-1,1(C)1，-1 (D)1，1
分析）方向导数最大时，即为梯度方向，值为梯度的模.
函数 z = 2 + a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } 在点(3,4)处的梯度为
\left. \mathbf { g r a d } \ z \right| _ { ( 3 , 4 ) } = 6 a \pmb { i } + 8 b \pmb { j } \ .
由题设条件，知 \left\{ \begin{array} { l l } { 6 a = - 3 k , } \\ { 8 b = - 4 k , } \\ { \sqrt { 3 6 a ^ { 2 } + 6 4 b ^ { 2 } } = 1 0 } \end{array} \right. 其中k>0，解得a=-1,b=-1.
例17.12 已知函数z=f(x，y)可微，其在点 P _ { 0 } ( 1 , 2 ) 处沿从 P _ { 0 } 到P(2,3)的方向的方向导数为2 \sqrt { 2 } ，沿从 P _ { 0 } 到P2(1,0)的方向的方向导数为-3，则z在点 P _ { 0 } 处的最大方向导数为
\sqrt { 1 0 }
如图17-5所示， l _ { 1 } = \overrightarrow { P _ { 0 } P _ { 1 } } = ( 1 , 1 ) , l _ { 2 } = \overrightarrow { P _ { 0 } P _ { 2 } } = ( 0 , - 2 ) ，且
\mathring { l _ { 1 } ^ { \circ } } = ( \cos \alpha _ { 1 } , \cos \beta _ { 1 } ) = \left( \frac 1 { \sqrt 2 } , \frac 1 { \sqrt 2 } \right) ,
\bar { l _ { 2 } ^ { \circ } } = ( \cos \alpha _ { 2 } , \cos \beta _ { 2 } ) = ( 0 , - 1 ) \ .
由方向导数计算公式，有
\frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } \ ,
\frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot 0 + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot ( - 1 ) = - 3 ~ ,
解得 z _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) { = } 1 , z _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) { = } 3 ，故z在点 P _ { 0 } 处的最大方向导数为
| \mathbf { g r a d } z | _ { P _ { 0 } } | = \sqrt { [ z _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ] ^ { 2 } + [ z _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 0 }
图17-5
注本题的问题可作如下推广：设 z = f ( x , y ) 可微，记任意一点 P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，从 P _ { 0 } 出发，沿两条不共线的方向 l _ { 1 } ^ { \circ } = \left( \cos \alpha _ { 1 } , \cos \beta _ { 1 } \right) 与 \hat { l _ { 2 } } = ( \cos \alpha _ { 2 } , \cos \beta _ { 2 } ) 的方向导数分别为
[ { \frac { \partial f } { \partial t _ { 1 } ^ { o } } } | _ { P _ { 0 } } = { \frac { \partial f } { \partial x } } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \alpha _ { 1 } + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \beta _ { 1 } ,
| \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { o } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \alpha _ { 2 } + \frac { \partial f } { \partial y } \Bigg | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \beta _ { 2 } ,
其中 \left| \begin{array} { l l } { \cos \alpha _ { 1 } } & { \cos \beta _ { 1 } } \\ { \cos \alpha _ { 2 } } & { \cos \beta _ { 2 } } \end{array} \right| \neq 0
（1）若 \left. \frac { \partial f } { \partial l _ { 1 } ^ { \circ } } \right| _ { P _ { 0 } } , \left. \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { \circ } } \right| _ { P _ { 0 } } 不全为0，则该非齐次方程组有唯一解，如例17.12的解答过程
（2）若 \frac { \partial f } { \partial l _ { 1 } ^ { \circ } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { \circ } } | _ { P _ { 0 } } = 0 则该齐次方程组只有零解，即 \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } = 0 故 \mathrm { d } f _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial x } _ { P _ { 0 } } \mathrm { d } x + \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { P _ { 0 } } \mathrm { d } y = 0 由 P _ { 0 } 的任意性，有 \mathrm { d } f = 0 ，故 f ( x , y ) 为一常数
例17.13 设 F ( x , y , z ) = x y i - y z j + z x k ，则 \mathbf { r o t } F ( 1 , 1 , 0 ) =
解 应填i-k.
记三元向量函数 F ( x , y , z ) = ( P , Q , R ) ，则
\mathrm { r o t } \ F ( x , y , z ) = \left| \frac { \hat { \omega } } { \partial x } \begin{array} { c c c } { { j } } & { { k } } \\ { { \hat { \omega } } } & { { \hat { \omega } } } & { { \hat { \omega } } } \\ { { { \hat { \omega } } } } & { { { \hat { \omega } } } } & { { { \hat { \omega } } z } } \\ { { P } } & { { Q } } & { { R } } \end{array} \right| ,
其中 P = x y , Q = - y z , R = z x ，于是
\mathbf { r o t } F ( 1 , 1 , 0 ) = \left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { x y } & { - y z } & { z x } \end{array} \right| _ { ( 1 , 1 , 0 ) } = \left( y i - z j - x k \right) \Bigr | _ { ( 1 , 1 , 0 ) } = i - k \ .
基础习题精练
习题
17.1设直线 L : \left\{ { x + y - z + 1 = 0 } , \atop { x - y + 3 z + 3 = 0 } \right. 平面 \scriptstyle \pi : x - 2 y - z + 3 = 0 ，则直线L（ ）.(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π (D)与π相交但不垂直
17.2在曲线 \left\{ \begin{array} { l l } { x = t , } \\ { y = - t ^ { 2 } } \\ { z = t ^ { 3 } } \end{array} \right. ,的所有切线中，与平面 x + 2 y + z = 4 平行的切线（ ）：(A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在
17.3已知曲面 z = 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } 上点P处的切平面平行于平面 2 x + 2 y + z - 1 = 0 ，则点P的坐标是 ） (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)
17.4设 | a + b | = | a - b | ，且a=(3,-5,8),b=(-1,1,z)，则z=
17.5直线 L : { \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y } { 1 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } } 在平面 \scriptstyle \pi : 3 x - y + 3 z = 5 上的投影直线 L _ { 0 } 的方程为
17.6经过点A(1,0,0)与点B(0,1,1)的直线绕z轴旋转一周生成的曲面方程是
17.7函数 u = \ln ( x + \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ) 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为
17.8设u是由方程 \mathrm { e } ^ { z + u } - x y - y z - z u = 0 所确定的x,y,z的隐函数，则 \scriptstyle u = u ( x , y , z ) 在点P(1,1,0)处方向导数的最大值为
17.9已知 \scriptstyle { F = x ^ { 3 } i + y ^ { 3 } j + z ^ { 3 } k } ，则在点(1,0,-1)处的div F为
17.10向量场A=(z,3x，2y)的旋度rot A=
解答
17.1(C）解先将直线
L : \left\{ { x + y - z + 1 = 0 } , \atop { x - y + 3 z + 3 = 0 } \right.\tag{①}
②
化为点向式方程.
由①+②可得 { \frac { x + 2 } { - 1 } } = z
由①-②可得 { \frac { y - 1 } { 2 } } = z
因此所给直线化为
{ \frac { x + 2 } { - 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z } { 1 } } ,
其方向向量为τ=(-1,2,1).
又所给平面的法向量为 \pmb { n } = ( 1 , - 2 , - 1 ) ，有 \tau / / n ，因此 L \perp \pi ，故选(C).
17.2(B）解曲线在 t _ { 0 } 处的切向量为 \tau = ( 1 , - 2 t _ { 0 } , 3 t _ { 0 } ^ { 2 } ) ，该切线与平面 x + 2 y + z = 4 平行 \Leftrightarrow \tau 与 该平面的法向量n=(1,2,1)垂直 \Leftrightarrow \tau \bullet n = 0 \Leftrightarrow 1 - 4 t _ { 0 } + 3 t _ { 0 } ^ { 2 } = 0 \Leftrightarrow t _ { 0 } = 1 或 t _ { 0 } = \frac { 1 } { 3 }
将 t _ { 0 } = 1 , t _ { 0 } = \frac { 1 } { 3 } 代入曲线方程可得点(1,-1,1)和点 \left( { \frac { 1 } { 3 } } , - { \frac { 1 } { 9 } } , { \frac { 1 } { 2 7 } } \right) ，再代入平面方程知两点均不在平面上，符合题意.故与平面平行的切线只有2条.
17.3（C）解设P点的坐标为 ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) ，则曲面在P点的法向量为
\begin{array} { r } { n = ( - 2 x _ { 0 } , - 2 y _ { 0 } , - 1 ) , } \end{array}
又因为切平面平行于平面 2 x + 2 y + z - 1 = 0 ，则
\frac { - 2 x _ { 0 } } { 2 } = \frac { - 2 y _ { 0 } } { 2 } = \frac { - 1 } { 1 } ,
从而可得 x _ { 0 } = 1 , y _ { 0 } = 1 ，代入曲面方程解得 z _ { 0 } = 2 .故选(C).
17.41解由 \pmb { a } = ( 3 , - 5 , 8 ) , \pmb { b } = ( - 1 , 1 , z ) ，可知
a + b = ( 3 - 1 , - 5 + 1 , 8 + z ) = ( 2 , - 4 , 8 + z ) ,
a - b = ( 3 + 1 , - 5 - 1 , 8 - z ) = ( 4 , - 6 , 8 - z ) ,
\left| a + b \right| = \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 4 ) ^ { 2 } + ( 8 + z ) ^ { 2 } } = \sqrt { 2 0 + ( 8 + z ) ^ { 2 } } ,
\left| a - b \right| = \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( - 6 ) ^ { 2 } + ( 8 - z ) ^ { 2 } } = \sqrt { 5 2 + ( 8 - z ) ^ { 2 } } ,
由题设可知
{ \sqrt { 2 0 + ( 8 + z ) ^ { 2 } } } = { \sqrt { 5 2 + ( 8 - z ) ^ { 2 } } } ,
可解得z=1.
17.5 \left\{ { \begin{array} { l } { 3 x - y + 3 z = 5 , } \\ { x - 3 y - 2 z + 1 = 0 } \end{array} } \right. 解欲求直线L在已给平面π上的投影直线 L _ { 0 } ，应先求过L且与π垂直
的平面 \pi _ { 1 } .为此先将L的方程化为一般式方程：
\left\{ { \begin{array} { l } { x + z - 2 = 0 , } \\ { y + z - 1 = 0 , } \end{array} } \right.
则过L的平面束方程为
( x + z - 2 ) + \lambda ( y + z - 1 ) = 0 ,
其中与π垂直的平面 \pi _ { 1 } 的法向量应满足
3 \times 1 + ( - 1 ) \lambda + 3 ( 1 + \lambda ) = 0 ,
可解得 \lambda = - 3 ，则 \pi _ { 1 } 的方程为
x - 3 y - 2 z + 1 = 0 ,
因此L在π上的投影直线 L _ { 0 } 的方程为
\left\{ { \begin{array} { l } { 3 x - y + 3 z = 5 , } \\ { x - 3 y - 2 z + 1 = 0 . } \end{array} } \right.
17.6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0 解由直线方程的两点式得直线AB的方程：
{ \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y } { - 1 } } = { \frac { z } { - 1 } } \ .
写成参数式：
x = 1 + t , y = - t , z = - t ,
得旋转曲面的方程：
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( 1 - z ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } , \mathrm { ~ } \sharp \mathbb { \ : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0 \ .
17.7 \frac { 1 } { 2 } 解因为
{ \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } x } } | _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } | _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ,
\left. { \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } y } } \right| _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \cdot \left. { \frac { y } { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \right| _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = 0 \ ,
{ \frac { \partial u } { \partial z } } | _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \cdot { \frac { z } { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } | _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ,
而 \overrightarrow { A B } 的单位向量为 \left( { \frac { 2 } { 3 } } , - { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 3 } } \right) ，故所求的方向导数为
\left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \partial } \vec { A } B } \right| _ { A } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 2 } { 3 } + 0 \times \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ~ .
17.8 \sqrt { 2 } 解方向导数的最大值就是 | \mathbf { g r a d } u | _ { P } | .由所给方程两边对x求偏导数，u视为x，y，z的函数，有
{ \mathrm { e } } ^ { z + u } { \frac { \partial u } { \partial x } } - y - z { \frac { \partial u } { \partial x } } = 0 , { \frac { \partial u } { \partial x } } = { \frac { y } { { \mathrm { e } } ^ { z + u } - z } } \ .
当 x = 1 , y = 1 , z = 0 时 \scriptstyle u = 0 ，代人上式后，得 \frac { \partial u } { \partial x } \bigg | _ { P } = 1 .类似可得 \left. \frac { \partial u } { \partial y } \right| _ { P } = 1 , \left. \frac { \partial u } { \partial z } \right| _ { P } = 0 .所以
\begin{array} { r } { \mathbf { g r a d } u \vert _ { r } = ( 1 , 1 , 0 ) , \left| \mathbf { g r a d } u \right| _ { r } = \sqrt { 2 } \ . } \end{array}
17.96解设向量场 \pmb { F } = P \pmb { i } + Q \pmb { j } + R \pmb { k } ，则在点 M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) 处
\operatorname { d i v } F = \left( \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \right) \bigg | _ { M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } ~ .
因为 \frac { \partial ( x ^ { 3 } ) } { \partial x } = 3 x ^ { 2 } , \frac { \partial ( y ^ { 3 } ) } { \partial y } = 3 y ^ { 2 } , \frac { \partial ( z ^ { 3 } ) } { \partial z } = 3 z ^ { 2 } ，故
\operatorname { d i v } F = ( 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } ) { \big | } _ { ( 1 , 0 , - 1 ) } = 6 ~ .
17.102i+j+3k解设向量场 \pmb { A } = P \pmb { i } + Q \pmb { j } + R \pmb { k } ，则
\begin{array} { r } { \mathrm { r o t } ~ { A } = | \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } | } \\ { P } & { Q } & { R } \end{array} | } \\ { = ( \frac { \partial R } { \partial y } - \frac { \partial Q } { \partial z } ) i + ( \frac { \partial P } { \partial z } - \frac { \partial R } { \partial x } ) j + ( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } ) k . } \end{array}
因 P = z , Q = 3 x , R = 2 y ，则
\mathbf { r o t } \ { \cal A } = 2 i + j + 3 k \ .