## 第3讲

## 一元函数微分学的概念

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>-元函数微分学的概念</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①理解导数与微分的概念；②理解导数与微分的关系；③理解导数的几何意义</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>①高阶导数的计算；②导数几何意义的应用；③可导充要条件的应用</td></tr></table>

![](images/481155ad3ccfbea3bae09fc094d1f4732783840be2cebaf642fda3c198569f53.jpg)

## 基础知识结构

![](images/5bda0bc170d5b40519a0c2c4be5b6703b84806e38ee7ffefd99570a67551b95f.jpg)

引例一位王子/公主去往高铁站乘车，零时刻在家门口乘坐出租车出发，由于时间上有些来不及，便不断催促师傅加速，当到达高铁站后，整理文件时却发现重要文件遗落在家，焦急难耐，但已经来不及返回拿文件再乘车，遂放弃原车次列车，乘坐出租车匀速回家.

实际问题数学化，时间与位移图像如图3-1所示.

![](images/dff7ef3e7f4b8179c64d092a85f2bfb9df5e7206e7942f8be80d8664cc416263.jpg)  
图3-1

$I _ { 1 }$ ： $\operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { f ( t + \Delta t ) - f ( t ) } { \Delta t } } { \frac { \# \# } { \Gamma } } \underline { { \underline { { a } } } } _ { }$ 泣意：a是瞬时变化率，不是平均变化率，→线性函数变化率不变o tt+△t

![](images/13e84c21b6e8b56afb05633dcaecf5e2a6aa0261f36b773b6171a58dea720742.jpg)

![](images/548ed48fc1b3fbc1737e5f89fee02a82c4ae21c9f9d9bac3e714e77358121f63.jpg)

$I _ { \imath }$ $\operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { f ( t + \Delta t ) - f ( t ) } { \Delta t } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { 0 } { \Delta t } } = 0$ 0

![](images/72fb7bbc1ec2bf660c36610eba380d651bf88848eee70184626d71e8e9656120.jpg)

$I _ { 3 }$ $\operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { f ( t + \Delta t ) - f ( t ) } { \Delta t } } =$ 定值. o tt+△tt

极限是研究函数变化趋势的，导数是研究变化快慢趋势的.

![](images/6582aa46a457aa5fa0948e82f85517530be01b7284d921ee6d5f3db0101eeac4.jpg)

## 基础内容精讲

## 1 导数

$$
\Delta x \to 0 ^ { + } \ , \Delta x \to 0 ^ { - }
$$

![](images/c2ef3fffc6a555b4502611b4ed83f6aa57a27ac75370b3952c6f15bc75756fe1.jpg)

设 $y = f ( x )$ 定义在区间I上，让自变量在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处加一个增量△x（可正可负），其中$x _ { 0 } \in I , x _ { 0 } + \Delta x \in I$ ，则可得函数的增量 $\Delta y = f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } )$ .若函数增量△y与自变量增量△x的比值在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，即 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { \Delta x } }$ 存在，则称函数 $y = f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处可导，并称这个极限为 $y = f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处的导数，记作 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，即

变化率

$$
f ^ { \prime } ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } ) } { \Delta x } } .\tag{*}
$$

当然， $\left. { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = x _ { 0 } } , \left. { \frac { \mathrm { d } [ f ( x ) ] } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = x _ { 0 } } , \left. { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \right.$ 或 $y ^ { \prime } \big | _ { x = x _ { 0 } }$ 这些符号记法与 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 等价.顺便交代一下，“导数”这  
个名词被认为是拉格朗日最先使用的，记号 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , y ^ { \prime } \vert _ { x = x _ { 0 } }$ 多次出现在拉格朗日的文章中，而莱布尼茨则$\left. { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { y } } { \mathrm { d } \boldsymbol { x } } } \right| _ { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } } , \left. { \frac { \mathrm { d } [ f ( \boldsymbol { x } ) ] } { \mathrm { d } \boldsymbol { x } } } \right| _ { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } } \overrightarrow { }$ (微的形式，也叫微商) 考研只用拉格朗日和菜布尼茨写法  
喜欢写作V

菜布尼茨所用的符号d具有普适意义：如果要求A对B的变化率，就把A，B填进 $\frac { \mathrm { d } \ b u } { \mathrm { d } \ b u }$ ，得 $\frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B }$ ，它可表示几孚所有你想研究的变化率问题，而不仅仅是位移s对时间t的变化率— $\cdot \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t }$ 等于速度v.

比如： $\frac { \mathrm { d } ( \sharp \sharp \sharp \sharp ) } { \mathrm { d } ( \sharp \sharp | \partial ] ) }$ ，它往往小于零，你同意吗？再比如： $\frac { \mathrm { d } ( \vec { + } | \vec { w } | ) } { \mathrm { d } ( \vec { w } \cdot \vec { + \theta } ) } \ , \frac { \ast } { \mathcal { E } } \frac { \mathrm { d } ( \vec { + } | \vec { w } | ) } { \mathrm { d } ( \vec { w } \cdot \vec { + \theta } ) } { > } 0$ ，也就是涨价可…增加利润，此时定价低了：若$\frac { \mathrm { d } ( \vec { 4 } \mathrm { d } \langle \vec { \omega } \| ) } { \mathrm { d } ( \langle \vec { w } \hbar \rangle \mathscr { H } ) } < 0$ 也就是降价可增加利润，此时定价高了.综上， $\lg { \frac { \mathsf { d } ( \sharp \{ \sharp \} ) } { \mathsf { d } ( \sharp \{ \sharp \} + \sharp ) } } = 0 \sharp \sharp$ 利润最大，也就是说导数为零时的价格应是商品标签上的数字.懂得了这些道理后，请问，当 $\frac { \mathrm { d } ( \nexists { \cdot } \mathit { s } _ { 0 } ^ { \pm } ) } { \mathrm { d } ( \acute { \infty } \varkappa \mathcal { D } ) } > 0$ 时，说明什么？

## 注这里有几点需要说明

（1）在考题中，增量△x一般会被命题人广义化为“狗”：

$$
\enclose{circle} { 1 } 4 \enclose{circle} { 1 } \frac { 4 } { 7 } - \frac { 4 } { 5 } - \Delta x , ( \Delta x ) ^ { 2 } \triangleq
$$

增量式

$$
f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { \jmath ^ { - } \mathcal { X } \mathcal { K } } { \exp { ( { x _ { 0 } } + \mathcal { X } \imath ) } } } \operatorname* { l i m } _ { \mathcal { W } \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \mathcal { Y } \imath ) - f ( x _ { 0 } ) } { \mathcal { Y } \mathcal { Y } } }\tag{**}
$$

（2）若在上面（\*）式中，令 $x _ { 0 } + \Delta x = x$ ，则可将导数定义式写成

$$
{ \mathit { a } } \not \equiv \not \equiv f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } ,\tag{***}
$$

（\*\*），（\*\*\*）两式等价，考生将会在各种场合见到这两种等价写法

（3）下面这三种提法是等价的

①y=f（x）在点 $\scriptstyle x _ { 0 }$ 处可导；

②y=f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处导数存在；

③ $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = A$ （A为有限数）

（4）函数在一点可导的充要条件，考研必考

①单侧导数

$$
\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { \mathrm { i } \mathcal { Z } } { \longrightarrow } } f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ,
$$

$$
\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { { \mathrm { i } } \mathscr { Z } } { - } } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ,
$$

这里， $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 分别是f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处的左导数、右导数，统称为单侧导数。

注意：在实际问题中，在一点处可导左，右的变化率均存在且相等；

在几何上，有斜着的切线或水平的切线，但是没有铅直切线

② $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 存在 $\Leftrightarrow$ 其左导数 $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 与右导数 $f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 均存在且相等．这一点当然是与极限存在的充分必要条件（左、右极限均存在且相等)对应.因为从本质上来说，导数的定义就是一个极限问题，

（5）函数在一点可导的必要条件：若f（x）在一点可导，则f（x)在该点连续．反之未必。

如： $f ( x ) = \left| x \right|$ 在x=0处的情形

再如： $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } , \ x \in } \\ { 0 , \ x \in } \end{array} \right. }$ 有理数， $\mathbf { \lambda } = x ^ { 2 } \underline { { D ( x ) } }$ 在x=0处的无理数情形 狄利克雷函数 $D ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , x \in { \mathcal { F } } { \mathrm { ~ } } 3 { \mathrm { ~ z ~ } } \notin x , } \\ { 0 , x \in { \mathcal { F } } , { \mathrm { ~ } } 3 { \mathrm { ~ z ~ } } \notin x } \end{array} \right. }$

$$
\frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } = a
$$

$$
\Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } \Delta x
$$

$$
\Rightarrow f ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } f ( x _ { 0 } + \Delta x )
$$

$$
f ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { x ^ { 2 } D ( x ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } x D ( x ) = 0
$$

$$
F _ { 2 } ( 3 ) \cdot 1 \cdot \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 5 } { 4 } \times \frac { 3 } { 4 } = \frac { 3 } { 4 } \times 3 . 1 \cdot \frac { 4 } { 4 }
$$

（6)还记得在函数连续性那里的直观解释吗？现在把可导放进来，再看一遍。

存在是说，给了一个x，就有一个y对应在那里（见图3-2），它附近的点X们所对应的Y们，也是如此，它们只是在那里，无牵无挂；连续是说，Y们充分靠近y（见图3-3），它们彼此的距离小到无法用任何小的

## 考研数学基础30讲·高等数学分册

正实数表达，只能用超实数“无穷小”来衡量，它们并不只是在那里，它们相依相偎；可导是说，它们不仅依偎在一起，而且Y们靠近y的速度不会比X们靠近x的速度慢，也就是速度一样或者速度更快（见图3-4）

![](images/99ad0b42b59ea81970a4086f4a242934483deea11eb81bc7193df783fe12f7cd.jpg)  
图3-2

![](images/03ed8d9a089949b880186b9a2e7a4d19669ee41844366cbfeb2637160560090c.jpg)  
图3-3

![](images/3458ea8440eeef4c9174e658e4ffd2e94ad44758382672c6b0ae54ba425a0e9c.jpg)  
图3-4

所以，函数存在是y和Y们无牵无挂地待在那里；函数连续是y和Y们充分靠近；导函数存在是y和Y们不仅充分靠近，且靠近的速度更快.连续曲线不是曲线不断开，恰恰相反，它每一个位置都是断开的．就算Y们靠得更近，比如可导，也只是靠得更近而已，依然是断开的.

## 例3.1

(B)若f(x)是可导的奇函数，则f'(x)是偶函数

(C)若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f'(x)也是以T为周期的周期函数

(D)若f(x)是可导的有界函数，则f'(x)是有界函数

## 解 应选(D).

对于选项(A)，由导数定义，得

$$
{ \begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( - x ) = \underset { \Delta x  0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ( - x + \Delta x ) - f ( - x ) } { \Delta x } = \underset { \Delta x  0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ( x - \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } } \\ & { \qquad = ( - 1 ) \underset { \frac { [ - \Delta x ] } { 4  0 } } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ( x [ - \Delta x ] ) - f ( x ) } { \frac { [ - \Delta x ] } { 4  0 } } = - f ^ { \prime } ( x ) , } \end{array} }
$$

故f'(x)是奇函数.

对于选项(B)，由导数定义，得

$$
\begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( - x ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ( - x + \Delta x ) - f ( - x ) } { \Delta x } } \\ { \displaystyle \quad = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } - f ( x - \Delta x ) + f ( x ) } \\ { \displaystyle \quad = \operatorname* { l i m } _ { - \Delta x \to 0 } \frac { f ( x - \Delta x ) - f ( x ) } { - \Delta x } } \\ { \displaystyle \quad = f ^ { \prime } ( x ) \ , } \end{array}
$$

故f'(x)是偶函数.

对于选项(C)，由导数定义，得

$$
f ^ { \prime } ( x + T ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x + T + \Delta x ) - f ( x + T ) } { \Delta x } }
$$

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { f ( x + T ) = f ( x ) } { \Delta x \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } } \\ { = f ^ { \prime } ( x ) , , } \end{array}
$$

故f(x)也是以T为周期的周期函数.

对于选项(D)，举反例： $f ( x ) = { \sqrt { x } } ( x \in ( 0 , 1 ] )$ 有界，而 $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } } ( x \in ( 0 , 1 ] )$ 无界.应选(D).

## 选项（A)，（B)结论的应用见注例1和注例2.

注例1设 $f ( x ) = \ln ( 1 - x ) - \ln ( 1 + x ) , - 1 < x < 1$ ，则 $f ^ { \prime \prime } ( 0 ) =$

解 $f ( x ) = \ln { \frac { 1 - x } { 1 + x } }$ （每求导一次，奇偶性互换一次），故f"(x)是奇函数，所以 $f ^ { \prime \prime } ( 0 ) { = } 0$

注例2设 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } , x \in \mathbf { R }$ 则 $f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) =$

解 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } = g ( x ) + { \frac { 1 } { 2 } }$

因为 $g ( - x ) + g ( x ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { - x } + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 2 ^ { x } } { 2 ^ { x } + 1 } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } - 1 = 0$ ，所以g(x)是奇函数，于是 $g ^ { ( 4 ) } ( x )$ 是奇函数，即 $g ^ { ( 4 ) } ( 0 ) = 0$ ，所以 $f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) = g ^ { ( 4 ) } ( 0 ) = 0$

## 由例3.1结论，若 $f ( x ) = \sin ( \cos x ) + \cos ( \sin x )$ ，则 $f ^ { ( 5 ) } ( 2 \pi ) =$

分析利用函数的奇偶性、周期性

复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外．

解 $f ( x ) = \sin ( \cos x ) + \cos ( \sin x )$ 为偶函数，故 $f ^ { ( 5 ) } ( x )$ 为奇函数，因为f(x)的周期为2π，故 $f ^ { ( 5 ) } ( 2 \pi ) =$ $f ^ { ( 5 ) } ( 0 ) = 0$

例3.2 设f(x)是二阶可导且以2为周期的奇函数， $f \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) > 0 , f ^ { \prime } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) > 0$ ，记 $M = f \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right)$ $N = f ^ { \prime } { \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } , K = f ^ { \prime } ( 0 )$ .则（ ）（A) $M < N < K$ (B) $M > N > K$ (C) $M < K < N$ (D) $M > K > N$

## 解 应选(C).

由f(x)为奇函数，则 $f \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = - f \left( \frac { 1 } { 2 } \right) < 0$ .根据例3.1(B)选项的结论，知f'(x)为偶函数，由例3.1(A)选项的结论，知 $f ^ { \prime \prime } ( x )$ 为奇函数（事实上，若f(x)无穷阶可导，则每求导一次，奇偶性即互换一次），由 $f ^ { \prime \prime } ( x )$ 存在，故 $f ^ { \prime \prime } ( 0 ) { = } 0$ 必背结论

又 $f ^ { \prime } { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) } > 0$ ，由例3.1(C)选项的结论，知f'(x)也是以2为周期的周期函数，则 $f ^ { \prime } \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) =$ $f ^ { \prime } \left( { \frac { 3 } { 2 } } - 2 \right) = f ^ { \prime } \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) = f ^ { \prime } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) > 0$ ，故 $f { \Biggl ( } - { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggr ) } < f ^ { \prime \prime } ( 0 ) < f ^ { \prime } { \Biggl ( } { \frac { 3 } { 2 } } { \Biggr ) }$ 即 $M < K < N$ ，应选(C).

例3.3 设f(x)在x=0的某邻域内有定义，并且 $| f ( x ) | { \leqslant } 1 { - } \cos x$ ，则f(x)在x=0处（ ）

(A)极限存在但不连续 (B)连续但不可导(C)可导且f'(0)=0 (D)可导且 $f ^ { \prime } ( 0 ) \neq 0$

## 解 应选(C).

可分为三个层次去做题.

第一层次：夹逼准则找极限.

因为 $0 \leqslant { \big | } f ( x ) { \big | } \leqslant 1 - \cos x$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } ( 1 - \cos x ) = 0$ ，所以由夹逼准则知 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \left| f ( x ) \right| = 0$ ，故 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = 0$

第二层次：特殊点找函数值.

将x=0代人所给不等式，有 $\vert f ( 0 ) \vert { \leqslant } 1 { - } \cos 0 { = } 0$ ，所以f(0)=0，故 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = f ( 0 )$ ，得f(x)在 x=0处连续，且

$$
\mid f ( x ) - f ( 0 ) \mid = \mid f ( x ) - 0 \mid = \mid f ( x ) \mid \leqslant 1 - \cos x ~ .
$$

第三层次：夹逼准则找极限，此时极限是导数的定义.

$$
0 { \leqslant } \left| \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } \right| { \leqslant } \frac { 1 - \cos x } { | x | } ~ .
$$

因为 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { 1 - \cos x } { \left| x \right| } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } } { \left| x \right| } } = 0$ ，再次使用夹逼准则，有 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \left| { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } \right| = 0$ ，也即 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = 0$ 故f'(0)=0，应选(C).

方法总结）f(x)是抽象函数，利用抽象函数和具体函数的关系式，通过具体函数的信息去求抽象函数的点信息：

例3.4 设函数 $f ( x ) = ( \mathbf { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathbf { e } ^ { 2 x } - 2 ) { \cdots } ( \mathbf { e } ^ { n x } - n )$ ，其中n为正整数，则f'(0)=（）.(A) $( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !$ (B) $( - 1 ) ^ { n } ( n - 1 ) !$ (C) $( - 1 ) ^ { n - 1 } n !$ (D) $( - 1 ) ^ { n } n !$

## 解 应选(A).

关于多项式相乘函数在一个点处的导数问题

方法一利用导数的定义，有

$$
{ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { n x } - n ) - 0 } { x } } } & { } \\ { = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } { x } } \cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } [ ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { n x } - n ) ] = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! } & { . } \end{array} }
$$

方法二公式法.

$$
f ^ { \prime } ( x ) = ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ^ { \prime } ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } x } - n ) + ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) ^ { \prime } \cdots ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } x } - n ) + \cdots + ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } x } - n ) ^ { \prime } ,
$$

故 $; f ^ { \prime } ( 0 ) = ( 1 - 2 ) \cdots ( 1 - n ) + 0 + \cdots + 0 = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !$

方法三 令 $g ( x ) = ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) ( \mathrm { e } ^ { 3 x } - 3 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { n x } - n )$ （令不为0的项为g(x)），则 $f ( x ) = ( { \mathrm { e } } ^ { x } - 1 ) g ( x )$ ，于是$f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname { e } ^ { x } g ( x ) + ( \mathbf { e } ^ { x } - 1 ) g ^ { \prime } ( x )$ ，故 $f ^ { \prime } ( 0 ) = g ( 0 ) + 0 = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !$

注(1)多项相乘不建议用方法二，一方面多项相乘公式不一定知道，另一方面就算知道公式，计算也很烦琐.

（2）针对方法三，关键： $\mathbf { e } ^ { 0 } - 1 = 0 , ( \mathbf { e } ^ { 0 } - 2 ) ( \mathbf { e } ^ { 0 } - 3 ) \cdots ( \mathbf { e } ^ { 0 } - n ) \neq 0$

必背公式： $( u \nu ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } \nu + u \nu ^ { \prime } .$

必背公式应用： $\left[ ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) g ( x ) \right] ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { x } g ( x ) + ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) g ^ { \prime } ( x )$

推广公式： $( u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ) ^ { \prime } = u _ { 1 } ^ { \prime } u _ { 2 } u _ { 3 } + u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 3 } + u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ^ { \prime }$

例3.5 设f(x)在x=a处连续， $F ( x ) = f ( x ) \vert x - a \vert$ ，则f(a)=0是F(x)在 $x = a$ 处可导的）此题可当结论直接记位

(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

分析 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 存在其左导数 $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 和右导数 $f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 均存在且相等．

解 应选(A).

由题意得，

$$
F ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - ( x - a ) f ( x ) , } & { x < a , } \\ { 0 , } & { x = a , } \\ { ( x - a ) f ( x ) , } & { x > a . } \end{array} \right. }
$$

又

$$
F _ { - } ^ { \prime } ( a ) = \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { - } } \frac { - ( x - a ) f ( x ) } { x - a } = - \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { - } } f ( x ) = - f ( a ) ,
$$

$$
F _ { _ { + } } ^ { \prime } ( a ) = \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { + } } { \frac { ( x - a ) f ( x ) } { x - a } } = \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { + } } f ( x ) = f ( a ) ,
$$

故f(a)=0是 $F ( x )$ 在x=a处可导的充要条件，应选(A).

例3.6 设函数

$$
f _ { 1 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| ,
$$

$$
f _ { 2 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \left. x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - x + 2 \right. ,
$$

$$
f _ { 3 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \left| x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 \right| ,
$$

将函数f(x)(i=1,2,3)的不可导点个数记为 $n _ { i }$ ，则（）.

（A) $n _ { 2 } < n _ { 1 } < n _ { 3 }$ (B) $n _ { 1 } < n _ { 2 } < n _ { 3 }$

(C） $n _ { 3 } < n _ { 2 } < n _ { 1 }$

(D) $n _ { 2 } < n _ { 3 } < n _ { 1 }$

分析该题是例3.5结论的具体应用.

## 解 应选(A).

由例3.5可知，若(x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处连续，则 $f ( x ) = \big | x - x _ { 0 } \big | \varphi ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处可导的充分必要条件是$\varphi ( x _ { 0 } ) = 0$ 因式分解：

$$
\begin{array} { r l } & { \quad \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| } \\ & { \qquad \quad } \\ & { \qquad \quad = \left| x ^ { 2 } ( x + 1 ) - 2 ( x + 1 ) \right| } \\ & { \qquad \quad = \left| ( x ^ { 2 } - 2 ) ( x + 1 ) \right| } \\ & { \qquad \quad = \left| x + 1 \right| \left| x + \sqrt { 2 } \right| \left| x - \sqrt { 2 } \right| } \\ & { \qquad \quad f _ { 1 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \frac { \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| } { \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| ( x + \sqrt { 2 } ) ( x - \sqrt { 2 } ) ( x + 1 ) \right| } \\ & { \qquad \quad = ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x + \sqrt { 2 } \right| \left| x - \sqrt { 2 } \right| \left| x + 1 \right| \ . } \end{array}
$$

当 $f _ { 1 } ( x ) = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 1 \right| \right] = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 1 } ( x )$ 时， $\mathscr { Q } _ { 1 } ( - \sqrt { 2 } ) \neq 0$ ，故 $x = - { \sqrt { 2 } }$ 是 $f _ { 1 } ( x )$ 的不可导点.

当 $f _ { 1 } ( x ) = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 1 \right| \right] = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 2 } ( x )$ 时， $\mathscr { Q } _ { 2 } ( \sqrt { 2 } ) \neq 0$ ，故 $x = { \sqrt { 2 } }$ 是 $f _ { 1 } ( x )$ 的不可导点 因式分解

$$
{ \begin{array} { r l r l } { \ i \ . } & { } & & { \cdots \ } & { \cdots } \\ & { f _ { 2 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \underbrace { { \Big | } x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - { \overline { { x + 2 { \Big | } } } } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) { \big | } ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) { \big | } } _ { = ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 1 } } & & { = { \Big | } x ^ { 2 } ( x - 2 ) - ( x - 2 ) { \Big | } } \\ & { } & & { = ( x - 1 ) ( x - 1 ) { \Big | } x - 2 { \Big | } { \Big | } x - 1 { \Big | } { \Big | } x + 1 { \Big | } \ . } & & { = { \Big | } ( x - 2 ) ( x ^ { 2 } - 1 ) { \Big | } } \\ & { } & & { = { \Big | } ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) { \Big | } \ . } \end{array} }
$$

当 $f _ { 2 } ( x ) = | x - 2 | [ ( x + 1 ) ( x - 1 ) | x - 1 | | x + 1 ] = | x - 2 | Q _ { 3 } ( x )$ 时， $Q _ { 3 } ( 2 ) \neq 0$ ，故x=2是f(x)的不可导点.

$$
{ \begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) { \frac { { \big | } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 { \big | } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) { \big | } ( x + { \sqrt { 2 } } ) ( x - { \sqrt { 2 } } ) ( x + 3 ) { \big | } } { { \big | } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 { \big | } } } \qquad { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } \qquad \qquad } \\ & { \qquad = ( x + 1 ) ( x - 1 ) { \big | } x - { \sqrt { 2 } } { \big | } { \big | } x + { \sqrt { 2 } } { \big | } | x + 3 { \big | } ~ . } \\ & { \qquad = | x ^ { 2 } - 2 ( x + 3 ) { \big | } ~ } \end{array} }
$$

当 $f _ { 3 } ( x ) = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 3 \right| \right] = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 4 } ( x )$ 时， $\mathscr { Q } _ { 4 } ( - \sqrt { 2 } ) \neq 0$ =(x-√2)(x+√2)(x+3)

$$
x = - { \sqrt { 2 } }
$$

$$
f _ { 3 } ( x )
$$

当 $f _ { 3 } ( x ) = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 3 \right| \right] = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 5 } ( x )$ 时， $\mathcal { Q } _ { s } ( \sqrt { 2 } ) \neq 0$ ，故 $x = { \sqrt { 2 } }$ 是 $f _ { 3 } ( x )$ 的不可导点．

当 $f _ { 3 } ( x ) = \left| x + 3 \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x - \sqrt { 2 } \right| \left| x + \sqrt { 2 } \right| \right] = \left| x + 3 \right| Q _ { 6 } ( x )$ 时, $Q _ { 6 } ( - 3 ) \neq 0$ ，故x=-3是 $f _ { 3 } ( x )$ 的不可导点.

所以 $f _ { 1 } ( x )$ 有两个不可导点 $x = - \sqrt { 2 }$ $x = { \sqrt { 2 } }$ ： $f _ { 2 } ( x )$ 有一个不可导点x=2； $f _ { 3 } ( x )$ 有三个不可导点$x = - { \sqrt { 2 } }$ $x = { \sqrt { 2 } }$ ，x=-3.于是, $n _ { 2 } < n _ { 1 } < n _ { 3 }$ ，应选(A).

（1）f（x）与|f（x）连续、可导的关系总结

①设f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续，则|f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续；反之不真．

②设f（x）在 $x _ { 0 }$ 处可导，则

a. $f ( x _ { 0 } ) \neq 0 \Rightarrow { \big | } f ( x ) { \big | }$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导且 $\begin{array} { r } { \Big [ \big | f ( x ) \big | \Big ] ^ { \prime } \Big | _ { x = x _ { 0 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , \quad f ( x _ { 0 } ) > 0 , } \\ { - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , f ( x _ { 0 } ) < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}$

$f ( x _ { 0 } ) = 0$ $\left\{ { \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 \Rightarrow { \big | } f ( x ) { \big | } } \\ { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0 \Rightarrow { \big | } f ( x ) { \big | } } \end{array} } \right.$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导且 $[ | f ( x ) | ] ^ { \prime } | _ { x = x _ { 0 } } = 0$ 在 $x _ { 0 }$ 处不可导．有

（2) f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续 $\Rightarrow \left| f ( x ) \right|$ 在 $x _ { 0 }$ 处必连续，为什么？

因为在 $x _ { 0 }$ 处，f（x)的微观性态图（放大足够多倍）如图3-5（a)-（c）所示

![](images/822c4ade79714b47d1df63f60221b117238a06c7c5cafad8354515475b2e0e8e.jpg)  
（a)

![](images/55c90bd678a99138b92883564e61603789947c452700e276ba7222682e643814.jpg)  
（b)

![](images/19639b2e0d77a73933e131f020721e1a6a65394fbe18dcd65c4dc615d55d36a2.jpg)  
C)

而|f（x）如图3-6（a）（c）所示

![](images/7951a476e0e3312e915e0c69fd4a8e610397a731ef54101e7fe16182350f1295.jpg)  
图3-5

（a)  
![](images/15b8ac03b72994aded10a891a11297276def335e1d3d58b060a1ffc31016cffa.jpg)  
(b)

图3-6  
![](images/168919ffd5b952f3d8ea278fe8617a4ab259e7a03a9123876fb928f017c0b0f0.jpg)  
（C）

点点相依相偎的图3-5(a)-（c)，加上绝对值后依然相依相偎成为图3-6（a)-（c)，故成立（无论是还是，只要相依相偎即可）.为什么反过来不对？很简单，你看|f(x)相依相偎，连续[见图3-7(b)]，可f(x)却相距甚远，自然不连续[见图3-7(a)].

![](images/ac94010541b886c0fb2324776ba18c53ad42071811fe44c21168f78e3ac2417d.jpg)  
(a)

![](images/41c34f2a4e99f8dadb96ea08e8826eb6a75555b743318864536baf743e2cd331.jpg)  
图3-7  
(b)

（3）f（x）在 $\boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处可导 $\neq \left| f ( x ) \right|$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导

比如，f（x)在 $x _ { 0 }$ 点处的微观性态图如图3-8（a）所示（放大足够多倍），其在 $x _ { 0 }$ 处可导，则$\left| f ( x ) \right|$ 如图3-8（b）所示

![](images/272efbdfe5ed51e80f29acdc916e0ef722944294b8723310008fa645013b674e.jpg)  
（a)

![](images/4f2bf964b84dd6b397164a0d094ff56e711f88b486126f97d6a9b00c4b93d782.jpg)  
图3-8  
(b)

如果说连续，f（x)在 $x _ { 0 }$ 处连续⇒|f（x））在 $x _ { 0 }$ 处连续，是的，点与点就是相依相偎在一起的，正如(2)所述.但说可导，不仅要相依相偎，而且要 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ 存在（唯一的数），也就是f(x)相依相偎到 $f ( x _ { 0 } )$ 的速度要不比 $x \to x _ { 0 }$ 的速度慢.（①若快，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = 0$ ；②若同阶，则$\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = A \neq 0 \ .$

请看图3-8(a)和图3-8(b)，对于|f(x)， $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { \left| f ( x ) \right| - \left| f ( x _ { 0 } ) \right| } { x - x _ { 0 } } } < 0 ( \searrow )$ 而 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { \left| f ( x ) \right| - \left| f ( x _ { 0 } ) \right| } { x - x _ { 0 } } } > 0$ $^ ( . . . \cdot ) ,$ 故 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { \left| f ( x ) \right| - \left| f ( x _ { 0 } ) \right| } { x - x _ { 0 } } }$ 不存在，|f(x）|在 $x _ { 0 }$ 处不可导，即若f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导， $f ( x _ { 0 } ) = 0$ $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ ，则|f(x)|在 $x _ { 0 }$ 处必不可导.反例同(2).

现在，试试看，你应该可以清楚回答了：若f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导，且 $f ( x _ { 0 } ) \neq 0$ 则|f（x）在 $x _ { \mathfrak { o } }$ 处必可导，如图3-9（a)，图3-9(b)所示

![](images/c4e70c5aba300e2d78933c4e117dd5b512629726f2bb56e09b8e7976c226963c.jpg)  
(a)

![](images/f0b0016fda11d80f6e239ab912855f112bced170cd07ad3ef21f54831c610b2b.jpg)  
(b)  
图3-9

提示：对于连续或可导函数，只要 $f ( x _ { 0 } ) \ ( < ) \ 0$ ，无论 $f ( x _ { 0 } )$ 与0的距离有多小，它旁边相依相偎的f(x）一定 $( { \stackrel { > } { < } } ) 0$ ，考研中常用这一点

例3.7 设函数f(x)处处可导，f(0)=-1，f(0)=1，令 $g ( x ) = \lvert f ( x - 1 ) \rvert$ ，则（）. (A)g(x)在x=0处必可导 (B)g(x)在x=0处必不可导 (C)g(x)在x=1处必可导 (D)g(x)在x=1处必不可导

## 解 应选(C).

因为f(x)处处可导，所以 $g ( x ) = \lvert f ( x - 1 ) \rvert$ 可能不可导的点有且仅有f(x-1)=0的点，而当x=0时，f(0-1)的值不得而知，故g(x)可能可导也可能不可导；当x=1时，f(1-1)=f(0)≠0，所以g(x)在x=1处必可导.

## ②导数的几何意义

函数y=f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的导数值 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 就是曲线 $y = f ( x )$ 在点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处切线（见图3-10）的斜率k，即 $k = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，于是曲线y=f(x)在点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处的切线方程为 $y - y _ { 0 } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } )$

![](images/0648dd27cfc9daade6bdec3c980ea3b08e4e8ca6e7e339ce2b5df46314ec9a6b.jpg)

什么是切线？它就像一把锋利无比的刀，“嗖”地切过点$( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，在此瞬间，切线的方向就是点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 运动的方向.想想看，掷铁饼（作为质点）时，运动员旋转轨迹的每一点的切线方向就是铁饼那一瞬时的运动方向.在那一瞬时脱手，铁饼就会沿着该点的切线方向飞出.

图3-10

法线方程为

$$
y - y _ { 0 } = - \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } ( x - x _ { 0 } ) ( f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0 ) ~ .
$$

注切线存在不代表导数存在，但导数存在切线一定存在注例1研究y=f(x)=|x在x=0处的切线问题.解从x=0出发，取增量△x，有 $\Delta y = f ( 0 + \Delta x ) - f ( 0 ) = \left| \Delta x \right|$ $\Delta x > 0$ 时， $\Delta y = \Delta x$ $f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = 1 \frac { \mathrm { i } \mathcal { Z } } { - } k _ { + }$ $\Delta x < 0$ 时， $\Delta y = - \Delta x$ $f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = - 1 \frac { \mathrm { i } \overrightarrow { \mathrm { i } } } { \mathrm { i } } k _ { - }$

![](images/b53417ebaa0957764c7c217616f41034718295abd6b4ae1a4399e5040409e99d.jpg)  
图3-11

如图3-11所示，曲线 $y = f ( x ) = \left| x \right|$ 在原点0处出现了两条单侧切线，这两条单侧切线形成了一  
个角，数学上称这里的原点O为一个角点.不过，虽然此曲线在角点0处有两条单侧切线，但按照  
前面讲到的f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处可导的充要条件，这里的 $f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = k _ { + } \neq k _ { - } = f _ { - } ^ { \prime } ( 0 )$ ，显然f(0)不存在，所以  
我们说 $y = f ( x ) = \left| x \right|$ 在原点O处不可导，也就没有切线.注例2研究 $y = f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 在 x=0处的切线问题

解显然，在x=0处 $\frac { \Delta y } { \Delta x } = \frac { f ( 0 + \Delta x ) - f ( 0 ) } { \Delta x } = \frac { ( \Delta x ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { \Delta x } = \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } .$

当 $\Delta x > 0$ □ $f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt [ 3 ] { ( \Delta x ) ^ { 2 } } }$ （其中(△x)²>0）

$\Delta x < 0$ 时， $f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } = + \infty$ +

![](images/2d2b4deddffef589a3dc86680a26bbf9d7270a087c5380672ecd28a2eab01b3b.jpg)

这样的结果称为无穷导数：又±被叫作广义的数，所以无穷导数在有些数学场合也可被视为导数存在的特殊情形.不过要强调的是，学习“高等数学”这门课程的考生，还是将无穷导数视为导数不存在为好，因为这是“高等数学”里的“规矩”.

图3-12

还要指出，如图3-12和图3-13所示， $y = f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 与 $y = f ( x ) = - x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 銀在 $\scriptstyle x = 0$ 处有垂直于x轴的切线 $\scriptstyle x = 0$ .我们说，若曲线 $y = f ( x )$ 在点 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处 有垂直于x轴的切线，则等价于

![](images/9979e3c9797a6d9723c1fb014fc277cd7c62509a06beb2d3510b4a8d7e56b90a.jpg)

$$
f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = + \infty \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } - \infty ( \frac { 1 } { 3 } \pi \mp \frac { \Xi } { 3 } \frac { 1 5 } { 3 } + \frac { 3 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } ) .
$$

图3-13

总结： $\enclose{circle} { 1 } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，出现角点（尖点），则f（x）在 $x _ { 0 }$ 处不可导，没有切线；

②f（x）在点 $x _ { 0 }$ 的导数是无穷导数时，在该点有切线但无导数。

例3.8 设曲线 $y = f ( x ) = x ^ { n }$ 在点(1,1)处的切线与x轴的交点为 $( \xi _ { n } , 0 )$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( \xi _ { n } ) =$ 分析由 $f _ { n } ( x ) = x ^ { n }$ （其中 $\{ f _ { n } ( x ) \}$ 是函数列），知

$$
\begin{array} { c } { { f _ { 1 } ( x ) = x ^ { 1 } \Rightarrow f _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) = 1 \ , } } \\ { { { } } } \\ { { f _ { 2 } ( x ) = x ^ { 2 } \Rightarrow f _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 ) = 2 \ , } } \\ { { { } } } \\ { { \cdots \cdots \cdots } } \\ { { { } } } \\ { { f _ { n } ( x ) = x ^ { n } \Rightarrow f _ { n } ^ { \prime } ( 1 ) = n \ . } } \end{array}
$$

解 应填 $\frac { 1 } { \mathbf { e } }$

由于 $f ^ { \prime } ( 1 ) = { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } { \bigg | } _ { x = 1 } = n x ^ { n - 1 } { \Big | } _ { x = 1 } = n , n = 1 , 2 , \cdots$ ，故过点(1,1)的切线方程为 $y - 1 = n ( x - 1 )$ 令 $y = 0$ 得 $x = \xi _ { n } = 1 - { \frac { 1 } { n } }$ .于是

$$
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( \xi _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 1 - { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } = { \frac { 1 } { \mathrm { e } } } \ .
$$

函数f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的二阶导数为

$$
f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { { \vec { \mathbf { z } } } { \hat { \mathbf { \zeta } } } } { \mathbf { z } } } f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } \ .
$$

函数f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的n(n为大于2的整数)阶导数为

$$
f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ^ { ( n - 1 ) } ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ^ { ( n - 1 ) } ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { { \bar { \mathbf { g } } } { \bar { \mathbb { X } } } } { \mathbf { \bar { \mathbf { X } } } } } { \Bigg [ } f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ^ { ( n - 1 ) } ( x ) - f ^ { ( n - 1 ) } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \Bigg ] } \cdots
$$

写法： $f ^ { \prime } ( x ) , f ^ { \prime } ( x ) , f ^ { \prime \prime } ( x )$ ，当 $n \geqslant 4$ 时，要写 $f ^ { ( n ) } ( x )$

注(1）如果f（x）在点 $x _ { \mathfrak { o } }$ 处有二阶导数，则f(x)在 $x _ { 0 }$ 的某个邻域内有一阶导数且 $f ^ { \prime } ( x )$ 在 $x _ { 0 }$ 处连续．

$$
\mathcal { Q } \star o f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } = a \ ( \rlap / \ast \frac { \lambda } { \lambda } \neq \pmb { \mathscr { Q } } ) ,
$$

$$
\emptyset | \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } [ f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ] = \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } ( x - x _ { 0 } ) = 0 \ .
$$

$$
\ell | \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \ , \frac { 1 } { \ell x } f ^ { \prime } ( x ) \neq x _ { 0 } \ \xi ( \cdot \pm \frac { \mu } { 4 } \ k ) \neq
$$

$$
7 9 0 0 k m - 1 4 9 = 3 1 9 1 0 - 1 1 9 1 = 3 1 3 9 k m
$$

（2）如果f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处有n阶导数，则f（x）在 $\boldsymbol { x } _ { 0 }$ 的某个邻域内有1\~（n-1）阶的各阶导数.

总结：f（x）存在=f（x）在 $x _ { 0 }$ 附近有定义且在 $x _ { 0 }$ 处连续；

$f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } )$ 存在→f（x）在 $x _ { 0 }$ 附近有定义且在 $x _ { 0 }$ 处连续；

$f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) \mathcal { H } \mathcal { H } \Rightarrow f ^ { ( n - 1 ) } ( x )$ 在 $x _ { 0 }$ 附近有定义且在 $x _ { 0 }$ 处连续，

例3.9 设f(x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处二阶可导，且 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 , f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ .证明：

(1)若 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) < 0$ ，则f(x)在 $x _ { 0 }$ 处取得极大值;

(2)若 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0$ ，则f(x)在 $x _ { 0 }$ 处取得极小值.

分析概念题.

必背公式来源：函数极限的局部保号性.

$$
\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = A < 0 \xrightarrow { x \in ( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ) \bigcup ( x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta ) } f ( x ) < 0 \ .
$$

$$
\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = A > 0 \xrightarrow { x \in ( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ) \bigcup ( x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta ) } f ( x ) > 0 \ .
$$

必背公式应用：

$$
\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \overset { < } ( } > 0 \Rightarrow { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \overset { < } ( } > ) ^ { 0 } \ .
$$

![](images/8521913ab3cfc0245cb4df8ae1120f12d3cf5ae288e8718db0c4d54e19790f88.jpg)

(1)因 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) < 0$ ，故按二阶导数的定义有

$$
f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } < 0 \ .
$$

根据函数极限的局部保号性，存在 $x _ { 0 }$ 的去心邻域 $\mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ ，当 $x \in \mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时，有 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } < 0$ 因为 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0$ ，所以上式为 ${ \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { x - x _ { 0 } } } < 0$ .从而当 $x \in \mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时，f(x)与 $\boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 符号相反.当 $x - x _ { 0 } < 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ；当 $x - x _ { 0 } > 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ .根据判别极值的第一充分条件，f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处取得极大值.

(2)因 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0$ ，故按二阶导数的定义有

$$
f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } > 0 .
$$

根据函数极限的局部保号性，存在 $x _ { 0 }$ 的去心邻域 $\mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ ，当 $x \in \overset { \circ } { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时，有 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } > 0$ 因为 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0$ ，所以上式为 ${ \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { x - x _ { 0 } } } > 0$ .从而当 $x \in \mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时， $f ^ { \prime } ( x )$ 与 $\boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 符号相同.当 $x - x _ { 0 } < 0$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ；当 $x - x _ { 0 } > 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ .根据判别极值的第一充分条件，f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处取得极小值.

## 4微分的概念 一元函数可徽可导

(1)引例.

如图3-14所示，设正方形边长为1，当其边长增加△x时，它的面积S增加了

$$
\begin{array} { c }   \overline { { { \oplus } } } \vec { \mathfrak { q } } . \vec { \mathfrak { x } } \langle \mathcal { U } \not \circ \not \exists \ \frac { 1 } { 2 } \not \equiv \not \underline { { { \langle \not \circ \mathfrak { u } \not \circ \not \langle \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ } } } \\ { { \neg \not \equiv \left( 1 + \Delta x \right) ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } = \underline { { { 2 \Delta x } } } + \left( \Delta x \right) ^ { 2 } \ . \ \not \simeq \left( 1 + \Delta x \right) ^ { 2 } . } } \end{array}
$$

![](images/1f20974d59e4a4b4962b1f63f161063a6bae3f7536599f9351a9cb8c31810a8c.jpg)

上述面积的增量△S由两部分组成，一部分是2△x（图3-14中两个小长

图3-14

方形的面积），它是△x的一次项；另一部分是 $( \Delta x ) ^ { 2 }$ （图3-14中右上角小正方形的面积），它满足$\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { ( \Delta x ) ^ { 2 } } { \Delta x } } = 0$ ，即 $( \Delta x ) ^ { 2 } = o ( \Delta x )$ .故 $\Delta S = 2 \Delta x + o ( \Delta x )$ ,2△x为增量的主要部分，也叫线性主部， $o ( \Delta x )$ 为△x→0时△x的高阶无穷小，是误差，当△x足够小时，有 $\Delta S \approx 2 \Delta x$

(2)概念.

设函数 $y = f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 的某邻域内有定义，且 $x _ { 0 } + \Delta x$ 在该邻域内，对于函数增量

$$
\Delta y = f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) ,
$$

若存在与△x无关的常数A，使得

$$
\Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x ) \ , \qquad \Delta y = \mathrm { d } y + o ( \Delta x )
$$

其中o(△x)是在△x→0时比△x更高阶的无穷小，则称f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处可微，并把增量的主要部分A△x称为线性主部，也叫作f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的微分，记 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = A \Delta x$ 或 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \mathrm { d } x$ 1

可微可导的证明：

$$
\begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { A \Delta x } { \Delta x } + \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { O ( \Delta x ) } { \Delta x } = A \mathrm { ~ , } } \\ & { \oplus \displaystyle \# \# \mathcal { C } _ { q } ^ { \dagger } \neq \omega \mathrm { d } y \vert _ { x = x _ { 0 } } = A \ast \Delta x = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x \mathrm { ~ , } } \\ & { \stackrel { \mathcal { K } } { \to } \displaystyle \frac { \mathrm { d } x = \Delta x } { \sqrt { \mathrm { ~ } } } , \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { \mathrm { ~ } } } \mathbb { d } y \vert _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \mathrm { d } x } \\ & { \stackrel { \mathrm { A r ~ o d u } } { \to } \mathrm { d } x + o ( \Delta x ) \mathrm { ~ , ~ } \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \mathrm { ~ , } \Delta x = \mathrm { d } x } \\ & { \qquad \quad \times \mathrm { d } \mathrm { ~ 1 } } \\ & { \qquad \mathrm { 1 } \ast \Delta x \quad 0 } \end{array}
$$

## 注（1）可微的判别

①写增量 $\Delta y = f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } )$

②写线性增量 $A \Delta x = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x$

③作极限 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y - A \Delta x } { \Delta x } } \Leftrightarrow \Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x )$

若该极限等于0，则y=f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处可微，否则不可微。

(2)从上述判别步骤可以看出，用形式简单的“线性增量 $A \Delta x ^ { n }$ 去代替形式复杂的“增量 $\Delta y ^ { \prime \prime }$ 且其误差 $\ " \Delta y - A \Delta x \ "$ 是o△x)，这就是说，用“简单的量”代替了“复杂的量”，且产生的误差又可以忽略不计，这就是可微的含义.

>判别可微首先考虑（3)，若没有则结合厂（x）的信息考虑（1）

(3) ${ } ^ { \mathfrak { a } } f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处可微”与“f(x)在点 $x _ { \mathfrak { o } }$ 处可导”互为充要条件，故判别f(x）在点 $x _ { 0 }$ 处是否可微可以转化为判别其在点 $x _ { 0 }$ 处是否可导，这样的话考生会比较熟悉.

（4）可微的几何意义

若f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处可微，则在点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 附近可以用切线段近似代替曲线段，这是可微的几何意义。  
(5)图3-15可以较好地帮助考生理解以上论述.

![](images/0f7c17ea5fe753295e2b83c63cabce5bd3bf69c98ff238360868cb45341c624f.jpg)  
图3-15

例3.10 设函数y=f(x)在任意点x处的增量 $\Delta y = \frac { y \Delta x } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } + o ( \Delta x )$ ，且f(0)=1，则$y = f ( x )$ 在点x=0处的微分dy=（）.

(A)0 (B)dx (C)2dx (D) 3dx

分析概念题，转化成导数 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x }$ 代入数值即可.

## 解 应选(B).

由 $\Delta y = \frac { y \Delta x } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } + o ( \Delta x )$ ，知 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = y ^ { \prime } = \frac { y } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$ ，又f(0)=1，可得y(0)=1，进而 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = 0 } =$ $y ^ { \prime } ( 0 ) \mathrm { d } x = \mathrm { d } x$ ，应选(B).

例3.11 设函数f(u)可导，且 $y = f ( x ^ { 2 } )$ ，当自变量x在x=-1处取得增量 $\Delta x = - 0 . 1$ 时，相应的函数增量△y的线性主部为0.1，则f'(1)=（）.(A)-1 (B)0.1 (C)0.5 (D)1

分析概念题.对复合函数 $y = f [ g ( x ) ]$ 求导，有 $y ^ { \prime } { = } f ^ { \prime } [ g ( x ) ] { \bullet } g ^ { \prime } ( x )$

必背公式来源： $\Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x )$ ，其中 $\mathrm { d } y = A \Delta x = y ^ { \prime } \mathrm { d } x$ 为线性主部.

本题依然是考查微分的定义.函数的微分是函数增量的线性主部，且 $\mathrm { d } y = y ^ { \prime } \mathrm { d } x = y ^ { \prime } \Delta x$ ，而

$$
\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } ( x ^ { 2 } ) = 2 x f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x = 2 x f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \Delta x ,
$$

因此，由0.1=-2f'(1)·(-0.1)，可得f'(1)=0.5，故选(C).

题一练设函数f(x)在x=1处可导，且△f(l)是f(x)在增量为△x时的函数值增量，则 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta f ( 1 ) - \mathrm { d } f { \big | } _ { x = 1 } } { \Delta x } } =$ （ ）.(A)f() (B)1 (C）8 (D)0

分析 $\Delta y = \mathrm { d } y + o ( \Delta x )$ ，则 $\Delta y - \mathrm { d } y = o ( \Delta x )$ ，故 $\Delta f ( x ) - \mathrm { d } [ f ( x ) ] = o ( \Delta x )$

由于 $\Delta f ( 1 ) = f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 )$ ，故 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta f ( 1 ) } { \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } } = f ^ { \prime } ( 1 )$ ，又

$$
\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \mathrm { d } f \big | _ { x = 1 } } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ^ { \prime } ( 1 ) \mathrm { d } x } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ^ { \prime } ( 1 ) \Delta x } { \Delta x } = f ^ { \prime } ( 1 ) ,
$$

于是，原式 $= f ^ { \prime } ( 1 ) - f ^ { \prime } ( 1 ) = 0$

注在微分概念中，由 $\Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x )$ 得 $\mathrm { d } y = A \Delta x$ 故由 $\Delta x = 1 \cdot \Delta x + o ( \Delta x )$ 得 $\mathrm { d } x = 1 \cdot \Delta x$ 也就有$\mathrm { d } y = A \Delta x = A \mathrm { d } x$ 线性主部

## 习题

3.1设 $f ( x ) = \left\{ { \frac { 1 - \cos x } { \sqrt { x } } } , x > 0 , \right. \nonumber$ 其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处（ ）(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导 (D)可导

3.2设函数 $f ( x ) = \left| x ^ { 3 } - 1 \right| \varphi ( x )$ ,其中φ(x)在x=1处连续,则(l)=0是f(x)在x=1处可导的（ ）.(A)充分必要条件 (B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

3.3设函数f(x)可导，且曲线y=f(x)在点 $( x _ { 0 } , f ( x _ { 0 } ) )$ 处的切线与直线y=2-x垂直，则当△x→0时，该函数在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处的微分dy是（ ）.(A)与△x同阶但非等价的无穷小 (B)与△x等价的无穷小(C)比△x高阶的无穷小 (D)比△x低阶的无穷小

3.4设函数y=f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处可导，且 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ .当自变量有增量△x时，函数y=f(x)的增量为Δy，则当△x→0时，Δy-dy是dy的（）.(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶非等价无穷小(D)等价无穷小

3.5设f(x)=(x-a)·φ(x)，其中𝜑(x)连续，则f(a)=

3.6设f(x)满足f(0)=0，且f'(0)存在，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( 1 - { \sqrt { \cos x } } ) } { \ln ( 1 - x \sin x ) } } =$

3.7证明：(1)若F(x)在 $[ x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta ) ( \delta > 0 )$ 连续，在 $( x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta )$ 内可导，当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } F ^ { \prime } ( x ) \frac { \# \# \# } { \# } A$ 时，有 $F _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = A$

(2)若F(x)在 $( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ] ( \delta > 0 )$ 连续，在 $( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } )$ 内可导，当 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { - } } F ^ { \prime } ( x ) \frac { \# \# \# } { \# } A$ 时，有 $F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = A$

3.8设 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x ^ { 2 } \sin \frac { \pi } { x } , } & { ~ x < 0 , } \\ { \displaystyle A , } & { ~ x = 0 , } \\ { \displaystyle a x ^ { 2 } + b , } & { ~ x > 0 , } \end{array} \right.$ 求常数A,a,b的值，使f(x)在x=0处可导，并求f'(0).

3.9设δ>0,f(x)在[-δ,δ]上有定义，f(0)=1，且满足

$$
\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 - 2 x ) + 2 x f ( x ) } { x ^ { 2 } } } = 0 ,
$$

证明：f(x)在x=0处可导，并求f'(0).

## 解答

3.1(D）解

$$
f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { 1 - \cos x } { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } = 0 ,
$$

$$
f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { x  0 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } g ( x ) } { x } = \operatorname * { l i m } _ { x  0 ^ { - } } x g ( x ) = 0 \ .
$$

第二个等式利用了g(x)是有界函数这一条件，有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量.由于f(x)在点x=0处的左导数等于右导数，因而f(x)在x=0处可导.

3.2(A）解由(1)=0可知

$$
f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  1 ^ { + } } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = 0 ,
$$

$$
f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  1 } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  1 } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = - \operatorname* { l i m } _ { x  1 } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = 0 ,
$$

即f(1)=f(l)=0，所以f'(1)=0.

设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以

$$
f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { + } } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = 3 \varphi ( 1 ) ,
$$

$$
f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { - } } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { - } } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = - \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { - } } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = - 3 \varphi ( 1 ) ~ .
$$

由f(1)=f(1)可得，3𝜑(1)=-3𝜑(l)，故𝜑(1)=0，应选(A).

3.3(B）解由题设可知 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 1$ .而 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x = \Delta x$ ，因而 $ \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { \mathrm { d } y } { \Delta x } | _ { x = x _ { 0 } } = 1$ ，即当 $\Delta x \to 0$ 时，该函数在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处 $\mathrm { d } y$ 与△x是等价无穷小，故选(B).

3.4(A）解题目给出f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导，考查 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y - \mathrm { d } y } { \mathrm { d } y } }$ ，注意，如果f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导，则必定可微分，因此可以由微分的性质入手.

由微分的定义可知 $\Delta y - \mathrm { d } y = o ( \Delta x )$ ，而 $\left. \mathrm { d } y = y ^ { \prime } \mathrm { d } x , \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x$

由题设知 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ ，可得

$$
\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y - \mathrm { d } y } { \mathrm { d } y } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { o ( \Delta x ) } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } } \bullet { \frac { o ( \Delta x ) } { \Delta x } } = 0 ,
$$

故选(A).

3.5φ(a）分析概念题.有的同学用公式法求出f'(a)，但这是错误解法，

$$
\begin{array} { r } { f ^ { \prime } ( a ) = f ^ { \prime } ( x ) \big | _ { x = a } = \big [ \varphi ( x ) + ( x - a ) \bullet \varphi ^ { \prime } ( x ) \big ] \big | _ { x = a } = \varphi ( a ) + 0 = \varphi ( a ) , } \end{array}
$$

错误，因为φ(x)仅连续，φ(x)不一定存在！应该用“导数定义”求出.

解导数定义.

$$
f ^ { \prime } ( a ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { ( x - a ) \bullet \varphi ( x ) - 0 } { x - a } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } \varphi ( x ) = \varphi ( a ) \ .
$$

注求导数时，当函数不具备“导数存在”的条件时，往往只能用“导数定义”求，

3.6 $- \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( 0 )$ 解

$$
\begin{array} { r l } {  { \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { f ( 1 - \sqrt { \cos x } ) - f ( 0 ) } { ( 1 - \sqrt { \cos x } ) - 0 } \cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 1 - \sqrt { \cos x } } { \sin ( 1 - x \sin x ) } } } \\ & { = f ^ { \prime } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 1 - \sqrt { \cos x } } { \ln ( 1 - x \sin x ) } } \\ & { \frac { \sin ( \hat { \phi } ) - \hat { \mathcal { X } } ( \hat { \mathcal { H } } ) \cdot \sqrt { \frac { \sin \hat { \phi } + \hat { \mathcal { Y } } } { 1 + \hat { \mathcal { Y } } } } } { \frac { \sin \hat { \phi } } { \cos \hat { \mathcal { Y } } } \cdot \sqrt { \frac { \sin \hat { \phi } + \hat { \mathcal { Y } } } { 1 + \hat { \mathcal { Y } } } } \times } f ^ { \prime } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 2 } { x + \sin x } = - \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( 0 ) \ . } \end{array}
$$

3.7证明 (1) $F _ { * } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { * } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ 洛必达法则 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { + } } { \frac { F ^ { \prime } ( x ) } { 1 } } = A$

(2) $F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ 洛必达法则 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { F ^ { \prime } ( x ) } { 1 } } = A$

注满足(1)，(2)的条件时，有 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { * } \atop ( x _ { 0 } ^ { - } ) } F ^ { \prime } ( x ) \frac { \# \varkappa _ { } ^ { \# } } { \# \Gamma ^ { \prime } ( x ) } A$ $F _ { _ { + } } ^ { \prime } ( x _ { _ { 0 } } ) \frac { \# \# \# } { \# } A$ 但 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { + } \atop ( x _ { 0 } ^ { - } ) } F ^ { \prime } ( x )$ 不存在时，

$F _ { \mathrm { + } } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 亦可能存在．如 $F ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 . } \end{array} \right. }$

当x=0时， $F ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { F ( x ) - F ( 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } x \sin { \frac { 1 } { x } } = 0 .$

$x \neq 0$ $F ^ { \prime } ( x ) = 2 x \sin \frac { 1 } { x } - \cos \frac { 1 } { x } , \operatorname* { l i m } _ { x  0 } F ^ { \prime } ( x )$ 不存在.但由F(0)=0，知F(0)=0（存在).

3.8解由可导与连续的关系有

$$
\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } x ^ { 2 } \sin { \frac { \pi } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } ( a x ^ { 2 } + b ) = A ,
$$

所以A=b=0.又

$$
f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  0 ^ { - } } { \frac { x ^ { 2 } \sin { \frac { \pi } { x } } - 0 } { x - 0 } } = 0 , f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  0 ^ { + } } { \frac { a x ^ { 2 } - 0 } { x - 0 } } = 0 ,
$$

所以a可以为任意常数，且 $f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$

3.9证明使用泰勒公式，有

$$
\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 - 2 x ) + 2 x f ( x ) } { x ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \cfrac { - 2 x - { \frac { 1 } { 2 } } \bullet 4 x ^ { 2 } + o ( x ^ { 2 } ) + 2 x f ( x ) } { x ^ { 2 } } } = 2 \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \cfrac { f ( x ) - 1 } { x } } - 2 + 0 = 0 ,
$$

于是极限 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = 1$ ，即为f(0)，于是函数f(x)在x=0处可导，且 $f ^ { \prime } ( 0 ) { = } 1$