vault backup: 2026-06-15 07:18:08

.gitignore

@@ -0,0 +1 @@
+.obsidian/workspace.json

.obsidian/app.json

@@ -1 +1,3 @@
-{}
+{
+  "attachmentFolderPath": "./file_other"
+}

.obsidian/community-plugins.json

@@ -1,3 +1,4 @@
 [
-  "obsidian-git"
+  "obsidian-git",
+  "pdf-plus"
 ]

.obsidian/graph.json

@@ -17,6 +17,6 @@
   "repelStrength": 10,
   "linkStrength": 1,
   "linkDistance": 250,
-  "scale": 0.7132754626224403,
+  "scale": 1.1715886891555545,
   "close": true
 }

.obsidian/plugins/pdf-plus/data.json

@@ -0,0 +1,326 @@
+{
+  "displayTextFormats": [
+    {
+      "name": "Title & page",
+      "template": "{{file.basename}}, p.{{pageLabel}}"
+    },
+    {
+      "name": "Page",
+      "template": "p.{{pageLabel}}"
+    },
+    {
+      "name": "Text",
+      "template": "{{text}}"
+    },
+    {
+      "name": "Emoji",
+      "template": "📖"
+    },
+    {
+      "name": "None",
+      "template": ""
+    }
+  ],
+  "defaultDisplayTextFormatIndex": 0,
+  "syncDisplayTextFormat": true,
+  "syncDefaultDisplayTextFormat": false,
+  "copyCommands": [
+    {
+      "name": "Quote",
+      "template": "> ({{linkWithDisplay}})\n> {{text}}\n"
+    },
+    {
+      "name": "Link",
+      "template": "{{linkWithDisplay}}"
+    },
+    {
+      "name": "Embed",
+      "template": "!{{link}}"
+    },
+    {
+      "name": "Callout",
+      "template": "> [!{{calloutType}}|{{color}}] {{linkWithDisplay}}\n> {{text}}\n"
+    },
+    {
+      "name": "Quote in callout",
+      "template": "> [!{{calloutType}}|{{color}}] {{linkWithDisplay}}\n> > {{text}}\n> \n> "
+    }
+  ],
+  "useAnotherCopyTemplateWhenNoSelection": false,
+  "copyTemplateWhenNoSelection": "{{linkToPageWithDisplay}}",
+  "trimSelectionEmbed": false,
+  "embedMargin": 50,
+  "noSidebarInEmbed": true,
+  "noSpreadModeInEmbed": true,
+  "embedUnscrollable": false,
+  "singleTabForSinglePDF": true,
+  "highlightExistingTab": false,
+  "existingTabHighlightOpacity": 0.5,
+  "existingTabHighlightDuration": 0.75,
+  "paneTypeForFirstPDFLeaf": "left",
+  "openLinkNextToExistingPDFTab": true,
+  "openPDFWithDefaultApp": false,
+  "openPDFWithDefaultAppAndObsidian": true,
+  "focusObsidianAfterOpenPDFWithDefaultApp": true,
+  "syncWithDefaultApp": false,
+  "dontActivateAfterOpenPDF": true,
+  "dontActivateAfterOpenMD": true,
+  "highlightDuration": 0.75,
+  "noTextHighlightsInEmbed": false,
+  "noAnnotationHighlightsInEmbed": true,
+  "persistentTextHighlightsInEmbed": true,
+  "persistentAnnotationHighlightsInEmbed": false,
+  "highlightBacklinks": true,
+  "selectionBacklinkVisualizeStyle": "highlight",
+  "dblclickEmbedToOpenLink": true,
+  "highlightBacklinksPane": true,
+  "highlightOnHoverBacklinkPane": true,
+  "backlinkHoverColor": "",
+  "colors": {
+    "Yellow": "#ffd000",
+    "Red": "#ea5252",
+    "Note": "#086ddd",
+    "Important": "#bb61e5"
+  },
+  "defaultColor": "",
+  "defaultColorPaletteItemIndex": 0,
+  "syncColorPaletteItem": true,
+  "syncDefaultColorPaletteItem": false,
+  "colorPaletteInToolbar": true,
+  "noColorButtonInColorPalette": true,
+  "colorPaletteInEmbedToolbar": false,
+  "quietColorPaletteTooltip": false,
+  "showStatusInToolbar": true,
+  "highlightColorSpecifiedOnly": false,
+  "doubleClickHighlightToOpenBacklink": true,
+  "hoverHighlightAction": "preview",
+  "paneTypeForFirstMDLeaf": "right",
+  "singleMDLeafInSidebar": true,
+  "alwaysUseSidebar": true,
+  "ignoreExistingMarkdownTabIn": [],
+  "defaultColorPaletteActionIndex": 4,
+  "syncColorPaletteAction": true,
+  "syncDefaultColorPaletteAction": false,
+  "proxyMDProperty": "PDF",
+  "hoverPDFLinkToOpen": false,
+  "ignoreHeightParamInPopoverPreview": true,
+  "filterBacklinksByPageDefault": true,
+  "showBacklinkToPage": true,
+  "enableHoverPDFInternalLink": true,
+  "recordPDFInternalLinkHistory": true,
+  "alwaysRecordHistory": true,
+  "renderMarkdownInStickyNote": false,
+  "enablePDFEdit": true,
+  "author": "cyy",
+  "writeHighlightToFileOpacity": 0.2,
+  "defaultWriteFileToggle": false,
+  "syncWriteFileToggle": true,
+  "syncDefaultWriteFileToggle": false,
+  "enableAnnotationDeletion": true,
+  "warnEveryAnnotationDelete": false,
+  "warnBacklinkedAnnotationDelete": true,
+  "enableAnnotationContentEdit": true,
+  "enableEditEncryptedPDF": false,
+  "pdfLinkColor": "#04a802",
+  "pdfLinkBorder": false,
+  "replaceContextMenu": true,
+  "showContextMenuOnMouseUpIf": "Mod",
+  "contextMenuConfig": [
+    {
+      "id": "action",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "selection",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "write-file",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "annotation",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "modify-annotation",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "link",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "text",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "search",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "speech",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "page",
+      "visible": true
+    },
+    {
+      "id": "settings",
+      "visible": true
+    }
+  ],
+  "selectionProductMenuConfig": [
+    "color",
+    "copy-format",
+    "display"
+  ],
+  "writeFileProductMenuConfig": [
+    "color",
+    "copy-format",
+    "display"
+  ],
+  "annotationProductMenuConfig": [
+    "copy-format",
+    "display"
+  ],
+  "updateColorPaletteStateFromContextMenu": true,
+  "mobileCopyAction": "pdf-plus",
+  "showContextMenuOnTablet": false,
+  "executeBuiltinCommandForOutline": true,
+  "executeBuiltinCommandForZoom": true,
+  "executeFontSizeAdjusterCommand": true,
+  "closeSidebarWithShowCommandIfExist": true,
+  "autoHidePDFSidebar": false,
+  "defaultSidebarView": 1,
+  "outlineDrag": true,
+  "outlineContextMenu": true,
+  "outlineLinkDisplayTextFormat": "{{file.basename}}, {{text}}",
+  "outlineLinkCopyFormat": "{{linkWithDisplay}}",
+  "recordHistoryOnOutlineClick": true,
+  "popoverPreviewOnOutlineHover": true,
+  "thumbnailDrag": true,
+  "thumbnailContextMenu": true,
+  "thumbnailLinkDisplayTextFormat": "{{file.basename}}, p.{{pageLabel}}",
+  "thumbnailLinkCopyFormat": "{{linkWithDisplay}}",
+  "recordHistoryOnThumbnailClick": true,
+  "popoverPreviewOnThumbnailHover": true,
+  "annotationPopupDrag": true,
+  "showAnnotationPopupOnHover": true,
+  "useCallout": true,
+  "calloutType": "PDF",
+  "calloutIcon": "highlighter",
+  "highlightBacklinksInEmbed": false,
+  "highlightBacklinksInHoverPopover": false,
+  "highlightBacklinksInCanvas": true,
+  "clickPDFInternalLinkWithModifierKey": true,
+  "clickOutlineItemWithModifierKey": true,
+  "clickThumbnailWithModifierKey": true,
+  "focusEditorAfterAutoPaste": true,
+  "clearSelectionAfterAutoPaste": true,
+  "respectCursorPositionWhenAutoPaste": true,
+  "blankLineAboveAppendedContent": true,
+  "autoCopy": false,
+  "autoFocus": false,
+  "autoPaste": false,
+  "autoFocusTarget": "last-active-and-open-then-last-paste",
+  "autoPasteTarget": "last-active-and-open-then-last-paste",
+  "openAutoFocusTargetIfNotOpened": true,
+  "howToOpenAutoFocusTargetIfNotOpened": "right",
+  "closeHoverEditorWhenLostFocus": true,
+  "closeSidebarWhenLostFocus": false,
+  "openAutoFocusTargetInEditingView": true,
+  "executeCommandWhenTargetNotIdentified": true,
+  "commandToExecuteWhenTargetNotIdentified": "switcher:open",
+  "autoPasteTargetDialogTimeoutSec": 20,
+  "autoCopyToggleRibbonIcon": true,
+  "autoCopyIconName": "highlighter",
+  "autoFocusToggleRibbonIcon": true,
+  "autoFocusIconName": "zap",
+  "autoPasteToggleRibbonIcon": true,
+  "autoPasteIconName": "clipboard-paste",
+  "viewSyncFollowPageNumber": true,
+  "viewSyncPageDebounceInterval": 0.3,
+  "openAfterExtractPages": true,
+  "howToOpenExtractedPDF": "tab",
+  "warnEveryPageDelete": false,
+  "warnBacklinkedPageDelete": true,
+  "extractPageInPlace": false,
+  "askExtractPageInPlace": true,
+  "pageLabelUpdateWhenInsertPage": "keep",
+  "pageLabelUpdateWhenDeletePage": "keep",
+  "pageLabelUpdateWhenExtractPage": "keep",
+  "askPageLabelUpdateWhenInsertPage": true,
+  "askPageLabelUpdateWhenDeletePage": true,
+  "askPageLabelUpdateWhenExtractPage": true,
+  "copyOutlineAsListFormat": "{{linkWithDisplay}}",
+  "copyOutlineAsListDisplayTextFormat": "{{text}}",
+  "copyOutlineAsHeadingsFormat": "{{text}}\n\n{{linkWithDisplay}}",
+  "copyOutlineAsHeadingsDisplayTextFormat": "p.{{pageLabel}}",
+  "copyOutlineAsHeadingsMinLevel": 2,
+  "newFileNameFormat": "",
+  "newFileTemplatePath": "",
+  "newPDFLocation": "current",
+  "newPDFFolderPath": "",
+  "rectEmbedStaticImage": true,
+  "rectImageFormat": "file",
+  "rectImageExtension": "webp",
+  "zoomToFitRect": false,
+  "rectFollowAdaptToTheme": true,
+  "rectEmbedResolution": 100,
+  "includeColorWhenCopyingRectLink": true,
+  "backlinkIconSize": 50,
+  "showBacklinkIconForSelection": false,
+  "showBacklinkIconForAnnotation": false,
+  "showBacklinkIconForOffset": true,
+  "showBacklinkIconForRect": false,
+  "showBoundingRectForBacklinkedAnnot": false,
+  "hideReplyAnnotation": false,
+  "hideStampAnnotation": false,
+  "searchLinkHighlightAll": "true",
+  "searchLinkCaseSensitive": "true",
+  "searchLinkMatchDiacritics": "default",
+  "searchLinkEntireWord": "false",
+  "dontFitWidthWhenOpenPDFLink": true,
+  "preserveCurrentLeftOffsetWhenOpenPDFLink": false,
+  "defaultZoomValue": "page-width",
+  "scrollModeOnLoad": 0,
+  "spreadModeOnLoad": 0,
+  "usePageUpAndPageDown": true,
+  "hoverableDropdownMenuInToolbar": true,
+  "zoomLevelInputBoxInToolbar": true,
+  "popoverPreviewOnExternalLinkHover": true,
+  "actionOnCitationHover": "pdf-plus-bib-popover",
+  "enableBibInEmbed": false,
+  "enableBibInHoverPopover": false,
+  "enableBibInCanvas": true,
+  "citationIdPatterns": "^cite.\n^bib\\d+$",
+  "copyAsSingleLine": true,
+  "removeWhitespaceBetweenCJChars": true,
+  "dummyFileFolderPath": "",
+  "externalURIPatterns": [
+    ".*\\.pdf$",
+    "https://arxiv.org/pdf/.*"
+  ],
+  "modifierToDropExternalPDFToCreateDummy": [
+    "Shift"
+  ],
+  "vim": false,
+  "vimrcPath": "",
+  "vimVisualMotion": true,
+  "vimScrollSize": 40,
+  "vimLargerScrollSizeWhenZoomIn": true,
+  "vimContinuousScrollSpeed": 1.2,
+  "vimSmoothScroll": true,
+  "vimHlsearch": true,
+  "vimIncsearch": true,
+  "enableVimInContextMenu": true,
+  "enableVimOutlineMode": true,
+  "vimSmoothOutlineMode": true,
+  "vimHintChars": "hjklasdfgyuiopqwertnmzxcvb",
+  "vimHintArgs": "all",
+  "PATH": "",
+  "autoCheckForUpdates": true,
+  "fixObsidianTextSelectionBug": true
+}

.obsidian/plugins/pdf-plus/manifest.json

@@ -0,0 +1,15 @@
+{
+    "id": "pdf-plus",
+    "name": "PDF++",
+    "version": "0.40.31",
+    "minAppVersion": "1.5.8",
+    "description": "The most Obsidian-native PDF annotation tool ever.",
+    "author": "Ryota Ushio",
+    "authorUrl": "https://github.com/RyotaUshio",
+    "fundingUrl": {
+        "GitHub Sponsor": "https://github.com/sponsors/RyotaUshio",
+        "Buy Me a Coffee": "https://www.buymeacoffee.com/ryotaushio",
+        "Ko-fi": "https://ko-fi.com/ryotaushio"
+    },
+    "isDesktopOnly": false
+}

.obsidian/plugins/pdf-plus/styles.css

@@ -0,0 +1,694 @@
+/* @settings
+
+name: PDF++
+id: pdf-plus
+settings:
+    - 
+        id: pdf-highlight
+        title: Highlights
+        type: heading
+        level: 2
+    -
+        id: pdf-plus-highlight-opacity
+        title: Highlight opacity
+        type: variable-number-slider
+        min: 0
+        max: 1
+        step: 0.01
+        default: 0.2
+    -
+        id: pdf-plus-highlight-padding-vertical-em
+        title: Highlight padding (top & bottom)
+        description: Boldness of highlights (em)
+        type: variable-number-slider
+        min: 0
+        max: 1
+        step: 0.01
+        default: 0.05
+        format: em
+    -
+        id: pdf-plus-highlight-padding-horizontal-em
+        title: Highlight padding (left & right)
+        description: Boldness of highlights (em)
+        type: variable-number-slider
+        min: 0
+        max: 1
+        step: 0.01
+        default: 0.05
+        format: em
+    -
+        id: pdf-plus-highlight-border-radius
+        title: Highlight edge roundness
+        description: Radius of the highlight edge (em). 0 for sharp edges and 0.5 for rounded edges.
+        type: variable-number-slider
+        min: 0
+        max: 0.5
+        step: 0.01
+        default: 0.1
+        format: em
+    - 
+        id: pdf-rect
+        title: Rectanglular selection
+        type: heading
+        level: 2
+    -
+        id: pdf-plus-rect-highlight-opacity
+        title: Rectangle highlight opacity
+        type: variable-number-slider
+        min: 0
+        max: 1
+        step: 0.01
+        default: 1
+    -
+        id: pdf-plus-rect-highlight-border-width
+        title: Rectangle highlight border width (px)
+        type: variable-number-slider
+        min: 1
+        max: 10
+        step: 1
+        default: 2
+        format: px
+    -
+        id: hover-popover
+        title: Hover popovers
+        type: heading
+        level: 2
+    -
+        id: pdf-plus-backlink-popover
+        title: Backlink popovers
+        description: Styles for popovers displayed when hovering over backlinked highlights or rectangular selections in PDF viewer
+        type: heading
+        level: 3
+    -
+        id: pdf-plus-backlink-popover-width
+        title: Backlink popover width (px)
+        type: variable-number-slider
+        min: 100
+        max: 1000
+        step: 10
+        default: 450
+        format: px
+    -
+        id: pdf-plus-backlink-popover-height
+        title: Backlink popover height (px)
+        type: variable-number-slider
+        min: 100
+        max: 1000
+        step: 10
+        default: 400
+        format: px
+    -
+        id: pdf-plus-pdf-link-like-popover
+        title: PDF internal link popovers
+        description: Styles for popovers displayed when hovering over internal links, outline items or thumbnails in PDF viewer
+        type: heading
+        level: 3
+    -
+        id: pdf-plus-pdf-link-like-popover-width
+        title: PDF internal link popover width (px)
+        type: variable-number-slider
+        min: 100
+        max: 1000
+        step: 10
+        default: 450
+        format: px
+    -
+        id: pdf-plus-pdf-link-like-popover-height
+        title: PDF internal link popover height (px)
+        type: variable-number-slider
+        min: 100
+        max: 1000
+        step: 10
+        default: 400
+        format: px
+    - 
+        id: pdf-toolbar
+        title: PDF toolbars
+        type: heading
+        level: 2
+    - 
+        id: hide-pdf-embed-toolbar
+        title: Hide toolbar in PDF embeds with a page specified
+        type: class-toggle
+        default: true
+    - 
+        id: hide-pdf-toolbar-in-hover-editor
+        title: Hide PDF toolbar in Hover Editor
+        type: class-toggle
+        default: true
+    -
+        id: pdf-sidebar
+        title: PDF sidebars
+        type: heading
+        level: 2
+    -
+        id: pdf-plus-sidebar-width
+        title: Sidebar width (px)
+        type: variable-number-slider
+        min: 100
+        max: 1000
+        step: 10
+        default: 140
+        format: px
+    -
+        id: pdf-plus-vim
+        title: Vim keybindings
+        type: heading
+        level: 2
+    -
+        id: pdf-plus-vim-hin
+        title: Hint mode
+        type: heading
+        level: 3
+    - 
+        id: pdf-plus-vim-hint-inverted
+        title: Inverted color scheme
+        type: class-toggle
+        default: false
+*/
+
+:root {
+    --pdf-plus-highlight-padding-default-em: 0.05em;
+}
+
+.hide-pdf-embed-toolbar .pdf-embed[src*="#"] .pdf-toolbar,
+.hide-pdf-embed-toolbar .popover.hover-popover.hover-editor .pdf-embed[src*="#"] .pdf-toolbar {
+    display: none;
+}
+
+.hide-pdf-toolbar-in-hover-editor .popover.hover-popover.hover-editor .view-content>.pdf-toolbar {
+    display: none !important;
+}
+
+/* When hovering over a highlighted text in PDF viewer, highlight the corresponding item in backlink pane */
+.backlink-pane .search-result-file-match.hovered-backlink,
+.backlink-pane .search-result-file-matches:has(.better-search-views-tree) .better-search-views-file-match.hovered-backlink:not(:hover) {
+    background-color: var(--text-selection);
+}
+
+.setting-item.no-border,
+.pdf-plus-settings.vertical-tab-content .setting-item.no-border {
+    border-top: none;
+
+    &.small-padding {
+        padding-top: 0;
+    }
+}
+
+.setting-item-control input.error {
+    border-color: var(--background-modifier-error);
+}
+
+.setting-item-description.error {
+    color: var(--background-modifier-error);
+}
+
+.is-mobile,
+.is-tablet {
+    .pdf-plus-color-palette .pdf-plus-color-palette-item-inner {
+        width: calc(var(--swatch-width) * 0.85);
+        height: calc(var(--swatch-width) * 0.85);
+    }
+}
+
+.pdf-plus-color-palette {
+    user-select: none;
+    -webkit-user-select: none;
+
+    display: flex;
+    flex-direction: row;
+    justify-content: center;
+    align-items: center;
+
+    .pdf-plus-color-palette-item {
+        /* Avoid text selections to be cleared when tapping on a color palette item on the mobile app */
+        /* https://github.com/RyotaUshio/obsidian-pdf-plus/issues/169 */
+        user-select: none;
+
+        .pdf-plus-color-palette-item-inner {
+            width: var(--swatch-width);
+            height: var(--swatch-width);
+            border-radius: 50%;
+            border: var(--input-border-width) solid var(--background-modifier-border);
+        }
+    }
+
+    .pdf-plus-color-palette-status-container {
+        padding: var(--size-2-2) var(--size-2-3);
+        color: var(--text-muted);
+        font-size: var(--font-ui-small);
+        text-wrap: nowrap;
+    }
+}
+
+.menu .menu-item.pdf-plus-color-menu-item {
+    padding-left: 0;
+
+    .pdf-plus-color-indicator {
+        border-radius: 50%;
+        border-width: 0;
+        height: var(--size-4-3);
+        width: var(--size-4-3);
+    }
+}
+
+.pdf-toolbar .clickable-icon.is-disabled {
+    background-color: inherit;
+
+    &>svg {
+        color: var(--text-faint);
+    }
+}
+
+/* .pdf-page-input, */
+.pdf-zoom-level-input {
+    width: 6ch;
+    text-align: right;
+    font-variant-numeric: tabular-nums;
+}
+
+.pdf-zoom-level-percent {
+    white-space: nowrap;
+    margin-right: var(--size-4-1);
+    font-size: var(--font-ui-small);
+    font-variant-numeric: tabular-nums;
+}
+
+.pdf-plus-settings.vertical-tab-content {
+    --pdf-plus-settings-header-height: var(--size-4-12);
+
+    padding-top: 0;
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+}
+
+.pdf-plus-settings.vertical-tab-content .header-container {
+    position: sticky;
+    top: 0;
+    z-index: 10;
+    height: var(--pdf-plus-settings-header-height);
+    line-height: var(--pdf-plus-settings-header-height);
+    text-align: center;
+    background-color: var(--background-secondary);
+    border-bottom: 1px solid var(--divider-color);
+    padding: 0 var(--size-4-4);
+
+    overflow-x: scroll;
+    overflow-y: hidden;
+    white-space: nowrap;
+
+    display: flex;
+    justify-content: space-between;
+    align-items: center;
+
+    .header {
+        line-height: normal;
+
+        .header-title {
+            display: none;
+        }
+    }
+}
+
+.pdf-plus-settings.vertical-tab-content .content {
+    padding-top: var(--size-4-8);
+    padding-bottom: var(--size-4-16);
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+
+.pdf-plus-settings.vertical-tab-content .spacer {
+    height: var(--pdf-plus-settings-header-height);
+}
+
+.pdf-plus-settings.vertical-tab-content .top-note {
+    min-height: var(--pdf-plus-settings-header-height);
+    color: var(--text-muted);
+    font-size: var(--font-ui-smaller);
+}
+
+.pdf-plus-settings .setting-item-description,
+.pdf-plus-modal .setting-item-description {
+    &>p:first-child {
+        margin-top: 0;
+    }
+
+    &>p:last-child {
+        margin-bottom: 0;
+    }
+}
+
+.pdf-plus-settings .ignore-split-setting.setting-item {
+    padding-top: 0;
+}
+
+.annotationLayer .popupContent {
+    &>p:first-child {
+        margin-top: 0;
+    }
+
+    &>p:last-child {
+        margin-bottom: 0;
+    }
+}
+
+.pdf-plus-backlink-highlight-layer {
+    position: absolute;
+    top: 0;
+    right: 0;
+    bottom: 0;
+    left: 0;
+    z-index: 2;
+    transform-origin: 0 0;
+    pointer-events: none;
+}
+
+.pdf-plus-backlink-highlight-layer .pdf-plus-backlink {
+    position: absolute;
+    pointer-events: auto;
+}
+
+.pdf-plus-backlink-highlight-layer .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+    box-sizing: content-box;
+    cursor: text;
+}
+
+.pdf-plus-backlink-highlight-layer .rect-highlight {
+    background-color: rgb(var(--text-highlight-bg-rgb));
+    border-radius: var(--radius-m);
+    opacity: 0.2;
+}
+
+body:not(.pdf-plus-backlink-selection-underline) .pdf-plus-backlink-highlight-layer .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+    background-color: rgb(from var(--pdf-plus-color) r g b / var(--pdf-plus-highlight-opacity, 0.2));
+    padding: var(--pdf-plus-highlight-padding-vertical-em, var(--pdf-plus-highlight-padding-default-em)) var(--pdf-plus-highlight-padding-horizontal-em, var(--pdf-plus-highlight-padding-default-em));
+    margin: calc(var(--pdf-plus-highlight-padding-vertical-em, var(--pdf-plus-highlight-padding-default-em)) * -1) calc(var(--pdf-plus-highlight-padding-horizontal-em, var(--pdf-plus-highlight-padding-default-em)) * -1);
+    border-radius: var(--pdf-plus-highlight-border-radius, 0.1em);
+}
+
+body.pdf-plus-backlink-selection-underline {
+    .pdf-plus-backlink-highlight-layer .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+        padding: 0;
+        margin: 0;
+        opacity: 1.0;
+        border-radius: 0;
+    }
+
+    .pdf-plus-backlink-highlight-layer[data-main-rotation="0"] .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+        border-bottom: 0.1em solid var(--pdf-plus-color);
+    }
+
+    .pdf-plus-backlink-highlight-layer[data-main-rotation="90"] .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+        border-right: 0.1em solid var(--pdf-plus-color);
+    }
+
+    .pdf-plus-backlink-highlight-layer[data-main-rotation="180"] .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+        border-top: 0.1em solid var(--pdf-plus-color);
+    }
+
+    .pdf-plus-backlink-highlight-layer[data-main-rotation="270"] .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-selection {
+        border-left: 0.1em solid var(--pdf-plus-color);
+    }
+}
+
+.pdf-plus-backlink-highlight-layer .pdf-plus-backlink.pdf-plus-backlink-fit-r {
+    border: dashed rgb(from var(--pdf-plus-rect-color) r g b / var(--pdf-plus-rect-highlight-opacity, 1)) var(--pdf-plus-rect-highlight-border-width, 2px);
+}
+
+.pdf-plus-backlink-icon {
+    position: absolute;
+    --icon-size: 100%;
+}
+
+[data-main-rotation="90"] .pdf-plus-backlink-icon {
+    transform: rotate(270deg);
+}
+
+[data-main-rotation="180"] .pdf-plus-backlink-icon {
+    transform: rotate(180deg);
+}
+
+[data-main-rotation="270"] .pdf-plus-backlink-icon {
+    transform: rotate(90deg);
+}
+
+.pdf-plus-annotation-edit-modal {
+    .desc {
+        margin-bottom: var(--size-4-4);
+    }
+
+    .preview-container {
+        background: var(--background-modifier-form-field);
+        border: var(--input-border-width) solid var(--background-modifier-border);
+        border-radius: var(--input-radius);
+        padding: var(--size-4-1) var(--size-4-2);
+        text-align: left;
+
+        &>p:first-child {
+            margin-top: 0;
+        }
+
+        &>p:last-child {
+            margin-bottom: 0;
+        }
+    }
+
+    /* Arrange two children of .setting-item, namely .setting-item-info and .setting-item-contrl, vertically */
+    .setting-item:last-child:has(textarea) {
+        display: flex;
+        flex-direction: column;
+        justify-content: left;
+        align-items: flex-start;
+
+        .setting-item-control {
+            width: 100%;
+            padding-top: var(--size-4-2);
+        }
+    }
+
+    .pdf-plus-annotation-edit-modal-save-instructions {
+        color: var(--text-muted);
+        font-size: calc(var(--font-text-size) * 0.65);
+        text-align: end;
+    }
+}
+
+.popupWrapper {
+    --pdf-popup-width: 310px;
+}
+
+.pdf-plus-annotation-icon-container {
+    display: flex;
+    flex-direction: row;
+    justify-content: center;
+    align-items: center;
+
+    margin-right: calc(var(--size-4-1) * -1);
+    margin-left: calc(var(--size-2-1) * -1);
+
+    .clickable-icon {
+        margin-right: 0;
+        margin-left: 0;
+    }
+}
+
+.pdf-plus-draggable .popup {
+    cursor: default;
+}
+
+#pdf-plus-funding {
+    display: flex;
+    flex-direction: column;
+    justify-content: left;
+    align-items: flex-end;
+
+    .setting-item-control {
+        padding-top: var(--size-4-4);
+    }
+}
+
+#pdf-plus-funding-icon-info-container {
+    display: flex;
+    flex-direction: row;
+    /* justify-content: left; */
+    align-items: center;
+}
+
+#pdf-plus-funding-icon {
+    margin-right: var(--size-4-4);
+}
+
+.page-label-range:first-of-type {
+    margin-top: var(--size-4-4);
+}
+
+.page-label-range:not(:first-of-type) {
+    margin-top: var(--size-4-9);
+}
+
+.pdf-plus-page-label-modal {
+    z-index: var(--he-popover-layer-inactive, var(--layer-popover));
+
+    .page-labels-loading {
+        color: var(--text-muted);
+        text-align: center;
+        margin: var(--size-4-4);
+    }
+}
+
+.pdf-plus-restore-default-modal {
+    user-select: text;
+}
+
+.pdf-content-container {
+    --sidebar-width: var(--pdf-plus-sidebar-width, 140px);
+}
+
+body {
+    --container-pdf-cropped-width: var(--line-width);
+    --container-pdf-cropped-max-width: var(--max-width);
+}
+
+.internal-embed.pdf-cropped-embed {
+    width: var(--container-pdf-cropped-width);
+    max-width: var(--container-pdf-cropped-max-width);
+
+    img {
+        cursor: text !important;
+        max-width: 100%;
+    }
+}
+
+.popover.hover-popover>.pdf-cropped-embed img {
+    max-height: 100%;
+    max-width: 100%;
+    height: auto;
+}
+
+.pdf-plus-selecting * {
+    cursor: crosshair !important;
+
+    .textLayer {
+        user-select: none;
+    }
+}
+
+.pdf-container .pdf-plus-select-box {
+    position: absolute;
+    z-index: 1000;
+    border: dashed var(--background-modifier-border) 2px;
+    background-color: hsla(var(--interactive-accent-hsl), 0.15);
+}
+
+/* From Obsidian's app.css (.annotationLayer .mod-focused /  .annotationLayer .boundingRect)*/
+.pdf-plus-annotation-bounding-rect {
+    background-color: rgba(var(--text-highlight-bg-rgb), 0.1);
+    border-radius: var(--radius-s);
+    box-shadow: var(--shadow-s);
+    box-sizing: content-box;
+    margin: calc(var(--size-4-2) * -1);
+    border: var(--size-4-1) solid rgba(var(--text-highlight-bg-rgb), 0.8);
+    padding: var(--size-4-1);
+    z-index: 0;
+    /* Avoid preventing annotation click */
+    position: absolute;
+    pointer-events: none;
+}
+
+.popover.hover-popover.pdf-plus-backlink-popover {
+    --popover-width: var(--pdf-plus-backlink-popover-width, 450px);
+    --popover-height: var(--pdf-plus-backlink-popover-height, 400px);
+}
+
+.popover.hover-popover.pdf-plus-pdf-link-like-popover {
+    --popover-pdf-width: var(--pdf-plus-pdf-link-like-popover-width, 450px);
+    --popover-pdf-height: var(--pdf-plus-pdf-link-like-popover-height, 400px);
+}
+
+.popover.hover-popover.pdf-plus-bib-popover {
+    --popover-width: 400px;
+    --pdf-plus-bib-metadata-font-size: var(--font-ui-small);
+
+    /* Workaround to prevent bib popovers from being covered by Hover Editor
+    when the bib popover is spawned from a hover editor
+    (https://github.com/RyotaUshio/obsidian-pdf-plus/issues/459).
+    Hover Editor decides z-index based on --layer-slides, so we need to set a higher z-index. */
+    z-index: calc(var(--layer-slides) + 1);
+
+    .pdf-plus-bib {
+        padding: var(--size-4-3);
+        font-size: var(--font-ui-medium);
+
+        /* Make text inside citation hover selectable (https://github.com/RyotaUshio/obsidian-pdf-plus/issues/252) */
+        -moz-user-select: text;
+        -webkit-user-select: text;
+        user-select: text;
+
+        .bib-title {
+            font-weight: bold;
+            padding-bottom: var(--size-4-2);
+        }
+
+        .bib-author-year {
+            color: var(--text-muted);
+            text-align: left;
+            font-size: var(--pdf-plus-bib-metadata-font-size);
+        }
+
+        .bib-container-title {
+            color: var(--text-muted);
+            font-style: italic;
+            text-align: left;
+            font-size: var(--pdf-plus-bib-metadata-font-size);
+        }
+
+        .button-container {
+            margin-top: 1em;
+            display: flex;
+            justify-content: space-between;
+            gap: var(--size-4-2);
+            flex-wrap: wrap;
+        }
+    }
+}
+
+.pdf-plus-vim-command {
+    border-top: 1px solid var(--background-modifier-border);
+    /* height: var(--size-4-8); */
+    font-family: monospace;
+
+    input {
+        background: transparent;
+        border: none;
+        outline: none;
+        font-family: monospace;
+        white-space: pre;
+        width: 90%;
+    }
+}
+
+.page.pdf-plus-vim-hint-mode [data-pdf-plus-vim-hint]::after {
+    content: attr(data-pdf-plus-vim-hint);
+    color: var(--pdf-plus-vim-hint-color);
+    text-transform: uppercase;
+    font-size: var(--font-ui-medium);
+    font-weight: bold;
+    background-color: var(--pdf-plus-vim-hint-background-color);
+    border: var(--size-2-1) solid hsl(var(--accent-h), var(--accent-s), var(--accent-l));
+    border-radius: 10%;
+    padding: 0 var(--size-2-2);
+    position: relative;
+    left: 0;
+    top: 0;
+    z-index: 9999;
+}
+
+body {
+    --pdf-plus-vim-hint-color: var(--text-normal);
+    --pdf-plus-vim-hint-background-color: var(--background-primary);
+}
+
+body.pdf-plus-vim-hint-inverted {
+    --pdf-plus-vim-hint-color: var(--text-on-accent);
+    --pdf-plus-vim-hint-background-color: hsl(var(--accent-h), var(--accent-s), var(--accent-l));
+}

.obsidian/workspace-mobile.json

@@ -0,0 +1,242 @@
+{
+  "main": {
+    "id": "5da933d2f760d387",
+    "type": "split",
+    "children": [
+      {
+        "id": "3789d8024b6707fb",
+        "type": "tabs",
+        "children": [
+          {
+            "id": "48372204b0114881",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "audio",
+              "state": {
+                "file": "个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-10/2025.12六级听力第1套.mp3"
+              },
+              "icon": "lucide-file-audio",
+              "title": "2025.12六级听力第1套"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "4645965494378a4c",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "image",
+              "state": {
+                "file": "超级备忘/课内备忘/Pasted image 20260313115708.png"
+              },
+              "icon": "lucide-image",
+              "title": "Pasted image 20260313115708"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "bc721ecf5a43274b",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "个人日记/2026-05-11.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "2026-05-11"
+            }
+          }
+        ],
+        "currentTab": 2
+      }
+    ],
+    "direction": "vertical"
+  },
+  "left": {
+    "id": "7bd4f2a311178d73",
+    "type": "mobile-drawer",
+    "children": [
+      {
+        "id": "f8a0520748d5c225",
+        "type": "leaf",
+        "state": {
+          "type": "file-explorer",
+          "state": {
+            "sortOrder": "alphabetical",
+            "autoReveal": false
+          },
+          "icon": "lucide-folder-closed",
+          "title": "文件列表"
+        }
+      },
+      {
+        "id": "85a99c743b5585ae",
+        "type": "leaf",
+        "state": {
+          "type": "search",
+          "state": {
+            "query": "",
+            "matchingCase": false,
+            "explainSearch": false,
+            "collapseAll": false,
+            "extraContext": false,
+            "sortOrder": "alphabetical"
+          },
+          "icon": "lucide-search",
+          "title": "搜索"
+        }
+      },
+      {
+        "id": "fab52334f91f8ae9",
+        "type": "leaf",
+        "state": {
+          "type": "tag",
+          "state": {
+            "sortOrder": "frequency",
+            "useHierarchy": false,
+            "showSearch": false,
+            "searchQuery": ""
+          },
+          "icon": "lucide-tags",
+          "title": "标签"
+        }
+      },
+      {
+        "id": "d1c7464c13857e3e",
+        "type": "leaf",
+        "state": {
+          "type": "bookmarks",
+          "state": {},
+          "icon": "lucide-bookmark",
+          "title": "书签"
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.obsidian/workspace.json

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-    "个人日记/2026.3.8.md",
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-    "零碎的知识/vscode免密.md",
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-    "零碎的知识/git快捷指令.md",
+    "个人总纲和进度监督/线代复习/记录.md",
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-    "零碎的知识/数学建模导论 -2025年2月学习笔记.md",
     "零碎的知识/bashrc中设置宏定义.md",
-    "零碎的知识/ubuntu新建用户.md",
+    "零碎的知识/手机tmux.md",
-    "fusion实验记录/D0D85410",
+    "零碎的知识/设置ipv4自动设置.md",
-    "fusion实验记录/CBA93410",
-    "fusion实验记录/F0C73410",
-    "fusion实验记录/95053410",
-    "fusion实验记录/62D13410",
-    "fusion实验记录/F1013410",
-    "fusion实验记录/51013410",
-    "fusion实验记录/3FF03410",
-    "零碎的知识/eda踩雷记录.md",
-    "零碎的知识/设置代理.md",
     "零碎的知识/嵌入式实验室设备使用指南.md",
-    "c板常用接口.md",
+    "零碎的知识/设置代理.md",
-    "演示.md",
+    "零碎的知识/vscode免密.md",
-    "未命名.md",
+    "零碎的知识/数学建模导论 -2025年2月学习笔记.md",
-    "个人总纲和进度监督/DEADLINE.md",
+    "超级备忘/课内备忘/Pasted image 20260313115708.png",
-    "创建链接.md",
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+    "零碎的知识/ros1禁用gazebo的gpu功能.md",
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+    "个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套.webp",
-    "Pasted image 20260205113541.png"
+    "个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 5.webp",
+    "个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 3.webp",
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   ]
 }

fusion实验记录/如何做科研.md

@@ -0,0 +1,22 @@
+发现问题，解决问题
+提出假设
+做实验验证
+收集结果
+得出结论
+
+
+## 想问题
+看大量论文，找出问题，解决问题
+如何去做文献调研？
+文章地位，学校，是否开源代码
+没有提出自己的contribusion
+出自哪里，影响力
+当年引用100
+3 年400
+google reserch
+
+数据集冲分
+a方法移到b领域
+
+
+润色论文，找local提高语言质量，chatgpt

个人总纲和进度监督/DEADLINE.md

@@ -1,24 +1,40 @@
 # DEADLINE
 ## 实习
 
-| 任务          | deadline    |
+| 任务        | deadline |
-| ----------- | ----------- |
+| --------- | -------- |
-| 起码完成仿真上台阶任务 | 2.13 16点前   |
+| 完成机器狗实体部署 |          |
-| 完成机器狗实体部署   | 2.14 - 18点前 |
+| 周报        |          |
-| 完成平台机器狗项目迁移 | 2.15 前      |
+
-| 周报          | 2.14 -20点   |
+
+
+## 课内作业
+
+| 任务       |     |
+| -------- | --- |
+| 机器视觉的书   |     |
+| 传感器大作业   |     |
+| 激光原理考试复习 |     |
+
+
 
 ## 论文
 
-| 任务              | deadline      |
+| 任务              | deadline |
-| --------------- | ------------- |
+| --------------- | -------- |
-| 理清楚论文代码结构       | 12.12 18点前    |
+| 理清楚论文代码结构       |          |
-| 迁移数据到新服务器       | 12.12 21：00开始 |
+| 迁移数据到新服务器       |          |
-| 搞清楚论文提到的一些名词和意义 | none          |
+| 搞清楚论文提到的一些名词和意义 | none     |
-
+## 软著
-
+
-
+| 任务       |     |
-
+| -------- | --- |
+| 发布串口调试助手 |     |
+
+# 入党代办
+写思想汇报
+
+写申请转正书
 
 
 

个人总纲和进度监督/线代复习/记录.md

@@ -0,0 +1,2 @@
+https://www.bilibili.com/video/BV1oZ8cz4EyC/?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=f553a12b04c16a678ddc0064cc04563c
+串讲快速复习

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-10/2026-05-10.md

@@ -0,0 +1,74 @@
+# Day 1｜日期：2026-05-10
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：3h
+- 专注度（10分制）：8
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 | 100+200 |
+| 听力 | 1 | 完成 |
+| 阅读 | 1 | 完成 |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+| 2025-12-1 | 听力 | 10/25 |
+| 2025-12-1 | 长篇阅读 | 7/10 |
+| 2025-12-1 | 仔细阅读 | 4/10 |
+| 2025-12-1 | 选词填空 | 0/10 |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：有些词听不懂、还没有做题的顺序经验
+- 是否没听到关键词：勉强能听到几个
+- 是否定位失败：定位困难
+
+### 阅读
+- 错因：定位还是一些困难、花费时间很长
+- 是否同义替换没识别：基本不太会识别同义词替换
+- 是否时间不够：时间不够，长篇花了大约20min、然后仔细花了大约18min，、第二篇仔细阅读几乎只完成了第一、二题后面赶时间蒙的，选词完全没时间
+
+---
+
+## 错题记录
+
+### 听力错题
+
+### 阅读错题
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- Living in an increasingly competitive world, college students should be better prepared to face various challenges.
+- First and foremost, ... is the foundation. Secondly, ... can improve students' competitiveness. Finally, ... is also very important. For example, when facing difficulties, students should not give up easily.
+- In conclusion, by improving their knowledge, developing practical skills and keeping a positive attitude, college students can better deal with future challenges.
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 时间太过于紧凑
+
+### 明天重点
+- 完成听力的精听，跟读，精细阅读的复盘，明天复盘完之后再二刷听力，精细阅读开一篇2025-12第二套

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-11/2026-05-11.md

@@ -0,0 +1,72 @@
+# Day 2｜日期：2026-05-11
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：3
+- 专注度（10分制）：7
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容          | 完成情况    |
+| --- | ----------- | ------- |
+| 单词  | 高频词 + 真题词   | 100+200 |
+| 听力  | 复盘、精听、跟读、重做 | 完成      |
+| 阅读  |             |         |
+| 翻译  |             |         |
+| 作文  |             |         |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+|  | 听力 |  |
+|  | 长篇阅读 |  |
+|  | 仔细阅读 |  |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：
+
+---
+
+## 错题记录
+
+
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 感觉听力有些词还是不很熟练导致的失分、连读了解不清楚、以及对题目的分布不熟悉
+
+### 明天重点
+- 
+    

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-12/2026-05-12.md

@@ -0,0 +1,71 @@
+# Day 3｜日期：2026-05-12
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：2.5h
+- 专注度（10分制）：8
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况    |
+| --- | --------- | ------- |
+| 单词  | 高频词 + 真题词 | 100+200 |
+| 听力  |           |         |
+| 阅读  | 2         | 两份      |
+| 翻译  |           |         |
+| 作文  |           |         |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份      | 模块   | 正确率/情况 |
+| --------- | ---- | ------ |
+|           | 听力   |        |
+|           | 长篇阅读 |        |
+| 2025-12-2 | 仔细阅读 | 7/10   |
+|           | 选词填空 |        |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：还有单词不认识，以及连在一起的词组不认识
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：完成一篇11分17秒，第二篇11分00
+
+---
+
+## 错题记录
+
+### 阅读错题
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/2026-05-13.md

@@ -0,0 +1,92 @@
+# Day 4｜日期：2026-05-13
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：2h
+- 专注度（10分制）：8
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 | 100+200 |
+| 听力 | 1 | 完成 |
+| 阅读 | 2 | 完成两篇 |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+| 2025-12-2 | 听力 | 15/25 |
+|  | 长篇阅读 |  |
+| 2025-12-3 | 仔细阅读 | 6/10 |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：还是有些短语不认识
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：两篇阅读用时19min，感觉有一点急促，任然有不认识的词导致选错和主观臆断导致选错，感觉还是得阅读再仔细一些
+
+---
+
+## 错题记录
+
+### 阅读错题
+![[个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套.webp]]
+
+[[2025.12六级真题第3套.pdf#page=4&rect=50,311,493,370|2025.12六级真题第3套, p.4]]
+![[个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 1.webp]]
+![[个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 2.webp]]
+
+[[2025.12六级真题第3套.pdf#page=4&rect=24,181,497,262|2025.12六级真题第3套, p.4]]
+[[2025.12六级真题第3套.pdf#page=5&rect=4,497,376,575|2025.12六级真题第3套, p.5]]
+![[个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 4.webp]]
+
+[[2025.12六级真题第3套.pdf#page=6&rect=11,364,495,459|2025.12六级真题第3套, p.6]]
+
+![[个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 3.webp]]
+
+[[2025.12六级真题第3套.pdf#page=6&rect=110,656,239,739|2025.12六级真题第3套, p.6]]
+
+![[个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-13/file_other/2025.12六级真题第3套 5.webp]]
+
+[[2025.12六级真题第3套.pdf#page=6&rect=19,545,453,623|2025.12六级真题第3套, p.6]]
+
+### 听力错题
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 听听力的时候，一旦长时间没听到答案就不知道怎么办了，以及似乎有时候听力是一段一段的不同音色会扰乱专注， 需要巩固作文模板和练字
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-05-19/2026-05-19.md

@@ -0,0 +1,71 @@
+# Day 1｜日期：2026-05-19
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：1h
+- 专注度（10分制）：
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 | 100+200 |
+| 听力 |  |  |
+| 阅读 |  |  |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+|  | 听力 |  |
+|  | 长篇阅读 |  |
+|  | 仔细阅读 |  |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：
+
+---
+
+## 错题记录
+
+
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-06-04/2026-06-04.md

@@ -0,0 +1,71 @@
+# Day 6｜日期：2026-06-04
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：0.66h
+- 专注度（10分制）：8
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 | 200+100 |
+| 听力 |  |  |
+| 阅读 |  |  |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+|  | 听力 |  |
+|  | 长篇阅读 |  |
+|  | 仔细阅读 |  |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：
+
+---
+
+## 错题记录
+
+
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-06-05/2026-06-05.md

@@ -0,0 +1,73 @@
+# Day 1｜日期：2026-06-05
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：2h
+- 专注度（10分制）：6
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 | 100+200 |
+| 听力 | 2025-6-1 | 完成 |
+| 阅读 | 2025-6-1 | 完成 |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+| 2025-6-1 | 听力 | 13/25 |
+|  | 长篇阅读 |  |
+| 2025-6-1 | 仔细阅读 | 4/10 |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：有些词不认识，并且在自己并不是特别清楚的情况下发生无端臆想
+- 是否同义替换没识别：是
+- 是否时间不够：20分钟做完两篇仔细阅读
+
+---
+
+## 错题记录
+
+### 听力错题
+
+### 阅读错题
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- zealous热衷
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-06-06/2026-06-06.md

@@ -0,0 +1,71 @@
+# Day 8｜日期：2026-06-06
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：2h
+- 专注度（10分制）：8
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 | 100+200 |
+| 听力 | 回顾复习 | 完成 |
+| 阅读 | 长篇阅读1篇 | 完成 |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+|  | 听力 |  |
+| 2025-6-1 | 长篇阅读 | 7/10 |
+|  | 仔细阅读 |  |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：抓重点的框不够大
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：还是不够仔细，但是我发现，点点阅读有助于提速和提升专注
+- 是否同义替换没识别：是，其实还有没有注意到的因素在
+- 是否时间不够：比较困惑的题目耽误很多时间
+
+---
+
+## 错题记录
+
+### 阅读错题
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-06-07/2026-06-07.md

@@ -0,0 +1,71 @@
+# Day 9｜日期：2026-06-07
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：
+- 专注度（10分制）：
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 |  |
+| 听力 |  |  |
+| 阅读 |  |  |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+|  | 听力 |  |
+|  | 长篇阅读 |  |
+|  | 仔细阅读 |  |
+|  | 选词填空 |  |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：
+
+---
+
+## 错题记录
+
+
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/2026-06-12/2026-06-12.md

@@ -0,0 +1,73 @@
+# Day 10｜日期：2026-06-12
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：2h
+- 专注度（10分制）：9
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词 | 高频词 + 真题词 |  |
+| 听力 | 2024年12月第一套 | 完成 |
+| 阅读 |  |  |
+| 翻译 |  |  |
+| 作文 |  |  |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+| 2024-12-1 | 听力 | 12/25 |
+| 2024-12-1 | 长篇阅读 | 10/10 |
+| 2024-12-1 | 仔细阅读 | 8/10 |
+| 2024-12-1 | 选词填空 | 4/10 |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：
+
+---
+
+## 错题记录
+
+### 听力错题
+
+### 阅读错题
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人总纲和进度监督/英语六级/week1/example.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+# Day 1｜日期：
+
+## 今日学习时长
+- 总时长：
+- 专注度（10分制）：
+
+---
+
+## 今日任务完成情况
+
+| 模块  | 内容        | 完成情况 |
+| --- | --------- | ---- |
+| 单词  | 高频词 + 真题词 |      |
+| 听力  |           |      |
+| 阅读  |           |      |
+| 翻译  |           |      |
+| 作文  |           |      |
+
+---
+
+## 今日真题记录
+
+| 真题年份 | 模块 | 正确率/情况 |
+|---|---|---|
+| | 听力 | |
+| | 长篇阅读 | |
+| | 仔细阅读 | |
+| | 选词填空 | |
+
+---
+
+## 今日错题分析
+
+### 听力
+- 错因：
+- 是否没听到关键词：
+- 是否定位失败：
+
+### 阅读
+- 错因：
+- 是否同义替换没识别：
+- 是否时间不够：
+
+---
+
+## 今日积累
+
+### 生词
+- 
+- 
+- 
+
+### 好句/作文表达
+- 
+- 
+
+---
+
+## 今日总结
+
+### 今天最大问题
+- 
+
+### 明天重点
+- 

个人日记/2026-03-08.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+现在是白天，12点起来的哈哈哈
+今天大概完成把论文的模型结构完全摸清楚，列出结构图
+跑一下步兵的视觉看看有什么问题
+跑一下mac上的foxglove
+想办法解决一下路由器网络问题
+还得把教材找一下

个人日记/2026-03-09.md

@@ -0,0 +1 @@
+现在是9号的凌晨，今天感觉啥也没干，就写了点技能树方面的东西，然后测试了在mac连接foxglove，可是有问题的地方在于在mac上使用tabby好像没办法去方便的查看和修改ssh对象的文件？

个人日记/2026-05-11.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+# 锻炼
+## 跑步
+3公里 
+### 备注
+2.7公里力竭，最后跑完3公里后又冲刺了300米
+## 引体
+6X3组
+### 备注
+第四组第四个的时候力竭

个人日记/未命名.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+好久没有写这么长的字了哈哈哈，该怎么开始呢，就是你先别急没什么大事，我就只是纯纯突然想找个人聊聊内心的想法啥的，有点憋的慌emmmm，想来想去似乎我发现好像我没有几个一直保持联系的朋友了，唉，突然找过去又不太好，唯一能想到的真只有你可以交心的说说了唉
+
+如果你有时间就看吧哈哈哈，没时间就不用看，我只是有些想法想逼逼叨说出来而已，没时间的话也不用浪费时间继续看哦
+
+我有个臭毛病就是焦虑的时候就想着保持专注，就不去主动和朋友交流啥的，忙完了又感觉想自己放松，玩玩游戏，养养花，养养小鱼啥的，搞到现在我发现好像和好多朋友失联挺久了www
+大学前两年的压力在机器人比赛上，每天都在想着咋写一个很好的代码让我的机器人运行的更完美一些，这个时候我很开心的，能有正反馈，框框学哈哈哈哈，宿舍也回的不是很多，老师住在实验室里边，跟学长一起研究一起玩
+
+转折可能在大二吧，这个时候我已经是竞赛的主力军了，很多学长学姐也看好我希望能拿个不错的名次，我也觉得我没问题，想着也跟大一时候一样，接手学长的许多比赛（有三四个比赛吧好像是，当时是不同月份比赛的，不太冲突）但是我后面又接触到另外其他的很锻炼技术的比赛，一个叫智能车竞赛、还有一个叫robomaster就是我之前送你周边的那个，我是真很喜欢这两个比赛，给我了其他比赛没有的交流学习的氛围。之前大一和学长打的比赛，除了智能车，其他比赛都跟死水一般，鹅且也是那种买官方的机器人，就只是改一改官方的代码就能运行去比赛的那种，交流群里也是死气沉沉的，甚至问关于赛规的问题都没有官方鸟你。但也是因为我接手了这两个新的比赛，导致我时间分配失衡了，本来我可以好好准备各个比赛的，结果因为新打的这两个都是非常耗时间的比赛（去搜机器人比赛排名，基本前一二名就是rm和智能车），我基本一直在连轴转，导致我几乎所有的比赛，都没有拿到很好的名次。。。。但是我确实尽力了，几乎每个比赛我都是主力，可能也是这个原因吧导致我很累，但是队友又没有那么多的比赛经验，导致几乎我一直在考虑要注意的事项什么的，我感觉很对不起我们的指导老师，我几乎整个学期都没睡满过7h，几乎每天都是4——6h的睡眠，甚至好几门课，差点错过考试，也导致我绩点掉了很多，这后面也引发了一些超级连锁反应。
+
+第二年，到了大三，我因为心里内疚，本来我的计划是大二打比赛，大三就去投入到科研里面的，发论文，那样我基本就稳定的确保我可以保研了，本来我的绩点也还不错，况且我们专业到大三才分流成小专业，我选择冷门的那个专业，就能在小专业的前几名来保研。喔还是选择了留在实验室去带学弟学妹，去给他们做培训传承经验什么的，结果因为之前的技术组组长走了，除了我几乎没有人会那个技术，我就留在队里做技术组长，接着又一堆的事情涌来，好几台机器人都需要这个技术，我培训的学弟学妹又还没有成长起来，我得同时兼顾这些，就这样我大三上就这样草草的结束了
+
+到了大三开学我发觉我好像快要错失保研的时机了，但这个时候其实还有救，可是我后面在放寒假的时候，找了份线上实习，工资也还不错，每个月差不多有4400左右的工资，我签了六个月的协议，到今年7月份，就这样我寒假就基本也是搞rm比赛的技术发展，以及完成实习任务，科研是一点都没有推进的，我放不下心，其实我想走随时都能走，但是我还是觉得我有责任在，不能在他们还没完全成长起来就抛弃他们去奔我的前程，我学长也在劝我早点离队去忙我的保研，喔还是一直在队里帮忙，一直到三月中旬，他们比完这个rm比赛的一个区域赛（这个单独的比赛，周期是一年，有两次大型比赛，很耗时间和精力的），期间我们的机器人临场出现故障，还是我力挽狂澜救活了，这个比赛也创造了队史，进了16强，我其实是很高兴的，比完这个之后我就和其他人说我得离队去忙我的考研了，紧接着我又是一通补课补实验（之前比赛请了几乎一整个月的假，拉下了很多东西），就来到四月上旬了，这个时候我科研的导师来说问我情况，告诉我时间不多了，我也和其他竞争保研的同学沟通发现，我情况还是很危险的，去年三个保研，我目前排第三，而且第四的成绩几乎和我一模一样。。。。。。我发现这个的时候其实有些心有不甘，第四的那个人，哪怕说是第一第二的那两个人，技术水平，实践能力，实践经验都是远远不及我的，就基本纯绩点，然后打的比赛也是有打那种就是很简单的比赛，就能拿一个不错的奖就能跟我持平。。。。唉，可能是我心胸狭隘？可能是我太过在乎自己的技术吗，比赛的时候我也看到一些人，自己本身就没有水平和能力，却依旧能靠着队友，或者靠着指导老师就能拿到很高的荣誉，我也觉得不公。。。。还有作弊的，曾经我也有作弊的机会，但是我就是不愿意，我的心里过意不去，我觉得就算拿到了也不是我的东西，可是现实就是，不管你是什么方式，作弊你拿到了名次也是拿到了名次，依旧可以拿过去参与排名
+
+就感觉整个世界，到处充斥着投机倒把，取巧的人，他们就是可以去拿到很好的很耀眼的成绩，可以走进他们才发现他们也只是外表光鲜亮丽而已，丝毫没有我佩服的地方，甚至还有人上课都不去，实验也不自己做，依仗学委打掩护，这种人都能保研吗？
+放到之前，我觉得比不过就是比不过，我无所谓，但是我很不甘，凭什么这种投机倒把的人还能排在我前面，去和我争，还是我太老实了吗。。。。
+
+同时也因为我自己的原因，导致我现在处在一个很尴尬的位置，喔到底是保研还是考研的问题，两边都需要大量的时间去准备，我每次遇到这种问题都头大，不知道怎么解决，然后就焦虑，然后就什么事也不愿意去干，我的实习、我的科研，全都踢在一边，可以说我最近一直在摆烂，想过很多方法去排解，一个人去ktv啥的，但是也只是暂时的缓解，没有解决实际的问题
+然后我那天就给你发发消息想和你聊聊来着哈哈哈，结果发现你似乎最近也不太顺利的感觉，就没有继续了，而且你没有回我，我其实又再思考，是不是你现在觉得我有点莫名其妙，或者觉得我有点骚扰你的意思在嘛，难道是因为之前欠了生日礼物记仇了嘛wwww我真的真的偏离我预期了，我本来以为我大三没这么多事的哈哈哈，就可以专心干自己喜欢的事情了，结果来个超级连锁反应，真的真的，有生之年，一定给你做一个我给你定制的专属机器人
+
+有一说一，你是我心目中高中以来的最好的朋友，我也是第一次收到你给我的花，第一次有人愿意主动来和我说话，找我聊天，可能我的性格就是这种比较沉默的，导致你觉得我没有啥意思吧，可能我也太过于正经了？我真的很害怕失去你这个很好的朋友吧，我看你的好朋友都和你玩的很好，我其实很羡慕的哈哈哈，如果能看到这里真的真的很谢谢你了，emm就是喔不知道你对我目前是啥定位，好朋友？可有可无的朋友？或者觉得我是那种偶尔给你发信息骚扰你的讨厌的人？我其实就是有点缺乏安全感emmm一直都是，我很害怕变动，但是又一直在变，我怕有一天我想找人倾诉，找人玩，结果回过头，全都不在了，我也很害怕我的遗忘，我回忆过来发现我少了很多之前的回忆，一些朋友的脸我可能回忆中都模糊了，我想和你做一辈子的好朋友，会也只是想一想嘛。。。。甚至可能没有什么共同语言？我其实不是很会聊天，也一直在学习如何聊天哈哈哈，也可能是你好朋友太多了，也太忙了，我想确认一下我目前在你心里的位置唉，好的也好坏的也好，告诉我好吗？
+
+但是今天我有很大的突破唉，之前打游戏都不顺利，你知道啵，我一直连输20多场游戏，我自己都傻了，但是今天我说，我游戏都打不好，人生更别tm说了，就苦练了一下，结果今天连赢了好多把咧，我去，我这个时候感觉人生都转折点来了你知道不，今天早上还在看罗翔老师讲怎么走出低谷哈哈哈哈，我前面摆烂一天睡十几个小时也不愿意去做事，我不想面对这么多的事情，但是我现在很有行动力啊我去
+
+一不小心就说了一堆，如果你是直接看的最后，也还是说，如果你有空的话再看吧，没空就别浪费时间啦，就是我最近有点不开心输出的一些负面的东西而已，也没什么其他有营养的东西啦，祝你天天开心！

个人日记/毛选摘录/毛选摘录.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+调查就像“十月怀胎”，解决问题就像“一朝分娩”。调查就是解决 问题  --反对本本主义
+
+他们的理由是：过去流过血得来的东西，为什 么要不得？他们不知道：我们固然应该尊重过去流血的经验，但是还 应该尊重自己流血的经验。
+
+一成不变的东西是没有的。
+
+我 们研究革命战争的规律，出发于我们要求消灭一切战争的志愿，这是 区别我们共产党人和一切剥削阶级的界线。
+

技能树/fireceawl api.md

@@ -0,0 +1 @@
+fc-0d4620716cae4d8fb31aa29405a01fd2

技能树/frp内网穿透技术/frp内网穿透.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+如果你有openwrt的路由器的话，可以通过其下载一个frp（clin）客户端，与你拥有公网ip的frp服务端（sever）进行通信，实现超级简单的内网穿透
+同时要注意的是，服务器端的穿透对应的端口需要打开防火墙，不然还是无法访问。
+在公网服务器上可以简单的下载1panel，通过里面的应用面板来安装frp的服务端，其会自动帮你拉取docker，好像也能检测到你电脑上已存在的docker，可能会遇到一个compross什么东西的docker报错，简单问ai搜索安装一下即可。

技能树/jetson orin nx surper开发/未命名.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+sudo nano /opt/nvidia/l4t-usb-device-mode/nv-l4t-usb-device-mode-config.sh
+修改192.168.55.1为55.2
+# 停止并禁用USB虚拟网卡服务
+sudo systemctl stop nv-l4t-usb-device-mode.service
+sudo systemctl disable nv-l4t-usb-device-mode.service
+
+关闭图形化
+sudo systemctl set-default multi-user.target
+
+恢复
+sudo systemctl set-default graphical.target
+
+停止风扇
+sudo systemctl stop nvfancontrol
+
+sudo tee /sys/class/thermal/thermal_zone8/policy <<< user_space
+
+jtop里的ctrl
+
+重新启动风扇自动控制
+sudo systemctl restart nvfancontrol

技能树/moonlight-sunshine串流/moonlight-sunshine.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+这个的使用其实很简单
+就直接跟着官网下载对应系统的版本就可以了
+这里只是说一下在远程串流的时候需要开通哪些端口
+在配置sunshine网络的面板上，你看到的所有的tcp和udp的端口都需要进行转发，因为sunshine是通过不同的通道来融合串流才有这么高的速度的
+有的通道是鼠标键盘，有的通道是图像，同时，你可以通过控制数据量和清晰度来控制正律和流畅度，目前测试来看，它跟你外接的显示器的分辨率大小保持一致是串流效果还不错的选择。
+我目前是通过frp[[frp内网穿透]]将其所有用到的端口都进行内网穿透来实现的，其实其穿过了 本地1->路由器->公网服务器->本地2，延迟很高也正常，很多情况下还不如todesk
+但是在哦局域网内部的表现利还不错，同局域网下可以实现用mac串流win来打黑猴，基本感觉不到什么延迟，它也能同步转发声音，优点是todesk（节点满了）无法使用时，任然有第二条数据通路
+
+还可以试试皎月连p2p打洞

技能树/校园网/校园网通过openwrt绕过校园网多设备检测.md

@@ -0,0 +1,56 @@
+本质其实是通过路由器劫持，修改数据包的内容，伪装成同一台设备的来防止检测
+详细的技术内容可以查看：
+
+https://www.bilibili.com/video/BV1yr4meeENt/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=f553a12b04c16a678ddc0064cc04563c
+
+我这边使用的方案与其类似：使用刷有openwrt的路由器，通过ua3f和bashclash来完成躲避校园网的检测
+
+首先在
+
+lca也有过部署经验，一次为了不重复造轮子，请先查看他的博客地址：https://luckylca.github.io/2025/08/29/csust-network-crack/
+
+ssh连上路由器后
+
+```bash
+opkg print-architecture
+# 检查路由器架构，安装对应ua3f ipk文件
+```
+
+[猴子也能看懂的 UA3F 使用教程](https://sunbk201public.notion.site/UA3F-2a21f32cbb4b80669e04ec1f053d0333)
+基本上跟着这个走安装ua3f就没有问题
+
+```bash
+export url='https://fastly.jsdelivr.net/gh/juewuy/ShellCrash@master' && wget -q --no-check-certificate -O /tmp/install.sh $url/install.sh  && sh /tmp/install.sh && source /etc/profile &> /dev/null
+# 安装bashcrash
+```
+
+其中需要注意的是在配置统一useragent 头的地方，在给bashclash传配置的config文件时，之前的配置文件已经更新了，详见：
+
+https://github.com/SunBK201/UA3F/blob/master/docs/clash/Clash.md
+
+```bash
+nft add rule ip mangle POSTROUTING oif br-lan ip protocol ip ip ttl set 128
+```
+
+```bash
+# 备份原配置
+cp /etc/firewall.user /etc/firewall.user.backup 2>/dev/null
+
+# 添加TTL规则到防火墙用户规则
+cat >> /etc/firewall.user << 'EOF'
+
+# === TTL设置规则（无线和有线）===
+# 清理并重新设置TTL规则
+nft delete table ip mangle 2>/dev/null
+nft add table ip mangle
+nft add chain ip mangle POSTROUTING { type filter hook postrouting priority mangle; policy accept; }
+nft add rule ip mangle POSTROUTING oif "br-lan" ip ttl set 128
+nft add rule ip mangle POSTROUTING oif "phy0-ap0" ip ttl set 128
+nft add rule ip mangle POSTROUTING oif "phy1-ap0" ip ttl set 128
+EOF
+
+# 重启防火墙
+/etc/init.d/firewall restart
+```
+就同样的修改一下代理的配置即可
+

技能树/观背的饲养/观背的饲养.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+养鱼先养水，我之前是直接铺洒陶粒作为底沙，后面才发觉其实那玩意没什么养分，陆陆续续的养了一些水草，天胡荽啥的，死了一些植物后似乎养分变得充足了不少，同时也培育了底部的分解者硝化细菌，这个在后续鱼缸生态的维护方面起着很大的作用。
+我也种植了水杉，主要目的是为了巩固一下底沙的牢固程度。
+在水养的差不多之后就可以接入鱼类了，最开始介入的是旁皮，这个高耗氧气，需要气泵
+可以搞个太阳能板，给氧气泵供电

考研/math/001_前言.md

@@ -0,0 +1,234 @@
+## 张宇大学数学图书推荐
+
+## 20年教学精华
+
+![](images/61477478d592f8c3493698a34c32ee0434581100db818ae79e4f6679f070c797.jpg)
+
+·张宇
+
+博士，知名数学教育专家，从教二十余年，培养了大批学生考入清华、北大等名校攻读研究生，带出了不少年轻有为的教学能手，撰写了数十本全国畅销数学教材、习题书、模考卷等，曾任高等教育出版社《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲解析》编者之一，命题经验丰富。
+
+## ○考研教材类
+
+·张宇数学系列
+
+## 0考研题集类
+
+张宇考研数学题源探析经典1000题（分数学一、数学二、数学三）考研数学真题大全解·基础篇-【1987一2012年】（分数学一、数学二、数学三)考研数学真题大全解·强化篇-【2013一2026年】（分数学一、数学二、数学三）考研数学命题人终极预测8套卷（分数学一、数学二、数学三）张宇考研数学最后4套卷（分数学一、数学二、数学三）
+
+## ○大学教材类
+
+大学数学解题指南  
+大学数学题源大全  
+高等数学习题全解 （同济八版·上册）  
+高等数学习题全解（同济八版·下册）  
+线性代数习题全解（同济七版）  
+概率论与数理统计习题全解 (浙大五版)  
+高等数学同步检测卷（上册）  
+高等数学同步检测卷（下册）  
+线性代数同步检测卷  
+概率论与数理统计同步检测卷
+
+北京理工大学出版社网址：http://www.bitpress.com.cn
+
+主编 张宇
+
+![](images/a0305b2f44254c91c60e374eba7fb99a2f683e50d97f1745701c0d7971511a5c.jpg)
+
+## 考研数学基础30讲
+
+## 高等数学分册
+
+定价：139.90元（共3册）
+
+![](images/9463615db67ad77379e6a93f05cb026ae2ad0d06139a33c80c27878d409020c4.jpg)
+
+○主编张宇
+
+副主编高昆轮
+
+![](images/6912b8138fc86f0231f9017647b5d9f9a724d5ec89f05ea9fb18d281a8c2e33f.jpg)
+
+用“启航考研”小程序刷题免费听《30讲》配套习题讲解
+
+![](images/72b8914ebfec09c35c98f275bf8080cdb492650fbcc71b4785684245c2bd7b84.jpg)
+
+微信扫一扫 加入专属学习群 备考资料交流答疑社群带学学习奖励
+
+## 温馨提示：
+
+本书采用裸脊锁线的装帧工艺，制作精良，牢固且不易掉页，可180°平摊，学习阅读体验更佳！
+
+![](images/4175ae63898b30126e6aa719756111de64c71f1d47ff76225b43ac540d4906d3.jpg)
+
+图书外封为护封，用于保护书籍，不易被损坏，可任意拆装，请不要随意丢弃哦\~
+
+## 张宇考研数学全家桶
+
+## 一套完整的考研数学复习攻略
+
+## 02强化进阶
+
+掌握高频考点和常考题型，提高解题能力
+
+学习时间：2026年6月—9月
+
+学习用书：
+
+书课包 《高等数学18讲》
+
+《线性代数9讲》
+
+书课包 《概率论与数理统计9讲》
+
+《张宇考研数学题源探析经典1000题》强化篇&综合篇
+
+## 04冲刺拔高
+
+模考测试，科学预测，查漏补缺学习时间：2026年10月—12月学习用书：
+
+《考研数学命题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后4套卷》
+
+## 01基础夯实
+
+系统学习基础知识点，配合基础习题练习
+
+学习时间：现在—2026年5月
+
+学习用书：
+
+书课包 《考研数学基础30讲·高等数学分册》
+
+书课包 《考研数学基础30讲·线性代数分册》
+
+![](images/8a4c141235e79064843185758a4cb73c9fc18947de338c880257ad1d9684f62a.jpg)
+
+《考研数学基础30讲·概率论与数理统计分册》
+
+《张宇考研数学题源探析经典1000题》基础篇
+
+## 03真题演练
+
+真题带练，把握命题规律，积累解题经验
+
+学习时间：2026年3月－10月
+
+学习用书：
+
+《考研数学真题大全解·基础篇》
+
+《考研数学真题大全解·强化篇》
+
+![](images/b7ce672c431a29afc7f98d21f236a181a60c8abbbe41a44be3c0b046a12e090f.jpg)
+
+这个世界
+
+蕴含的客观规律
+
+是美妙的，
+
+谨以此书
+
+献给努力探寻世界的人们。
+
+# 考研数学基础30讲
+
+# 高等数学分册
+
+○主编张宇
+
+○ 副主编　高昆轮
+
+图书在版编目（CIP）数据
+
+考研数学基础30讲.高等数学分册：函套三册／张
+
+宇主编．--北京：北京理工大学出版社，2025.9（2025.10重印）.
+
+ISBN 978-7 -5763-5862-9
+
+I. 013
+
+中国国家版本馆CIP数据核字第20255XE608号
+
+责任编辑：多海鹏
+
+文案编辑：多海鹏
+
+责任校对：周瑞红
+
+责任印制：李志强
+
+出版发行／北京理工大学出版社有限责任公司
+
+社址／北京市丰台区四合庄路6号
+
+邮编/100070
+
+电话／（010）68944451（大众售后服务热线）
+
+（010）68912824（大众售后服务热线）
+
+网址/http：//www.bitpress.com.cn
+
+版印次/2025年10月第1版第2次印刷
+
+印 刷／河北鹏润印刷有限公司
+
+开本/787mm×1092mm 1/16
+
+印 张/45.75
+
+字数/1142千字
+
+定价／139.90元（共3册）
+
+图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线，负责调换
+
+## 前言
+
+《考研数学基础30讲》（下称《30讲》）按照《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》，并结合考研数学命题趋势编写，其中高等数学分册分为18讲，线性代数分册分为6讲，概率论与数理统计分册分为6讲，共30讲。学完这些内容，即可达到传统意义上的“基础阶段”与“强化阶段”的全部要求。
+
+《30讲》高等数学分册配套了《零基础通关讲义》，旨在全面夯实考生知识结构中的数学基础知识，分为六个部分，分别是：基本逻辑、解析式的概念与运算、方程与不等式、函数、数列及其单调性、坐标系及其变换。其中，“基本逻辑”重新编写。这些基础知识，关系到之后考研数学的各个解题环节，十分重要。要掌握这些知识，关键是在使用中体会并熟练掌握它们，这就需要配套高质量的数学题目，作者从全国以及各省市的历年高考试题中精选或重新编制了若干优秀试题，考生应认真完成这些题目，并经常思考，不时重复，通过优秀的试题来记忆和把握基础知识是一个好方法。
+
+本书每一讲都由基础知识结构、基础内容精讲、基础习题精练三部分组成，涵盖《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》中所有知识点，循序渐进，由浅人深，最后达到考研数学对试题要求的难度水平。2027版《30讲》高等数学分册在第12讲和第14讲中分别增加了古鲁金第一定理和古鲁金第二定理的相关内容。这里需要特别指出的是，数学学习是一环扣一环的，上一个环节的知识和想法，直接影响到下一个环节的知识和想法，任何环节都不能团圈吞枣或降低要求，必须深刻掌握，否则越往下学习就会越困难。反之，若在初始阶段多下些功夫，搞明白原理，捋清楚关系，看似进度不快，却能为后面的学习加速打下坚实的基础。本书最后有六个附录，分别是：图像变换、常用平面图形、常用空间图形、重要公式、从指数函数到双曲函数、变形技巧。其中最后一个附录是新增内容，供考生在学习与做题过程中作重要参考。
+
+《30讲》是书课包，即本书作者会对书中全部内容进行系统讲解，考生扫描书中二维码即可快速定位对应知识点的视频讲解。2027版的《30讲》根据课程讲解，标注了全程的学习笔记，既能防止考生漏记、错记笔记，又节省做笔记的时间，考生只需集中精力认真听即可。
+
+建议考生结合课程反复研读本书，有些知识的掌握是需要反复琢磨的，要养成独立思考的习惯，逐渐达到知识、思路、题型和方法皆会以清晰的结构呈现眼前的效果。本书是作者多年基础阶段教学经验的总结，愿助潜心研读者打好地基、夯实基础，勇攀考研数学高峰。
+
+## 考研数学基础30讲·高等数学分册
+
+本书自出版以来，承蒙广大师生厚爱，在考研数学基础阶段起到了一定的积极作用。限于作者水平，书中不足或错误之处，望各位不吝赐教，多提意见与建议，特此致谢！
+
+2025年8月于北京
+
+## 目录
+
+关注公众号获取更多免费考研资料
+
+第1讲函数极限与连续 1  
+第2讲数列极限· 76  
+第3讲 一元函数微分学的概念… 99  
+第4讲 一元函数微分学的计算· 119  
+第5讲 一元函数微分学的应用（一）—几何应用 …139  
+第6讲 一元函数微分学的应用（二）一中值定理、微分等式与微分不等式 164  
+第7讲 一元函数微分学的应用（三）一物理应用与经济应用 ……. 186  
+第8讲 一元函数积分学的概念与性质 .… 195  
+第9讲一元函数积分学的计算 : 230  
+第10讲－元函数积分学的应用（一）—几何应用 … 263  
+第11讲 一元函数积分学的应用（二）一 -积分等式与积分不等式 …282  
+第12讲 一元函数积分学的应用（三）一物理应用与经济应用 294  
+第13讲多元函数微分学 … 304  
+第14讲二重积分 . 338  
+第15讲微分方程 ……. 377  
+第16讲 无穷级数（仅数学一、数学三） . 409  
+第17讲多元函数积分学的预备知识（仅数学一） …464  
+第18讲多元函数积分学（仅数学一） …488  
+附录1图像变换 …546  
+附录2常用平面图形 … 549  
+附录3常用空间图形 …552  
+附录4重要公式 …555  
+附录5从指数函数到双曲函数 .558  
+附录6变形技巧 .563
+

考研/math/003_第2讲.md

@@ -0,0 +1,885 @@
+[[27张宇基础30讲高数.pdf#page=84|27张宇基础30讲高数, p.84]]
+## 第2讲】
+
+## 数列极限
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>证明数列极限的存在性</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①理解数列极限的概念；②掌握数列极限的性质及四则运算规则；③掌握数列极限存在的两个准则，并会利用它们求极限</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>①海涅定理的应用；②通过放缩利用夹逼准则求极限；③单调有界准则证明极限存在</td></tr></table>
+
+
+![](images/9104bf0f71efc5fd1ff3be088568a5222d284b466b50a3d6d1b8161d70ac68db.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/78d1ef0bee64629f09533c23c5fa112c2b7b392af217d39e2a0af3ea9837f28c.jpg)
+
+## 数列的概念
+
+对每个 $\boldsymbol { n } \in \mathbf { N } _ { + }$ ，如果按照某一法则，对应着一个确定的实数 $x _ { n }$ ，这些实数 $x _ { n }$ 按照下标n从小到大排列得到的一个序列
+
+$$
+x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , \cdots , x _ { n } , \cdots
+$$
+
+就叫作数列，简记为数列 $\{ x _ { n } \}$
+
+数列中的每一个数叫作数列的项，第n项 $x _ { n }$ 叫作数列的一般项(或通项).
+
+在几何上，数列 $\{ x _ { n } \}$ 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , \cdots , x _ { n } , \cdots$ (见图2-1).
+
+$$
+\overrightarrow { x _ { 2 } } \overrightarrow { \mathrm { ~ \it ~ { ~ x ~ } ~ } _ { 1 } x _ { 3 } } \overrightarrow { \mathrm { ~ \it ~ { ~ x ~ } ~ } _ { n } } \overrightarrow { \mathrm { ~ \it ~ { ~ x ~ } ~ } }
+$$
+
+图2-1
+
+## 注数列一定有无穷多项.
+
+![](images/ee3dd065ba52b4af70c784d0b91b270188641b6a9f293a0d7446549b3a4819cf.jpg)
+
+数列的本质是“整标函数”
+
+数列 $\{ x _ { n } \}$ 可看作自变量为正整数n的函数
+
+$$
+x _ { n } = f ( n ) , n \in \mathbf { N } _ { + } \ .
+$$
+
+当自变量n依次取1,2,3,一切正整数时，对应的函数值就排列成数列 $\{ x _ { n } \}$
+
+## 注（1）子列
+
+从数列 $\{ a _ { n } \} : a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } , \cdots$ 中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新数列为原数列的子列，记为
+
+$$
+\{ a _ { n _ { k } } \} \colon a _ { n _ { 1 } } \ : , \ : a _ { n _ { 2 } } \ : , \ : \cdots , a _ { n _ { k } } \ : , \ : \cdots ,
+$$
+
+其中下标 $n _ { 1 } , n _ { 2 } , \cdots , n _ { k } , \cdots$ 为正整数
+
+例如，若 $n _ { k } ( k = 1 , 2 , \cdots )$ 分别取2k和2k-1，则得到数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的两个子列
+
+$$
+\{ a _ { 2 k } \} \colon a _ { 2 } , a _ { 4 } , \cdots , a _ { 2 k } , \cdots ; \{ a _ { 2 k - 1 } \} \colon a _ { 1 } , a _ { 3 } , \cdots , a _ { 2 k - 1 } , \cdots ,
+$$
+
+这两个子列的项在原数列中交错出现
+
+（2）等差数列
+
+首项为 $a _ { 1 }$ ，公差为d（d≠0）的数列 $a _ { 1 } , a _ { 1 } + d , a _ { 1 } + 2 d , \cdots , a _ { 1 } + ( n - 1 ) d , \cdots$
+
+①通项公式 $a _ { n } = a _ { 1 } + ( n - 1 ) d$
+
+②前n项的和 $S _ { n } = { \frac { n } { 2 } } \bigl [ 2 a _ { 1 } + ( n - 1 ) d \bigr ] = { \frac { n } { 2 } } ( a _ { 1 } + a _ { n } )$
+
+（3）等比数列
+
+首项为 $a _ { 1 }$ ，公比为r(r≠0）的数列 $a _ { 1 } , a _ { 1 } r , a _ { 1 } r ^ { 2 } , \cdots , a _ { 1 } r ^ { n - 1 } , \cdots$ ·
+
+①通项公式 $a _ { n } = a _ { 1 } r ^ { n - 1 }$
+
+②前n项的和 $S _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { n a _ { 1 } , } & { \ r = 1 , } \\ { a _ { 1 } ( 1 - r ^ { n } ) } \\ { 1 - r } \end{array} \right.$
+
+③常用 $1 + r + r ^ { 2 } + \cdots + r ^ { n - 1 } = \frac { 1 - r ^ { n } } { 1 - r } ( r \neq 1 )$ →有限项和不会发散，收敛和发散的概念，只在无穷项时会涉及
+
+这两个求和公式针对的前n项和，即有限项和，当讨论无限项和时，需要使用无穷级数理论
+
+（4单调数列
+
+若对所有正整数n，有 $a _ { n + 1 } \geq a _ { n } ( a _ { n + 1 } \leq a _ { n } )$ 则称数列 $\{ a _ { n } \}$ 为单调不减（不增）数列.将≥(≤)换成>(<)，则称为单调递增（递减）数列.单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列.
+
+（5）有界数列
+
+若对所有正整数n，存在正实数M，有 $\left. a _ { n } \right. \leqslant M$ ，则称数列 $\{ a _ { n } \}$ 为有界数列
+
+①找M，使得 $\vert a _ { n } \vert \leqslant M$ 证明数列有界的几种方法： ②放缩法；③找最值；④基本不等式法
+
+（6）一些常见数列前n项的和
+
+$\sum _ { k = 1 } ^ { n } k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } }$ ·
+
+② $) \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \cdots + n ^ { 2 } = { \frac { n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 6 } }$
+
+$$
+= 1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } - { \frac { 1 } { n + 1 } }
+$$
+
+$$
+\star ( 3 ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } = \frac { 1 } { 1 \times 2 } + \frac { 1 } { 2 \times 3 } + \frac { 1 } { 3 \times 4 } + \cdots + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = ( \frac { n } { n + 1 } ) .
+$$
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { k ( k + 1 ) } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n } { n + 1 } } = 1
+$$
+
+(7)一个重要数列 $\left\{ \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } \right\}$ 的结论：
+
+①单调递增有上界.
+
+② $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } = \mathbf { e } .$
+
+![](images/1e38fa05d674594a64ef3f9bea16cd8d7c38d7f534b707a0b8d83cf10629eb1a.jpg)
+
+当n无限增大时（即 $n  \infty$ 时），对应的 $x _ { n } = f ( n )$ 是否能无限接近于某个确定的数值，这就是我们接下来要研究的数列极限.
+
+例2.1 设 $0 < x _ { 1 } < 3 , \ x _ { n + 1 } = \sqrt { x _ { n } ( 3 - x _ { n } ) } ( n = 1 , 2 , \cdots )$ ，证明数列 $\{ x _ { n } \}$ 有界．
+
+分析针对 $\sqrt { A ( B - A ) }$ 形的式子，可以使用基本不等式.
+
+证因为 $0 < x _ { 1 } < 3$ ，所以 $x _ { 1 } , 3 - x _ { 1 }$ 均为正数，从而
+
+$$
+\sqrt { a b } \leqslant \frac { a + b } { 2 } ( a \geqslant 0 , b \geqslant 0 ) \Longleftrightarrow \qquad 0 < x _ { 2 } = \sqrt { x _ { 1 } ( 3 - x _ { 1 } ) } \leqslant \frac { x _ { 1 } + 3 - x _ { 1 } } { 2 } = \frac { 3 } { 2 } \ .
+$$
+
+设 $0 < x _ { k } \leqslant \frac 3 2 ( k > 1 )$ ，则 $0 < x _ { k + 1 } = \sqrt { x _ { k } ( 3 - x _ { k } ) } \leqslant \frac { 1 } { 2 } ( x _ { k } + 3 - x _ { k } ) = \frac { 3 } { 2 }$ ，由数学归纳法知，对任意正整数$n > 1$ ，都有 $0 < x _ { n } \leqslant \frac { 3 } { 2 }$ ，即数列 $\{ x _ { n } \}$ 有界.
+
+## 2数列极限的定义
+
+设 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 为一数列，若存在常数a，对于任意的 $\varepsilon > 0$ （不论它多么小)，总存在正整数N，使得当$n > N$ 时， $\left. x _ { n } - a \right. < \varepsilon$ 恒成立，则称常数a是数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 的极限，或者称数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a，记为
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a \not \exists \Pr x _ { n } \to a ( n \to \infty ) , \qquad \forall \# \neq \neq \neq \# , \qquad \# \neq \neq \neq \neq
+$$
+
+如果不存在这样的常数a，就说数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 是发散的.
+
+注(1)数列极限的定义是比较难的一个考点，但是卷面上不会考证明的解答题，基本只在选择题和填空题里面考对它的理解
+
+(2)数列极限与函数极限是极限的两个基本类型，二者虽然有联系，但是也有着很大的区别．比如对于唯一性而言，数列极限与函数极限是相同的，二者的极限都具有唯一性，对于有界性而言，二者是有区别的，函数极限的有界性强调的是局部有界性，也就是在某个邻域上有界，而数列极限的有界性指的是全局有界性，即对数列中的任意一项都有 $\vert a _ { n } \vert \leqslant M$ .对于保号性而言，函数极限强调的也是局部保号性，即在某个邻域上是保号的，而数列极限虽然没有强调局部保号性，但是也要强调存在正整数N，当 $n > N$ 时才有 $a _ { n } > 0 ( \frac { 1 } { 2 } \times 2 0 )$
+
+(3)常用的语言： $\bigoplus _ { n \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { n } x _ { n } = a \Leftrightarrow$ 任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N \in \mathbf { N } _ { + }$ ，当 $n > N$ 时，恒有 $\left. x _ { n } - a \right. < \varepsilon$ 且当$a = 0$ 时，称 $x _ { n }$ 为 $n  \infty$ 时的无穷小量. xn与a的距离伍意小 不等关系
+
+a.与函数极限的定义作对比.
+
+$\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x ) = a \Leftrightarrow$ 任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $X > 0$ ，当 $x > X$ 时，恒有 $\vert f ( x ) - a \vert < \varepsilon$
+
+b.定义中的 $n > N$ ，N未必只能取整数，因为 $n > 1 0 0 0 0$ 和 $n > 1 0 0 0 0 . 1$ 表达的意思是一样的。
+
+$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = \infty$ 任意 $x > 0$ ，存在 $N \in \mathbf { N } _ { + }$ ，当 $n > N$ 时，恒有 $\left. x _ { n } \right. > x$ 此时称 $x _ { n }$ 为 $n  \infty$ 时的无穷大量
+
+（4）数列收敛与其子列收敛的关系
+
+定理1若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 收敛，则其任何子列 $\left\{ a _ { n _ { k } } \right\}$ 也收敛，且 $\operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } a _ { n _ { k } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n }$
+
+推论 $\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } a _ { n } = a \Leftrightarrow \operatorname * { l i m } _ { k  \infty } a _ { 2 k } = a , \quad \mathbb { E } \operatorname* { l i m } _ { k  \infty } a _ { 2 k - 1 } = a .$ A=B nc，则 ${ \overline { { B } } } \cup { \overline { { C } } } \Rightarrow { \overline { { A } } }$ $\operatorname* { l i m } _ { k  + \infty } a _ { 3 k } = \operatorname* { l i m } _ { k  + \infty } a _ { 3 k + 1 } = a$ ，推不出 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = a$
+
+因为 $a _ { 3 k + 2 }$ 缺夫
+
+此定理为我们提供了一个判断数列发散的方法：对于一个数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，如果能找到一个发散的子列，则原数列一定发散；如果能找到至少两个收敛的子列 $\left\{ a _ { n _ { k } } \right\}$ 和 $\left\{ a _ { n _ { k } ^ { \prime } } \right\}$ 但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散．
+
+如 $\left\{ n ^ { ( - 1 ) ^ { n } } \right\}$ ，详见例2.3
+
+再例如，对于数列 $\left\{ ( - 1 ) ^ { n } \right\} : - 1 , 1 , - 1 , 1 , \cdots , ( - 1 ) ^ { n } , \cdots$ ，我们找到其收敛的子列
+
+$$
+\left\{ ( - 1 ) ^ { 2 k } \right\} : 1 , 1 , \cdots , 1 , \cdots ; \left\{ ( - 1 ) ^ { 2 k - 1 } \right\} : - 1 , - 1 , \cdots , - 1 , \cdots ,
+$$
+
+它们的极限分别为1和-1，所以原数列发散
+
+例2.2 证明：若 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = A$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| a _ { n } \right| = \left| A \right|$
+
+分析证明 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mid a _ { n } \mid = \mid A \mid$ ，关键是要找到 $\| a _ { n } | - | A | |$ 与 $\vert a _ { n } - A \vert$ 的关系，这时就要联想到三角不等式．
+
+证因为 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = A$ ，所以对任意正数ε，存在正整数N，当 $n > N$ 时，有
+
+$$
+\left| a _ { n } - A \right| < \varepsilon .
+$$
+
+又由不等式 $| a | - | b | \ | \leqslant | a - b |$ ，有
+
+$$
+\mid \left| a _ { n } \left| - \right| A \right| \mid \leqslant \left| a _ { n } - A \right| < \varepsilon .
+$$
+
+故 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| a _ { n } \right| = \left| A \right|$
+
+注（1)此命题反过来不对，如取 $a _ { n } = ( - 1 ) ^ { n }$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| ( - 1 ) ^ { n } \right| = 1$ .但 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( - 1 ) ^ { n }$ 不存在
+
+(2)在本题中若 $A = 0$ 则 $\mid \mid a _ { n } \mid - \mid A \mid \mid = \mid \mid a _ { n } \mid - 0 \mid = \mid a _ { n } - 0 \mid$ , 即有 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { _ n } = 0 \Leftrightarrow \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| a _ { _ n } \right| = 0$ ，这个结论常用 例 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \sin n } { n ^ { 2 } } }$
+
+$0 \leqslant \left| { \frac { \sin n } { n ^ { 2 } } } \right| \leqslant \frac { 1 } { n ^ { 2 } }$ $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } | { \frac { \sin n } { n ^ { 2 } } } | = 0$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to - \infty } { \frac { \sin n } { n ^ { 2 } } } = 0$
+
+一般地，若要证 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = 0$ 可转化为证 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \vert a _ { n } \vert = 0$ 由于 $\mid a _ { n } \mid \geqslant 0$ 若使用夹逼准则，便省 $\beta -$ 半的力气，只需找到一个数列 $\{ b _ { n } \}$ 满足 $\mid a _ { n } \mid \leqslant b _ { n }$ 且 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } b _ { n } = 0$ 即可
+
+(3)此结论对函数亦成立，即若 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) = A$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } \left| f ( x ) \right| { = } \left| A \right|$ 而反之不成立．但 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) =$ $0 \Longleftrightarrow \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } | f ( x ) | = 0$
+
+例2.3 证明数列 $\left\{ n ^ { ( - 1 ) ^ { n } } \right\}$ 极限不存在.
+
+从数列
+
+$$
+\left\{ n ^ { ( - 1 ) ^ { n } } \right\} : \frac { 1 } { 1 } , 2 , \frac { 1 } { 3 } , 4 , \frac { 1 } { 5 } , 6 , \cdots , \frac { 1 } { 2 n - 1 } , 2 n , \cdots
+$$
+
+中选取一个子列{2n：2,4,,2n,，该数列不是有界数列，由下文收敛数列的性质定理3的逆否命题知该子列发散，因此，由“收敛数列的任何子列也收敛”的逆否命题知，原数列极限不存在.
+
+注该数列存在收敛的子列 $\left\{ { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } \right\} : 1 , { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 5 } } , \cdots , { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } , \cdots$ 但原数列发散.这说明一个数列的某个子列收敛并不能保证原数列收敛．
+
+$x _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { n ^ { 2 } + { \sqrt { n } } } { n } } , } & { n } \\ { 1 , } & { n } \end{array} \right. }$ 为正奇数，例2.4 设 则当 $n  \infty$ 时，变量 $x _ { n }$ 为（ ）为正偶数，
+
+→对于某个 $M > 0$ ，存在 $N > 0$ 当 $2 n > N$ 时，无论2n取何值，都有 $x _ { 2 n }  0 < M$ ，所 $\{ x _ { n } \}$ 不是无穷大量(A)无穷大量 (B)无穷小量(C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量但不是无穷大量
+
+解 应选(D).
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { 2 n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { 2 n } = 0 ,
+$$
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { 2 n - 1 } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } + { \sqrt { 2 n - 1 } } } { 2 n - 1 } } = + \infty ,
+$$
+
+可知 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { 2 n } \neq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { 2 n - 1 }$ ，因此 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 不存在，且当n→∞时， $\left\{ x _ { n } \right\}$ 既不是无穷大量，也不是无穷小量，它是无界变量，故选 (D).
+
+## ③收敛数列的性质
+
+定理2（唯一性）给出数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ ，若 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a$ (存在)，则a是唯一的.
+
+定理3（有界性）若数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 极限存在，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 有界.
+
+定理4（保号性）设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a > b$ ，则存在 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时，有 $\begin{array} { l } { { x _ { n } > b } } \\ { { ( < ) } } \end{array}$ .若数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 从某J区别于函数的局部有项起有 $\begin{array} { c } { { x _ { n } \geqslant b } } \\ { { ( \leqslant ) } } \end{array}$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a$ ，则 $a \geqslant b$ ，其中b为任意实数.常考b=0的情形. 界性和局部保号性(≤)
+
+脱帽解法： $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } > a \Rightarrow x _ { n } > a$ （严格不等）.
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } > 1 \Rightarrow x _ { n } > 1
+$$
+
+戴帽解法： $x _ { n } \geqslant a \Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } x _ { n } \geqslant a$ （非严格不等）.
+
+例2.5 已知 $a _ { n } = 1 - \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } ( n = 1 , 2 , \cdots )$ ，则{a）（ ）
+
+(A)有最大值，有最小值 (B)有最大值，没有最小值(C)没有最大值，有最小值 (D)没有最大值，没有最小值
+
+分析写出开头几项： $1 + { \frac { 1 } { 1 } } , 1 - { \frac { 1 } { 2 } } , 1 + { \frac { 1 } { 3 } } , \cdots$ ，观察规律，发现在“1”的附近摆动．
+
+## 解 应选(A).
+
+$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = 1 , a _ { 1 } = 2 > 1 , a _ { 2 } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } < 1$ .由于 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a _ { n } - a _ { 1 } ) < 0$ ，则存在 $N _ { \mathrm { 1 } } > 0$ ，当 $n > N _ { 1 }$ 时， $a _ { n } < a _ { 1 }$ .又由于 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a _ { n } - a _ { 2 } ) > 0$ ，则存在 $N _ { 2 } > 0$ ，当 $n > N _ { 2 }$ 时， $a _ { n } > a _ { 2 }$ .取 $N = \operatorname* { m a x } \{ N _ { 1 } , N _ { 2 } \}$ ，当 $n > N$ 时， $a _ { n }$ 不可能是最大、最小值，故前有限项必存在最大、最小值. 目的是保证 $N \geqslant N _ { 1 } \ntrianglelefteq N \geqslant N _ { 2 }$ ，于是n>N时，有 $n > N _ { 1 } \triangleleft n > N _ { 2 }$
+
+## 注（1)最值是比较出来的
+
+（2)此题用保号性说明了n>N后的项没有资格参与比较，故前有限项必有最大、最小值
+
+## 4极限四则运算规则
+
+## →①对于数列极限，有 ①对丁叙列破限，明
+
+设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } = b$ ，则
+
+(1) $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( x _ { n } \pm y _ { n } ) = a \pm b$
+
+(2) $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } y _ { n } = a b$
+
+(3)若 $b \neq 0$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { x _ { n } } { y _ { n } } } = { \frac { a } { b } }$
+
+$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( x _ { n } + y _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } ; \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( x _ { n } - y _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } - \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } ;$   
+$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } y _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } \cdot \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } ; \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { x _ { n } } { y _ { n } } } = { \frac { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } } } \bigg ( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } \neq 0 \bigg ) .$   
+②对于函数极限，有  
+$\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } [ f ( x ) + g ( x ) ] = \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) + \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } g ( x ) ; \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } [ f ( x ) - g ( x ) ] = \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) - \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } g ( x )$   
+$\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) g ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) \bullet \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } g ( x ) \ ; \ : \ \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } = { \frac { \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) } { \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } g ( x ) } } { \left( \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } g ( x ) \neq 0 \right) } .$
+
+四则运算规则可以推广至有限个数列情形.
+
+例2.6 设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a _ { n } + b _ { n } ) = 1$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a _ { n } - b _ { n } ) = 3$ ，则（）
+
+(A) $\left\{ a _ { n } \right\}$ 极限存在， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 极限不存在
+
+(B) $\left\{ a _ { n } \right\}$ 极限存在， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 极限存在
+
+(C） $\left\{ a _ { n } \right\}$ 极限不存在， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 极限不存在
+
+(D) $\left\{ a _ { n } \right\}$ 极限不存在， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 极限存在
+
+分析对于数列极限的计算，可简记如下：
+
+存在±存在=存在；
+
+存在±不存在=不存在；
+
+不存在±不存在=不确定.
+
+解 应选(B).
+
+令 $u _ { n } = a _ { n } + b _ { n } , \nu _ { n } = a _ { n } - b _ { n }$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } u _ { n } = 1 , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \nu _ { n } = 3$ .由极限四则运算规则(1)知， $\left\{ u _ { n } + \nu _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ u _ { n } - \nu _ { n } \right\}$ 均存在极限，且有
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( u _ { n } + \nu _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } u _ { n } + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \nu _ { n } = 1 + 3 = 4 ,
+$$
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } ( u _ { n } - \nu _ { n } ) = \operatorname * { l i m } _ { n  \infty } u _ { n } - \operatorname * { l i m } _ { n  \infty } \nu _ { n } = 1 - 3 = - 2 .
+$$
+
+又 $a _ { n } = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { n } + \nu _ { n } ) , b _ { n } = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { n } - \nu _ { n } )$ ，所以 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的极限均存在，且有
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } a _ { n } = { \frac { 1 } { 2 } } \times 4 = 2 , \operatorname * { l i m } _ { n  \infty } b _ { n } = { \frac { 1 } { 2 } } \times ( - 2 ) = - 1 .
+$$
+
+$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a _ { n } + b _ { n } )$ 存在，并不意味着 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n }$ 和 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } b _ { n }$ 均存在.例如 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } [ \sin n + ( - \sin n ) ] = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } 0 = 0$ 但limsinn与 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( - \sin n )$ 均不存在．
+
+## 5海涅定理（归结原则）
+
+在有的题目中，计算数列极限是极其困难的，这个时候我们就可以使用海涅定理，将原来的数列极限转化成函数极限，转换成函数极限后，有很多工具可以使用，比如洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小代换等，计算出函数极限后，根据海涅定理，就可得出数列极限的值，这是极限计算中一个非常重要的考点.比如
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \ln n } { n } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \ln x } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { 1 } { x } } = 0 .
+$$
+
+这道题是一个非常典型的利用海涅定理将数列极限转化为函数极限的例子，之所…要这样操作，是因为题目中用到了洛必达法则，但是数列极限是不能用洛必达法则的，因为我们把数列理解成一个下标为整数的函数，所…它是一个一个离散的点，不能求导，但是通过海涅定理将它转化成函数极限之后，便可以求导，于是可以使用洛必达法则，进而由函数极限的值得到数列极限的值。
+
+设f(x)在 $\overset { \circ } { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 内有定义，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x ) = A$ 存在 $\Leftrightarrow$ 对任何 $\overset { \circ } { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 内以 $x _ { 0 }$ 为极限的数列 $\left\{ x _ { n } \right\} ( x _ { n } \neq x _ { 0 } )$ ，极限 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( x _ { n } ) = A$ 存在．
+
+注众所周知，虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是海涅定理是联系数列极限与  
+函数极限的桥梁.它指出：在极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以相互转化.有些考生可能  
+没有听说过这个定理，但是在不知不觉中我们已经使用它了.常考①当x→0时，取 $x _ { n } = { \frac { 1 } { n } }$ 即若 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = A$ 1 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { n } } { \Bigg ) } = A$ 例： $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } ( 1 - { \frac { 1 } { n + 1 } } ) ^ { n } = 0 ^ { - 1 }$ ②当 $x  + \infty$ 时，取 $x _ { n } = n$ 即若 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f ( x ) = A$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( n ) = A$ $\operatorname* { l i m } _ { x  + \infty } ( 1 - \frac { 1 } { x + 1 } ) ^ { x } = e ^ { - 1 . 1 }$ ③当 $x _ { n } \to a$ ，且 $x _ { n } \neq a$ 时，若 $\operatorname* { l i m } _ { x \to a } f ( x ) = A$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( x _ { n } ) = A$
+
+例2.7 当x→0时， ${ \frac { 1 } { x } } \sin { \frac { 1 } { x } }$ 是（）.(A)无穷大量 (B)无界量，但不是无穷大量(C)有界量，但不是无穷小量 (D)无穷小量八上
+
+## 解 应选(B).
+
+设 $f ( x ) = { \frac { 1 } { x } } \mathrm { s i n } { \frac { 1 } { x } }$ ，若取 $x _ { n } = { \frac { 1 } { n \pi } } \to 0 , n \to \infty$ ，则 $f ( x _ { n } ) = n \pi \bullet \sin ( n \pi ) = 0$ ，于是 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( x _ { n } ) = 0$ ；若取$x _ { n } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \left( 2 n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \pi } } \to 0 , n \to \infty$ ，则 $f ( x _ { n } ^ { \prime } ) = { \biggl ( } 2 n + { \frac { 1 } { 2 } } { \biggr ) } \pi \to + \infty , n \to \infty$ .根据归结原则，极限 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { s i n } { \frac { 1 } { x } }$ 不存在，且当x→0时， $\frac { 1 } { x } \mathrm { s i n } \frac { 1 } { x }$ 是无界量，但不是无穷大量.
+
+国 今 $f ( x ) = \left\{ { x ^ { 2 } , x } \atop 0 , x \right.$ 是有理数，事实上， $f ( x ) = x ^ { 2 } D ( x )$ 其中 $D ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { x } \\ { 0 , } & { x } \end{array} \right. }$ 是有理数，为狄利是无理数， 是无理数克雷函数.有如下结论：(1)f(x)在x=0处连续. 无穷小量×有界量=无穷小量证方法一 |D(x)|≤1，即D(x)为有界量，故 $\operatorname * { l i m } _ { x  0 } f ( x ) = \operatorname * { l i m } _ { x  0 } x ^ { 2 } D ( x ) = 0$ 因为f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续.方法二 $\begin{array} { l } { 0 \leqslant \vert f ( x ) \vert \leqslant \vert x ^ { 2 } \vert + \vert 0 \vert = x ^ { 2 } } \\ { \downarrow } \\ { 0 \implies 0 < \qquad } \end{array}$ 由夹逼准则得 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = 0$ 且f(0)=0，故f(x)在x=0处连续.(2)当 $x _ { 0 } \neq 0$ 时，f(x)一定不连续.证使用归结原则：对于 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } f ( x )$ ，当x分别取有理数列和无理数列时，极限不同，故极限不存在以上例子说明f（x)在一点处连续，并不意味着f（x)在这点的附近连续
+
+E 例2.8 求 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { \left( \cos \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) ^ { n ^ { 2 } } }$
+
+分析“1”型极限，使用等价代换 $u ^ { v } \sim \mathrm { e } ^ { v ( u - 1 ) }$
+
+解 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { \left( \cos \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) ^ { n ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \cos \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) ^ { n } = \mathrm { e } ^ { \frac { \operatorname* { l i m } _ { n } \ln \left[ \cos \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) } { n - \infty } }$
+
+因
+
+$$
+\begin{array} { l } { \displaystyle \underset { x  + \infty } { \operatorname* { l i m } } x \ln \Biggl ( \cos \frac { 1 } { \sqrt { x } } \Biggr ) = \underset { x  + \infty } { \operatorname* { l i m } } x \ln \Biggl ( 1 + \cos \frac { 1 } { \sqrt { x } } - 1 \Biggr ) } \\ { = \underset { x  + \infty } { \operatorname* { l i m } } x \Biggl ( \cos \frac { 1 } { \sqrt { x } } - 1 \Biggr ) } \\ { = \underset { x  + \infty } { \operatorname* { l i m } } x \cdot \Biggl [ - \frac { 1 } { 2 } \Biggl ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } \Biggr ) ^ { 2 } \Biggr ] = - \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
+$$
+
+故由归结原则知, $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } n \ln \left( \cos { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } \right) = - { \frac { 1 } { 2 } }$ ，即原式 $= { \tt e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$
+
+当n→8时，若 $\left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } - \mathbf { e }$ $\frac { a } { n }$ 是等价无穷小，则 $a = - \frac { \mathrm { e } } { 2 }$
+
+解由例1.24知， $\{ ( 1 + x ) ^ { \frac { 1 } { x } } - \mathrm { e } \sim - { \frac { \mathrm { e } } { 2 } } x ( x  0 ^ { + } ) \} \xrightarrow { } ( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n } - \mathrm { e }  \frac { - \mathrm { e } } { 2 } \cdot \frac { 1 } { n } ( n  \infty )$
+
+$0 ^ { + }  x = \frac { 1 } { n }$ →这里x相当 $F \frac { 1 } { n }$ 当𝑛→∞时，x→0\*
+
+## 6夹逼准则
+
+如果数列 $\left\{ x _ { n } \right\} , \left\{ y _ { n } \right\} \mathcal { Z } \left\{ z _ { n } \right\}$ 满足下列条件：
+
+①从某项起，即存在 ${ n } _ { 0 } \in \mathbf { N } _ { + }$ ，当 $n > n _ { 0 }$ 时， $y _ { n } \leqslant x _ { n } \leqslant z _ { n }$
+
+② $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } = a , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } z _ { n } = a$
+
+则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 的极限存在，且 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a$
+
+$$
+\begin{array} { r l r l r l r l } { \frac { \eta } { 5 } } & { \quad } & & { \leqslant } & { \quad } & & { < } & { } & & { } \\ & { \leqslant } & & { < } & & { } & & { } \\ & { \leqslant } & & { < } & & { } & & { } \\ & { y _ { n } } & { \leqslant } & { x _ { n } } & { \leqslant } & { z _ { n } } & { } \\ & { n \to \infty \begin{array} { l l l l l l } { \downarrow } & { \leqslant } & { \downarrow } & { \leqslant } & { \downarrow } & { \leqslant } & { \downarrow } \\ { a } & { \Rightarrow } & { a } & { \Leftarrow } & { a } & { a } & { } \\ { ( + \infty ) } & { ( + \infty ) } & { } & { ( + \infty ) } & { } & { } \end{array} } \\ & { \quad } & { ( - \infty ) } & { \quad } & { ( - \infty ) } & { } & { ( - \infty ) } \end{array}
+$$
+
+放缩的常用方法如下设检出）
+
+（1）利用简单的放大与缩小
+
+## 针对无穷项相加
+
+$$
+\int \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { u } _ { \mathrm { m i n } } \leqslant u _ { 1 } + u _ { 2 } + \cdots + u _ { n } \leqslant n \cdot u _ { \mathrm { m a x } } ,
+$$
+
+$u _ { i } \geqslant 0$ 时 $1 \bullet u _ { \mathrm { m a x } } \leqslant u _ { 1 } + u _ { 2 } + \cdots + u _ { n } \leqslant n \bullet u _ { \mathrm { m a x } } .$
+
+针对有限项相加
+
+（2)利用重要不等式
+
+①设a，b为实数，则 $a . \ \left| a \pm b \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right| ; \ b . \ \left\| a \right| - \left| b \right\| \leqslant \left| a - b \right|$
+
+可以将上述不等式a.推广为n个实数的情形，即
+
+$$
+\left| a _ { 1 } \pm a _ { 2 } \pm \cdots \pm a _ { n } \right| \leqslant \left| a _ { 1 } \right| + \left| a _ { 2 } \right| + \cdots + \left| a _ { n } \right| .
+$$
+
+②a. $\sqrt { a b } \leqslant \frac { a + b } { 2 } \leqslant \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } ( a , b \geqslant 0 )$
+
+还有 $\vert a b \vert \leq \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 }$ ，例如，若 $u _ { n } > 0$ ，则 $\frac { u _ { n } } { n } = u _ { n } \cdot \frac { 1 } { n } \leqslant \frac { u _ { n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { 2 }$
+
+b $\sqrt [ 3 ] { a b c } \leq \frac { a + b + c } { 3 } \leq \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 3 } } ( a , b , c \geq 0 )$
+
+$\left\{ \begin{array} { l l } { \Yleftarrow } \\ { \exists } \end{array} \right.$ 时时 $\boldsymbol { a } ^ { m } \geqslant \boldsymbol { b } ^ { m }$ 设 $a \geqslant b \geqslant 0$ ，$a ^ { m } \leqslant b ^ { m }$
+
+④若 $0 < a < x < b , 0 < c < y < d$ $\frac { c } { b } < \frac { y } { x } < \frac { d } { a }$
+
+考研中考过：当 nπ<x<(n+1)π, $2 n < S ( x ) < 2 ( n + 1 )$ $\frac { 2 n } { ( n + 1 ) \pi } < \frac { S ( x ) } { x } < \frac { 2 ( n + 1 ) } { n \pi }$
+
+注例当 $n { \leqslant } x < n + 1$ 时 $2 n { \leqslant } f ( x ) < 2 ( n + 1 )$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { f ( x ) } { x } } =$
+
+$$
+\frac { 1 } { n + 1 } < \frac { 1 } { x } \leq \frac { 1 } { n }
+$$
+
+解由于 $\frac { 2 n } { n + 1 } < \frac { f ( x ) } { x } < \frac { 2 ( n + 1 ) } { n }$ 当 $x  + \infty$ 时， $n  \infty$ 根据夹逼准则，得 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { f ( x ) } { x } } = 2$
+
+$\sin x < x < \tan x ( 0 < x < { \frac { \pi } { 2 } } )$
+
+® $\sin x < x ( x > 0 )$
+
+![](images/6355be679e3c002d66bd0f395a355d060f37d8883d9c20473fe192ffabdebb1f.jpg)
+
+考研中考过：当 $x _ { n } > 0$ 时， ${ x _ { n + 1 } } = \sin { x _ { n } } < x _ { n }$ ，故 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调减少
+
+⑦当 $0 < x < \frac { \pi } { 4 }$ 时， $x < \tan x < { \frac { 4 } { \pi } } x$ 证明见习题6.9.
+
+⑧当 $0 < x < \frac { \pi } { 2 }$ 时， $\sin x > { \frac { 2 } { \pi } } x$ .证明见例6.19.
+
+$$
+\arctan x \leqslant x \leqslant \arcsin x ( 0 \leqslant x \leqslant 1 )
+$$
+
+![](images/4d1de427c4fc423cff0991c126dc15cfe5c13296854bcc5bfc9a588717a0a1da.jpg)
+
+可考：当 $x _ { n } > 0$ 时， $x _ { n + 1 } = \arctan x _ { n } < x _ { n }$ ，故 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调减少
+
+![](images/881bcd068e7d2727b0246a29e166a9e3f3c95045fd00f16ff8792a7f04a2b7f1.jpg)
+
+$e ^ { x } \geqslant x + 1 ($ 任意x)可考：当 $x _ { n + 1 } = e ^ { x _ { n } } - 1$ 时，由 $\mathrm { e } ^ { x _ { n } } - 1 \geqslant x _ { n }$ 得 $x _ { n + 1 } \geqslant x _ { n }$ ,即 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调不减$x - 1 \geq \ln x ( x > 0 )$
+
+![](images/66d66b29bddd2d41c3887e4eb02f5d3947377234a42efbf1309426bccacc5272.jpg)
+
+可考：当 $x _ { n } > 0$ 时，若 $x _ { n + 1 } = \ln x _ { n } + 1$ 由 $\ln x _ { n } + 1 \leqslant x _ { n }$ 得 ${ x _ { n + 1 } } \leqslant x _ { n }$ ，即 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调不增①2 ${ \frac { 1 } { 1 + x } } < \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) < { \frac { 1 } { x } } ( x > 0 )$ 或祎 $\frac { x } { 1 + x } < \ln ( 1 + x ) < x ( x > 0 )$
+
+（3）利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值
+
+（4)利用压缩映射原理.（简化版）
+
+原理一对数列 $\{ x _ { n } \}$ ，若存在常数 $k \ ( 0 < k < 1 )$ ，使得 $\left| x _ { n + 1 } - a \right| \leqslant k \left| x _ { n } - a \right| , n = 1 , 2 , \cdots$ 则 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a
+
+证 $0 \leqslant \left| x _ { n + 1 } - a \right| \leqslant k \left| x _ { n } - a \right| \leqslant k ^ { 2 } \left| x _ { n - 1 } - a \right| \leqslant \cdots \leqslant k ^ { n } \left| x _ { 1 } - a \right|$ ，由于 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } k ^ { n } = 0$ ，根据夹逼准则，有$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| x _ { n + 1 } - a \right| = 0$ ，即 $\{ x _ { n } \}$ 收敛于a.
+
+原理二对数列 $\{ x _ { n } \}$ ，若 $x _ { n + 1 } = f ( x _ { n } ) , n = 1 , 2 , \cdots , f ( x )$ 可导，a是 $f ( x ) = x$ 的唯一解，且对任意 $\boldsymbol { x } \in \mathbf { R }$ ，有 $\left| f ^ { \prime } ( x ) \right| \leqslant k < 1$ ，则 $\{ x _ { n } \}$ 收敛于a.
+
+证 $\begin{array} { r }  \big | x _ { n + 1 } - a \big | = \big | f ( x _ { n } ) - f ( a ) \big | \frac { \frac { 1 + | \chi | ^ { \frac { \mu } { 2 } } | ^ { \frac { \mu } { 2 } } | ^ { \frac { \mu } { 2 } } \mathbb { H } | \mathrm { ~ } \sharp \mathrm { ~ } \dag | \mathbb { H } | \frac { \mu + | \mathbb { H } | ^ { \frac { \mu } { 2 } } | ^ { \frac { \mu } { 2 } } | ^ { \frac { \mu } { 2 } } } { | \chi | ^ { \frac { \mu } { 2 } } | ^ { \frac { \mu } { 2 } } } } { \big | f ^ { \prime } ( \xi ) \big | \big | x _ { n } - a \big | \lesssim k \big | x _ { n } - a \big | } } \end{array}$ 其中 $\xi$ 介于a与 $x _ { n }$ 之间，由原理一，有 $\{ x _ { n } \}$ 收敛于a．
+
+以上原理一、二是特殊的压缩映射过程，考生在使用它们时，要写出证明过程．如例2.15.
+
+（5）利用题设条件来推证（这往往是解答题的第1问）.—→例2.11
+
+山 例2.9 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } + n + 2 } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } + n + n } } \right) =$
+
+分析）分母不一样不能相加减，通分又太复杂，故可以利用放缩将分母化成相同的.需要注意：分母越大，分数越小.
+
+→通项把分母写成一样的：小 $\leqslant \sum \limits _ { i = 1 } ^ { n } \frac { i } { n ^ { 2 } + n + i } \leqslant$ 大．
+
+解 应填 $\frac { 1 } { 2 }$
+
+分子不变，将分母放缩成相同的，则
+
+$$
+\frac { n ( n + 1 ) } { 2 ( n ^ { 2 } + n + n ) } \leqslant \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } + n + 2 } + \cdots + \frac { n } { n ^ { 2 } + n + n } \leqslant \frac { n ( n + 1 ) } { 2 ( n ^ { 2 } + n + 1 ) } ,
+$$
+
+又 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 ( n ^ { 2 } + n + 1 ) } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 ( n ^ { 2 } + n + n ) } } = { \frac { 1 } { 2 } }$ ，所以根据夹逼准则，原式 $= \frac { 1 } { 2 }$
+
+找带头大哥
+
+例2.10 求极限 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { a _ { 1 } ^ { n } + a _ { 2 } ^ { n } + \cdots + a _ { m } ^ { n } }$ ，其中 $a _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , m )$ 都是非负数.
+
+解 设 $a = \operatorname* { m a x } \{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { m } \}$ ，则
+
+$$
+a ^ { n } \leqslant a _ { 1 } ^ { n } + a _ { 2 } ^ { n } + \cdots + a _ { m } ^ { n } \leqslant m \bullet a ^ { n } ,
+$$
+
+即 $a { \leqslant } { \sqrt [ n ] { a _ { 1 } ^ { n } + a _ { 2 } ^ { n } + \cdots + a _ { m } ^ { n } } } { \leqslant } a \bullet m ^ { \frac { 1 } { n } }$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } m ^ { \frac { 1 } { n } } = 1$ .故
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } \sqrt [ n ] { a _ { 1 } ^ { n } + a _ { 2 } ^ { n } + \cdots + a _ { m } ^ { n } } = \operatorname * { m a x } \{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { m } \} .
+$$
+
+## 注这是一个结论，应当记住
+
+$0 < a < b$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a ^ { - n } + b ^ { - n } ) ^ { \frac { 1 } { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { \left( { \frac { 1 } { a } } \right) ^ { n } + \left( { \frac { 1 } { b } } \right) ^ { n } } = { \frac { 1 } { a } }$ 又如当 $0 \leq x \leq \frac { \pi } { 2 }$
+
+$$
+\frac { 1 } { a } > \frac { 1 } { b } > 0
+$$
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \sqrt [ n ] { \sin ^ { n } x + \cos ^ { n } x } = \{ \begin{array} { l l } { \cos x , } & { 0 \leqslant x \leqslant \frac { \pi } { 4 } , } \\ { } \\ { \sin x , } & { \frac { \pi } { 4 } < x \leqslant \frac { \pi } { 2 } . } \end{array} 
+$$
+
+![](images/114d0e198f414e59d53c36b056a1a435876c3e1dc9b020571dcc4d9e4be99114.jpg)
+
+![](images/48edbf48e2cf9ada7402fc7461ca47c16b7336a7b6737cd224d560fbb783cc03.jpg)
+
+再如 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \sqrt [ n ] { 1 + | x | ^ { 3 n } } = \{ 1 , \quad \quad | x | \leq 1 , $
+
+约束式
+
+关系式
+
+例2.11 设 $0 < a _ { n } < \frac { \pi } { 2 } , 0 < b _ { n } < \frac { \pi } { 2 } , \cos a _ { n } - a _ { n } = \cos b _ { n }$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } b _ { n } = 0$ ，求 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { a _ { n } } { b ^ { 2 } } }$
+
+分析)(1)分清约束式、关系式和定义式；(2)做一至两步的逆运算；(3)联想一些经典形式.
+
+解 由 $\cos a _ { n } - \cos b _ { n } = a _ { n } > 0$ ，知 $0 < a _ { n } < \widetilde { b } _ { n }$ ，则由夹逼准则，得>根据cosx的单调性，cosx在
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = 0 ,
+$$
+
+$\left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right)$ 内是减函数
+
+$$
+\frac { 1 3 + 1 5 } { 2 } \geq 1 1 - \cos x - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } ( x  0 )
+$$
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { a _ { n } } { b _ { n } ^ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { [ 1 - \cos b _ { n } ] } { b _ { n } ^ { 2 } } \bullet \frac { a _ { n } } { 1 - \cos b _ { n } } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } \to \infty } \frac { a _ { n } } { 1 - \cos a _ { n } + a _ { n } } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { 1 - \cos a _ { n } } = \frac { 1 } { 2 } .
+$$
+
+## 单调有界准则
+
+单调有界数列必有极限，即若数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调增加（减少)且有上界（下界），则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在.
+
+单调有界准则其实包含两种情况（涉及不等关系，是数学中的难点），第1种情况数列单调增加并且有上界；第2种情况，数列单调减少并且有下界.在这两种情况下数列极限都是存在的，使用的时候需要注意，当证明出来数列单调增加时，只需要再去证明数列有上界即可，无须再去证明有下界，同样如果证明出来数列有上界，则只需要再去证明数列单调增加即可，第二种情况同理.
+
+记： $x _ { n } \leqslant x _ { n + 1 } \leqslant a$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在.
+
+![](images/aed7ae95355167896d2c65c146f76699c074764c1586fce0400cdcd458adeff6.jpg)
+
+![](images/68c0c5994c12b0ef8f2d0e70ff9027bf664498381e8d0f0e30059d7c7d68b77f.jpg)
+
+![](images/91bdaa8a5a660a09d49c40c734763efdde156d89b48df26081f655e8d671ae59.jpg)
+
+证明数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调性的常用方法：
+
+★a. $\frac { x _ { n + 1 } - x _ { n } } { \downarrow } ( < )$ 0或 $\frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } > 1$ （同号）.
+
+作差法用得较多， [①验n=1成立；②设n=k成立；★b.利用数学归纳法； ③证n=k+1成立
+
+题一练设 $c = 2 \ln ( 1 + b ) , b > a > 0$ ，且a是方程 $x - 2 \ln ( 1 + x ) = 0$ 的唯一非零解，证明 $c > a$
+
+分析由题知， $c = 2 \ln ( 1 + b ) , a = 2 \ln ( 1 + a )$
+
+令 $f ( x ) = 2 \ln ( 1 + x )$ $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 2 } { 1 + x } }$ ，则当 $x > 0$ 时，f(x)单调递增.
+
+由 $b > a > 0$ ，得 $2 \ln ( 1 + b ) > 2 \ln ( 1 + a )$ ，故 $c > a$
+
+![](images/e491498cf4f2fa121e14170fe916af89d018b3864ad7c0fd500efe54e4842f2d.jpg)
+
+题一练设单调递减数列 $\{ x _ { n } \}$ 满足 $x _ { n + 1 } = 2 \ln ( 1 + x _ { n } ) , n = 1 , 2 , \cdots , x _ { 1 } > a > 0$ ，且a是 $x - 2 \ln ( 1 + x ) = 0$ 的唯一
+
+非零解.证明： $\{ x _ { n } \}$ 收敛.
+
+分析 ①验： $x _ { 1 } > a > 0$
+
+②设： $x _ { k } > a > 0$
+
+③证： $x _ { k + 1 } > a > 0$
+
+$$
+x _ { k + 1 } = 2 \ln ( 1 + x _ { k } ) , 2 \ln ( 1 + a ) = a .
+$$
+
+由于 $f ( x ) = 2 \ln ( 1 + x )$ 在x>0时单调递增，因此 $2 \ln ( 1 + x _ { k } ) > 2 \ln ( 1 + a )$ ，故 $x _ { k + 1 } > a$ ，于是 $\{ x _ { n } \}$ 有下界.
+
+再由 $\{ x _ { n } \}$ 单调递减，知{x}收敛.
+
+★c.利用重要不等式（见夹逼准则的注(2)）.
+
+d. $x _ { n } - x _ { n - 1 }$ 与 $x _ { n - 1 } - x _ { n - 2 }$ 同号，则 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调.
+
+★e.利用结论： $x _ { n + 1 } = f ( x _ { n } ) ( n { = } 1 , 2 , \cdots ) , x _ { n } \in$ 区间I.
+
+无法确定是单调递增还是单调递减< 当当 $x _ { 2 } > x _ { 1 }$ 时，数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调增加，若 $f ^ { \prime } ( x ) > 0 , x \in$ 区间I，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调，且 可以通过例题帮助理解结论? $x _ { 2 } < x _ { 1 }$ 时，数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调减少.f(x)单调增加 证明见例2.13<
+
+$$
+\frac { \cdot f ^ { \prime } ( x ) < 0 , \ x \in } { \downarrow }
+$$
+
+若 区间I，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 不单调.
+
+f(x)单调减少
+
+例2.12 设 $0 < x _ { 1 } < 3 , \ x _ { n + 1 } = \sqrt { x _ { n } ( 3 - x _ { n } ) } ( n = 1 , 2 , \cdots )$ ，证明数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 的极限存在，并求此极限.
+
+分析）证明这种由递推形式给出的数列的收敛性，一般都是根据“单调有界数列必收敛"这一准则进行证明；在证明了极限存在的前提下再求极限.
+
+证 由例2.1知数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 是有界的，对任意正整数n>1，都有 $0 < x _ { n } \leqslant \frac { 3 } { 2 } \longrightarrow \frac { \sqrt { a b } \leqslant \frac { a + b } { 2 } ( a , b > 0 ) } { \textnormal { \textsf { d s e m s } } }$ 重要不等式
+
+再证明 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调：当n>1时,
+
+$$
+\begin{array} { l } { x _ { n + 1 } - x _ { n } = \sqrt { x _ { n } ( 3 - x _ { n } ) } - x _ { n } = \sqrt { x _ { n } } ( \sqrt { 3 - x _ { n } } - \sqrt { x _ { n } } ) } \\ { \quad \quad = \frac { 2 \sqrt { x _ { n } } \left( \displaystyle \frac { 3 } { 2 } - x _ { n } \right) } { \sqrt { 3 - x _ { n } } + \sqrt { x _ { n } } } \Longleftrightarrow \overbrace { \sqrt { { { x _ { n } } } } \cdot \frac { 3 - 2 \hat { { { x _ { n } } } } } { \sqrt { 3 - { { x _ { n } } } } } + \sqrt { { { x _ { n } } } } } ^ { \infty \enspace \propto \enspace \hat { { { x _ { n } } } } } \geqslant 0 , \qquad \forall x _ { n } \leqslant \frac { 3 } { 2 } , \quad \# 3 - 2 { x _ { n } } \geqslant 0 , } \end{array}
+$$
+
+即 $x _ { n + 1 } \geqslant x _ { n } ( n > 1 )$ ，所以数列 $\left\{ x _ { n } \right\} \left( n > 1 \right)$ 是单调增加的.
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } { \frac { \# \# } { \hbar \log } } a
+$$
+
+根据单调有界数列必有极限的准则知 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在，设其为a，则
+
+$$
+a = \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } x _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \sqrt { x _ { n - 1 } ( 3 - x _ { n - 1 } ) } = \sqrt { a ( 3 - a ) } \ ,
+$$
+
+解得 $a = \frac { 3 } { 2 }$ 或 $\overset { a = 0 } { \mathop { \gimel } }$ （舍去）.故
+
+由子 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调增加， $\mathbb { A } x _ { n } > 0$ ，故 $a > 0$
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = { \frac { 3 } { 2 } } \ .
+$$
+
+例2.13 设 $x _ { n + 1 } = f ( x _ { n } )$ ，则以下命题正确的是（  
+①若f(x)单调增加，且 $x _ { 1 } < x _ { 2 }$ ，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调增加  
+②若f(x)单调增加，且 $x _ { 1 } > x _ { 2 }$ ，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调减少  
+③若f(x)单调减少，且 $x _ { 1 } < x _ { 2 }$ ，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调增加理解见例2.15的泣，>  
+④若f(x)单调减少，且 $x _ { 1 } > x _ { 2 }$ ，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调减少  
+(A)①② (B)①③  
+(C)②③ (D)②④
+
+![](images/e2b02c70aa717ea0741582409f8f716d798dc096d510b494cf05cf724ded4b8a.jpg)
+
+![](images/21a0fbfc3857eec6cfef049ab1471aba5b5e6863cfbfde631c9c929813eaf626.jpg)
+
+对上述命题逐个分析，如下.
+
+对于①，若f(x)单调增加，且 $x _ { 1 } < x _ { 2 } , x _ { 2 } = f ( x _ { 1 } ) , x _ { 3 } = f ( x _ { 2 } )$ ，则 $f ( x _ { 1 } ) < f ( x _ { 2 } )$ ，即 $x _ { 2 } < x _ { 3 }$ ，又 $x _ { 3 } =$   
+$f ( x _ { 2 } ) , x _ { 4 } = f ( x _ { 3 } )$ ，此时 $f ( x _ { 2 } ) < f ( x _ { 3 } )$ ，即 $x _ { 3 } < x _ { 4 } , \cdots$ ，依次类推，便知数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 越来越大，即单调增加.对于②，若f(x)单调增加，且 $x _ { 1 } > x _ { 2 } , x _ { 2 } = f ( x _ { 1 } ) , x _ { 3 } = f ( x _ { 2 } )$ ，则 $f ( x _ { 1 } ) > f ( x _ { 2 } )$ ，即 $x _ { 2 } > x _ { 3 }$ ，又 $x _ { 3 } =$   
+$f ( x _ { 2 } ) , x _ { 4 } = f ( x _ { 3 } )$ ，此时 $f ( x _ { 2 } ) > f ( x _ { 3 } )$ ，即 $x _ { 3 } > x _ { 4 } , \cdots$ ，依次类推，便知数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 越来越小，即单调减少.→叁考例2.15
+
+对于③，若f(x)单调减少，且 $x _ { 1 } < x _ { 2 } , x _ { 2 } = f ( x _ { 1 } ) , x _ { 3 } = f ( x _ { 2 } )$ ，则 $f ( x _ { 1 } ) > f ( x _ { 2 } )$ ，即 $x _ { 2 } > x _ { 3 }$ ，又 $x _ { 3 } =$ $f ( x _ { 2 } ) , x _ { 4 } = f ( x _ { 3 } )$ ，此时 $f ( x _ { 2 } ) < f ( x _ { 3 } )$ ，即 $x _ { 3 } < x _ { 4 } , \cdots$ ，依次类推，便知数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 是摆动的，不单调.对于④，若f(x)单调减少，且 $x _ { 1 } > x _ { 2 } , x _ { 2 } = f ( x _ { 1 } ) , x _ { 3 } = f ( x _ { 2 } )$ ，则 $f ( x _ { 1 } ) < f ( x _ { 2 } )$ ，即 $x _ { 2 } < x _ { 3 }$ ，又 $x _ { 3 } =$ $\left\lfloor f ( x _ { 2 } ) , x _ { 4 } = f ( x _ { 3 } ) \right.$ ，此时 $f ( x _ { 2 } ) > f ( x _ { 3 } )$ ，即 $x _ { 3 } > x _ { 4 } , \cdots$ ，依次类推，便知数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 是摆动的，不单调.
+
+(2)对于(1)中的，任取 $x _ { 1 } > \xi$ ，定义 $x _ { n + 1 } = 2 \ln ( 1 + x _ { n } ) , n = 1 , 2 , \cdots$ ，证明 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在，并求其值.证1令 $F ( x ) = x - 2 \ln ( 1 + x ) , x > 0$ ，则
+
+$$
+F ^ { \prime } ( x ) = 1 - \frac { 2 } { 1 + x } = \frac { x - 1 } { 1 + x } \frac { \widehat { \daleth } } { \longleftarrow } 0 ,
+$$
+
+得x=1是 $( 0 , + \infty )$ 内的唯一驻点，且当 $0 < x < 1$ 时， $F ^ { \prime } ( x ) < 0 , F ( x )$ 单调递减；当 $x > 1$ 时，$F ^ { \prime } ( x ) > 0 , F ( x )$ 单调递增.
+
+又 $F ( 0 ) = 0 \ , F ( 1 ) = 1 - 2 \ln 2 < 0 \ , F ( + \infty ) = \operatorname * { l i m } _ { x  + \infty } [ x - 2 \ln ( 1 + x ) ] = + \infty > 0$ 如图2-2所示，故F(x)在(0,1)内无零点，在 $( 1 , + \infty )$ 上有唯一零点，因此原方程在(0，+8)内有唯一实根 $\xi$
+
+(2)由(1)得 $\xi = 2 \ln ( 1 + \xi ) , \xi > 0$ .令 $\cdot x _ { n + 1 } = f ( x _ { n } ) , f ( x ) = 2 \ln ( 1 + x )$
+
+①验： $x _ { 1 } > x _ { 2 } > \xi$
+
+![](images/79597864875317bec43cdf1cf2a9e96e712269a8a5f55abea3cfe2eab526f1de.jpg)
+
+$$
+x _ { 2 } = 2 \ln ( 1 + x _ { 1 } ) , 2 \ln ( 1 + \xi ) = \xi ,
+$$
+
+图2-2
+
+因为 $x _ { 1 } - 2 \ln ( 1 + x _ { 1 } ) > 0$ ，故 $x _ { 1 } > 2 \ln ( 1 + x _ { 1 } ) = x _ { 2 } > 2 \ln ( 1 + \xi ) = \xi$
+
+②设： $x _ { k - 1 } > x _ { k } > \xi$
+
+③证： $x _ { k } > x _ { k + 1 } > \xi$
+
+由②知，
+
+$$
+x _ { k + 1 } = 2 \ln ( 1 + x _ { k } ) > 2 \ln ( 1 + \xi ) = \xi ,
+$$
+
+$$
+x _ { k } = \underline { { 2 \ln ( 1 + x _ { k - 1 } ) > 2 \ln ( 1 + x _ { k } ) } } = x _ { k + 1 } ,
+$$
+
+故得证 $x _ { k } > x _ { k + 1 } > \xi$
+
+综上， $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调递减有下界，于是
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } { \frac { \# \# } { \operatorname* { i n } _ { \operatorname* { m a x } } } } a \ .
+$$
+
+在 $x _ { n + 1 } = 2 \ln ( 1 + x _ { n } )$ 两边取极限，有 $a = 2 \ln ( 1 + a )$
+
+又由(1)知，5是 $\scriptstyle x = 2 \ln ( 1 + x )$ 在 $( 0 , + \infty )$ 内的唯一实根，故 $a = \xi$
+
+注题目解答过程需要背诵.考生可画出如图2-3所示的情形，加深理解
+
+![](images/823f7d97a4edfb3c3649f91352c3afb1751d47908f5636df2dcc2795cb6009a7.jpg)  
+图2-3
+
+引申：若题目改为 $x _ { 1 } < \xi$ ，则如图2-4所示，
+
+![](images/f4bb1d0a47c69478384f57fb89596feb472b52d3d1a230af85cca264205d938c.jpg)  
+图2-4
+
+例2.15 (1)证明方程 $\scriptstyle x = \cos x$ 在 $\left( 0 , { \frac { \pi } { 3 } } \right)$ 内有唯一实根a；
+
+(2)设 $- 1 { \leqslant } x _ { 1 } { \leqslant } 1$ ，定义 $x _ { n + 1 } = \cos x _ { n } , n = 1 , 2 , \cdots$ ，证明 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在，且极限值就是(1)中的a.
+
+证(1)令F(x)=cos x-x, $x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 3 } \right)$ ，则
+
+$$
+F ( 0 ) = 1 > 0 , F \left( \frac { \pi } { 3 } \right) = \frac { 1 } { 2 } - \frac { \pi } { 3 } < 0 ,
+$$
+
+且 $F ^ { \prime } ( x ) = - \sin x - 1 < 0$ ，故F(x)单调递减，于是存在唯一的 $a \in \left( 0 , \frac { \pi } { 3 } \right)$ ，使得 $F ( a ) = 0$ ，即$a = \cos a$ ，方程在 $\left( 0 , { \frac { \pi } { 3 } } \right)$ 内有唯一实根a.
+
+(2)由题知, ${ \boldsymbol { x } } _ { n + 1 } = \cos { \boldsymbol { x } } _ { n }$ ，由于 $- 1 { \leqslant } x _ { 1 } { \leqslant } 1$ ，则 ${ x _ { n + 1 } } = \cos x _ { n } \leqslant 1$ ，且 ${ x _ { n + 1 } } = \cos x _ { n } > 0$ ，故 $0 < x _ { n } \leqslant 1 < { \frac { \pi } { 3 } }$ $n > 1$
+
+$f ( x ) = \cos x$ ，显然f(x)在 $\left( 0 , { \frac { \pi } { 3 } } \right)$ 内单调减少，于是 $\{ x _ { n } \}$ 不单调，下面直接考虑 $\left| x _ { n + 1 } - a \right|$
+
+$$
+\begin{array} { r l } { \lambda _ { \alpha _ { 1 } + 1 } - a \Big \vert = \Big \vert - \vert \cos x _ { \alpha } - \cos \alpha \Big \vert } \\ & { \qquad \quad \stackrel { \quad - } \quad \stackrel { \quad - } \quad \stackrel { \quad } \quad \dotsc \quad \theta \sin \theta + \sin \theta + \theta \sin \theta } \\ & { \qquad \quad \stackrel { \quad - } \quad \stackrel { \quad - } \quad \stackrel { \quad } \quad \dotsc \quad \theta } \\ & { \qquad \quad \stackrel { \quad < \quad \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - 1 } \cdot \Big \vert x _ { \alpha } - a \Big \vert ^ { \alpha } \quad \sin \frac \pi 3 } \\ & { \qquad \quad \stackrel { \quad < \quad } \quad \stackrel { \quad } \quad \dotsc \quad \theta } \\ & { \qquad \quad \stackrel { \quad < \quad \sqrt { 3 } } { 2 } \Big \vert ^ { 2 } \vert x _ { \alpha _ { 1 } + 1 } - a \Big \vert } \\ & { \qquad \quad \vdots \ \longrightarrow \quad \theta \sin \theta } \\ & { \qquad \quad \quad \stackrel { \quad < \quad \sqrt { 3 } } { 2 } \Big \vert ^ { \alpha } \ \vert x _ { \alpha } - a \vert , } \end{array}
+$$
+
+其中介于a与 $x _ { n }$ 之间，当𝑛→8时， $( { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } ) ^ { n } | x _ { 1 } - a |  0$ ，故由夹逼准则，有 $x _ { n + 1 } \to a$ ，即 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a$
+
+注考生可画出如图2-5所示的情形，加深理解
+
+![](images/ac5d471420deceee739cf056a1db65b2e0dfdfdd2ba086da74f11fc4de234895.jpg)  
+图2-5
+
+## 8x}收敛于a的速度问题
+
+设数列 $\{ x _ { n } \} \ , \ \{ y _ { n } \}$ 在n→∞的过程中同时趋于a，记 $u _ { n } = \left| x _ { n } - a \right|$ $\nu _ { n } = \rvert \boldsymbol { y } _ { n } - \boldsymbol { a } \rvert$ $I = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { u _ { n } } { \nu _ { n } }$ ，且当n→8时， $u _ { n }$ 和 $\nu _ { n }$ 都是无穷小量，则有
+
+若I=0，则说明 $x _ { n }$ 的收敛速度比 $y _ { n }$ 的收敛速度快；（高阶）
+
+若=b (b 为大于零的常数)，则说明 $x _ { n }$ 的收敛速度是 $y _ { n }$ 的 $\frac { 1 } { b }$ 倍； （同阶）
+
+若1=8，则说明 $x _ { n }$ 的收敛速度比 $y _ { n }$ 的收敛速度慢.(低阶)
+
+如： $x _ { n } = { \frac { 1 } { n } } , y _ { n } = { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } y _ { n } = 0$ ，故 $I = \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } { \frac { \displaystyle { \frac { 1 } { n } } - 0 { \Bigg | } } { \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } - 0 { \Bigg | } } } = 0$ ，于是 $x _ { n }$ 比 $y _ { n }$ 收敛于0的速度快.
+
+而数列极限定义为 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a \Leftrightarrow$ 任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N > 0$ ，当n>N时，恒有 $\left. x _ { n } - a \right. < \varepsilon$ .此定义中不体现收敛速度，这是命制选择题的理论依据.
+
+例2.16 “对任意给定的k∈N,，总存在正整数N，当n>N时，恒有 $\left| x _ { n } - a \right| \leqslant \frac { 1 } { 2 ^ { k } } ^ { \prime \prime }$ 是数列$\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a的（ ）.(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解 应选(C).
+
+对于任意给定的 $k \in \mathbf { N }$ $\frac { 1 } { 2 ^ { k } }$ 可为任意小的正数，记 ${ \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } = \varepsilon > 0$ ，则该题干说法是 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a的充 分必要条件.
+
+例2.17 “存在正整数N，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _ { n } - a \right| \leqslant \frac { 1 } { n } \vphantom { \frac { 1 } { n } } ,$ 是数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a的（）.
+
+(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
+
+## 解 应选(A).
+
+如果存在正整数N，当n≥N时，恒有 $\left| x _ { n } - a \right| \leqslant { \frac { 1 } { n } }$ ，那么任意的 $\varepsilon > 0$ ，取 $n = \operatorname* { m a x } \left\{ N , \left[ \frac { 1 } { \varepsilon } \right] + 1 \right\}$ ，则$\big | x _ { n } - a \big | \leqslant \frac { 1 } { n } < \varepsilon$ ，所以数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a.
+
+反之，取 $x _ { n } = a + { \frac { 1 } { \sqrt { n } } }$ ，则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a，但“存在正整数N，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _ { n } - a \right| \leqslant \frac { 1 } { n } \vphantom { \frac { 1 } { n } } ,$ 并不成立.
+
+综上，“存在正整数N，当n≥N时，恒有 $\left| x _ { n } - a \right| \leqslant \frac { 1 } { n } \vphantom { \frac { 1 } { n } } ,$ 是数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于a的充分不必要条件.
+
+注对比本题与上一题，数列极限定义中的ε可以被替换为不依赖于n的任意小的正数，即不能与n有关，否则相当于对收敛速度提出了要求．比如此题中，若 $x _ { n } = a + { \frac { 1 } { \sqrt { n } } }$ 其收敛于a的速度是慢于 $y _ { n } = a + { \frac { 1 } { n } }$ 的，于是存在正整数N，当n≥N时， $\vert x _ { n } - a \vert > \frac { 1 } { n }$ 但不影响 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a$ .总之，可作为$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a$ 的充分必要条件的命题中，不能对收敛速度提要求，因为数列极限定义中只体现收敛目标，不体现收敛速度.
+
+例2.18 设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当n充分大时，有（ ）(A) $\vert a _ { n } \vert > \frac { \vert a \vert } { 2 }$ (B) $\vert a _ { n } \vert < { \frac { \vert a \vert } { 2 } }$ (C) $a _ { n } > a - { \frac { 1 } { n } }$ (D) $a _ { n } < a + { \frac { 1 } { n } }$
+
+## 解 应选(A).
+
+对于选项(A),(B),由极限保号性，当n→时，显然有 $\left| a _ { n } \right|$ 与a无限靠近，故 $\vert a _ { n } \vert > \frac { \vert a \vert } { 2 }$ ，因此选项(A)正确，(B)不正确.
+
+对于选项(C)，(D)，无论是 $b _ { n } = a - { \frac { 1 } { n } }$ ，还是 $c _ { n } = a + { \frac { 1 } { n } }$ ，当 $n  \infty$ 时， $b _ { n } , \ c _ { n }$ 均收敛于 $^ { a }$ ，但它们都提出了收敛的速度，而 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = a$ 并不知其收敛速度，所以 $a _ { n }$ 与 $b _ { n } , \ c _ { n }$ 的大小关系显然都不能确定，
+
+故选项(C)，(D)都不正确.
+
+注此题亦可举反例，但回顾过往，若一道选择题是通过别人给的反例，用排除法获得答案的，那么你要问问自己，为什么是这样的反例？我举得出这样的反例吗？若这两个问题均无法回答，此题要考什么就根本无从说起，做与不做，几乎无异
+
+![](images/3a4727f1f9bddc816a8e308edd47cf47729e7c6cf4a8b80349fd4800fb72a075.jpg)
+
+## 基础习题精练
+
+## 习题
+
+2.1设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = 0 , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } b _ { n } = 1$ ，则（）.
+
+(A)对任意n, $a _ { n } < b _ { n }$ 成立
+
+(B)存在正整数N，当n>N时，总有 $a _ { n } < b _ { n }$
+
+(C） $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { b _ { n } } { a _ { n } } }$ 必定存在
+
+(D) $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } b _ { n }$ 可能不存在
+
+2.2设数列{x]满足 $x _ { n } > 0$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } { \frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } } = { \frac { 1 } { 2 } }$ ，则（）.(A) $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = 0$ (B) $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在，但不为零(C） $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 不存在 (D) $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 可能存在，也可能不存在
+
+2.3 $\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } ( \sqrt { n + { \sqrt { n } } } - \sqrt { n - { \sqrt { n } } } ) \ =$
+
+2.4设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n ^ { 9 9 } } { n ^ { k } - ( n - 1 ) ^ { k } } }$ 存在且不为零，则常数k=
+
+2.5 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } } + { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + 2 } } } + \cdots + { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } } } \right)$
+
+2.6 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt { 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } }  =$
+
+2.7设函数f(x)在[a,b]上连续， $x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }$ 是[a,b]上的一个点列，求 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathbf { e } ^ { f ( x _ { k } ) } }$
+
+2.8设 $x _ { 1 } = 2 , x _ { n } + ( x _ { n } - 4 ) x _ { n - 1 } = 3 ( n = 2 , 3 , \cdots )$ ，证明 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在，并求其值.
+
+## 解答
+
+2.1(B）解数列极限的概念是描述变量在给定过程中的变化趋势，数列极限存在与否与前有限项的值无关，因此可以排除 (A).
+
+由于 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } = 0 , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } b _ { n } = 1$ ，由极限四则运算规则可知 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { n } b _ { n }$ 必定存在， $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { b _ { n } } { a _ { n } } }$ 不符合极限四则运算规则，由无穷小量的性质可知其肯定不存在.因此可以排除(C)，(D).故由排除法，应选(B).
+
+2.2(A）解 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } } = { \frac { 1 } { 2 } } < 1$ ，由数列极限的保号性可知，存在正整数N，当 $n > N$ 时， $\frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } < 1$ 又 $x _ { n } > 0$ ，于是 $x _ { n + 1 } < x _ { n }$ .所以 $\{ x _ { n } \}$ 单调递减且有下界，于是 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在.
+
+设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = A \geqslant 0$ .若 $A > 0$ ，此时 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } { \frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } } = { \frac { \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } x _ { n + 1 } } { \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } x _ { n } } } = { \frac { A } { A } } = 1$ ，矛盾.于是 $A = 0$ ，即 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = 0$
+
+2.31解所给极限为 $" \infty - \infty "$ 型未定式，表达式中含有根式，可先将其变形，即
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \quad \underset { n  \infty } { \operatorname* { l i m } } ( \sqrt { n + \sqrt { n } } - \sqrt { n - \sqrt { n } } ) } \\ & { = \underset { n  \infty } { \operatorname* { l i m } } \frac { ( \sqrt { n + \sqrt { n } } - \sqrt { n - \sqrt { n } } ) \bullet ( \sqrt { n + \sqrt { n } } + \sqrt { n - \sqrt { n } } ) } { \sqrt { n + \sqrt { n } } + \sqrt { n - \sqrt { n } } } } \\ & { = \underset { n  \infty } { \operatorname* { l i m } } \frac { 2 \sqrt { n } } { \sqrt { n + \sqrt { n } } + \sqrt { n - \sqrt { n } } } = \underset { n  \infty } { \operatorname* { l i m } } \frac { 2 } { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { \sqrt { n } } + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { n } } } } } = 1 . } \end{array}
+$$
+
+2.4100解
+
+$$
+\begin{array} { r l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { n ^ { 9 9 } } { n ^ { k } - ( n - 1 ) ^ { k } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { n ^ { 9 9 } } { n ^ { k } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) ^ { k } \right] } } & { } \\ { \displaystyle } & { = - \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { n ^ { 9 9 \cdot k } } { \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) ^ { k } - 1 } = - \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { n ^ { 9 9 \cdot k } } { k \left( - \frac { 1 } { n } \right) } = \frac { 1 } { k } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } n ^ { 9 9 \cdot k + 1 } \mathrm { ~ . } } \end{array}
+$$
+
+由此可知，极限存在且不为零的充要条件是 $9 9 - k + 1 = 0$ ，即 $k = 1 0 0$
+
+2.51解因为
+
+$$
+{ \frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } } } { \leqslant } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } } } { \leqslant } { \frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } } ,
+$$
+
+又 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } } = 1$ ，根据夹逼准则，所以原式=1.
+
+## 2.61解因为
+
+$$
+1 { \leqslant } { \sqrt { 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } } } { \leqslant } { \sqrt [ n ] { n } } ,
+$$
+
+而 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \sqrt [ n ] { n } } = 1$ ，所以
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } \sqrt [ n ] { 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n } } = 1 .
+$$
+
+2.7解本题考虑夹逼准则.由f(x)在 $[ a , b ]$ 上连续，知 $\mathrm { e } ^ { f ( x ) }$ 在[a,b]上非负连续，且 $0 < m \leqslant$ $\mathrm { e } ^ { f ( x ) } \leqslant M$ ，其中M,m分别为 $\mathrm { e } ^ { f ( x ) }$ 在[a,b]上的最大值和最小值，于是 $0 < m { \leqslant } \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { e } ^ { f ( x _ { k } ) } { \leqslant } M$ ，故
+
+$$
+\sqrt [ n ] { m } \leqslant \sqrt [ n ] { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { e } ^ { f ( x _ { k } ) } } \leqslant \sqrt [ n ] { M } \enspace .
+$$
+
+又 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { m } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { M } = 1$ ，根据夹逼准则，得 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sqrt [ n ] { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { e } ^ { f ( x _ { k } ) } } = 1$
+
+2.8证明先证单调性.由 $x _ { n } + ( x _ { n } - 4 ) x _ { n - 1 } = 3$ ，得 $x _ { n } = { \frac { 3 + 4 x _ { n - 1 } } { 1 + x _ { n - 1 } } }$ ，又 $x _ { 1 } = 2$ ，所以 $x _ { 2 } = \frac { 3 + 4 \times 2 } { 1 + 2 } = \frac { 1 1 } { 3 } >$ $x _ { 1 } > 0$ ，假设 $x _ { k } > x _ { k - 1 } > 0$ 成立，则
+
+$$
+x _ { k + 1 } - x _ { k } = \frac { 3 + 4 x _ { k } } { 1 + x _ { k } } - \frac { 3 + 4 x _ { k - 1 } } { 1 + x _ { k - 1 } } = \frac { x _ { k } - x _ { k - 1 } } { ( 1 + x _ { k } ) ( 1 + x _ { k - 1 } ) } > 0 ,
+$$
+
+故 $x _ { k + 1 } > x _ { k }$ ，即数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 单调增加.
+
+再证明其有界.因 $x _ { n } = { \frac { 3 + 4 x _ { n - 1 } } { 1 + x _ { n - 1 } } } = 3 + { \frac { x _ { n - 1 } } { 1 + x _ { n - 1 } } } < 3 + 1 = 4$ ，所以数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 有上界.
+
+由单调有界准则知 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n }$ 存在.设 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = A$ ，当 $n  \infty$ 时，由 $x _ { n } = { \frac { 3 + 4 x _ { n - 1 } } { 1 + x _ { n - 1 } } }$ ，得 $A = \frac { 3 + 4 A } { 1 + A }$ ，解得$A = \frac { 3 \pm \sqrt { 2 1 } } { 2 }$ ，由题设， $x _ { n } > x _ { 1 } > 0$ ，根据极限保号性可知 $A > 0$ ，故 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = { \frac { 3 + { \sqrt { 2 1 } } } { 2 } }$
+

考研/math/004_第3讲.md

@@ -0,0 +1,837 @@
+## 第3讲
+
+## 一元函数微分学的概念
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>-元函数微分学的概念</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①理解导数与微分的概念；②理解导数与微分的关系；③理解导数的几何意义</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>①高阶导数的计算；②导数几何意义的应用；③可导充要条件的应用</td></tr></table>
+
+![](images/481155ad3ccfbea3bae09fc094d1f4732783840be2cebaf642fda3c198569f53.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/5bda0bc170d5b40519a0c2c4be5b6703b84806e38ee7ffefd99570a67551b95f.jpg)
+
+引例一位王子/公主去往高铁站乘车，零时刻在家门口乘坐出租车出发，由于时间上有些来不及，便不断催促师傅加速，当到达高铁站后，整理文件时却发现重要文件遗落在家，焦急难耐，但已经来不及返回拿文件再乘车，遂放弃原车次列车，乘坐出租车匀速回家.
+
+实际问题数学化，时间与位移图像如图3-1所示.
+
+![](images/dff7ef3e7f4b8179c64d092a85f2bfb9df5e7206e7942f8be80d8664cc416263.jpg)  
+图3-1
+
+$I _ { 1 }$ ： $\operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { f ( t + \Delta t ) - f ( t ) } { \Delta t } } { \frac { \# \# } { \Gamma } } \underline { { \underline { { a } } } } _ { }$ 泣意：a是瞬时变化率，不是平均变化率，→线性函数变化率不变o tt+△t
+
+![](images/13e84c21b6e8b56afb05633dcaecf5e2a6aa0261f36b773b6171a58dea720742.jpg)
+
+![](images/548ed48fc1b3fbc1737e5f89fee02a82c4ae21c9f9d9bac3e714e77358121f63.jpg)
+
+$I _ { \imath }$ $\operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { f ( t + \Delta t ) - f ( t ) } { \Delta t } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { 0 } { \Delta t } } = 0$ 0
+
+![](images/72fb7bbc1ec2bf660c36610eba380d651bf88848eee70184626d71e8e9656120.jpg)
+
+$I _ { 3 }$ $\operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { f ( t + \Delta t ) - f ( t ) } { \Delta t } } =$ 定值. o tt+△tt
+
+极限是研究函数变化趋势的，导数是研究变化快慢趋势的.
+
+![](images/6582aa46a457aa5fa0948e82f85517530be01b7284d921ee6d5f3db0101eeac4.jpg)
+
+## 基础内容精讲
+
+## 1 导数
+
+$$
+\Delta x \to 0 ^ { + } \ , \Delta x \to 0 ^ { - }
+$$
+
+![](images/c2ef3fffc6a555b4502611b4ed83f6aa57a27ac75370b3952c6f15bc75756fe1.jpg)
+
+设 $y = f ( x )$ 定义在区间I上，让自变量在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处加一个增量△x（可正可负），其中$x _ { 0 } \in I , x _ { 0 } + \Delta x \in I$ ，则可得函数的增量 $\Delta y = f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } )$ .若函数增量△y与自变量增量△x的比值在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，即 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { \Delta x } }$ 存在，则称函数 $y = f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处可导，并称这个极限为 $y = f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处的导数，记作 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，即
+
+变化率
+
+$$
+f ^ { \prime } ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } ) } { \Delta x } } .\tag{*}
+$$
+
+当然， $\left. { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = x _ { 0 } } , \left. { \frac { \mathrm { d } [ f ( x ) ] } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = x _ { 0 } } , \left. { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \right.$ 或 $y ^ { \prime } \big | _ { x = x _ { 0 } }$ 这些符号记法与 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 等价.顺便交代一下，“导数”这  
+个名词被认为是拉格朗日最先使用的，记号 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , y ^ { \prime } \vert _ { x = x _ { 0 } }$ 多次出现在拉格朗日的文章中，而莱布尼茨则$\left. { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { y } } { \mathrm { d } \boldsymbol { x } } } \right| _ { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } } , \left. { \frac { \mathrm { d } [ f ( \boldsymbol { x } ) ] } { \mathrm { d } \boldsymbol { x } } } \right| _ { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 } } \overrightarrow { }$ (微的形式，也叫微商) 考研只用拉格朗日和菜布尼茨写法  
+喜欢写作V
+
+菜布尼茨所用的符号d具有普适意义：如果要求A对B的变化率，就把A，B填进 $\frac { \mathrm { d } \ b u } { \mathrm { d } \ b u }$ ，得 $\frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B }$ ，它可表示几孚所有你想研究的变化率问题，而不仅仅是位移s对时间t的变化率— $\cdot \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t }$ 等于速度v.
+
+比如： $\frac { \mathrm { d } ( \sharp \sharp \sharp \sharp ) } { \mathrm { d } ( \sharp \sharp | \partial ] ) }$ ，它往往小于零，你同意吗？再比如： $\frac { \mathrm { d } ( \vec { + } | \vec { w } | ) } { \mathrm { d } ( \vec { w } \cdot \vec { + \theta } ) } \ , \frac { \ast } { \mathcal { E } } \frac { \mathrm { d } ( \vec { + } | \vec { w } | ) } { \mathrm { d } ( \vec { w } \cdot \vec { + \theta } ) } { > } 0$ ，也就是涨价可…增加利润，此时定价低了：若$\frac { \mathrm { d } ( \vec { 4 } \mathrm { d } \langle \vec { \omega } \| ) } { \mathrm { d } ( \langle \vec { w } \hbar \rangle \mathscr { H } ) } < 0$ 也就是降价可增加利润，此时定价高了.综上， $\lg { \frac { \mathsf { d } ( \sharp \{ \sharp \} ) } { \mathsf { d } ( \sharp \{ \sharp \} + \sharp ) } } = 0 \sharp \sharp$ 利润最大，也就是说导数为零时的价格应是商品标签上的数字.懂得了这些道理后，请问，当 $\frac { \mathrm { d } ( \nexists { \cdot } \mathit { s } _ { 0 } ^ { \pm } ) } { \mathrm { d } ( \acute { \infty } \varkappa \mathcal { D } ) } > 0$ 时，说明什么？
+
+## 注这里有几点需要说明
+
+（1）在考题中，增量△x一般会被命题人广义化为“狗”：
+
+$$
+\enclose{circle} { 1 } 4 \enclose{circle} { 1 } \frac { 4 } { 7 } - \frac { 4 } { 5 } - \Delta x , ( \Delta x ) ^ { 2 } \triangleq
+$$
+
+增量式
+
+$$
+f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { \jmath ^ { - } \mathcal { X } \mathcal { K } } { \exp { ( { x _ { 0 } } + \mathcal { X } \imath ) } } } \operatorname* { l i m } _ { \mathcal { W } \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \mathcal { Y } \imath ) - f ( x _ { 0 } ) } { \mathcal { Y } \mathcal { Y } } }\tag{**}
+$$
+
+（2）若在上面（\*）式中，令 $x _ { 0 } + \Delta x = x$ ，则可将导数定义式写成
+
+$$
+{ \mathit { a } } \not \equiv \not \equiv f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } ,\tag{***}
+$$
+
+（\*\*），（\*\*\*）两式等价，考生将会在各种场合见到这两种等价写法
+
+（3）下面这三种提法是等价的
+
+①y=f（x）在点 $\scriptstyle x _ { 0 }$ 处可导；
+
+②y=f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处导数存在；
+
+③ $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = A$ （A为有限数）
+
+（4）函数在一点可导的充要条件，考研必考
+
+①单侧导数
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { \mathrm { i } \mathcal { Z } } { \longrightarrow } } f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ,
+$$
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { { \mathrm { i } } \mathscr { Z } } { - } } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ,
+$$
+
+这里， $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 分别是f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处的左导数、右导数，统称为单侧导数。
+
+注意：在实际问题中，在一点处可导左，右的变化率均存在且相等；
+
+在几何上，有斜着的切线或水平的切线，但是没有铅直切线
+
+② $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 存在 $\Leftrightarrow$ 其左导数 $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 与右导数 $f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 均存在且相等．这一点当然是与极限存在的充分必要条件（左、右极限均存在且相等)对应.因为从本质上来说，导数的定义就是一个极限问题，
+
+（5）函数在一点可导的必要条件：若f（x）在一点可导，则f（x)在该点连续．反之未必。
+
+如： $f ( x ) = \left| x \right|$ 在x=0处的情形
+
+再如： $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } , \ x \in } \\ { 0 , \ x \in } \end{array} \right. }$ 有理数， $\mathbf { \lambda } = x ^ { 2 } \underline { { D ( x ) } }$ 在x=0处的无理数情形 狄利克雷函数 $D ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , x \in { \mathcal { F } } { \mathrm { ~ } } 3 { \mathrm { ~ z ~ } } \notin x , } \\ { 0 , x \in { \mathcal { F } } , { \mathrm { ~ } } 3 { \mathrm { ~ z ~ } } \notin x } \end{array} \right. }$
+
+$$
+\frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } = a
+$$
+
+$$
+\Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } \Delta x
+$$
+
+$$
+\Rightarrow f ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } f ( x _ { 0 } + \Delta x )
+$$
+
+$$
+f ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { x ^ { 2 } D ( x ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } x D ( x ) = 0
+$$
+
+$$
+F _ { 2 } ( 3 ) \cdot 1 \cdot \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 5 } { 4 } \times \frac { 3 } { 4 } = \frac { 3 } { 4 } \times 3 . 1 \cdot \frac { 4 } { 4 }
+$$
+
+（6)还记得在函数连续性那里的直观解释吗？现在把可导放进来，再看一遍。
+
+存在是说，给了一个x，就有一个y对应在那里（见图3-2），它附近的点X们所对应的Y们，也是如此，它们只是在那里，无牵无挂；连续是说，Y们充分靠近y（见图3-3），它们彼此的距离小到无法用任何小的
+
+## 考研数学基础30讲·高等数学分册
+
+正实数表达，只能用超实数“无穷小”来衡量，它们并不只是在那里，它们相依相偎；可导是说，它们不仅依偎在一起，而且Y们靠近y的速度不会比X们靠近x的速度慢，也就是速度一样或者速度更快（见图3-4）
+
+![](images/99ad0b42b59ea81970a4086f4a242934483deea11eb81bc7193df783fe12f7cd.jpg)  
+图3-2
+
+![](images/03ed8d9a089949b880186b9a2e7a4d19669ee41844366cbfeb2637160560090c.jpg)  
+图3-3
+
+![](images/3458ea8440eeef4c9174e658e4ffd2e94ad44758382672c6b0ae54ba425a0e9c.jpg)  
+图3-4
+
+所以，函数存在是y和Y们无牵无挂地待在那里；函数连续是y和Y们充分靠近；导函数存在是y和Y们不仅充分靠近，且靠近的速度更快.连续曲线不是曲线不断开，恰恰相反，它每一个位置都是断开的．就算Y们靠得更近，比如可导，也只是靠得更近而已，依然是断开的.
+
+## 例3.1
+
+(B)若f(x)是可导的奇函数，则f'(x)是偶函数
+
+(C)若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f'(x)也是以T为周期的周期函数
+
+(D)若f(x)是可导的有界函数，则f'(x)是有界函数
+
+## 解 应选(D).
+
+对于选项(A)，由导数定义，得
+
+$$
+{ \begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( - x ) = \underset { \Delta x  0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ( - x + \Delta x ) - f ( - x ) } { \Delta x } = \underset { \Delta x  0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ( x - \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } } \\ & { \qquad = ( - 1 ) \underset { \frac { [ - \Delta x ] } { 4  0 } } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ( x [ - \Delta x ] ) - f ( x ) } { \frac { [ - \Delta x ] } { 4  0 } } = - f ^ { \prime } ( x ) , } \end{array} }
+$$
+
+故f'(x)是奇函数.
+
+对于选项(B)，由导数定义，得
+
+$$
+\begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( - x ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ( - x + \Delta x ) - f ( - x ) } { \Delta x } } \\ { \displaystyle \quad = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } - f ( x - \Delta x ) + f ( x ) } \\ { \displaystyle \quad = \operatorname* { l i m } _ { - \Delta x \to 0 } \frac { f ( x - \Delta x ) - f ( x ) } { - \Delta x } } \\ { \displaystyle \quad = f ^ { \prime } ( x ) \ , } \end{array}
+$$
+
+故f'(x)是偶函数.
+
+对于选项(C)，由导数定义，得
+
+$$
+f ^ { \prime } ( x + T ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( x + T + \Delta x ) - f ( x + T ) } { \Delta x } }
+$$
+
+$$
+\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { f ( x + T ) = f ( x ) } { \Delta x \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } } \\ { = f ^ { \prime } ( x ) , , } \end{array}
+$$
+
+故f(x)也是以T为周期的周期函数.
+
+对于选项(D)，举反例： $f ( x ) = { \sqrt { x } } ( x \in ( 0 , 1 ] )$ 有界，而 $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } } ( x \in ( 0 , 1 ] )$ 无界.应选(D).
+
+## 选项（A)，（B)结论的应用见注例1和注例2.
+
+注例1设 $f ( x ) = \ln ( 1 - x ) - \ln ( 1 + x ) , - 1 < x < 1$ ，则 $f ^ { \prime \prime } ( 0 ) =$
+
+解 $f ( x ) = \ln { \frac { 1 - x } { 1 + x } }$ （每求导一次，奇偶性互换一次），故f"(x)是奇函数，所以 $f ^ { \prime \prime } ( 0 ) { = } 0$
+
+注例2设 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } , x \in \mathbf { R }$ 则 $f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) =$
+
+解 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } = g ( x ) + { \frac { 1 } { 2 } }$
+
+因为 $g ( - x ) + g ( x ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { - x } + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } - { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 2 ^ { x } } { 2 ^ { x } + 1 } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { x } + 1 } } - 1 = 0$ ，所以g(x)是奇函数，于是 $g ^ { ( 4 ) } ( x )$ 是奇函数，即 $g ^ { ( 4 ) } ( 0 ) = 0$ ，所以 $f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) = g ^ { ( 4 ) } ( 0 ) = 0$
+
+## 由例3.1结论，若 $f ( x ) = \sin ( \cos x ) + \cos ( \sin x )$ ，则 $f ^ { ( 5 ) } ( 2 \pi ) =$
+
+分析利用函数的奇偶性、周期性
+
+复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外．
+
+解 $f ( x ) = \sin ( \cos x ) + \cos ( \sin x )$ 为偶函数，故 $f ^ { ( 5 ) } ( x )$ 为奇函数，因为f(x)的周期为2π，故 $f ^ { ( 5 ) } ( 2 \pi ) =$ $f ^ { ( 5 ) } ( 0 ) = 0$
+
+例3.2 设f(x)是二阶可导且以2为周期的奇函数， $f \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) > 0 , f ^ { \prime } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) > 0$ ，记 $M = f \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right)$ $N = f ^ { \prime } { \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } , K = f ^ { \prime } ( 0 )$ .则（ ）（A) $M < N < K$ (B) $M > N > K$ (C) $M < K < N$ (D) $M > K > N$
+
+## 解 应选(C).
+
+由f(x)为奇函数，则 $f \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = - f \left( \frac { 1 } { 2 } \right) < 0$ .根据例3.1(B)选项的结论，知f'(x)为偶函数，由例3.1(A)选项的结论，知 $f ^ { \prime \prime } ( x )$ 为奇函数（事实上，若f(x)无穷阶可导，则每求导一次，奇偶性即互换一次），由 $f ^ { \prime \prime } ( x )$ 存在，故 $f ^ { \prime \prime } ( 0 ) { = } 0$ 必背结论
+
+又 $f ^ { \prime } { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) } > 0$ ，由例3.1(C)选项的结论，知f'(x)也是以2为周期的周期函数，则 $f ^ { \prime } \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) =$ $f ^ { \prime } \left( { \frac { 3 } { 2 } } - 2 \right) = f ^ { \prime } \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) = f ^ { \prime } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) > 0$ ，故 $f { \Biggl ( } - { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggr ) } < f ^ { \prime \prime } ( 0 ) < f ^ { \prime } { \Biggl ( } { \frac { 3 } { 2 } } { \Biggr ) }$ 即 $M < K < N$ ，应选(C).
+
+例3.3 设f(x)在x=0的某邻域内有定义，并且 $| f ( x ) | { \leqslant } 1 { - } \cos x$ ，则f(x)在x=0处（ ）
+
+(A)极限存在但不连续 (B)连续但不可导(C)可导且f'(0)=0 (D)可导且 $f ^ { \prime } ( 0 ) \neq 0$
+
+## 解 应选(C).
+
+可分为三个层次去做题.
+
+第一层次：夹逼准则找极限.
+
+因为 $0 \leqslant { \big | } f ( x ) { \big | } \leqslant 1 - \cos x$ ，且 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } ( 1 - \cos x ) = 0$ ，所以由夹逼准则知 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \left| f ( x ) \right| = 0$ ，故 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = 0$
+
+第二层次：特殊点找函数值.
+
+将x=0代人所给不等式，有 $\vert f ( 0 ) \vert { \leqslant } 1 { - } \cos 0 { = } 0$ ，所以f(0)=0，故 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = f ( 0 )$ ，得f(x)在 x=0处连续，且
+
+$$
+\mid f ( x ) - f ( 0 ) \mid = \mid f ( x ) - 0 \mid = \mid f ( x ) \mid \leqslant 1 - \cos x ~ .
+$$
+
+第三层次：夹逼准则找极限，此时极限是导数的定义.
+
+$$
+0 { \leqslant } \left| \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } \right| { \leqslant } \frac { 1 - \cos x } { | x | } ~ .
+$$
+
+因为 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { 1 - \cos x } { \left| x \right| } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } } { \left| x \right| } } = 0$ ，再次使用夹逼准则，有 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \left| { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } \right| = 0$ ，也即 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = 0$ 故f'(0)=0，应选(C).
+
+方法总结）f(x)是抽象函数，利用抽象函数和具体函数的关系式，通过具体函数的信息去求抽象函数的点信息：
+
+例3.4 设函数 $f ( x ) = ( \mathbf { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathbf { e } ^ { 2 x } - 2 ) { \cdots } ( \mathbf { e } ^ { n x } - n )$ ，其中n为正整数，则f'(0)=（）.(A) $( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !$ (B) $( - 1 ) ^ { n } ( n - 1 ) !$ (C) $( - 1 ) ^ { n - 1 } n !$ (D) $( - 1 ) ^ { n } n !$
+
+## 解 应选(A).
+
+关于多项式相乘函数在一个点处的导数问题
+
+方法一利用导数的定义，有
+
+$$
+{ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { n x } - n ) - 0 } { x } } } & { } \\ { = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } { x } } \cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } [ ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { n x } - n ) ] = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! } & { . } \end{array} }
+$$
+
+方法二公式法.
+
+$$
+f ^ { \prime } ( x ) = ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ^ { \prime } ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } x } - n ) + ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) ^ { \prime } \cdots ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } x } - n ) + \cdots + ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } x } - n ) ^ { \prime } ,
+$$
+
+故 $; f ^ { \prime } ( 0 ) = ( 1 - 2 ) \cdots ( 1 - n ) + 0 + \cdots + 0 = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !$
+
+方法三 令 $g ( x ) = ( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 ) ( \mathrm { e } ^ { 3 x } - 3 ) \cdots ( \mathrm { e } ^ { n x } - n )$ （令不为0的项为g(x)），则 $f ( x ) = ( { \mathrm { e } } ^ { x } - 1 ) g ( x )$ ，于是$f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname { e } ^ { x } g ( x ) + ( \mathbf { e } ^ { x } - 1 ) g ^ { \prime } ( x )$ ，故 $f ^ { \prime } ( 0 ) = g ( 0 ) + 0 = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !$
+
+注(1)多项相乘不建议用方法二，一方面多项相乘公式不一定知道，另一方面就算知道公式，计算也很烦琐.
+
+（2）针对方法三，关键： $\mathbf { e } ^ { 0 } - 1 = 0 , ( \mathbf { e } ^ { 0 } - 2 ) ( \mathbf { e } ^ { 0 } - 3 ) \cdots ( \mathbf { e } ^ { 0 } - n ) \neq 0$
+
+必背公式： $( u \nu ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } \nu + u \nu ^ { \prime } .$
+
+必背公式应用： $\left[ ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) g ( x ) \right] ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { x } g ( x ) + ( \mathrm { e } ^ { x } - 1 ) g ^ { \prime } ( x )$
+
+推广公式： $( u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ) ^ { \prime } = u _ { 1 } ^ { \prime } u _ { 2 } u _ { 3 } + u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 3 } + u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ^ { \prime }$
+
+例3.5 设f(x)在x=a处连续， $F ( x ) = f ( x ) \vert x - a \vert$ ，则f(a)=0是F(x)在 $x = a$ 处可导的）此题可当结论直接记位
+
+(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
+
+分析 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 存在其左导数 $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 和右导数 $f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 均存在且相等．
+
+解 应选(A).
+
+由题意得，
+
+$$
+F ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - ( x - a ) f ( x ) , } & { x < a , } \\ { 0 , } & { x = a , } \\ { ( x - a ) f ( x ) , } & { x > a . } \end{array} \right. }
+$$
+
+又
+
+$$
+F _ { - } ^ { \prime } ( a ) = \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { - } } \frac { - ( x - a ) f ( x ) } { x - a } = - \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { - } } f ( x ) = - f ( a ) ,
+$$
+
+$$
+F _ { _ { + } } ^ { \prime } ( a ) = \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { + } } { \frac { ( x - a ) f ( x ) } { x - a } } = \operatorname * { l i m } _ { x  a ^ { + } } f ( x ) = f ( a ) ,
+$$
+
+故f(a)=0是 $F ( x )$ 在x=a处可导的充要条件，应选(A).
+
+例3.6 设函数
+
+$$
+f _ { 1 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| ,
+$$
+
+$$
+f _ { 2 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \left. x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - x + 2 \right. ,
+$$
+
+$$
+f _ { 3 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \left| x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 \right| ,
+$$
+
+将函数f(x)(i=1,2,3)的不可导点个数记为 $n _ { i }$ ，则（）.
+
+（A) $n _ { 2 } < n _ { 1 } < n _ { 3 }$ (B) $n _ { 1 } < n _ { 2 } < n _ { 3 }$
+
+(C） $n _ { 3 } < n _ { 2 } < n _ { 1 }$
+
+(D) $n _ { 2 } < n _ { 3 } < n _ { 1 }$
+
+分析该题是例3.5结论的具体应用.
+
+## 解 应选(A).
+
+由例3.5可知，若(x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处连续，则 $f ( x ) = \big | x - x _ { 0 } \big | \varphi ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处可导的充分必要条件是$\varphi ( x _ { 0 } ) = 0$ 因式分解：
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \quad \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| } \\ & { \qquad \quad } \\ & { \qquad \quad = \left| x ^ { 2 } ( x + 1 ) - 2 ( x + 1 ) \right| } \\ & { \qquad \quad = \left| ( x ^ { 2 } - 2 ) ( x + 1 ) \right| } \\ & { \qquad \quad = \left| x + 1 \right| \left| x + \sqrt { 2 } \right| \left| x - \sqrt { 2 } \right| } \\ & { \qquad \quad f _ { 1 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \frac { \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| } { \left| x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 2 x - 2 \right| } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| ( x + \sqrt { 2 } ) ( x - \sqrt { 2 } ) ( x + 1 ) \right| } \\ & { \qquad \quad = ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x + \sqrt { 2 } \right| \left| x - \sqrt { 2 } \right| \left| x + 1 \right| \ . } \end{array}
+$$
+
+当 $f _ { 1 } ( x ) = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 1 \right| \right] = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 1 } ( x )$ 时， $\mathscr { Q } _ { 1 } ( - \sqrt { 2 } ) \neq 0$ ，故 $x = - { \sqrt { 2 } }$ 是 $f _ { 1 } ( x )$ 的不可导点.
+
+当 $f _ { 1 } ( x ) = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 1 \right| \right] = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 2 } ( x )$ 时， $\mathscr { Q } _ { 2 } ( \sqrt { 2 } ) \neq 0$ ，故 $x = { \sqrt { 2 } }$ 是 $f _ { 1 } ( x )$ 的不可导点 因式分解
+
+$$
+{ \begin{array} { r l r l } { \ i \ . } & { } & & { \cdots \ } & { \cdots } \\ & { f _ { 2 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) \underbrace { { \Big | } x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - { \overline { { x + 2 { \Big | } } } } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) { \big | } ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) { \big | } } _ { = ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 1 } } & & { = { \Big | } x ^ { 2 } ( x - 2 ) - ( x - 2 ) { \Big | } } \\ & { } & & { = ( x - 1 ) ( x - 1 ) { \Big | } x - 2 { \Big | } { \Big | } x - 1 { \Big | } { \Big | } x + 1 { \Big | } \ . } & & { = { \Big | } ( x - 2 ) ( x ^ { 2 } - 1 ) { \Big | } } \\ & { } & & { = { \Big | } ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) { \Big | } \ . } \end{array} }
+$$
+
+当 $f _ { 2 } ( x ) = | x - 2 | [ ( x + 1 ) ( x - 1 ) | x - 1 | | x + 1 ] = | x - 2 | Q _ { 3 } ( x )$ 时， $Q _ { 3 } ( 2 ) \neq 0$ ，故x=2是f(x)的不可导点.
+
+$$
+{ \begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( x ) = ( x ^ { 2 } - 1 ) { \frac { { \big | } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 { \big | } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) { \big | } ( x + { \sqrt { 2 } } ) ( x - { \sqrt { 2 } } ) ( x + 3 ) { \big | } } { { \big | } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 2 x - 6 { \big | } } } \qquad { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } \qquad \qquad } \\ & { \qquad = ( x + 1 ) ( x - 1 ) { \big | } x - { \sqrt { 2 } } { \big | } { \big | } x + { \sqrt { 2 } } { \big | } | x + 3 { \big | } ~ . } \\ & { \qquad = | x ^ { 2 } - 2 ( x + 3 ) { \big | } ~ } \end{array} }
+$$
+
+当 $f _ { 3 } ( x ) = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 3 \right| \right] = \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 4 } ( x )$ 时， $\mathscr { Q } _ { 4 } ( - \sqrt { 2 } ) \neq 0$ =(x-√2)(x+√2)(x+3)
+
+$$
+x = - { \sqrt { 2 } }
+$$
+
+$$
+f _ { 3 } ( x )
+$$
+
+当 $f _ { 3 } ( x ) = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x + { \sqrt { 2 } } \right| \left| x + 3 \right| \right] = \left| x - { \sqrt { 2 } } \right| Q _ { 5 } ( x )$ 时， $\mathcal { Q } _ { s } ( \sqrt { 2 } ) \neq 0$ ，故 $x = { \sqrt { 2 } }$ 是 $f _ { 3 } ( x )$ 的不可导点．
+
+当 $f _ { 3 } ( x ) = \left| x + 3 \right| \left[ ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left| x - \sqrt { 2 } \right| \left| x + \sqrt { 2 } \right| \right] = \left| x + 3 \right| Q _ { 6 } ( x )$ 时, $Q _ { 6 } ( - 3 ) \neq 0$ ，故x=-3是 $f _ { 3 } ( x )$ 的不可导点.
+
+所以 $f _ { 1 } ( x )$ 有两个不可导点 $x = - \sqrt { 2 }$ $x = { \sqrt { 2 } }$ ： $f _ { 2 } ( x )$ 有一个不可导点x=2； $f _ { 3 } ( x )$ 有三个不可导点$x = - { \sqrt { 2 } }$ $x = { \sqrt { 2 } }$ ，x=-3.于是, $n _ { 2 } < n _ { 1 } < n _ { 3 }$ ，应选(A).
+
+（1）f（x）与|f（x）连续、可导的关系总结
+
+①设f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续，则|f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续；反之不真．
+
+②设f（x）在 $x _ { 0 }$ 处可导，则
+
+a. $f ( x _ { 0 } ) \neq 0 \Rightarrow { \big | } f ( x ) { \big | }$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导且 $\begin{array} { r } { \Big [ \big | f ( x ) \big | \Big ] ^ { \prime } \Big | _ { x = x _ { 0 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , \quad f ( x _ { 0 } ) > 0 , } \\ { - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , f ( x _ { 0 } ) < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}$
+
+$f ( x _ { 0 } ) = 0$ $\left\{ { \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 \Rightarrow { \big | } f ( x ) { \big | } } \\ { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0 \Rightarrow { \big | } f ( x ) { \big | } } \end{array} } \right.$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导且 $[ | f ( x ) | ] ^ { \prime } | _ { x = x _ { 0 } } = 0$ 在 $x _ { 0 }$ 处不可导．有
+
+（2) f（x）在 $x _ { 0 }$ 处连续 $\Rightarrow \left| f ( x ) \right|$ 在 $x _ { 0 }$ 处必连续，为什么？
+
+因为在 $x _ { 0 }$ 处，f（x)的微观性态图（放大足够多倍）如图3-5（a)-（c）所示
+
+![](images/822c4ade79714b47d1df63f60221b117238a06c7c5cafad8354515475b2e0e8e.jpg)  
+（a)
+
+![](images/55c90bd678a99138b92883564e61603789947c452700e276ba7222682e643814.jpg)  
+（b)
+
+![](images/19639b2e0d77a73933e131f020721e1a6a65394fbe18dcd65c4dc615d55d36a2.jpg)  
+C)
+
+而|f（x）如图3-6（a）（c）所示
+
+![](images/7951a476e0e3312e915e0c69fd4a8e610397a731ef54101e7fe16182350f1295.jpg)  
+图3-5
+
+（a)  
+![](images/15b8ac03b72994aded10a891a11297276def335e1d3d58b060a1ffc31016cffa.jpg)  
+(b)
+
+图3-6  
+![](images/168919ffd5b952f3d8ea278fe8617a4ab259e7a03a9123876fb928f017c0b0f0.jpg)  
+（C）
+
+点点相依相偎的图3-5(a)-（c)，加上绝对值后依然相依相偎成为图3-6（a)-（c)，故成立（无论是还是，只要相依相偎即可）.为什么反过来不对？很简单，你看|f(x)相依相偎，连续[见图3-7(b)]，可f(x)却相距甚远，自然不连续[见图3-7(a)].
+
+![](images/ac94010541b886c0fb2324776ba18c53ad42071811fe44c21168f78e3ac2417d.jpg)  
+(a)
+
+![](images/41c34f2a4e99f8dadb96ea08e8826eb6a75555b743318864536baf743e2cd331.jpg)  
+图3-7  
+(b)
+
+（3）f（x）在 $\boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处可导 $\neq \left| f ( x ) \right|$ 在 $x _ { 0 }$ 处可导
+
+比如，f（x)在 $x _ { 0 }$ 点处的微观性态图如图3-8（a）所示（放大足够多倍），其在 $x _ { 0 }$ 处可导，则$\left| f ( x ) \right|$ 如图3-8（b）所示
+
+![](images/272efbdfe5ed51e80f29acdc916e0ef722944294b8723310008fa645013b674e.jpg)  
+（a)
+
+![](images/4f2bf964b84dd6b397164a0d094ff56e711f88b486126f97d6a9b00c4b93d782.jpg)  
+图3-8  
+(b)
+
+如果说连续，f（x)在 $x _ { 0 }$ 处连续⇒|f（x））在 $x _ { 0 }$ 处连续，是的，点与点就是相依相偎在一起的，正如(2)所述.但说可导，不仅要相依相偎，而且要 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ 存在（唯一的数），也就是f(x)相依相偎到 $f ( x _ { 0 } )$ 的速度要不比 $x \to x _ { 0 }$ 的速度慢.（①若快，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = 0$ ；②若同阶，则$\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = A \neq 0 \ .$
+
+请看图3-8(a)和图3-8(b)，对于|f(x)， $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { \left| f ( x ) \right| - \left| f ( x _ { 0 } ) \right| } { x - x _ { 0 } } } < 0 ( \searrow )$ 而 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { \left| f ( x ) \right| - \left| f ( x _ { 0 } ) \right| } { x - x _ { 0 } } } > 0$ $^ ( . . . \cdot ) ,$ 故 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { \left| f ( x ) \right| - \left| f ( x _ { 0 } ) \right| } { x - x _ { 0 } } }$ 不存在，|f(x）|在 $x _ { 0 }$ 处不可导，即若f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导， $f ( x _ { 0 } ) = 0$ $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ ，则|f(x)|在 $x _ { 0 }$ 处必不可导.反例同(2).
+
+现在，试试看，你应该可以清楚回答了：若f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导，且 $f ( x _ { 0 } ) \neq 0$ 则|f（x）在 $x _ { \mathfrak { o } }$ 处必可导，如图3-9（a)，图3-9(b)所示
+
+![](images/c4e70c5aba300e2d78933c4e117dd5b512629726f2bb56e09b8e7976c226963c.jpg)  
+(a)
+
+![](images/f0b0016fda11d80f6e239ab912855f112bced170cd07ad3ef21f54831c610b2b.jpg)  
+(b)  
+图3-9
+
+提示：对于连续或可导函数，只要 $f ( x _ { 0 } ) \ ( < ) \ 0$ ，无论 $f ( x _ { 0 } )$ 与0的距离有多小，它旁边相依相偎的f(x）一定 $( { \stackrel { > } { < } } ) 0$ ，考研中常用这一点
+
+例3.7 设函数f(x)处处可导，f(0)=-1，f(0)=1，令 $g ( x ) = \lvert f ( x - 1 ) \rvert$ ，则（）. (A)g(x)在x=0处必可导 (B)g(x)在x=0处必不可导 (C)g(x)在x=1处必可导 (D)g(x)在x=1处必不可导
+
+## 解 应选(C).
+
+因为f(x)处处可导，所以 $g ( x ) = \lvert f ( x - 1 ) \rvert$ 可能不可导的点有且仅有f(x-1)=0的点，而当x=0时，f(0-1)的值不得而知，故g(x)可能可导也可能不可导；当x=1时，f(1-1)=f(0)≠0，所以g(x)在x=1处必可导.
+
+## ②导数的几何意义
+
+函数y=f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的导数值 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 就是曲线 $y = f ( x )$ 在点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处切线（见图3-10）的斜率k，即 $k = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，于是曲线y=f(x)在点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处的切线方程为 $y - y _ { 0 } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } )$
+
+![](images/0648dd27cfc9daade6bdec3c980ea3b08e4e8ca6e7e339ce2b5df46314ec9a6b.jpg)
+
+什么是切线？它就像一把锋利无比的刀，“嗖”地切过点$( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，在此瞬间，切线的方向就是点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 运动的方向.想想看，掷铁饼（作为质点）时，运动员旋转轨迹的每一点的切线方向就是铁饼那一瞬时的运动方向.在那一瞬时脱手，铁饼就会沿着该点的切线方向飞出.
+
+图3-10
+
+法线方程为
+
+$$
+y - y _ { 0 } = - \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } ( x - x _ { 0 } ) ( f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0 ) ~ .
+$$
+
+注切线存在不代表导数存在，但导数存在切线一定存在注例1研究y=f(x)=|x在x=0处的切线问题.解从x=0出发，取增量△x，有 $\Delta y = f ( 0 + \Delta x ) - f ( 0 ) = \left| \Delta x \right|$ $\Delta x > 0$ 时， $\Delta y = \Delta x$ $f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = 1 \frac { \mathrm { i } \mathcal { Z } } { - } k _ { + }$ $\Delta x < 0$ 时， $\Delta y = - \Delta x$ $f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = - 1 \frac { \mathrm { i } \overrightarrow { \mathrm { i } } } { \mathrm { i } } k _ { - }$
+
+![](images/b53417ebaa0957764c7c217616f41034718295abd6b4ae1a4399e5040409e99d.jpg)  
+图3-11
+
+如图3-11所示，曲线 $y = f ( x ) = \left| x \right|$ 在原点0处出现了两条单侧切线，这两条单侧切线形成了一  
+个角，数学上称这里的原点O为一个角点.不过，虽然此曲线在角点0处有两条单侧切线，但按照  
+前面讲到的f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处可导的充要条件，这里的 $f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = k _ { + } \neq k _ { - } = f _ { - } ^ { \prime } ( 0 )$ ，显然f(0)不存在，所以  
+我们说 $y = f ( x ) = \left| x \right|$ 在原点O处不可导，也就没有切线.注例2研究 $y = f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 在 x=0处的切线问题
+
+解显然，在x=0处 $\frac { \Delta y } { \Delta x } = \frac { f ( 0 + \Delta x ) - f ( 0 ) } { \Delta x } = \frac { ( \Delta x ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { \Delta x } = \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } .$
+
+当 $\Delta x > 0$ □ $f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \sqrt [ 3 ] { ( \Delta x ) ^ { 2 } } }$ （其中(△x)²>0）
+
+$\Delta x < 0$ 时， $f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } = + \infty$ +
+
+![](images/2d2b4deddffef589a3dc86680a26bbf9d7270a087c5380672ecd28a2eab01b3b.jpg)
+
+这样的结果称为无穷导数：又±被叫作广义的数，所以无穷导数在有些数学场合也可被视为导数存在的特殊情形.不过要强调的是，学习“高等数学”这门课程的考生，还是将无穷导数视为导数不存在为好，因为这是“高等数学”里的“规矩”.
+
+图3-12
+
+还要指出，如图3-12和图3-13所示， $y = f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 与 $y = f ( x ) = - x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$ 銀在 $\scriptstyle x = 0$ 处有垂直于x轴的切线 $\scriptstyle x = 0$ .我们说，若曲线 $y = f ( x )$ 在点 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 处 有垂直于x轴的切线，则等价于
+
+![](images/9979e3c9797a6d9723c1fb014fc277cd7c62509a06beb2d3510b4a8d7e56b90a.jpg)
+
+$$
+f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = + \infty \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } - \infty ( \frac { 1 } { 3 } \pi \mp \frac { \Xi } { 3 } \frac { 1 5 } { 3 } + \frac { 3 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } ) .
+$$
+
+图3-13
+
+总结： $\enclose{circle} { 1 } f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ ，出现角点（尖点），则f（x）在 $x _ { 0 }$ 处不可导，没有切线；
+
+②f（x）在点 $x _ { 0 }$ 的导数是无穷导数时，在该点有切线但无导数。
+
+例3.8 设曲线 $y = f ( x ) = x ^ { n }$ 在点(1,1)处的切线与x轴的交点为 $( \xi _ { n } , 0 )$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( \xi _ { n } ) =$ 分析由 $f _ { n } ( x ) = x ^ { n }$ （其中 $\{ f _ { n } ( x ) \}$ 是函数列），知
+
+$$
+\begin{array} { c } { { f _ { 1 } ( x ) = x ^ { 1 } \Rightarrow f _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) = 1 \ , } } \\ { { { } } } \\ { { f _ { 2 } ( x ) = x ^ { 2 } \Rightarrow f _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 ) = 2 \ , } } \\ { { { } } } \\ { { \cdots \cdots \cdots } } \\ { { { } } } \\ { { f _ { n } ( x ) = x ^ { n } \Rightarrow f _ { n } ^ { \prime } ( 1 ) = n \ . } } \end{array}
+$$
+
+解 应填 $\frac { 1 } { \mathbf { e } }$
+
+由于 $f ^ { \prime } ( 1 ) = { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } { \bigg | } _ { x = 1 } = n x ^ { n - 1 } { \Big | } _ { x = 1 } = n , n = 1 , 2 , \cdots$ ，故过点(1,1)的切线方程为 $y - 1 = n ( x - 1 )$ 令 $y = 0$ 得 $x = \xi _ { n } = 1 - { \frac { 1 } { n } }$ .于是
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( \xi _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 1 - { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } = { \frac { 1 } { \mathrm { e } } } \ .
+$$
+
+函数f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的二阶导数为
+
+$$
+f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { { \vec { \mathbf { z } } } { \hat { \mathbf { \zeta } } } } { \mathbf { z } } } f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } \ .
+$$
+
+函数f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的n(n为大于2的整数)阶导数为
+
+$$
+f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ^ { ( n - 1 ) } ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ^ { ( n - 1 ) } ( x _ { 0 } ) } { \Delta x } } { \frac { { \bar { \mathbf { g } } } { \bar { \mathbb { X } } } } { \mathbf { \bar { \mathbf { X } } } } } { \Bigg [ } f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ^ { ( n - 1 ) } ( x ) - f ^ { ( n - 1 ) } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \Bigg ] } \cdots
+$$
+
+写法： $f ^ { \prime } ( x ) , f ^ { \prime } ( x ) , f ^ { \prime \prime } ( x )$ ，当 $n \geqslant 4$ 时，要写 $f ^ { ( n ) } ( x )$
+
+注(1）如果f（x）在点 $x _ { \mathfrak { o } }$ 处有二阶导数，则f(x)在 $x _ { 0 }$ 的某个邻域内有一阶导数且 $f ^ { \prime } ( x )$ 在 $x _ { 0 }$ 处连续．
+
+$$
+\mathcal { Q } \star o f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } = a \ ( \rlap / \ast \frac { \lambda } { \lambda } \neq \pmb { \mathscr { Q } } ) ,
+$$
+
+$$
+\emptyset | \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } [ f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ] = \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } ( x - x _ { 0 } ) = 0 \ .
+$$
+
+$$
+\ell | \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \ , \frac { 1 } { \ell x } f ^ { \prime } ( x ) \neq x _ { 0 } \ \xi ( \cdot \pm \frac { \mu } { 4 } \ k ) \neq
+$$
+
+$$
+7 9 0 0 k m - 1 4 9 = 3 1 9 1 0 - 1 1 9 1 = 3 1 3 9 k m
+$$
+
+（2）如果f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处有n阶导数，则f（x）在 $\boldsymbol { x } _ { 0 }$ 的某个邻域内有1\~（n-1）阶的各阶导数.
+
+总结：f（x）存在=f（x）在 $x _ { 0 }$ 附近有定义且在 $x _ { 0 }$ 处连续；
+
+$f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } )$ 存在→f（x）在 $x _ { 0 }$ 附近有定义且在 $x _ { 0 }$ 处连续；
+
+$f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) \mathcal { H } \mathcal { H } \Rightarrow f ^ { ( n - 1 ) } ( x )$ 在 $x _ { 0 }$ 附近有定义且在 $x _ { 0 }$ 处连续，
+
+例3.9 设f(x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处二阶可导，且 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 , f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ .证明：
+
+(1)若 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) < 0$ ，则f(x)在 $x _ { 0 }$ 处取得极大值;
+
+(2)若 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0$ ，则f(x)在 $x _ { 0 }$ 处取得极小值.
+
+分析概念题.
+
+必背公式来源：函数极限的局部保号性.
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = A < 0 \xrightarrow { x \in ( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ) \bigcup ( x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta ) } f ( x ) < 0 \ .
+$$
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = A > 0 \xrightarrow { x \in ( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ) \bigcup ( x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta ) } f ( x ) > 0 \ .
+$$
+
+必背公式应用：
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \overset { < } ( } > 0 \Rightarrow { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } { \overset { < } ( } > ) ^ { 0 } \ .
+$$
+
+![](images/8521913ab3cfc0245cb4df8ae1120f12d3cf5ae288e8718db0c4d54e19790f88.jpg)
+
+(1)因 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) < 0$ ，故按二阶导数的定义有
+
+$$
+f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } < 0 \ .
+$$
+
+根据函数极限的局部保号性，存在 $x _ { 0 }$ 的去心邻域 $\mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ ，当 $x \in \mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时，有 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } < 0$ 因为 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0$ ，所以上式为 ${ \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { x - x _ { 0 } } } < 0$ .从而当 $x \in \mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时，f(x)与 $\boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 符号相反.当 $x - x _ { 0 } < 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ；当 $x - x _ { 0 } > 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ .根据判别极值的第一充分条件，f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处取得极大值.
+
+(2)因 $f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0$ ，故按二阶导数的定义有
+
+$$
+f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } \frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } > 0 .
+$$
+
+根据函数极限的局部保号性，存在 $x _ { 0 }$ 的去心邻域 $\mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ ，当 $x \in \overset { \circ } { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时，有 $\frac { f ^ { \prime } ( x ) - f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } > 0$ 因为 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0$ ，所以上式为 ${ \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { x - x _ { 0 } } } > 0$ .从而当 $x \in \mathring { U } ( x _ { 0 } , \delta )$ 时， $f ^ { \prime } ( x )$ 与 $\boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 符号相同.当 $x - x _ { 0 } < 0$ 时，$f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ；当 $x - x _ { 0 } > 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ .根据判别极值的第一充分条件，f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处取得极小值.
+
+## 4微分的概念 一元函数可徽可导
+
+(1)引例.
+
+如图3-14所示，设正方形边长为1，当其边长增加△x时，它的面积S增加了
+
+$$
+\begin{array} { c }   \overline { { { \oplus } } } \vec { \mathfrak { q } } . \vec { \mathfrak { x } } \langle \mathcal { U } \not \circ \not \exists \ \frac { 1 } { 2 } \not \equiv \not \underline { { { \langle \not \circ \mathfrak { u } \not \circ \not \langle \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ \mathit { u } \not \circ } } } \\ { { \neg \not \equiv \left( 1 + \Delta x \right) ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } = \underline { { { 2 \Delta x } } } + \left( \Delta x \right) ^ { 2 } \ . \ \not \simeq \left( 1 + \Delta x \right) ^ { 2 } . } } \end{array}
+$$
+
+![](images/1f20974d59e4a4b4962b1f63f161063a6bae3f7536599f9351a9cb8c31810a8c.jpg)
+
+上述面积的增量△S由两部分组成，一部分是2△x（图3-14中两个小长
+
+图3-14
+
+方形的面积），它是△x的一次项；另一部分是 $( \Delta x ) ^ { 2 }$ （图3-14中右上角小正方形的面积），它满足$\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { ( \Delta x ) ^ { 2 } } { \Delta x } } = 0$ ，即 $( \Delta x ) ^ { 2 } = o ( \Delta x )$ .故 $\Delta S = 2 \Delta x + o ( \Delta x )$ ,2△x为增量的主要部分，也叫线性主部， $o ( \Delta x )$ 为△x→0时△x的高阶无穷小，是误差，当△x足够小时，有 $\Delta S \approx 2 \Delta x$
+
+(2)概念.
+
+设函数 $y = f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 的某邻域内有定义，且 $x _ { 0 } + \Delta x$ 在该邻域内，对于函数增量
+
+$$
+\Delta y = f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) ,
+$$
+
+若存在与△x无关的常数A，使得
+
+$$
+\Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x ) \ , \qquad \Delta y = \mathrm { d } y + o ( \Delta x )
+$$
+
+其中o(△x)是在△x→0时比△x更高阶的无穷小，则称f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处可微，并把增量的主要部分A△x称为线性主部，也叫作f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处的微分，记 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = A \Delta x$ 或 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \mathrm { d } x$ 1
+
+可微可导的证明：
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { A \Delta x } { \Delta x } + \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { O ( \Delta x ) } { \Delta x } = A \mathrm { ~ , } } \\ & { \oplus \displaystyle \# \# \mathcal { C } _ { q } ^ { \dagger } \neq \omega \mathrm { d } y \vert _ { x = x _ { 0 } } = A \ast \Delta x = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x \mathrm { ~ , } } \\ & { \stackrel { \mathcal { K } } { \to } \displaystyle \frac { \mathrm { d } x = \Delta x } { \sqrt { \mathrm { ~ } } } , \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { \mathrm { ~ } } } \mathbb { d } y \vert _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \mathrm { d } x } \\ & { \stackrel { \mathrm { A r ~ o d u } } { \to } \mathrm { d } x + o ( \Delta x ) \mathrm { ~ , ~ } \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \mathrm { ~ , } \Delta x = \mathrm { d } x } \\ & { \qquad \quad \times \mathrm { d } \mathrm { ~ 1 } } \\ & { \qquad \mathrm { 1 } \ast \Delta x \quad 0 } \end{array}
+$$
+
+## 注（1）可微的判别
+
+①写增量 $\Delta y = f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } )$
+
+②写线性增量 $A \Delta x = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x$
+
+③作极限 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y - A \Delta x } { \Delta x } } \Leftrightarrow \Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x )$
+
+若该极限等于0，则y=f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处可微，否则不可微。
+
+(2)从上述判别步骤可以看出，用形式简单的“线性增量 $A \Delta x ^ { n }$ 去代替形式复杂的“增量 $\Delta y ^ { \prime \prime }$ 且其误差 $\ " \Delta y - A \Delta x \ "$ 是o△x)，这就是说，用“简单的量”代替了“复杂的量”，且产生的误差又可以忽略不计，这就是可微的含义.
+
+>判别可微首先考虑（3)，若没有则结合厂（x）的信息考虑（1）
+
+(3) ${ } ^ { \mathfrak { a } } f ( x )$ 在点 $x _ { 0 }$ 处可微”与“f(x)在点 $x _ { \mathfrak { o } }$ 处可导”互为充要条件，故判别f(x）在点 $x _ { 0 }$ 处是否可微可以转化为判别其在点 $x _ { 0 }$ 处是否可导，这样的话考生会比较熟悉.
+
+（4）可微的几何意义
+
+若f（x）在点 $x _ { 0 }$ 处可微，则在点 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 附近可以用切线段近似代替曲线段，这是可微的几何意义。  
+(5)图3-15可以较好地帮助考生理解以上论述.
+
+![](images/0f7c17ea5fe753295e2b83c63cabce5bd3bf69c98ff238360868cb45341c624f.jpg)  
+图3-15
+
+例3.10 设函数y=f(x)在任意点x处的增量 $\Delta y = \frac { y \Delta x } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } + o ( \Delta x )$ ，且f(0)=1，则$y = f ( x )$ 在点x=0处的微分dy=（）.
+
+(A)0 (B)dx (C)2dx (D) 3dx
+
+分析概念题，转化成导数 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x }$ 代入数值即可.
+
+## 解 应选(B).
+
+由 $\Delta y = \frac { y \Delta x } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } + o ( \Delta x )$ ，知 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = y ^ { \prime } = \frac { y } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$ ，又f(0)=1，可得y(0)=1，进而 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = 0 } =$ $y ^ { \prime } ( 0 ) \mathrm { d } x = \mathrm { d } x$ ，应选(B).
+
+例3.11 设函数f(u)可导，且 $y = f ( x ^ { 2 } )$ ，当自变量x在x=-1处取得增量 $\Delta x = - 0 . 1$ 时，相应的函数增量△y的线性主部为0.1，则f'(1)=（）.(A)-1 (B)0.1 (C)0.5 (D)1
+
+分析概念题.对复合函数 $y = f [ g ( x ) ]$ 求导，有 $y ^ { \prime } { = } f ^ { \prime } [ g ( x ) ] { \bullet } g ^ { \prime } ( x )$
+
+必背公式来源： $\Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x )$ ，其中 $\mathrm { d } y = A \Delta x = y ^ { \prime } \mathrm { d } x$ 为线性主部.
+
+本题依然是考查微分的定义.函数的微分是函数增量的线性主部，且 $\mathrm { d } y = y ^ { \prime } \mathrm { d } x = y ^ { \prime } \Delta x$ ，而
+
+$$
+\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } ( x ^ { 2 } ) = 2 x f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x = 2 x f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \Delta x ,
+$$
+
+因此，由0.1=-2f'(1)·(-0.1)，可得f'(1)=0.5，故选(C).
+
+题一练设函数f(x)在x=1处可导，且△f(l)是f(x)在增量为△x时的函数值增量，则 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta f ( 1 ) - \mathrm { d } f { \big | } _ { x = 1 } } { \Delta x } } =$ （ ）.(A)f() (B)1 (C）8 (D)0
+
+分析 $\Delta y = \mathrm { d } y + o ( \Delta x )$ ，则 $\Delta y - \mathrm { d } y = o ( \Delta x )$ ，故 $\Delta f ( x ) - \mathrm { d } [ f ( x ) ] = o ( \Delta x )$
+
+由于 $\Delta f ( 1 ) = f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 )$ ，故 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta f ( 1 ) } { \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } } = f ^ { \prime } ( 1 )$ ，又
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \mathrm { d } f \big | _ { x = 1 } } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ^ { \prime } ( 1 ) \mathrm { d } x } { \Delta x } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { f ^ { \prime } ( 1 ) \Delta x } { \Delta x } = f ^ { \prime } ( 1 ) ,
+$$
+
+于是，原式 $= f ^ { \prime } ( 1 ) - f ^ { \prime } ( 1 ) = 0$
+
+注在微分概念中，由 $\Delta y = A \Delta x + o ( \Delta x )$ 得 $\mathrm { d } y = A \Delta x$ 故由 $\Delta x = 1 \cdot \Delta x + o ( \Delta x )$ 得 $\mathrm { d } x = 1 \cdot \Delta x$ 也就有$\mathrm { d } y = A \Delta x = A \mathrm { d } x$ 线性主部
+
+## 习题
+
+3.1设 $f ( x ) = \left\{ { \frac { 1 - \cos x } { \sqrt { x } } } , x > 0 , \right. \nonumber$ 其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处（ ）(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导 (D)可导
+
+3.2设函数 $f ( x ) = \left| x ^ { 3 } - 1 \right| \varphi ( x )$ ,其中φ(x)在x=1处连续,则(l)=0是f(x)在x=1处可导的（ ）.(A)充分必要条件 (B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
+
+3.3设函数f(x)可导，且曲线y=f(x)在点 $( x _ { 0 } , f ( x _ { 0 } ) )$ 处的切线与直线y=2-x垂直，则当△x→0时，该函数在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处的微分dy是（ ）.(A)与△x同阶但非等价的无穷小 (B)与△x等价的无穷小(C)比△x高阶的无穷小 (D)比△x低阶的无穷小
+
+3.4设函数y=f(x)在点 $x _ { 0 }$ 处可导，且 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ .当自变量有增量△x时，函数y=f(x)的增量为Δy，则当△x→0时，Δy-dy是dy的（）.(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶非等价无穷小(D)等价无穷小
+
+3.5设f(x)=(x-a)·φ(x)，其中𝜑(x)连续，则f(a)=
+
+3.6设f(x)满足f(0)=0，且f'(0)存在，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( 1 - { \sqrt { \cos x } } ) } { \ln ( 1 - x \sin x ) } } =$
+
+3.7证明：(1)若F(x)在 $[ x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta ) ( \delta > 0 )$ 连续，在 $( x _ { 0 } , x _ { 0 } + \delta )$ 内可导，当 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } F ^ { \prime } ( x ) \frac { \# \# \# } { \# } A$ 时，有 $F _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = A$
+
+(2)若F(x)在 $( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ] ( \delta > 0 )$ 连续，在 $( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } )$ 内可导，当 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { - } } F ^ { \prime } ( x ) \frac { \# \# \# } { \# } A$ 时，有 $F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = A$
+
+3.8设 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x ^ { 2 } \sin \frac { \pi } { x } , } & { ~ x < 0 , } \\ { \displaystyle A , } & { ~ x = 0 , } \\ { \displaystyle a x ^ { 2 } + b , } & { ~ x > 0 , } \end{array} \right.$ 求常数A,a,b的值，使f(x)在x=0处可导，并求f'(0).
+
+3.9设δ>0,f(x)在[-δ,δ]上有定义，f(0)=1，且满足
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 - 2 x ) + 2 x f ( x ) } { x ^ { 2 } } } = 0 ,
+$$
+
+证明：f(x)在x=0处可导，并求f'(0).
+
+## 解答
+
+3.1(D）解
+
+$$
+f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { 1 - \cos x } { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } = 0 ,
+$$
+
+$$
+f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { x  0 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } g ( x ) } { x } = \operatorname * { l i m } _ { x  0 ^ { - } } x g ( x ) = 0 \ .
+$$
+
+第二个等式利用了g(x)是有界函数这一条件，有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量.由于f(x)在点x=0处的左导数等于右导数，因而f(x)在x=0处可导.
+
+3.2(A）解由(1)=0可知
+
+$$
+f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  1 ^ { + } } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = 0 ,
+$$
+
+$$
+f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  1 } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  1 } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = - \operatorname* { l i m } _ { x  1 } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = 0 ,
+$$
+
+即f(1)=f(l)=0，所以f'(1)=0.
+
+设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以
+
+$$
+f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { + } } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { + } } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = 3 \varphi ( 1 ) ,
+$$
+
+$$
+f _ { - } ^ { \prime } ( 1 ) = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { - } } { \frac { f ( x ) - f ( 1 ) } { x - 1 } } = \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { - } } { \frac { | x ^ { 3 } - 1 | \varphi ( x ) } { x - 1 } } = - \operatorname * { l i m } _ { x  1 ^ { - } } ( x ^ { 2 } + x + 1 ) \varphi ( x ) = - 3 \varphi ( 1 ) ~ .
+$$
+
+由f(1)=f(1)可得，3𝜑(1)=-3𝜑(l)，故𝜑(1)=0，应选(A).
+
+3.3(B）解由题设可知 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 1$ .而 $\left. \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x = \Delta x$ ，因而 $ \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { \mathrm { d } y } { \Delta x } | _ { x = x _ { 0 } } = 1$ ，即当 $\Delta x \to 0$ 时，该函数在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处 $\mathrm { d } y$ 与△x是等价无穷小，故选(B).
+
+3.4(A）解题目给出f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导，考查 $\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y - \mathrm { d } y } { \mathrm { d } y } }$ ，注意，如果f(x)在 $x _ { 0 }$ 处可导，则必定可微分，因此可以由微分的性质入手.
+
+由微分的定义可知 $\Delta y - \mathrm { d } y = o ( \Delta x )$ ，而 $\left. \mathrm { d } y = y ^ { \prime } \mathrm { d } x , \mathrm { d } y \right| _ { x = x _ { 0 } } = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x$
+
+由题设知 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \neq 0$ ，可得
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y - \mathrm { d } y } { \mathrm { d } y } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { o ( \Delta x ) } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x } } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } } \bullet { \frac { o ( \Delta x ) } { \Delta x } } = 0 ,
+$$
+
+故选(A).
+
+3.5φ(a）分析概念题.有的同学用公式法求出f'(a)，但这是错误解法，
+
+$$
+\begin{array} { r } { f ^ { \prime } ( a ) = f ^ { \prime } ( x ) \big | _ { x = a } = \big [ \varphi ( x ) + ( x - a ) \bullet \varphi ^ { \prime } ( x ) \big ] \big | _ { x = a } = \varphi ( a ) + 0 = \varphi ( a ) , } \end{array}
+$$
+
+错误，因为φ(x)仅连续，φ(x)不一定存在！应该用“导数定义”求出.
+
+解导数定义.
+
+$$
+f ^ { \prime } ( a ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { ( x - a ) \bullet \varphi ( x ) - 0 } { x - a } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } \varphi ( x ) = \varphi ( a ) \ .
+$$
+
+注求导数时，当函数不具备“导数存在”的条件时，往往只能用“导数定义”求，
+
+3.6 $- \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( 0 )$ 解
+
+$$
+\begin{array} { r l } {  { \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { f ( 1 - \sqrt { \cos x } ) - f ( 0 ) } { ( 1 - \sqrt { \cos x } ) - 0 } \cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 1 - \sqrt { \cos x } } { \sin ( 1 - x \sin x ) } } } \\ & { = f ^ { \prime } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 1 - \sqrt { \cos x } } { \ln ( 1 - x \sin x ) } } \\ & { \frac { \sin ( \hat { \phi } ) - \hat { \mathcal { X } } ( \hat { \mathcal { H } } ) \cdot \sqrt { \frac { \sin \hat { \phi } + \hat { \mathcal { Y } } } { 1 + \hat { \mathcal { Y } } } } } { \frac { \sin \hat { \phi } } { \cos \hat { \mathcal { Y } } } \cdot \sqrt { \frac { \sin \hat { \phi } + \hat { \mathcal { Y } } } { 1 + \hat { \mathcal { Y } } } } \times } f ^ { \prime } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 2 } { x + \sin x } = - \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( 0 ) \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( 0 ) \ . } \end{array}
+$$
+
+3.7证明 (1) $F _ { * } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { * } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ 洛必达法则 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { + } } { \frac { F ^ { \prime } ( x ) } { 1 } } = A$
+
+(2) $F _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { F ( x ) - F ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ 洛必达法则 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { F ^ { \prime } ( x ) } { 1 } } = A$
+
+注满足(1)，(2)的条件时，有 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { * } \atop ( x _ { 0 } ^ { - } ) } F ^ { \prime } ( x ) \frac { \# \varkappa _ { } ^ { \# } } { \# \Gamma ^ { \prime } ( x ) } A$ $F _ { _ { + } } ^ { \prime } ( x _ { _ { 0 } } ) \frac { \# \# \# } { \# } A$ 但 $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } ^ { + } \atop ( x _ { 0 } ^ { - } ) } F ^ { \prime } ( x )$ 不存在时，
+
+$F _ { \mathrm { + } } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 亦可能存在．如 $F ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 . } \end{array} \right. }$
+
+当x=0时， $F ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { F ( x ) - F ( 0 ) } { x - 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } x \sin { \frac { 1 } { x } } = 0 .$
+
+$x \neq 0$ $F ^ { \prime } ( x ) = 2 x \sin \frac { 1 } { x } - \cos \frac { 1 } { x } , \operatorname* { l i m } _ { x  0 } F ^ { \prime } ( x )$ 不存在.但由F(0)=0，知F(0)=0（存在).
+
+3.8解由可导与连续的关系有
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } x ^ { 2 } \sin { \frac { \pi } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } ( a x ^ { 2 } + b ) = A ,
+$$
+
+所以A=b=0.又
+
+$$
+f _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  0 ^ { - } } { \frac { x ^ { 2 } \sin { \frac { \pi } { x } } - 0 } { x - 0 } } = 0 , f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  0 ^ { + } } { \frac { a x ^ { 2 } - 0 } { x - 0 } } = 0 ,
+$$
+
+所以a可以为任意常数，且 $f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$
+
+3.9证明使用泰勒公式，有
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 - 2 x ) + 2 x f ( x ) } { x ^ { 2 } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \cfrac { - 2 x - { \frac { 1 } { 2 } } \bullet 4 x ^ { 2 } + o ( x ^ { 2 } ) + 2 x f ( x ) } { x ^ { 2 } } } = 2 \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \cfrac { f ( x ) - 1 } { x } } - 2 + 0 = 0 ,
+$$
+
+于是极限 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } } = 1$ ，即为f(0)，于是函数f(x)在x=0处可导，且 $f ^ { \prime } ( 0 ) { = } 1$
+

考研/math/008_第7讲.md

@@ -0,0 +1,423 @@
+## 第7讲
+
+## 一元函数微分学的应用（三）物理应用与经济应用
+
+![](images/7bada1f08e6ed980f9526b023b12bcc74139c9a80d9a184096e868e410da4cb0.jpg)
+
+强调：用数学工具解决应用问题，不会出现过于专业的问题
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）、复利与连续复利（仅数学三）、导数的经济应用（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量（仅数学一、数学二）；②了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>相关变化率（仅数学一、数学二）</td></tr></table>
+
+![](images/ba2f344074a26fafffb6e8b511c28d43177b18a7e0abe41cbbae389669ebd618.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）
+
+物理应用
+
+★相关变化率
+
+复利与连续复利（仅数学三）
+
+经济学中常见的函数
+
+导数的经济应用（仅数学三）
+
+边际函数与边际分析
+
+弹性函数与弹性分析
+
+![](images/3a756b68cb370874f22860de3e377c83623e1c3e1e9c2204dc4a60576f039b4a.jpg)
+
+## 基础内容精讲
+
+## 物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）
+
+## 物理应用
+
+相关物理概念：①位移对时间的变化率（速度）；
+
+②速度对时间的变化率（加速度）；
+
+③牛顿第二定律 $( F = m a )$
+
+$$
+x ^ { \prime }
+$$
+
+已知质点运动的位移s关于时间t的函数为 $s = s ( t )$ ，称它为质点的运动方程（位移方程)，则其速度为
+
+$$
+\nu ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t  0 } \frac { \Delta s } { \Delta t } = s ^ { \prime } ( t ) , \qquad \quad \longrightarrow \nu ( t ) = \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t }
+$$
+
+其加速度为
+
+$$
+a ( t ) = \frac { \mathrm { d } \nu } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } \nu } { \mathrm { d } s } \cdot \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } ( \dot { \bar { \mathfrak { H } _ { i } } } a ( t ) = \frac { \mathrm { d } ( \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } ) } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } s } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } ) \overset \Longleftrightarrow { a ( t ) } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t  0 } \frac { \Delta \nu } { \Delta t } = \nu ^ { \prime } ( t ) = s ^ { \prime } ( t ) \ .
+$$
+
+dv·V（更利于解决含s，v不涉及t的相关徽分方程问题，第15讲再学习）  
+ds7
+
+这就是导数的物理意义.
+
+## 2相关变化率
+
+研究 ${ \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B } } { = } { \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } C } } { \cdot } { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B } }$
+
+①若已知 ${ \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B } } , \ { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B } }$ ，则 $\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } C } = \frac { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } B } } { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B } }$ （通过已知求未知）；
+
+②该等式建立了 $\frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B }$ 与 $\frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B }$ 的关系，A，B，C可以扩展为很多实际的量，比如某冰块质量（m）对温度（c）随时间（t）的变化率
+
+$$
+\frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } c } \bullet \frac { \mathrm { d } c } { \mathrm { d } t } \Rightarrow \frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } c } = \frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } t } \enspace .
+$$
+
+## 注微分学中经济应用较多，积分学中物理应用较多
+
+f(x)已知，若告 $\dot { \pi } \cdot O \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t }$ ，则 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t }$ 便可求. 7
+
+若函数y=f(x)由参数方程 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} } \right.$ 确定且可导，则 ${ \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } = { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \cdot { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = f ^ { \prime } ( x ) { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } }$ ，上式中， $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t }$ 与 $\frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t }$ 由$f ^ { \prime } ( x )$ 联系在一起，这种相互关联的变化率称为相关变化率.
+
+注单独出题不难，常见的是速度、位移、加速度与相关变化率的综合题，难度在于和微分方程相结合
+
+例7.1 已知动点P在曲线 $y = x ^ { 3 }$ 上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标对时间的变化率为常数 $\nu _ { 0 }$ ，则当点P运动到点(1,1)时，1对时间的变化率是
+
+$$
+2 \sqrt { 2 } \nu _ { \mathrm { 0 } }
+$$
+
+由题设知 $l = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 2 } + x ^ { 6 } }$ ，则
+
+![](images/f2c88c8fa345be7cfda260bc8e899bdc16afdd3bc8a9c4f5cfbd93e0a9720df1.jpg)
+
+$$
+\frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } t } = \overbrace { \frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } x } } ^ { \mathrm { d } l } \bullet \overbrace { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } ^ { \mathrm { d } x } = \frac { 2 x + 6 x ^ { 5 } } { 2 \sqrt { x _ { 5 } ^ { 2 } + x ^ { 6 } } } \bullet \underline { \nu } _ { 0 } ,
+$$
+
+$$
+\left. { \frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } t } } \right| _ { x = 1 } = { \frac { 8 } { 2 \sqrt { 2 } } } \nu _ { 0 } = 2 \sqrt { 2 } \nu _ { 0 } \ .
+$$
+
+@方法总结）涉及相关变化率问题：①建立相关变量方程；②求导找出相关变化率，进而通过已知变化率求未知变化率.
+
+注更为综合的物理应用会涉及微分方程，将在第15讲学习
+
+![](images/4791a3e9332d8e7c2eed35528c23f7f70892396b95c19548ed22a6db817a5a92.jpg)
+
+## 复利与连续复利（仅数学三）
+
+![](images/2801fb6b86bdd168e10173271c7a230af14eb354e76a3c78ddfc47cfe5de3568.jpg)
+
+复利计算公式为
+
+$$
+A _ { m } = A ( 1 + r ) ^ { m } \longleftrightarrow \overbrace { { A \underbrace { ( 1 + r ) ( 1 + r ) \cdots ( 1 + r ) } } } ^ { A ( 1 + r ) ( 1 + r ) \cdots ( 1 + r ) }
+$$
+
+其中A表示一开始的本金，r表示每一期的利率，m表示复利的总期数， $A _ { m }$ 表示m期后的余额.
+
+①如果年利率为r的利息一年支付1次，那么当初始存款为A元时，t年后余额 $A _ { t }$ 则为
+
+$$
+\begin{array} { r } { A _ { t } = A ( 1 + r ) ^ { t } . } \end{array}
+$$
+
+②如果年利率为r的利息一年支付n次，那么当初始存款为A元时，t年后余额A则为
+
+$$
+A _ { t } = A \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) ^ { n t } \overbrace { \ . \ } ^ { \substack { \longrightarrow } } A \left[ \underbrace { \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) } _ { n _ { \uparrow \uparrow } } \right] \left[ \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \right] \cdots \left[ \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \right]
+$$
+
+$$
+A \mathrm { e } ^ { r t } = R \Rightarrow A \bar { \in } R \mathrm { e } ^ { - r t }
+$$
+
+现值③对于②，当n→∞时， $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } A _ { t } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } A { \Bigg ( } 1 + { \frac { r } { n } } { \Bigg ) } ^ { n t } = A \mathbf { e } ^ { r t }$ ，这称为连续复利.→掌握至此即可，无须深入学习支付无数次 $ A \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i m } n t \cdot \frac { r } { n } } = A \mathrm { e } ^ { n }$
+
+注考试时要弄清楚①，②，③三种情况，题目会明确告知
+
+例7.2 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为 $R _ { 0 }$ 元；如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为 $R = R _ { 0 } { \mathrm { e } } ^ { { \frac { 2 } { 5 } } { \sqrt { t } } }$ .假定银行的年利率r为6%，并以连续复
+
+利计息，若 $t _ { 0 }$ 年售出可使总收入的现值最大，则窖藏的时间 $t _ { 0 } ~ =$
+
+分析碰到应用题，找到关系式、定义式、约束式，先写定义式（现值），再代入关系式 $R = R _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \frac { 2 } { 5 } \sqrt { t } }$ 最后按照一元函数求最值的方法，找到驻点即为所求.
+
+解 应填11.
+
+$$
+7
+$$
+
+根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出时总收入R的现值为 $A ( t ) = R e ^ { - r t }$ 而 $R = R _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \frac { 2 } { 5 } \sqrt { t } }$   
+故 $A ( t ) = R _ { 0 } { \mathrm { e } } ^ { { \frac { 2 } { 5 } } { \sqrt { t } } - r t }$ 令 $\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } t } = \boldsymbol { R _ { 0 } } \mathrm { e } ^ { \frac { 2 } { 5 } \sqrt { t } - r t } \left( \frac { 1 } { 5 \sqrt { t } } - r \right) = 0$ ，得驻点 $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ .当 $0 < t _ { 0 } < \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 时， $\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } t } > 0$ ；当  
+$t _ { 0 } > \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 时， $\frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } t } < 0$ →一元连续函数中唯一极值点就是最值点
+
+于是， $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 是极大值点亦是最大值点，故窖藏 $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 年售出可使总收入的现值最大.当>约束式$\dot { r } = 6 \%$ 时， $t _ { \scriptscriptstyle 0 } = \frac { 1 0 0 } { 9 } \approx 1 1$ （年）
+
+方法总结用好定义式与关系式，利用求导工具找最值即可．
+
+![](images/c651563d1615c9c604a576b938ebc407f4ff4950cccddc3c7a59103bf5d7dac1.jpg)
+
+## 导数的经济应用（仅数学三）
+
+![](images/f47dfc9b5c2f3c4cf19d15f818a895c292a9490f4f946848a6b70754efbc20c5.jpg)
+
+## 1经济学中常见的函数
+
+(1)需求函数.
+
+![](images/f395573f212083bef1ab58cef7af1e74187552949200effb5ac6aa7b1fad26f2.jpg)
+
+设某产品的需求量为Q，价格为p，则 $Q = Q ( p )$ 称为需求函数，且Q一般为单调减少函数.
+
+(2)供给函数.
+
+设某产品的供给量为q，价格为p，则 $q = q ( p )$ 称为供给函数，且q一般为单调增加函数.
+
+(3)成本函数.
+
+设生产产品的总投入为C，它由固定成本 $C _ { \iota }$ （常量)和可变成本 $C _ { 2 } ( Q )$ 两部分组成，其中Q表示产量.成本函数为 $C = C \left( Q \right) = C _ { 1 } + C _ { 2 } \left( Q \right)$ ，称 $\frac { c } { \varrho }$ 为平均成本，记为 $\overline { { C } }$ 或AC，即
+
+$$
+A C = \overline { { { C } } } = { \frac { C } { Q } } = { \frac { C _ { 1 } } { Q } } + { \frac { C _ { 2 } ( Q ) } { Q } } \ .
+$$
+
+(4)收益(入)函数.
+
+设产品售出后所得的收益为R，则
+
+$$
+R = R ( { \mathcal { Q } } ) = p Q \ ,
+$$
+
+其中p是价格，Q是销售量.
+
+## 考研数学基础30讲·高等数学分册
+
+(5)利润函数.
+
+设收益扣除成本后的利润为L，则
+
+$$
+L = L ( Q ) = R ( Q ) - C ( Q ) ,
+$$
+
+其中Q为销售量.
+
+注如无特殊情况说明，需求与供给函数以价格p为自变量，成本、收益与利润函数以产量Q为自变量
+
+## ② 边际函数与边际分析
+
+在经济学中，若函数f(x)可导，则称f'(x)为f(x)的边际函数. $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 称为f(x)在 $x _ { 0 }$ 点的边际值.用边际函数来分析经济量的变化叫边际分析.
+
+由 $\Delta y \approx \mathrm { d } y$ ，即 $f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) \approx f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x$ ，取△x=1，得 $f ( x _ { 0 } + 1 ) - f ( x _ { 0 } ) \approx f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$
+
+于是，边际值 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 被解释为：在 $x _ { 0 }$ 点，当x改变一个单位时，函数f(x)近似(在实际问题中，经常略去“近似”二字)改变 $\left| f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \right|$ 个单位. $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 的符号反映自变量的改变与因变量的改变是同向还是反向 $\left\{ { \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) > 0 \leq 1 } \\ { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) < 0 \leq l } \end{array} } \right.$ 同向改弯 同向改变，
+
+![](images/e0799194efbebe684ac8dda2f5f909e86c15d9b95d5378eadd530a9eab78ffac.jpg)
+
+反向改变
+
+(1)边际成本.
+
+设总成本函数为 $C = C ( Q ) ( Q$ 为产量),则边际成本函数（记为MC）为 $\scriptstyle { M C = C ^ { \prime } ( Q ) }$
+
+(2)边际收益.
+
+设总收益函数为 $R = R ( Q ) ( Q$ 为销售量),则边际收益函数（记为MR）为 $M R = R ^ { \prime } ( Q )$
+
+(3)边际利润.
+
+设利润函数为 $L = L ( \boldsymbol { Q } ) ( \boldsymbol { Q }$ 为销售量),则边际利润函数（记为ML）为 $M L = L ^ { \prime } ( Q )$
+
+## ③弹性函数与弹性分析
+
+在经济学中，把因变量对自变量变化的反应的灵敏度，称为弹性或弹性系数.设函数 $y = f ( x )$ 可导，称
+
+$$
+\eta = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { y } } \left/ { \frac { \Delta x } { x } } = { \frac { x } { y } } y ^ { \prime } = { \frac { x } { f ( x ) } } f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { E y } { E x } } \right.
+$$
+
+为函数y=f(x)的弹性函数，称
+
+$$
+\eta \Bigg \vert _ { x = x _ { 0 } } = \frac { x _ { 0 } } { f ( x _ { 0 } ) } f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )
+$$
+
+为函数f(x)在 $x _ { 0 }$ 处的(点)弹性.
+
+$\eta \Bigg \vert _ { x = x _ { 0 } }$ 表示在 $x _ { 0 }$ 处，当自变量x改变1%时，因变量y将改变 $| \eta | _ { x = x _ { 0 } } | \% = | { \frac { x _ { 0 } } { f ( x _ { 0 } ) } } f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) | \%$ ，其符号反映自变量x与因变量y的改变是同向还是反向. 取 $\eta = 0 . 5 4 = \frac { 0 . 5 4 \% } { 1 \% }$ →因变量改变0.54%用弹性函数来分析经济量的变化叫弹性分析. →自虚量改密1%
+
+(1)需求的价格弹性.
+
+$$
+\eta _ { d } = { \frac { E Q } { E p } } = { \frac { p } { Q } } { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } p } } = { \frac { p } { Q ( p ) } } Q ^ { \prime } ( p ) \ .
+$$
+
+一般地，需求函数单调减少，故 $\mathcal { Q } ^ { \prime } ( p ) < 0$ ，从而 $\eta _ { d } < 0$
+
+其经济意义：当价格为p时，若提价（降价）1%，则需求量将减少（增加） $| \eta _ { d } | \%$
+
+注若题设要求 $\eta _ { d } > 0$ ，则取 $\eta _ { d } = - \frac { p } { Q ( p ) } Q ^ { \prime } ( p )$
+
+(2)供给的价格弹性.
+
+$$
+\eta _ { s } = { \frac { E q } { E p } } = { \frac { p } { q } } { \frac { \mathrm { d } q } { \mathrm { d } p } } = { \frac { p } { q ( p ) } } q ^ { \prime } ( p ) \ .
+$$
+
+一般地，供给函数单调增加，故 $q ^ { \prime } ( p ) > 0$ ，从而 $\eta _ { s } > 0$
+
+其经济意义：当价格为p时，若提价（降价）1%，则供给量将增加（减少） $\eta _ { s } \%$
+
+(3)收益的价格弹性.
+
+$$
+\eta _ { r } = { \frac { E R } { E p } } = { \frac { p } { R } } { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } } = { \frac { p } { R ( p ) } } R ^ { \prime } ( p ) \ .
+$$
+
+一般地，收益函数单调增加，故 $R ^ { \prime } ( p ) > 0$ ，从而 $\eta _ { r } > 0$
+
+其经济意义：当价格为p时，若提价（降价）1%，则收益将增加（减少） $\eta _ { r } \%$
+
+例7.3 设生产某商品的固定成本为60000元，可变成本为20元／件，价格函数为 $p =$ $6 0 - { \frac { Q } { 1 0 0 0 } } \left( { \mathfrak { p } } \right.$ 是单价，单位：元；Q是销量，单位：件).已知产销平衡，求：
+
+(1)该商品的边际利润函数;
+
+(2)当p=50元时的边际利润，并解释其经济意义；—→数学三的热门考点
+
+(3)使得利润最大的单价p.
+
+分析①先写利润函数，再对Q求偏导数得到边际利润；
+
+②代入价格函数求Q，再代入L(Q)；
+
+③令 $L ^ { \prime } ( Q ) = 0$ ，解出Q再代入价格函数，求 $p .$
+
+解 (1)成本函数 $C ( Q ) = 6 0 0 0 0 + 2 0 Q$ ，收益函数 $R ( Q ) = p Q = 6 0 Q - { \frac { Q ^ { 2 } } { 1 0 0 0 } }$ ，利润函数
+
+$$
+L ( Q ) = R ( Q ) - C ( Q ) = - { \frac { Q ^ { 2 } } { 1 0 0 0 } } + 4 0 Q - 6 0 0 0 0 ,
+$$
+
+故该商品的边际利润函数 $L ^ { \prime } ( Q ) = - \frac { Q } { 5 0 0 } + 4 0 $
+
+(2)当 $p = 5 0$ 元时，销量 $Q \ = 1 0 \ 0 0 0$ 件，L' (10000)=20元.
+
+其经济意义：销售第10001件商品所得利润为20元.
+
+(3)令 $L ^ { \prime } ( Q ) = - \frac { Q } { 5 0 0 } + 4 0 = 0$ ，得 $Q \ = 2 0 \ 0 0 0$ 件，且 $L ^ { \prime \prime } ( 2 0 0 0 0 0 ) < 0$ ，故当 $Q \ = 2 0 \ 0 0 0$ 件时利润最大，此时p=40元.
+
+例7.4 设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数： $Q = Q ( p )$ ，其中需求弹性 $\eta =$ $\frac { 2 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } } > 0$
+
+(1)设R=R(p)为总收益函数，证明 $\sqrt { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } = \mathcal { Q } ( 1 - \eta ) \bigg | }$ ；作为结论用已说明，若无说明，则以Q为自变量
+
+(2)当p=6时，求总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.
+
+分析①写出R(p)，再对p求导，代入η即可；
+
+②写出 $\frac { E R } { E p }$ ，代入 $\eta = \frac { 2 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } } \Bigg | _ { p = 0 }$ 即可.
+
+(1)证由题设得 $R ( p ) = p Q ( p )$ ，两边对p求导，得 →n=-pd dp
+
+$$
+{ \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } } = Q + p { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } p } } = Q \left( 1 + \left[ { \frac { p } { Q } } { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } p } } \right] \right) = Q ( 1 - \eta ) \ .
+$$
+
+(2) 解 $\frac { E R } { E p } = \frac { p } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } = \frac { p } { p Q } Q ( 1 - \eta ) = 1 - \eta = 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } } = \frac { 1 9 2 - 3 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } }$
+
+$$
+\left. \frac { E R } { E p } \right| _ { p ^ { \approx 6 } } = \frac { 1 9 2 - 3 \times 6 ^ { 2 } } { 1 9 2 - 6 ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 1 3 } \approx 0 . 5 4 \ .
+$$
+
+其经济意义：当p=6时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.
+
+例7.5 设某商品需求量Q对价格P的弹性为 $\eta ( \eta > 0 )$ ，R为收益，则（ ）
+
+(A)当 $\eta < 1 , \Delta P > 0$ 时， $\Delta R > 0$
+
+(B)当 $\eta < 1 , \Delta P < 0$ 时， $\Delta R > 0$
+
+(C)当 $\eta > 1 , \Delta P > 0$ 时， $\Delta R > 0$
+
+(D)当 $\eta > 1 , \Delta P < 0$ 时， $\Delta R < 0$
+
+分析利用结论 $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } { = } Q ( 1 { - } \eta )$ 进行分析.
+
+![](images/181a51f0a3c407643226885206e2136c15531d79c6dbd6dc5fee6798df70993d.jpg)
+
+应选(A).
+
+$$
+{ \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } } = { \frac { \mathrm { d } \big ( P Q \big ) } { \mathrm { d } P } } = Q + P { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } P } } = Q + Q \cdot { \frac { P } { Q } } { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } P } } = Q ( 1 - \eta ) \ .
+$$
+
+当n<1时， $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } { > } 0$ ，即 $\Delta P _ { _ { ( < 0 ) } } 0$ 时， $\Delta R _ { _ { ( < 0 ) } } 0$
+
+当n>1时， $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } < 0$ ，即 $\Delta P _ { _ { ( < 0 ) } } 0$ 时， $\Delta R _ { _ { ( > 0 ) } } ^ { _ { < 0 } }$ .故选(A).
+
+![](images/99e602fb6e78e79185b8a398f98835a5726f2959a11dd6634dd0bb6980b486d7.jpg)
+
+## 基础习题精练
+
+## 习题
+
+7.1（仅数学一、数学二)质点P沿抛物线 $x = y ^ { 2 } ( y > 0 )$ 移动，P的横坐标x对时间的变化率为5cm/s.当x=9时，点P到原点O的距离对时间的变化率为
+
+7.2（仅数学三）设某产品的需求函数为 $Q = Q ( P )$ ，需求的价格弹性为 $\varepsilon , 0 < \varepsilon < 1$ .已知产品收益R对价格的边际为s，且产销平衡，则产品的产量应是 （用ε，s的函数表示）
+
+7.3（仅数学一、数学二）甲车以24km/h的速度向北行驶，同时正东10km处乙车以20km/h的速度向东行驶.从这一时刻起经过1小时后，求两车间的距离对时间的变化率.
+
+7.4（仅数学三）已知某企业的总收入函数为 $R = 2 6 x - 2 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 }$ ，总成本函数为 $C = 8 x + x ^ { 2 }$ ，其中x表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际成本函数以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.
+
+## 解答
+
+7.1 ${ \frac { 9 5 } { 6 { \sqrt { 1 0 } } } } { \mathrm { ~ c m / s } } $ 解点P到原点O的距离 $s = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，于是
+
+$$
+{ \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + x } } \cdot { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = { \frac { 5 ( 2 x + 1 ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + x } } } } ,
+$$
+
+当x=9时， ${ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \bigg | } _ { x = 9 } = { \frac { 5 ( 2 x + 1 ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + x } } } } { \bigg | } _ { x = 9 } = { \frac { 9 5 } { 6 { \sqrt { 1 0 } } } } ( { \mathrm { c m / s } } )$
+
+7.2 $\frac { s } { 1 - \varepsilon }$ 解需求的价格弹性为 $- \frac { { \cal { Q } } ^ { \prime } } { \cal { Q } } { \cal { P } }$ ，其中Q为需求量，即产量，P为价格.依题意，
+
+$- \frac { \mathcal { Q } ^ { \prime } } { \mathcal { Q } } P = \varepsilon$ ，即
+
+$$
+P Q ^ { \prime } = - \varepsilon Q ~ .
+$$
+
+收益函数 $R = P Q$ ，它对价格的边际为 $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P }$ ，由题意，
+
+$$
+s = \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } = \mathcal { Q } + P \mathcal { Q } ^ { \prime } = ( 1 - \varepsilon ) \mathcal { Q } \ ,
+$$
+
+所以 $\scriptstyle Q = { \frac { s } { 1 - \varepsilon } }$
+
+7.3解设甲车最初在原点O处，乙车在C处， $O C = 1 0 \mathrm { k m }$ ，在t小时后，甲在A点，乙在B点，如图7-1所示.设 $A B = s , O A = x , C B = y$ ，则 $s = \sqrt { x ^ { 2 } + ( y + 1 0 ) ^ { 2 } }$ ，其中 $s = s ( t ) , x = x ( t ) , y = y ( t )$ 都是关于t的函数.写成
+
+$$
+s ^ { 2 } = x ^ { 2 } + ( y + 1 0 ) ^ { 2 } ,
+$$
+
+两边对t求导，得 $2 s \bullet { \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } = 2 x { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } + 2 ( y + 1 0 ) { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } }$ ，即
+
+![](images/312cd651352f6960dcdcf4df349b9e6f88d48b9b6374c2413c7ea50c2689377c.jpg)
+
+$$
+{ \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } = { \frac { x { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } + ( y + 1 0 ) { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + ( y + 1 0 ) ^ { 2 } } } } \ .
+$$
+
+图7-1
+
+上式表达了三个变化率 ${ \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } , { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } , { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } }$ 之间的关系.已知 $\frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } = 2 4 , \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } = 2 0$ .当t=1时， $x = 2 4 , y = 2 0$ 代人上式，得 $\frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } { = } \frac { 1 9 6 } { \sqrt { 4 1 } } \approx 3 0 . 6 ( \mathrm { k m / h } )$
+
+7.4解利润函数 $L = R - C = 1 8 x - 3 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 }$ ，边际收入函数 $M R = \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x } = 2 6 - 4 x - 1 2 x ^ { 2 }$ ，边际成本函数 $M C = { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } x } } = 8 + 2 x$
+
+令 $\frac { \mathrm { d } L } { \mathrm { d } x } = 1 8 - 6 x - 1 2 x ^ { 2 } = 0$ 得 $x = 1 , x = - \frac { 3 } { 2 }$ (舍去)又 ${ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } L } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } { \Bigg | } _ { x = 1 } = ( - 6 - 2 4 x ) { \Bigg | } _ { x = 1 } = - 3 0 < 0$ ，可知当x=1时,L取得极大值，为 $L { \Bigg \vert } _ { x = 1 } = \left( 1 8 x - 3 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } \right) { \Bigg \vert } _ { x = 1 } = 1 1$ .因为 $x > 0$ 时，L(x)只有一个极大值，故此极大值就是最大值.所以当产量为1时利润最大，最大利润为11.
+

考研/math/011_第10讲.md

@@ -0,0 +1,859 @@
+## 第10讲
+
+## 一元函数积分学的应用（一）一几何应用
+
+![](images/be8f149a720f6795be615c4a76093c05f380b9764c28fbcf11cb3ba62ed1705f.jpg)
+
+总旨标：套公式，做计算→第9讲的内容。核心
+
+![](images/1023c53990ea79f1ff27b70c0d22f3e0845a01daeb1db6d201810ad4b6bc4b10.jpg)
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>①平面图形的面积，旋转体的体积，函数的平均值；②形心坐标公式，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（侧面积）（仅数学一、数学二）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、质心、形心等）及函数的平均值（仅数学一、数学二）；②会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>平面图形的面积、旋转体的体积</td></tr></table>
+
+![](images/97a1ff119913c91562afbae50ea96f8a9e380fb535ed671a0f904e8497dea5ea.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/49818cbbb557c4d794ed20f0399d413ff3a8a67f88225db338804358f122a34a.jpg)
+
+![](images/65936a2d49a317414d065f240f7de44c56d527634456eb9c93e8a3eedcba2a29.jpg)
+
+## 基础内容精讲
+
+假设以下曲线都是光滑的.
+
+>三大体系下的图形：
+
+①直角坐标系下(直接算)
+
+直接算(少)②参数方程下换元法
+
+## 用定积分表达和计算平面图形的面积
+
+③极坐标系下（直接算）
+
+![](images/ea2414feb58efde9dc03eadfbaf9389af009601a98f3ccdf8bc0b1abe4eec33d.jpg)
+
+→可推广为用收敛的反常积分进行表示
+
+推广：可能用到在收敛情况下的反常积分及时回看，补上，免遗忘
+
+(1)曲线 $y = y _ { 1 } ( x )$ 与 $y = y _ { 2 } ( x )$ 及 $\scriptstyle x = a , x = b ( a < b )$ 所围成的平面图形的面积
+
+$$
+S = \int _ { a } ^ { b } \bigl | y _ { 1 } ( x ) - y _ { 2 } ( x ) \bigr | \mathrm { d } { \overline { { x } } } .
+$$
+
+计算一个带绝对值的函数的定积分
+
+![](images/7a37d564654aa45b2b7e60d302a6aa653708d341d88381b3e075c6e062644b4a.jpg)
+
+小提示：随着学习的进行，知识会遗忘，所以要及时进行复习，因此在学面积之前，可以先回看前面学到的平面图形.
+
+![](images/9215435e22d6e7ce5e633262b6fb0602ff87f6661fe7b3451833e263f8aefc7a.jpg)
+
+》及时复习的话，遗忘曲线就会出现许多跳跃间断点
+
+记忆小曲线=复习2\~3次，遗忘内容大幅度减少
+
+微元法．
+
+用大的面积减去小的面积，即 $S = \int _ { a } ^ { b } y _ { 1 } \mathrm { d } x - \int _ { a } ^ { b } y _ { 2 } \mathrm { d } x$
+
+①取微元： $\Delta S = \rvert \boldsymbol { y } _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ) - \boldsymbol { y } _ { 2 } ( \boldsymbol { x } ) \rvert \mathrm { d } \boldsymbol { x }$
+
+②积分： $S = \int _ { a } ^ { b } { \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| } \mathrm { d } x$
+
+![](images/b7d5e53248b1587a12e353feb0faf0ffe2c721ef20322eeb0df461f2df5b61f5.jpg)
+
+(2)曲线 $r = r _ { \mathrm { { l } } } ( \theta )$ 与 $r = r _ { 2 } ( \theta )$ 与两射线 $\theta = \alpha$ 与 $\theta = \beta \left( 0 < \beta - \alpha \leqslant 2 \pi \right)$ 所围成的曲边扇形的面积
+
+$$
+S = \frac { 1 } { 2 } { \int _ { \alpha } ^ { \beta } } \Bigl | r _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) - r _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) \Bigr | \mathrm { d } \theta \ .
+$$
+
+绝对值：保证差值非负
+
+![](images/fbdb9dc17c0e0fd1782ab784aba4a438b11bd78bdb4579121a8e4448e3c57c5e.jpg)
+
+当 $\mathbf { d } \theta  0$ 时，可将扇形区域近似看作三角形，计算三角形面积： $\frac { 1 } { 2 } r _ { 2 } ( \theta ) \bullet r _ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta - \frac { 1 } { 2 } r _ { 1 } ( \theta ) \bullet r _ { 1 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta$ 微元法．
+
+①用经过0的射线去切分扇形区域.
+
+②取微元：用大“三角形”面积-小“三角形”面积.
+
+![](images/5e45abf914490053de4988126b1bc342713c8257c5a82831714de59a1bfe98aa.jpg)
+
+![](images/94e89f3011c1f89058a827fc9a3a0d6c157126887103586cc75b513af91dcf3b.jpg)
+
+$$
+\Delta S = { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 2 } ( \theta ) \bullet r _ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta - { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( \theta ) \bullet r _ { 1 } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = { \frac { 1 } { 2 } } { \Big | } r _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) - r _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) { \Big | } \mathrm { d } \theta ~ .
+$$
+
+③积分： $S = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \frac { 1 } { 2 } \big | r _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) - r _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) \big | \mathrm { d } \theta$
+
+例10.1 设 $A _ { n }$ 是曲线 $y = x ^ { n }$ 与 $y = x ^ { n + 1 } ( n = 1 , 2 , \cdots )$ 所围区域的面积，则 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } ( 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } ) ^ { n } \ =$
+
+分析①求交点. $\left\{ \begin{array} { l l } { \gamma = x ^ { n } , } \\ { y = x ^ { n + 1 } } \end{array} \right. \Rightarrow x ^ { n } = x ^ { n + 1 } \Rightarrow x = 0 \# _ { \mathcal { X } } x = 1$
+
+②画图（见图10-1）
+
+![](images/a47d1e0a2e53877154b25840a5e19a5be6b4ec8006b7170a8eaa1f3fa6af148f.jpg)  
+图10-1
+
+③套公式，做计算，得到 $A _ { n }$ 的具体表达式.
+
+④代入 $A _ { n }$ ，求极限.
+
+解 应填 $\mathrm { e } ^ { - 2 }$
+
+由
+
+$$
+\left\{ \begin{array} { l } { { y = x ^ { n } , } } \\ { { y = x ^ { n + 1 } } } \end{array} \right. \Rightarrow x ^ { n + 1 } - x ^ { n } = 0 \Rightarrow x ^ { n } ( x - 1 ) = 0 \Rightarrow x = 0 , x = 1 \mathrm { ~ , ~ }
+$$
+
+得 $y = x ^ { n }$ 与 $y = x ^ { n + 1 }$ 的交点为(0,0),(1,1)，故
+
+$$
+A _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { n } - x ^ { n + 1 } ) \mathrm { d } x = \left( { \frac { 1 } { n + 1 } } x ^ { n + 1 } - { \frac { 1 } { n + 2 } } x ^ { n + 2 } \right) \Bigg | _ { 0 } ^ { 1 } = { \frac { 1 } { n + 1 } } - { \frac { 1 } { n + 2 } } ,
+$$
+
+则
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } \right) ^ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( { \frac { 2 } { k + 1 } } - { \frac { 2 } { k + 2 } } \right) \right] ^ { n }
+$$
+
+$$
+= \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 2 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 2 } { 3 } } - { \frac { 2 } { 4 } } + \cdots + { \frac { 2 } { n + 1 } } - { \frac { 2 } { n + 2 } } \right) ^ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( 1 - { \frac { \dot { 2 } } { n + 2 } } \right) ^ { n } = \operatorname { e } ^ { - 2 }
+$$
+
+↓ 可以把n当作x，无须用归结原则化为函数极限
+
+★★★例10.2求由摆线 $\left\{ \begin{array} { l } { { x = a ( t - \sin t ) , } } \\ { { y = a ( 1 - \cos t ) } } \end{array} \right. ( a > 0 )$ 的一拱(见图10-2)与x轴所围平面图形的→平摆线面积.
+
+![](images/e454ef3571946cbf52f9a6cf7d8d9508f87ef3e1e034ebfa4813e9350c5b8566.jpg)  
+图10-2
+
+参数方程下的问题是重点.① $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = \left[ y ( t ) \right] ^ { } \Rightarrow y = \left[ f ( x ) \right] . } \end{array} } \right.$ 它们所有对应点的函数值均相同给定参数方程，其实是对定积分计算的换元法的变相 考查.当f复杂时，引进一个新的自变量t进行处理. $3 ) S = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi a } f ( x ) \mathrm { d } x ( \pounds / _ { 1 } / \sharp \ngeq \sharp , \sharp ) .$ x=y()x()dt=5²y(d()
+
+分析①画出摆线（考试不会给出图！！！）.
+
+②按照直角坐标系去理解参数方程，套直角坐标系下的面积公式进行计算.
+
+$$
+\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) \qquad \underset { y _ { 0 } } { \overset { } { \Rightarrow } } y = f ( x ) = f [ x ( t ) ] = y ( t ) \ . } \\ { \qquad \underset { x _ { 0 } } { \overset { } { \downarrow } } \qquad \underset { t _ { 0 } } { \overset { } { \downarrow } } } \end{array} \right. } \end{array}
+$$
+
+比如： $\left\{ { \begin{array} { l } { { x = 2 t , } } \\ { { y = t ^ { 2 } } } \end{array} } \right. \Rightarrow y = { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } = f ( x ) = f [ x ( t ) ] = { \frac { 1 } { 4 } } ( 2 t ) ^ { 2 } = t ^ { 2 } = y ( t )$
+
+$$
+S = \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \frac { x = x ( t ) } { \int _ { x ^ { - 1 } ( a ) } ^ { x ^ { - 1 } ( b ) } f [ x ( t ) ] \mathrm { d } [ x ( t ) ] = \int _ { \alpha } ^ { \beta } y ( t ) x ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \ . } } 
+$$
+
+解 当t=0或t=2π时，y=0.故当t由0变到2π时，曲线正好成一拱，所以
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { S = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi a } y ( x ) \mathrm { d } x \frac { x = a ( t - \sin t ) } { y ( x ) = y [ a ( t - \sin t ) ] } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ( 1 - \cos t ) [ a ( t - \sin t ) ] ^ { ' } \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \quad = y [ x ( t ) ] } \\ & { \quad = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ^ { 2 } ( 1 - \cos t ) ^ { 2 } \mathrm { d } t - a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( 1 - 2 \cos t + \cos ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t } \\ & { \quad = a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } t - 2 a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { c o s } t \mathrm { d } t + a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \\ & { \quad = 2 a ^ { 2 } \pi + 4 a ^ { 2 } \left| \frac { \pi } { \int _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \right| = 3 a ^ { 2 } \pi . } \end{array}
+$$
+
+方法总结 参数方程下面积公式的本质：直角坐标系下的面积公式的换元法形式
+
+例10.3 伯努利双纽线 $r ^ { 2 } = a ^ { 2 } \cos 2 \theta$ 围成的图形的面积为
+
+分析①画图.②套公式，做计算（借助对称性简化计算）.
+
+解 应填 $a ^ { 2 }$
+
+如图10-3所示，利用对称性，所求图形面积是阴影部分面积的4倍.
+
+阴影部分的图形由射线 $\scriptstyle \theta = 0 , \theta = { \frac { \pi } { 4 } }$ 与伯努利双纽线 $r ^ { 2 } = a ^ { 2 } \cos 2 \theta$ 围成，于是所求的平面图形面积为
+
+$$
+S = 4 { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } } { \frac { 1 } { 2 } } a ^ { 2 } \cos 2 \theta \mathrm { d } \theta = a ^ { 2 } \sin 2 \theta { \left| _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \right. } = a ^ { 2 } \ .
+$$
+
+![](images/f61aacc6e5552cbebfcc1eb4ed3178994da7f620409c9c0dc93653e5055e93db.jpg)  
+图10-3
+
+例10.4 求曲线 $y = \mathbf { e } ^ { - x } \sin x ( x \geq 0 )$ 与x轴所围平面图形的面积.
+
+分析①画图：如图10-4所示.
+
+![](images/f541fad9842825cd675110267cd01b1a77c81094bfa4bc0c77b9d203ab433c63.jpg)  
+图10-4
+
+②套公式： $S = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \underbrace { \mathrm { e } ^ { - x } \left| \sin { x } \right| } _ { \downarrow } \mathrm { d } x$
+
+保持非负(对应图形在x轴下方的部分向上翻折)
+
+③做计算（难度在于处理绝对值）：
+
+$$
+S = \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x + \int _ { \pi } ^ { 2 \pi } ( - \mathrm { e } ^ { - x } \sin x ) \mathrm { d } x + \int _ { 2 \pi } ^ { 3 \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x + \cdots = \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } | \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x | .
+$$
+
+解 $S = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x } \left| \sin x \right| \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left| \int _ { k \pi } ^ { ( k + 1 ) \pi } \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x \right|$ ，其中
+
+“前世今生”见例8.5③
+
+$$
+\begin{array} { l } { { { \displaystyle { \int _ { k n } ^ { ( k + 1 ) n } \mathrm { e } ^ { - s } \sin \mathrm { \Delta x d x } = { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } } { \left( \mathrm { e } ^ { - x } \right) ^ { n } \left( \mathrm { e } ^ { - x } \right) ^ { n } \left( \mathrm { s i n } { x } \right) } ^ { n / ( k + 1 ) n } } } \quad } } \\ { { \mathrm { ~ } } } \\  { \displaystyle { = - { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - x } { \left( \cos x + \sin x \right) } { \displaystyle { \Biggl \} } _ { k n } ^ { ( k + 1 ) n } } } } \\ { { \mathrm { ~ } } } \\ { { \displaystyle { \mathrm { ~ } } = - { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - ( k + 1 ) n } \mathrm { \cdot } { \left( - 1 \right) ^ { k + 1 } + { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - k n } \cdot ( - 1 ) ^ { k } } } } \quad } } \\ { { \mathrm { ~ } } } \\ { { \displaystyle { \mathrm { ~ } } = { \displaystyle { \frac { { \left( - 1 \right) ^ { k } } } { 2 } \mathrm { e } ^ { - x } { \left( \mathrm { e } ^ { - x } + 1 \right) } } , } } } \end{array}
+$$
+
+故
+
+$$
+S = { \frac { \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 } { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( \mathrm { e } ^ { - \pi } ) ^ { k } = { \frac { \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 } { 2 } } \bullet { \frac { 1 } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \pi } } } = { \frac { \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 } { 2 ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \pi } ) } } \ .
+$$
+
+## 用定积分表达和计算旋转体的体积
+
+>套公式
+
+(1)曲线 $y = y ( x )$ 与x=a,x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积为
+
+$$
+V _ { _ x } = \int _ { a } ^ { b } \pi y ^ { 2 } ( x ) { \widetilde { \mathrm { d } x } } ~ .
+$$
+
+这是怎么推导出来的呢？
+
+用微元法：①取微元
+
+![](images/4c16181587d90db23804341a3dfdd86e127b15d8cb94b6f3e1fffd7ec5396822.jpg)
+
+“小硬币”
+
+![](images/0d294dea941ce7b132234a5689f0aeea67fcb9fac30ef0c487ef50fa3f1e424c.jpg)
+
+? $\Delta V = \pi y ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x .$
+
+③积分： $V _ { x } = \int _ { a } ^ { b } \pi y ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x$
+
+例10.5 求曲线 $y = \mathtt { e } ^ { \frac { x } { 2 } } { \sqrt { \sin x } }$ 在[0,2π]部分与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.
+
+分析①确定x的取值范围： ${ \sqrt { \sin x } } \Rightarrow \sin x \geqslant 0 \Rightarrow x \in [ 0 ,$ π].
+
+②套公式： $V _ { x } = \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi ( \mathrm { e } ^ { - \frac { x } { 2 } } \sqrt { \sin x } ) ^ { 2 } \mathrm { d } x$
+
+解 $y = \mathtt { e } ^ { - \frac { x } { 2 } } \sqrt { \sin x }$ 在[0,π]上存在，在(π,2π)内不存在，故
+
+$$
+V = \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi y ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x { \frac { \mathcal { R } \mathrm { i } \pm } { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } } \pi ( 1 + \mathrm { e } ^ { - \pi } ) \ .
+$$
+
+$$
+\mathbf { E } \equiv \Big | \int _ { 0 } ^ { \pi } \pi \mathrm { e } ^ { - x } \sin x \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 2 } \Big | \big ( \mathrm { e } ^ { - x } \big ) ^ { \prime } \quad ( \sin x ) ^ { \prime } \Big | \Bigg | _ { 0 } ^ { \pi } = - \frac { \pi } { 2 } ( \cos x + \sin x ) \mathrm { e } ^ { - x } \Bigg | _ { 0 } ^ { \pi } = \frac { \pi } { 2 } \big ( \mathrm { e } ^ { - \pi } + 1 \big )
+$$
+
+(2)曲线 $y = y ( x )$ 与 $\scriptstyle x = a , x = b ( 0 \leqslant a < b )$ 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的 体积为
+
+$$
+V _ { y } = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } x | y ( x ) | \mathrm { d } x \ .\tag{*}
+$$
+
+注公式（\*）有时用起来很方便，现简单推导如下（微元法）：
+
+取 $[ x , x + \Delta x ] ( \Delta x > 0 )$ ，得到一个小竖条，如图10-5的阴影区域所示，此小竖条绕着y轴旋转一周，成为一个“圆柱壳”，将其沿任何一条竖线“切开”，可展开为一个“长方体”，其体积为
+
+$$
+\begin{array} { r } { \mathrm { d } V _ { \nu } = 2 \pi \times \vert y (  { \boldsymbol { { x } } } ) \vert \mathrm { d } x , } \end{array}
+$$
+
+![](images/3945b23a894be5584dddb6967ba792a9ab8cc0625e001ccd9018a595d47d249f.jpg)
+
+故
+
+$$
+V _ { y } = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } x | y ( x ) | \mathrm { d } x .
+$$
+
+图10-5
+
+总结 $V _ { x } = \pi \int _ { a } ^ { b } \widehat { \prod ^ { 2 } \mathrm { d } x } ,$ 往“”里代V=2πxdx.
+
+“前世今生”，见例1.2.
+
+例10.6 设函数f(x)的定义域为(0,+8)，且满足 $2 f ( x ) + x ^ { 2 } f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { x } } { \Bigg ) } = { \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } }$ .求f(x)，并求曲线 $y = f ( x )$ ，直线 $y = \frac { 1 } { 2 } , y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 及y轴所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
+
+分析①x与y地位交换，求出 $y = f ( x ) \Rightarrow x = \varphi ( y )$
+
+![](images/d43eff04572d01b5272c6ccbd8951f50881d5031e0eb4b847a2aa0ae827a2d9d.jpg)
+
+②套 $V _ { y }$ 体积公式，y作自变量，x作因变量，有 $V _ { y } = \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } 2 \pi y \cdot \varphi ( y ) \mathrm { d } y$
+
+由例1.2知
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \qquad ( 1 + x ^ { 2 } ) y ^ { 2 } = x ^ { 2 } } \\ & { \Rightarrow y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 0 } \\ & { \Rightarrow x ^ { 2 } ( y ^ { 2 } - 1 ) = - y ^ { 2 } } \\ & { \Rightarrow x = \frac { y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } } \\ & { \underset { \mathrm { \scriptsize \textit { \textbf {  } } } } { \Rightarrow } { } } \end{array}
+$$
+
+$$
+f ( x ) = \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ( x > 0 ) .
+$$
+
+x，y地位交换了，反解出x=Φ(y)
+
+由 $y = \frac { \stackrel { \textstyle \bigwedge } { x } } { \textstyle \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } }$ 得 $x = \frac { y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } ( 0 < y < 1 )$ ，从而 $y = f ( x ) , y = \frac { 1 } { 2 } , y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ 及y轴所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为
+
+$$
+\begin{array} { l } { { V = 2 \pi \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } x y \mathrm { d } y = 2 \pi \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \mathrm { d } y } } \\ { { \displaystyle \phantom { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \frac { y - \sin t } { \cos \mathrm { d } \pi } 2 \pi \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \sin ^ { 2 } \displaystyle t \mathrm { d } t = 2 \pi \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \displaystyle \frac { 1 - \cos 2 t } { 2 } \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle \phantom { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } ~ . } } \end{array}
+$$
+
+方法总结 学会利用反函数，将绕x轴旋转用 $V _ { y }$ 的体积公式表示出来.
+
+①要把f(x)求出来.注此题增加了2个综合性考查：②x，y地位交换，先反解，再套公式计算
+
+(3)平面曲线绕定直线旋转．套公式 若出现2个及以上的交点，则不适用，如平面曲线L： $y = f ( x ) , a \leqslant x \leqslant b$ ，且f(x)可导.
+
+![](images/267feb49f1d841dda52505525db1e16e244dcb02971bebfd78fa7ee83bab1ee0.jpg)
+
+定直线 $L _ { 0 } : \ A x + B y + C = 0$ ，且过 $L _ { 0 }$ 的任一条垂线与L至多有一个交点，如图10-6所示，则L绕$L _ { 0 }$ 旋转一周所得旋转体的体积为
+
+$$
+\star V = \frac { \pi } { ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int _ { a } ^ { b } [ A x + B f ( x ) + C ] ^ { 2 } \big | A f ^ { \prime } ( x ) - B \big | \mathrm { d } x \ .\tag{10-1}
+$$
+
+![](images/1d8769b9672cb2e5720a8a313ec05783e34c489bce10f5630dda37ef95e01219.jpg)  
+图10-6
+
+特别地，若 $A = C = 0 , B \neq 0$ ，则 $L _ { 0 }$ 为y=0（x轴)，如图10-7所示，L绕 $L _ { 0 }$ 旋转一周所得旋转体的体积为
+
+$$
+\begin{array}{c} V = \pi \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \longleftrightarrow \displaystyle \longrightarrow V = \frac { \pi } { { ( B ^ { 2 } ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int _ { a } ^ { b } [ B f ( x ) ] ^ { 2 } \big | - B \big | \mathrm { d } x  \\ { = \frac { \pi } { \big | B \big | ^ { 3 } } \int _ { a } ^ { b } B ^ { 2 } \big | B \big | f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x = \pi \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x } \end{array}
+$$
+
+![](images/0ada06c7d29b892d954537a0e364f6dd715604cfbd7e41ed6c2b2eafa28ce95f.jpg)  
+图10-7
+
+注掌握住此结论，会套公式即可
+
+公式 $\mid B ^ { 3 } \mid = \mid B \mid B ^ { 2 } = B ^ { 2 } \mid B \mid$
+
+例10.7 过坐标原点作曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 的切线，该切线与曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求：
+
+(1)D的面积A;
+
+(2)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
+
+分析先求切点与切线方程，进而套面积公式和旋转体体积公式.
+
+解 设切点坐标为 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，于是曲线 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 在点P的切线斜率为
+
+$$
+y ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } ,
+$$
+
+切线方程为
+
+$$
+y - y _ { 0 } = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } ( x - x _ { 0 } ) \ .
+$$
+
+因为该切线经过点(0,0)，所以 $- y _ { 0 } = - x _ { 0 } \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } }$ .又因为 $y _ { 0 } = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } }$ ，代人求得 $x _ { 0 } = 1$ ，从而 $y _ { 0 } = \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } = \mathbf { e }$ ，切线方程为 $y = \mathrm { e x }$ ，如图10-8所示.
+
+(1)取水平条面积微元，则D的面积
+
+![](images/7cf8ecd37ccc0aecf41d0c760055ad31a42600aeaf8eabd5c1f16810ffaa0ccc.jpg)  
+图10-8
+
+↓ 若取竖直条面积徼元：
+
+$$
+\Delta S _ { 1 } = \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x , \Delta S _ { 2 } = ( \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } x ) \mathrm { d } x \ ,
+$$
+
+再积分： $S = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } x ) \mathrm { d } x$
+
+则较为麻烦，故不建议
+
+![](images/36b5bb0526023e3cc1430a5df3d9814c5604f665631dff9d8d0f9c1389f18a55.jpg)
+
+(2)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
+
+先取徽元：用“大体积”－“小体积” $\underline { { \mathrm { d } } } V = \left[ \pi ( 1 - \ln y ) ^ { 2 } - \pi \left( 1 - \frac { y } { \mathrm { e } } \right) ^ { 2 } \ \right] \mathrm { d } y \ ,$ 从而
+
+![](images/d42462d3899551bd60b352658ebcebb88949404c5aee486b9207cfefd9fe7f98.jpg)
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } \displaystyle \mathcal { \bar { H } } \mathcal { \bar { A } } \beta \stackrel { * } { \Im } \longleftarrow \quad \quad \quad V = \pi \int _ { 0 } ^ { \mathsf { e } } \biggl ( \ln ^ { 2 } y - 2 \ln y + \frac { 2 y } { \mathsf { e } } - \frac { y ^ { 2 } } { \mathsf { e } ^ { 2 } } \biggr ) \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \quad = \pi \left( y \ln ^ { 2 } y - 4 y \ln y + 4 y + \frac { y ^ { 2 } } { \mathsf { e } } - \frac { y ^ { 3 } } { 3 \mathrm { e } ^ { 2 } } \right) \biggr | _ { 0 } ^ { \mathsf { e } } = \frac { 5 } { 3 } \pi \mathrm { e } . } \end{array}
+$$
+
+## 注第（2）问也可以直接套公式（10-1），可得方法二
+
+$L _ { 0 } : x = 1 \Rightarrow A x + B y + C = 0$ 中,A=1,B=0,C=-1
+
+$$
+L : y _ { \star } = \mathrm { e } ^ { x } , y _ { \wedge } = \mathrm { e } x .
+$$
+
+由
+
+$$
+V = { \frac { \pi } { ( { \cal A } ^ { 2 } + { \cal B } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \int _ { a } ^ { b } [ { \cal A } x + { \cal B } f ( x ) + C ] ^ { 2 } \big | { \cal A } f ^ { \prime } ( x ) - { \cal B } \big | \mathrm { d } x ,
+$$
+
+得则
+
+$$
+V _ { \star } = \pi \int _ { - \infty } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x , V _ { \wedge } = \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { e } \mathrm { d } x ,
+$$
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { V = V _ { \mathrm { s } } - \mathcal { F } _ { \mathrm { s } } } \\ & { = - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) \xi ^ { \dagger } \xi ^ { \dagger } \xi ^ { \dagger } \xi \overline { { \alpha } } ^ { \dagger } \mathbf { a } ^ { \dagger } - \mathbf { 1 } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { k } ^ { \dagger } \xi ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { k } } \\ & { \quad - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) ^ { 2 } \overline { { \alpha } } \overline { { \alpha } } \overline { { \sigma } } ^ { \dagger } \xi \overline { { \alpha } } ^ { \dagger } \mathbf { a } ^ { \dagger } - 2 x \mathbf { 1 } \overline { { \alpha } } \overline { { \alpha } } \mathbf { k } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } } \\ & { \quad - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \mathbf { e } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { b } ^ { \dagger } } \\ & { \quad - \mathbf { q } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } ( x - \mathbf { 1 } ) \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \mathbf { e } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { b } ^ { \dagger } \xi \overline { { \alpha } } \mathbf { a } \overline { { \beta } } } \\ & { \quad - 2 \mathbf { a } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } \overline { { \alpha } } \mathbf { i } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \\ &  \quad - 2 \overline { { \alpha } } \mathbf { i } \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \overline   \alpha \end{array}
+$$
+
+## ③用定积分表达和计算函数的平均值
+
+设 $x \in [ a , b ]$ ，函数y(x)在[a,b]上的平均值为 $\overline { { y } } = \frac { 1 } { b - a } { \int _ { a } ^ { b } y ( x ) \mathrm { d } x } \Rightarrow \overline { { y } } = y ( \xi ) , \xi \in [ a , b ]$ （由积分中→一般认为y(x)是连续函数值定理可得）.
+
+例10.8 设f(x)连续，且 $\frac { f ( x + 2 ) - f ( x ) = x , } { \divideontimes \operatorname* { m a x } _ { \Vec { x } \Vec { x } } } , \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 } { \uparrow }$ ，则f(x)在[1,3]上的平均值为
+
+分析①套公式： $\overline { { f } } = \frac { 1 } { 3 - 1 } \int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x$
+
+②a.f(x+2)-f(x)=联想周期性（本题中的f(x)未必具有周期性）.
+
+若f(x)是周期为T的周期函数，则 $\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x ( f ( x + T ) = f ( x ) )$
+
+设 $F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，则 $\overline { { f } } = \frac { F ( 1 ) } { 2 }$
+
+b.反写一至两步，联想经典形式 $\left[ \int _ { \varphi _ { 1 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( x ) } f ( t ) \mathrm { d } t \right] ^ { \prime }$ ，则
+
+$$
+\left[ \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t \right] ^ { \prime } = f ( x + 2 ) - f ( x ) ~ .
+$$
+
+由a.或者b.都可以想到，令 $F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t$
+
+解 应填 $\frac { 1 } { 4 }$
+
+记 $F ( x ) = \int _ { x } ^ { x + 2 } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，则
+
+变限积分函数
+
+$$
+F ^ { \prime } ( x ) = f ( x + 2 ) - f ( x ) = x ,
+$$
+
+故
+
+$$
+F ( x ) = \int x \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + C \ .
+$$
+
+由 $F ( 0 ) = \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = 0 = C$ ，得 $F ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 }$ ，则 $\int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( 1 ) = \frac { 1 } { 2 }$ ，故
+
+$$
+\overline { { f } } = \frac { 1 } { 3 - 1 } \int _ { 1 } ^ { 3 } f ( x ) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } F ( 1 ) = \frac { 1 } { 4 } \ .
+$$
+
+方法总结 学会观察条件，得到有效信息，产生联想，进而快速解题.
+
+## 4 其他几何应用（仅数学一、数学二）
+
+》是几何量，还有质心、重心
+
+(1）“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式.
+
+设平面区域 $D = \{ ( x , y ) | 0 \leqslant y \leqslant f ( x ) , a \leqslant x \leqslant b \}$ ，y=f(x)在[a,b]上连续，如图10-9所示.现推导D的形心坐标x，y的计算公式.
+
+$$
+\begin{array}{c} \begin{array} { r } { \overbrace { x } = \underbrace { D } _ { D } } \\ { \overbrace { \int _ { D } \mathrm { d } \sigma } } \end{array} = \overbrace { \left[ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { f ( x ) } \mathrm { d } y \right] } ^ { \displaystyle { \iint _ { a } } \mathrm { d } x } = \overbrace { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle { \iint _ { a } ^ { b } x \mathrm { d } \sigma } }  \end{array}
+$$
+
+![](images/4b8625fac1b0e746351bc65b4350522b990faa2aaf227555604bf1d1a327b45c.jpg)
+
+$$
+\overline { { y } } = \frac { \displaystyle \iint _ { D } y \mathrm { d } \sigma } { \displaystyle \iint _ { D } \mathrm { d } \sigma } = \overline { { \left[ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { f ( x ) } y \mathrm { d } y \right] } } = \overline { { \left[ \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \right. } } \\ { \left. \overline { { \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x } } \right] \int _ { 0 } ^ { b } \mathrm { d } x } \mathrm { d } y \mathrm { ~ }
+$$
+
+图10-9
+
+今公式，记住结论即可
+
+例10.9 设曲线L的方程为 $y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln x , 1 \leqslant x \leqslant \mathbf { e }$ ，D是由曲线L和直线x=1,x=e及x轴围成的平面图形，则D的形心的横坐标为
+
+分析 直接套公式得 $\begin{array} { r } { \overline { { x } } = \frac { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \circ } x \left( \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln { x } \right) \mathrm { d } x } { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \circ } \left( \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln { x } \right) \mathrm { d } x } } \end{array}$
+
+解 应填 $\frac { 3 ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 } - 3 ) } { 4 ( \mathrm { e } ^ { 3 } - 7 ) }$
+
+平面图形D的形心的横坐标的计算公式为 $\scriptstyle { \frac { \prime } { \underline { { x } } } } = { \frac { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \infty } x y \mathrm { d } x } { \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \infty } y \mathrm { d } x } }$ ，其中
+
+$$
+\int _ { 1 } ^ { \circ } x y \mathrm { d } x = \int _ { 1 } ^ { \circ } x \left( { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \ln x \right) \mathrm { d } x = \left( { \frac { 1 } { 1 6 } } x ^ { 4 } - { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } \ln x + { \frac { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } \right) { \Biggl | } _ { 1 } ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } ( \mathbf { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathbf { e } ^ { 2 } - 3 ) ,
+$$
+
+$$
+\int _ { 1 } ^ { \circ } y \mathrm { d } x = \int _ { 1 } ^ { \circ } \left( { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \ln x \right) \mathrm { d } x = \left( { \frac { 1 } { 1 2 } } x ^ { 3 } - { \frac { 1 } { 2 } } x \ln x + { \frac { 1 } { 2 } } x \right) { \Biggl | } _ { 1 } ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 2 } } \mathbf { e } ^ { 3 } - { \frac { 7 } { 1 2 } } ,
+$$
+
+所以D的形心的横坐标为
+
+$\overline { { { x } } } = \frac { \displaystyle \frac { 1 } { 1 6 } ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 } - 3 ) } { \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 } \mathrm { e } ^ { 3 } - \frac { 7 } { 1 2 } } = \left[ \frac { 3 ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) ( \mathrm { e } ^ { 2 } - 3 ) } { 4 ( \mathrm { e } ^ { 3 } - 7 ) } \right] ^ { }$ —→考研题答案未必简洁，要多做计算
+
+(2)平面曲线的弧长.
+
+①若平面光滑曲线由直角坐标方程 $y = y ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ 给出，则 $s = \int _ { a } ^ { b } { \sqrt { 1 + [ y ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$
+
+②若平面光滑曲线由参数方程 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} } \right. ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta )$ 给出，则 $s = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t$
+
+③若平面光滑曲线由极坐标方程 $r = r ( \theta ) ( \alpha { \leqslant } \theta { \leqslant } \beta )$ 给出，则 $s = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { \left[ r ( \theta ) \right] ^ { 2 } + \left[ r ^ { \prime } ( \theta ) \right] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta$
+
+![](images/669ee444d25ad7649403019e546e994623e80c38f69f076af341cac9fd8860c0.jpg)
+
+例10.10 曲线 $y = \ln ( 1 - x ^ { 2 } )$ 上相应于 $0 \leqslant x \leqslant \frac { 1 } { 2 }$ 的一段弧的长度为
+
+分析只需套公式，做计算即可，不用画图.
+
+解 应填 $\ln 3 - { \frac { 1 } { 2 } }$
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle \# \mathbb { E } \mathbb { H } ^ { \leq } \mathbb { E } ^ { \lambda } \overbrace { 0 ^ { \lambda } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { \lambda = 1 } ^ { \infty } \sum _ { 0 } ^ { \lambda } \sqrt { 1 + \left( \frac { - 2 x } { 1 - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle \bigcap ^ { 2 } } } } \\ { { \displaystyle \# \mathbb { E } \mathbb { H } ^ { \lambda } \mathbb { H } ^ { < } \overbrace { 0 ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { x ^ { 2 } - 1 + 2 } { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle \sum _ { ( 1 + x ) = 1 } ^ { \lambda } \sum _ { 0 } ^ { \lambda } \left( \frac { 2 } { 1 - x ^ { 2 } } - 1 \right) \mathrm { d } x } ^ { \displaystyle \big ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \lambda - x ^ { 2 } } \big ) } } } \\ { { \displaystyle \qquad = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 + x } + \frac { 1 } { 1 - x } - 1 \right) \mathrm { d } x = \ln 3 - \frac { 1 } { 2 } ~ . } } \end{array}
+$$
+
+例10.11 阿基米德螺线 $r = \theta$ 上相应于0从0到2π一段的弧长为
+
+分析套极坐标求弧长的公式.
+
+解 应填 $\pi \sqrt { 1 + 4 \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln { \left( 2 \pi + \sqrt { 1 + 4 \pi ^ { 2 } } \right) }$
+
+阿基米德螺线的图形如图10-10所示.
+
+![](images/0db195860c4cdba528802b94b6f5026a95cf0f13a86a988314d78fff11b31ea7.jpg)
+
+由题意，所求弧长为
+
+图10-10
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { s = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { \theta ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } \\ & { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { \theta ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } } \\ & { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta } } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \theta - \mathrm { s u r f } } { \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } } \frac { \theta - \mathrm { s u r f } } { [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \theta + 1 ] } \int _ { \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \theta } \\ & { = \sec { \cdot } \tan { ( - [ \sin { \alpha } ] ) } \sec { \mathrm { d } \theta } } \\ { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 } \sec { \mathrm { d } \cdot } \tan { ( - [ \sin { \alpha } ] ) } \sec { \mathrm { d } \theta } } \\ { \xrightarrow [ ] { \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 } \tan { ( - [ 1 + \theta ^ { 2 } ] ) } \mathrm { d } \theta } \\ { = [ \frac { \theta } { 2 } \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln { ( \theta + \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } ) } ] _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sec { \cdot } \sqrt { 1 + \theta ^ { 2 } } \cdot \theta + \frac { 1 } { 2 } \ln { ( \sqrt { \theta ^ { 2 } + 1 } + \theta ) } + C } \\  = \pi \sqrt { 1 + 4 \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln  ( 2 \pi + \sqrt  1 + 4 \pi ^   \end{array}
+$$
+
+(3)旋转曲面的面积(侧面积).—→在孤长公式基础上多乘了 2π|y(xl.
+
+①曲线L： $y = f ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积
+
+$$
+S = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } \bigl | y \bigr | \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \ .
+$$
+
+②曲线L： $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} \right. } ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta , \ x ^ { \prime } ( t ) \neq 0 )$ 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积
+
+![](images/ea975075952ced3de5ac7bc1ec4dbeef074c4228b407a2ccea5163a6933a5a56.jpg)
+
+$$
+S = 2 \pi \int _ { \alpha } ^ { \beta } \bigl | y ( t ) \bigr | \sqrt { ( x _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t \ .
+$$
+
+算体积用dx，算侧面积用ds
+
+$$
+S = \int _ { a } ^ { b } 2 \pi { \left| f ( x ) \right| } { \mathord { \left/ { \vphantom { \left| { \mathrm { d } } _ { s } \right|}  } \right.}  \kern - delimiterspace } { \mathrm { d } s } 
+$$
+
+③曲线L: $r = r ( \theta ) ( \alpha { \leqslant } \theta { \leqslant } \beta )$ 绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积
+
+孤徽分
+
+$$
+S = 2 \pi \int _ { \alpha } ^ { \beta } \bigl | r ( \theta ) \sin \theta \bigr | \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta \ .
+$$
+
+例10.12 曲线 $y = { \sqrt { x - 1 } } ( 1 \leqslant x \leqslant 2 )$ 绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
+
+解 应填 $\frac { \pi } { 6 } ( 5 \sqrt { 5 } - 1 )$
+
+曲线 $y = { \sqrt { x - 1 } } ( 1 \leqslant x \leqslant 2 )$ 绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
+
+$$
+S = \int _ { 1 } ^ { 2 } 2 \pi y \sqrt { 1 + ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \pi \int _ { 1 } ^ { 2 } \sqrt { 4 x - 3 } \mathrm { d } x = \frac { \pi } { 6 } ( 5 \sqrt { 5 } - 1 ) \enspace .
+$$
+
+算出来多少就是多少，不用担心结果古怪.
+
+例10.13 已知星形线的方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 \cos ^ { 3 } t , } \\ { y = 2 \sin ^ { 3 } t , } \end{array} \right.$ 则它绕x轴旋转一周而成的旋转体的表面积为
+
+分析利用对称性算出y轴右侧的表面积，再乘以2即可.
+
+套公式： $S = \int _ { \alpha } ^ { \beta } 2 \pi | \boldsymbol { y } ( t ) | \sqrt { ( x _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t$ ，再做计算．
+
+![](images/2c242be026cf8c84e246f1db3b82e023289b37ba0203e310fa8c0af4c6d7e429.jpg)
+
+解 应填 $\frac { 4 8 } { 5 } \pi$
+
+旋转体的表面积为
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { S = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 2 \pi y \sqrt { ( x _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \textstyle \underbrace { ( y _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \mathrm { d } t } \\ & { \quad = \sqrt { 3 6 \pi \mathrm { i } ^ { 2 } t ( \cos ^ { 2 } t ( \cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t ) } } \\ & { \quad = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 2 \sin ^ { 3 } t \cdot 6 \sin t \cos x \mathrm { d } t \quad \quad = 6 \sin t \cos t , } \\ & { \quad = 4 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } t \mathrm { d } ( \sin t ) } \\ & { \quad = 4 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } t \mathrm { d } ( \sin t ) } \\ & { \quad = 4 8 \pi \cdot \frac { \sin ^ { 5 } t } { 5 } \Bigg | _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } = \frac { 4 8 } { 5 } \pi . } \end{array}
+$$
+
+(4)平行截面面积为已知的立体体积．(考研未考过)
+
+考研历史上尚未出现过，考题不太好出
+
+如图10-11所示，在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到的截面面积为x的连续函数A(x)，取体积微元： $\mathrm { d } V = A ( x ) \mathrm { d } x$ ，则Ω的体积为
+
+$$
+V = \int _ { a } ^ { b } A ( x ) \mathrm { d } x .
+$$
+
+![](images/bbe51d21ec8c1ce20934772d626ba5071aaf14114ec0c40b3af10ea3fce2c5e3.jpg)  
+图10-11
+
+旋转体体积是其特例.
+
+例10.14 曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 与 $y = x$ 所围平面有界区域绕直线 $y = x$ 旋转一周所得旋转体的体积
+
+为
+
+分析 $r = { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } }$
+
+取微元： $\mathrm { d } V = \pi \bullet \left( { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \bullet { \sqrt { 2 } } \mathrm { d } x$ ${ \frac { \sqrt { 2 } } { 6 0 } } \pi$ A(x)解 应填
+
+$y = { \sqrt { x } }$ 与y=x交于点(0,0),(1,1)，如图10-12所示，曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 上的点到y=x的距离
+
+为 $r = { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } }$ ，故垂直于x轴的平面截“该旋转体”所得的截面面积为$A ( x ) = \sqrt { 2 } \pi \left( { \frac { \sqrt { x } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 }$ .因此，旋转体的体积为
+
+$$
+V = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { 2 } \pi } \left( { \frac { { \sqrt { x } } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \pi } { \sqrt { 2 } } } ( x - 2 x ^ { \frac { 3 } { 2 } } + x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x = { \frac { \sqrt { 2 } } { 6 0 } } \pi \ .
+$$
+
+![](images/e20a93af7ea1e60b255e767c9395e2bbdb1ff432a6cac78a9ec6073d7a7c7257.jpg)  
+图10-12
+
+$$
+V = \int _ { a } ^ { b } A ( x ) \mathrm { d } x
+$$
+
+$$
+V = \int _ { a } ^ { b } \pi f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x
+$$
+
+$$
+A ( x ) = { \sqrt { 2 } } \cdot \pi \left( { \frac { { \sqrt { x } } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 }
+$$
+
+设α为曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 任一点的切线与x轴正方向的夹角，β为直线y=x与x轴正方向的夹角.
+
+![](images/1a188ec13833d57b7444907f16547afe70b96ed456521e3e2525bf694e81a30b.jpg)
+
+由于此题的对称性，视任一点处 $\alpha = \beta$ ，误差抵消，为0.（\*）如图10-13所示，在曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 上的任一点 $( x _ { i } , \sqrt { x _ { i } } )$ 处均作平行于y=x的直线，则
+
+图10-13
+
+$$
+\Delta u = \sqrt { 2 } \Delta x \ , r ( x _ { i } ) = [ f ( x _ { i } ) - x _ { i } ] \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { x _ { i } } - x _ { i } } { \sqrt { 2 } } \ ,
+$$
+
+$$
+V = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \pi \bullet r ^ { 2 } ( x _ { i } ) \bullet \Delta u = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \pi \bullet \left( { \frac { { \sqrt { x _ { i } } } - x _ { i } } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \bullet { \sqrt { 2 } } \Delta x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \pi \left( { \frac { { \sqrt { x } } - x } { \sqrt { 2 } } } \right) ^ { 2 } \bullet { \sqrt { 2 } } \mathrm { d } x = { \frac { \sqrt { 2 } } { 6 0 } } \pi
+$$
+
+（\*）处的解释如图10-14所示：
+
+![](images/2938be8e188fbe41d4a7df46a68baf8c6eb3816d6be75ce7669200e2812cf565.jpg)  
+图10-14
+
+本题所用方法要有足够的经验，才能作上述等价变换，这是一种数学“直觉”，此方法要视具体情况而定，不能一味套公式，要求较高，供参考
+
+![](images/da81f2ef3ec7fda365b8f4fd1b706487f3f9b604ebfb6fbc097edaea0c9ce14b.jpg)
+
+## 基础习题精练
+
+## 习题
+
+10.1位于曲线 $y = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ( 0 \leqslant x < + \infty )$ 下方，x轴上方的无界区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
+
+10.2圆域 $x ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } \leqslant k ^ { 2 } ( 0 < k < b )$ 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V=
+
+10.3（仅数学一、数学二）曲线 $x = \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln y$ 相应于 $1 \leqslant y \leqslant e$ 的一段弧的长度为
+
+10.4（仅数学一、数学二）星形线 $x = \cos ^ { 3 } t , y = \sin ^ { 3 } t ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi )$ 的弧长为
+
+10.5函数 $y = \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } }$ 在区间 $\left[ { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \right]$ 上的平均值为
+
+10.6求曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0,x=2所围成图形的面积最小.
+
+10.7设 $D _ { \ u { \mathrm { l } } }$ 是由抛物线 $y = 2 x ^ { 2 }$ 和直线 $x = a , x = 2$ 及y=0所围成的平面区域， $D _ { 2 }$ 是由抛物线
+
+$y = 2 x ^ { 2 }$ 和直线 $y = 0 , x = a$ 所围成的平面区域，其中 $0 < a < 2$
+
+(1)求 $D _ { \parallel }$ 绕x轴旋转一周而成的旋转体体积 $V _ { 1 } , D _ { 2 }$ 绕y轴旋转一周而成的旋转体体积 $V _ { 2 }$
+
+(2)问当a为何值时， $V _ { 1 } + V _ { 2 }$ 取得最大值？并求此最大值.
+
+10.8计算由摆线 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = a ( t - \sin t ) , } \\ { y = a ( 1 - \cos t ) } \end{array} \right. ( a > 0 , 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi )$ 与x轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
+
+10.9求曲线 $y = 3 - \left| x ^ { 2 } - 1 \right|$ 与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转一周所得旋转体的体积.
+
+## 解答
+
+10.1 $\frac { \pi ^ { 2 } } { 2 }$ 解所求体积为
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { + \infty } { \pi } ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } \mathrm { { d } } x = \operatorname* { l i m } _ { b  + \infty } { \pi } \int _ { 0 } ^ { b } { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x = { \pi } \operatorname* { l i m } _ { b  + \infty } { \arctan { x } } \bigg | _ { 0 } ^ { b } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \ .
+$$
+
+10.2 $2 \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } b$ 解如图10-15所示，上半圆周为 $y _ { 2 } = b + \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$ ，下半圆周为 $y _ { 1 } = b - { \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }$ 其体积微元为
+
+$$
+\begin{array} { l } { \displaystyle \mathrm { d } V = ( \pi y _ { 2 } ^ { 2 } - \pi y _ { 1 } ^ { 2 } ) \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle \quad = \pi [ ( b + \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - ( b - \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ] \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle \quad = 4 \pi b \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x , } \end{array}
+$$
+
+则所求旋转体的体积为
+
+$$
+\begin{array} { l } { { V = 4 \pi b \int _ { - k } ^ { k } \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = 8 \pi b \int _ { 0 } ^ { k } \sqrt { k ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { { \nonumber } } \\ { { = 8 \pi b \cdot { \frac { \pi k ^ { 2 } } { 4 } } = 2 \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } b ~ . } } \end{array}
+$$
+
+![](images/2797ca6e456533b46aa2c5234c0590cadebcd5f93357eeaf885e19d2fce03e4b.jpg)  
+图10-15
+
+注采用对y积分，即取微元 $[ y , y + \mathrm { d } y ]$ 亦可算出V
+
+10.3 ${ \frac { 1 } { 4 } } ( { \mathrm { e } } ^ { 2 } + 1 )$ 解以y作为参数，则
+
+$$
+\mathrm { d } s = { \sqrt { \left( { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \mathrm { d } y = { \sqrt { \left( { \frac { y } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 y } } \right) ^ { 2 } + 1 } } \mathrm { d } y = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( y + { \frac { 1 } { y } } \right) } \mathrm { d } y \ ,
+$$
+
+故弧长为
+
+$$
+s = \int _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } \frac { 1 } { 2 } \left( y + \frac { 1 } { y } \right) \mathrm { d } y = \frac { 1 } { 4 } ( \mathrm { e } ^ { 2 } + 1 ) \ .
+$$
+
+10.46解如图10-16所示，曲线具有对称性，我们只需计算在第一象限的弧段，即 $t \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ 对应部分的弧长.故 y
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { s = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { ~ = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sqrt { ( - 3 \cos ^ { 2 } t \sin t ) ^ { 2 } + ( 3 \sin ^ { 2 } t \cos t ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { ~ = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 3 \big | \sin t \cos t \big | \mathrm { d } t = 1 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin t \cos t \mathrm { d } t = 6 \ . } \end{array}
+$$
+
+![](images/ef9bf43e55b61a89a361e61a1c0edb4ab3f819c6a53664e0e3fc51056ad26876.jpg)  
+图10-16
+
+10.5 ${ \frac { { \sqrt { 3 } } + 1 } { 1 2 } } \pi$ 解函数 $y = f ( x )$ 在区间[a,b]上的平均值是指 ${ \frac { 1 } { b - a } } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ ，故所求的平均值为
+
+$$
+{ \frac { 2 } { \sqrt { 3 } - 1 } } \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } { \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \mathrm { d } x \ .
+$$
+
+$x = \sin \theta$ ，则
+
+$$
+\mathrm { ~ \mathcal ~ { ~ L ~ } ~ } \vec { \mathfrak { x } } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } - 1 } \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \sin ^ { 2 } \theta \mathrm { d } \theta = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \theta - \frac { 1 } { 4 } \sin 2 \theta \Bigg ) \Bigg | _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } = \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { 1 2 } \pi \mathrm { ~ . ~ }
+$$
+
+10.6解因为 $y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$ ，所以 $y = { \sqrt { x } }$ 在点 $( t , \sqrt { t } )$ 处的切线l的方程为
+
+$$
+y - \sqrt { t } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } ( x - t ) , \mathbb { H } y = \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } x + \frac { \sqrt { t } } { 2 } .
+$$
+
+所围面积为
+
+$$
+S ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } x + \frac { \sqrt { t } } { 2 } \right) - \sqrt { x } \right] \mathrm { d } x = \frac { 1 } { \sqrt { t } } + \sqrt { t } - \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 3 } \ .
+$$
+
+$S ^ { \prime } ( t ) = - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = 0$ ，得t=1.
+
+又 $S ^ { \prime \prime } ( 1 ) > 0$ ，故当t=1时，S取最小值，此时l的方程为 $y = \frac { x } { 2 } + \frac { 1 } { 2 }$
+
+## 10.7解 (1)由题意得
+
+$$
+V _ { \mathrm { 1 } } = \pi { \int _ { a } ^ { 2 } } ( 2 x ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \frac { 4 } { 5 } \pi ( 3 2 - a ^ { 5 } ) ,
+$$
+
+$$
+V _ { _ 2 } = \pi a ^ { 2 } \cdot 2 a ^ { 2 } - \pi \int _ { 0 } ^ { 2 a ^ { 2 } } \frac { y } { 2 } \mathrm { d } y = \pi a ^ { 4 } ~ .
+$$
+
+(2)由(1)得
+
+$$
+V = V _ { 1 } + V _ { 2 } = \frac { 4 } { 5 } \pi ( 3 2 - a ^ { 5 } ) + \pi a ^ { 4 } ~ .
+$$
+
+$$
+V ^ { \prime } = 4 \pi a ^ { 3 } ( 1 - a ) = 0 ,
+$$
+
+得区间(0,2)内唯一的驻点a=1，且 $V ^ { \prime \prime } ( 1 ) = - 4 \pi < 0$ ，因此a=1是极大值点，即最大值点，此时
+
+$$
+V _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 2 9 } { 5 } \pi \ .
+$$
+
+10.8解作平面图形，如图10-17所示.
+
+方法一平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为
+
+![](images/b54aacbb50cf8e5ec84eecfae1ad440b3f198aa96f0dc0870964c3a7be4d80ab.jpg)
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { V _ { y } = \pi \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { 2 a } x _ { 2 } ^ { 2 } ( y ) \mathrm { d } y - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 a } x _ { 1 } ^ { 2 } ( y ) \mathrm { d } y \Bigg ] } \\ & { \quad = \pi \Bigg [ \int _ { 2 \pi } ^ { \pi } a ^ { 2 } ( t - \sin t ) ^ { 2 } a \sin t \mathrm { d } t - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } a ^ { 2 } ( t - \sin t ) ^ { 2 } a \sin t \mathrm { d } t \Bigg ] } \\ & { \quad = \pi a ^ { 3 } \Bigg [ - \displaystyle \int _ { \pi } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t \Bigg ] } \\ & { \quad = - \pi a ^ { 3 } \Bigg \} _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t , } \end{array}
+$$
+
+图10-17
+
+其中
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t ^ { 2 } \sin t + \sin ^ { 3 } t - 2 t \sin ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } t ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t \ .
+$$
+
+因为
+
+$$
+\begin{array} { r l r } {  { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } t ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t = - t ^ { 2 } \cos t \big \vert _ { 0 } ^ { 2 \pi } + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \cos t \mathrm { d } t } } \\ & { } & \\ & { } & { = - 4 \pi ^ { 2 } + 2 t \sin t \big \vert _ { 0 } ^ { 2 \pi } - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 \sin t \mathrm { d } t = - 4 \pi ^ { 2 } , \quad } \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t } = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 t \frac { 1 - \cos 2 t } { 2 } \mathrm { d } t } = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - t \cos 2 t ) \mathrm { d } t } } \\ & { \quad \quad \quad = \displaystyle { \left( \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } - \frac { t \sin 2 t } { 2 } \right) _ { 0 } ^ { 2 \pi } + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sin 2 t } { 2 } \mathrm { d } t } } \\ & { \quad \quad \quad = 2 \pi ^ { 2 } - \displaystyle { \frac { \cos 2 t } { 4 } \Bigg | _ { 0 } ^ { 2 \pi } = 2 \pi ^ { 2 } } , } \end{array}
+$$
+
+所以
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) ^ { 2 } \sin t \mathrm { d } t = - 4 \pi ^ { 2 } - 2 \pi ^ { 2 } = - 6 \pi ^ { 2 } ,
+$$
+
+则
+
+$$
+V _ { _ { y } } = - \pi a ^ { 3 } \cdot ( - 6 \pi ^ { 2 } ) = 6 \pi ^ { 3 } a ^ { 3 } .
+$$
+
+方法二平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为
+
+$$
+\begin{array} { l } { { V _ { y } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 2 \pi a } x y ( x ) \mathrm { d } x } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle \quad = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ( t - \sin t ) a ( 1 - \cos t ) a ( 1 - \cos t ) \mathrm { d } t } } \\ { { \ \displaystyle = 2 \pi a ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - 2 t \cos t + t \cos ^ { 2 } t - \sin t + 2 \sin t \cos t - \sin t \cos ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t } } \\ { { \ \displaystyle = 6 \pi ^ { 3 } a ^ { 3 } \ . } } \end{array}
+$$
+
+10.9解作出图形，如图10-18所示.
+
+$\widehat { A B }$ 的方程为 $y = x ^ { 2 } + 2 ( 0 \leqslant x \leqslant 1 )$ $\widehat { B C }$ 的方程为 $y = 4 - x ^ { 2 } ( 1 \leqslant x \leqslant 2 )$
+
+![](images/0709ce66db743250b6d09a9a89902f9d08a49accb274c1df37f3fef6c3149b1a.jpg)  
+图10-18
+
+设旋转体在区间[0,1]上的体积为 $V _ { 1 }$ ，在区间[1,2]上的体积为 $V _ { 2 }$ ，则它们的体积微元分别为
+
+$$
+\mathrm { d } V _ { 1 } = \pi \{ 3 ^ { 2 } - [ 3 - ( x ^ { 2 } + 2 ) ] ^ { 2 } \} \mathrm { d } x = \pi ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x ,
+$$
+
+$$
+\mathrm { d } V _ { 2 } = \pi \{ 3 ^ { 2 } - [ 3 - ( 4 - x ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } \} \mathrm { d } x = \pi ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x \ .
+$$
+
+由对称性得
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle { V = 2 ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x + 2 \pi \int _ { 1 } ^ { 2 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \frac { V = 2 ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x } } } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \frac { V = 2 ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 8 + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) \mathrm { d } x } } } } = \frac { 4 4 8 } { 1 5 } \pi ~ . }  \end{array}
+$$
+

考研/math/012_第11讲.md

@@ -0,0 +1,530 @@
+## 第11讲
+
+## 一元函数积分学的应用（二）-积分等式与积分不等式
+
+![](images/a60003d964976ca718b665f5ae39ce3706d8a28a9c45b2f1c01b4925430ed7f9.jpg)
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>积分等式、积分不等式的求法</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①掌握定积分中值定理，掌握用夹逼准则求一类积分极限与证明某些特殊的积分等式；②掌握函数单调性、拉格朗日中值定理、泰勒公式、换元积分法与分部积分法、牛顿－莱布尼茨公式，并会证明积分形式的不等式</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>①求积分；②积分后求极限</td></tr></table>
+
+![](images/84142cb21bbda1eb34bb18bc0b3838fe081da4f6b993d99e09f5f4a02b583572.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/c03995e2a533ae0107ea9525c94002a6b73bc62406c0c20af19995acec648ab7.jpg)
+
+![](images/d943c48ca724ed25e79c337b5b82df6bf864cdcfc9903215952565816ba0924b.jpg)
+
+## 基础内容精讲
+
+积分等式问题主要涉及积分形式的中值定理(见例11.1,例11.2),用夹逼准则求一类积分的极限（见例11.3～11.5)与证明某些特殊的积分等式[见例11.6(1)]；积分不等式问题主要涉及积分形式的不等式
+
+证明，可用函数的单调性（见例11.7)、拉格朗日中值定理(见例11.8)、泰勒公式（见例11.9)、积分法（见例11.10)与牛顿-莱布尼茨公式（见例11.11)来解决.
+
+![](images/9b4d6de73b74d9119ebb1d32bce8ab5b347d8b2c83217aabd208a0ebc1b66183.jpg)
+
+## 积分等式
+
+![](images/9532caf6bcd95c4d29cbee36d94c2ff0a7d6487540d1d497acf3e79f8f761f0d.jpg)
+
+## 用中值定理
+
+g(x)恒正、恒负或恒为0
+
+例11.1 (1)设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，证明：存在 $\xi \in ( a , b )$ ，使得
+
+$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x \mathrm { ; }$ 推广的积分中值定理（考试可直接使用）
+
+V当g(x)=1>0时，即 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )$ 5∈[a，b]（积分中值定理）
+
+★★★★(2)设f(x)在[1,2]上连续，计算 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x \xrightarrow [ ] { } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { a } ^ { b } \ne \int _ { a } ^ { b } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty }$
+
+(1)证若g(x)=0，结论显然成立；
+
+若 $g ( x ) \not \equiv 0$ ，由于不变号，不妨设g(x)>0.令
+
+$$
+F ( x ) = \int _ { a } ^ { x } f ( t ) g ( t ) \mathrm { d } t , G ( x ) = \int _ { a } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t ,
+$$
+
+在[a,b]上应用柯西中值定理，有 ${ \frac { F ( b ) - F ( a ) } { G ( b ) - G ( a ) } } = { \frac { F ^ { \prime } ( \xi ) } { G ^ { \prime } ( \xi ) } }$ ，即适田子西个品断 适用于两个函数
+
+$$
+{ \frac { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x - 0 } { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x - 0 } } = { \frac { f ( \xi ) g ( \xi ) } { g ( \xi ) } } = f ( \xi ) ,
+$$
+
+$$
+\int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x , \xi \in ( a , b ) ,
+$$
+
+其中 $\int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x > 0$ .同理可得g(x)<0时成立.得证.
+
+利用积分保号性 g(x)>0 见注(2)
+
+(2)解由(1)知， $\int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) { \underline { { \mathrm { e } } } } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x = f ( \xi _ { n } ) \int _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x , 1 < \xi _ { n } < 2$ .因f(x)在[1,2]上连续，则 $f ( { \xi } _ { n } )$ 有界；
+
+又在(1,2)内， $\mathrm { e } ^ { x ^ { n } } > x ^ { n } + 1 > 0$ 即 ${ \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { x ^ { n } } } } < { \frac { 1 } { x ^ { n } + 1 } } < { \frac { 1 } { x ^ { n } } } \overrightarrow { \ } \cdot \overrightarrow { \ }$ 放缩法见第2讲“6.夹逼准则”的注(2)@
+
+于是
+
+$$
+0 < \int _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x < \int _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { - n } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 1 - n } x ^ { 1 - n } \bigg | _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 - n } ( 2 ^ { 1 - n } - 1 ) \ , > \ \mathrm { 7 } \mathrm { 4 } a  \langle a \stackrel { \sigma } { \ } _ { \sigma } ^ { 2 } \stackrel { \sigma \ } { \ } _ { \sigma } ^ { 4 }
+$$
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } { \frac { 1 } { 1 - n } } ( 2 ^ { 1 - n } - 1 ) = 0 ,
+$$
+
+由夹逼准则得 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \int _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x = 0$ .故 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) \operatorname { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( \xi _ { n } ) \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 1 } ^ { 2 } \operatorname { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x = 0$ 有界×无穷小量
+
+（1）由于 $\xi \in ( a , b ) \subset [ a , b ]$ 故闭区间上结论亦成立，即设f(x),g(x)在[a,b]上连续且g(x)不变号，则至少存在一点 $\xi \in [ a , b ]$ ，使得 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) \int _ { a } ^ { b } g ( x ) \mathrm { d } x$
+
+(2)对于 $\int _ { 1 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { e } ^ { - x ^ { \prime } } \mathrm { d } x$ 虽然上下限为常数，但被积函数 $f ( x ) e ^ { - x ^ { n } }$ 与n有关，故中值 $\xi _ { n }$ 与n有关.同理，对于 $\int _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { \prime } } \mathrm { d } x$ 若写成 $\int _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { n } } \mathrm { d } x = \mathrm { e } ^ { - \eta _ { n } ^ { n } } , \eta _ { n } \in \left( 1 , 2 \right) , \eta _ { n }$ 亦与n有关，考生需注意，此时不能用 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \operatorname { e } ^ { - \eta _ { n } ^ { n } } = 0$
+
+拓展：对于 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a )$ ，当改变区间[a,b]→[a,x]时，5=5(x)；
+
+当改变被积函数f(x）→f(x，n）或/(x）（函数组）时，5=5(n).
+
+★ ★ 例11.2 设f(x)在 $\left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$ 上有二阶导数，且f(0)=2, $f \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) = 1$ $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( x ) { \frac { \mathrm { e } ^ { \sin x } \cos x \mathrm { d } x } { g ( x ) } } =$
+
+2(e-1).证明：存在 $\xi \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，使 $f ^ { \prime } ( \xi ) < 0$
+
+证 由推广的积分中值定理知，存在 $\eta \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，使得 $f ( \eta ) \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \sin x } \cos x \mathrm { d } x = 2 ( \mathrm { e } - 1 )$
+
+又 $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \sin x } \cos x \mathrm { d } x = \mathrm { e } ^ { \sin x } \left| _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } = \mathrm { e } - 1 \right.$ ，于是 $f ( \eta ) \cdot ( { \mathrm { e } } - 1 ) = 2 ( { \mathrm { e } } - 1 )$ ，即存在 $\eta \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，使得 $f ( \eta ) = 2$
+
+因 $f ( 0 ) = f ( \eta ) = 2$ .由罗尔定理知，存在 $\xi _ { 1 } \in ( 0 , \eta )$ ，使得 $f ^ { \prime } ( \xi _ { 1 } ) = 0$ .又因为 $f { \Biggl ( } { \frac { \pi } { 2 } } { \Biggr ) } = 1 , f ( \eta ) \neq f { \Biggl ( } { \frac { \pi } { 2 } } { \Biggr ) }$ ，罗 拉由拉格朗日中值定理知，存在 $\xi _ { 2 } \in \left( \eta , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，使得 N ↓5 n
+
+![](images/554efe30a9463626e457bb7c679d993c443a6d3a4f06c89b16c9d49f6a409353.jpg)
+
+$$
+f ^ { \prime } ( \xi _ { 2 } ) = \frac { f \left( \displaystyle \frac { \pi } { 2 } \right) - f ( \eta ) } { \displaystyle \frac { \pi } { 2 } - \eta } { = \frac { 1 - 2 } { \displaystyle \frac { \pi } { 2 } - \eta } } < 0 \ ,
+$$
+
+拓展：若 $f ( a ) = f ( b ) = f ( c )$ ，用三次罗尔定理，
+
+若 $f ( a ) \neq f ( b ) \neq f ( c )$ ，用三次拉格朗日中值定理， h C 由 $f ^ { \prime } ( \xi _ { 1 } ) < 0 , \ f ^ { \prime } ( \xi _ { 2 } ) > 0$ ，由f'(5)>0，f'(5）<0， 得f"(5)>0 得f"(5)<0 （习题11.1)
+
+再由拉格朗日中值定理知，存在 $\xi \in ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \subset \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，使得 $f ^ { \prime } ( \xi ) = \frac { f ^ { \prime } ( \xi _ { 2 } ) - f ^ { \prime } ( \xi _ { 1 } ) } { \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } } < 0$
+
+![](images/57ad41f180cb0ef37afe0fe6d0f934514b6cb8b9bfb6c18ea9326365c3ba5da7.jpg)
+
+## ②用夹逼准则
+
+例11.3 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( n + 1 ) x ^ { n } \ln ( 1 + x ) \mathrm { d } x = \mathrm { ~ ( ~ \qquad ~ ) ~ }$
+
+(A) ln2
+
+(B)1
+
+(C) $\mathrm { e } ^ { 2 }$
+
+解 应选(A).
+
+(D）+8
+
+$$
+\begin{array} { c } { { \frac { \ast \frac { n + \hat { c } } { 2 } \hat { \omega } _ { \perp } ^ { \ast } \hat { \omega } _ { \perp } ^ { \ast } } { 2 } } } \\ { { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( n + 1 ) x ^ { n } \ln ( 1 + x ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln ( 1 + x ) \mathrm { d } ( x ^ { n + 1 } ) } } \\ { { { } } } \\ { { = x ^ { n + 1 } \ln ( 1 + x ) \Big \vert _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \displaystyle \frac { x ^ { n + 1 } } { 1 + x } \mathrm { d } x } } \\ { { { } } } \\ { { { } = \ln 2 - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \displaystyle \frac { x ^ { n + 1 } } { 1 + x } \mathrm { d } x , } } \end{array}
+$$
+
+对于 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { n + 1 } } { 1 + x } } \mathrm { d } x$ ,利用放缩法.由于 $0 \leqslant \frac { x ^ { n + 1 } } { 1 + x } \leqslant x ^ { n + 1 } , 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，故
+
+$$
+0 \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { n + 1 } } { 1 + x } \mathrm { d } x \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n + 1 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { n + 2 } , \quad \mp \beta \leqslant \beta \leqslant \frac { \alpha } { 9 } \cdot \frac { \alpha } { 9 } \cdot \frac { \beta } { 1 2 }
+$$
+
+当 $n  \infty$ 时，由夹逼准则，有 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { n + 1 } } { 1 + x } } \mathrm { d } x = 0$ .于是原式=ln2.
+
+作为第(2)问的提示
+
+例11.4 (1)比较 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \ln t \right| [ \ln ( 1 + t ) ] ^ { n } \mathrm { d } t$ 与 $\int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \left| \ln t \right| \mathrm { d } t ( n = 1 , 2 , \cdots )$ 的大小，说明理由；
+
+(2)记 $u _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lvert \ln t \rvert [ \ln ( 1 + t ) ] ^ { n } \mathrm { d } t ( n = 1 , 2 , \cdots )$ ，求 $\operatorname* { l i m } _ { n  \infty } u _ { n } $ 典型考研命题形式
+
+解(1)当 $0 \leqslant t \leqslant 1$ 时， $0 \leqslant \ln ( 1 + t ) \leqslant t$ ，则 $0 \leqslant [ \ln ( 1 + t ) ] ^ { n } \leqslant t ^ { n }$ ，两边同时乘以|nt，有
+
+$$
+0 \leqslant \left| \ln t \right| [ \ln ( 1 + t ) ] ^ { n } \leqslant t ^ { n } \left| \ln t \right| ,
+$$
+
+根据积分的保号性，得
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \ln t \right| [ \ln ( 1 + t ) ] ^ { n } \mathrm { d } t \ll \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \left| \ln t \right| \mathrm { d } t .
+$$
+
+(2)由(1)知，
+
+$$
+0 \leqslant u _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigl | \ln t \bigr | [ \ln ( 1 + t ) ] ^ { n } \mathrm { d } t \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \bigl | \ln t \bigr | \mathrm { d } t \ .
+$$
+
+$$
+\frac { 4 + 4 a ^ { 4 } \Leftrightarrow 4 a } { \sqrt { 3 b } b } \Longleftrightarrow \sum _ { 0 } t ^ { n } | \ln t |  { \mathrm { d } } t = - \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \cdot \overbrace { \ln t  { \mathrm { d } } t } ^ { \ast \ n } = - \frac { t ^ { n + 1 } } { n + 1 } \ln t \Biggr | _ { 0 } ^ { n } + \frac { 1 } { n + 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n }  { \mathrm { d } } t = 0 + \frac { 1 } { n + 1 } \Biggl [ \underset { t \to 0 ^ { \prime } } { \operatorname* { l i m } } t ^ { n + 1 } \ln t \Biggr ] + \frac { t ^ { n + 1 } } { \left( n + 1 \right) ^ { 2 } } \Biggr | _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { \left( n + 1 \right) ^ { 2 } } ,
+$$
+
+所以 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \left| \ln t \right| \mathrm { d } t = 0$ ，于是由夹逼准则得 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } u _ { n } = 0$
+
+注更为一般的结论：设f（x）在[0,1]上连续，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } f ( x ) \mathrm { d } x = 0$
+
+证由f(x)在[0,1]上连续，则f(x)在[0,1]上有最大值M和最小值m，即 $m \leqslant f ( x ) \leqslant M$ 于是 $m x ^ { n } \leqslant x ^ { n } f ( x ) \leqslant M x ^ { n }$ .根据积分的保号性，有 $\int _ { 0 } ^ { 1 } m x ^ { n } \mathrm { d } x \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } M x ^ { n } \mathrm { d } x$ ${ \frac { m } { n + 1 } } \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant$ $\frac { M } { n + 1 }$ 根据夹逼准则，有 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } f ( x ) \mathrm { d } x = 0$
+
+如例11.4中所取的 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x \left| \ln x \right| , } & { 0 < x \leqslant 1 , } \\ { 0 , } & { x = 0 , } \end{array} \right. }$ 则有 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n - 1 } x \left| \ln x \right| \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } \left| \ln x \right| \mathrm { d } x = 0$
+
+例11.5 设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { 1 } { x } } \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = - { \qquad }$ 分析 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { x } } { \Biggl ( } { \frac { \infty } { \infty } } { \Biggr ) }$ 不能用洛必达法则，因为包含跳跃间断点的函数f(x)无原函数.
+
+解 应填 $\frac { 1 } { 2 }$
+
+由例1.13可知f(x)是周期为1的周期函数，其图像如图11-1所示.
+
+$\int _ { 0 } ^ { n } f ( t ) \mathrm { d } t = n \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( t ) \mathrm { d } t$ ，表示n个三角形的面积.每个三角形的面积为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，故为 $\frac { n } { 2 }$ 7
+
+![](images/7319b58d1a2d3f29df2aa50d51ce7e55252ace3fad292c5d1551cfe3e765652e.jpg)  
+图11-1
+
+→分子的取值范围
+
+当 $\frac { n \leqslant x < n + 1 } { \downarrow }$ 即 $\frac { 1 } { n + 1 } < \frac { 1 } { x } \leqslant \frac { 1 } { n }$ 时， $\frac { n } { 2 } = \int _ { 0 } ^ { n } f ( t ) \mathrm { d } t \leqslant \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t < \int _ { 0 } ^ { n + 1 } f ( t ) \mathrm { d } t = \frac { n + 1 } { 2 }$ ，于是
+
+分母的取值范围
+
+$$
+{ \frac { n } { 2 ( n + 1 ) } } = { \widehat { \frac { 1 } { n + 1 } } } \int _ { 0 } ^ { n } f ( t ) \mathrm { d } t < { \frac { 1 } { x } } \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t < { \frac { 1 } { n } } \int _ { 0 } ^ { n + 1 } f ( t ) \mathrm { d } t = { \frac { n + 1 } { 2 n } } \ ,
+$$
+
+当 $0 < a < y < b , 0 < c < x < d$ 时，当 $x \to + \infty$ 时，𝑛→，由夹逼准则，有 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { 1 } { x } } { \int _ { 0 } ^ { x } { f ( t ) \mathrm { d } t } } = \frac { 1 } { 2 }$ 有 $\frac { a } { d } < \frac { y } { x } < \frac { b } { c }$
+
+## ③用积分法 →恒等变形、换元法、分部积分法
+
+例11.6 设f(x)的二阶导数f"(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(l)=0，证明：
+
+(1) $\int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( x - 1 ) f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x$
+
+(2) $\left| \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant { \frac { 1 } { 1 2 } } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leqslant x \leqslant 1 } \left\{ \left| f ^ { \prime \prime } ( x ) \right| \right\}$
+
+分析第(1)问出现函数和函数的二阶导数，用两次分部积分法.
+
+2话证(1) ${ \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( x - 1 ) f ^ { \prime \prime } ( x ) \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \underline { { x ( x - 1 ) } } } \mathrm { d } { \big [ } { \underline { { f ^ { \prime } ( x ) } } } { \big ] } ^ { 2 }$ 分部积分法： $\int u \mathrm { d } \nu = u \nu - \int \nu \mathrm { d } u$
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle = \frac 1 2 x ( x - 1 ) f ^ { \prime } ( x ) \Bigg \vert _ { 0 } ^ { 1 } - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } ( x ) ( 2 x - 1 ) \mathrm { d } x } } \\ { { \displaystyle = - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x - 1 ) \mathrm { d } \big [ f ( x ) \big ] } } \\ { { \displaystyle = - \frac 1 2 ( 2 x - 1 ) f ( x ) \Bigg \vert _ { 0 } ^ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x , } } \end{array}
+$$
+
+由条件f(0)=f(1)=0，知结论成立.
+
+(2)记 $M = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq 1 } \left\{ \left| f ^ { \prime \prime } ( x ) \right| \right\}$ ，则由(1)有
+
+$$
+\left| \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \right| = \frac { 1 } { 2 } \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( x - 1 ) f ^ { \prime \prime } ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| x ( x - 1 ) \right| \left| f ^ { \prime \prime } ( x ) \right| \mathrm { d } x \leqslant \frac { M } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( 1 - x ) \mathrm { d } x = \frac { M } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) = \frac { M } { 1 2 } \mathrm { ~ . }
+$$
+
+得证.
+
+利用第8讲“二、3”的性质4
+
+![](images/69c5e75ec04a9d679c45885207232bc9b9809864583b065e323ed27afb641831.jpg)
+
+## 积分不等式
+
+![](images/46ca92afc5e2b5e5e4a55c5cc27c238a5e4534965c0901521e44013fc91592f5.jpg)
+
+## 1 用函数的单调性
+
+通常的做法：首先将某一积分限（通常取上限)变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证明不等式，此方法多用于所给条件为 ${ } ^ { \mathfrak { a } } f ( x )$ 在[a,b]上连续”的情形. g(x）有界
+
+★★★@例11.7 设函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加, $0 \leqslant g ( \dot { x } ) \leqslant 1$ .证明：
+
+(1) $0 { \leqslant } \int _ { a } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t { \leqslant } x - a , x \in [ a , b ]$
+
+(2) $\int _ { a } ^ { a + \displaystyle \int _ { a } ^ { b } g ( t ) \mathrm { d } t } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x$
+
+分析（1)中，因为 $a \leqslant x$ ，所以 $\int _ { a } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ 是正向的积分，可直接用积分的保号性；
+
+(2)中，该题是考研以来上限较复杂的定积分，做题时要注意形式的复杂性.
+
+证 (1)因为 $0 \leqslant g ( x ) \leqslant 1$ ，所以当 $x \in [ a , b ]$ 时，有 $\int _ { a } ^ { x } 0 \mathrm { d } t \leqslant \int _ { a } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t \leqslant \int _ { a } ^ { x } 1 \mathrm { d } t$ ，即
+
+$$
+0 \leqslant \int _ { a } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t \leqslant x - a \ .
+$$
+
+(2)令 $F ( x ) = \int _ { a } ^ { a + \int _ { a } ^ { \infty } \int g ( u ) \mathrm { d } u } f ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { a } ^ { x } f ( t ) g ( t ) \mathrm { d } t , x \in [ a , b ]$ 三个变量要区分开
+
+因为f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，所以F(x)在区间[a,b]上可导，且
+
+$$
+F ^ { \prime } ( x ) = f { \biggl [ } a + \int _ { a } ^ { x } g ( u ) \mathrm { d } u { \biggr ] } g ( x ) - f ( x ) g ( x ) = \left\{ f { \biggl [ } a + \int _ { a } ^ { x } g ( u ) \mathrm { d } u { \biggr ] } - f ( x ) \right\} g ( x ) ~ .
+$$
+
+由(1)知， $\int _ { a } ^ { x } g ( u ) \mathrm { d } u \leqslant x - a$ ，即 $a + \int _ { a } ^ { x } g ( u ) \mathrm { d } u \leqslant x , x \in [ a , b ]$ .又因为f(x)单调增加，且 $g ( x ) \geqslant 0$ 所以 $F ^ { \prime } ( x ) { \leqslant } 0$ ，从而F(x)在区间[a,b]上单调减少. → yF(x)单调递又F(a)=0，故 $F ( b ) \leqslant 0$ ，即 $\int _ { a } ^ { a + \displaystyle \int _ { a } ^ { b } g ( t ) \mathrm { d } t } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x$ o 减且F(a)=0
+
+![](images/cb25d7d93c2abf9ff957905203e3529c566ce4cb3db387b0cb2dc700775d8f1f.jpg)
+
+## 2 用拉格朗日中值定理
+
+## →这是由拉格朗日中值定理的条件决定的
+
+此方法多用于所给条件为“f(x)一阶可导”且某一端点值较简单(甚至为0)的题目.
+
+例11.8 设f(x)在[0,1]上具有一阶连续导数，且 $f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0$ .记 $M = \operatorname* { m a x } _ { x \in [ 0 , 1 ] } \left\{ \left| f ^ { \prime } ( x ) \right| \right\}$ .证明：即f'(x)達续  
+★见到f(x)，f'(x)，想拉格朗日中值定理 $\left| \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \right| { \leqslant } { \frac { 1 } { 4 } } M$
+
+证 将大区间[0,1]分成两个小区间[0，x]和[x,1].
+
+在[0,x]上对f(x)使用拉格朗日中值定理，得 $f ( x ) - f ( 0 ) = f ( x ) = f ^ { \prime } ( \xi _ { 1 } ) x$ ，其中 $\xi _ { 1 } \in ( 0 , x )$ ，于是0 5 x s |f(x)=|f(5)x.
+
+![](images/493059689bd4822053afee82febc411e51057d4da24eb2784bbd26e7a814eac1.jpg)
+
+在[x,1]上对f(x)使用拉格朗日中值定理，得 $f ( 1 ) - f ( x ) = - f ( x ) = f ^ { \prime } ( \xi _ { 2 } ) ( 1 - x )$ ，其中 $\xi _ { 2 } \in ( x , 1 )$ 于是 |f(x)=|f'(52)(1-x).
+
+当x∈[0,1]时，因为 $M = \operatorname* { m a x } \left\{ \left| f ^ { \prime } ( x ) \right| \right\}$ ，所以
+
+$$
+\left| f ( x ) \right| \leqslant M x , \left| f ( x ) \right| \leqslant M ( 1 - x ) ,
+$$
+
+于是
+
+利用不等式la+b≤la|+b，见第2讲“6.夹逼准则”的泣(2)①
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \left| \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \right| = \left| \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t + \displaystyle \int _ { x } ^ { 1 } f ( t ) \mathrm { d } t \right| \leqslant \left| \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \right| + \left| \displaystyle \int _ { x } ^ { 1 } f ( t ) \mathrm { d } t \right| \leqslant \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } \left| f ( t ) \right| \mathrm { d } t + \displaystyle \int _ { x } ^ { 1 } \left| f ( t ) \right| \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \leqslant M \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } t \mathrm { d } t + M \displaystyle \int _ { x } ^ { 1 } ( 1 - t ) \mathrm { d } t = M \left[ \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \displaystyle \frac { ( 1 - x ) ^ { 2 } } { 2 } \right] , } \end{array}
+$$
+
+其中， ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { ( 1 - x ) ^ { 2 } } { 2 } } = x ^ { 2 } - x + { \frac { 1 } { 2 } } = \left( x - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } \geq { \frac { 1 } { 4 } }$ ，故得证.
+
+## ③ 用泰勒公式
+
+此方法多用于所给条件为“f(x)二阶可导”且题中有简单函数值(甚至为0)的题目.
+
+例11.9 设f(x)在[0,2]上二阶导数连续，且f(1)=0.当 $x \in [ 0 , 2 ]$ 时,记 $M = \operatorname* { m a x } \left\{ \left| f ^ { \prime } ( x ) \right| \right\}$ ，证 明： $\left| \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x \right| { \leqslant } { \frac { 1 } { 3 } } M$ 即f"(x)连续
+
+分析当无法用牛顿-莱布尼茨公式时，可考虑用泰勒公式将被积函数f(x)展开成多项式再做.
+
+证 根据题设，选取点 $x _ { 0 } = 1$ 展开成泰勒公式，则
+
+$f ( x ) = f ( 1 ) + f ^ { \prime } ( 1 ) ( x - 1 ) + { \frac { f ^ { \prime \prime } ( \xi ) } { 2 } } ( x - 1 ) ^ { 2 }$ （ξ是介于x,1之间的关于x的函数），
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x = f ^ { \prime } ( 1 ) \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 2 } ( x - 1 ) \mathrm { d } x } _ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { f ^ { \prime \prime } ( \xi ) } { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( \xi ) ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \ ,
+$$
+
+利用第8讲“二、3”的性质4
+
+→利用 $\int _ { 0 } ^ { 2 x _ { 0 } } ( x - x _ { 0 } ) \mathrm { d } x = 0$
+
+$$
+\left| \int _ { 0 } ^ { 2 } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 2 } \bigl | f ^ { \prime \prime } ( \xi ) \bigr | ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \leqslant \frac 1 2 M \int _ { 0 } ^ { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x = \frac 1 3 M ,
+$$
+
+故得证.
+
+## 4 用积分法
+
+例11.10 设f(x)在[0,2π]上具有一阶连续导数，且 $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ ，证明：对任意正整数n有
+
+$$
+\left| \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( x ) \sin n x \mathrm { d } x \right| { \leqslant } \frac { 2 } { n } [ f ( 2 \pi ) - f ( 0 ) ] \ .
+$$
+
+分析被积函数是两项相乘的形式，故用分部积分法去做.
+
+$$
+\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \Bigg | \Bigg | \mathbf { z } ^ { \int \alpha } f ( x ) \sin x \mathrm { d } \mathbf { z } \Bigg | - \Bigg | \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( x ) \mathrm { d } ( \cos x x ) \Bigg | - \Bigg | \frac { 1 } { n } f ( x ) \cos x \mathrm { d } \mathbf { z } \Bigg | ^ { 2 } - \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( x ) \cos x \mathrm { d } \mathbf { z } \Bigg | } & { } \\ & { \qquad \quad \leqslant \Bigg | \frac { 1 } { n } f ( x ) \cos x \mathrm { d } \Bigg | ^ { 2 } \Bigg | + \Bigg | \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( x ) \cos x \mathrm { d } \mathbf { z } \Bigg | } & { \qquad \mathrm { d } \mathbf { z } \Bigg | } \\ & { \qquad \quad \leqslant \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { n } \Big [ f ( 2 \pi ) - f ( 0 ) \Big ] + \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( x ) \cos x \mathrm { d } \mathbf { z } \Bigg | } \\ & { \qquad \quad \leqslant \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { n } \Bigg [ f ( 2 \pi ) - f ( 0 ) \Big ] + \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big | f ^ { \prime } ( x ) \cos x \mathrm { d } \mathbf { z } \Big | \mathrm { d } x } \\ & { \qquad \quad \leqslant \Bigg | \alpha \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \alpha } \Big [ \Big | + \frac { 1 } { n } f ^ { \prime } ( x ) \sin x \Big | } \\ & { \qquad \quad \le \frac { 1 } { n } \Big [ f ( 2 \pi ) - f ( 0 ) \Big ] + \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { \qquad \quad \le \Bigg | \alpha \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \alpha } \Big [ \Big | + \frac { 1 } { n } f ^ { \prime } ( x ) \Big | } \\ &  \qquad \quad \le \frac { 2 } { n } \Big [ f ( 2 \ \end{array}
+$$
+
+## 5用牛顿-莱布尼茨公式
+
+例11.11 设f'(x)在[a,b]上连续，且 $f ( a ) = f ( b ) = 0$ .证明：
+
+$$
+\vert f ( x ) \vert { \leqslant } { \frac { 1 } { 2 } } { \int _ { a } ^ { b } } \vert f ^ { \prime } ( x ) \vert \mathrm { d } x ~ .
+$$
+
+分析证明f(x）与 $\int _ { a } ^ { b } f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x$ 的关系用牛顿-莱布尼茨公式.
+
+证 由 $f ( x ) = f ( x ) - f ( a ) = \int _ { a } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t$ ，得
+
+$$
+\left| f ( x ) \right| { = } { \left| \int _ { a } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \right| } { \leqslant } \int _ { a } ^ { x } \left| f ^ { \prime } ( t ) \right| \mathrm { d } t ,\tag{①}
+$$
+
+由 $f ( x ) = f ( x ) - f ( b ) = \int _ { b } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t$ ，得
+
+→第8讲“二、3”的性质4
+
+$$
+\left| f ( x ) \right| = \left| \int _ { b } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \right| = \left| \int _ { x } ^ { b } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \right| \Leftarrow \int _ { x } ^ { b } \left| f ^ { \prime } ( t ) \right| \mathrm { d } t \ .\tag{②}
+$$
+
+式①+式②，得 $2 { \big | } f ( x ) { \big | } \leqslant \int _ { a } ^ { x } { \big | } f ^ { \prime } ( t ) { \big | } \mathrm { d } t + \int _ { x } ^ { b } { \big | } f ^ { \prime } ( t ) { \big | } \mathrm { d } t = \int _ { a } ^ { b } { \big | } f ^ { \prime } ( t ) { \big | } \mathrm { d } t$ ，即
+
+$$
+\big | f ( x ) \big | \leqslant \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } \big | f ^ { \prime } ( x ) \big | \mathrm { d } x \ .
+$$
+
+![](images/2ad9ceb16aaf13969aa756c6040fc946e91e4052bb6fc2dc921c0dd4181b154e.jpg)
+
+## 基础习题精练
+
+## 习题
+
+11.1若函数φ(x)具有二阶导数，且满足 $\varphi ( 2 ) > \varphi ( 1 ) , \varphi ( 2 ) > \int _ { 2 } ^ { 3 } \varphi ( x ) \mathrm { d } x$ ，证明：至少存在一点 $\xi \in$ (1,3)，使得 $\varphi ^ { \prime \prime } ( \xi ) < 0$
+
+11.2 证明： $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \cos x } { 1 + { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \geqslant \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin x } { 1 + { x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$
+
+11.3设φ(x)是可微函数f(x)的反函数，且f(1)=0，证明：
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { f ( x ) } \varphi ( t ) \mathrm { d } t \biggr ] \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x f ( x ) \mathrm { d } x .
+$$
+
+11.4设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加，证明：
+
+$$
+( a + b ) \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x < 2 \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) \mathrm { d } x .
+$$
+
+11.5设f'(x)在[0,a]上连续，且f(0)=0，证明：
+
+$$
+\left| \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant { \frac { M a ^ { 2 } } { 2 } } ,
+$$
+
+其中 $M = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leqslant x \leqslant a } \left| f ^ { \prime } ( x ) \right|$
+
+11.6设f(x)在区间[0,1]上有二阶导数，且 $f \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) = 1 , f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，证明： $\int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \geq 1$
+
+## 解答
+
+11.1证明由积分中值定理，可知至少存在一点 $\eta \in ( 2 , 3 ]$ ，使得
+
+$$
+\int _ { 2 } ^ { 3 } \varphi ( x ) \mathrm { d } x = \varphi ( \eta ) ( 3 - 2 ) = \varphi ( \eta ) ~ .
+$$
+
+对φ(x)在[1,2]和[2,n]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到 $\varphi ( 1 ) < \varphi ( 2 ) , \varphi ( \eta ) < \varphi ( 2 )$ ，得
+
+$$
+\varphi ^ { \prime } ( \xi _ { 1 } ) = \frac { \varphi ( 2 ) - \varphi ( 1 ) } { 2 - 1 } > 0 , 1 < \xi _ { 1 } < 2 ,
+$$
+
+$$
+\varphi ^ { \prime } ( \xi _ { _ 2 } ) = { \frac { \varphi ( \eta ) - \varphi ( 2 ) } { \eta - 2 } } < 0 , \ 2 < \xi _ { _ 2 } < \eta \leqslant 3 \ .
+$$
+
+在 $[ \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ]$ 上对导函数φ(x)应用拉格朗日中值定理，有
+
+$$
+\varphi ^ { \prime } ( \xi ) = \frac { \varphi ^ { \prime } ( \xi _ { 2 } ) - \varphi ^ { \prime } ( \xi _ { 1 } ) } { \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } } < 0 , \xi \in ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \subset ( 1 , 3 ) \ .
+$$
+
+11.2证明要证原不等式成立，只需证 $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \geq 0$
+
+方法一 $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x + \int _ { \frac { \pi } { 4 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x$
+
+在上式右边第二项积分中， 厦 $x = \frac { \pi } { 2 } - t$ ，得
+
+$$
+\begin{array} { c }  { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \sin t - \cos t } { 1 + \left( \frac { \pi } { 2 } - t \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } t } } } \\ { { = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \left( \cos x - \sin x \right) \left[ \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { \pi } { 2 } - x \right) ^ { 2 } } \right] \mathrm { d } x \geqslant 0 , } } } \end{array}
+$$
+
+故原式得证.
+
+方法二
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac { x } { 2 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ & { = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \frac { x } { 4 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \int _ { \frac { x } { 4 } } ^ { \frac { x } { 2 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ & { = \displaystyle { \frac { 1 } { 1 + \xi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { x } { 4 } } ( \cos x - \sin x ) \mathrm { d } x + \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { 2 } } \int _ { \frac { x } { 4 } } ^ { \frac { x } { 2 } } ( \cos x - \sin x ) \mathrm { d } x } } \\ & { \quad = ( \sqrt { 2 } - 1 ) \bigg ( \frac { 1 } { 1 + \xi ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { 2 } } \bigg ) } ,  \end{array}
+$$
+
+其中 $0 { \leqslant } \xi { \leqslant } { \frac { \pi } { 4 } } , { \frac { \pi } { 4 } } { \leqslant } \eta { \leqslant } { \frac { \pi } { 2 } }$ ，从而有
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \cos x - \sin x } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \geq 0 ,
+$$
+
+故原式得证.
+
+11.3分析左端定积分的被积函数为变限积分，考虑分部积分法.
+
+证明
+
+$$
+\begin{array} { r l r } {  { \int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { f ( x ) } \varphi ( t ) \mathrm { d } t \biggr ] \mathrm { d } x = x \biggl \} _ { 0 } ^ { f ( x ) } \varphi ( t ) \mathrm { d } t \biggr | _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } x \varphi [ f ( x ) ] \bullet f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x } } \\ & { } & \\ & { } & { = - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \bullet f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = - \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \mathrm { d } [ f ( x ) ] } \\ & { } & \\ & { } & { = - x ^ { 2 } f ( x ) \Big | _ { 0 } ^ { 1 } + 2 \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } x f ( x ) \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x f ( x ) \mathrm { d } x \ . } \end{array}
+$$
+
+11.4分析 $( a + b ) \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x < 2 \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) \mathrm { d } x \Leftrightarrow ( a + b ) \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x - 2 \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) \mathrm { d } x < 0$ ，可构造辅助函数，用单调性证明.
+
+证明 $F ( t ) = ( a + t ) \int _ { a } ^ { t } f ( x ) \mathrm { d } x - 2 \int _ { a } ^ { t } x f ( x ) \mathrm { d } x , t \in [ a , b ]$ ，则
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle F ^ { \prime } ( t ) = \int _ { a } ^ { t } f ( x ) { \mathrm { d } } x + ( a + t ) f ( t ) - 2 t f ( t ) = \int _ { a } ^ { t } f ( x ) { \mathrm { d } } x - ( t - a ) f ( t ) } } \\ { { \displaystyle \qquad = \int _ { a } ^ { t } f ( x ) { \mathrm { d } } x - \int _ { a } ^ { t } f ( t ) { \mathrm { d } } x = \int _ { a } ^ { t } [ f ( x ) - f ( t ) ] { \mathrm { d } } x ~ . } } \end{array}
+$$
+
+因为f(x)在[a,b]上严格单调增加，所以 $f ( x ) - f ( t ) < 0$ ，于是有
+
+$$
+F ^ { \prime } ( t ) = \int _ { a } ^ { t } \bigl [ f ( x ) - f ( t ) \bigr ] \mathrm { d } x < 0 ,
+$$
+
+即 $F ( t )$ 严格单调减少，又 $F ( a ) = 0$ ，所以 $F ( b ) < 0$ ，即
+
+$$
+( a + b ) \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x - 2 \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) \mathrm { d } x < 0 ,
+$$
+
+即
+
+$$
+( a + b ) \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x < 2 \int _ { a } ^ { b } x f ( x ) \mathrm { d } x .
+$$
+
+11.5证明方法一任取 $x \in ( 0 , a ]$ ，由微分中值定理有
+
+$$
+f ( x ) - f ( 0 ) = f ^ { \prime } ( \xi ) x , \xi \in ( 0 , x ) \ .
+$$
+
+又因f(0)=0，故 $f ( x ) = f ^ { \prime } ( \xi ) x , x \in ( 0 , a ]$ ，于是
+
+$$
+\left| \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x \right| = \left| \int _ { 0 } ^ { a } f ^ { \prime } ( \xi ) x \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { 0 } ^ { a } \left| f ^ { \prime } ( \xi ) \right| x \mathrm { d } x \leqslant M \int _ { 0 } ^ { a } x \mathrm { d } x = \frac M 2 a ^ { 2 } \ .
+$$
+
+方法二设 $x \in [ 0 , a ]$ ，由 $f ( 0 ) = 0$ 知
+
+$$
+\int _ { 0 } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t = f ( x ) - f ( 0 ) = f ( x ) \ ,
+$$
+
+于是
+
+$$
+\left| f ( x ) \right| = \left| \int _ { 0 } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t \right| \leqslant \int _ { 0 } ^ { x } \bigl | f ^ { \prime } ( t ) \bigr | \mathrm { d } t \leqslant \int _ { 0 } ^ { x } M \mathrm { d } t = M x \ ,
+$$
+
+故
+
+$$
+\left| \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { 0 } ^ { a } \left| f ( x ) \right| \mathrm { d } x \leqslant \int _ { 0 } ^ { a } M x \mathrm { d } x = { \frac { M a ^ { 2 } } { 2 } } ~ .
+$$
+
+注对积分 $\left| \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm { d } x \right|$ 作估计，只要对被积函数f(x)作估计即可.条件中给出导数f‘(x)及$f ( 0 ) = 0$ 的信息，自然想办法把f(x)和f'(x)联系起来.在高等数学中，联系f(x)和f'(x)有两种常用的办法，一是微分学中的拉格朗日中值定理(方法一),二是积分学中的牛顿－莱布尼茨公式(方法二).
+
+11.6证明
+
+$$
+f ( x ) = f { \Biggl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggr ) } + f ^ { \prime } { \Biggl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggr ) } { \Biggl ( } x - { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggr ) } + { \frac { f ^ { \prime \prime } ( \xi ) } { 2 ! } } { \Biggl ( } x - { \frac { 1 } { 2 } } { \Biggr ) } ^ { 2 } \ ,
+$$
+
+其中§介于x与 $\frac { 1 } { 2 }$ 之间.又由 $f ^ { \prime \prime } ( x ) > 0$ ，则 $f ^ { \prime \prime } ( \xi ) > 0$ ，于是
+
+$$
+f ( x ) \geqslant f { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } + f ^ { \prime } { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } { \left( x - { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ~ .
+$$
+
+两边在区间[0,1]上对x积分，得
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \geqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl [ f \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \biggr ) + f ^ { \prime } \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \biggr ) \biggl ( x - \frac { 1 } { 2 } \biggr ) \biggr ] \mathrm { d } x } } } \\ { { \displaystyle { = f \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \biggr ) + f ^ { \prime } \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \biggr ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl ( x - \frac { 1 } { 2 } \biggr ) \mathrm { d } x = f \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \biggr ) = 1 } . } } \end{array}
+$$
+

考研/math/013_第12讲.md

@@ -0,0 +1,448 @@
+## 第12讲
+
+## 一元函数积分学的应用（三）物理应用与经济应用
+
+![](images/84822fa7f0ac76b16251793c23f2fe945a3ebcec475ecd7da45ae377160932f4.jpg)
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的求法（仅数学一、数学二），经济类题目求解（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①掌握求解变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的方法（仅数学一、数学二）；②掌握求解经济应用的题目（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>静水压力的求法（仅数学一、数学二）</td></tr></table>
+
+![](images/23cfa3901390b0b596783aa3e729b6c0ba432c2954b6d95e5a53fb386be7c274.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/405691f4b703a89e9c0d48250ba148f424bad6bd230095c6fc1ee1460eb2bf53.jpg)
+
+![](images/4697580564c355d02dabf1b1bdde63c408b07607465e2e2d3f695f97f88b527c.jpg)
+
+## '基础内容精讲
+
+## 物理应用（仅数学一、数学二）
+
+![](images/9667f4a9740769d27e2d53b8375824ec1009b0dcdfe8ccf2aec5fd929c4c3f67.jpg)
+
+## 1变力沿直线做功
+
+设方向沿x轴正向的力函数为 $y = F ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ ，则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功（见图12-1)为
+
+几何上为曲边梯形的面积，物理上为变力沿直线做功.
+
+$$
+W = \int _ { a } ^ { b } \frac { F ( x ) \mathrm { d } x } { \downarrow } ,
+$$
+
+功的微元 $\mathrm { d } W = F ( x ) \mathrm { d } x$
+
+表示小的矩形条的面积(从a到b进行累加，表示总功）
+
+![](images/92f93cc02e0a411adf501768309dbf0ddc1a56704245ce27165adb16353978b4.jpg)
+
+## 例12.1 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉
+
+图12-1
+
+击人木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次击打做功相等，则第二锤可将铁钉又击入
+
+分析①翻译成数学语言 + 引入记号↓ ↓成正比：f=kx 阻力：f 深度：x功相等： ${ \cal W } _ { 1 } = { \cal W } _ { 2 }$ 第一次做的功： $W _ { 1 }$ 第二次做的功： $W _ { 2 }$
+
+②取微元： $\mathrm { d } W _ { 1 } = k x \mathrm { d } x \ , ~ \mathrm { d } W _ { 2 } = k x \mathrm { d } x$
+
+![](images/da5aa990bb30e041294610d730c9c8b6b9b311273cee2996114499a7096e9e0f.jpg)
+
+③积分 $W _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } k x \mathrm { d } x , W _ { 2 } = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } k x \mathrm { d } x$
+
+## 解 应填 $( \sqrt { 2 } - 1 ) \mathsf { c m }$
+
+设第n次击打后，铁钉击入木板的深度为 $x _ { n } ~ \mathrm { c m }$ ，第n次击打时，铁锤所做的功为 $W _ { n } ( n = 1 , ~ 2 )$ ，由题设，当铁钉击入木板的深度为xcm时，木板对铁钉的阻力的大小为kx（k为常数），所以
+
+$$
+W _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } k x \mathrm { d } x = \frac { k } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } , x _ { 1 } = 1 ;
+$$
+
+$$
+W _ { _ 2 } = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } k x \mathrm { d } x = { \frac { k } { 2 } } x _ { 2 } ^ { 2 } - { \frac { k } { 2 } } x _ { 1 } ^ { 2 } ,
+$$
+
+又 ${ \cal W } _ { 2 } = { \cal W } _ { 1 }$ ，从而
+
+$$
+{ \frac { k } { 2 } } x _ { 2 } ^ { 2 } = 2 W _ { 1 } = k ,
+$$
+
+于是
+
+$$
+x _ { 2 } = { \sqrt { 2 } } ,
+$$
+
+所以第二锤可将铁钉又击入 $( \sqrt { 2 } - 1 ) \mathsf { c m }$
+
+## 考研数学基础30讲·高等数学分册
+
+## ② 抽水做功
+
+如图12-2所示，将容器中的水全部抽出所做的功为
+
+$$
+W = \rho g \int _ { a } ^ { b } x A ( x ) \mathrm { d } x ,
+$$
+
+其中 $\rho$ 为水的密度， $g$ 为重力加速度.
+
+![](images/d5a5e5edfb14a4086292cf8e18d3c8a294960314f3f97b3c36e5a2ff4abcc145.jpg)
+
+功的微元 $\mathrm { d } W = \rho g x A ( x ) \mathrm { d } x$ 为位于x处厚度为dx，水平截面面积为A(x)的一层水被抽出（路程为x）所做的功.
+
+图12-2
+
+求解这类问题的关键是确定x处的水平截面面积A(x)，其余的量都是固定的.
+
+$d W = \lbrack \underbrace { \rho g A ( x ) \mathrm { d } x } _ { \downarrow } \bullet \underbrace { x } _ { \downarrow } = \rho g A ( x ) \bullet x \mathrm { d } x$
+
+例12.2 有一倒圆锥形容器，高为a，上底半径为b，装满水.记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为g，则将容器中的水全部从容器顶部抽出所做的功为
+
+分析①建立坐标系（对称、高为正）；
+
+②取微元 $\mathrm { d } W = \rho g A ( x ) x \mathrm { d } x$
+
+$$
+\pi \bullet { \frac { ( a - x ) ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } }
+$$
+
+③积分 $W = \int _ { 0 } ^ { a } \rho { g \pi } x \frac { ( a - x ) ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \mathrm { d } x$
+
+解 应填 $\frac { 1 } { 1 2 } \rho g a ^ { 2 } b ^ { 2 } \pi$
+
+如图12-3所示，建立坐标系.在x处的水平截面的半径r满足 $\frac { r } { b } = \frac { a - x } { a }$ ，即
+
+$$
+r = \frac { b ( a - x ) } { a } \ .
+$$
+
+截面面积
+
+$$
+A ( x ) = \pi r ^ { 2 } = \pi \bullet \left[ { \frac { b ( a - x ) } { a } } \right] ^ { 2 } = { \frac { b ^ { 2 } ( a - x ) ^ { 2 } \pi } { a ^ { 2 } } } \ .
+$$
+
+所以将水全部抽出所做的功
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal W } = \rho g \int _ { 0 } ^ { a } x { \cal A } ( x ) \mathrm { d } x = \rho g \int _ { 0 } ^ { a } x \displaystyle \frac { b ^ { 2 } ( a - x ) ^ { 2 } \pi } { a ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { { \displaystyle ~ = \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 } \rho g a ^ { 2 } b ^ { 2 } \pi ~ . } } \end{array}
+$$
+
+![](images/c43cd18ce58f10faccee7cd1a4b9527097c8ff05ea7b2326f6178ef7f2223943.jpg)  
+图12-3
+
+→默认不流动水给的压力为静水压力
+
+## ③静水压力（水压力）
+
+垂直浸没在水中的平板ABCD (见图12-4)的一侧受到的水压力为
+
+$$
+P = \rho g \int _ { a } ^ { b } x [ f ( x ) - h ( x ) ] \mathrm { d } x ,
+$$
+
+其中 $\rho$ 为水的密度，g为重力加速度.
+
+压力微元 $\mathrm { d } P = \rho g x [ f ( x ) - h ( x ) ] \mathrm { d } x$ ，即图中矩形条所受到的压力.x表示水深，f(x)-h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度.
+
+![](images/731ecac9fd07efb195d5d562a02e509c345c729c430bef5e506aea79bb6dc5e6.jpg)  
+图12-4
+
+注水压力问题的特点：压强随水的深度的改变而改变.求解这类问题的关键是确定水深x处的平板的宽度 $f ( x ) - h ( x )$
+
+例12.3 斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐.记重力加速度为g，水的密度为p，则该平板一侧所受的水压力为
+
+分析建系、取微元、再积分即可.
+
+解 应填 ${ \frac { 1 } { 3 } } a ^ { 3 } \rho g$
+
+如图12-5所示，该平板一侧所受的水压力为
+
+$$
+P = \int _ { 0 } ^ { a } 2 \rho g ( a - y ) y \mathrm { d } y = 2 \rho g \int _ { 0 } ^ { a } ( a y - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = 2 \rho g \left( { \frac { a ^ { 3 } } { 2 } } - { \frac { a ^ { 3 } } { 3 } } \right) = { \frac { 1 } { 3 } } a ^ { 3 } \rho g \ .
+$$
+
+![](images/b90d554e5dedb054ea649c0b95803efb250a7678c83ebefe1f6efec5c031c63c.jpg)  
+图12-5
+
+## 4引力
+
+设有一长度为l、线密度为常数u的细棒，在与细棒右端的距离为a处有一质量为m的质点M（见图12-6），已知引力常量为G，则质点M与细棒之间的引力的大小为 $\int _ { - l } ^ { 0 } \frac { G m \mu } { \left( a - x \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x$
+
+![](images/225aaf97f6bb28ada261075ea97b18a06752938fa0f53dc87b5012ac5fcfe3c2.jpg)  
+图12-6
+
+![](images/f6449bd964ea39a8301075097d34b75fde9d180683195556e3df501d107521e1.jpg)
+
+## 古鲁金第一定理及其应用（仅数学一、数学二）
+
+## “三心”的概念
+
+首先，要知道质心、重心与形心的概念.
+
+质心是指物体的质量分布中心，是物体的固有特性.
+
+重心是指物体所受地球引力的重力分布中心，依赖于重力场，在均匀重力场下，重心与质心重合，在非均匀重力场下，重心一般不是质心.
+
+形心是指几何图形的分布中心，是固有几何量.当物体密度为常数时，物体质心与其几何体形心重合.
+
+故在满足均匀重力场及均质条件下，重心、质心、形心三心重合.
+
+## 2 质心计算公式与力矩计算公式
+
+先考虑一个简单情形.
+
+如图12-7(a)所示，设 $x _ { 1 }$ 处质量为 $m _ { 1 } , x _ { 2 }$ 处质量为 $m _ { 2 }$ ，问x为何值时，系统平衡？
+
+显然，由力矩相等，有 $( { \overline { { x } } } - x _ { 1 } ) m _ { 1 } g = ( x _ { 2 } - { \overline { { x } } } ) m _ { 2 } g$ ，得
+
+$$
+\overline { { x } } = \frac { x _ { 1 } m _ { 1 } + x _ { 2 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \ .
+$$
+
+推广至二维平面上有n个质点的情形，如图12-7(b)所示，有
+
+$$
+{ \overline { { x } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } m _ { i } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } , { \overline { { y } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } m _ { i } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } ,
+$$
+
+其中， $M _ { y } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } m _ { i }$ 刻画系统绕y轴旋转的趋势大小，称为力矩． $M _ { x }$ 同理可解释.
+
+![](images/1dd7c90f0a7b4c326422eebe16d3d1131838e16e5aea8416f41a6f938096faec.jpg)
+
+![](images/e0d2bfb6b8937016ce39aaca138ee516528711d55d4c37a5e3b4743ed009a531.jpg)  
+(b)  
+图12-7
+
+进一步地，如图12-8(a)所示，质量系统对任一条直线 $L _ { 0 } \colon \ a x + b y + c = 0$ 的力矩为
+
+$$
+M _ { L _ { 0 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } m _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \left| a x _ { i } + b y _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } m _ { i } \ .
+$$
+
+当质量系统为连续可求长曲线段L： $y = f ( x )$ 时，如图12-8(b)所示，有
+
+$$
+\Delta m _ { i } = \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } , \Delta M _ { i L _ { 0 } } = r _ { i } \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } ,
+$$
+
+故总力矩为
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta M _ { i L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { n  \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } = \int _ { a } ^ { b } \frac { \displaystyle  a x + b y + c  } { \displaystyle \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x ) \mathrm { d } s } } \\ { { \displaystyle ~ = \int _ { a } ^ { b }  \frac { a x + b y + c  } { \displaystyle \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x ) \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } . } \end{array}\tag{12-1}
+$$
+
+当 $\rho =$ 常数时，则有
+
+$$
+r ( \overline { { x } } , \ \overline { { y } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { \int _ { a } ^ { b } \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } { \int _ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ,\tag{12-2}
+$$
+
+其中 $r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } )$ 指形心(x，y)到直线 $L _ { 0 }$ 的距离.
+
+![](images/31ab79db9ff32512f6362b627bfb8356c301a473ffbc5246fea9fff593e19a31.jpg)  
+(a)
+
+![](images/e1d71f6f51b439bbe424653926ac85d1cf4dbbfcfc6dc8edcc0715c00a309c22.jpg)  
+(b)  
+图12-8
+
+## ③古鲁金第一定理
+
+如图12-9所示，将曲线段L任意切分成n段， $\Delta s _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ 为每一小段的长度，在 $\Delta \boldsymbol { s } _ { i }$ 上任取一点 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ ，记 $\lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta s _ { i } \}$ ，则 $\Delta s _ { i }$ 绕直线 $L _ { 0 }$ 旋转一周的侧面积为
+
+$$
+\Delta A _ { i } = 2 \pi r _ { i } \Delta s _ { i } = 2 \pi \bullet \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta s _ { i } ,
+$$
+
+故曲线段L绕直线 $L _ { 0 }$ 旋转一周的侧面积为
+
+$$
+\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle { \cal A } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta { \cal A } _ { i } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } 2 \pi \bullet \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta s _ { i } } \\ & { } & \\ & { } & { \displaystyle = \int _ { a } ^ { b } 2 \pi \bullet \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } { \mathrm { d } } x \ . } \end{array}\tag{12-3}
+$$
+
+与公式(12-2)比较，得
+
+$$
+r ( \overline { { { x } } } , \overline { { { y } } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { 2 \pi M _ { L _ { 0 } } } { 2 \pi M } = \frac { A } { 2 \pi \bullet l } \ : ,
+$$
+
+即
+
+![](images/54510918bd6800345582d68fba6f5c859755ec126a85c6673b0ec221d6acc8e9.jpg)  
+图12-9
+
+如图12-10所示，当质量系统为连续可求面积的平面有界闭区域时，有
+
+$$
+\Delta M _ { i } = \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } , \Delta M _ { i L _ { 0 } } = r _ { i } \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } ,
+$$
+
+记 $\lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta \sigma _ { i } \}$ ，则总力矩为
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta M _ { i L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } = \displaystyle { \iint r ( x , y ) \rho ( x , y ) \mathrm { d } \sigma } } } \\ { { \displaystyle \quad = \int _ { D }  \frac { \ l } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x , y ) \mathrm { d } \sigma .  } } \end{array} \tag{12-4}
+$$
+
+当 $\rho =$ 常数时，则有
+
+$$
+r ( \overline { { x } } , \ \overline { { y } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { \displaystyle \iint _ { 0 } \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \mathrm { d } \sigma } { \displaystyle \iint _ { D } \mathrm { d } \sigma } ,\tag{12-5}
+$$
+
+其中 $r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } )$ 为形心(x，y)到直线L的距离.
+
+![](images/5218e6553aa878cae6d1947e68a3f05c0c30ed50d9456b4a53e61b74def66c8e.jpg)  
+图12-10
+
+注注例曲线 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的表面积为解由古鲁金第一定理，有
+
+$$
+\begin{array} { c } { { A = 2 \pi \cdot l \cdot r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } ) } } \\ { { { } } } \\ { { = 2 \pi \cdot 2 \pi \cdot 2 = 8 \pi ^ { 2 } } } \end{array}
+$$
+
+![](images/87a2aca462944b45994f82a75599a6b8800908b4df9d005629930310c8b7ab9a.jpg)
+
+## 经济应用（仅数学三
+
+![](images/d57c1391071e6be2114cf3d8c3c53af6860e3b567b8b5a0100e96ac804fc0cf2.jpg)
+
+①总成本 C(Q)，边际成本C(Q)，固定成本 $C _ { 0 }$ 之间的关系为
+
+$$
+C ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { Q } C ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t + C _ { 0 } \ .
+$$
+
+②总收益R(Q)与边际收益R(Q)之间的关系为
+
+$$
+R ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { Q } R ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t .
+$$
+
+经济量国 $\overline { { y } } = \frac { 1 } { b - a } \int _ { a } ^ { b } f ( \overline { { x ) \mathrm { d } x } }$
+
+例12.4 已知某产品的边际成本为 $4 + { \frac { x } { 4 } }$ （万元／单位），固定成本为1万元，产品对价格的需求弹性为 $\frac { p } { 8 - p } , p > 0$ ，产品最大需求量为8，其中x表示产量，p表示价格，求使产品取最大利润时的产量和价格.
+
+分析 翻译成数学语言+引入记号： $\left\{ { \begin{array} { l } { { \displaystyle C ^ { \prime } ( x ) = 4 + \frac { x } { 4 } , C ( 0 ) = 1 , } } \\ { { \displaystyle - \frac { { \mathrm { d } } x } { { \mathrm { d } } p } \cdot \frac { p } { x } = \frac { p } { 8 - p } , x ( 0 ) = 8 . } } \end{array} } \right.$
+
+解 由 $C ^ { \prime } ( x ) = 4 + \frac { x } { 4 } , C ( 0 ) = 1$ ，可得
+
+$$
+C ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } C ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t + C ( 0 ) = 4 x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } + 1 .
+$$
+
+又 $\eta _ { 0 } = \frac { - p \mathrm { d } x } { x \mathrm { d } p } = \frac { p } { 8 - p }$ （注意：由经济意义知 $\frac { p } { 8 - p } > 0 \ )$ ，故 $\frac { \mathrm { d } x } { x } { = } \frac { \mathrm { d } p } { p - 8 }$ ，可得
+
+$$
+\ln { \left| x \right| } = \ln { \left| p - 8 \right| } + \ln c .
+$$
+
+由x(0)=8可得c=1.所以 $x = 8 - p , R ( x ) = 8 x - x ^ { 2 }$ .故
+
+$$
+\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal L } ( x ) = R ( x ) - C ( x ) = ( 8 x - x ^ { 2 } ) - \left( 4 x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } + 1 \right) } } \\ { { \displaystyle ~ = - \frac { 9 } { 8 } x ^ { 2 } + 4 x - 1 } . } \end{array}
+$$
+
+$L ^ { \prime } ( x ) = 4 - { \frac { 9 } { 4 } } x = 0$ ，可得 $x _ { 0 } = \frac { 1 6 } { 9 }$
+
+因为 $L ^ { \prime \prime } ( x ) = - \frac { 9 } { 4 } < 0$ ，所以 $x _ { 0 } = \frac { 1 6 } { 9 }$ 为最大值点，这时 $p = 8 - x _ { 0 } = \frac { 5 6 } { 9 }$ .故当产量为 $\frac { 1 6 } { 9 }$ 个单位，价格为 $\frac { 5 6 } { 9 }$ 万元时，利润最大.
+
+![](images/ed572ac7be39c5d1adea3d4178488721c28cacfc3378c66fc0eedc53323b4de3.jpg)
+
+## 基础习题精练
+
+## 习题
+
+12.1（仅数学一、数学二)由曲线 $y = f _ { 1 } ( x ) , y = f _ { 2 } ( x )$ 及直线  
+$\scriptstyle x = a , x = b ( a < b )$ 所围成的平面板铅直地没入容重为 $r ( r = \rho g$ ，表示  
+单位体积液体的重力）的液体中，x轴铅直向下，液面与y轴重合，如  
+图12-11所示，平面板所受液压力为（）.(A) $\int _ { a } ^ { b } x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x$ (B) $\int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 1 } ( x ) - f _ { 2 } ( x ) ] \mathrm { d } x$ (C) $\int _ { a } ^ { b } r [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x$ (D) $\int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x$
+
+![](images/0b61645471cd6c97a501e5a5288dd43884bb48b383035efb7c5824ff659a4bfa.jpg)  
+图12-11
+
+12.2（仅数学三）当某商品销售量为a时，边际收入为 ${ \cal R } ^ { \prime } ( a ) = 2 0 0 - \frac { a } { 5 0 }$ ，则销售量为2000时的平均单位收入为
+
+12.3（仅数学一、数学二)有一半径为4m的半球形水池蓄满了水，现在要将水全部抽到距水池原水面6m高的水箱中，求需做多少功（水的密度 $\rho { = } 1 0 0 0 \mathrm { k g / m } ^ { 3 }$ ，重力加速度 $g = 9 . 8 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } , \pi = 3 . 1 4 \ )$
+
+12.4（仅数学三)设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数 $Q = Q ( p )$ ，需求弹性$\eta = \frac { p } { 1 2 0 - p } \left( \eta > 0 \right)$ ，p为单价（单位：万元）.
+
+(1)求需求函数的表达式;
+
+(2)求p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义.
+
+## 解答
+
+12.1(D）解由图12-12可知，在 $[ x , x + \mathrm { d } x ]$ 上液体对阴影部分的压力微元为
+
+$$
+r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x \ .
+$$
+
+因此平面板所受液压力为
+
+![](images/89ef2721f516cedc45fe6e9098f4bb6adf424eb1a07ad4b9f3eeee4a18be7976.jpg)  
+图12-12
+
+$$
+F = \int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x .
+$$
+
+故选 (D).
+
+12.2180解由题意可得,
+
+$$
+\overline { { { R } } } = \frac { 1 } { 2 \ 0 0 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 0 0 \bigg ( 2 0 0 - \frac { a } { 5 0 } \bigg ) } { \mathrm d } a = \frac { 1 } { 2 \ 0 0 0 } \Bigg ( 2 0 0 a - \frac { a ^ { 2 } } { 1 0 0 } \Bigg ) \Bigg | _ { 0 } ^ { 2 0 0 0 } = 1 8 0 \ .
+$$
+
+12.3解如图12-13所示，建立坐标系.在y处的水面面积为
+
+$$
+\pi ( 4 ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) = \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) ,
+$$
+
+在区间 $[ y , y + \mathrm { d } y ]$ 上的体积微元为
+
+$$
+\pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
+$$
+
+![](images/c6e9db70885b4df5739e529ad3241f307d630a92720c38b15aa6c613935902ee.jpg)
+
+提升此体积微元的水所需要的力的微元为
+
+$$
+\rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
+$$
+
+图12-13
+
+其中 $\rho = 1 0 0 0 \mathrm { k g / m } ^ { 3 }$ , $g = 9 . 8 \ : \mathrm { m / s ^ { 2 } }$ ，π=3.14.提升到距原水面6m高处等于提升距离为 $( 6 - y ) \mathrm { m }$ ，从而提升此微元的水需做功的微元为
+
+$$
+( 6 - y ) \rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
+$$
+
+所以将水全部提升至原水面上方6m处需做功为
+
+$$
+W = \int _ { - 4 } ^ { 0 } ( 6 - y ) \rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = 3 2 0 \pi \rho g \approx 9 8 4 7 \mathrm { ( k J ) } \ .
+$$
+
+12.4解(1)由题设
+
+$$
+- \frac { p } { Q } Q ^ { \prime } = \frac { p } { 1 2 0 - p } ,
+$$
+
+所以 $\int \frac { \mathrm { d } Q } { Q } = - \int \frac { 1 } { 1 2 0 - p } \mathrm { d } p$ ，可得 $\ln Q = \ln ( 1 2 0 - p ) + \ln C$ ，即 $Q = C ( 1 2 0 - p )$
+
+又最大需求量为1200件，故C=10，所以需求函数 $Q = 1 2 0 0 - 1 0 p$
+
+(2)由(1)知，收益函数 $R = 1 2 0 { \cal Q } - { \frac { 1 } { 1 0 } } { \cal Q } ^ { 2 }$ ，边际收益 $R ^ { \prime } ( Q ) = 1 2 0 - \frac { 1 } { 5 } Q$
+
+当 $p = 1 0 0$ 时， $Q = 2 0 0$ ，故当 $p = 1 0 0$ 万元时的边际收益 $R ^ { \prime } ( 2 0 0 ) = 8 0$ .其经济意义：当销售量为200时，再增加一个单位的销售量，商品所得收益增加80万元.
+

考研/math/014_第13讲.md

@@ -0,0 +1,90 @@
+## 第13讲
+
+↓ ①联系联想与一元的 [形式[②区别[本质
+
+<table><tr><td>考题</td><td>连续、可微、隐函数存在定理、极值与最值</td></tr><tr><td>题型</td><td>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td>目标</td><td>①会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式不变性，了解隐函数 存在定理，会求多元隐函数的偏导数； ②了解二元函数的二阶泰勒公式（仅数学一）； ③掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极 值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题</td></tr><tr><td>重难点</td><td>①可微的判断；②条件最值与拉格朗日乘数法</td></tr></table>
+
+![](images/4ee367d782cf283cf3f72564b9ebb8827670f5b32632137ed50bc6acd58acca6.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/ef96b98558b91fa39ae0bc37a7c7495509faa1303e7c4413d8093af26a66ebf6.jpg)
+
+![](images/34410d2140398241c08298591e09531eeea790fd63f54582d32867c57c5f51ca.jpg)
+
+![](images/2bf6494cec0a7f7dcf764b45daea04bbcf58ecebfcf0e50c9ef2b78a87efe15c.jpg)
+
+## 基础内容精讲
+
+![](images/7dafcd4e94f1db7ae677725d0500c1c3d0271e9895c097786c7a12e99e7f9c45.jpg)
+
+## 基本概念
+
+## 1邻域
+
+![](images/192a2358a05b710e0bdab92f5382c4056565220353659afe3043a2fa4a926aad.jpg)
+
+![](images/af7a8f448de405808d664358ce6ecd76f9dd06ab454bbc36acbf9d30e8e1c024.jpg)
+
+δ邻域设 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点$P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 的距离小于δ的点P(x，y)的全体，称为点 $P _ { 0 }$ 的δ邻域（见图13-1），记为 $U ( P _ { 0 } , \delta )$ ，即
+
+![](images/24fe424cf1514e133b55f9aa093434a1edbad27eb142ed498de39f753121be2e.jpg)  
+图13-1
+
+$$
+U ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ P \big | \big | P P _ { 0 } \big | < \delta \big \} \xrightarrow { \sharp \widehat { \chi } } U ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ ( x , y ) \Big | \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } < \delta \}
+$$
+
+去心δ邻域点 $P _ { 0 }$ 的去心δ邻域（见图13-2），记作 $\overset { \circ } { U } ( P _ { 0 } , \delta )$ ，郎$\overset { \circ } { U } ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ P | 0 < | P P _ { 0 } | < \delta \}$
+
+特别指出，如果不需要强调邻域的半径δ，则用 $U ( P _ { 0 } )$ 表示点 $P _ { 0 }$ 的某个邻域，点 $P _ { 0 }$ 的去心邻域记作 $\check { U } ( P _ { 0 } )$
+
+![](images/316e0ec034af642a37e1b96e5fb44d55a634c563a85f116bb09d81c7397b130d.jpg)  
+图13-2
+
+8邻域的几何意义 $U ( P _ { 0 } , \delta )$ 表示 $x O y$ 平面上以点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 为中心， $\delta > 0$ 为半径的圆内部的点$P ( x , y )$ 的全体，一元极限： $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , 0 < | x - x _ { 0 } | < \delta$ 时，|f(x)-A<ε—→此刻画f(x)与A充分靠近
+
+![](images/573ff7f0f140c764b8dd39b6917afc94fec341ac736d2b0f95d61040d58552e9.jpg)
+
+## 2 极限
+
+设函数f(x，y)在区域D上有定义， $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in D$ 或为区域D边界上的一点.如果对于任意给定的$\varepsilon > 0$ ，总存在 $\delta > 0$ ，当点 $P ( x , y ) \in D$ ，且满足 $0 < \left| P P _ { 0 } \right| = \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } < \delta$ 时，恒有
+
+$$
+\left| f ( x , y ) - A \right| < \varepsilon ,
+$$
+
+则称常数A为 $( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 时f(x，y)的极限，记作
+
+也常记作
+
+$$
+\begin{array} { c } { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = { \cal A } \frac { \equiv \Re \bigl [ \operatorname * { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { f ( x , y ) = A } \bigr ] } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { x \to x _ { 0 } } { \to y _ { 0 } } } \frac { - ( x , y ) } { } } } } \\ { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { P \to P _ { 0 } } f ( P ) = { \cal A } ~ . } } \end{array}
+$$
+
+注（1）一元极限中 $x \to x _ { 0 }$ 有且仅有两种方式 $( \boldsymbol { x } \to \boldsymbol { x } _ { 0 } ^ { - }$ 和 $x  x _ { 0 } ^ { + } )$ 二重极限中 $( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 一般有无穷多种方式，如图13-3所示.
+
+![](images/65661826d4a178544e655738867a4f72525707fd8a1db9f69ee7e42621bd5892.jpg)
+
+→否定存在
+
+图13-3
+
+★(2)若有两条不同路径使极限 $\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y )$ 的值不相等或某一路径使极限 $\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y )$ 的值不存在，则说明 $\operatorname * { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y )$ 不存在.（根据极限若存在，则必具有唯一性这一准则去判断.）
+
+肯定存在
+
+★（3)除洛必达法则和单调有界准则外，可照搬一元函数求极限的方法来求二重极限，二重极限保持了一元极限的各种性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性、运算规则及脱帽法：$\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = A \Leftrightarrow f ( x , y ) = A + \alpha$ 其中当 $( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 时，α是无穷小量．
+
+一元脱帽法： $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { n } } f ( x ) = A \Leftrightarrow f ( x ) = A + \alpha , \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { n } } \alpha = 0$
+
+等价替换法： $\mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ , ( x , y )  ( 0 , 0 )$
+
+例13.1 设 $I _ { 1 } = \operatorname* { l i m } _ { { x  0 } \atop { y  0 } } { \frac { | x y | } { \sqrt { { x ^ { 2 } } + { y ^ { 2 } } } } }$ $I _ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 \atop y \to 0 } { \frac { x \big | y \big | } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$ ，则（
+
+（A) $I _ { 1 }$ 存在， $I _ { 2 }$ 不存在 (B) $I _ { 1 }$ 存在， $I _ { \imath }$ 存在
+
+(C) $I _ { 1 }$ 不存在， $I _ { 2 }$ 存在 (D) $I _ { \ u _ { 1 } }$ 不存在， $I _ { 2 }$ 不存在
+
+分析 $I _ { 1 }$ ：分子次数为2，分母次数为1.
+

考研/math/018_第17讲.md

@@ -0,0 +1,407 @@
+## 第17讲
+
+## 多元函数积分学的预备知识（仅数学一）
+
+![](images/7de35d4e2e54aa756eaf4288af04818d1dafbf7af700e2a00cf95cbf98255035.jpg)
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>空间曲线与曲面方程、曲线切线与法平面、曲面切平面与法线的求解，散度与旋度的概念、方向导数和梯度的计算</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①会计算空间曲线与曲面的方程，会求曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；②了解散度与旋度的概念，并会计算方向导数和梯度</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>空间曲线与曲面方程的求解</td></tr></table>
+
+![](images/4981703c06e8155c1385d2a5b773838fc8f757c7991164d67a70af241788a46e.jpg)
+
+## 基础知识结构
+
+![](images/6a2e86a522225eac149183d238c1571d743e02c89906e95a81df77b7fb3a15db.jpg)
+
+![](images/c5e312b455f0f97b83e96e09653b2d6949c22c3f76d698e1e78ea22433f246cc.jpg)
+
+![](images/279f8e6b322d33812b8708a7d8e4ece42c3585f623c1a9124deff03b4789e461.jpg)
+
+![](images/6ce9d1964e27f45cc817f2ff453593d86c4d9d0c32e620909da783b7643cc0c8.jpg)
+
+## 基础内容精讲
+
+## 向量代数
+
+## 向量及其表达形式
+
+既有大小又有方向的量称为向量.
+
+注两个向量，只要它们的大小相等、方向相同，它们就是相等的向量，与它们在空间中的位置无关（这也称为向量的自由性）.
+
+向量的表达形式为
+
+$$
+\boxed { a } = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) = a _ { x } \dot { \iota } + a _ { y } \dot { \pm } { a _ { z } } k \ .
+$$
+
+→高等数学中手写要打箭头：a.
+
+## ②向量的运算及其应用
+
+设 $a = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) , b = ( b _ { x } , b _ { y } , b _ { z } ) , c = ( c _ { x } , c _ { y } , c _ { z } ) , a , b , c$ 均是非零向量.
+
+线性代数中不需要， $a = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] }$
+
+(1)数量积（内积、点积)及其应用.
+
+→结果是数
+
+① $\begin{array} { r } { { \bf { \sigma } } \cdot { \bf { \sigma } } b = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) \bullet ( b _ { x } , b _ { y } , b _ { z } ) = a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } } \end{array}$
+
+》可以用此公式反求买用$\scriptstyle a \cdot b = \left| a \right| \left| b \right| \cos \theta$ ，则 $\cos \theta = \frac { { a \cdot b } } { { \left| a \right| } { \left| b \right| } } = \frac { { a _ { x } } { b _ { x } } + { a _ { y } } { b _ { y } } + { a _ { z } } { b _ { z } } } { \sqrt { { a _ { x } ^ { 2 } } + { a _ { y } ^ { 2 } } + { a _ { z } ^ { 2 } } } \cdot \sqrt { { b _ { x } ^ { 2 } } + { b _ { y } ^ { 2 } } + { b _ { z } ^ { 2 } } } }$ ，其中θ为a,b的夹角.
+
+$a \perp b \Leftrightarrow \theta = \frac { \pi } { 2 } \Leftrightarrow a \cdot b = \left| a \right| \left| b \right| \cos \theta = 0 \Leftrightarrow \left| a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } = 0 \right|$ ·垂直方程最常用 J
+
+例：若(1，2，1)与(a，1，-1)垂直，则a+2-1=0，即a=-1
+
+> =lalcosθA $\boxed { \mathrm { P r } \mathbf { j } _ { b } \pmb { a } } = \frac { \pmb { a } \cdot \pmb { b } } { \vert \pmb { b } \vert } = \frac { a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } } { \sqrt { b _ { x } ^ { 2 } + b _ { y } ^ { 2 } + b _ { z } ^ { 2 } } }$ ，称为a在b上的投影，
+
+(2)向量积(外积、叉积)及其应用.
+
+![](images/214397a219a65c6544754f3654f725e46da4b213c410f64e5e311b7a2117309c.jpg)
+
+$\pmb { a } \times \pmb { b } = \left| a _ { x } \begin{array} { c c c } { \pmb { i } } & { \pmb { j } } & { \pmb { k } } \\ { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \\ { b _ { x } } & { b _ { y } } & { b _ { z } } \end{array} \right|$ → →b，其中 $| \pmb { a } \times \pmb { b } | = | \pmb { a } | | \pmb { b } | \sin \theta$ ，用右手规则确定方向（转向角不超过π)，0为a,b
+
+的夹角.
+
+反平行a $/ / \ b \Leftrightarrow \theta = 0$ 或 $\left| \Leftrightarrow \middle | \frac { a _ { x } } { b _ { x } } = \frac { a _ { y } } { b _ { y } } = \frac { a _ { z } } { b _ { z } } \right|$
+
+(3)混合积及其应用.
+
+![](images/dd4b965ac67224d677957602717252ebb3d3c4e5afce31510aef96368eef9bd1.jpg)
+
+![](images/14cd81f4fac87c3cde54724005a24d9a777151b14ccdead66d9d3d4201a38abf.jpg)
+
+② $\scriptstyle { \left| \begin{array} { l l l } { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \\ { b _ { x } } & { b _ { y } } & { b _ { z } } \\ { c _ { x } } & { c _ { y } } & { c _ { z } } \end{array} \right| } = 0 \Leftrightarrow$ 三向量共面：
+
+![](images/67c8d7cddba39adcdf63a211a98a967dcbb26c9ff210701d1ee5f1a857e460e6.jpg)
+
+## ③向量的方向角和方向余弦
+
+(1)非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角α，β，γ称为a的方向角.
+
+![](images/48a4a63ff090d8902f247185faafb58c0c353d88a0af708ba90a050bbd30478d.jpg)
+
+![](images/d0ecf292be71551043d11b6d780cbf60438d9358f77dc825bb4a91eb772ba44a.jpg)
+
+(2) $\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma$ 称为a的方向余弦，且 $\cos \alpha = \frac { a _ { x } } { \left| a \right| } , \cos \beta = \frac { a _ { y } } { \left| a \right| } , \cos \gamma = \frac { a _ { z } } { \left| a \right| }$
+
+(3) $\stackrel { \circ } { \pmb { a } ^ { \circ } } = \frac { \pmb { a } } { | \pmb { a } | } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )$ 称为向量a的单位向量(表示方向的向量).
+
+$$
+r = x i + y j + z k = ( r \cos \alpha , r \cos \beta , r \cos \gamma ) = r ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )
+$$
+
+$$
+\cos \alpha , \cos \beta
+$$
+
+cosγ为r的方向余弦，r为r的模, $\cos \alpha = \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \cos \beta = \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \cos \gamma = \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ,$ $r = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } }$ $\cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \gamma = 1$
+
+例a=(1,1,2), $\vert a \vert = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 6 }$
+
+例17.1 设函数f(x，y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,
+
+$$
+a ^ { \circ } = \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } , { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } , { \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } } \right)
+$$
+
+$\left. \pmb { n } = \left( \frac { \partial f } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial y } , - 1 \right) \right| _ { ( 0 , 0 ) }$ ，则，lim n.(x，y，f(x，y))(x，）（0,0） √x²+y²
+
+分析可微：△z-dz=(p).
+
+解 应填0.
+
+因为f(x，y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，所以
+
+$$
+f ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) = \frac { \partial f } { \partial x } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } ( x - 0 ) + \frac { \partial f } { \partial y } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } ( y - 0 ) + o \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) ,
+$$
+
+故 ${ \frac { \partial f } { \partial x } } { \bigg | } _ { ( 0 , 0 ) } x + { \frac { \partial f } { \partial y } } { \bigg | } _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) = o \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right)$ ，即
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { ( x , y )  ( 0 , 0 ) } \frac {  \frac { \partial f } { \partial x } | _ { ( 0 , 0 ) } x + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = 0 .
+$$
+
+因为 $\left. \pmb { n } = \left( \frac { \partial f } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial y } , - 1 \right) \right| _ { ( 0 , 0 ] }$ ，所以 $ \pmb { n } \bullet ( \boldsymbol { x } , y , f ( x , y ) ) = \frac { \partial f } { \partial x } | _ { ( 0 , 0 ) } x + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y )$ ，从而
+
+$$
+\operatorname * { l i m } _ { ( x , y )  ( 0 , 0 ) } \frac { n \cdot ( x , y , f ( x , y ) ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = 0 \ .
+$$
+
+![](images/c30dc4dc3f143219c82499468956e84825d5776ede1920e39662668809f3066e.jpg)
+
+![](images/ed603e11477dc3bfe7313c3c0ea88414dcddbe218fd4261b566cb249fe187c53.jpg)
+
+## 空间平面与直线
+
+## 平面方程
+
+以下假设平面的法向量n=(A,B,C)
+
+①一般式： $A x + B y + C z + D = 0$
+
+${ \mathfrak { L } } \sharp \circ \varprojlim _ { \mathbf { \Phi } ^ { * } \mathbf { \Phi } ^ { * } } \varPsi _ { \mathfrak { o } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } , \ z _ { 0 } ) }$ 一法向量n)，定平面的二要素过一点P。
+
+$$
+\overrightarrow { P _ { 0 } P } = ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } , z - z _ { 0 } ) , \ ; \ ; \ ; \overrightarrow { P _ { 0 } P } \perp n \Rightarrow ( \overrightarrow { P _ { 0 } P } , n ) = 0 ,
+$$
+
+即 $A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0$
+
+将点法式展开，记 $D _ { 1 } = A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 }$ ，则得到一般式的形式
+
+②点法式： $A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0$
+
+③三点式： $\begin{array} { r l } { \left| x - x _ { 1 } \quad y - y _ { 1 } \quad z - z _ { 1 } \right| } & { { } } \\ { \left| x - x _ { 2 } \quad y - y _ { 2 } \quad z - z _ { 2 } \right| = 0 } & { { } } \\ { \left| x - x _ { 3 } \quad y - y _ { 3 } \quad z - z _ { 3 } \right| ( \vec { x } . } \end{array}$ （平面过不共线的三点 $P _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } ) , i = 1 , 2 , 3 \ )$ 常用）
+
+![](images/2f945689922ad97de7449a8e67630e110fa66179ec194c4032804a218518b10d.jpg)
+
+三点连线构成一个平面
+
+④截距式： $\displaystyle { \frac { x } { a } } + { \frac { y } { b } } + { \frac { z } { c } } = 1$ （平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点）.
+
+![](images/16e78ea3a631422f8d47b2927d0940f5f67fb593f08a66b3055e54499a0015ff.jpg)
+
+③平面束方程：设 $\pi _ { i } \colon A _ { i } x + B _ { i } y + C _ { i } z + D _ { i } = 0 , i = 1 , ~ 2 ~ . ~ A _ { 1 } , ~ B _ { 1 } , ~ C _ { 1 }$ 与 $A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 }$ 不成比例，则 过L： $\left\{ \begin{array} { l } { { A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 , } } \\ { { A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 } } \end{array} \right.$ 的平面束方程为
+
+(交面式方程)
+
+$$
+A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } + \lambda ( A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } ) = 0 \ ( \widehat { \mathcal { K } } \widehat { \Xi } \ \pi _ { 2 } \ ) ,
+$$
+
+或
+
+$$
+A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } + \lambda ( A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } ) = 0 \ ( \widehat { \mathcal { K } } \widehat { \Xi } \ \pi _ { 1 } \ ) .
+$$
+
+![](images/334cea1f31a2055c0e117a769338f34300a976396705eca9d702762f471a9bf3.jpg)
+
+π，π的法向量分别为n=(A，B，Ci)，n=(A，B,C)，
+
+$\lambda n _ { 1 } + \mu n _ { 2 }$ 生成整个平面，
+
+$\lambda ( A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } ) + \mu ( A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } ) = 0$ 表示过交线的所有平面.
+
+令=1，则不包含π，令μ=1，则不包含 $\pi _ { 1 }$
+
+## ②直线方程
+
+以下假设直线的方向向量 $\pmb { \tau } = ( l , m , n )$
+
+①一般式： $\begin{array} { r } { \left\{ A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 , n _ { 1 } = ( A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 } ) , \right. } \\ { \left. A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 , n _ { 2 } = ( A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } ) \right. } \end{array}$ 其中 $\pmb { n } _ { 1 }$ 不平行于 ${ \pmb n } _ { 2 }$ (交面式方程)
+
+## 注其几何背景很直观，是两个平面的交线，且该直线的方向向量 ${ \pmb \tau } = { \pmb n } _ { 1 } \times { \pmb n } _ { 2 }$
+
+[方向向量②点向式： ${ \frac { x - x _ { 0 } } { l } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { m } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { n } }$ 二要素过一点P。
+
+$$
+\pmb { n } _ { 1 }
+$$
+
+$$
+\pmb { n } _ { 2 }
+$$
+
+③参数式： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x _ { 0 } + l t , } \\ { y = y _ { 0 } + m t , P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } \\ { z = z _ { 0 } + n t , } \end{array} \right.$ 为直线上的已知点，t为参数.
+
+④两点式： ${ \frac { x - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } } = { \frac { y - y _ { 1 } } { y _ { 2 } - y _ { 1 } } } = { \frac { z - z _ { 1 } } { z _ { 2 } - z _ { 1 } } }$ （直线过不同的两点 $P _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } ) , i = 1 , 2 \ )$ 1
+
+![](images/d1de175ed757bcaf408d615d63fbb2a43698ce8b0a93ca9b4d1b4169b2940280.jpg)
+
+## ③位置关系
+
+(1)点到直线的距离.
+
+点 $M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$ 到直线 $L \colon \frac { x - x _ { 0 } } { l } = \frac { y - y _ { 0 } } { m } = \frac { z - z _ { 0 } } { n }$ 的距离
+
+![](images/39e10283da681fb744aac4ff05e1262e09c10492abdfeb6822fdc29279935486.jpg)
+
+其中向量 $\overrightarrow { M _ { 1 } M } _ { 0 } = ( x _ { 0 } - x _ { 1 } , y _ { 0 } - y _ { 1 } , z _ { 0 } - z _ { 1 } ) , M _ { 0 } = ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) , \tau = ( l , m , n )$
+
+注更为简单的是平面的情形：设在二维平面上直线L的方程为 $A x + B y + C = 0$ ，点 $P _ { 0 }$ 的坐标为$( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，则点 $P _ { 0 }$ 到直线L的距离公式为 $d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } \mathrm { ~ , ~ }$
+
+若B≠0， $\left\{ \begin{array} { l } { { S _ { \square } = \displaystyle \left| \overrightarrow { P _ { 0 } } \stackrel { \star } { P } \times \tau \right| } , } \\ { { S _ { \square } = \displaystyle \left| \tau \right| \cdot d } , } \end{array} \right.$ 则 $| d = { \frac { \left\| x - x _ { 0 } \quad y _ { \ast } - y _ { 0 } \right\| } { \sqrt { 1 + \left( - { \frac { A } { B } } \right) ^ { 2 } } } } = { \frac { | A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C | } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } .$
+
+若 $A \neq 0 , B = 0$ 则 $A x + C = 0 , x = - { \frac { C } { A } } ,$ 于是
+
+![](images/43c61dda8b78cccf1d2b8ed57c5a1248ca11c0eb48533edea2abf34a23c48032.jpg)
+
+綜上，成立
+
+$$
+d = \left| x - x _ { 0 } \right| = \left| x _ { 0 } + { \frac { C } { A } } \right| = { \frac { \left| A x _ { 0 } + 0 y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } } } .
+$$
+
+![](images/bea8d02b0d81eb0112d072a8e6bc634f8d1e69ce2715dbce48ed1a2bbb72778d.jpg)
+
+(2)点到平面的距离.
+
+点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 到平面 $A x + B y + C z + D = 0$ 的距离 $d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 } + D \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } }$ (3)直线与直线
+
+设 $\pmb { \tau } _ { 1 } = ( l _ { 1 } , m _ { 1 } , n _ { 1 } ) , \pmb { \tau } _ { 2 } = ( l _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 } )$ 分别为直线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ 的方向向量.
+
+① $\begin{array} { r } { I _ { 1 } \perp I _ { 2 } \Leftrightarrow \tau _ { 1 } \perp \tau _ { 2 } \Leftrightarrow l _ { 1 } l _ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 2 } + n _ { 1 } n _ { 2 } = 0 } \end{array}$
+
+② $L _ { 1 } / / L _ { 2 } \Leftrightarrow \pmb { \tau } _ { 1 } / / \tau _ { 2 } \Leftrightarrow \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } = \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } = \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } }$
+
+$$
+\begin{array} { l } { \displaystyle = \big \lvert \overrightarrow { P _ { 0 } P } \big \rvert \cos \theta } \\ { \displaystyle = \frac { \big \lvert A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) \big \rvert } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } } \end{array}
+$$
+
+③直线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ 的夹角 $\theta = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \bullet { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \right| \left| { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } }$ ，其中 $\theta = \operatorname* { m i n } \{ ( { \widehat { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ) , \pi - ( { \widehat { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ) \} \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$
+
+(4)平面与平面.
+
+设平面 $\pi _ { 1 } , \pi _ { 2 }$ 的法向量分别为 ${ \pmb n } _ { 1 } = ( A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 } ) , { \pmb n } _ { 2 } = ( A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } )$
+
+① $\pi _ { 1 } \perp \pi _ { 2 } \Leftrightarrow n _ { 1 } \perp n _ { 2 } \Leftrightarrow A _ { 1 } A _ { 2 } + B _ { 1 } B _ { 2 } + C _ { 1 } C _ { 2 } = 0$
+
+② $\pi _ { 1 } / / \pi _ { 2 } \Leftrightarrow n _ { 1 } / / n _ { 2 } \Leftrightarrow \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } = \frac { B _ { 1 } } { B _ { 2 } } = \frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } }$
+
+③平面 $\pi _ { 1 } , \pi _ { 2 }$ 的夹角 $\theta = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| \pmb { n } _ { 1 } \cdot \pmb { n } _ { 2 } \right| } { \left| \pmb { n } _ { 1 } \right| \left| \pmb { n } _ { 2 } \right| } }$ ，其中 $\theta = \operatorname * { m i n } \{ ( { \widehat { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ) , \pi - ( { \widehat { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ) \} \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$
+
+(5)平面与直线.
+
+设直线L的方向向量为 ${ \pmb \tau } = ( l , m , n )$ ，平面π的法向量为 $\pmb { n } = ( A , B , C )$
+
+$L \perp \pi \Leftrightarrow \tau / / n \Leftrightarrow \frac { l } { A } = \frac { m } { B } = \frac { n } { C }$ 平行方程
+
+②1 $\cdot / / \pi \Leftrightarrow \tau \bot n \Leftrightarrow A l + B m + C n = 0$ 垂直方程
+
+③直线L与平面π的夹角 $\theta = \arcsin { \frac { | { \boldsymbol { \tau } } \cdot { \boldsymbol { n } } | } { | { \boldsymbol { \tau } } | | { \boldsymbol { n } } | } }$ ，其中 $\theta = \left[ \frac { \pi } { 2 } - ( \widehat { \pmb { \tau } , \pmb { n } } ) \right| \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$
+
+例17.2 与两直线
+
+![](images/78f28b958f55926aee9aba0e6ba31c9096ee1aea9d83a33f2997c8bd0160e79c.jpg)
+
+$$
+\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \overrightarrow { \left[ x = 1 \right] } , } \\ { \displaystyle y = - 1 + t , \frac { x + 1 } { 1 } = \frac { y + 2 } { 2 } = \frac { z - 1 } { 1 } } \\ { \displaystyle z = 2 + t , } \end{array} \right. }
+$$
+
+$$
+{ \boldsymbol { \tau } } \bullet { \boldsymbol { n } } = \left| { \boldsymbol { \tau } } \right| \bullet \left| { \boldsymbol { n } } \right| \bullet \cos ( { \boldsymbol { \widehat { \tau } } } , { \boldsymbol { n } } ) .
+$$
+
+都平行，且过原点的平面方程为
+
+分析 两直线的方向向量分别为 $\tau _ { 1 }$ $\tau _ { 2 }$ ，则所求平面的法向量 $\pmb { n } = \pmb { \tau } _ { 1 } \times \pmb { \tau } _ { 2 }$
+
+解 应填 $x - y + z = 0$
+
+所求平面法向量可取为
+
+$$
+\pmb { n } = \left| \begin{array} { c c c } { { i } } & { { j } } & { { k } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = - i + j - k \ .
+$$
+
+由题设可知所求平面过原点，则所求平面方程为
+
+$$
+- 1 \bullet ( x - 0 ) + 1 \bullet ( y - 0 ) - 1 \bullet ( z - 0 ) = 0 \ ,
+$$
+
+即
+
+$$
+x - y + z = 0 .
+$$
+
+例17.3 已知直线L是直线 $L _ { 0 }$
+
+$$
+\left\{ { \begin{array} { l } { 2 x - z - 3 = 0 , } \\ { y - 2 z + 4 = 0 } \end{array} } \right.
+$$
+
+在平面 $x + y - z = 5$ 上的投影方程，求L的表达式.
+
+→用交面式方程表示
+
+解设过直线 $L _ { 0 }$ 的平面束方程为 $( 2 x - z - 3 ) + \lambda ( y - 2 z + 4 ) = 0$ ，即
+
+$$
+2 x + \lambda y - ( 2 \lambda + 1 ) z + 4 \lambda - 3 = 0 \ ,
+$$
+
+其中λ为待定常数.此平面与平面x+y-z=5垂直的条件是
+
+$$
+2 \bullet 1 + \lambda \bullet 1 - ( 2 \lambda + 1 ) \bullet ( - 1 ) = 0 \ ,
+$$
+
+解得λ=-1，故直线L为
+
+$$
+\scriptstyle { \left\{ { \begin{array} { l l } { { 2 x - y + z - 7 = 0 , } } \\ { { x + y - z = 5 . } } \end{array} } \right. }
+$$
+
+例17.4设有直线 $L _ { \eta }$ ： ${ \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y - 5 } { - 2 } } = { \frac { z + 8 } { 1 } }$ 与 $L _ { 2 }$ ： $\begin{array} { r } { \left\{ { x - y = 6 , \atop 2 y + z = 3 } \right. } \end{array}$ 则 $L _ { \eta }$ 与 $L _ { 2 }$ 的夹角为（）.（A) $\frac { \pi } { 6 }$ (B) $\frac { \pi } { 4 }$
+
+(C） $\frac { \pi } { 3 }$
+
+(D) $\frac { \pi } { 2 }$
+
+分析先求出直线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ 的方向向量 $\tau _ { 1 } , \tau _ { 2 }$ ，再利用公式 $\varphi = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \bullet { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \right| \left| { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } }$ 求出其夹角.  
+解 应选(C).
+
+直线 $L _ { \mathrm { r } }$ 的方向向量为 $\pmb { \tau } _ { 1 } = ( 1 , - 2 , 1 )$ ，直线 $L _ { 2 }$ 的方向向量为
+
+$$
+\pmb { \tau } _ { 2 } = \left| \begin{array} { c c c } { { i } } & { { j } } & { { k } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = - i - j + 2 k ~ ,
+$$
+
+从而直线 $L _ { \eta }$ 和 $L _ { 2 }$ 的夹角φ的余弦为 $\cos \varphi = \frac { \left| \pmb { \tau } _ { 1 } \bullet \pmb { \tau } _ { 2 } \right| } { \left| \pmb { \tau } _ { 1 } \right| \left| \pmb { \tau } _ { 2 } \right| } = \frac { 3 } { \sqrt { 6 } \bullet \sqrt { 6 } } = \frac { 1 } { 2 }$ ，因此 $\varphi = \frac { \pi } { 3 }$
+
+![](images/4ceff990839104acd47a5d75f0a1c3daf6cce0e86fece16a0e3a8b3cfb06191e.jpg)
+
+## 空间曲线与曲面
+
+![](images/8b7e654b7b7e6f337c2da7f587a0b275bc56677f9e46ee1fc023c0d1b84474fa.jpg)
+
+## 1 空间曲线
+
+(1)一般式 $\Gamma \colon \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 } , \atop { G ( x , y , z ) = 0 . }  \right.$
+
+![](images/479744618ec32ff110eb75bf4413575701ca66a2a8cf44cff4bb9b66cf11a9b9.jpg)
+
+## 注其几何背景为两个曲面的交线
+
+(2)参数方程 $\Gamma \colon \left\{ \begin{array} { l } { x = \varphi ( t ) , } \\ { y = \psi ( t ) , t \in [ \alpha , \beta ] } \\ { z = \omega ( t ) , } \end{array} \right.$
+
+注在 $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right.$ 中选取某直角坐标变量为自变量（看作参数），解出其他两变量为此变量的函数，即得参数式.如曲线 $\left\{ \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) } \\ { y = 0 , } \end{array} \right.$ x=t，则可写成参数式方程： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = t , } \\ { y = 0 , } \\ { z = f ( t , 0 ) } \end{array} \right.$ 当然，有时由于后两变量解出为第一变量的函数表达式带来多值或根式等麻烦事，或者甚至“解不出”，故一般用新的变量作参数再写参数方程，如下面的注；亦或题设直接给出参数方程，如例17.6.
+
+(3)在坐标面上的投影.
+
+以求曲线厂在xOy平面上的投影曲线为例.将 $\begin{array} { r } { \Gamma \colon \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 \mathrm { , } } \right. } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array}$ 中的z消去，得到 $\varphi ( x , y ) = 0$ 则曲线r在xOy面上的投影曲线包含于曲线 $\left\{ \begin{array} { l } { \varphi ( x , y ) = 0 } \\ { z = 0 . } \end{array} \right.$ V①往xOy面投影，消z；往xOz面投影，消y；往yOz面投影，消x.曲线厂在其他平面上的投影曲线可类似求得. ②联立方程，且令z=0或y=0或x=0.
+
+![](images/325473859b0669b48d1b040b3358f86ff80991ef054981ee10dfb38184f7a540.jpg)
+
+国将 $\left\{ { \cal F } ( x , y , z ) = 0 , \right.$ 消去某变量（例如消去z），便得该曲线在z=0平面上的投影曲线方程$\left\{ { \begin{array} { l } { f ( x , y ) = 0 } \\ { z = 0 , } \end{array} } \right.$ 如果 $f ( x , y ) = 0$ 能容易地写出它的参数式：
+
+$$
+\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } = \boldsymbol { y } ( t ) , t \in I , } \end{array}
+$$
+
+其中I为某区间，则以x=x(t)，y=y(t)代入原曲线的方程中，若能解得单值的 $z = z ( t )$ ，则得原曲线的参数式：
+
+$$
+\begin{array} { r } { x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) , t \in I . } \end{array}
+$$
+
+如将 $r : \left\{ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 , \atop z = x + y } \right.$ 的方程化为参数形式
+
+$$
+\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos t , } \\ { y = \sin t , \qquad ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ) } \\ { z = \cos t + \sin t } \end{array} \right. .
+$$
+
+## ②空间曲面
+
+(1)曲面方程： $F ( x , y , z ) = 0$
+
+(2)二次曲面.
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>曲面名称</td><td rowspan=1 colspan=1>方程</td><td rowspan=1 colspan=1>图形</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>椭球面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ 当 $a = b = c$ 时为球面</td><td rowspan=1 colspan=1>用平行于坐标平→面的平面去切，<img src="images/cb2bb3dbda9b522f43572a4aa9877219c0b136c555beecfcb7c5cc5a44f3d74a.jpg"/>得出椭圆或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>单叶双曲面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ </td><td rowspan=1 colspan=1>用 $x = k _ { 1 } ( k _ { 1 }$ 不等于a)或 $y =$  $k _ { 2 } ( k _ { 2 }$ 不等于b)切得双曲线，<img src="images/10faebc5ede444e68a555c702bd47fed2dc55a2f3efada2029afa89031898ae8.jpg"/>               ${ z = k _ { 3 } ( }$ 伍意常数)切得椭圓或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>双叶双曲面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\begin{array} { r } { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { \overset { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } ^ { - } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dot { \nabla } _ { \perp \perp \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \xi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \times \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \sin \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } } } \end{array}$ </td><td rowspan=1 colspan=1><img src="images/5d7d2bbfd35ed41e2573a32369a5ff29a28b1324f614c6be6ce71f7a85fb7671.jpg"/>用y=k或z=k切得双曲线，用 $\scriptstyle x = k ( | k | > | a | )$ 切得椭圓或圓</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>椭圆抛物面</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } } = z ( p , q > 0 )$  $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z$ <img src="images/38884c7b22ada4d67cd493d186a55b6ba2a68ab34cab650032fa17d164f64999.jpg"/></td><td rowspan=1 colspan=1>用x=k或y=k切得抛物线，<img src="images/02bb2af3ff4fc512c807db2c2e1a2a3b2d3189101cd043f5826825dd6eb17a12.jpg"/>         用 $z = k ( k > 0 )$ 切得椭圆或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>椭圆锥面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }$ V $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，只有上半部分AZV般考a=bo  →yx</td><td rowspan=1 colspan=1><img src="images/84fcb57d7209bc671c117b6aa6065dcadc5b0b52aa3b34a2e114900e6ed35efc.jpg"/></td></tr></table>
+

考研/math/019_第17讲.md

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+## 第17讲多元函数积分学的预备知识（仅数学一）
+
+续表
+
+<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>曲面名称</td><td rowspan=1 colspan=3>方程</td><td rowspan=1 colspan=1>图形</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>双曲抛物面（马鞍面）</td><td rowspan=1 colspan=3> $- \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } = z ( p , q > 0 )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>用2 $z = k ( k > 0 )$ 切得双曲线，<img src="images/e495e4d5e68574006967470fb06323918494fbbe12e19482706a023f8db587d5.jpg"/>           用x=k或y=k切得抛物线，其中k为位意常数</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>双曲抛物面（马鞍面）</td><td rowspan=1 colspan=3> $\scriptstyle z = x y$ 坐标变换： $\scriptstyle { \widehat { \varphi } } \sqrt [ ] { u = y + x } , $ </td><td rowspan=1 colspan=1>&gt;在上图的基础上，令x轴与y<img src="images/423f4ff07d7977cced3bf01c73e9f02aeb4a0cf4d14136749a6d8991f2900ce8.jpg"/>          轴逆时针旋转 $\frac { \pi } { 4 }$ </td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=5> $z = x y$ 中由x+y=1截出的图形，                       <img src="images/7d9b57fb06c49d97f3e20aac625925ac699443d9298e5d8b3a5ec0fb056ee403.jpg"/>可以与三重积分、曲线积分、曲面积分相结合缺z，母线平行于z轴&lt;(3)柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面.</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=2>椭圆柱面</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ </td><td rowspan=1 colspan=2><img src="images/f362a15ec9f2b2b72d10b013d90d2e668b4a312d2374824ca65345662bb36411.jpg"/>→准线是椭圆或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=2>双曲柱面</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ </td><td rowspan=1 colspan=2><img src="images/f59fe0942c3c3b57dcef96b63b10f2e1cfd7eb3b607130413e0e9b1825c23ccf.jpg"/>             →准线是双曲线</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=2>抛物柱面</td><td rowspan=1 colspan=1> $y = a x ^ { 2 } ( a > 0 )$ </td><td rowspan=1 colspan=2><img src="images/ea59e7c2b0b7b7a441bd139388850cae771fa0123fd70a0098b03c229e0b1b28.jpg"/></td></tr></table>
+
+(4)旋转曲面：曲线厂绕一条定直线旋转一周所形成的曲面.
+
+曲线 $\Gamma \colon \textstyle \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 } \right. \mathrm { }$ 绕直线 $L \colon \frac { x - x _ { 0 } } { l } = \frac { y - y _ { 0 } } { m } = \frac { z - z _ { 0 } } { n }$ 旋转一周形成一个旋转曲面，旋转曲面方程的求法如下.
+
+![](images/439319db0350c47aa0f7e34f7694ab6078f1cfd9e0245910b8a3d4e0102f0bd6.jpg)
+
+如图17-1所示，设 $M _ { \scriptscriptstyle 0 } ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } , y _ { \scriptscriptstyle 0 } , z _ { \scriptscriptstyle 0 } )$ ，方向向量 $\pmb { \tau } = ( l , m , n )$ .在母线r上任取一点 $M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$ ，则过 $M _ { 1 }$ 的纬圆上的任意一点P(x，y,z)满足条件
+
+图17-1
+
+$$
+\overrightarrow { M _ { 1 } P } \perp \tau  , \ \left| \overrightarrow { M _ { 0 } P } \right| = \left| \overrightarrow { M _ { 0 } M } _ { 1 } \right| ,
+$$
+
+即
+
+$$
+\left\{ \begin{array} { l l } { l ( x - x _ { 1 } ) + m ( y - y _ { 1 } ) + n ( z - z _ { 1 } ) = 0 , } \\ { \qquad \quad \hfill ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) ^ { 2 } , } \end{array} \right.
+$$
+
+与方程 $F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = 0$ 和 $G ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = 0$ 联立消去 $x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 }$ ，便可得到旋转曲面的方程.
+
+常考曲线厂： $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right.$ 绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程如图17-2所示，在曲线Γ上任取一点 $M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$ 则过点 $M _ { 1 }$ 的纬圆上的任意一点P(x,y，z)满足条件 $\left. \overrightarrow { O P } \right. { = } \left. \overrightarrow { O M _ { 1 } } \right.$ 和 $\scriptstyle z = z _ { 1 }$ 即$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 }$ 且 ${ z = z _ { 1 } }$ ，得 因为 $( x - x _ { 1 } , y - y _ { 1 } , z - z _ { 1 } ) \perp ( 0 , 0 , 1 )$
+
+$$
+x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } .
+$$
+
+![](images/de38dc890d01de9242cf943fc70244c02a8960d4d651e6a850c8b4543f29c016.jpg)
+
+从方程组 $\left\{ \begin{array} { l l } { F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z ) = 0 , } \\ { G ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z ) = 0 , } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right.$ 中消去 $x _ { 1 }$ 和 $y _ { 1 }$ ，便得到旋转曲面的方程
+
+图17-2
+
+如果能从方程组 $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right.$ 中解出 $\scriptstyle x = f _ { 1 } ( z )$ 和 $y = f _ { 2 } ( z )$ 则旋转曲面的方程为
+
+$$
+x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = [ f _ { 1 } ( z ) ] ^ { 2 } + [ f _ { 2 } ( z ) ] ^ { 2 }
+$$
+
+如求 $\left\{ y ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 2 } = 1 , \right.$ 绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程，由方程组知 $\left\{ \begin{array} { l } { { x = 0 , } } \\ { { y ^ { 2 } = 1 + ( z - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right.$ 则旋,转曲面的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + 1 + ( z - 1 ) ^ { 2 }$ ，即 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 2 } = 1$
+
+例17.5设 $\varSigma _ { 1 }$ 是由过点(0,-1,1)与点(0,0,0)的直线L绕z轴旋转一周所得的旋转曲面位于$z \geqslant 0$ 的部分， $\varSigma _ { 2 }$ 的方程为 $z ^ { 2 } = 2 x$ ，则 $\textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 }$ 与 $\varSigma _ { 2 }$ 的交线r在xOy面上的投影曲线方程为
+
+解 应填 $\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.$
+
+直线L的两点式方程为 ${ \frac { x } { 0 } } = { \frac { y + 1 } { 1 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } }$ ，参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 , } \\ { y = - 1 + t , } \\ { z = 1 - t , } \end{array} \right.$ t为参数，即 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 , } \\ { y = - z } \end{array} \right. }$ 由“三、2.（4)注”，得 $\varSigma _ { 1 }$ 的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + ( - z ) ^ { 2 } = z ^ { 2 }$ ，也即 $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$
+
+将 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } \\ { z ^ { 2 } = 2 x } \end{array} \right. }$ '中的z消去，得 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x$ ，即得到投影曲线方程为$\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x , } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.$ 曲线r和其在 $x O y$ 面上的投影如图17-3所示.
+
+![](images/7d5f0db72377fad970e2cba170e6547d27375f522d1ff093c96cf0258654a975.jpg)  
+图17-3
+
+## 四多元函数微分学的几何应用
+
+![](images/43ae56492652b117a5d61178f6a965cdc37e6d93741f802eb7b8a0935a04ad22.jpg)
+
+## 1空间曲线的切线与法平面
+
+(1)用参数方程给出曲线： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , \ t \in I } \\ { z = z ( t ) , } \end{array} \right.$
+
+其中 x(t)，y(t),z(t)在I上可导，且三个导数不同时为0，则曲线在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的切向量$\tau = ( x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) , y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) , z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) )$
+
+切线方程： $\frac { x - x _ { 0 } } { x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) } = \frac { y - y _ { 0 } } { y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) } = \frac { z - z _ { 0 } } { z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) }$
+
+法平面方程： $x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) + y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) + z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( z - z _ { 0 } ) = 0$
+
+(2)用方程组给出曲线： $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 . } \end{array} } \right.$
+
+当 $\left. \frac { \partial ( F , G ) } { \partial ( y , z ) } = \right| \frac { \partial F } { \partial y } \left. \frac { \partial F } { \partial z } \right| _ { \partial z }$ 时，可确定 $\begin{array}{c} \begin{array} { l } { \left\{ x = x , \right. } \\ { \left\{ y = y ( x ) \right. } \\ { \left. z = z ( x ) . \right.} \end{array}   \end{array}$
+
+雅可比行列式
+
+其在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的切向量 $\underline { { \tau } } = \left| \frac { i } { \underline { { F } } _ { x } ^ { \prime } } \begin{array} { c c c } { j } & { k } \\ { \underline { { F } } _ { y } ^ { \prime } } & { F _ { z } ^ { \prime } } \end{array} \right| _ { \underline { { \tau } } } = ( A , B , C )$ 梯度向量n两个梯度向量的叉乘：n×nG在P的梯度向量n
+
+![](images/df90d57769654eb3eadc390e360fa4377fd9f76f5d1cff3791fe0eff17000f46.jpg)
+
+切线方程： ${ \frac { x - x _ { 0 } } { A } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { B } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { C } }$
+
+法平面方程： $A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0$
+
+## ②空间曲面的切平面与法线
+
+(1)用隐式方程给出曲面： $F ( x , y , z ) = 0$ ，其中F的一阶偏导数连续．F在P的梯度向量
+
+其在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的法向量 $\left. \pmb { n } = ( F _ { x } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } , F _ { y } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } , F _ { z } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } ) \right.$
+
+切平面方程： $\left. F _ { x } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( x - x _ { 0 } \right) + \left. F _ { y } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( y - y _ { 0 } \right) + \left. F _ { z } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( z - z _ { 0 } \right) = 0$
+
+![](images/61080ee1325dee1e114560e9c253649e5ec2857c46fa7efe4f777ffb7363b2af.jpg)
+
+法线方程： $\frac { x - x _ { 0 } } { \left. F _ { x } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } = \frac { y - y _ { 0 } } { \left. F _ { y } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } = \frac { z - z _ { 0 } } { \left. F _ { z } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } }$ 或 $z - f ( x , y ) = 0$ 则曲面在P处的法向量为 $( - f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , - f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , 1 )$
+
+(2)用显式函数给出曲面： $\ O _ { z } = f ( x , y ) \Rightarrow f ( x , y ) - \stackrel { \textstyle \top } { z } = 0$ ，其中f的一阶偏导数连续．
+
+其在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的法向量 ${ \pmb n } = ( f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , - 1 )$ .此法向量方向向下.
+
+→若为正值，与z轴正方向夹角为切平面方程： $f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) + f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) - ( z - z _ { 0 } ) = 0$ 锐角，即法向量向上：若为负值，与z轴正方向夹角为钝角，即法向量向下
+
+法线方程： ${ \frac { x - x _ { 0 } } { f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , \  y _ { 0 } ) } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } ) } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { - 1 } }$
+
+例17.6 空间曲线 $r : \left\{ \begin{array} { l l } { { x = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { u } \cos u \mathrm { d } u , } } \\ { { y = 2 \sin t + \cos t } } \\ { { z = 1 + \mathrm { e } ^ { 3 t } } } \end{array} \right.$ 在t=0处的切线方程为
+
+分析x，y，z分别对t求导，然后代入t=0.
+
+解 应填 ${ \frac { x - 0 } { 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z - 2 } { 3 } }$
+
+当t=0时， $x = 0 , y = 1 , z = 2$ ；由 $x ^ { \prime } = \mathbf { e } ^ { t } \cos t , y ^ { \prime } = 2 \cos t - \sin t , z ^ { \prime } = 3 \mathrm { e } ^ { 3 t }$ ，得 $x ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , y ^ { \prime } ( 0 ) = 2$ $z ^ { \prime } ( 0 ) = 3$ .于是，切线方程为 ${ \frac { x - 0 } { 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z - 2 } { 3 } }$
+
+例17.7 设函数z=f(x，y)在点(0,0)附近有定义，且f(0,0)=3，则曲线 $\left\{ \begin{array} { l l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = 0 } \end{array} \right.$ 在 点(0,0,f(0,0))处的法平面方程为
+
+解 应填 $x + 3 z - 3 f ( 0 , 0 ) = 0$
+
+曲线 $\left\{ \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = 0 } \end{array} \right.$ 可写成参数式： $\left\{ { \begin{array} { l } { x = t , } \\ { y = 0 , } \\ { z = f ( t , \ 0 ) } \end{array} } \right.$ 则
+
+$$
+\tau = ( x _ { t } ^ { \prime } , y _ { t } ^ { \prime } , z _ { t } ^ { \prime } ) \big | _ { t = 0 } = ( 1 , 0 , f _ { x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) ) = ( 1 , 0 , 3 ) \ .
+$$
+
+故所求法平面方程为 $x + 3 z - 3 f ( 0 , 0 ) = 0$
+
+例17.8 曲面 $z - \mathbf { e } ^ { z } + 2 x y = 3$ 在点(1,2,0)处的切平面方程为
+
+应填2x+y-4=0.
+
+$F ( x , y , z ) = z - \mathbf { e } ^ { z } + 2 x y - 3$ ，则 $\pmb { n } = ( F _ { x } ^ { \prime } , F _ { y } ^ { \prime } , F _ { z } ^ { \prime } ) | _ { ( 1 , 2 , 0 ) }$ ，其中
+
+$$
+ F _ { x } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 y | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 ,  F _ { y } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 x | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 ,  F _ { z } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = ( 1 - \mathrm { e } ^ { z } ) | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 0 \ .
+$$
+
+故切平面方程为 $4 ( x - 1 ) + 2 ( y - 2 ) + 0 \bullet ( z - 0 ) = 0$ ，即 $2 x + y - 4 = 0$
+
+例17.9 设f可微，则曲面 $\mathrm { e } ^ { 2 x - z } = f ( \pi y - \sqrt { 2 } z )$ 是（ ）.
+
+(A)旋转抛物面 (B)双叶双曲面 (C)单叶双曲面 (D)柱面
+
+解 应选(D).
+
+设 $F = f ( \pi y - { \sqrt { 2 } } z ) - \mathbf { e } ^ { 2 x - z }$ ，则曲面上任一点处的法向量为
+
+定直线L
+
+$$
+\pmb { n } = ( - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x - z } , \pi f ^ { \prime } , - \sqrt { 2 } f ^ { \prime } + \mathrm { e } ^ { 2 x - z } ) \ .
+$$
+
+设某定向量τ=(a,b,c)（a,b,c不同时为零)与n垂直，即
+
+![](images/428c47b32b576b437d19df9965cd896d3e65b9b9c66d1884fbaecc54c5d0aa28.jpg)
+
+$$
+{ \pmb n } \bullet ( a , b , c ) = - 2 a { \bf e } ^ { 2 x - z } + \pi b f ^ { \prime } + ( - \sqrt { 2 } f ^ { \prime } + { \bf e } ^ { 2 x - z } ) c \equiv 0 ,
+$$
+
+解得 $a = { \frac { c } { 2 } } , b = { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } c$ ，令c=1，则 $a = { \frac { 1 } { 2 } } , b = { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } }$ ，这样曲面上任一点处的法向量n均与定向量$\left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } , 1 \right)$ 垂直，这说明该曲面是柱面.
+
+## 场论初步
+
+![](images/170c1ed18706fe0fcb978679feb3088f8e5291a32bcc75c610dd189e7f6759cb.jpg)
+
+什么叫“场”？从数学上说，场就是空间区域Ω上的一种对应法则.
+
+(1)如果Ω上的每一点M(x，y,z)都对应着一个数量u，则在Ω上就确定了一个数量函数$u = u ( x , y , z )$ ，它表示一个数量场.数量场的例子很多，比如温度场，温度场只讲大小，不讲方向.
+
+(2)如果Ω上的每一点M(x，y，z)都对应着一个向量F，则在Ω上就确定了一个向量函数
+
+$$
+F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ,
+$$
+
+它表示一个向量场.向量场的例子也很多，比如引力场，引力场既讲大小，也讲方向.
+
+## 1方向导数
+
+定义设三元函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 的某空间邻域 $U \subset { \mathbf { R } } ^ { 3 }$ 内有定义，1为从点 $P _ { 0 }$ 出发的射线， $P ( x , y , z )$ 为l上且在U内的任一点，则
+
+$$
+\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x - x _ { 0 } = \Delta x = t \cos \alpha , } \\ { \displaystyle y - y _ { 0 } = \Delta y = t \cos \beta , } \\ { \displaystyle z - z _ { 0 } = \Delta z = t \cos \gamma . } \end{array} \right. \overset { , } { = } \mathrm { , }
+$$
+
+以 $t = \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } + \left( \Delta z \right) ^ { 2 } }$ 表示P与 $P _ { 0 }$ 之间的距离，如图17-4所示，若极限
+
+$$
+\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( P ) - u ( P _ { 0 } ) } { t } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( x _ { 0 } + t \cos \alpha , y _ { 0 } + t \cos \beta , z _ { 0 } + t \cos \gamma ) - u ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } { t }
+$$
+
+存在，则称此极限为函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 }$ 沿方向I的方向导数，记作 $\left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \alpha } l } \right| _ { P _ { 0 } }$
+
+定理（方向导数的计算公式）设三元函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点$P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处可微分，则 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 }$ 处沿任一方向1的方向导数都存在，且
+
+![](images/b992cd070d18a58192af98acc0d75f745626468c4a65f3e8b409fadf9241c7d7.jpg)  
+图17-
+
+$$
+\begin{array} { r l } & { \displaystyle \frac { \hat { \omega } u } { \hat { \omega } l } \bigg \vert _ { P _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y , z _ { 0 } + \Delta z ) - u ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } \longmapsto _ { \Delta u } } \\ & { \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta x + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta y + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta z + o ( t ) } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } \quad \quad \xrightarrow { \mathrm { d } x } \quad \quad \quad \quad \Delta x } \\ & { \quad = u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \alpha + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \beta + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \gamma , \quad \quad \quad \quad \frac { \Delta y } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } = \cos \beta , } \end{array}
+$$
+
+其中cosα，cosβ,cosγ为方向l的方向余弦.
+
+(cosα,cosβ，cosy)一定是单位向量
+
+注二元函数f（x，y）的情况与三元函数类似
+
+## ②梯度
+
+定义设三元函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处具有一阶连续偏导数，则定义
+
+$$
+\left. \mathbf { g r a d } u \right| _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) \longrightarrow _ { \# \# \# , \frac { 5 } { 4 } \# , \frac { 5 } { 4 } \delta \xi \xi \xi \eta \neq \frac { 5 } { 4 0 } \# \delta \xi \xi \eta \neq \frac { 5 } { 4 0 } \# \frac { 5 } { 4 0 } \# \frac { 5 } { 4 0 } \frac { \delta \eta } { \delta x } }
+$$
+
+为函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 }$ 处的梯度.
+
+$$
+\mathbf { g r a d } { \binom { u } { \nu } } = { \frac { \nu \mathbf { g r a d } u - u \mathbf { g r a d } \nu } { \nu ^ { 2 } } } ( \nu \neq 0 ) .
+$$
+
+## ③方向导数与梯度的关系
+
+由方向导数的计算公式 $\left. { \frac { \hat { \partial } { \boldsymbol u } } { \hat { \partial } t } } \right| _ { P _ { 0 } } = u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \alpha + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \beta + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \gamma$ 与梯度的定义
+
+$$
+\begin{array} { r } { \mathbf { g r a d } u \vert _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) , } \end{array}
+$$
+
+可得到
+
+$$
+\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \hat { \boldsymbol \alpha } \boldsymbol { u } } { \hat { \boldsymbol \alpha } \boldsymbol { l } } \bigg \vert _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) \bullet ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ) = \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \cdot \boldsymbol { l } ^ { \prime } } \\ { \displaystyle \quad \quad = \big \vert \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \big \vert \big \vert l ^ { \circ } \big \vert \cos \theta = \big \vert \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \big \vert \cos \theta , } \end{array}
+$$
+
+其中θ为 $\left. \mathbf { g r a d } u \right| _ { P _ { 0 } }$ 与l的夹角.
+
+→此时向量与梯度同方向①当 $\cos \theta = 1$ 时， $\left. \frac { \partial u } { \partial l } \right| _ { P _ { 0 } }$ 有最大值.
+
+②当 $\cos \theta = 0$ ，即 $\theta = \frac { \pi } { 2 }$ 时，向量l与梯度垂直，有 $\left. \frac { \partial u } { \partial t } \right| _ { P _ { 0 } } = 0$ ，即变化率为0.
+
+于是有重要结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，为
+
+$$
+\left| \mathbf { g r a d } u \right| = \sqrt { ( u _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( u _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( u _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } .
+$$
+
+## 4 散度
+
+定义设向量场 $A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k$ ，则
+
+$$
+\operatorname { d i v } A = \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z }
+$$
+
+叫作向量场A的散度.
+
+## 5旋度
+
+![](images/d5ecf68ada3c7ef718b4f6d92088d62c85cec529344b680469047afbd834cccb.jpg)
+
+表示向外（内）流的强度
+
+定义设向量场 $A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k$ ，则
+
+$$
+\begin{array} { r } { \mathbf { r o t } ~ A = \left| \frac { i } { \partial x } ~ \frac { \partial } { \partial y } ~ \frac { \partial } { \partial z } \right| } \\ { P ~ Q ~ R \left| ~ R \right| } \end{array}
+$$
+
+叫作向量场A的旋度.描述向量场中向量旋转量的强度
+
+例17.10 函数 $f ( x , y , z ) = x ^ { 2 } y + z ^ { 2 }$ 在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为（）.(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
+
+解 应选(D).
+
+因为函数可微分，且
+
+$$
+\left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 x y \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 , \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = x ^ { 2 } \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 1 , \left. \frac { \partial f } { \partial z } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 z \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 0 \ ,
+$$
+
+与n同方向的单位向量为 ${ \frac { n } { | n | } } = \left( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } \right)$ ，所以所求方向导数为
+
+$$
+\left. \frac { \partial f } { \partial n } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 \times \frac { 1 } { 3 } + 1 \times \frac { 2 } { 3 } + 0 \times \frac { 2 } { 3 } = 2 .
+$$
+
+例17.11 设a,b为实数，函数 $z = 2 + a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 }$ 在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10.则a,b的值分别为（ ）(A)-1，-1 (B)-1,1(C)1，-1 (D)1，1
+
+分析）方向导数最大时，即为梯度方向，值为梯度的模.
+
+函数 $z = 2 + a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 }$ 在点(3,4)处的梯度为
+
+$$
+\left. \mathbf { g r a d } \ z \right| _ { ( 3 , 4 ) } = 6 a \pmb { i } + 8 b \pmb { j } \ .
+$$
+
+由题设条件，知 $\left\{ \begin{array} { l l } { 6 a = - 3 k , } \\ { 8 b = - 4 k , } \\ { \sqrt { 3 6 a ^ { 2 } + 6 4 b ^ { 2 } } = 1 0 } \end{array} \right.$ 其中k>0，解得a=-1,b=-1.
+
+例17.12 已知函数z=f(x，y)可微，其在点 $P _ { 0 } ( 1 , 2 )$ 处沿从 $P _ { 0 }$ 到P(2,3)的方向的方向导数为$2 \sqrt { 2 }$ ，沿从 $P _ { 0 }$ 到P2(1,0)的方向的方向导数为-3，则z在点 $P _ { 0 }$ 处的最大方向导数为
+
+$$
+\sqrt { 1 0 }
+$$
+
+如图17-5所示， $l _ { 1 } = \overrightarrow { P _ { 0 } P _ { 1 } } = ( 1 , 1 ) , l _ { 2 } = \overrightarrow { P _ { 0 } P _ { 2 } } = ( 0 , - 2 )$ ，且
+
+$$
+\mathring { l _ { 1 } ^ { \circ } } = ( \cos \alpha _ { 1 } , \cos \beta _ { 1 } ) = \left( \frac 1 { \sqrt 2 } , \frac 1 { \sqrt 2 } \right) ,
+$$
+
+$$
+\bar { l _ { 2 } ^ { \circ } } = ( \cos \alpha _ { 2 } , \cos \beta _ { 2 } ) = ( 0 , - 1 ) \ .
+$$
+
+由方向导数计算公式，有
+
+$$
+ \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } \ ,
+$$
+
+$$
+ \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot 0 + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot ( - 1 ) = - 3 ~ ,
+$$
+
+解得 $z _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) { = } 1 , z _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) { = } 3$ ，故z在点 $P _ { 0 }$ 处的最大方向导数为
+
+$$
+| \mathbf { g r a d } z | _ { P _ { 0 } } | = \sqrt { [ z _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ] ^ { 2 } + [ z _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 0 }
+$$
+
+![](images/a5e100f531e46b69636576660e3de022e944942f82602565d0ce82dc0215ff9e.jpg)  
+图17-5
+
+注本题的问题可作如下推广：设 $z = f ( x , y )$ 可微，记任意一点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，从 $P _ { 0 }$ 出发，沿两条不共线的方向 $l _ { 1 } ^ { \circ } = \left( \cos \alpha _ { 1 } , \cos \beta _ { 1 } \right)$ 与 $\hat { l _ { 2 } } = ( \cos \alpha _ { 2 } , \cos \beta _ { 2 } )$ 的方向导数分别为
+
+$$
+[  { \frac { \partial f } { \partial t _ { 1 } ^ { o } } } | _ { P _ { 0 } } = { \frac { \partial f } { \partial x } } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \alpha _ { 1 } + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \beta _ { 1 } ,
+$$
+
+$$
+| \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { o } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \alpha _ { 2 } + \frac { \partial f } { \partial y } \Bigg | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \beta _ { 2 } ,
+$$
+
+其中 $\left| \begin{array} { l l } { \cos \alpha _ { 1 } } & { \cos \beta _ { 1 } } \\ { \cos \alpha _ { 2 } } & { \cos \beta _ { 2 } } \end{array} \right| \neq 0$
+
+（1）若 $\left. \frac { \partial f } { \partial l _ { 1 } ^ { \circ } } \right| _ { P _ { 0 } } , \left. \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { \circ } } \right| _ { P _ { 0 } }$ 不全为0，则该非齐次方程组有唯一解，如例17.12的解答过程
+
+（2）若 $ \frac { \partial f } { \partial l _ { 1 } ^ { \circ } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { \circ } } | _ { P _ { 0 } } = 0$ 则该齐次方程组只有零解，即 $ \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } = 0$ 故 $ \mathrm { d } f  _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial x }  _ { P _ { 0 } } \mathrm { d } x +$ $\left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { P _ { 0 } } \mathrm { d } y = 0$ 由 $P _ { 0 }$ 的任意性，有 $\mathrm { d } f = 0$ ，故 $f ( x , y )$ 为一常数
+
+例17.13 设 $F ( x , y , z ) = x y i - y z j + z x k$ ，则 $\mathbf { r o t } F ( 1 , 1 , 0 ) =$
+
+## 解 应填i-k.
+
+记三元向量函数 $F ( x , y , z ) = ( P , Q , R )$ ，则
+
+$$
+\mathrm { r o t } \ F ( x , y , z ) = \left| \frac { \hat { \omega } } { \partial x } \begin{array} { c c c } { { j } } & { { k } } \\ { { \hat { \omega } } } & { { \hat { \omega } } } & { { \hat { \omega } } } \\ { { { \hat { \omega } } } } & { { { \hat { \omega } } } } & { { { \hat { \omega } } z } } \\ { { P } } & { { Q } } & { { R } } \end{array} \right| ,
+$$
+
+其中 $P = x y , Q = - y z , R = z x$ ，于是
+
+$$
+\mathbf { r o t } F ( 1 , 1 , 0 ) = \left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { x y } & { - y z } & { z x } \end{array} \right| _ { ( 1 , 1 , 0 ) } = \left( y i - z j - x k \right) \Bigr | _ { ( 1 , 1 , 0 ) } = i - k \ .
+$$
+
+![](images/8eb1b1cd1795e9b4cf2f3d8b660a359b5bd217b89b2b2009e47543e4fe539069.jpg)
+
+## 基础习题精练
+
+## 习题
+
+17.1设直线 $L : \left\{ { x + y - z + 1 = 0 } , \atop { x - y + 3 z + 3 = 0 }  \right.$ 平面 $\scriptstyle \pi : x - 2 y - z + 3 = 0$ ，则直线L（ ）.(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π (D)与π相交但不垂直
+
+17.2在曲线 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = t , } \\ { y = - t ^ { 2 } } \\ { z = t ^ { 3 } } \end{array} \right.$ ,的所有切线中，与平面 $x + 2 y + z = 4$ 平行的切线（ ）：(A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在
+
+17.3已知曲面 $z = 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ 上点P处的切平面平行于平面 $2 x + 2 y + z - 1 = 0$ ，则点P的坐标是 ） (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)
+
+17.4设 $| a + b | = | a - b |$ ，且a=(3,-5,8),b=(-1,1,z)，则z=
+
+17.5直线 $L : { \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y } { 1 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } }$ 在平面 $\scriptstyle \pi : 3 x - y + 3 z = 5$ 上的投影直线 $L _ { 0 }$ 的方程为
+
+17.6经过点A(1,0,0)与点B(0,1,1)的直线绕z轴旋转一周生成的曲面方程是
+
+17.7函数 $u = \ln ( x + \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } )$ 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为
+
+17.8设u是由方程 $\mathrm { e } ^ { z + u } - x y - y z - z u = 0$ 所确定的x,y,z的隐函数，则 $\scriptstyle u = u ( x , y , z )$ 在点P(1,1,0)处方向导数的最大值为
+
+17.9已知 $\scriptstyle { F = x ^ { 3 } i + y ^ { 3 } j + z ^ { 3 } k }$ ，则在点(1,0,-1)处的div F为
+
+17.10向量场A=(z,3x，2y)的旋度rot A=
+
+## 解答
+
+## 17.1(C）解先将直线
+
+$$
+L : \left\{ { x + y - z + 1 = 0 } , \atop { x - y + 3 z + 3 = 0 }  \right.\tag{①}
+$$
+
+②
+
+化为点向式方程.
+
+由①+②可得 ${ \frac { x + 2 } { - 1 } } = z$
+
+由①-②可得 ${ \frac { y - 1 } { 2 } } = z$
+
+因此所给直线化为
+
+$$
+{ \frac { x + 2 } { - 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z } { 1 } } ,
+$$
+
+其方向向量为τ=(-1,2,1).
+
+又所给平面的法向量为 $\pmb { n } = ( 1 , - 2 , - 1 )$ ，有 $\tau / / n$ ，因此 $L \perp \pi$ ，故选(C).
+
+17.2(B）解曲线在 $t _ { 0 }$ 处的切向量为 $\tau = ( 1 , - 2 t _ { 0 } , 3 t _ { 0 } ^ { 2 } )$ ，该切线与平面 $x + 2 y + z = 4$ 平行 $\Leftrightarrow \tau$ 与 该平面的法向量n=(1,2,1)垂直 $\Leftrightarrow \tau \bullet n = 0 \Leftrightarrow 1 - 4 t _ { 0 } + 3 t _ { 0 } ^ { 2 } = 0 \Leftrightarrow t _ { 0 } = 1$ 或 $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 3 }$
+
+将 $t _ { 0 } = 1 , t _ { 0 } = \frac { 1 } { 3 }$ 代入曲线方程可得点(1,-1,1)和点 $\left( { \frac { 1 } { 3 } } , - { \frac { 1 } { 9 } } , { \frac { 1 } { 2 7 } } \right)$ ，再代入平面方程知两点均不在平面上，符合题意.故与平面平行的切线只有2条.
+
+17.3（C）解设P点的坐标为 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ ，则曲面在P点的法向量为
+
+$$
+\begin{array} { r } { n = ( - 2 x _ { 0 } , - 2 y _ { 0 } , - 1 ) , } \end{array}
+$$
+
+又因为切平面平行于平面 $2 x + 2 y + z - 1 = 0$ ，则
+
+$$
+\frac { - 2 x _ { 0 } } { 2 } = \frac { - 2 y _ { 0 } } { 2 } = \frac { - 1 } { 1 } ,
+$$
+
+从而可得 $x _ { 0 } = 1 , y _ { 0 } = 1$ ，代入曲面方程解得 $z _ { 0 } = 2$ .故选(C).
+
+17.41解由 $\pmb { a } = ( 3 , - 5 , 8 ) , \pmb { b } = ( - 1 , 1 , z )$ ，可知
+
+$$
+a + b = ( 3 - 1 , - 5 + 1 , 8 + z ) = ( 2 , - 4 , 8 + z ) ,
+$$
+
+$$
+a - b = ( 3 + 1 , - 5 - 1 , 8 - z ) = ( 4 , - 6 , 8 - z ) ,
+$$
+
+$$
+\left| a + b \right| = \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 4 ) ^ { 2 } + ( 8 + z ) ^ { 2 } } = \sqrt { 2 0 + ( 8 + z ) ^ { 2 } } ,
+$$
+
+$$
+\left| a - b \right| = \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( - 6 ) ^ { 2 } + ( 8 - z ) ^ { 2 } } = \sqrt { 5 2 + ( 8 - z ) ^ { 2 } } ,
+$$
+
+由题设可知
+
+$$
+{ \sqrt { 2 0 + ( 8 + z ) ^ { 2 } } } = { \sqrt { 5 2 + ( 8 - z ) ^ { 2 } } } ,
+$$
+
+可解得z=1.
+
+17.5 $\left\{ { \begin{array} { l } { 3 x - y + 3 z = 5 , } \\ { x - 3 y - 2 z + 1 = 0 } \end{array} } \right.$ 解欲求直线L在已给平面π上的投影直线 $L _ { 0 }$ ，应先求过L且与π垂直
+
+的平面 $\pi _ { 1 }$ .为此先将L的方程化为一般式方程：
+
+$$
+\left\{ { \begin{array} { l } { x + z - 2 = 0 , } \\ { y + z - 1 = 0 , } \end{array} } \right.
+$$
+
+则过L的平面束方程为
+
+$$
+( x + z - 2 ) + \lambda ( y + z - 1 ) = 0 ,
+$$
+
+其中与π垂直的平面 $\pi _ { 1 }$ 的法向量应满足
+
+$$
+3 \times 1 + ( - 1 ) \lambda + 3 ( 1 + \lambda ) = 0 ,
+$$
+
+可解得 $\lambda = - 3$ ，则 $\pi _ { 1 }$ 的方程为
+
+$$
+x - 3 y - 2 z + 1 = 0 ,
+$$
+
+因此L在π上的投影直线 $L _ { 0 }$ 的方程为
+
+$$
+\left\{ { \begin{array} { l } { 3 x - y + 3 z = 5 , } \\ { x - 3 y - 2 z + 1 = 0 . } \end{array} } \right.
+$$
+
+17.6 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0$ 解由直线方程的两点式得直线AB的方程：
+
+$$
+{ \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y } { - 1 } } = { \frac { z } { - 1 } } \ .
+$$
+
+写成参数式：
+
+$$
+x = 1 + t , y = - t , z = - t ,
+$$
+
+得旋转曲面的方程：
+
+$$
+x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( 1 - z ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } , \mathrm { ~ } \sharp \mathbb { \ : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0 \ .
+$$
+
+17.7 $\frac { 1 } { 2 }$ 解因为
+
+$$
+ { \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } x } } | _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } | _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ,
+$$
+
+$$
+\left. { \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } y } } \right| _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \cdot \left. { \frac { y } { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \right| _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = 0 \ ,
+$$
+
+$$
+ { \frac { \partial u } { \partial z } } | _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \cdot { \frac { z } { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } | _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ,
+$$
+
+而 $\overrightarrow { A B }$ 的单位向量为 $\left( { \frac { 2 } { 3 } } , - { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 3 } } \right)$ ，故所求的方向导数为
+
+$$
+\left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \partial } \vec { A } B } \right| _ { A } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 2 } { 3 } + 0 \times \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ~ .
+$$
+
+17.8 $\sqrt { 2 }$ 解方向导数的最大值就是 $| \mathbf { g r a d } u | _ { P } |$ .由所给方程两边对x求偏导数，u视为x，y，z的函数，有
+
+$$
+{ \mathrm { e } } ^ { z + u } { \frac { \partial u } { \partial x } } - y - z { \frac { \partial u } { \partial x } } = 0 , { \frac { \partial u } { \partial x } } = { \frac { y } { { \mathrm { e } } ^ { z + u } - z } } \ .
+$$
+
+当 $x = 1 , y = 1 , z = 0$ 时 $\scriptstyle u = 0$ ，代人上式后，得 $\frac { \partial u } { \partial x } \bigg | _ { P } = 1$ .类似可得 $\left. \frac { \partial u } { \partial y } \right| _ { P } = 1 , \left. \frac { \partial u } { \partial z } \right| _ { P } = 0$ .所以
+
+$$
+\begin{array} { r } { \mathbf { g r a d } u \vert _ { r } = ( 1 , 1 , 0 ) , \left| \mathbf { g r a d } u \right| _ { r } = \sqrt { 2 } \ . } \end{array}
+$$
+
+17.96解设向量场 $\pmb { F } = P \pmb { i } + Q \pmb { j } + R \pmb { k }$ ，则在点 $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处
+
+$$
+\operatorname { d i v } F = \left( \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \right) \bigg | _ { M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } ~ .
+$$
+
+因为 $\frac { \partial ( x ^ { 3 } ) } { \partial x } = 3 x ^ { 2 } , \frac { \partial ( y ^ { 3 } ) } { \partial y } = 3 y ^ { 2 } , \frac { \partial ( z ^ { 3 } ) } { \partial z } = 3 z ^ { 2 }$ ，故
+
+$$
+\operatorname { d i v } F = ( 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } ) { \big | } _ { ( 1 , 0 , - 1 ) } = 6 ~ .
+$$
+
+17.102i+j+3k解设向量场 $\pmb { A } = P \pmb { i } + Q \pmb { j } + R \pmb { k }$ ，则
+
+$$
+\begin{array} { r } { \mathrm { r o t } ~ { A } = | \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } | } \\ { P } & { Q } & { R } \end{array} | } \\ { = ( \frac { \partial R } { \partial y } - \frac { \partial Q } { \partial z } ) i + ( \frac { \partial P } { \partial z } - \frac { \partial R } { \partial x } ) j + ( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } ) k . } \end{array}
+$$
+
+因 $P = z , Q = 3 x , R = 2 y$ ，则
+
+$$
+\mathbf { r o t } \ { \cal A } = 2 i + j + 3 k \ .
+$$
+