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张宇18讲

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423
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## 第7讲
## 一元函数微分学的应用（三）物理应用与经济应用
![](images/7bada1f08e6ed980f9526b023b12bcc74139c9a80d9a184096e868e410da4cb0.jpg)
强调：用数学工具解决应用问题，不会出现过于专业的问题
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）、复利与连续复利（仅数学三）、导数的经济应用（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量（仅数学一、数学二）；②了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>相关变化率（仅数学一、数学二）</td></tr></table>
![](images/ba2f344074a26fafffb6e8b511c28d43177b18a7e0abe41cbbae389669ebd618.jpg)
## 基础知识结构
物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）
物理应用
★相关变化率
复利与连续复利（仅数学三）
经济学中常见的函数
导数的经济应用（仅数学三）
边际函数与边际分析
弹性函数与弹性分析
![](images/3a756b68cb370874f22860de3e377c83623e1c3e1e9c2204dc4a60576f039b4a.jpg)
## 基础内容精讲
## 物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）
## 物理应用
相关物理概念：①位移对时间的变化率（速度）；
②速度对时间的变化率（加速度）；
③牛顿第二定律 $( F = m a )$
$$
x ^ { \prime }
$$
已知质点运动的位移s关于时间t的函数为 $s = s ( t )$ ，称它为质点的运动方程（位移方程)，则其速度为
$$
\nu ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t 0 } \frac { \Delta s } { \Delta t } = s ^ { \prime } ( t ) , \qquad \quad \longrightarrow \nu ( t ) = \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t }
$$
其加速度为
$$
a ( t ) = \frac { \mathrm { d } \nu } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } \nu } { \mathrm { d } s } \cdot \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } ( \dot { \bar { \mathfrak { H } _ { i } } } a ( t ) = \frac { \mathrm { d } ( \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } ) } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } s } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } ) \overset \Longleftrightarrow { a ( t ) } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t 0 } \frac { \Delta \nu } { \Delta t } = \nu ^ { \prime } ( t ) = s ^ { \prime } ( t ) \ .
$$
dv·V（更利于解决含s，v不涉及t的相关徽分方程问题，第15讲再学习）
ds7
这就是导数的物理意义.
## 2相关变化率
研究 ${ \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B } } { = } { \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } C } } { \cdot } { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B } }$
①若已知 ${ \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B } } , \ { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B } }$ ，则 $\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } C } = \frac { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } B } } { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B } }$ （通过已知求未知）；
②该等式建立了 $\frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } B }$ 与 $\frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } B }$ 的关系，A，B，C可以扩展为很多实际的量，比如某冰块质量（m）对温度（c）随时间（t）的变化率
$$
\frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } c } \bullet \frac { \mathrm { d } c } { \mathrm { d } t } \Rightarrow \frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } c } = \frac { \mathrm { d } m } { \mathrm { d } t } \enspace .
$$
## 注微分学中经济应用较多，积分学中物理应用较多
f(x)已知，若告 $\dot { \pi } \cdot O \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t }$ ，则 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t }$ 便可求. 7
若函数y=f(x)由参数方程 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} } \right.$ 确定且可导，则 ${ \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } = { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \cdot { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = f ^ { \prime } ( x ) { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } }$ ，上式中， $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t }$ 与 $\frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t }$ 由$f ^ { \prime } ( x )$ 联系在一起，这种相互关联的变化率称为相关变化率.
注单独出题不难，常见的是速度、位移、加速度与相关变化率的综合题，难度在于和微分方程相结合
例7.1 已知动点P在曲线 $y = x ^ { 3 }$ 上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标对时间的变化率为常数 $\nu _ { 0 }$ ，则当点P运动到点(1,1)时，1对时间的变化率是
$$
2 \sqrt { 2 } \nu _ { \mathrm { 0 } }
$$
由题设知 $l = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 2 } + x ^ { 6 } }$ ，则
![](images/f2c88c8fa345be7cfda260bc8e899bdc16afdd3bc8a9c4f5cfbd93e0a9720df1.jpg)
$$
\frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } t } = \overbrace { \frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } x } } ^ { \mathrm { d } l } \bullet \overbrace { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } ^ { \mathrm { d } x } = \frac { 2 x + 6 x ^ { 5 } } { 2 \sqrt { x _ { 5 } ^ { 2 } + x ^ { 6 } } } \bullet \underline { \nu } _ { 0 } ,
$$
$$
\left. { \frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } t } } \right| _ { x = 1 } = { \frac { 8 } { 2 \sqrt { 2 } } } \nu _ { 0 } = 2 \sqrt { 2 } \nu _ { 0 } \ .
$$
@方法总结）涉及相关变化率问题：①建立相关变量方程；②求导找出相关变化率，进而通过已知变化率求未知变化率.
注更为综合的物理应用会涉及微分方程，将在第15讲学习
![](images/4791a3e9332d8e7c2eed35528c23f7f70892396b95c19548ed22a6db817a5a92.jpg)
## 复利与连续复利（仅数学三）
![](images/2801fb6b86bdd168e10173271c7a230af14eb354e76a3c78ddfc47cfe5de3568.jpg)
复利计算公式为
$$
A _ { m } = A ( 1 + r ) ^ { m } \longleftrightarrow \overbrace { { A \underbrace { ( 1 + r ) ( 1 + r ) \cdots ( 1 + r ) } } } ^ { A ( 1 + r ) ( 1 + r ) \cdots ( 1 + r ) }
$$
其中A表示一开始的本金，r表示每一期的利率，m表示复利的总期数， $A _ { m }$ 表示m期后的余额.
①如果年利率为r的利息一年支付1次，那么当初始存款为A元时，t年后余额 $A _ { t }$ 则为
$$
\begin{array} { r } { A _ { t } = A ( 1 + r ) ^ { t } . } \end{array}
$$
②如果年利率为r的利息一年支付n次，那么当初始存款为A元时，t年后余额A则为
$$
A _ { t } = A \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) ^ { n t } \overbrace { \ . \ } ^ { \substack { \longrightarrow } } A \left[ \underbrace { \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) } _ { n _ { \uparrow \uparrow } } \right] \left[ \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \right] \cdots \left[ \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \cdots \left( 1 + { \frac { r } { n } } \right) \right]
$$
$$
A \mathrm { e } ^ { r t } = R \Rightarrow A \bar { \in } R \mathrm { e } ^ { - r t }
$$
现值③对于②，当n→∞时， $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } A _ { t } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } A { \Bigg ( } 1 + { \frac { r } { n } } { \Bigg ) } ^ { n t } = A \mathbf { e } ^ { r t }$ ，这称为连续复利.→掌握至此即可，无须深入学习支付无数次 $ A \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i m } n t \cdot \frac { r } { n } } = A \mathrm { e } ^ { n }$
注考试时要弄清楚①，②，③三种情况，题目会明确告知
例7.2 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为 $R _ { 0 }$ 元；如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为 $R = R _ { 0 } { \mathrm { e } } ^ { { \frac { 2 } { 5 } } { \sqrt { t } } }$ .假定银行的年利率r为6%，并以连续复
利计息，若 $t _ { 0 }$ 年售出可使总收入的现值最大，则窖藏的时间 $t _ { 0 } ~ =$
分析碰到应用题，找到关系式、定义式、约束式，先写定义式（现值），再代入关系式 $R = R _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \frac { 2 } { 5 } \sqrt { t } }$ 最后按照一元函数求最值的方法，找到驻点即为所求.
解 应填11.
$$
7
$$
根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出时总收入R的现值为 $A ( t ) = R e ^ { - r t }$ 而 $R = R _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \frac { 2 } { 5 } \sqrt { t } }$
故 $A ( t ) = R _ { 0 } { \mathrm { e } } ^ { { \frac { 2 } { 5 } } { \sqrt { t } } - r t }$ 令 $\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } t } = \boldsymbol { R _ { 0 } } \mathrm { e } ^ { \frac { 2 } { 5 } \sqrt { t } - r t } \left( \frac { 1 } { 5 \sqrt { t } } - r \right) = 0$ ，得驻点 $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ .当 $0 < t _ { 0 } < \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 时， $\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { A } } { \mathrm { d } t } > 0$ ；当
$t _ { 0 } > \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 时， $\frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } t } < 0$ →一元连续函数中唯一极值点就是最值点
于是， $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 是极大值点亦是最大值点，故窖藏 $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 5 r ^ { 2 } }$ 年售出可使总收入的现值最大.当>约束式$\dot { r } = 6 \%$ 时， $t _ { \scriptscriptstyle 0 } = \frac { 1 0 0 } { 9 } \approx 1 1$ （年）
方法总结用好定义式与关系式，利用求导工具找最值即可．
![](images/c651563d1615c9c604a576b938ebc407f4ff4950cccddc3c7a59103bf5d7dac1.jpg)
## 导数的经济应用（仅数学三）
![](images/f47dfc9b5c2f3c4cf19d15f818a895c292a9490f4f946848a6b70754efbc20c5.jpg)
## 1经济学中常见的函数
(1)需求函数.
![](images/f395573f212083bef1ab58cef7af1e74187552949200effb5ac6aa7b1fad26f2.jpg)
设某产品的需求量为Q，价格为p，则 $Q = Q ( p )$ 称为需求函数，且Q一般为单调减少函数.
(2)供给函数.
设某产品的供给量为q，价格为p，则 $q = q ( p )$ 称为供给函数，且q一般为单调增加函数.
(3)成本函数.
设生产产品的总投入为C，它由固定成本 $C _ { \iota }$ （常量)和可变成本 $C _ { 2 } ( Q )$ 两部分组成，其中Q表示产量.成本函数为 $C = C \left( Q \right) = C _ { 1 } + C _ { 2 } \left( Q \right)$ ，称 $\frac { c } { \varrho }$ 为平均成本，记为 $\overline { { C } }$ 或AC，即
$$
A C = \overline { { { C } } } = { \frac { C } { Q } } = { \frac { C _ { 1 } } { Q } } + { \frac { C _ { 2 } ( Q ) } { Q } } \ .
$$
(4)收益(入)函数.
设产品售出后所得的收益为R，则
$$
R = R ( { \mathcal { Q } } ) = p Q \ ,
$$
其中p是价格，Q是销售量.
## 考研数学基础30讲·高等数学分册
(5)利润函数.
设收益扣除成本后的利润为L，则
$$
L = L ( Q ) = R ( Q ) - C ( Q ) ,
$$
其中Q为销售量.
注如无特殊情况说明，需求与供给函数以价格p为自变量，成本、收益与利润函数以产量Q为自变量
## ② 边际函数与边际分析
在经济学中，若函数f(x)可导，则称f'(x)为f(x)的边际函数. $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 称为f(x)在 $x _ { 0 }$ 点的边际值.用边际函数来分析经济量的变化叫边际分析.
由 $\Delta y \approx \mathrm { d } y$ ，即 $f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) \approx f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \Delta x$ ，取△x=1，得 $f ( x _ { 0 } + 1 ) - f ( x _ { 0 } ) \approx f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$
于是，边际值 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 被解释为：在 $x _ { 0 }$ 点，当x改变一个单位时，函数f(x)近似(在实际问题中，经常略去“近似”二字)改变 $\left| f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) \right|$ 个单位. $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 的符号反映自变量的改变与因变量的改变是同向还是反向 $\left\{ { \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) > 0 \leq 1 } \\ { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) < 0 \leq l } \end{array} } \right.$ 同向改弯 同向改变，
![](images/e0799194efbebe684ac8dda2f5f909e86c15d9b95d5378eadd530a9eab78ffac.jpg)
反向改变
(1)边际成本.
设总成本函数为 $C = C ( Q ) ( Q$ 为产量),则边际成本函数（记为MC）为 $\scriptstyle { M C = C ^ { \prime } ( Q ) }$
(2)边际收益.
设总收益函数为 $R = R ( Q ) ( Q$ 为销售量),则边际收益函数（记为MR）为 $M R = R ^ { \prime } ( Q )$
(3)边际利润.
设利润函数为 $L = L ( \boldsymbol { Q } ) ( \boldsymbol { Q }$ 为销售量),则边际利润函数（记为ML）为 $M L = L ^ { \prime } ( Q )$
## ③弹性函数与弹性分析
在经济学中，把因变量对自变量变化的反应的灵敏度，称为弹性或弹性系数.设函数 $y = f ( x )$ 可导，称
$$
\eta = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } { \frac { \Delta y } { y } } \left/ { \frac { \Delta x } { x } } = { \frac { x } { y } } y ^ { \prime } = { \frac { x } { f ( x ) } } f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { E y } { E x } } \right.
$$
为函数y=f(x)的弹性函数，称
$$
\eta \Bigg \vert _ { x = x _ { 0 } } = \frac { x _ { 0 } } { f ( x _ { 0 } ) } f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )
$$
为函数f(x)在 $x _ { 0 }$ 处的(点)弹性.
$\eta \Bigg \vert _ { x = x _ { 0 } }$ 表示在 $x _ { 0 }$ 处，当自变量x改变1%时，因变量y将改变 $| \eta | _ { x = x _ { 0 } } | \% = | { \frac { x _ { 0 } } { f ( x _ { 0 } ) } } f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) | \%$ ，其符号反映自变量x与因变量y的改变是同向还是反向. 取 $\eta = 0 . 5 4 = \frac { 0 . 5 4 \% } { 1 \% }$ →因变量改变0.54%用弹性函数来分析经济量的变化叫弹性分析. →自虚量改密1%
(1)需求的价格弹性.
$$
\eta _ { d } = { \frac { E Q } { E p } } = { \frac { p } { Q } } { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } p } } = { \frac { p } { Q ( p ) } } Q ^ { \prime } ( p ) \ .
$$
一般地，需求函数单调减少，故 $\mathcal { Q } ^ { \prime } ( p ) < 0$ ，从而 $\eta _ { d } < 0$
其经济意义：当价格为p时，若提价（降价）1%，则需求量将减少（增加） $| \eta _ { d } | \%$
注若题设要求 $\eta _ { d } > 0$ ，则取 $\eta _ { d } = - \frac { p } { Q ( p ) } Q ^ { \prime } ( p )$
(2)供给的价格弹性.
$$
\eta _ { s } = { \frac { E q } { E p } } = { \frac { p } { q } } { \frac { \mathrm { d } q } { \mathrm { d } p } } = { \frac { p } { q ( p ) } } q ^ { \prime } ( p ) \ .
$$
一般地，供给函数单调增加，故 $q ^ { \prime } ( p ) > 0$ ，从而 $\eta _ { s } > 0$
其经济意义：当价格为p时，若提价（降价）1%，则供给量将增加（减少） $\eta _ { s } \%$
(3)收益的价格弹性.
$$
\eta _ { r } = { \frac { E R } { E p } } = { \frac { p } { R } } { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } } = { \frac { p } { R ( p ) } } R ^ { \prime } ( p ) \ .
$$
一般地，收益函数单调增加，故 $R ^ { \prime } ( p ) > 0$ ，从而 $\eta _ { r } > 0$
其经济意义：当价格为p时，若提价（降价）1%，则收益将增加（减少） $\eta _ { r } \%$
例7.3 设生产某商品的固定成本为60000元，可变成本为20元／件，价格函数为 $p =$ $6 0 - { \frac { Q } { 1 0 0 0 } } \left( { \mathfrak { p } } \right.$ 是单价，单位：元；Q是销量，单位：件).已知产销平衡，求：
(1)该商品的边际利润函数;
(2)当p=50元时的边际利润，并解释其经济意义；—→数学三的热门考点
(3)使得利润最大的单价p.
分析①先写利润函数，再对Q求偏导数得到边际利润；
②代入价格函数求Q，再代入L(Q)；
③令 $L ^ { \prime } ( Q ) = 0$ ，解出Q再代入价格函数，求 $p .$
解 (1)成本函数 $C ( Q ) = 6 0 0 0 0 + 2 0 Q$ ，收益函数 $R ( Q ) = p Q = 6 0 Q - { \frac { Q ^ { 2 } } { 1 0 0 0 } }$ ，利润函数
$$
L ( Q ) = R ( Q ) - C ( Q ) = - { \frac { Q ^ { 2 } } { 1 0 0 0 } } + 4 0 Q - 6 0 0 0 0 ,
$$
故该商品的边际利润函数 $L ^ { \prime } ( Q ) = - \frac { Q } { 5 0 0 } + 4 0 $
(2)当 $p = 5 0$ 元时，销量 $Q \ = 1 0 \ 0 0 0$ 件，L' (10000)=20元.
其经济意义：销售第10001件商品所得利润为20元.
(3)令 $L ^ { \prime } ( Q ) = - \frac { Q } { 5 0 0 } + 4 0 = 0$ ，得 $Q \ = 2 0 \ 0 0 0$ 件，且 $L ^ { \prime \prime } ( 2 0 0 0 0 0 ) < 0$ ，故当 $Q \ = 2 0 \ 0 0 0$ 件时利润最大，此时p=40元.
例7.4 设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数： $Q = Q ( p )$ ，其中需求弹性 $\eta =$ $\frac { 2 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } } > 0$
(1)设R=R(p)为总收益函数，证明 $\sqrt { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } = \mathcal { Q } ( 1 - \eta ) \bigg | }$ ；作为结论用已说明，若无说明，则以Q为自变量
(2)当p=6时，求总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.
分析①写出R(p)，再对p求导，代入η即可；
②写出 $\frac { E R } { E p }$ ，代入 $\eta = \frac { 2 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } } \Bigg | _ { p = 0 }$ 即可.
(1)证由题设得 $R ( p ) = p Q ( p )$ ，两边对p求导，得 →n=-pd dp
$$
{ \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } } = Q + p { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } p } } = Q \left( 1 + \left[ { \frac { p } { Q } } { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } p } } \right] \right) = Q ( 1 - \eta ) \ .
$$
(2) 解 $\frac { E R } { E p } = \frac { p } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } p } = \frac { p } { p Q } Q ( 1 - \eta ) = 1 - \eta = 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } } = \frac { 1 9 2 - 3 p ^ { 2 } } { 1 9 2 - p ^ { 2 } }$
$$
\left. \frac { E R } { E p } \right| _ { p ^ { \approx 6 } } = \frac { 1 9 2 - 3 \times 6 ^ { 2 } } { 1 9 2 - 6 ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 1 3 } \approx 0 . 5 4 \ .
$$
其经济意义：当p=6时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.
例7.5 设某商品需求量Q对价格P的弹性为 $\eta ( \eta > 0 )$ ，R为收益，则（ ）
(A)当 $\eta < 1 , \Delta P > 0$ 时， $\Delta R > 0$
(B)当 $\eta < 1 , \Delta P < 0$ 时， $\Delta R > 0$
(C)当 $\eta > 1 , \Delta P > 0$ 时， $\Delta R > 0$
(D)当 $\eta > 1 , \Delta P < 0$ 时， $\Delta R < 0$
分析利用结论 $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } { = } Q ( 1 { - } \eta )$ 进行分析.
![](images/181a51f0a3c407643226885206e2136c15531d79c6dbd6dc5fee6798df70993d.jpg)
应选(A).
$$
{ \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } } = { \frac { \mathrm { d } \big ( P Q \big ) } { \mathrm { d } P } } = Q + P { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } P } } = Q + Q \cdot { \frac { P } { Q } } { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } P } } = Q ( 1 - \eta ) \ .
$$
当n<1时， $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } { > } 0$ ，即 $\Delta P _ { _ { ( < 0 ) } } 0$ 时， $\Delta R _ { _ { ( < 0 ) } } 0$
当n>1时， $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } < 0$ ，即 $\Delta P _ { _ { ( < 0 ) } } 0$ 时， $\Delta R _ { _ { ( > 0 ) } } ^ { _ { < 0 } }$ .故选(A).
![](images/99e602fb6e78e79185b8a398f98835a5726f2959a11dd6634dd0bb6980b486d7.jpg)
## 基础习题精练
## 习题
7.1（仅数学一、数学二)质点P沿抛物线 $x = y ^ { 2 } ( y > 0 )$ 移动，P的横坐标x对时间的变化率为5cm/s.当x=9时，点P到原点O的距离对时间的变化率为
7.2（仅数学三）设某产品的需求函数为 $Q = Q ( P )$ ，需求的价格弹性为 $\varepsilon , 0 < \varepsilon < 1$ .已知产品收益R对价格的边际为s，且产销平衡，则产品的产量应是 （用ε，s的函数表示）
7.3（仅数学一、数学二）甲车以24km/h的速度向北行驶，同时正东10km处乙车以20km/h的速度向东行驶.从这一时刻起经过1小时后，求两车间的距离对时间的变化率.
7.4（仅数学三）已知某企业的总收入函数为 $R = 2 6 x - 2 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 }$ ，总成本函数为 $C = 8 x + x ^ { 2 }$ ，其中x表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际成本函数以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.
## 解答
7.1 ${ \frac { 9 5 } { 6 { \sqrt { 1 0 } } } } { \mathrm { ~ c m / s } } $ 解点P到原点O的距离 $s = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，于是
$$
{ \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + x } } \cdot { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = { \frac { 5 ( 2 x + 1 ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + x } } } } ,
$$
当x=9时， ${ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \bigg | } _ { x = 9 } = { \frac { 5 ( 2 x + 1 ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + x } } } } { \bigg | } _ { x = 9 } = { \frac { 9 5 } { 6 { \sqrt { 1 0 } } } } ( { \mathrm { c m / s } } )$
7.2 $\frac { s } { 1 - \varepsilon }$ 解需求的价格弹性为 $- \frac { { \cal { Q } } ^ { \prime } } { \cal { Q } } { \cal { P } }$ ，其中Q为需求量，即产量，P为价格.依题意，
$- \frac { \mathcal { Q } ^ { \prime } } { \mathcal { Q } } P = \varepsilon$ ，即
$$
P Q ^ { \prime } = - \varepsilon Q ~ .
$$
收益函数 $R = P Q$ ，它对价格的边际为 $\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P }$ ，由题意，
$$
s = \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } P } = \mathcal { Q } + P \mathcal { Q } ^ { \prime } = ( 1 - \varepsilon ) \mathcal { Q } \ ,
$$
所以 $\scriptstyle Q = { \frac { s } { 1 - \varepsilon } }$
7.3解设甲车最初在原点O处，乙车在C处， $O C = 1 0 \mathrm { k m }$ ，在t小时后，甲在A点，乙在B点，如图7-1所示.设 $A B = s , O A = x , C B = y$ ，则 $s = \sqrt { x ^ { 2 } + ( y + 1 0 ) ^ { 2 } }$ ，其中 $s = s ( t ) , x = x ( t ) , y = y ( t )$ 都是关于t的函数.写成
$$
s ^ { 2 } = x ^ { 2 } + ( y + 1 0 ) ^ { 2 } ,
$$
两边对t求导，得 $2 s \bullet { \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } = 2 x { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } + 2 ( y + 1 0 ) { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } }$ ，即
![](images/312cd651352f6960dcdcf4df349b9e6f88d48b9b6374c2413c7ea50c2689377c.jpg)
$$
{ \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } = { \frac { x { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } + ( y + 1 0 ) { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + ( y + 1 0 ) ^ { 2 } } } } \ .
$$
图7-1
上式表达了三个变化率 ${ \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } , { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } , { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } }$ 之间的关系.已知 $\frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } = 2 4 , \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } = 2 0$ .当t=1时， $x = 2 4 , y = 2 0$ 代人上式，得 $\frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } { = } \frac { 1 9 6 } { \sqrt { 4 1 } } \approx 3 0 . 6 ( \mathrm { k m / h } )$
7.4解利润函数 $L = R - C = 1 8 x - 3 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 }$ ，边际收入函数 $M R = \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x } = 2 6 - 4 x - 1 2 x ^ { 2 }$ ，边际成本函数 $M C = { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } x } } = 8 + 2 x$
令 $\frac { \mathrm { d } L } { \mathrm { d } x } = 1 8 - 6 x - 1 2 x ^ { 2 } = 0$ 得 $x = 1 , x = - \frac { 3 } { 2 }$ (舍去)又 ${ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } L } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } { \Bigg | } _ { x = 1 } = ( - 6 - 2 4 x ) { \Bigg | } _ { x = 1 } = - 3 0 < 0$ ，可知当x=1时,L取得极大值，为 $L { \Bigg \vert } _ { x = 1 } = \left( 1 8 x - 3 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } \right) { \Bigg \vert } _ { x = 1 } = 1 1$ .因为 $x > 0$ 时，L(x)只有一个极大值，故此极大值就是最大值.所以当产量为1时利润最大，最大利润为11.