| $f ( x ) A$ | $f ( x ) \infty$ | $f ( x ) + \infty$ | $f ( x ) - \infty$ |
| $\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < \vert x - x _ { 0 } \vert < \delta$ 时，有|f(x)-A<ε | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < \vert x - x _ { 0 } \vert < \delta$ 时，有|f（x)|>M | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < | x - x _ { 0 } | < \delta$ 时，有f（x)>M | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < | x - x _ { 0 } | < \delta$ 时，有f（x)<-M-∞为核L无限靠近“-∞” |
| $\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x - x _ { 0 } < \delta$ 时，有 $\left| f ( x ) - A \right| < \varepsilon$ | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x - x _ { 0 } < \delta$ 时，有|f(x)|>M | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x - x _ { 0 } < \delta$ 时，有f(x)>M | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x - x _ { 0 } < \delta$ 时，有f(x)<-M |
| $\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x _ { 0 } - x < \delta$ 时，有 $\left| f ( x ) - A \right| < \varepsilon$ | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x _ { 0 } - x < \delta$ 时，有|f（x)|>M | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0$ 使得当 $0 < x _ { 0 } - x < \delta$ 时，有f（x)>M | $\forall M > 0 , \exists \delta > 0 ,$ 使得当 $0 < x _ { 0 } - x < \delta$ 时，有f（x)<-M |
| $x \to \infty$ $x + \infty$ x→-8 | |||||
| f(x)→A | $f ( x ) \infty$ | $f ( x ) + \infty$ | $f ( x ) - \infty$ | ||
| $\forall \varepsilon > 0 , \exists X > 0$ 使得当｜x>X时，有 $\left| f ( x ) - A \right| < \varepsilon$ | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当｜x>X时，有|f(x)|>M | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当｜x>X时，有f（x)>M | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当｜x|>X时，有f(x)<-M | ||
| $\forall \varepsilon > 0 , \exists X > 0$ 使得当x>X时，有|f(x)-A<ε | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当x>X时,有|f（x)>M | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当x>X时，有f(x)>M | $\forall M > 0 , \exists X > 0 ~ ,$ 使得当x>X时，有f(x)<-M | ||
| ∀>0,3x>0,使得当x<-X时，有 $\left| f ( x ) - A \right| < \varepsilon$ | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当x<-X时，有 $\left| f ( x ) \right| > M$ | $\forall M > 0 , \exists X > 0$ 使得当x<-X时，有f(x)>M | ∀m>0,3X>0,使得当x<-X时，有f(x)<-M | ||
| 条件 | 结论 |
| f(x)，g(x)均存在核值 | f(x)±g(x)，f(x)·g(x)， $\frac { f ( x ) } { g ( x ) }$ （g(x)核值不为0）均存在核值 |
| f(x)，g(x)中恰有一个不存在核值 | $f ( x ) \pm g ( x )$ 不存在核值； $f ( x ) \cdot g ( x )$ 可能存在核值，也可能不存在核值; $\frac { f ( x ) } { g ( x ) }$ 可能存在核值，也可能不存在核值 |
| f(x)，g(x)均不存在核值 | f(x)±g(x)，f(x)·g(x)， $\frac { f ( x ) } { g ( x ) }$ 均可能存在核值，也可能不存在核值 |
| 考题 | 证明数列极限的存在性 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①理解数列极限的概念；②掌握数列极限的性质及四则运算规则；③掌握数列极限存在的两个准则，并会利用它们求极限 |
| 重难点 | ①海涅定理的应用；②通过放缩利用夹逼准则求极限；③单调有界准则证明极限存在 |
| 考题 | -元函数微分学的概念 |
| 题型 | 选择题、填空题 |
| 目标 | ①理解导数与微分的概念；②理解导数与微分的关系；③理解导数的几何意义 |
| 重难点 | ①高阶导数的计算；②导数几何意义的应用；③可导充要条件的应用 |
| 考题 | -元函数导数的计算 |
| 题型 | 选择题 |
| 目标 | |
| 重难点 | 求复合函数的导数，分段函数的导数，隐函数的导数 |
| 考题 | 极值点与单调性、拐点与凹凸性、最值等函数性态的分析，渐近线的求法 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用；②会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图像；③了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（仅数学一、数学二） |
| 重难点 | ①极值点的判别；②拐点的判别 |
| X | 0 | $\left( 0 , { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \right)$ | $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ | $\left( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , 1 \right)$ | 1 |
| $y ^ { \prime }$ | 0 | ||||
| $y ^ { \prime \prime }$ | -3 | 0 | + | ||
| y | 1 | 拐点 |
| X | $( - \infty , 0 )$ | 0 | (0,1) | 1 | $( 1 , + \infty )$ |
| $y ^ { \prime }$ | + | ||||
| $y ^ { \prime \prime }$ | + | + | |||
| y | e | A |
| 考题 | 中值定理、微分等式与微分不等式 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质;②理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理 |
| 重难点 | ①平均值定理；②罗尔定理的推论；③用函数性态证明微分不等式；④用中值定理证明微分不等式 |
| 考题 | 物理应用与相关变化率（仅数学一、数学二）、复利与连续复利（仅数学三）、导数的经济应用（仅数学三） |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量（仅数学一、数学二）；②了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）（仅数学三） |
| 重难点 | 相关变化率（仅数学一、数学二） |
| 考题 | 不定积分、定积分、变限积分、反常积分 |
| 题型 | 选择题、填空题 |
| 目标 | ①理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念（仅数学一、数学二）；理解原函数与不定积分的概念，了解定积分的概念（仅数学三）.②掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理（仅数学一、数学二）；掌握不定积分的基本性质，了解定积分的基本性质，了解定积分中值定理（仅数学三）.③理解积分上限的函数，会求它的导数.④理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法 |
| 重难点 | ①不定积分和定积分的性质及积分中值定理；②变限积分函数的概念与性质；③反常积分的概念及敛散性 |
个变化而已（也许以后你们还会接触到分数阶导数甚至更为精细的刻画变化率的工具） (3)若f(x)可导，则 $f ^ { \prime } ( x )$ 可能连续，也可能含有振荡间断点. 连续不难理解，那么振荡间断点是什么样子？它是真的断了吗？在现代数学提出了超实数理论 后，我们已经知道了，事实上，没有什么线是连着的，只是点与点近不近，有多近的问题罢了. ①设 $f _ { 1 } ( x ) = \sin { x }$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \sin x$ 振荡不存在，其大致图形为  $f _ { 2 } ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { \sin { \frac { 1 } { x } } , } & { x \neq 0 , } \\ { 0 , } & { x = 0 , } \end{array} } \right.$ ②设 |
可以看出， $\sin { \frac { 1 } { x } }$ 由sinu和 $u = { \frac { 1 } { x } }$ $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } \sin { \frac { 1 } { x } }$ 复合而成．当 $x \to 0 ^ { + }$ 时， $u \to + \infty$ 故 依然是振荡不存在 但这里有一个关键问题：这里的振荡是在 $x \to 0 ^ { + }$ 时发生的，也就是x与0充分靠近、无限靠近时 发生的，于是可以看作将①中的 “无限压缩”成   |
将 $x \to 0 ^ { - }$ 也画出来，则大致图形为  |
| a.所谓“无限压缩”，可以认为在x=0的任意邻域内，都有无数次-1到1的振荡. |
b.若将横坐标x的比例放大无穷倍，就会看到形如  的样子了.我们能够放 大无穷倍吗？显然不能，故我们是看不到实际图形的，好在人类有思考能力可以想象到 |
| c.振荡间断点露出了本来的面目，放大无穷倍后，即 ，还原成原来的样子， |
| 考题 | 不定积分、定积分、变限积分和反常积分的计算 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分与定积分的换元积分法与分部积分法；②会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分；③掌握牛顿－莱布尼茨公式；④会计算反常积分 |
| 重难点 | ①不定积分和反常积分的计算；②定积分的计算和方法；③变限积分的计算和结论；④有些原函数无法用基本初等函数进行表示 |
| u的各阶导数 | $\boldsymbol { u }$ | $u ^ { \prime }$ | $u ^ { ( 3 ) }$ | $\frac { \boldsymbol { u } ^ { ( 4 ) } } { \updownarrow }$ | |
| $\nu ^ { ( 4 ) }$ 的各阶原函数 | $\nu ^ { ( 4 ) }$ | $\nu ^ { ( 3 ) }$ | $\nu ^ { \prime \prime }$ |
| $x ^ { 3 } + 2 x + 6$ | $3 x ^ { 2 } + 2$ | $_ { 6 x }$ | ||
| $\nu ^ { ( 4 ) }$ $\mathrm { e } ^ { 2 x }$ | $\frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ | ${ \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ | $\frac { 1 } { 8 } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ | ${ \frac { 1 } { 1 6 } } \mathrm { e } ^ { 2 x }$ |
| 考题 | ①平面图形的面积，旋转体的体积，函数的平均值；②形心坐标公式，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（侧面积）（仅数学一、数学二） |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、质心、形心等）及函数的平均值（仅数学一、数学二）；②会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值（仅数学三） |
| 重难点 | 平面图形的面积、旋转体的体积 |
| 考题 | 积分等式、积分不等式的求法 |
| 题型 | 解答题 |
| 目标 | ①掌握定积分中值定理，掌握用夹逼准则求一类积分极限与证明某些特殊的积分等式；②掌握函数单调性、拉格朗日中值定理、泰勒公式、换元积分法与分部积分法、牛顿－莱布尼茨公式，并会证明积分形式的不等式 |
| 重难点 | ①求积分；②积分后求极限 |
| 考题 | 变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的求法（仅数学一、数学二），经济类题目求解（仅数学三） |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①掌握求解变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的方法（仅数学一、数学二）；②掌握求解经济应用的题目（仅数学三） |
| 重难点 | 静水压力的求法（仅数学一、数学二） |
| 考题 | 连续、可微、隐函数存在定理、极值与最值 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式不变性，了解隐函数 存在定理，会求多元隐函数的偏导数； ②了解二元函数的二阶泰勒公式（仅数学一）； ③掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极 值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题 |
| 重难点 | ①可微的判断；②条件最值与拉格朗日乘数法 |
| 考题 | 二重积分 |
| 题型 | 解答题 |
| 目标 | ①理解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理；②掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） |
| 重难点 | 计算二重积分 |
| 考题 | 齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程（仅数学一）、二阶可降阶微分方程（仅数学一、 数学二）、二阶常系数线性微分方程、欧拉方程（仅数学一）、几何应用、物理应用（仅数学一、 数学二）、差分方程（仅数学三） |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 ①了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念； |
| 目标 | ②掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法； ③会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程（仅数学一）； ④会用降阶法解微分方程（仅数学一、数学二）； ⑤理解线性微分方程解的性质及解的结构； ③掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程； ⑦会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐 次线性微分方程； ⑧会解欧拉方程（仅数学一）； ③会用微分方程解决一些简单的应用问题（几何应用、物理应用（仅数学一、数学二）和经济 应用（仅数学三））； |
| 重难点 | 0了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，并了解一阶常系数线性差分方程的求解方法（仅 数学三） ①二阶常系数齐次线性微分方程的求解； ②欧拉方程（仅数学一） |
| 匡 $y ^ { \prime \prime } + p y ^ { \prime } + q y = P _ { \mathfrak { n } } ( x ) \mathrm { e } ^ { \alpha x }$ 设 $y ^ { \ast } = Q _ { n } ( x ) \mathrm { e } ^ { \alpha x } \cdot x ^ { k }$ 其中 $\boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { \alpha x }$ 照抄（若没有 $\boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { \alpha x }$ ，表明 $\scriptstyle \alpha = 0 \ )$ 写成 ，为x的n次多项式， $P _ { n } ( x )$ $Q _ { n } ( x )$ $k = \left\{ { \begin{array} { l } { 0 , \alpha \neq r _ { 1 , 2 } , } \\ { 1 , \alpha = r _ { 1 } ^ { - \frac { \mu } { \nu } } \alpha = r _ { 2 } ( r _ { 1 } \neq r _ { 2 } ) , } \\ { 2 , \alpha = r _ { 1 } = r _ { 2 } . } \end{array} } \right.$ 写一般式 总结：一看，二算，三比较. | 如： $y ^ { \prime \prime } - 2 y ^ { \prime } + 5 y = 1 \cdot \mathrm { e } ^ { x }$ $\begin{array} { c c } { { \mathrm { : } \gamma ^ { * } = \underbrace { a \tilde { \mathrm { e } } ^ { x } \bullet x ^ { 0 } } _ { = { \bf { \bar { \Psi } } } } , ~ } } & { { ~ \left\{ \begin{array} { l } { { \alpha = 1 , } } \\ { { r _ { 1 , ~ 2 } = 1 \pm 2 \mathrm { i } , } } \\ { { \alpha \neq r _ { 1 , ~ 2 } } } \end{array} \right. } } \\ { { \mathrm { = } a \mathrm { e } ^ { x } ~ , ~ } } & { { ~ \left\{ \begin{array} { l } { { \alpha = 1 , } } \\ { { } } \end{array} \right. } } \end{array}$ 设 代回方程得 $y ^ { \bullet } = \frac { 1 } { 4 } e ^ { x }$ 故通解为 | $a \mathrm { e } ^ { x } - 2 a \mathrm { e } ^ { x } + 5 a \mathrm { e } ^ { x } = \mathrm { e } ^ { x } \Rightarrow 4 a = 1 \Rightarrow a = { \frac { 1 } { 4 } } ,$ 齐次方程 7非齐次方程 的通解 的特解 $y = \mathrm { e } ^ { x } ( C _ { 1 } \cos 2 x + C _ { 2 } \sin 2 x ) + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { e } ^ { x } ,$ |
| ①中f(t)的形式 | 取待定特解的条件 | 试取特解的形式 |
| $f ( t ) = d ^ { \prime } \bullet P _ { m } ( t )$ d为非零常数 | $a + d \neq 0$ | $\boldsymbol { y } _ { t } ^ { * } = \boldsymbol { d } ^ { t } \cdot \boldsymbol { Q } _ { m } ( t )$ |
| $a + d = 0$ | $y _ { t } ^ { \ast } = t \cdot d ^ { t } \cdot Q _ { m } ( t )$ | |
| $f ( t ) = b _ { 1 } \cos \omega t + b _ { 2 } \sin \omega t$ $\omega \neq 0$ 且 $b _ { 1 } , b _ { 2 }$ 为不同时为零的常数 | $D = \left| \begin{array} { c c } { { a + \cos \omega } } & { { \sin \omega } } \\ { { - \sin \omega } } & { { a + \cos \omega } } \end{array} \right| \ne 0$ | $y _ { t } ^ { * } = \alpha \cos \omega t + \beta \sin \omega t$ $\alpha , \beta$ 为待定常数 |
| D=0 | $y _ { t } ^ { * } = t ( \alpha \cos { \omega t } + \beta \sin { \omega t } )$ |
| 考题 | ①级数敛散性的判别、幂级数及其收敛域、幂级数求和函数、函数展开成幂级数； ②傅里叶级数（仅数学一） |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 |
| 目标 | ①理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要 条件； ②掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件； ③掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法； ④掌握交错级数的莱布尼茨判别法； ⑤了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系； ③了解函数项级数的收敛域及和函数的概念（仅数学一）； ⑦理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； ③了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一 些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和; ③了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件（仅数学一）； ①掌握e，sinx，cosx，ln(l+x)及(1+x)²的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一 些简单函数间接展开为幂级数； ①了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-l,I]上的函数展开为傅里叶级数， 会将定义在[0，1]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式 |
| 重难点 | （仅数学一） ①判别级数的敛散性； ②求幂级数的和函数； ③函数展开成幂级数； ④了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件（仅数学一）； ⑤会将定义在[-l，I]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，I]上的函数展开为正弦级数 |
| 注注例1求幂级数 $1 + x + { \frac { 1 } { 2 ! } } x ^ { 2 } + \cdots + { \frac { 1 } { n ! } } x ^ { n } + \cdots$ 的收敛域. 解因为 $\rho = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { n ! } } } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { n + 1 } } = 0 \ ,$ 所以收敛半径 $R = + \infty$ 从而收敛域是 $( - \infty , + \infty )$ 这种很好，处处收斂，非常有用 注例2 求幂级数 的收敛半径（规定0!=1). | 两种极端情况 |
| $\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ! x ^ { n }$ 解因为 $\rho = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { ( n + 1 ) ! } { n ! } } = + \infty ,$ 这种很少碰到 所以收敛半径R=0，即级数仅在点x=0处收敛. |
| 考题 | 空间曲线与曲面方程、曲线切线与法平面、曲面切平面与法线的求解，散度与旋度的概念、方向导数和梯度的计算 |
| 题型 | 选择题、填空题 |
| 目标 | ①会计算空间曲线与曲面的方程，会求曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；②了解散度与旋度的概念，并会计算方向导数和梯度 |
| 重难点 | 空间曲线与曲面方程的求解 |
| 曲面名称 | 方程 | 图形 |
| 椭球面 | $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ 当 $a = b = c$ 时为球面 | 用平行于坐标平→面的平面去切， 得出椭圆或圆 |
| 单叶双曲面 | $\displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ | 用 $x = k _ { 1 } ( k _ { 1 }$ 不等于a)或 $y =$ $k _ { 2 } ( k _ { 2 }$ 不等于b)切得双曲线， ${ z = k _ { 3 } ( }$ 伍意常数)切得椭圓或圆 |
| 双叶双曲面 | $\begin{array} { r } { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { \overset { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } ^ { - } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dot { \nabla } _ { \perp \perp \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \xi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \times \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \sin \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } } } \end{array}$ |  用y=k或z=k切得双曲线，用 $\scriptstyle x = k ( | k | > | a | )$ 切得椭圓或圓 |
| 椭圆抛物面 | ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } } = z ( p , q > 0 )$ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z$  | 用x=k或y=k切得抛物线， 用 $z = k ( k > 0 )$ 切得椭圆或圆 |
| 椭圆锥面 | $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }$ V $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，只有上半部分AZV般考a=bo →yx |  |
| 曲面名称 | 方程 | 图形 | ||
| 双曲抛物面（马鞍面） | $- \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } = z ( p , q > 0 )$ | 用2 $z = k ( k > 0 )$ 切得双曲线， 用x=k或y=k切得抛物线，其中k为位意常数 | ||
| 双曲抛物面（马鞍面） | $\scriptstyle z = x y$ 坐标变换： $\scriptstyle { \widehat { \varphi } } \sqrt [ ] { u = y + x } , $ | >在上图的基础上，令x轴与y 轴逆时针旋转 $\frac { \pi } { 4 }$ | ||
$z = x y$ 中由x+y=1截出的图形，  可以与三重积分、曲线积分、曲面积分相结合缺z，母线平行于z轴<(3)柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面. | ||||
| 椭圆柱面 | ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ |  →准线是椭圆或圆 | ||
| 双曲柱面 | ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ |  →准线是双曲线 | ||
| 抛物柱面 | $y = a x ^ { 2 } ( a > 0 )$ |  | ||
| 考题 | 三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲线积分、第二型曲面积分 |
| 题型 | 选择题、填空题、解答题 ①理解三重积分的概念，了解三重积分的性质； |
| 目标 重难点 | ②会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）； ③理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系； ④掌握计算两类曲线积分的方法； ③掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数； ③了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌 握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分； ⑦会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面 |
| 积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等） ①第二型曲线积分；②第二型曲面积分；③格林公式；④高斯公式；⑤斯托克斯公式 |
| 角θ函数 | ${ \frac { \pi } { 2 } } - \alpha$ | ${ \frac { \pi } { 2 } } + \alpha$ | π-α | π+α | $\frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha$ | $\frac { 3 \pi } { 2 } + \alpha$ | 2π-α |
| sinθ | cosα | cosa | sina | -sina | -cosa | -cosa | -sina |
| cos0 | sina | -sina | -cosα | -cosa | -sina | sina | cosa |
| tanθ | cota | -cotα | -tan α | tan a | cota | -cotα | -tan a |
| cotθ | tan a | -tan α | -cota | cotα | tan a | -tanα | -cotα |
| 角0所在象限函数 | 第一象限 | 第二象限 | 第三象限 | 第四象限 |
| sinθ | ||||
| cos0 | ||||
| tanθ | ||||
| cotθ |
| $x$ | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| $\boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { x }$ | 1 | 1.65 | 2.72 | 4.48 | 7.39 | 12.2 | 20.1 |
| $\mathbf { e } ^ { - x }$ | 1 | 0.607 | 0.368 | 0.223 | 0.135 | 0.082 | 0.050 |