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## 第12讲
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## 一元函数积分学的应用（三）物理应用与经济应用
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<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的求法（仅数学一、数学二），经济类题目求解（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①掌握求解变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力的方法（仅数学一、数学二）；②掌握求解经济应用的题目（仅数学三）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>静水压力的求法（仅数学一、数学二）</td></tr></table>
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## 基础知识结构
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## '基础内容精讲
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## 物理应用（仅数学一、数学二）
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## 1变力沿直线做功
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设方向沿x轴正向的力函数为 $y = F ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ ，则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功（见图12-1)为
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几何上为曲边梯形的面积，物理上为变力沿直线做功.
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$$
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W = \int _ { a } ^ { b } \frac { F ( x ) \mathrm { d } x } { \downarrow } ,
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功的微元 $\mathrm { d } W = F ( x ) \mathrm { d } x$
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表示小的矩形条的面积(从a到b进行累加，表示总功）
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## 例12.1 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉
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图12-1
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击人木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm.如果铁锤每次击打做功相等，则第二锤可将铁钉又击入
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分析①翻译成数学语言 + 引入记号↓ ↓成正比：f=kx 阻力：f 深度：x功相等： ${ \cal W } _ { 1 } = { \cal W } _ { 2 }$ 第一次做的功： $W _ { 1 }$ 第二次做的功： $W _ { 2 }$
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②取微元： $\mathrm { d } W _ { 1 } = k x \mathrm { d } x \ , ~ \mathrm { d } W _ { 2 } = k x \mathrm { d } x$
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③积分 $W _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } k x \mathrm { d } x , W _ { 2 } = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } k x \mathrm { d } x$
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## 解 应填 $( \sqrt { 2 } - 1 ) \mathsf { c m }$
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设第n次击打后，铁钉击入木板的深度为 $x _ { n } ~ \mathrm { c m }$ ，第n次击打时，铁锤所做的功为 $W _ { n } ( n = 1 , ~ 2 )$ ，由题设，当铁钉击入木板的深度为xcm时，木板对铁钉的阻力的大小为kx（k为常数），所以
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$$
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W _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } k x \mathrm { d } x = \frac { k } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } , x _ { 1 } = 1 ;
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$$
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$$
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W _ { _ 2 } = \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } k x \mathrm { d } x = { \frac { k } { 2 } } x _ { 2 } ^ { 2 } - { \frac { k } { 2 } } x _ { 1 } ^ { 2 } ,
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$$
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又 ${ \cal W } _ { 2 } = { \cal W } _ { 1 }$ ，从而
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$$
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{ \frac { k } { 2 } } x _ { 2 } ^ { 2 } = 2 W _ { 1 } = k ,
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于是
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x _ { 2 } = { \sqrt { 2 } } ,
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所以第二锤可将铁钉又击入 $( \sqrt { 2 } - 1 ) \mathsf { c m }$
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## 考研数学基础30讲·高等数学分册
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## ② 抽水做功
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如图12-2所示，将容器中的水全部抽出所做的功为
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W = \rho g \int _ { a } ^ { b } x A ( x ) \mathrm { d } x ,
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其中 $\rho$ 为水的密度， $g$ 为重力加速度.
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功的微元 $\mathrm { d } W = \rho g x A ( x ) \mathrm { d } x$ 为位于x处厚度为dx，水平截面面积为A(x)的一层水被抽出（路程为x）所做的功.
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图12-2
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求解这类问题的关键是确定x处的水平截面面积A(x)，其余的量都是固定的.
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$d W = \lbrack \underbrace { \rho g A ( x ) \mathrm { d } x } _ { \downarrow } \bullet \underbrace { x } _ { \downarrow } = \rho g A ( x ) \bullet x \mathrm { d } x$
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例12.2 有一倒圆锥形容器，高为a，上底半径为b，装满水.记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为g，则将容器中的水全部从容器顶部抽出所做的功为
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分析①建立坐标系（对称、高为正）；
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②取微元 $\mathrm { d } W = \rho g A ( x ) x \mathrm { d } x$
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\pi \bullet { \frac { ( a - x ) ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } }
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③积分 $W = \int _ { 0 } ^ { a } \rho { g \pi } x \frac { ( a - x ) ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \mathrm { d } x$
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解 应填 $\frac { 1 } { 1 2 } \rho g a ^ { 2 } b ^ { 2 } \pi$
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如图12-3所示，建立坐标系.在x处的水平截面的半径r满足 $\frac { r } { b } = \frac { a - x } { a }$ ，即
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r = \frac { b ( a - x ) } { a } \ .
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截面面积
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A ( x ) = \pi r ^ { 2 } = \pi \bullet \left[ { \frac { b ( a - x ) } { a } } \right] ^ { 2 } = { \frac { b ^ { 2 } ( a - x ) ^ { 2 } \pi } { a ^ { 2 } } } \ .
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所以将水全部抽出所做的功
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\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal W } = \rho g \int _ { 0 } ^ { a } x { \cal A } ( x ) \mathrm { d } x = \rho g \int _ { 0 } ^ { a } x \displaystyle \frac { b ^ { 2 } ( a - x ) ^ { 2 } \pi } { a ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } \\ { { \displaystyle ~ = \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 } \rho g a ^ { 2 } b ^ { 2 } \pi ~ . } } \end{array}
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图12-3
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→默认不流动水给的压力为静水压力
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## ③静水压力（水压力）
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垂直浸没在水中的平板ABCD (见图12-4)的一侧受到的水压力为
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P = \rho g \int _ { a } ^ { b } x [ f ( x ) - h ( x ) ] \mathrm { d } x ,
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其中 $\rho$ 为水的密度，g为重力加速度.
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压力微元 $\mathrm { d } P = \rho g x [ f ( x ) - h ( x ) ] \mathrm { d } x$ ，即图中矩形条所受到的压力.x表示水深，f(x)-h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度.
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图12-4
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注水压力问题的特点：压强随水的深度的改变而改变.求解这类问题的关键是确定水深x处的平板的宽度 $f ( x ) - h ( x )$
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例12.3 斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐.记重力加速度为g，水的密度为p，则该平板一侧所受的水压力为
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分析建系、取微元、再积分即可.
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解 应填 ${ \frac { 1 } { 3 } } a ^ { 3 } \rho g$
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如图12-5所示，该平板一侧所受的水压力为
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P = \int _ { 0 } ^ { a } 2 \rho g ( a - y ) y \mathrm { d } y = 2 \rho g \int _ { 0 } ^ { a } ( a y - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = 2 \rho g \left( { \frac { a ^ { 3 } } { 2 } } - { \frac { a ^ { 3 } } { 3 } } \right) = { \frac { 1 } { 3 } } a ^ { 3 } \rho g \ .
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图12-5
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## 4引力
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设有一长度为l、线密度为常数u的细棒，在与细棒右端的距离为a处有一质量为m的质点M（见图12-6），已知引力常量为G，则质点M与细棒之间的引力的大小为 $\int _ { - l } ^ { 0 } \frac { G m \mu } { \left( a - x \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x$
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图12-6
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## 古鲁金第一定理及其应用（仅数学一、数学二）
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## “三心”的概念
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首先，要知道质心、重心与形心的概念.
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质心是指物体的质量分布中心，是物体的固有特性.
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重心是指物体所受地球引力的重力分布中心，依赖于重力场，在均匀重力场下，重心与质心重合，在非均匀重力场下，重心一般不是质心.
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形心是指几何图形的分布中心，是固有几何量.当物体密度为常数时，物体质心与其几何体形心重合.
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故在满足均匀重力场及均质条件下，重心、质心、形心三心重合.
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## 2 质心计算公式与力矩计算公式
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先考虑一个简单情形.
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如图12-7(a)所示，设 $x _ { 1 }$ 处质量为 $m _ { 1 } , x _ { 2 }$ 处质量为 $m _ { 2 }$ ，问x为何值时，系统平衡？
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显然，由力矩相等，有 $( { \overline { { x } } } - x _ { 1 } ) m _ { 1 } g = ( x _ { 2 } - { \overline { { x } } } ) m _ { 2 } g$ ，得
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$$
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\overline { { x } } = \frac { x _ { 1 } m _ { 1 } + x _ { 2 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \ .
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$$
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推广至二维平面上有n个质点的情形，如图12-7(b)所示，有
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{ \overline { { x } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } m _ { i } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } , { \overline { { y } } } = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } m _ { i } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } ,
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其中， $M _ { y } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } m _ { i }$ 刻画系统绕y轴旋转的趋势大小，称为力矩． $M _ { x }$ 同理可解释.
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(b)
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图12-7
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进一步地，如图12-8(a)所示，质量系统对任一条直线 $L _ { 0 } \colon \ a x + b y + c = 0$ 的力矩为
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$$
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M _ { L _ { 0 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } m _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \left| a x _ { i } + b y _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } m _ { i } \ .
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$$
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当质量系统为连续可求长曲线段L： $y = f ( x )$ 时，如图12-8(b)所示，有
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$$
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\Delta m _ { i } = \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } , \Delta M _ { i L _ { 0 } } = r _ { i } \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } ,
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$$
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故总力矩为
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\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta M _ { i L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \rho ( \xi _ { i } ) \Delta s _ { i } = \int _ { a } ^ { b } \frac { \displaystyle a x + b y + c } { \displaystyle \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x ) \mathrm { d } s } } \\ { { \displaystyle ~ = \int _ { a } ^ { b } \frac { a x + b y + c } { \displaystyle \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x ) \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } . } \end{array}\tag{12-1}
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$$
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当 $\rho =$ 常数时，则有
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r ( \overline { { x } } , \ \overline { { y } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { \int _ { a } ^ { b } \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } { \int _ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x } ,\tag{12-2}
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$$
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其中 $r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } )$ 指形心(x，y)到直线 $L _ { 0 }$ 的距离.
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(a)
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(b)
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图12-8
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## ③古鲁金第一定理
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如图12-9所示，将曲线段L任意切分成n段， $\Delta s _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ 为每一小段的长度，在 $\Delta \boldsymbol { s } _ { i }$ 上任取一点 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ ，记 $\lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta s _ { i } \}$ ，则 $\Delta s _ { i }$ 绕直线 $L _ { 0 }$ 旋转一周的侧面积为
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\Delta A _ { i } = 2 \pi r _ { i } \Delta s _ { i } = 2 \pi \bullet \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta s _ { i } ,
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故曲线段L绕直线 $L _ { 0 }$ 旋转一周的侧面积为
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\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle { \cal A } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta { \cal A } _ { i } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } 2 \pi \bullet \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta s _ { i } } \\ & { } & \\ & { } & { \displaystyle = \int _ { a } ^ { b } 2 \pi \bullet \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } { \mathrm { d } } x \ . } \end{array}\tag{12-3}
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$$
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与公式(12-2)比较，得
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r ( \overline { { { x } } } , \overline { { { y } } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { 2 \pi M _ { L _ { 0 } } } { 2 \pi M } = \frac { A } { 2 \pi \bullet l } \ : ,
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即
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图12-9
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如图12-10所示，当质量系统为连续可求面积的平面有界闭区域时，有
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\Delta M _ { i } = \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } , \Delta M _ { i L _ { 0 } } = r _ { i } \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } ,
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$$
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记 $\lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta \sigma _ { i } \}$ ，则总力矩为
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$$
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\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta M _ { i L _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \rho ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } = \displaystyle { \iint r ( x , y ) \rho ( x , y ) \mathrm { d } \sigma } } } \\ { { \displaystyle \quad = \int _ { D } \frac { \ l } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \rho ( x , y ) \mathrm { d } \sigma . } } \end{array} \tag{12-4}
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当 $\rho =$ 常数时，则有
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$$
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r ( \overline { { x } } , \ \overline { { y } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { \displaystyle \iint _ { 0 } \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \mathrm { d } \sigma } { \displaystyle \iint _ { D } \mathrm { d } \sigma } ,\tag{12-5}
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其中 $r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } )$ 为形心(x，y)到直线L的距离.
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图12-10
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注注例曲线 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的表面积为解由古鲁金第一定理，有
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\begin{array} { c } { { A = 2 \pi \cdot l \cdot r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } ) } } \\ { { { } } } \\ { { = 2 \pi \cdot 2 \pi \cdot 2 = 8 \pi ^ { 2 } } } \end{array}
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## 经济应用（仅数学三
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①总成本 C(Q)，边际成本C(Q)，固定成本 $C _ { 0 }$ 之间的关系为
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C ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { Q } C ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t + C _ { 0 } \ .
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②总收益R(Q)与边际收益R(Q)之间的关系为
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R ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { Q } R ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t .
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经济量国 $\overline { { y } } = \frac { 1 } { b - a } \int _ { a } ^ { b } f ( \overline { { x ) \mathrm { d } x } }$
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例12.4 已知某产品的边际成本为 $4 + { \frac { x } { 4 } }$ （万元／单位），固定成本为1万元，产品对价格的需求弹性为 $\frac { p } { 8 - p } , p > 0$ ，产品最大需求量为8，其中x表示产量，p表示价格，求使产品取最大利润时的产量和价格.
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分析 翻译成数学语言+引入记号： $\left\{ { \begin{array} { l } { { \displaystyle C ^ { \prime } ( x ) = 4 + \frac { x } { 4 } , C ( 0 ) = 1 , } } \\ { { \displaystyle - \frac { { \mathrm { d } } x } { { \mathrm { d } } p } \cdot \frac { p } { x } = \frac { p } { 8 - p } , x ( 0 ) = 8 . } } \end{array} } \right.$
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解 由 $C ^ { \prime } ( x ) = 4 + \frac { x } { 4 } , C ( 0 ) = 1$ ，可得
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C ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } C ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t + C ( 0 ) = 4 x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } + 1 .
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又 $\eta _ { 0 } = \frac { - p \mathrm { d } x } { x \mathrm { d } p } = \frac { p } { 8 - p }$ （注意：由经济意义知 $\frac { p } { 8 - p } > 0 \ )$ ，故 $\frac { \mathrm { d } x } { x } { = } \frac { \mathrm { d } p } { p - 8 }$ ，可得
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\ln { \left| x \right| } = \ln { \left| p - 8 \right| } + \ln c .
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由x(0)=8可得c=1.所以 $x = 8 - p , R ( x ) = 8 x - x ^ { 2 }$ .故
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\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal L } ( x ) = R ( x ) - C ( x ) = ( 8 x - x ^ { 2 } ) - \left( 4 x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } + 1 \right) } } \\ { { \displaystyle ~ = - \frac { 9 } { 8 } x ^ { 2 } + 4 x - 1 } . } \end{array}
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$L ^ { \prime } ( x ) = 4 - { \frac { 9 } { 4 } } x = 0$ ，可得 $x _ { 0 } = \frac { 1 6 } { 9 }$
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因为 $L ^ { \prime \prime } ( x ) = - \frac { 9 } { 4 } < 0$ ，所以 $x _ { 0 } = \frac { 1 6 } { 9 }$ 为最大值点，这时 $p = 8 - x _ { 0 } = \frac { 5 6 } { 9 }$ .故当产量为 $\frac { 1 6 } { 9 }$ 个单位，价格为 $\frac { 5 6 } { 9 }$ 万元时，利润最大.
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## 基础习题精练
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## 习题
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12.1（仅数学一、数学二)由曲线 $y = f _ { 1 } ( x ) , y = f _ { 2 } ( x )$ 及直线
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$\scriptstyle x = a , x = b ( a < b )$ 所围成的平面板铅直地没入容重为 $r ( r = \rho g$ ，表示
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单位体积液体的重力）的液体中，x轴铅直向下，液面与y轴重合，如
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图12-11所示，平面板所受液压力为（）.(A) $\int _ { a } ^ { b } x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x$ (B) $\int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 1 } ( x ) - f _ { 2 } ( x ) ] \mathrm { d } x$ (C) $\int _ { a } ^ { b } r [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x$ (D) $\int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x$
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图12-11
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12.2（仅数学三）当某商品销售量为a时，边际收入为 ${ \cal R } ^ { \prime } ( a ) = 2 0 0 - \frac { a } { 5 0 }$ ，则销售量为2000时的平均单位收入为
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12.3（仅数学一、数学二)有一半径为4m的半球形水池蓄满了水，现在要将水全部抽到距水池原水面6m高的水箱中，求需做多少功（水的密度 $\rho { = } 1 0 0 0 \mathrm { k g / m } ^ { 3 }$ ，重力加速度 $g = 9 . 8 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } , \pi = 3 . 1 4 \ )$
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12.4（仅数学三)设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数 $Q = Q ( p )$ ，需求弹性$\eta = \frac { p } { 1 2 0 - p } \left( \eta > 0 \right)$ ，p为单价（单位：万元）.
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(1)求需求函数的表达式;
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(2)求p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义.
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## 解答
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12.1(D）解由图12-12可知，在 $[ x , x + \mathrm { d } x ]$ 上液体对阴影部分的压力微元为
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r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x \ .
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因此平面板所受液压力为
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图12-12
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F = \int _ { a } ^ { b } r x [ f _ { 2 } ( x ) - f _ { 1 } ( x ) ] \mathrm { d } x .
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故选 (D).
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12.2180解由题意可得,
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\overline { { { R } } } = \frac { 1 } { 2 \ 0 0 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 0 0 \bigg ( 2 0 0 - \frac { a } { 5 0 } \bigg ) } { \mathrm d } a = \frac { 1 } { 2 \ 0 0 0 } \Bigg ( 2 0 0 a - \frac { a ^ { 2 } } { 1 0 0 } \Bigg ) \Bigg | _ { 0 } ^ { 2 0 0 0 } = 1 8 0 \ .
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12.3解如图12-13所示，建立坐标系.在y处的水面面积为
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\pi ( 4 ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) = \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) ,
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在区间 $[ y , y + \mathrm { d } y ]$ 上的体积微元为
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\pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
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提升此体积微元的水所需要的力的微元为
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\rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
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图12-13
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其中 $\rho = 1 0 0 0 \mathrm { k g / m } ^ { 3 }$ , $g = 9 . 8 \ : \mathrm { m / s ^ { 2 } }$ ，π=3.14.提升到距原水面6m高处等于提升距离为 $( 6 - y ) \mathrm { m }$ ，从而提升此微元的水需做功的微元为
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( 6 - y ) \rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y ,
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所以将水全部提升至原水面上方6m处需做功为
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W = \int _ { - 4 } ^ { 0 } ( 6 - y ) \rho g \pi ( 1 6 - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = 3 2 0 \pi \rho g \approx 9 8 4 7 \mathrm { ( k J ) } \ .
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12.4解(1)由题设
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- \frac { p } { Q } Q ^ { \prime } = \frac { p } { 1 2 0 - p } ,
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所以 $\int \frac { \mathrm { d } Q } { Q } = - \int \frac { 1 } { 1 2 0 - p } \mathrm { d } p$ ，可得 $\ln Q = \ln ( 1 2 0 - p ) + \ln C$ ，即 $Q = C ( 1 2 0 - p )$
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又最大需求量为1200件，故C=10，所以需求函数 $Q = 1 2 0 0 - 1 0 p$
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(2)由(1)知，收益函数 $R = 1 2 0 { \cal Q } - { \frac { 1 } { 1 0 } } { \cal Q } ^ { 2 }$ ，边际收益 $R ^ { \prime } ( Q ) = 1 2 0 - \frac { 1 } { 5 } Q$
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当 $p = 1 0 0$ 时， $Q = 2 0 0$ ，故当 $p = 1 0 0$ 万元时的边际收益 $R ^ { \prime } ( 2 0 0 ) = 8 0$ .其经济意义：当销售量为200时，再增加一个单位的销售量，商品所得收益增加80万元.
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