## 第18讲

## 多元函数积分学（仅数学一）

![](images/983d2019f37d2d67b7c5ca066bbe59a323bedf5f68dfe119c95b1a34bb668c26.jpg)

<table><tr><td>考题</td><td>三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲线积分、第二型曲面积分</td></tr><tr><td>题型</td><td>选择题、填空题、解答题 ①理解三重积分的概念，了解三重积分的性质；</td></tr><tr><td>目标 重难点</td><td>②会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）； ③理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系； ④掌握计算两类曲线积分的方法； ③掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数； ③了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌 握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分； ⑦会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面</td></tr><tr><td></td><td>积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等） ①第二型曲线积分；②第二型曲面积分；③格林公式；④高斯公式；⑤斯托克斯公式</td></tr></table>

![](images/a7793463a970af7f205f30cd96b69614d1fa06fd0f65f6fdcf1f6f2fa845108a.jpg)

## 基础知识结构

![](images/8612e30f20dc4ebf63caab7a62baac1432e55ecfd0e5c707612d4af8cbf47370.jpg)

![](images/a275187bf0e4f6732cd6ab59459c8c6203f6235a5d10bea29dc1724b73b43f00.jpg)

![](images/7cc6f11774edc8a906768fad5757ada9b4c4b5ef687b7065d1e1c93a922f20d2.jpg)

## 基础内容精讲

![](images/84970cf71990d4bd4cc888a94a8e935f7d1206af5444a59c1c8b0c19123b59d5.jpg)

## 三重积分

![](images/76456f576a1400d5d53505a0e7766017914ad8bdd8da8750a6123c687bdbc0e3.jpg)

## 1概念

![](images/505baee210663e10ac241a2e6f9ed4d9cf225be1913654227f0eb3dbf47fdc1b.jpg)

设 $f ( x , y , z )$ 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将 $^ { \varOmega }$ 任意分成n个小闭区域

$$
\Delta \nu _ { 1 } , \Delta \nu _ { 2 } , \cdots , \Delta \nu _ { n } ,
$$

知识回硕

二重积兮：分割、近似，求和，取极限

其中 $\Delta \nu _ { i }$ 表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个 $\Delta \nu _ { i }$ 上任取→近似  
一点 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )$ ，作乘积 $f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \bar { \zeta _ { i } } ) \Delta \nu _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ ，并作和  
$\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta \nu _ { i }$ 和 .如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，取极限  
这和的极限总存在（与 $\Delta \nu _ { i }$ 的分法及 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )$ 的取法均无关），  
则称此极限值为函数 $f ( x , y , z )$ 在闭区域Ω上的三重积分，记作  
$\iiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu$ ，即

![](images/da59ba98335604330dc186899d4ce649dd902580d25b744e833709c9303ba310.jpg)

$$
\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { k } , \eta _ { k } ) \Delta \sigma _ { k } = \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma
$$

$$
\underline { { \iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma } }
$$

$$
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \displaystyle \operatorname * { j i f } _ { a } \hat { z } _ { \scriptscriptstyle 1 } \hat { z } _ { \scriptscriptstyle 2 } \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \operatorname * { j i f } _ { a } f ( x , y , z ) \underline { { { \mathrm { d } } } } \nu = \operatorname * { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta \nu _ { i } , } } \end{array}
$$

$\begin{array} { l } { f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } \\ {  { \widehat { \underline { { z } } } } { \mathrm { ~ i } } { \widehat { \boldsymbol { \theta } } } { \mathrm { ] } } } \end{array}$

其中 $f ( x , y , z )$ 称为被积函数， $f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu$ 称为被积表达式，dv称为体积元素，x，y与z称为积分变量，Ω称为积分区域， $\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta \nu _ { i }$ 称为积分和.

若 $f ( x , y , z )$ 在Ω上连续，则三重积分

$$
\iiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu
$$

一定存在.

注三重积分的物理意义：设一物体占有Oxyz上的闭区域5Ω，在点 $( x , y , z )$ 处的体密度为$\rho ( x , y , z )$ ，假定 $\rho ( x , y , z )$ 在5Ω上连续，则物体的质量

$$
M = \iiint _ { \Omega } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .
$$

## 性质

以下总假设Ω为空间有界闭区域.

性质1（求空间区域的体积） $\iiint _ { \mathcal { Q } } 1 \mathrm { d } \nu = \iiint _ { \mathcal { Q } } \mathrm { d } \nu = V$ ，其中V为Ω的体积.

性质2（可积函数必有界）设 $f ( x , y , z )$ 在Ω上可积，则其在Ω上必有界.

性质3（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则

$$
\iiint _ { \varOmega } [ k _ { 1 } f ( x , y , z ) \pm k _ { 2 } g ( x , y , z ) ] \mathrm { d } \nu = k _ { 1 } \iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \pm k _ { 2 } \iiint _ { \varOmega } g ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .
$$

性质4(积分的可加性）设f(x，y，z)在Ω上可积，且 $\Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } = \Omega , \Omega _ { 1 } \cap \Omega _ { 2 } = \emptyset$ ，则

$$
\iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \iiint _ { \varOmega _ { 1 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu + \iiint _ { \varOmega _ { 2 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .
$$

性质5（积分的保号性）设 $f ( x , y , z ) , g ( x , y , z )$ 在Ω上可积，且在Ω上 $f ( x , y , z ) \leqslant g ( x , y , z )$ 则有

$$
\iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \leqslant \iiint _ { a } g ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ .
$$

特殊地，有

$$
| \underset { \Omega } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu | \leqslant \int \underset { \Omega } { \iint } \vert f ( x , y , z ) \vert \mathrm { d } \nu  \uparrow \mathrm { d } \varepsilon \mathrm { d } \ast \langle \mathrm { d } \xi \cdot \mathrm { d } \xi \vert \mathrm { d } \xi \vert \mathrm { d } \xi \rangle
$$

性质6（三重积分的估值定理）设M，m分别是 $f ( x , y , z )$ 在Ω上的最大值和最小值，V为Ω的体积，则有

$$
m V { \leqslant } \coprod _ { \varOmega } f ( x , y , z ) { \mathrm { d } } \nu { \leqslant } M V .
$$

性质7（三重积分的中值定理）设 $f ( x , y , z )$ 在Ω上连续，V为Ω的体积，则在Ω上至少存在一点 $( \xi , \eta , \zeta )$ ，使得

$$
\iiint _ { \mathcal { Q } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = f ( \xi , \eta , \zeta ) V .
$$

## ③普通对称性与轮换对称性

分析方法与二重积分完全一样．>关于yOz（前后）：(x，y，z)与(-x,y,z)对应

(1)普通对称性：

假设Ω关于xOz面对称（见图18-1），则

x，z不动，关于y为偶函数

$$
\iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \left\{ { 2 \iint _ { a _ { 1 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } , \ f ( x , y , z ) = f ( x , - y , z ) , \atop 0  \right.
$$

其中 $\varOmega _ { 1 }$ 是Ω在xOz面右边的部分.

![](images/83d71c375cef77c68913acc1d1d0c4d7facc1492b6bca4dc36c9e6055678a4ab.jpg)  
图18-1

关于其他坐标面对称的情况与此类似.

(2)轮换对称性.

在直角坐标系下，若把x与y对调后，Ω不变，则 $\iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint _ { a } f ( y , x , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z$ ，这就是轮换对称性. dv=dxdydz具有交换律，可两两交换， $x _ { 3 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \leq 1$

用轮换对称性就是为了相加后，被积函数简单

关于其他情况与此类似.

如 $\scriptstyle \mathcal { \Omega } = \left\{ ( x , y , z ) \left| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant R ^ { 2 } \right. \right\}$ ，则 $\iiint f ( x ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint f ( y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint _ { a } f ( z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z$ 可以化简计算．

具体应用见后面的例子.

## 注空间区域Ω大观

考生应能熟练画出以下图形，并时常翻之，看之，动手画图。

![](images/94baa4e6b918ab4cffc1626339c8eedeea3f4344e98c8679f77fde812f62c6c8.jpg)

![](images/9e8620604b230a134169c7a7ce0a23fd73626063d034661b514187ced1e2abae.jpg)

$$
\left\{ { x } ^ { 2 } + { y } ^ { 2 } = { R } ^ { 2 } , \right.
$$

F（x,y）=0  
![](images/f0a0cafcb03e61f7621a89cd0c82650deddb6b298124b88483246a33d27cd910.jpg)

$$
x ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 2 a z
$$

![](images/3c5114f7f480ab52e083c06d878fb5ffc887180bcc8abb305cc1918cfcc09427.jpg)

$$
( x - \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 }
$$

![](images/bc96c26d43440c295f5aef3ab8344b1a7106b9a5119b708fd5b73c306315e267.jpg)

![](images/3aa74cdc32514ee4ac51a7fcf1b5c92a0983c401519308ce86ff6d1292b4315e.jpg)

![](images/2db857aa4ad98ef21faf9b6efad9d3954bff04bb917e120a846a810caa32f653.jpg)

![](images/bbb62c7f5a4364563d7e81e7c280af7ed31bb209fff885c5aeacd75892f14901.jpg)

![](images/6663f604d9b92f08bdaf14366e8cec203897e80b31fa40944a915215a7150987.jpg)

## 4计算

(1)直角坐标系.

$$
\mathrm { d } z { \overbrace { \underbrace { \phantom { \left( \frac { 1 } { \hbar } \right) \varepsilon ^ { ( 1 - 1 ) } } \mathrm { d } x } } ^ { \mathrm { d } z \mathrm { d } } } \ \mathrm { d } \nu { = } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z
$$

①先一后二法（先z后xy法，也叫投影穿线法）.

a.适用场合.

Ω有下曲面 $z = z _ { 1 } ( x , y )$ 、上曲面 $z = z _ { 2 } ( x , y )$ ，无侧面或侧面为柱面，如图18-2所示.

![](images/ec4bdef31c5e5f70fc84a578a26704d5126ae6352e3007aacd5f15dd6c7a6228.jpg)  
(a)

![](images/fa9f8d40ce15b1f338844145c26e4cd8eaf54cc2f806a1105d144b0c31307a62.jpg)  
图18-2

b.计算方法．

如图18-3所示，有 $\iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \int _ { D _ { x y } } \mathrm { d } \sigma \int _ { z _ { 1 } ( x , y ) } ^ { z _ { 2 } ( x , y ) } f ( x , y , z ) \mathrm { d } z$

![](images/f1e0a7fb3c76bba3111483d6409cff008f706e6be21f20f780832c78a5ba843b.jpg)  
(a)

![](images/bea96b21900c6a264ea6dcf82cd98a12e9e84e6bb38f48c4e236c45b5afec732.jpg)  
(b)

→定限原则

图18-3

后积先定限，限内画条线，先交写下限（下曲面），后交写上限.②先二后一法（先xy后z法，也叫定限截面法

a.适用场合.

2是旋转体，其旋转曲面方程为 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } : z = z ( x , y )$ ，如图18-4所示.

![](images/fc971506cb8a7fb5ddf6108bfab44dfa8bf400c5ce7b5b6ab9b8e0fd07bb029b.jpg)  
图18-4

b.计算方法.

>后积先定限限内截个面

如图18-5所示，有 $\iiint _ { \varOmega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = [ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } z ] [ \int _ { D } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \sigma$

![](images/89f03eb2af290079b36e540bbd0b6cbbcbd86b3db89269d55ed739bfaac40be1.jpg)  
图18-5

例18.1 设Ω是由平面 $x + y + z = 1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\iiint _ { Q } ( x + 2 y + 3 z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z =$

分析用轮换对称性.

此题投影穿线法更简单

解 应填 $\frac { 1 } { 4 }$

方法一积分区域如图18-6(a)所示.

![](images/e819de59a39613d3c9d7398d6c9dcff1bcd0bf16661fd06aa357b14c15cc075c.jpg)

![](images/2b9c4ef0124c9420d6419cb636ad1486672d09dfddbc4d67b7e9604439641fe8.jpg)  
图18-6

![](images/2f698321d65ed6029214a88815db987021ccd9a63042366dc1e4359dbb74f1fd.jpg)

由轮换对称性知，

$$
\iiint _ { \varOmega } x \mathrm { d } \nu = \int _ { \varOmega } y \mathrm { d } \nu = \int _ { \varOmega } z \mathrm { d } \nu ,
$$

则

$$
I = \int \limits _ { \Omega } \iint ( x + 2 y + 3 z ) \mathrm { d } \nu = 6 \iiiint z \mathrm { d } \nu \ .
$$

![](images/ff2cdb08edd1a682a2ef230390725aeee27b501af98d5b27e2f4e0a57e3f2fd2.jpg)

记 $\varOmega \colon 0 { \leqslant } z { \leqslant } 1 , ( x , y ) { \in } D ( z )$ ,D(z)是过z轴上[0,1]中任一点z作垂直于z轴的平面截Ω所得平面区域[平移到 $x O y$ 平面上，见图18-6(b)]，其面积为 $\frac { 1 } { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 }$ ，于是由先二后一法(定限截面法），得

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \iint z \mathrm { d } \nu = \int _ { 0 } ^ { 1 } z \mathrm { d } z \Bigg [ \ o { \iint \mathrm { d } x \mathrm { d } y } _ { \nu } \Bigg ] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } z \mathrm { d } z } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } ( z - 2 z ^ { 2 } + z ^ { 3 } ) \mathrm { d } z } } } \\ { { \displaystyle { \qquad = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } z ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } z ^ { 4 } \right) \Bigg | _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 4 } } , } } \end{array}
$$

因此 $I = 6 \times \frac { 1 } { 2 4 } = \frac { 1 } { 4 }$

方法二同方法一，有 $I = 6 { \int _ { \Omega } \iint _ { z } z \mathrm { d } \nu }$

记： $0 \leqslant z \leqslant 1 - x - y , ( x , y ) \in D _ { x y } , D _ { x y } = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 - x \}$ ，如图18-6(c)所示.于是由先一后二法（投影穿线法），得

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { u _ { * } } \| \mathrm { d } \sigma \| _ { 0 } ^ { 1 - \epsilon } \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { u } \int _ { \alpha } \mathrm { d } \nu = \| \int _ { u _ { * } } [ \int _ { 0 } ^ { 1 - \kappa - y } \mathrm { d } \alpha ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \| \int _ { u _ { * } } \frac { 1 } { 2 \kappa - y } ( 1 - x - y ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y  } \\ { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \| _ { 0 } ^ { 1 - x } ( 1 - x - y ) ^ { 2 } \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Biggl [ - \frac { 1 } { 3 } ( 1 - x - y ) ^ { y } \Biggr ] _ { \nu = 0 } ^ { \nu + x - y } \Biggr ] \mathrm { d } x } \\ { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ) ^ { 3 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 4 } , } \end{array}
$$

因此 $I = 6 \times \frac { 1 } { 2 4 } = \frac { 1 } { 4 }$

(2)柱面坐标系=极坐标系下二重积分与定积分.

在直角坐标系的计算中，如若 $\begin{array} { l } { \displaystyle \iint \mathrm { d } \sigma } \end{array}$ 适用于极坐标系，则令 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = r \cos \theta , } \\ { y = r \sin \theta , } \end{array} } \right.$ 便有

$$
\iiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint _ { \Omega } f ( r \cos \theta , r \sin \theta , z ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } z ,
$$

此种计算方法称为柱面坐标系下三重积分的计算.

$$
x ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 1
$$

$$
8 z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }
$$

域，则 $I = \iiint _ { \Omega } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } \nu \ =$

解 应填 $\frac { 6 4 } { 7 5 }$

如图18-7所示，用先一后二法(投影穿线法），即

![](images/c798157bf82b08a73fd7f37f1a517a8123999bce33aab6f400af774210ea1f0a.jpg)

柱面坐标法

$$
\begin{array} { r l } & { I = \displaystyle \int \int \int \mathrm { d } \sigma \int _ { 0 } ^ { \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 8 } } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } z } \\ & { \quad - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { i } \omega \theta } r \mathrm { d } r \int _ { 0 } ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 8 } } r \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { i } \omega \theta } r ^ { 4 } \mathrm { d } r } \\ & { \quad \quad = \displaystyle \frac { 4 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { i } \omega } r ^ { 5 } \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta = \frac { 4 } { 5 } \Bigg ( 2 \times \frac { 4 } { 5 } \times \frac { 2 } { 3 } \Bigg ) = \frac { 6 4 } { 7 5 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ^ { 4 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 1 } { 4 0 } \cdot 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta ^ { 2 \mathrm { i } \omega } \ e ^ { - \mathrm { i } \left( 2 \pi + \frac { \pi } { 7 } \right) } \mathrm { d } \theta } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ &  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \end{array}
$$

(3)球面坐标系.

①适用场合.

a.被积函数中含 $\left\{ { \begin{array} { l } { f ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) , } \\ { f ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) . } \end{array} } \right.$

[球或球的部分，b.积分区域为锥或锥的部分.

②计算方法．

![](images/aad602ca31571633b6ae77bcf03ed2067c2ea5f8b8f79640a4359290d8becf1a.jpg)

则 $\mathrm { d } \nu = \sum _ { r ^ { 2 } \sin \varphi \operatorname { d } r \operatorname { d } \varphi \operatorname { d } \theta }$

球面坐标系应该是整个高等数学或者说徼积兮里最复杂的一种计算方法，我们打一套拳来把这个问题解决.

第一步，转：从xOz面出发，拉着一扇门绕z轴(从z轴正向向下看)逆时针旋转一周.见a.

第二步，开：从z轴出发，喇叭花开花，伸展运动，从0开到180见b.

第三步，穿：从原点发出一条射线，至无穷远处.见c.

这套搴可称为“球系太极拳”，在解决积分问题的同时，舒展筋骨，强身健体.

测度的倍数

a.过z轴的半平面与xOz面正向夹角为θ（取值范围[0,2π]） 「先碰到Ω，记 $\theta _ { 1 }$ 后离开Ω，记 $\theta _ { 2 }$

![](images/d9a8fa7aa38331604fc3eb3056c7e3e24059353ee2f3400f97e6aec0304d257b.jpg)

![](images/398e85b11a7215b65b4db2e21f5a9f155cd5ffb541950dc5969d532f8840c106.jpg)

b.顶点在原点，以z轴为中心轴的圆锥面半顶角为（取值范围[0，π]） 先碰到Ω，记 $\varphi _ { 1 } ( \theta )$ 后离开Ω，记 $\varphi _ { 2 } ( \theta )$

![](images/f742a6a0010416435fbc1d43941145a2ad518e53f1eb3dcf97f8622724678253.jpg)

![](images/4a6307bd9f464b39101402c3fc8d739cc22c7951a17e8e26d276cbfc95a10fa3.jpg)

先碰到Ω，记 $r _ { 1 } ( \varphi , \theta )$ c.从原点出发画一条长为r的线（取值范围[0,+） 后离开Ω，记 $r _ { 2 } ( \varphi , \theta )$

![](images/e9463be18dc8f941487ff97a618b7f4c5a660a04203488d05957ce4be8aee278.jpg)

于是

$$
\begin{array} { r l } & { \underset { \varOmega } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu = \underset { \varOmega } { \iint } f ( \underline { { r } } \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi ) { r ^ { 2 } } \mathrm { s i n } \varphi \mathrm { d } r \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta } \\ & { \qquad = \displaystyle \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { \varphi _ { 1 } ( \theta ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( \theta ) } \mathrm { d } \varphi \int _ { r _ { 1 } ( \varphi , \theta ) } ^ { r _ { 2 } ( \varphi , \theta ) } f ( r \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi ) r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r \ . } \end{array}
$$

例18.3 设 $\scriptstyle \varOmega = \{ ( x , y , z ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant 1 \}$ ，则 ${ \underset { \Omega } { \iint } } z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z =$

解 应填 $\frac { 4 \pi } { 1 5 }$

由轮换对称性可知, $\iiint z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint x ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iiint y ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z$ ，所以

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle \iint z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 3 } \iiint _ { a } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 3 } \bullet \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \bullet r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 2 \pi } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 4 } \mathrm { d } r = \frac { 4 \pi } { 1 5 } ~ . } } \end{array}
$$

例18.4 设 $\scriptstyle \mathcal { Q } = \left\{ ( x , y , z ) \left\lfloor \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leqslant z \leqslant 1 } { 4 \hbar \bar { \infty } } \right. \right\}$ ，则 $\iiint _ { a } { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \mathrm { d } \nu \ =$

解 应填 $( \sqrt { 2 } - 1 ) \pi$

如图18-8所示，从原点引射线穿过Ω，从z=1穿出，即 $r \cos \varphi = 1$ ，则 $r = \frac { 1 } { \cos \varphi }$ 为上限，于是

![](images/4d08a7bb403636edb94e4e151b74cf37c7d305f4fa4483f3293955840cdb5691.jpg)

$$
I = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \cos \varphi } } { \frac { 1 } { r } } \cdot r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } { \Biggl | } _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \cos \varphi } } \cdot \sin \varphi \mathrm { d } \varphi
$$

图18-8

$$
= \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \varphi } \cdot \sin \varphi \mathrm { d } \varphi = - \pi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \varphi } \mathrm { d } ( \cos \varphi ) = \pi \bullet \frac { 1 } { \cos \varphi } \Bigg | _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } = ( \sqrt { 2 } - 1 ) \pi \ .
$$

(4)换元法.

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \iint \int f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ { \displaystyle \frac { [ \Omega _ { \mathrm { m } } ] } { [ \Omega _ { \mathrm { m } } ] } \to \$ 4 . 3, \mathrm { ~ } \hat { y } \downarrow \ast \ast \ast \ast \ast } \end{array}
$$

$$
\begin{array} { r l r } & { } & { \qquad \quad \cdot \frac { \dot { r } + \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathfrak { L } } \dot { \mathfrak { W } } \dot { \mathfrak { L } } } { \mu _ { 2 } } \varDelta _ { \mathfrak { m } } \to \bar { \Psi } \dot { \mathfrak { L } } [  \frac { \partial } { \partial \varphi } | \mathfrak { L }  \overline { { \mathfrak { L } } }  \overline { { \mathfrak { W } } }   } \\ & { } & {   \nu , \textbf { \Upsilon } _ { \mathcal { W } }     | \frac { y = y ( u , \nu , w ) } { z = z ( u , \nu , w ) } \iint \iint f [ x ( u , \nu , w ) , y ( u , \nu , w ) , z ( u , \nu , w ) ] | \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , \nu , w ) } | \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu \mathrm { d } w   } \end{array}
$$

$$
\enclose{circle} { 1 } f ( x , y , z ) \to f [ x ( u , \nu , w ) , y ( u , \nu , w ) , z ( u , \nu , w ) ] ~ .
$$

$$
\bigstar _ { \Omega _ { x x } } \bigl [ \int \int \displaylimits _ { x } \to \bigr \{ \int \displaylimits _ { x } \int \displaylimits _ { x } \big .
$$

$$
\enclose{circle} { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z \to \left| \frac { \hat { \sigma } ( x , y , z ) } { \hat { \sigma } ( u , \nu , w ) } \right| \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu \mathrm { d } w \stackrel { \longrightarrow } { \longrightarrow } \ast \ast \mathrm { d } { _ { x } \mathrm { d } \nu } \mathrm { d } z = r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } \theta ,
$$

其中

a. $\left\{ \begin{array} { l } { x = x ( u , \nu , w ) , } \\ { y = y ( u , \nu , w ) , } \\ { z = z ( u , \nu , w ) } \end{array} \right.$ 是空间 $( x , y , z )$ 到空间(u,v,w)的一一映射;

b $x = x ( u , \nu , w ) , y = y ( u , \nu , w ) , z = z ( u , \nu , w )$ 有一阶连续偏导数，且

柱面坐标系

$$
{ \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , \nu , w ) } } = \left| { \frac { \partial y } { \partial u } } \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial \nu } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \nu } } } \\ { { \frac { \partial y } { \partial \nu } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \nu } } } \end{array} \frac { \partial y } { \partial w } \right| \neq 0 ~ .
$$

另外， $\left\{ \begin{array} { l l } { x = r \mathrm { c o s } \theta , } \\ { y = r \sin \theta , } \\ { z = z , } \end{array} \right.$ 则

$$
\begin{array} { r l }  \frac { \iint \int ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { y } , z ) \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } z - \iiint ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \mathrm { r i n h } \theta , z ) | \overline { { \partial } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \psi } , z ) | \mathrm { d } \boldsymbol { r } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } } & { } \\ { \frac { \iint \partial \boldsymbol { r } } { \partial \boldsymbol { r } } } & { } \\ & { = \frac { \iint \partial \boldsymbol { r } } { \partial \boldsymbol { r } } ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \mathrm { r i n h } \theta , z ) \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial t } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial \boldsymbol { \Phi } } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial z } \Biggr \} } \\ & { = \frac { \iint \int \int ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \mathrm { r i n h } ^ { \mathrm { ~ } } \boldsymbol { \theta } , z ) \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } } { \partial t } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial z } \frac { \partial \boldsymbol { \Phi } } { \partial z } \frac { \partial \boldsymbol { \Phi } } { \partial z } \Biggr \} \mathrm { d } \boldsymbol { r } \mathrm { d } \boldsymbol { \theta } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } } \\ & { \qquad \quad \times \mathrm { i n } \mathrm { ~ } \exp ( \mathrm { i } \frac { \partial \Omega } { \partial z } \mathrm { ~ \partial ~ \partial ~ \Omega ~ } \frac { \partial \boldsymbol { r } } { \partial z } \mathrm { ~ \partial ~ \overline { { \theta } } ^ { * } } ) } \\ &  \qquad - \frac { \iint \int ( \int ( \boldsymbol { r } \mathrm { c o s } \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { r } \mathrm { s i n h } \theta , z ) \mathrm { d } \boldsymbol { s } \theta } , \mathrm { ~ \gamma \ r a i n ~ } \theta \mathrm { ~ \partial ~ \Omega ~ } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } \boldsymbol { \Phi } \mathrm { d } \mathrm { \boldsymbol { \Phi } } \mathrm  d \boldsymbol { \Phi }  \end{array}
$$

这就是直角坐标系到柱面坐标系的换元过程.

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \{ \begin{array} { l } { x = r \sin \varphi \cos \theta , } \\ { \displaystyle \{ y = r \sin \varphi \sin \theta , \mathbb { M } \} } \\ { \displaystyle z = r \cos \varphi , } \end{array}  } \\  \medskip \displaystyle \{ \begin{array} { l } { \displaystyle \iint f ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint \int f ( r \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi ) \Big | \hat { \frac { \partial } { \partial ( r , \theta , \varphi ) } } \Big | \mathrm { d } r \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta } \\  \displaystyle  \frac { \partial } { \partial \theta _ { m } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi } \mathrm { e } ^  - \mathrm { i } \ \end{array} \end{array}
$$

$$
\begin{array} { r l } { | \frac { \partial x } { \partial r } \ \frac { \partial x } { \partial \theta } \ \frac { \partial x } { \partial \theta } | } & { , } \\ { = \displaystyle \frac { | \iint \int ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) | \frac { \partial y } { \partial r } ~ \frac { \partial y } { \partial \theta } ~ \frac { \partial y } { \partial \varphi } | } { \partial \theta } \mathrm { d } \mathbf { \mathrm { \overline { { \phi } } } } \rho \mathrm { d } \mathbf { \mathrm { \overline { { \phi } } } } \rho } \\ { | \frac { \partial z } { \partial r } ~ \frac { \partial z } { \partial \theta } ~ \frac { \partial z } { \partial \varphi } | } \\ & { = \displaystyle \iint \int ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) \cdot | \sin \varphi \cos \theta ~ - r \sin \varphi \sin \theta ~ r \cos \varphi \cos \theta | } \\ { \displaystyle \frac { | \sin \varphi \cos \theta ~ \theta | } { \partial \varphi } ~ \frac { | \sin \varphi \cos \theta ~ | } { | \cos \varphi | } ~ r \sin \varphi \cos \theta ~ r \cos \varphi \sin \theta | \mathrm { d } \mathbf { \mathrm { \overline { { \phi } } } } \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta } & { } \\ { = \displaystyle \iint ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta } & { , } \\ { = \displaystyle \iint _ { \Omega _ { \phi } } \{ \int ( r \sin \varphi \cos \theta , ~ r \sin \varphi \sin \theta , ~ r \cos \varphi ) r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \theta \} \rho } \end{array}
$$

这就是直角坐标系到球面坐标系的换元过程.

例18.5 设 $\scriptstyle \varOmega = \{ ( x , y , z ) | x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant 1 \}$ ，则 $I = \underset { \mathcal { Q } } { \iint } \big ( 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } \big ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z =$

$$
x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 4 } } + z ^ { 2 } \leq 1 \enclose{circle} { > } \frac { 4 } { 4 } + 3 \times 3 \times 4 =
$$

分析 令 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x _ { 1 } , } \\ { 2 y = y _ { 1 } } \\ { z = z _ { 1 } , } \end{array} } \right.$ ，则川 $( 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \coprod _ { x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } \leqslant 1 } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \bullet \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } y _ { 1 } \mathrm { d } z _ { 1 } \ .$ x²+4y²+2²≤

![](images/691b3349ff470d9eeaa35cb5624e3ed2d73d006f9f6938d3808eef24cea4128e.jpg)

解 应填 $\frac { 4 \pi } { 1 5 }$

区

$$
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = r \sin \varphi \cos \theta , } \\ { \displaystyle y = \frac { 1 } { 2 } r \sin \varphi \sin \theta , } \\ { \displaystyle z = r \cos \varphi , } \end{array} \right.
$$

于是

$$
J = { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( r , \theta , \varphi ) } } = \left| { \frac { \partial y } { \partial r } } \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \varphi } } } \\ { { \overline { { \partial } } } r } & { { \frac { \partial y } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \varphi } } } \\ { { \overline { { \partial } } } { \overline { { c } } } } & { { \frac { \partial z } { \partial \theta } } } & { { \frac { \partial z } { \partial \varphi } } } \end{array}  \right| = - { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } \sin \varphi ,
$$

则

$$
\begin{array} { l } { { I = \displaystyle \iint _ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leqslant 1 } ( 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } } \\ { { \displaystyle = \ \iint _ { x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 + z ^ { 2 } \leqslant 1 } \leqslant 1 } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } y _ { 1 } \mathrm { d } z _ { 1 } } } \\ { { \displaystyle = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \varphi \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } \sin \varphi \mathrm { d } r = \frac { 4 \pi } { 1 5 } ~ . ~ z _ { 1 } = r \cos \varphi } } \end{array}
$$

## 5应用

(1)若Ω是物体所占的空间区域，则其体积为 $V = \iiint _ { \Omega } \mathrm { d } \nu$

★(2)对于空间物体，若体密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，Ω是物体所占的空间区域，则计算重心(x，y，z)的公式为

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \overrightarrow { x } = \frac { \displaystyle \iint \int x \rho ( x , \overrightarrow { y , z } ) \mathrm { d } \nu } { \displaystyle \iint \int \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } , \frac { \displaystyle \iint \int y \rho ( x , \overrightarrow { y , z } ) \mathrm { d } \nu } { \displaystyle \iint \int \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } , \frac { \displaystyle \iint z \rho ( x , \overrightarrow { y , z } ) \mathrm { d } \nu } { \displaystyle \int \int \int \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu } . } \end{array}
$$

注（1）在考研的范畴内，重心就是质心

（2）当密度 $\rho ( x , y )$ 或者 $\rho ( x , y , z )$ 为常数时，重心就成了形心

(3)形心公式的逆用． 常，母都

由 $\overline { { x } } = \frac { \iiint _ { \partial } x \mathrm { d } \nu } { \iiint _ { \partial } \mathrm { d } \nu } ,$ 得 $\iiint x \mathrm { d } \nu = { \overline { { x } } } \cdot V$ 其中V为Ω的体积.若x与V均易于求出，则可快速计算出Ω的体积  
${ \underset { \Omega } { \iint } } x \mathrm { d } \nu$ 以下同理

精由 $\overline { { y } } = \frac { \iiint y \mathrm { d } \nu } { \iiint \mathrm { d } \nu }$ $\iiint y \mathrm { d } \nu = \overline { { y } } \cdot V$ 其中V为Ω的体积

$\overline { { z } } = \frac { \iiint z \mathrm { d } \nu } { \iiint \mathrm { d } \nu }$ ${ \underset { \Omega } { \iint } } z \mathrm { d } \nu = { \overline { { z } } } \cdot V$ 其中V为Ω的体积

(3)对于空间物体，若体密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，Ω是物体所占的空间区域，则计算该物体对x轴、y轴、z轴和原点O的转动惯量 $I _ { x } , I _ { y } , I _ { z }$ 和 $I _ { o }$ 公式分别为

$$
I _ { x } = \iiint _ { \varOmega } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu , I _ { y } = \iiint _ { \varOmega } ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu ,
$$

$$
I _ { z } = \iiint ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu , I _ { o } = \iiint ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \cdot \underbrace { \mathrm { d } m ~ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } _ { ( x , y , z ) } \Bigg \} ^ { z } ( 0 , ~ 0 , z )
$$

(4)对于空间物体，若体密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，Ω是物体所占的空间区域，则rdm为徽元对z轴的转动惯量计算该物体对物体外一点 $M _ { \mathrm { 0 } } ( x _ { \mathrm { 0 } } , y _ { \mathrm { 0 } } , z _ { \mathrm { 0 } } )$ 处的质量为m的质点的引力 $\boxed { ( F _ { x } , F _ { y } , F _ { z } ) }$ 公式为

$$
F _ { x } = G m { \iiint } \frac { \rho ( x , y , z ) ( x - x _ { 0 } ) } { { \lbrack { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } \rbrack ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \mathrm { d } { \nu } } ,
$$

$$
F _ { y } = G m { \iiint } \frac { \rho ( x , y , z ) { \left( y - y _ { 0 } \right) } } { { \left[ { \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( z - z _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \mathrm { d } } \nu ,
$$

$$
F _ { z } = G m { \int \limits _ { \varOmega } { \int } \int } \frac { { \rho ( x , y , z ) ( z - z _ { 0 } ) } } { { [ { ( x - x _ { 0 } ) } ^ { 2 } + { ( y - y _ { 0 } ) } ^ { 2 } + { ( z - z _ { 0 } ) } ^ { 2 } ] } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \mathrm { d } } \nu \ .
$$

例18.6 设 $\mathcal { Q } = \{ ( x , y , z ) | 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 2 z \leqslant 3 \}$ ，则 $\iiint z \mathrm d \nu =$

解 应填 ${ \frac { 1 6 } { 3 } } \pi$ $x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + \frac { ( z - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } \leq 1$ 为椭球体

由于 $\mathcal { Q } = \left\{ ( x , y , z ) \middle | x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + \frac { ( z - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } \leqslant 1 \right\}$ ，其形心坐标为(0,0,1)，于是

$\iiint z { \mathrm d } \nu = { \overline { { z } } } \bullet V _ { \varOmega } = 1 \bullet { \frac { 4 } { 3 } } \bullet \pi \bullet { \frac { 1 } { a } } \bullet { \frac { 2 } { b } } \bullet { \frac { 2 } { c } } = { \frac { 1 6 } { 3 } } \pi$ 椭球体 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \leqslant 1$ 的体积为 ${ \frac { 4 } { 3 } } \pi a b c$

例18.7 设 $\scriptstyle \mathcal { Q } = \{ ( x , y , z ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant z \leqslant 1 \}$ ，则Ω的形心的竖坐标=

解 应填 $\frac { 2 } { 3 }$

设 $D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 \}$ ，则

![](images/19b89a0cdd410f8aad729beaca8dd74240ee0b5586959a9a8f56cb468b0570c5.jpg)

$$
\iiint \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint \mathrm { d } x \mathrm { d } y \int _ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ^ { 1 } \mathrm { d } z = \iint \bigl ( 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \bigr ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 2 } ) r \mathrm { d } r = \frac { \pi } { 2 } ,
$$

$$
\iiint z \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint _ { \cal D } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \int _ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ^ { 1 } z \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 2 } \iint [ 1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 4 } ) r \mathrm { d } r = \frac { \pi } { 3 } \ : ,
$$

所以 $\overline { { z } } = \frac { \displaystyle \iint _ { 2 } z \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } { \displaystyle \iint _ { 2 } \int _ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } = \frac { 2 } { 3 }$

## 第一型曲线积分

## 1 概念

设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数 $f ( x , y )$ 在L上有界，在L上任意插入一系列点$M _ { 1 } , M _ { 2 } , \cdots , M _ { n - 1 }$ 把L分成n个小段.设第i个小弧段的长度为 $\Delta { s } _ { i }$ ，又 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ 为第i个小弧段上任意取→近似 $\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta s _ { i }$ 定的一点，作乘积 $f ( \xi _ { i } ^ { \prime } , \eta _ { i } ) \Delta s _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ ，并作和 ，如果当各小弧段长度的最大值→取极限λ趋于零时，这和的极限总存在（与 $\Delta \boldsymbol { s } _ { i }$ 的分法及 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ 的取法均无关），则称此极限为函数 $f ( x , y )$ 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一型曲线积分，记作 $\int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s$ ，即

$$
\int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta s _ { i } ,
$$

![](images/7d92c0d4fa07add9ac9a3d1247297e63d3f95bc0894338a2155f532b7ee25eda.jpg)

其中 $f ( x , y )$ 称为被积函数， $f ( x , y ) { \mathrm { d } } s$ 称为被积表达式，x与y称为积分变量，L称为积分弧段.

$$
\mathrm { d } s = \sqrt { ( \mathrm { d } x ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } y ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } z ) ^ { 2 } }
$$

此定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧「的情形，即函数$f ( x , y , z )$ 在曲线弧厂上对弧长的曲线积分区别：

$$
= \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x
$$

$$
\int _ { \cal { T } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \operatorname * { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta s _ { i } .
$$

①底部直线变曲线， ②第一型曲线积分弧徽分， ds =√(dx)² +(dy)² 个

注但事实上，如果仅理解到此，还是不够的.不妨把定积分和第一型曲线积分放在一起作个对比，加深我们对概念的理解.定积分定义在“直线段”上，而第一型曲线积分定义在“曲线段”上，如图18-9、图18-10所示，由于f(x，y)定义在 $L \colon y = y ( x )$ 上，故曲线方程L可代入被积函数，从而化简计算.

![](images/8d51cc8a2ff7813abe1c231692551f44869091933b921885dd529779d3cf7f81.jpg)

$$
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x
$$

图18-9  
直线变曲线  
![](images/2a3eca39d2bceb8b9926291fb571f1fed9ea487c52c659a7c941bf1e25941cd9.jpg)  
第一型曲线积分 $\int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s$

图18-10  
![](images/683c53526895ce9b0742431357adb50d0bbca432bcee71705a509cca882d08e2.jpg)

## 性质

以下总假设厂为空间有限长分段光滑曲线．

性质1(求空间曲线的长度（弧长）) $\int _ { \cal { r } } 1 \mathrm { d } s = l _ { \cal { r } }$ ，其中 $l _ { r }$ 为r的长度.

性质2（可积函数必有界）设 $f ( x , y , z )$ 在r上可积，则其在Γ上必有界.

同定积分

性质3（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则

$$
\int _ { \cal T } [ k _ { 1 } f ( x , y , z ) \pm k _ { 2 } g ( x , y , z ) ] \mathrm { d } s = k _ { 1 } \int _ { \cal T } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s \pm k _ { 2 } \int _ { \cal T } g ( x , y , z ) \mathrm { d } s \ .
$$

性质4（积分的可加性）设f(x，y，z)在r上可积，且 $T _ { 1 } \cup T _ { 2 } = T , T _ { 1 } \cap T _ { 2 } = \emptyset$ ，则

$$
\int _ { \cal T } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \int _ { \cal T _ { 1 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s + \int _ { \cal T _ { 2 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s .
$$

性质5（积分的保号性）设 $f ( x , y , z ) , g ( x , y , z )$ 在r上可积，且在「上 $f ( x , y , z ) { \leqslant } g ( x , y , z \ )$ 则有

$$
\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathop { \longleftrightarrow } _ { \bf { k } } ^ { \mathrm { } } \mathcal { E } \large \{ x , y , z \large ) \mathrm { d } s \leq \int _ { \cal { r } } ^ { } g ( x , y , z ) \mathrm { d } s \ .
$$

特殊地，有

$$
\begin{array} { r l } & { \{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } \mathcal { K } \mathcal { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \hat { \phi } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x . } \\ { \overline { { \phi } } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \ V \Rightarrow \mathrm { d } x > 0 . } \\ { \overline { { \phi } } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \partial \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } } \\ { \mathcal { D } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \int \int f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma . } \end{array}  } \\ &  \{ \begin{array} { l l } { \mathrm { i } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } ; \quad \mathrm { d } \sigma > 0 . } \\  \mathrm { i } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak { L } \mathfrak  \end{array} \end{array}
$$

性质6(第一型曲线积分的估值定理）设M，m分别是f(x，y，z)在r上的最大值和最小值， $l _ { r }$ 为r的长度，则有

与定积兮、二重积分、三重积分类似

$$
m l _ { \scriptscriptstyle { T } } \leqslant \int _ { \cal { T } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s \leqslant M l _ { \scriptscriptstyle { T } } .
$$

性质7(第一型曲线积分的中值定理）设f(x，y，z)在r上连续， $l _ { r }$ 为「的长度，则在r上至少存在一点(,n,5)，使得

$$
\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = f ( \xi , \eta , \zeta ) l _ { \cal { r } } .
$$

## ③普通对称性与轮换对称性

左右对称，变的是y

分析方法与二重积分、三重积分完全一样.

(1)普通对称性.

![](images/81df10f44adffdbda71ab68ff63643a640f57d0bd96ea1da4a3b2f516a0dfcbf.jpg)

假设r关于 $x O z$ 面对称，则

$$
\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 \displaystyle { \int _ { \cal { r } _ { 1 } } f ( x , y , z ) } } { \mathrm { d } s } , } & { { f ( x , y , z ) = f ( x , - y , z ) , } } \\ { { 0 , } } & { { f ( x , y , z ) = - f ( x , - y , z ) , } } \end{array} \right.
$$

其中 $\varGamma _ { 1 }$ 是r在 $x O z$ 面右边的部分.

关于其他坐标面对称的情况与此类似.

(2)轮换对称性.

若把x与y对调后，r不变，则 $\int _ { \cal { r } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s = \int _ { \cal { r } } f ( y , x , z ) \mathrm { d } s$ ，这就是轮换对称性.关于其他情况与此类似. V

具体应用见后面的例子.

因为 $\mathrm { d } s = \sqrt { ( \mathrm { d } x ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } y ) ^ { 2 } + ( \mathrm { d } z ) ^ { 2 } }$ 在加法上有交换律，交换x与y后，ds不变

## 4计算

由于第一型曲线积分就是由定积分推广而来的，因此计算第一型曲线积分的基本方法就是将其化为定积分口诀为“一投二代三计算” 从定积分来，回到定积分去

(1)平面情形.

①若平面曲线L由 $y = y ( x ) ( a \leqslant x \leqslant b )$ 给出，则 ${ \mathrm { d } } s =$ $\sqrt { 1 + [ y ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ ，且

掌握三种体系下曲线积分的计算：①直角坐标系下：②参数式下：③极坐标系下

一投二代三计算，这是基本方法的口诀。

![](images/aa1e806ed2a20a26b054ea265464369ca33d16699aff2f59fcd9af82bed4100f.jpg)

以平面为例，

![](images/67c2f5f1a8c54bda947ff196b1e53da53cd15427877735946cf155100d679c1b.jpg)

②若平面曲线L由参数式 $\left\{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } ( t ) , } \\ { { \boldsymbol { y } } = { \boldsymbol { y } } ( t ) } \end{array} \right. ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta )$ 给出，则 $\mathrm { d } s = \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t$ ，且

一投：把L投到x轴上去，写成 $\int _ { a } ^ { b }$

→二代：注意这里的x，y不是独立的，它是受约束于方程y=y(x)的，一定要把y=y(x)代入f(x，y)（这是曲线（曲面）积分的特点，因为这里的变量是定义在线上（面上）的，不具有独立性，所以这里必须代入）；

三计算：之前讲过孤徽兮计算公式

$$
\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s } \\ & { } & { \displaystyle \underbrace { \vphantom { \int _ { \mathbb { Z } } ^ { \beta } \mathrm { d } \tilde { \mathcal { E } } } \int _ { \mathcal { X } } ( \stackrel {  } {  } \mathcal { K } ) \quad \quad \stackrel {  } { \ r ^ { \prime } ( t ) } \ast \mathrm { d } t } _ { \displaystyle = \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ x ( t ) , y ( t ) ] \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } } \end{array}
$$

$$
\mathrm { d } s = \sqrt { \left( \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } + \left( \mathrm { d } y \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + [ y ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } x .
$$

投二代三计算，就化成了定积分.

③若平面曲线L由极坐标形式 $r = r ( \theta ) ( \alpha { \leqslant } \theta { \leqslant } \beta )$ 给出，则 $\mathrm { d } s = \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta$ ，且

$$
\begin{array} { r l } & { \int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \underbrace { \bigl \langle - \mathrm { i } \boldsymbol { \mathfrak { A } } \atop { \mathfrak { V } } ^ { } } \qquad \leq \qquad \quad \mathrm { i } + \mathcal { H } } \\ & { = \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ r ( \theta ) \cos \theta , r ( \theta ) \sin \theta ] \sqrt { [ r ( \theta ) ] ^ { 2 } + [ r ^ { \prime } ( \theta ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta . } \end{array}
$$

(2)空间情形.

若空间曲线厂由参数式 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta ) } \\ { z = z ( t ) } \end{array} \right.$ 给出，则

$$
\mathrm { d } s = \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ z ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t ,
$$

且

$$
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \int _ { { \cal T } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } s } \\ & { \quad \scriptstyle \downarrow - \mathrm { i } \boldsymbol { \mathfrak { L } } \qquad \stackrel { \scriptstyle \sharp \nearrow } { \displaystyle \sum _ { y } z ( t ) \cdot \sum _ { \tau ( t ) } ^ { \prime } \int [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ z ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } \end{array}
$$

>最终为t的一元函数

例18.8 已知曲线 $L : y = x ^ { 2 } ( 0 \leqslant x \leqslant { \sqrt { 2 } } )$ ，则 $\int _ { L } x \mathrm { d } s =$

分析利用“一投二代三计算”的口诀计算直角坐标系下的第一型曲线积分.

解 应填 $\frac { 1 3 } { 6 }$

凑徽分

$$
\int _ { L } x \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } x \sqrt { 1 + ( 2 x ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + 4 x ^ { 2 } } \mathrm { d } ( 1 + 4 x ^ { 2 } )
$$

$$
= \frac { 1 } { 1 2 } ( 1 + 4 x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Bigg | _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } = \frac { 1 3 } { 6 } ~ .
$$

例18.9 设 $L \colon x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = - 2 y$ ，则 $I = \oint _ { L } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } s =$

→封闭曲线的专用符号

分析 根据曲线L及被积函数的表达式，不难发现都含有平方和，所以本题不宜用直角坐标计算，故采用极坐标解题. A

解 应填8.

$$
\operatorname { d } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = - 2 y \Rightarrow r ^ { 2 } = - 2 r \sin \theta \Rightarrow r = - 2 \sin \theta
$$

将曲线方程用极坐标表示： $r ^ { \stackrel { \prime } { = } - 2 \sin \theta ( - \pi \leqslant \theta \leqslant 0 ) }$ ，则

$$
x = r \cos \theta , y = r \sin \theta , \mathrm { d } s = { \sqrt { \left[ r ( \theta ) \right] ^ { 2 } + \left[ r ^ { \prime } ( \theta ) \right] ^ { 2 } } } \mathrm { d } \theta = { \sqrt { 4 \sin ^ { 2 } \theta + 4 \cos ^ { 2 } \theta } } \mathrm { d } \theta = 2 \mathrm { d } \theta ~ .
$$

故

$$
\underbrace { I = \int _ { - \pi } ^ { 0 } ( - 2 \sin \theta ) \bullet 2 \mathrm { d } \theta = - 4 \int _ { - \pi } ^ { 0 } \sin \theta \mathrm { d } \theta = 8 } _ { - \land \mathtt { f l } \div \mathtt { d } \xrightarrow { \mu \mathrm { d } } \mp \mathtt { d } \oplus \mp \mathtt { d } \theta } .
$$

![](images/7306692f825b6382078c8b192ba92998d2100a0e13a2e0a1e268578f581a8bf3.jpg)

例18.10 设r是空间曲线 $\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 } \\ { x + y + z = 0 , } \end{array} } \right.$ 则 $\oint _ { r } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s =$

分析）空间曲线是过原点的平面切球心在原点的单位球面所切出的一个大圆，且x，y，z地位相等，故可以考虑用轮换对称性.后续所有积分，首先考虑用性质进行化简.

解 应填 ${ \frac { 4 } { 3 } } \pi$

由轮换对称性知 $\oint _ { \cal { r } } { x ^ { 2 } } \mathrm { d } s = \oint _ { \cal { r } } { y ^ { 2 } } \mathrm { d } s = \oint _ { \cal { r } } { z ^ { 2 } } \mathrm { d } s$ ，于是

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \oint _ { { \cal T } } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) { \mathrm { d } } s = \oint _ { { \cal T } } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s + \oint _ { { \cal T } } y ^ { 2 } { \mathrm { d } } s } } \\ { { } } \\ { { = 2 \oint _ { { \cal T } } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s = \frac { 2 } { 3 } \Big ( \oint _ { { \cal T } } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s + \oint _ { { \cal T } } y ^ { 2 } { \mathrm { d } } s + \oint _ { { \cal T } } z ^ { 2 } { \mathrm { d } } s \Big ) } } \\ { { } } \\ { { = \frac { 2 } { 3 } \oint _ { { \cal T } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) { \mathrm { d } } s \frac { ( * ) } { 2 } \frac { 2 } { 3 } \oint _ { { \cal T } } 1 { \mathrm { d } } s = \frac { 2 } { 3 } \times 2 \pi \times 1 = \frac { 4 } { 3 } \pi \ . } } \end{array}
$$

(1 $\Omega : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1$ ，不止包括曲面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ ，还包括曲面内部，即三重积分的积分区域 $\Omega : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1$ 为实心球体．

![](images/c07984a9f2c7abee831ff4aa65cf105f3213d0946f5afeb01679a52c12fa06dd.jpg)

如果在三重积分中，被积函数里出现 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 }$ ，那么 $\iiint \limits _ { \varDelta \cdot x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \mathrm { d } \nu$ 是不能直接将被积函数代为1的.

(2) $r : \{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ 曲线既在单位球面上，又在平面上，即为两个面的交线，故曲线、曲面积分的积分区域只有边界线或边界面．

![](images/88c8c2f82858f7d4e85d0452e57c2d278fd2989dcf297670c90ef74442e7a47f.jpg)

在第一型曲线、曲面积分中，可以将积分曲线或曲面代入被积函数，如本题中（\*）处来自曲线方$\left\{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 \right.$ 可直接代入被积函数，从而化简计算.

## 5应用

(1)对于空间光滑曲线Γ，若其由参数式 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , ( \alpha \leqslant t \leqslant \beta ) } \\ { z = z ( t ) } \end{array} \right.$ 给出，则计算空间曲线的长度（弧长）的公式为

$$
l = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \sqrt { [ x ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ y ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } + [ z ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } \mathrm { d } t \ .
$$

(2)对于空间光滑曲线L，若线密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，则计算重心(x，y，)的公式为

$$
\overline { { x } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } x \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } , ~ \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } y \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } , ~ \overline { { z } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } z \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s } .
$$

## 注(1)在考研的范畴内，重心就是质心

（2）当密度p（x，y）或者 $\rho ( x , y , z )$ 为常数时，重心就成了形心

（3）形心公式的逆用

廣由 $\overline { { x } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } x \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } 1 \mathrm { d } s }$ 寸 $\int _ { L } x \mathrm { d } s = \overline { { x } } \cdot l$ 其中 $l = \int _ { L } 1 \mathrm { d } s$ 为曲线L的长度；

紅由級 $\begin{array} { r } { \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } y \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } 1 \mathrm { d } s } } \end{array}$ $\int _ { L } y \mathrm { d } s = \overline { y } \cdot l$ 其中 $l = \int _ { L } \mathrm { l d } s$ 为曲线L的长度；

$\overline { { z } } = \frac { \displaystyle \int _ { L } z \mathrm { d } s } { \displaystyle \int _ { L } 1 \mathrm { d } s }$ $\int _ { L } z \mathrm { d } s = \overline { { z } } \cdot \boldsymbol { l }$ 其中 $l = \int _ { L } 1 \mathrm { d } s$ 为曲线L的长度

(3)对于光滑曲线L，线密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，则计算该曲线对x轴、y轴、z轴和原点O的转动惯量$I _ { x } , I _ { y } , I _ { z }$ 和 $I _ { o }$ 公式分别为

$$
I _ { x } = \int _ { L } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s , I _ { y } = \int _ { L } ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s ,
$$

$$
I _ { z } = \int _ { L } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s , I _ { o } = \int _ { L } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } s .
$$

例18.11 设C是曲线 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 ( x + y )$ ，则 $\oint _ { C } ( 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s =$

分析将曲线中x与y对调，此时曲线不变，故可以考虑用轮换对称性解题.

解 应填 $2 0 \sqrt { 2 } \pi$

C是圆 $( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 2$ ，关于y=x对称，由轮换对称性知

$$
\oint _ { C } x ^ { 2 } \mathrm { d } s = \oint _ { C } y ^ { 2 } \mathrm { d } s \ ,
$$

故

$$
\begin{array} { r l } & { \oint _ { c } ( 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s = \frac { 5 } { 2 } \oint _ { c } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } s = 5 \oint _ { c } ( x + y ) \mathrm { d } s } \\ & { \qquad = 5 \frac { \overline { { x } } } { \pi } \bullet \underline { l _ { c } } + 5 \overline { { y } } \bullet l _ { c } = \underline { 1 0 l _ { c } } = 2 0 \sqrt { 2 } \pi \ . } \\ & { \qquad \ast \mathbb { S } \propto \frac { \pi \overline { { u } } } { 2 } \ddagger } \end{array}
$$

![](images/cfa6e01e9bbdf4ee521ee67f81e7a1414f0e9e69e3ec50e283fe3b34cec77039.jpg)

## 第一型曲面积分

"从二重积分来，回到二重积兮去”

![](images/6e775b0c920608566d359fb0eee70d748c205f1fdd158617f0b52fd059cc3c84.jpg)

## 1 概念

7@分割 >②近似

设曲面Σ是光滑的，函数f(x，y，z)在Σ上有界，把Σ任意分成n个小块 $\Delta S _ { i } ~ ( \ \Delta S _ { i }$ 同时也代表第i个小块曲面的面积)，设 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )$ 是 $\Delta S _ { _ i }$ 上任意取定的一点，作乘积 $f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta S _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ 并作和 $\sum _ { i = 1 } ^ { n } \widehat { f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) } \Delta S _ { i }$ .如果当各小块曲面的直径的最大值λ趋于零时，该和的极限总存在（与 $\Delta S _ { i }$ →④取极限的分法及 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )$ 的取法均无关)，则称此极限值为函数 $f ( x , y , z )$ 在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一型曲面积分，记作 $\iiint _ { \mathcal { D } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S$ ，即

$$
\int \displaylimits _ { \boldsymbol { \Sigma } } f ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) \mathrm { d } S = \operatorname* { l i m } _ { \boldsymbol { \lambda } \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \Delta S _ { i } ,
$$

其中 $f ( x , y , z )$ 称为被积函数，∑称为积分曲面.

注（1）第一型曲面积分的物理背景是以 $f ( x , y , z )$ 为面密度的空间物质曲面的质量.

（2）把二重积分和第一型曲面积分放在一起作个对比，如图18-11所示

![](images/b2ec42c3ba4dafe478557255f1938d18d496db9d13529a10d9bddb1268cfd110.jpg)  
图18-11

（3）第一型曲面积分是由二重积分变换来的

## 2 性质

以下均假设Σ为空间有限分片光滑曲面.

性质1(求空间曲面的面积） $\iint _ { \Sigma } 1 \mathrm { d } S = S$ ，其中S为Σ的面积.

性质2（可积函数必有界）设 $f ( x , y , z )$ 在Σ上可积，则其在Σ上必有界．

性质3（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则

$$
\int _ { \bar { x } } \left[ k _ { 1 } f ( x , y , z ) \pm k _ { 2 } g ( x , y , z ) \right] \mathrm { d } S = k _ { 1 } \int _ { \bar { x } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S \pm k _ { 2 } \int _ { \bar { x } } g ( x , y , z ) \mathrm { d } S \ .
$$

性质4(积分的可加性）设f(x，y，z)在Σ上可积，且 $\varSigma _ { 1 } \cup \varSigma _ { 2 } = \varSigma , \varSigma _ { 1 } \cap \varSigma _ { 2 } = \emptyset$ ，则

$$
\int _ { \bar { x } } \int f ( x , y , z ) \mathrm { d } S = \int _ { \bar { x } _ { 1 } } \int f ( x , y , z ) \mathrm { d } S + \int _ { \bar { x } _ { 2 } } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S ~ .
$$

性质5（积分的保号性）设 $f ( x , y , z ) , g ( x , y , z )$ 在Σ上可积，且在Σ上 $f ( x , y , z ) { \leqslant } g ( x , y , z )$ 则有

$$
\underset { \ b { \Sigma } } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S \leqslant \underset { \ b { \Sigma } } { \iint } g ( x , y , z ) \mathrm { d } S .
$$

特殊地，有

$$
\left| \underset { \ b { \Sigma } } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S \right| { \leqslant } \int \int _ { \ b { \Sigma } } \left| f ( x , y , z ) \vert \mathrm { d } S \right. .
$$

性质6（第一型曲面积分的估值定理）设M，m分别是 $f ( x , y , z )$ 在Σ上的最大值和最小值，S为£的面积，则有

$$
m S { \leqslant } \coprod _ { \Sigma } f ( x , y , z ) { \mathrm { d } } S { \leqslant } M S \ .
$$

性质7（第一型曲面积分的中值定理）设 $f ( x , y , z )$ 在Σ上连续，S为Σ的面积，则在Σ上至少存在一点 $( \xi , \eta , \zeta )$ ，使得

$$
\underset { \boldsymbol { \Sigma } } { \iint } f ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) \mathrm { d } S = f ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \zeta } ) S .
$$

## ③普通对称性与轮换对称性

分析方法与二重积分、三重积分和第一型曲线积分完全一样.

(1)普通对称性.

![](images/3ea95ce352a65b749bb8e40a90917d9be9cb00f94e8cf453f8f8b0f8a485d0fb.jpg)

假设Σ关于 $x O z$ 面对称，则

$$
\iint f ( x , y , z ) \mathrm { d } S = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \underset { z _ { 1 } } { \iint } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S , \quad f ( x , y , z ) = f ( x , - y , z ) , } \\ { \hfill z _ { 1 } } \\ { 0 , \quad } & { f ( x , y , z ) = - f ( x , - y , z ) , } \end{array} \right.
$$

其中 $\varSigma _ { 1 }$ 是Σ在 $x O z$ 面右边的部分.

关于其他坐标面对称的情况与此类似.

$$
\begin{array} { r } { i ^ { 2 } i ^ { 2 } \neq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } \Bigg [ \frac { \widehat { \Phi } \tilde { \mathbf { 0 } } ^ { i } \widehat { \mathbf { m } } ^ { i } \widehat { \mathbf { s } } ^ { j } } { 3 6 } \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ , } \\ { \qquad \vdots } \\ { \widehat { \mathbf { 0 } } \mathrm { d } S = \widehat { \mathbf { 0 } } ^ { i } \widehat { \mathbf { s } } ^ { j } \mathrm { d } s = \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x ~ . } \\ { \mathcal { D } \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } z \mathrm { d } x ~ . } \\ { \qquad \vdots } \\ { \mathcal { D } \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( x _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( x _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \end{array} \right. } \end{array}
$$

(2)轮换对称性.

当 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } : \ z = z ( x , y )$ 为单值函数时，若把x与y对调后，£不变，则 $\iint f ( x , y , z ) \underset { \mathcal { X } } { \mathrm { d } } S = \iint f ( y , x , z ) \mathrm { d } S$ 这就是轮换对称性.

关于其他情况与此类似.

## 4 计算

因为第一型曲面积分就是由二重积分推广而来的，所以计算第一型曲面积分的基本方法就是将其化为二重积分.口诀为“一投二代三计算”

无论空间曲面Σ是由显式 $z = z ( x , y )$ 还是隐式 $F ( x , y , z ) = 0$ 给出的，我们都需要做三件事（无逻辑上的先后顺序，哪件事情最有利于解题就先做哪件）.

①一投：将Σ投影到某一平面（比如xOy面)上，设投影区域为D（比如 $D _ { x y } \ .$ ：

②二代：将 $z = z ( x , y )$ 或 $F ( x , y , z ) = 0$ 代人 $f ( x , y , z )$

③三计算：计算 $z _ { x } ^ { \prime } , z _ { y } ^ { \prime }$ ，则 $\mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$

这就把第一型曲面积分化成了二重积分（比如化成关于x，y的二重积分)，得到

$$
\overbrace { \int _ { \begin{array} { c } { { \scriptstyle \{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c } { { \scriptstyle 1 } } \\ { { \scriptstyle \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle 2 } } \\ { { \scriptstyle \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle 1 } } \\ { { \scriptstyle \{ \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle 2 } } \end{array} \} } } \} } \} } } \end{array} } } } } } \{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c } { { \displaystyle \iint \boldsymbol { f } ( x , y , z ) \mathrm { d } S } } \\ { { \scriptstyle \{ \varnothing - \mathrm { i } \mathrm { d } \mathrm { } \mathrm { } \Lambda } } \end{array}  } } \\ { { \begin{array} { c } { { \scriptstyle = \displaystyle \displaystyle \{ \int \boldsymbol { f } [ x , y , z ( x , y ) ] \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x } \mathrm { d } y . } } \\ { { \scriptstyle  \begin{array} { c } { { \scriptstyle 0 } \\ { \mathrm { } } \end{array} \} } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array}  ^ { \{ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c } { { \scriptstyle { \{ \begin{array} { c } { { \scriptstyle { \{ \begin{array} { c } { {  \begin{array} { c } { {  \Lambda } } { {  } {  \begin{array} { c } { {  } {  \begin{array} { c } {  } {  \begin{array} { c }  {  {  }       }  }  }  }  }  }  } }  } }  } } } } \\ { {  {      } }  } } \end{array}  } } \end{array}     \end{array}   \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array} \end{array}
$$

化成关于其他变量的二重积分与此类似.

注（1）这里有一点需要特别强调，将Σ投影到哪个平面上由你自己决定，但是Σ上的任何两点的投影点不能重合，换言之，假如要将Σ投向 $x O y$ 面，则 $z = z ( x , y )$ 必须是单值函数，忘记了这一点，就可能算错结果.

如果将Σ投向某一平面，但是曲面投影后有重合点，且对称性不能使用时，则

①要么将£转投向另一个平面，使得曲面投影后无重合点；

②要么将£分成若干曲面 $\Sigma _ { 1 } , \Sigma _ { 2 } , \cdots$ ，使得这些曲面各自投影后无重合点．

(2)曲面拆分方法（即求拆分曲线的方法）：若将Σ投向 $x O y$ 面时有重合点，取曲面拆分曲线上一点 $P ( x , y , z )$ 记该点的切平面的法向量为n，则法向量n与z轴垂直，即法向量n与(0,0,1)垂直，即可得到拆分曲线的轨迹方程.

![](images/0702508a2dccf07eba3f381b1bd75c40570cc8b122e6382d35d3e22a92d2f047.jpg)

例18.12 求 $\iint _ { \Sigma } z \mathrm { d } S$ ，其中Σ为柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } ( R > 0 )$ 被x=0，y=0,z=0及z=1所截得的第一卦限部分，如图18-12所示.

分析投影点不可重合，故可向xOz面投（向左投）.

![](images/aa98add399fd35bbd831dd3f667aaf217fec867f321179b22e757a358fa4c9b5.jpg)

解 选择向xOz面投影，由曲面方程得

$$
\begin{array} { r } { y = \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \ , \qquad \Rightarrow \qquad \mathscr { G } \notin y = y ( x , z ) \ \notin \breve { 4 } \breve { 3 } \notin \breve { y } } \\ { \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z \qquad } \end{array}
$$

$$
\begin{array} { r l } { \sqrt { 1 + \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } = \sqrt { \displaystyle \frac { R ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } & { { } = \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { - 2 x } { 2 \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \\ { \quad } & { { } = \frac { R } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z \ , } \end{array}
$$

![](images/e07c5f0e2cf966c66f313ed8b89b96b1328b44f31810b4a9be8178172cc6f592.jpg)  
图18-12

故 $\iint _ { \varSigma } z \mathrm { d } S = \iint _ { D _ { x } } \frac { R z } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z$ ，其中 $D _ { x z } = \{ ( x , z ) | 0 { \leqslant } x { \leqslant } R , 0 { \leqslant } z { \leqslant } 1 \}$ ，即

$$
\iint z \mathrm { d } S = R \int _ { 0 } ^ { R } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { z } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } z = \frac { \pi } { 4 } R ~ . ~ \int _ { 0 } ^ { R } \frac { 1 } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } z \mathrm { d } z = \arcsin \frac { x } { R } \bigg | _ { 0 } ^ { R } \cdot \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } \bigg | _ { \upsilon } ^ { 4 } = \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } = \frac { \pi } { 4 }
$$

（1）由于在 $x O y$ 面上的投影仅为一条曲线，若选择向xOy面投影，则投影区域的面积为0，于是 $\iint _ { \Sigma } z \mathrm { d } S = 0$ .这是错误的，因为投影点不能重合

（2)以下常考：可背一下！

①柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ 的 $\mathrm { d } S = \frac { a } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z$ 比如 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ $\mathrm { d } S = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } z$

②球面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ $\mathrm { d } S = \frac { a } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$

③锥面 $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ 的 $\mathrm { d } S = \sqrt { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$

例18.13 设Σ为椭球面 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } + z ^ { 2 } = 1$ 的上半部分，点 $P ( x , y , z ) \in { \mathcal { X } }$ ，π为Σ在点P处的切平面， $\rho ( x , y , z )$ 为点O(0,0,0)到平面π的距离，求 $\iint _ { \Sigma } \frac { z } { \rho ( x , y , z ) } \mathrm { d } S$

分析①求 $\rho ( x , y , z )$ ；②代入 $\iint _ { z } \frac { z } { \rho } \mathrm { d } s$

解 设(X，Y，Z)为π上任意一点，则π的方程为

$$
\frac { x X } { 2 } + \frac { y Y } { 2 } + z Z = 1 \ ,
$$

由第17讲的 $^ { * } \infty , 2 . ( 1 ) ^ { * }$ $F ( x , y , z ) =$ $\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } - 1$ 则 $F _ { x } ^ { \prime } = x , F _ { y } ^ { \prime } = y , F _ { z } ^ { \prime } = 2 z$ ，故π的法向量为 $( x , y , 2 z )$ ，π的方程为 $x ( X - x ) +$ $y ( Y - y ) + 2 z ( Z - z ) = 0$ ，又因为 $P ( x , y , z ) \in { \mathcal { X } }$ 所 $\cdot \cdot 3 \ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ ，代入π的方程化简可得

$$
\frac { x X } { 2 } + \frac { y Y } { 2 } + z Z = 1
$$

从而知

由

$$
\begin{array} { c c c } { \rho ( x , y , z ) = \displaystyle \frac { \left| 0 + 0 + 0 - 1 \right| } { \sqrt { \left( \displaystyle \frac { x } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { y } { 2 } \right) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } = \left( \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \\ { z = \sqrt { 1 - \left( \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } , } \end{array}
$$

把z换了，得 $\rho = \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$

有

$$
\frac { \partial z } { \partial x } = \frac { - x } { 2 \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } , \frac { \partial z } { \partial y } = \frac { - y } { 2 \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } ,
$$

于是

$$
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d } S = \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } \sigma = \sqrt { 1 + \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } \mathrm { d } \sigma } \\ & { = \sqrt { \displaystyle \frac { 4 - 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } \mathrm { d } \sigma = \frac { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } { 2 \sqrt { 1 - \left( \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) } } \mathrm { d } \sigma , } \end{array}
$$

所以

$$
\iint _ { \Sigma } \frac { z \mathrm { d } S } { \rho ( x , y , z ) } = \frac { 1 } { 4 } \iint ( 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \sigma = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } ( 4 - r ^ { 2 } ) r \mathrm { d } r = \frac { 3 } { 2 } \pi ,
$$

其中 $D _ { x y } = \{ ( x , y ) \left| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 2 \right. \}$

应用 三重积分：形心最重要，[第一型曲面积分：曲面面积最重要

(1)对于光滑曲面薄片Σ，若Σ由单值函数 $z = z ( x , y )$ 给出， $D _ { x y }$ 为曲面Σ在 $x O y$ 面上的投影区域，则其面积

$$
A = \coprod _ { D _ { y } } \sqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y .
$$

![](images/2b150b6e4cdb1cf1a04f54b36ff78158f4dadf71f31053894aeccbd04fa22eec.jpg)

注同理，在同样保证单值函数的情况下，可向另外两个坐标面投影，得

$$
A = \coprod _ { D _ { y } } \sqrt { 1 + ( x _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( x _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \ \mathrm { d } y \mathrm { d } z ,
$$

其中 $\mathcal { \Sigma } \colon x = x ( y , z ) , D _ { y z }$ 是曲面在yOz面上的投影区域；

$$
A = \iint _ { D _ { x } } \sqrt { 1 + ( y _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ~ \mathrm d z \mathrm d x ,
$$

其中： $y = y ( x , z ) , D _ { x }$ 是曲面在 $z O x$ 面上的投影区域，

事实上，曲面面积就是当第一型曲面积分的被积函数是1时，用投影法所得出的积分，请大家注意这个联系

(2)对于光滑曲面薄片Σ，若面密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，则计算重心(x，y,z)的公式为

$$
\frac { \displaystyle \iint x \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \overline { { x } } = \frac { \int \int x \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } } , ~ \overline { { y } } = \frac { \displaystyle \iint y \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } , ~ \overline { { z } } = \frac { \displaystyle \iint z \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S } .
$$

## 注(1）在考研的范畴内，重心就是质心

（2）当密度 $\rho ( x , y )$ 或者 $\rho ( x , y , z )$ 为常数时，重心就成了形心

（3）形心公式的逆用

由 ${ \overline { { x } } } = { \frac { \displaystyle \iint _ { x } x \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint _ { x } 1 \mathrm { d } S } }$ $\iint _ { \Sigma } \boldsymbol { x } \mathrm { d } \boldsymbol { S } = \overline { { \boldsymbol { x } } } \cdot \boldsymbol { A }$ $A = \iint \limits _ { \Sigma } 1 \mathrm { d } S$ 为曲面Σ的面积；

紅由 $\overline { { y } } = \frac { \displaystyle \iint _ { \Sigma } y \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint _ { \Sigma } \mathrm { d } S }$ $\iint _ { \Sigma } y \mathrm { d } S = \overline { { y } } \cdot A$ 其中 $A = \iint \limits _ { 5 } ^ { 1 } \mathrm { d } S$ 为曲面Σ的面积；

由 ${ \overline { { z } } } = { \frac { \displaystyle \iint _ { z } z \mathrm { d } S } { \displaystyle \iint _ { z } 1 \mathrm { d } S } }$ $\iint _ { \Sigma } z \mathrm { d } S = \overline { { z } } \cdot A$ 其中 $A = \int \limits _ { z } ^ { \infty } \iint 1 \mathrm { d } S$ 为曲面Σ的面积

(3)对于光滑曲面薄片Σ，若面密度为 $\rho ( x , y , z )$ ，则计算该薄片对x轴、y轴、z轴和原点O的转动惯量 $I _ { x } , I _ { y } , I _ { z }$ 和 $I _ { o }$ 的公式分别为

$$
I _ { x } = \int _ { \frac { z } { z } } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S , I _ { y } = \int _ { \frac { z } { z } } ^ { } ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S ,
$$

$$
I _ { z } = \int _ { \frac { z } { z } } \int ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S , I _ { o } = \int _ { \frac { z } { z } } \int ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \rho ( x , y , z ) \mathrm { d } S .
$$

例18.14 设薄片形物体Σ是圆锥面 $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ 被柱面 $z ^ { 2 } = 2 x$ 截下的有限部分，其上任一点的密度为 $\scriptstyle \mu ( x , y , z ) = 9 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } }$ .记圆锥面与柱面的交线为C.

(1)求C在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程；

(2)求Σ的质量M.

分析(1)联立锥面与柱面，得到交线C，将其投影到 $x O y$ 面，也就是消去交线中的z，且让其与 $x O y$ 面（即平面 ${ z = } 0 \ )$ 联立.

(2)∑的质量 $M = \underset { \Sigma } { \iint } \mathrm { d } m = \underset { \Sigma } { \iint } \mu \underset { \bigstar } { \iint } S$ 面密度

解 (1)如图18-13所示，圆锥面与柱面的交线C的方程为 $\left\{ z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right.$ '消去z，得C在xOy平面

的投影柱面为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x$ ，故所求投影曲线的方程为 $\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.$

(2)因为Σ的点密度为 $\scriptstyle \mu ( x , y , z ) = 9 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } }$ ，所以Σ的质量为

![](images/aa7e0bc1a6f314da2220678fbaa417734d8ad913e0b662284de055532f95b5df.jpg)

“代”曲面方程 $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \longleftrightarrow \longleftrightarrow \longleftrightarrow \longleftrightarrow \longleftrightarrow \zeta \int \mit 9 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \underline { { \mathrm { d } S \cdot \partial \sqrt { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ : , \ : \ : \mathcal { L } \rlap / { \bmod { 1 } } 1 8 . 1 2 } }$

又Σ在xOy面上的投影区域为 $D _ { x y } = \{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 2 x \}$ ，所以

图18-13

$$
\begin{array} { r l } & { M = 9 \displaystyle \int _ { D _ { y } } \sqrt { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \sqrt { 1 + \left( \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { \qquad = 1 8 \displaystyle \iint _ { D _ { y } } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 1 8 \displaystyle \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r \star r \mathrm { d } r } \\ & { \qquad = 4 8 \displaystyle \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { 3 } \theta \mathrm { d } \theta = 9 6 \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { 3 } \theta \mathrm { d } \theta = 6 4 \ . } \end{array}
$$

## 平面第二型曲线积分

## 变力沿曲线做功

在一个向量场—变力场中，设某质点在变力 $F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j$ 作用下，沿着有向曲线L从起点A移动到终点B，总共做了多少功？（这个物理背景请大家熟记，考研中出现过基于这种背景的考题.)

设沿着有向曲线L在 $M ( x , y )$ 点移动了一个微位移$\mathrm { d } s = \mathrm { d } x \pm \mathrm { d } y j$ ，将变力 $F ( x , y )$ 近似看作常力，则力在此微位移上的微功 $\mathrm { d } W = F ( x , y ) \bullet \mathrm { d } s$ ，于是变力 $F ( x , y )$ 沿着有向曲线L从起点A移动到终点B所做的总功为

![](images/ba875a4a5973afce56a05000055d3f0bca8c9a6df3ee5610369a4855f629972a.jpg)

$$
\begin{array} { l } { W = \displaystyle \int _ { L } \mathrm { d } W = \displaystyle \int _ { L } F ( x , y ) \cdot \mathrm { d } s = \displaystyle \int _ { L } ( P ( x , y ) , Q ( x , y ) ) \bullet ( \mathrm { d } x , \mathrm { d } y ) } \\ { \displaystyle \qquad F \widehat { \mathrm { \neq ~ d } } \mathrm { s \ } \frac { \mathrm { d } \phi \mathrm { \neq ~ } \phi \mathrm { \neq ~ } \phi } { \uparrow } \mathrm { \neq ~ } \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { d } x \mathrm { \ - \ } \mathrm { \ < \ } } } \\  \displaystyle = \displaystyle \int _ { L } \displaystyle \frac { \left[ P ( x , y ) \mathrm { d } x + \frac { Q ( x , y ) \mathrm { d } y } { \downarrow } \right] = \displaystyle \int _ { L } P \mathrm { d } x + \displaystyle \int _ { L } Q \mathrm { d } y , } \\ { \displaystyle \qquad \widehat { \mathrm { \neq ~ } \phi \mathrm { \neq ~ } \phi } \qquad \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { \neq ~ } \phi \mathrm { \ < \ } } \widehat { \mathrm { \neq ~ } } \phi } \\ { \displaystyle \qquad \mathrm { d } \widehat { \mathrm { \neq ~ } } \widehat { \mathrm { \neq ~ } } \frac { \phi \mathrm { d } \mathrm { \ \neq ~ } \phi } { \uparrow } \mathrm { \ < \ } } \end{array}
$$

于是我们就引出了第二型曲线积分的概念.

## 2概念

第二型曲线积分的被积函数 $F ( x , y ) { = } P ( x , y ) i { + } Q ( x , y ) j$ 定义在平面有向曲线L上，其物理背景是变力 $F ( x , y )$ 在平面曲线L上从起点移动到终点所做的总功：

$$
\int _ { L } P ( x , y ) \mathrm { d } x + Q ( x , y ) \mathrm { d } y \ .
$$

由此可以看出，前面所学的定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分有着完全一致的背景，都是一个数量函数在定义区域上计算几何量（面积、体积等)，但是第二型曲线积分与之不同，它是一个向量函数沿有向曲线的积分（无几何量可言).于是，有些性质和计算方法都不一样了，一定要加以对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了.

$$
\int _ { L } F \mathrm { d } s
$$

## ③性质

以下总假设厂为空间有限长分段光滑曲线.

性质1（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则 $\int _ { \cal T } \underline { { { \left( k _ { 1 } { \cal F } _ { 1 } \pm k _ { 2 } { \cal F } _ { 2 } \right) } } } \bullet \mathrm { d } s = k _ { 1 } \int _ { \cal T } { \cal F } _ { 1 } \bullet \mathrm { d } s \pm k _ { 2 } \int _ { \cal T } { \cal F } _ { 2 } \bullet \mathrm { d } s$ √  
性质2（积分的有向性） $\int _ { { \widehat { A B } } } { \boldsymbol { F } } \bullet \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } = - \int _ { { \widehat { B A } } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } }$ 两个力的线性组合

性质3（积分的可加性）当 $\widehat { A C } = \widehat { A B } + \widehat { B C }$ 时， $\int _ { \widehat { A C } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } = \int _ { \widehat { A B } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } + \int _ { \widehat { B C } } { \boldsymbol { F } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } }$

## 注第二型曲线积分的“对称性”

若L为从起点A到终点B的有向曲线，如图18-14(a)所示.由于L是有向曲线，故它并不关于y轴对称.如图18-14(a)中的点(x,y)处的ds与点(-x，y)处的ds并不对称.细致看来，将两处的ds作水平、垂直分解，就会发现，两处的dx同向，均为dxi；dy反向，分别为dyj与-dyj.此时，若有力$\scriptstyle { F = x ^ { 2 } y j }$ 沿L做功，则两处的功的微元分别为 $x ^ { 2 } y \mathrm { d } y \ { \overset { \underset { \cdot } { } } {  } } \ - x ^ { 2 } y \mathrm { d } y$ ，加起来即为零，故 $\int \limits _ { L } x ^ { 2 } y d y = 0$ .这与数量积分（如第一型曲线积分）完全不同.因为若 $f ( x , y ) = x ^ { 2 } y , L$ 是如图18-14(b)所示的关于y轴对称的曲线，则 $\int _ { L } f ( x , y ) \mathrm { d } s = \int _ { L } x ^ { 2 } y \mathrm { d } s = 2 \int _ { L _ { 1 } } x ^ { 2 } y \mathrm { d } s$ 究其原因，数量积分的对称性是基于几何背景的，而向量积分（第二型曲线、曲面积分）没有几何背景，它们是物理问题的数学表达，多了“方向”这个重要因素．所以严格来讲，第二型曲线、曲面积分没有几何上的对称性，而是“在物理概念的基础上，得出数学表达式并确定好方向后，在数量大小上看是否相等”.记住上面这段话，就可以很好地解决问题了.

![](images/d3cc3c6f250499fe3e62eb20b24f846d4c23e53a7b3150a637c7d2b3e760d3dc.jpg)  
图18-14

![](images/6aae47de78a7620da93dd694fd51d2064c50917c467f5c3019155b3801e127f1.jpg)  
第一型曲线积分可讨论对称性

## 计算

(1)基本方法一化为定积分． (仅多了一个有向性) 不管α，β的大小关系，与第一型曲线积分不同

/ 要求 $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$ 如果平面有向曲线L由参数方程 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) } \end{array} \right. ( t ; \ \alpha \to \stackrel { \prime } { \beta } )$ 给出，其中t=α对应着起点A,t=β对应着终点B，则可以将平面第二型曲线积分化为定积分.如

$$
\begin{array} { r l } { \int _ { L } P ( x , y ) \mathrm { d } x } & { { } } \\ { - \mathrm { i } \mathfrak { k } } & { { } = \overbrace { \int _ { \mathfrak { x } } \int _ { \mathfrak { x } } ( x \mathrm { d } \mathrm { \Delta } \cdot y ( t ) \mathrm { d } x ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } ^ { - \mathrm { i } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { a } } ) \mathrm { d } t , } \end{array}
$$

这里的 $\alpha , \beta$ 谁大谁小无关紧要，关键是分别与起点和终点对应.

如果L由方程 $y = y ( x ) ( x \colon a \to b )$ 给出，可以看作参数方程 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x , } \\ { y = y ( x ) } \end{array} } \right.$ 于是有,

$$
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \int _ { L } P ( x , y ) { \mathrm { d } } x + Q ( x , y ) { \mathrm { d } } y } \\ & { = \displaystyle \iint _ { \left[ a \right] } ^ { a } \{ P [ x , y ( x ) ] + Q [ x , y ( x ) ] y ^ { \prime } ( x ) \} { \mathrm { d } } x } \\ & { \quad \quad > \mathcal { Z } _ { \texttt { N } } \neq . . . , \mathcal { Z } _ { \texttt { N } } \neq \mathcal { Z } \} } \end{array} .
$$

注如果你理解了上面的注释，则也可这样处理：

$$
\begin{array} { r l r } { \underset { a \neq b } { \iint } \underset { \mathrm { d } x \mathrm { d } b } {  } \mathcal { X } } & { \underset { b \neq c } { \iint } \underset { \mathrm { d } x \mathrm { d } a } { \iint } } & { \underset { c = \mathrm { d } x \mathrm { d } } { \iint } P [ x , y ) \mathrm { d } x } & \\ { \underset { \mathrm { d } x > 0 } { \iint } } & { \underset { c \neq b - \mathrm { d } x } { \underbrace { \mathrm { d } x \mathrm { d } } } } & { \underset { \mathrm { d } x \mathrm { d } } { \iint } \underset { \mathrm { m i n } \{ a , b \} } { \underbrace { - \mathrm { d } \mathcal { R } } } } & { \underset { \mathrm { d } x > 0 } { \underbrace { \mathrm { d } \mathcal { R } } } } \end{array}
$$

其中，当 $a < b$ 时，取+dx；当 $a > b$ 时，取-dx.

★ 例18.15 设D是由曲线L： $\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos ^ { 3 } t , } \\ { y = \sin ^ { 3 } t } \end{array} \right. ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi )$ 与x轴所围平面有界闭区域在第一、二象限的部分，aD为其边界，取逆时针方向，计算 $\oint _ { \partial D } \left| x \right| \mathrm { d } y + \big | \underline { { y } } \big | \mathrm { d } x \ . _ { \partial ^ { \cdot } }$ 水平力

分析从物理背景出发，在边界线上做功，分为3段进行处理，其中力

$$
F = \lg \mathit { \Delta } _ { i } + \lg \mathit { \Delta } _ { i } \mathit { \Delta } _ { j }
$$

有心无另有力无心

解 如图18-15所示，对于曲线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ ，在水平方向上,由于点(x，y)和点(-x,y)处的功的微元均为 $\lvert y \rvert ( - \mathrm { d } x )$ ，则$y ( - \mathrm { d } x ) + y ( - \mathrm { d } x ) = - 2 y \mathrm { d } x$ ，在铅直方向上，功的微元分别为 $\left| x \right| \mathrm { d } y$ 与$| x | ( - \mathrm { d } y )$ ，则 $\big | x \big | \mathrm { d } y + \big | x \big | ( - \mathrm { d } y ) = 0$ .对于曲线 $L _ { 3 } \colon y = 0$ ,x从-1→1，于是 $\int _ { L _ { 3 } } \left| x \right| \mathrm { d } y + \left| y \right| \mathrm { d } x = 0$ .故

![](images/4fcfa3f9cf59b39b26203b7fd7ca2f56b19eb369f5cf77ef7c4a0c0c99b31b06.jpg)  
图18-15

$$
\begin{array} { r l } & { \qquad \oint _ { \partial D } \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | y \big | \mathrm { d } x = \oint _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } + L _ { 3 } } \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | y \big | \mathrm { d } x = \int _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } } \big | x \big | \mathrm { d } y + \big | y \big | \mathrm { d } x } \\ & { \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { \int _ { L _ { t + 2 } \geq y ^ { d } } \ast \mathrm { d } x ( - i ) } & { = \int _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } } \big | y \big | \mathrm { d } x = - \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 y \mathrm { d } x = - \int _ { \frac { 0 } { 2 } } ^ { 0 } 2 \sin ^ { 3 } t \mathrm { d } ( \cos ^ { 3 } t ) } & { \qquad \mathrm { d } L _ { 1 } , \big \scriptstyle { \Sigma } _ { 1 } \big | x \big | j \cdot \mathrm { d } y j = \big | x \big | \mathrm { d } y \ast 1 \big | , } \\ { = - \int _ { L _ { 1 } + L _ { 2 } } y \mathrm { d } x } & { \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { = - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } y \mathrm { d } x } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 3 } t \ast 3 \cos ^ { 2 } t ( - \sin t ) \mathrm { d } t } &  \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  \end{array}
$$

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle = - 6 \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \sin ^ { 4 } t ( 1 - \sin ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t } } \\ { { \displaystyle = - 6 \times \left( \frac 3 4 \times \frac 1 2 \times \frac { \pi } { 2 } - \frac { 5 } { 6 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 1 } { 2 } \times \frac { \pi } { 2 } \right) = - \frac 3 { 1 6 } \pi ~ . } } \end{array}
$$

例18.16 在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族 $y = a \sin x ( a > 0 )$ 中，求一条曲线L，使沿该曲线从0到A的积分 $\int _ { L } ( 1 + y ^ { 3 } ) \mathrm { d } x + ( 2 x + y ) \mathrm { d } y$ 的值最小. y=asinx

![](images/2afa214e07791f5c66eb3463e3e9c861370279cb189c681db75f5ca51e717f70.jpg)

分析先将a当作常数代入积分中，利用参数法，令 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l } { x = x , } \\ { y = a \sin x , } \end{array} \right. }$ 再将a当作变量，利用导数为零求得a. 0 A

解

$$
\begin{array}{c} \begin{array} { l } { { \left. \begin{array} { l } { { - \infty \displaystyle \sum } } \\ { { \begin{array} { r } { { \mathcal { I } } \left( a \right) = \displaystyle \sum _ { 0 } ^ { \pi } [ 1 + \underline { { { a } } } ^ { 3 } \sin ^ { 3 } x + ( 2 x + \underline { { { a } } } \sin x ) a \cos x ] \underline { { \array} { \cos } } \scriptscriptstyle { \mathrm { ( } } \underline { { { \mathcal { I } } \equiv { \dot { I } } \mathrm { ( } } } + \underline { { { \mathcal { H } } } } + \underline { { { \mathcal { H } } } } ) } \\ { { \left. \begin{array} { r } { { \mathrm { ( } } a \mathrm { ) } \end{array} } \right]} \\ { { \mathrm { ( } } a \mathrm { ) } \end{array} } } \end{array}  } \stackrel { \mathrm { d } y = a \cos x \mathrm { d } x } { \mathop { \longrightarrow } } = \pi - 4 a + \frac { 4 } { 3 } a ^ { 3 } \ . } \right.} \end{array}  }  \end{array}
$$

${ \cal I } ^ { \prime } ( a ) = 4 ( a ^ { 2 } - 1 ) = 0$ ，得 $a = 1 ( a = - 1$ 舍去)，且a=1是I(a)在(0,+∞)内的唯一驻点.

又因为 $I ^ { \prime \prime } ( 1 ) = 8 > 0$ ，所以I(a)在a=1处取到最小值.因此所求曲线是

验证

$$
\circ _ { | \vec { \mathbb { E } } } - \not \delta \not \to \emptyset , | \ast \langle \not \gets \sum _ { y = \sin x ( 0 \leqslant x \leqslant \pi ) } .
$$

注本题是一道小的综合题，主要考查平面第二型曲线积分的基本方法（化为定积分）及一元函数的最值.

总结）从近几年考查的题型来看，例18.15这种类型的题目比较容易出解答题，且具有一定区分度；例18.16这类综合题反而不是很难，更可能出选择题.

第二型曲线积分 (边界)★★★(2)格林公式.→→化为→二重积兮（內部）

$$
\begin{array} { r l } & { { \ddag \hslash } { \mathit { \ddot { z } } } { \mathit { \ddot { t } } } { \hat { \mathbf { z } } } { \hat { \mathbf { z } } } { \hat { \mathbf { z } } } \times : { \mathit { \dot { \phi } } } _ { : } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \ddot { \phi } } } _ { : } { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \ddot { z } } } \left[ { \mathit { \phi } } _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( x ) \right| _ { a } ^ { b } , { \mathit { \Psi } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathrm { - } } { \mathit { \Phi } } { \mathit { \ddot { z } } } } \\ & { | { \widehat { \mathbf { z } } } | { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \dot { \phi } } } { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \hat { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \hat { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } | { \mathit { \ddot { \phi } } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } { \mathit { \Psi } } } \end{array}
$$

设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成， $P ( x , y ) , Q ( x , y )$ 在D上具有一阶连续偏导数，L取正向，则 ①曲线封闭 ?③

$$
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \overset { 3 \ll 4 . 8 \div 4 . 4 } { \overbrace { \oint _ { L } } } P ( x , y ) \mathrm { d } x } _ { \overset { \mathrm { f } ^ { * } } { \overbrace { \oint _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } + \underbrace { Q ( x , y ) \mathrm { d } y } _ { \overset { \mathrm { f } ^ { * } } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } = \overset { \overset { , } { \overbrace { \int _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } \frac { \partial } { \partial _ { \mathcal { H } } } } \mathrm { d } \mathcal { \bar { P } } } } } { \overbrace { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma } . } \\ &  \underbrace { \overset { 1 \ll 4 . 8 \ll 4 . 4 } { \overbrace { \int _ { \mathcal { H } } \frac { * } { \partial _ { \mathcal { H } } } \mathrm { d } \mathcal { H } } \underset { \mathrm { f } ^ { * } \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } \frac { \partial } { \partial _ { \mathcal { H } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } } } _ { \overset { \mathrm { f ^ { * } } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } \overset { * } { \overbrace { \partial _ { \mathcal { H } } } \frac { \partial } { \partial _ { \mathcal { H } } } \mathrm { d } \mathcal { X } } } } } } \end{array}
$$

伟大的数学家格林花了七天七夜闭关修炼，创立了格林公式，他出关的时候他的朋友挖苦他：你这个书呆子，七天七夜不和人讲话，你怎么耐得住寂寞？格林轻轻回了一句：我根本没有寂寞，何来寂寞可耐？

这个故事送给各位考研的同学，考研需要闭关修炼，闭关修炼的时候你怎么耐得住寂寞？以伟大酌数学家格林为榜样——我没有寂寞，何来寂寞可耐！

注 所谓L取正向，是指当一个人沿着L的这个方向前进时，左手始终在L所围成的区域D内，如图18-16所示.试想一下：假如你在学校的环形操场上跑步，你的左手始终在草坪中，说明你跑的方向是正向

![](images/2e00c0411a893e0f30d64cac409363255ed3ffae35f87b96f2ae09bb7ec80931.jpg)  
图18-16

①曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式.

》没有破坏一阶偏导连续这一条件的点

若给的是封闭曲线的曲线积分 $\oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y$ ，可以验算P和Q是否满足“在该封闭曲线所包围的?区域D内，P和Q具有一阶连续偏导数”，若满足，则可用格林公式

$$
\oint _ { L } \boldsymbol { P } \mathrm { d } x + \boldsymbol { Q } \mathrm { d } y = \iint _ { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma
$$

计算．这里要求L为D的边界，且正向

边界 反方向例18.17 设质点在力 $F = \boxed { - x ^ { 2 } y } i + \boxed { \frac { x y ^ { 2 } } { Q } } .$ j作用下沿圆周 $\ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 1$ 的顺时针方向运动一周，则F所做的功W=

分析 求做功即计算第二型曲线积分，恰好此题也满足格林公式的三个条件，故直接利用格林公式解题即可. 此处不能代 $\scriptstyle \bigwedge _ { } ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ ，你代入了吗？如果代

解 应填 $- { \frac { 1 } { 2 } } \pi$

.了，立即推：复习到两点！

设曲线 $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 围成的区域为D，则

![](images/ae18431e1b2e7244f2051eb1a462e554d0b00b9d1fb403f4fb58e7ae4333bba2.jpg)

![](images/1f4f4cf4cc5a6c6232c9154fb12ffc78d160985908914284bbeb75417d95d791.jpg)  
顺时针做功，添负号即可

$$
W = \oint _ { C } ( - x ^ { 2 } y ) \mathrm { d } x + x y ^ { 2 } \mathrm { d } y = - \iint _ { D } \left( y ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 3 } \mathrm { d } r = - \frac { \pi } { 2 } \ .
$$

②非封闭曲线且 $\frac { \partial Q } { \partial x } \neq \frac { \partial P } { \partial y }$ ，可补线使其封闭（加线减线）.

![](images/20a621476be51b979571f7d8c7e96e12c3ded8e38dc04dc0d23b09293d2c5c9f.jpg)

如果不是封闭曲线的曲线积分，可以考虑补一条线 $C _ { B A }$ ，使 $L _ { A B } + C _ { B A }$ 构成一封闭曲线，并且使其包围的区域为一单连通区域D，在D上P(x，y)和Q(x，y)具有一阶连续偏导数，则有

$$
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \int _ { L _ { A B } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = \int _ { L _ { A B } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y + \int _ { C _ { A A } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y - \int _ { C _ { B A } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \mathrm { d } \vec { \mathrm { e } } \llangle \vec { x } , } \\ & { \qquad = \pm \displaystyle \iint _ { D } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma + \int _ { C _ { A B } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y \ , } \end{array}
$$

其中 $L = L _ { _ { A B } } + C _ { _ { B A } }$ ，公式中的“±”号由L的方向而定.若L为正向则取正号，若L为负向则取负号． $C _ { A B }$ 为 $C _ { B A }$ 的反向弧.如果上式右边的二重积分和 $\int _ { { \cal { C } } _ { A B } }$ 容易计算的话，那么就可利用上述转换方法计算原积分 $\int _ { L _ { A B } }$

例18.18 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x$ 到点(2,0)，再沿圆周 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$ 到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分 $I = \int _ { L } 3 x ^ { 2 } y \mathrm { d } x + ( x ^ { 3 } + x - 2 y ) \mathrm { d } y$

解 如图18-17所示，取有向线段 $L _ { \mathrm { r } }$ 的方程为x=0，起点(0,2)，终点(0,0).由L与 $L _ { \eta }$ 围成的平面区域记为D，于是有

$$
\begin{array} { r l } {  { I = \displaystyle \int _ { L } 3 x ^ { 2 } y \mathrm { d } x + ( x ^ { 3 } + x - 2 y ) \mathrm { d } y } } \\ { \quad } \\ { \quad } \\ { \quad \overset { \mathrm { \scriptsize { + } } } { \underset { { \mathrm { \neq } } 1 } { \mathrm {  } } 1 } \overset [ \mathbb { M } ] { \underset { { \mathrm { \neq } } 1 } { \mathrm { \cdots } } } } \end{array}
$$

根据格林公式，得

补的线一般为规则曲线

![](images/d346795e4e8c2c5a8fcd653eb1a679273090a067ac32c69f5d680c29b30bc0e0.jpg)

又

图18-17

所以

恒等—→无旋场，做功与路径无关

③曲线封闭但有奇点在其内部，且除奇点外 $\cdot \left| \frac { \partial Q } { \partial x } \equiv \frac { \partial P } { \partial y } \right|$ ，则换路径（一般令分母等于常数作为路径，$\frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y }$ 为二维平面上的旋度 (最大的旋转度量)路径的起点和终点无须与原路径重合.)

若给的是封闭曲线的曲线积分 $\oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q$ dy，满足条件“在D内除了奇点外，P和Q具有一阶连续偏导数，并且除奇点外，均有 $\frac { \partial Q } { \partial x } \equiv \frac { \partial P } { \partial y } ,$ ，则可以换一条封闭曲线 $L _ { \tau }$ 代替L，它全在D内，并能将奇点包含在 $L _ { \eta }$ 的内部.则有公式

$$
\oint _ { L } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y \frac { \left( * \right) } { \mathrm { d } z } \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y \ .
$$

这里要求 $L _ { \eta }$ 与L的方向相同.如果后者容易计算，就可达到目的.

注（\*）处得来过程如图18-18所示，若L所围区域D内有奇点Q，则用 $L _ { \tau }$ “挖去”它，并记挖去奇点后的阴影区域为D'，于是 负负得正

$$
\begin{array} { r l } & { \oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = \oint _ { L + L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y - \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y } \\ & { = \iint _ { \frac { L } { L ^ { \prime } } } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right) \mathrm { d } \sigma + \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ~ \stackrel { \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { ~ } \mathcal { R } } { = } ~ L _ { 1 } ~ \pm \sharp \mathrm { d } x ~ \mathcal { H } _ { 1 } ~ \xrightarrow { \mathrm { d } \mathrm { ~ } \mathcal { H } } ~ \mp } \\ & { = \oint _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ~ . } \end{array}
$$

![](images/a4c856378b3f09f472c2a5e24d0cf844e3913121035324bdf7f693d8201ac45b.jpg)

例18.19 计算曲线积分 $I = \oint _ { L } \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y$ ，其中L是 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ ，方向为逆时针方向.

分析分母 $4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ 在(0,0)处为零，即在积分区域内有奇点，影响一阶偏导数连续这一条件，因此不可用格林公式.

解 经计算有

$$
\frac { \partial } { \partial x } \ ( \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ) = \frac { y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } - 8 x y } { ( 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { \partial } { \partial y } \ ( \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ) , \frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y } ( \ast / \overrightarrow { z k } / \overrightarrow { s k } / 0 )
$$

但是这里不能用格林公式，因为在L围成的区域内点O(0,0)处，P,Q均不连续，故在该区域内作一曲线 $L _ { 1 } \colon 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \varepsilon ^ { 2 } ( \varepsilon > 0 )$ ，取逆时针方向，从而

$$
\begin{array} { r l } & { \quad \oint _ { \mathbb { L } } \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y } \\ & { = \oint _ { \mathbb { L } _ { 1 } } \frac { 4 x - y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \frac { x + y } { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \oint _ { \mathbb { L } _ { 1 } } ( 4 x - y ) \mathrm { d } x + ( x + y ) \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \iint 2 \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \pi , } \end{array}
$$

其中 $D _ { 1 }$ 为 $L _ { \parallel }$ 围成的区域.

(3)平面曲线积分与路径无关．一→与格林公式联系紧密 $( \stackrel {  } { \varepsilon } \frac { \partial Q } { \partial x } \equiv \frac { \partial P } { \partial y }$ ，则平面①概念. 旋度为0，也即曲线积分与路径无关）

设G是一个区域，P(x，y)以及Q(x，y)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A,B以及G内从点A到点B的任意两条曲线 $L _ { \tau }$ $L _ { 2 }$ （见图18-19），等式

$$
\int _ { L _ { 1 } } { P } \mathrm { d } x + \boldsymbol { Q } \mathrm { d } y = \int _ { L _ { 2 } } { P } \mathrm { d } x + \boldsymbol { Q } \mathrm { d } y
$$

![](images/456283734960a5ef00d60dcfa4d7db9780d66da999716ab526ff13a5a0895d8e.jpg)  
图18-19

恒成立，就说曲线积分 $\int _ { L } { P \mathrm { d } x } + \mathcal { Q } \mathrm { d } y$ 在G内与路径无关，否则便说与路径有关．

在以上叙述中注意到，如果曲线积分与路径无关，那么

$$
\int _ { L _ { 1 } } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y = \int _ { L _ { 2 } } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y \ .
$$

因为

$$
\int _ { L _ { 2 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = \stackrel { \sqrt { } } { - } \int _ { L _ { 2 } ^ { - } } ^ { \infty } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ,
$$

所以

从而

$$
\int _ { { \cal { L } } _ { 1 } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y + \int _ { { \cal { L } } _ { 2 } ^ { - } } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = 0 \Longrightarrow \overbrace { \int _ { { \cal { L } } _ { 1 } } ^ { \overline { { { \cal { L } } } } } { \cal { L } } _ { 1 } } ^ { \bar { \cal { L } } _ { 2 } ^ { - } } G
$$

$$
\oint _ { { L _ { 1 } } + { L _ { 2 } } } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y = 0 \longrightarrow \underset { \underset { \left\{ \vphantom { \int _ { { L } } } } } { \ii\right\nt } } { \left\{ \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } \right\} \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0 } 
$$

这里 $L _ { 1 } + L _ { 2 } ^ { - }$ 是一条有向闭曲线.因此，在区域G内由曲线积分与路径无关可推得在G内沿闭曲线的曲线积分为零.反过来，如果在区域G内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可推得在G内曲线积分与路径无关.由此得出结论：曲线积分 $\int _ { L } { P \mathrm { d } x } + { Q } \mathrm { d } y$ 在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分

$$
\oint _ { c } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = 0 .
$$

②条件.

设 $P ( x , y ) , Q ( x , y )$ 在单连通区域G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 $\int _ { L } { P \mathrm { d } x } + { Q } \mathrm { d } y$ 在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是在G内处处有

（或在G内存在函数 $u ( x , y )$ ，使 $\begin{array} { r } { \frac { \displaystyle \hat { \frac { \partial P } { \partial y } } = \frac { \hat { \partial Q } } { \partial x } ~ . } { \mathrm { d } u } = \frac { \displaystyle \hat { \widetilde { \partial u } } } { \displaystyle \frac { | \partial u | } { \partial x } \mathrm { d } x } \mathrm { d } x + \frac { \displaystyle \vert \widehat { \partial u } | } { \displaystyle \frac { | \partial y } { \partial y } \mathrm { d } y } \frac { P ~ . ~ Q - \frac { | \vec { y } | } { \partial z } \mathrm { d } \frac { \partial } { \partial z } \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } u } { \displaystyle \frac { | \vec { y } - \vec { y } | } { \partial x } \mathrm { d } y } \mathrm { d } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x } } \\ { \frac { \mathrm { d } u = P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y ~ . ~ ) } { \displaystyle \longrightarrow ~ \int _ { P } ~ \int _ { Q } ~ } \frac { \mathrm { d } } { \partial y } ~ \frac { \partial } { \partial x } } \end{array}$

注（1)设D为平面区域，若D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包含点“洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（包含点“洞”）的区域.例如，平面上的圆形区域 $\{ ( x , y )  x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 1 \}$ ，上半平面 $\left\{ ( x , y ) \middle | y > 0 \right\}$ 都是单连通区域，圆环形区域 $\left\{ ( x , y ) \vert 1 < x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 4 \right\}$ $\left\{ ( x , y ) \left| 0 < x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 2 \right. \right\}$ 都是会出现“点调”复连通区域

（2）平面曲线积分与路径无关

D是单连通区域，且P，Q具有一阶连续偏导数，则以下6个命题等价．

① $\underbrace { \partial Q } _ { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y }$ （旋度为零的等式）在D内处处成立；绝大多数的题都用它

②沿D内任意分段光滑闭曲线L都有 $\oint _ { L } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y = 0$

③ $\int _ { L _ { 1 } } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y = \int _ { L _ { 2 } } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y$ （积分与路径无关）；

④ $\mathrm { d } u = P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y \ ( P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y$ 为某二元函数u（x，y）的全微分）；

③Pdx+Qdy=0是全微分方程；

⑥(P，Q)是某二元函数u的梯度.

③计算.

a.按折线 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )  ( x , y _ { 0 } )  ( x , y )$ [见图18-20(a)]或按折线 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } )  ( x _ { 0 } , y )  ( x , y )$ [见图18-20(b)]计算u.计算公式分别为

$$
\int _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { ( x , y ) } \mathrm { d } u = \int _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { ( x , y ) } P \mathrm { d } x + \mathcal { Q } \mathrm { d } y
$$

$$
u ( x , y ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } P ( x , y _ { 0 } ) \mathrm { d } x + \int _ { y _ { 0 } } ^ { y } Q ( x , y ) \mathrm { d } y
$$

或

$$
u ( x , y ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } P ( x , y ) \mathrm { d } x + \int _ { y _ { 0 } } ^ { y } Q ( x _ { 0 } , y ) \mathrm { d } y .
$$

![](images/abf4bc03c5a985399062f798d3f693f0eaada6a9a609b25b58572a31be7793ea.jpg)  
(a)

![](images/e62f79acf3368c15a2045008dccd91349b346008959f73d35537a45b989db993.jpg)  
图18-20

这里要求折线的路径应在D内.以上公式得出的u(x，y)再加任意常数C就得到了所有原函数.b.按折线或用u（终点）-u（起点)计算积分 $\int P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y$

比如： $u ( 1 , 1 ) - u ( 0 , 0 ) = \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } P \mathrm { d } x + Q \mathrm { d } y$

例18.20 若曲线积分 $\int _ { L } { \frac { x \mathrm { d } x - a y \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } }$ 在区域 $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 1 \right\}$ 内与路径无关，则a

分析 D为单连通区域，且P，Q一阶偏导连续，则在D内曲线积分与路径无关 $\Leftrightarrow \frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y } \Rightarrow$ 解出参数a.   
解 应填-1.

由题设知

$$
P = \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } , Q = \frac { - a y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } ,
$$

则

$$
{ \frac { \partial P } { \partial y } } = { \frac { - 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } , { \frac { \partial Q } { \partial x } } = { \frac { 2 a x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } ~ .
$$

由在D内曲线积分与路径无关知

$$
\frac { \partial { Q } } { \partial x } = \frac { \partial { P } } { \partial y } ,
$$

解得 $a = - 1$

例18.21 设曲线积分 $\int _ { C } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y$ 与路径无关，其中 $\varphi ( x )$ 具有连续的导数，且 $\varphi ( 0 ) = 0$ 计算 $\int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y$ 的值.

分析由曲线积分与路径无关 $\Leftrightarrow \frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y }$ ，求出 $\varphi ( x )$

解 由 $P ( x , y ) = x y ^ { 2 } , Q ( x , y ) = y \varphi ( x ) , \frac { \partial P } { \partial y } = \frac { \partial Q } { \partial x }$ ，得

$$
2 x y = y \varphi ^ { \prime } ( x ) , \varphi ( x ) = x ^ { 2 } + C ~ .
$$

再由 $\varphi ( 0 ) = 0$ ，得C=0，故 $\varphi ( x ) = x ^ { 2 }$ ，所以

$$
\int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y = \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + x ^ { 2 } y \mathrm { d } y ~ .
$$

方法一沿直线 $y = x$ 从点(0,0)到点(1,1)积分，得

$$
\int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x + y \varphi ( x ) \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ^ { 3 } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 } \ .
$$

方法二利用折线法求积分.

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle { \left. \overrightarrow { \mathcal { A } } _ { 1 } ^ { \ast } \overrightarrow { \mathcal { Z } } _ { \ast } ^ { \ast } \right. } = \displaystyle { \int _ { L _ { 1 } } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x } + x ^ { 2 } y \mathrm { d } y + \displaystyle { \int _ { L _ { 2 } } x y ^ { 2 } \mathrm { d } x } + x ^ { 2 } y \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle { } } \\ { = 0 + \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } x \mathrm { d } x } } \\ { \displaystyle { } } \\ { = \frac { 1 } { 2 } ~ . } \end{array}
$$

![](images/61cd77ee676df8c2ae81fa1a5c8635daf97ac88b0e715f4eeedfd6c847a31cac.jpg)

方法三利用凑微分找全微分.

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int } _ { c } ^ { \overline { { { \bf { j } } } } } \overrightarrow { { \bf { \vec { x } } } ^ { \prime } } = \int _ { c } ^ { } \overrightarrow { { \bf { \nabla } } \lambda \gamma ^ { 2 } } { \bf { \vec { d } } } { \bf { \vec { x } } } + \overrightarrow { y \cdot { \bf { \vec { x } } } ^ { \prime } { \bf { \vec { d } } } { \bf { \vec { y } } } } } } \\ { { \displaystyle { \ \ } } } \\ { { \displaystyle { \ \ } = \int _ { c } y ^ { 2 } { \bf { \vec { d } } } \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) + x ^ { 2 } { \bf { d } } \left( \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right) \longrightarrow u { \bf { d } } { \bf { \vec { \nu } } } + { \bf { \vec { \nu } } } { \bf { d } } u = { \bf { d } } \left( u v \right) } } \\ { { \displaystyle { \ \ } } } \\ { { \displaystyle { \ \mathrm { \Gamma } = \int _ { c } { \bf { d } } \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } \right) } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } \Bigg \vert _ { { \bf { \vec { \nu } } } = { \bf { 0 } } } ^ { \left( 1 , 1 \right) } = \frac { 1 } { 2 } \ . } } \end{array}
$$

## 五第二型曲面积分

思考：第二型曲面积分和谁一脉相承呢？答：与第二型曲线积分一脉相承.

## 向量场的通量 （第二型曲面积分的背景）

简单回顾一下向量场的概念.如果Ω上的每一点M(x，y,z)都对应着一个向量F，则在Ω上就确定了一个向量函数 $F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k$ ，它表示一个向量场．

在一个向量场（比如电场、磁场或者某种不可压缩流体的速度场）中，Σ为该场中的某一有向分片光滑曲面，并指定了曲面的外侧，则向量函数 $F ( x , y , z )$ 通过曲面Σ的通量（比如电场中的电通量，磁场中的磁通量，或者某流体的流量）为

在一点处切平面的法向量，若该点可徽，它的方向就是指向曲面在这点处变化率最快的方向

![](images/81935bb138fc9000f7a234a1098201d3f9fee64bea4170f6b9a911d6aef8368b.jpg)

面徽分向量：  
大小和我们前面讲的第一型曲面积分的大小是一个概念

$$
\iint _ { \varSigma } F \cdot \mathrm { d } S = \iint _ { \varSigma } F \cdot n ^ { \circ } \mathrm { d } S ,
$$

其中 $\pmb { n } ^ { \circ } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )$ 是有向曲面Σ在指定侧的单位法向量，且由 $\mathrm { d } S = ( \mathrm { d } y \mathrm { d } z , \ \mathrm { d } z \mathrm { d } x , \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y )$ ，得

$$
\iint F \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } = \iint _ { z } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ .
$$

于是就引出了第二型曲面积分的概念.

## 2概念

第二型曲面积分的被积函数 $F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k$ 定义在光滑的空间有向曲面Σ上，其物理背景是向量函数 $F ( x , y , z )$ 通过曲面Σ的通量：

$$
\int \limits _ { \Sigma } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ .
$$

由此可以看出，第二型曲面积分是一个向量函数通过某有向曲面的通量(无几何量可言).要加强和前面所学积分的横向对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了.

## ③性质 与第二型曲线积分是一样的

以下总假设Σ是有向分片光滑曲面.

线性性质，这个本身是点积性质里的，当然成立了：

性质1（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则 $\iint _ { \Sigma } \left( k _ { 1 } \boldsymbol { F } _ { 1 } \pm k _ { 2 } \boldsymbol { F } _ { 2 } \right) \bullet \mathrm { d } \boldsymbol { S } = k _ { 1 } \underset { \Sigma } { \iint } \boldsymbol { F } _ { 1 } \bullet \mathrm { d } \boldsymbol { S } \pm k _ { 2 } \underset { \Sigma } { \iint } \boldsymbol { F } _ { 2 } \bullet \mathrm { d } \boldsymbol { S }$

性质2（积分的方向性） $\iint _ { \Sigma ^ { - } } \boldsymbol { F } \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } = - \iint _ { \Sigma ^ { + } } \boldsymbol { F } \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S }$ ，其中Σ为 $\Sigma ^ { + }$ 的另一侧.

![](images/a626821cd30a70188d5af4e7b33d820cdfb40047d0a61fe820c40f153e0f13ed.jpg)

性质3（积分的可加性）当 $\varSigma _ { 1 } \cup \varSigma _ { 2 } = \varSigma , \varSigma _ { 1 } \cap \varSigma _ { 2 } = \emptyset$ 时， $\iint _ { \varSigma } F \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } = \iint _ { \varSigma _ { 1 } } F \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } + \iint F \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S }$

大曲面：分成两块，等于流过这两块曲面通量之和.

注第二型曲面积分的“对称性”（与第二型曲线积分类似，第二型曲面积分是没有几何上的对称性的，要说对称性，只是在计算出数量后，有一个形式上的抵消或者两倍，仅此而已.)

曲面是关于 $x O z$ 面对称的有向曲面，设函数 $Q ( x , y , z ) = x y ^ { 2 } z$ （关于y的偶函数），则有

$$
\int \limits _ { 5 } ^ { \infty } \int \limits _ { 0 } ^ { \infty } ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x = \int \int x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x = 0 \ .
$$

以下从两个角度解释上述结果：

①如图18-21所示，对称的两处dS的法向量在j方向上的投影方向相反，故 $Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x =$ $x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x , Q ( x , - y , z ) ( - \mathrm { d } z \mathrm { d } x ) = - x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x$ 于是 $\iint _ { \Sigma } x y ^ { 2 } z \mathrm { d } z \mathrm { d } x = 0$

②从通量的角度来理解，一般规定，流入为负通量，流出为正通量.如图18-22所示，从A流入，从B流出，通量为0，故积分为0.

![](images/8ae4a73d4b0ff53a2418d737d08f465f8b32652b88afbcd2a18bd3f2c569f34a.jpg)  
图18-21

![](images/a5629b72dcb24b76108a0b40b002ded7ac1bc25ff29e4ecb38f8b6a3900921a6.jpg)  
图18-22

## 4计算

(1)基本方法—化为二重积分. $\iiint _ { \Sigma } f ( x , y , z ) \mathrm { d } S$ ，其中 $\mathrm { d } S = \varsqrt { 1 + ( z _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( z _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \biggl ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \frac { 1 } { \cos { \gamma } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ①拆成三个积分(如果有的话)，一个一个做：

$$
\iint _ { \Sigma } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y
$$

$$
= \int _ { \stackrel { z } { z } } P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + \int _ { \stackrel { z } { z } } Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + \int _ { \stackrel { z } { z } } P ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ .
$$

②分别投影到相应的坐标面上.

例如，对于 $\iiint _ { \Sigma } R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，将曲面Σ投影到 $x O y$ 平面上去.

a.若Σ在 $x O y$ 平面上的投影为一条线，即Σ垂直于xOy平面，则此积分为零.

注(1)对于第一型曲面积分而言，投影时并不允许随便选择投影方向，要确保 $z = z ( x , y )$ 写得出来才行，如果写不出函数，说明此时的投影方向是错的.

![](images/a481016754fd7073176e9edef3b99a860064fac62c79470c08203d3ef8a45fb7.jpg)

(2)在第二型曲面积分中，dydz，dzdx，dxdy这三个不能想换什么换什么，一旦要转换投影，要先经过计算，确保能转化为dxdy，才能往xOy面投影.类似地，如果是转化为dzdx，只能往xOz面投影，如果是转化为dydz，就只能往 $y O z$ 面投影

对于图示的无底无顶铁圆柱桶，若求其质量。用到的是第一型曲面积分，泣意，计算时不能往xOy面投影（因为x，y取定值时，对应无数多个z，z=z（x，y）是多值函数），只能往yOz面（前，后）或xOz面（左，右）投影.在往yOz面或xOz面投影时，还要把柱面切成两部分（若不切，也是多值函数）分别去求第一型曲面积分，然后把两个积分相加

对于圆柱面Σ，有 $\iint _ { \Sigma } R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint _ { \Sigma } R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0$ 线上的二重积兮当然是零

b.若不是 $\because a ^ { \dag }$ 的情形，且Σ上存在两点，它们在 $x O y$ 平面上的投影点重合，则应将Σ剖分成若干个曲面片，使对于每一曲面片上的点投影到 $x O y$ 平面上的投影点不重合.

c.假设已如 $\ " \mathbf { b } \ "$ 剖分好了，不妨将剖分之后的曲面片仍记为Σ.此时将Σ的方程写成 $z = z ( x , y )$ 的形式（只有投影到 $x O y$ 平面上的投影点不重合时，∑的方程才能写成 $z = z ( x , y )$ 的形式).

③一投二代三计算.

a.一投：确定出Σ在xOy平面上的投影域 $D _ { y }$

b.二代：将 $z = z ( x , y )$ 代人 $R ( x , y , z )$

c.三计算：将dxdy写成±dxdy.其中 $" \pm "$ 号选取方式如下.

类比第二型曲线积分：  
JL:a→b Pdx  
a<b=+dx  
a>b=-dx

当当 $\cos \gamma > 0$ ，即Σ的法向量与z轴交角为锐角，亦即当Σ的指定侧为上侧时，取“+”；$\cos \gamma < 0$ ，即Σ的法向量与z轴交角为钝角，亦即当Σ的指定侧为下侧时，取“-”于是便得

![](images/e04d36b08233db4e182e3486f9948a2a8c03d4ba0420f4bd72e4488c0475f9af.jpg)

## 考研数学基础30讲·高等数学分册

注必须注意，上式等号左边是第二型曲面积分， $\iint _ { \Sigma }$ 表明了这件事，其中dxdy为有向曲面微元在 $x O y$ 平面上的投影分量；等式右边是xOy平面上的二重积分， $\iint _ { \mathcal { D } _ { \it 3 7 } }$ 表明了这件事，其中dxdy为二重积分的面积微元，R中的z已用Σ的方程 $\boldsymbol { z } = \boldsymbol { z } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } )$ 代入了，它是x，y的函数.两个dxdy虽然写法样，但其意义不一样

其他两个第二型曲面积分的计算与此类似，请考生参照“②，③”两条自行写出。

④计算已转化成的二重积分.

例18.22 设直线L过点A(-1,0,1)与B(0,0,O)，L绕z轴旋转一周得曲面 $\varSigma _ { 0 }$ ，计算$I = \oiint _ { \Sigma } \frac { \mathrm { e } ^ { z } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，其中Σ是由 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } _ { 0 } , z = 1 , z = 2$ 所围有界闭区域的边界曲面，取外侧.就是铅直方向的流量

分析先写出曲面 $\scriptstyle { \mathcal { L } } _ { 0 }$ ，然后选面求积分，之后加起来即可.

$\left\{ \begin{array} { l l } { x = - 1 + t } \\ { y = 0 , } \\ { z = 1 - t , } \end{array} \right.$ ， $\left\{ { x = - z \atop y = 0 } \right.$ 解 L的方程为 ${ \frac { x + 1 } { 1 } } = { \frac { y } { 0 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } }$ ，可得其参数方程为 即

由第17讲“三、 $2 . ( 4 ) ^ { " }$ 中的注，有 $\varSigma _ { 0 }$ 的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z ^ { 2 } + 0 = z ^ { 2 }$

如图18-23所示，记 $\begin{array} { r } { \Sigma = \Sigma _ { 1 } + \Sigma _ { 2 } + \Sigma _ { 3 } } \end{array}$ ，其中 $\Sigma _ { 1 } : z = 1 , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \ ; \quad \Sigma _ { 2 } : z = 2 , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4$ $\scriptstyle \sum _ { 3 } \colon z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , 1 \leqslant z \leqslant 2$ .则

$$
I = \oiint _ { \Sigma } = \iint _ { \Sigma _ { 1 } } + \iint _ { \Sigma _ { 2 } } + \iint _ { \Sigma _ { 3 } } ,
$$

$$
\iint _ { \Sigma _ { 1 } } = - \iint _ { { D _ { 1 } } } \frac { { \mathrm { e } } ^ { 1 } } { \sqrt { { x } ^ { 2 } + { y } ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y = - { \mathrm { e } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \mathrm { d } } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { r } \cdot r { \mathrm { d } } r = - 2 \pi { \mathrm { e } } \ ,
$$

$$
\int \int _ { \Sigma _ { 2 } } = \int \int \frac { \mathrm { e } ^ { 2 } } { D _ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y = \mathrm { e } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \mathrm { d } } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { r } \cdot r { \mathrm { d } } r = 4 \pi \mathrm { e } ^ { 2 } \ ,
$$

![](images/f137fc89019753695e3b577752bc9a1c6f1199b4162fd2c1e155c6f3ce761732.jpg)

$$
\iint _ { \Sigma _ { 3 } } = - \iint _ { D _ { 3 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \mathrm { e } ^ { r } } { r } \bullet r \mathrm { d } r = - 2 \pi ( \mathrm { e } ^ { 2 } - \mathrm { e } ) \ ,
$$

图18-23

其中 $D _ { 1 } = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \} , D _ { 2 } = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 \} , D _ { 3 } = \{ ( x , y ) | 1 \leqslant x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 \}$ .故

$$
I = - 2 \pi \mathrm { e } + 4 \pi \mathrm { e } ^ { 2 } - 2 \pi ( \mathrm { e } ^ { 2 } - \mathrm { e } ) = 2 \pi \mathrm { e } ^ { 2 } \ .
$$

(2)转换投影法.

①转换投影法中有向曲面正向单位法向量的求法.

设£ $: z = z ( x , y )$ ，其中z有一阶连续偏导数，则

$$
{ \pmb { n } } = ^ { \ast } \pm ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \displaystyle \frac { \partial z } { \partial x } , - \displaystyle \frac { \partial z } { \partial y } , 1 \right) ,
$$

当上侧为正时，取 $" + "$ ；下侧为正时，取 $^ { * } - { } ^ { p }$ .（上正下负）

注同理，设 $\Sigma : y = y ( x , z )$ ，其中y有一阶连续偏导数，则

$$
{ \pmb { n } } = ^ { \alpha } \pm ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \partial y } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \partial y } { \partial z } \right) ^ { 2 } } } \left( - \displaystyle \frac { \partial y } { \partial x } , 1 , - \displaystyle \frac { \partial y } { \partial z } \right) ,
$$

当右侧为正时，取 $" + "$ ；左侧为正时，取 $^ { 6 6 } - { } ^ { p }$ （右正左负）

设 $\Sigma : x = x ( y , z )$ ，其中x有一阶连续偏导数，则

$$
\pmb { n } = ^ { \infty } \pm ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial x } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial x } { \partial z } \right) ^ { 2 } } } \left( 1 , - \frac { \partial x } { \partial y } , - \frac { \partial x } { \partial z } \right) ,
$$

当前侧为正时，取 $" + "$ ；后侧为正时，取 $^ { * } - { } ^ { p }$ （前正后负）

例18.23 已知曲面 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } : z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$ ，下侧为正，求其正向单位法向量.

解因为 ${ \frac { \partial z } { \partial x } } = { \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } , { \frac { \partial z } { \partial y } } = { \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } }$ ，且下侧为正，所以其正向单位法向量为

$$
n = - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial z } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial z } { \partial y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } , - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \sigma } y } , 1 \right) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left( \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , - 1 \right) .
$$

例18.24 若柱面 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的外侧为正，求其后半柱面正向单位法向量.

解 后半柱面，后侧为正， $x = - { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } }$ $\pmb { n } = - \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } \left( 1 , - \frac { y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } , 0 \right)$

②转换投影定理.

设曲面 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } : z = z ( x , y )$ ，z有一阶连续偏导数，且 $P ( x , y , z )$ ，Q(x，y,z）， $R ( x , y , z )$ 在Σ上连续，则

$$
\begin{array} { r l r } {  { \int _ { \Sigma } \int \int P ( x , y , z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q ( x , y , z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ & { } & { = \stackrel { \omega } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { * } \displaystyle \iint _ { D } ( - P \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } - Q \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } + R ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ , } \end{array}
$$

其中 $P = P { \big [ } x , y , z ( x , y ) { \big ] }$ ，Q=Q[x,y,z(x,y)]， $R = R \left[ x , y , z ( x , y ) \right]$

考研数学基础30讲·高等数学分册

注证因为

$$
\pmb { n } = ^ { \ast } \pm ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle \frac { \partial z } { \partial y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \frac { \partial z } { \partial x } , - \frac { \partial z } { \partial y } , 1 \right) ,
$$

$$
\mathrm { d } S = \sqrt { 1 + \left( \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \hat { \sigma } z } { \hat { \sigma } y } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \mathrm { ~ , ~ }
$$

并记 $\boldsymbol { F } = ( P , \boldsymbol { Q } , \boldsymbol { R } ) , \mathrm { d } \boldsymbol { S } = ( \mathrm { d } y \mathrm { d } z , \mathrm { d } z \mathrm { d } x , \mathrm { d } x \mathrm { d } y )$ ，则

$$
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \iint \int P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \displaystyle \iint _ { z } F ( x , y , z ) \cdot \mathrm { d } S = \displaystyle \iint _ { z } F ( x , y , z ) \cdot n \mathrm { d } S } \\ & { \quad = \displaystyle \iint ( P , Q , R ) \cdot \left[ \frac { 1 } { \pm \sqrt { 1 + \left( \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } \right) ^ { 2 } } } \left( - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } , - \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } , 1 \right) \right] \mathrm { d } S } \\ & { \quad \quad = \displaystyle \frac { \nu _ { \mathrm { d } } } { \pm \nu } \cdot \displaystyle \iint \left( - P \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } x } - Q \frac { \hat { \alpha } z } { \hat { \alpha } y } + R \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y , } \end{array}
$$

其中，“士”的选取显然就是前述①的情形。

例18.25 设Σ为曲面 $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ( z \leqslant 1 )$ 的上侧，计算曲面积分

$$
I = \int \int _ { \Sigma } { ( x - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z } + ( y - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + ( z - 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ .
$$

解 曲面Σ在 $x O y$ 坐标面上投影域为 $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$ .因为 $\frac { \hat { o } z } { \hat { o } x } = 2 x$ $\frac { \partial z } { \partial y } = 2 y$ ，所以

$$
\begin{array} { r l } {  { I = \iint _ { \Sigma } \int ( x - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( y - 1 ) ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + ( z - 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ & { = \underset { \underset { D } { \int } } { \iint } \Bigl [ ( x - 1 ) ^ { 3 } \ast ( - 2 x ) + ( y - 1 ) ^ { 3 } \ast ( - 2 y ) + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 ) \Bigr ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { = - \underset { \underset { D } { \int } } { \iint } ( 2 x ^ { 4 } - 6 x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } - 2 x + 2 y ^ { 4 } - 6 y ^ { 3 } + 5 y ^ { 2 } - 2 y + 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ . } \end{array}
$$

因为区域D关于坐标轴对称，所以 $\iint _ { D } ( - 6 x ^ { 3 } - 2 x - 6 y ^ { 3 } - 2 y ) \mathop { } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0$ ，从而

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle { I = - \int _ { D } \int _ { D } ( 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 4 } + 5 y ^ { 2 } + 1 ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { \displaystyle { \quad = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \Bigl [ 2 r ^ { 4 } ( \cos ^ { 4 } \theta + \sin ^ { 4 } \theta ) + 5 r ^ { 2 } + 1 \Bigr ] r \mathrm { d } r } } \end{array}
$$

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \biggl [ \frac { 1 } { 3 } ( \cos ^ { 4 } \theta + \sin ^ { 4 } \theta ) + \frac { 7 } { 4 } \biggr ] \mathrm { d } \theta } } \\ { { \displaystyle = - \frac { 7 \pi } { 2 } - \frac { 8 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 4 } \theta \mathrm { d } \theta = - \frac { 7 \pi } { 2 } - \frac { 8 } { 3 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 1 } { 2 } \times \frac { \pi } { 2 } = - 4 \pi ~ . } } \end{array}
$$

(3)高斯公式·联想到格林公式

设空间有界闭区域 $\varOmega \vert$ 由有向分片光滑封闭曲面Σ围成， $P ( x , y , z ) ~ , ~ Q ( x , y , z ) , ~ R ( x , y , z )$ 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式 边界曲面上的第二型曲面积分化为内部立体的三重积兮

$$
\iint \displaylimits _ { \frac { L } { \rho } } ^ { \rho } P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint \displaylimits _ { \frac { L } { \rho } } ^ { \left[ \widehat { \partial } P \right. } \left( \frac { \partial Q } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \right) \mathrm { d } \nu ,
$$

其中，Σ是Ω的整个边界曲面的外侧.

![](images/25bcce504f8f4f6c30c734a35c43ce4057f6da6d444855f4fe347f4e57bfd6b5.jpg)

注第二型曲面积分与“源”的概念是紧密联系的，所以就有了散度的概念，在空间区域上的某点处的散度是指这个点发散的强度.如果在一个空间区域上，每一点处的三个偏导数加起来都是零，那就说明每一点处的散度都是零，即这个场是没有源头的，也就是说每一点都没有发散，也没有吸收，是个安安静静的场，称之为“无源场”

如 $\oint P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y \equiv 0$ 即任何一点都是没有散度的，是个“无源场”，则 $\frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } = 0$

①封闭曲面且内部无奇点，直接用高斯公式.

例18.26 设空间有界区域Ω由柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 与平面z=0和 $x + z = 1$ 围成．Σ为Ω的边界曲面的外侧.计算曲面积分

$$
I = \oiint 2 x z { \mathrm { d } } y { \mathrm { d } } z + x z \cos y { \mathrm { d } } z { \mathrm { d } } x + 3 y z \sin x { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y ~ .
$$

分析首先将该曲面积分通过高斯公式转化为三重积分，然后利用概念、对称性化简，最后再计算剩下的部分.

![](images/dc19773c03c04843950c2afe0d5af5e4de8eb6508fb9c2ca3b3d1339e4bcf574.jpg)

解 根据高斯公式，得

进入多少

$$
I = \int \limits _ { \Omega } \iint ( 2 z - x z \sin y + 3 y \sin x ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z \ .
$$

因为Ω关于 $x O z$ 坐标面对称，所以

因为 $y  - y$ V 时，Ω不变，故Ω关 $\iiint x z \sin y \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = 0 , \iiint 3 y \sin x \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = 0$ 于xOz坐标面对称.

记 $D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 \}$ ，则

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle { I = \iint \iint 2 z \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \iint _ { D } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { 1 - x } 2 z \mathrm { d } z } } \\ { \displaystyle { \ } } \\ { \displaystyle { = \iint _ { D } ( 1 + x ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \pi + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 3 } \mathrm { d } r = \frac { 5 \pi } { 4 } \ . } } \end{array}
$$

方法总结）计算三重积分时，利用好概念、对称性.

②非封闭曲面，且 $\mathrm { d i v } F = { \frac { \partial P } { \partial x } } + { \frac { \partial Q } { \partial y } } + { \frac { \partial R } { \partial z } } \neq 0$ ，补面使其封闭（加面减面).

例18.27 计算 $\iint _ { \Sigma } \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } }$ ，其中Σ为下半球面 $z = - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$ 的上侧．

分析利用第二型曲面积分的替代法，然后补面用高斯公式.

解先将 $( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 1$ 代入被积函数.

![](images/e9ca28ffc1d4524225ffa0579ad92cedd6def98cf00e137b3e23275719a40608.jpg)

$$
I = \int _ { \stackrel { z } { z } } \int _ { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \underline { { x \mathrm { d } } } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } = \int _ { \stackrel { z } { z } } \int _ { x } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ .
$$

补充一块有向平面 $\begin{array} { l } { \displaystyle { \boldsymbol { \itSigma } _ { 1 } : \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 } \\ { \displaystyle z = 0 , } \end{array} \right. } } \end{array}$ 其法向量与z轴正向相反，从而得到

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \iint _ { z + z _ { 1 } } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y - \iint _ { z _ { 1 } } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( z + 1 ) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle = - \iint _ { z 2 } \lVert \int _ { 0 } ( 3 + 2 z ) \mathrm { d } \nu + \iint _ { D } 1 \mathrm { d } x \mathrm { d } y ~ , } } \end{array}
$$

其中Ω为 $\scriptstyle { \mathcal { Z } } + { \mathcal { Z } } _ { 1 }$ 围成的空间区域，D为z=0上的平面区域 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1$ ，于是

$$
I = - 2 \pi - 2 \iiint z \mathrm { d } \nu + \pi = - \pi - 2 \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r \mathrm { d } r \int _ { - \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } } ^ { 0 } z \mathrm { d } z = - \frac { \pi } { 2 } \ .
$$

★③封闭曲面，有奇点在其内部，且除奇点外 $\stackrel { \mathcal { k } } { \cdot } \stackrel { \mathcal { k } } { \partial \mathrm { i v } } F = 0 \mathrm { \ }$ 可换个面积分（边界无须与原曲面重合）

注为什么可以换个面积分？divF=0是指所给场无“源”，于是通过任何封闭曲面（且无奇点在其内部）的通量为0.如图18-24所示，由于 $\iint _ { \Sigma + \Sigma _ { 1 } } = 0$ 是 $\iint _ { \Sigma } = - \iint _ { \Sigma _ { 1 } } = \iint _ { \Sigma _ { 1 } }$ (∑与 $\textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 }$ 同向）

![](images/4c714b96a6cbccb7f9e7e1020f66d967b23632b193876ae588651919930ba8ed.jpg)  
图18-24

有时虽然所给的曲面是一张封闭曲面，法向量指的也是外侧，但“在Σ所包围的有界闭区域5的内部有奇点，但除奇点外P，Q，R具有连续的一阶偏导数，且满足 $\frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \equiv 0 \ ^ { , , }$ .此时，可以作一封闭曲面 $\varSigma _ { 1 } \subset \varOmega$ ，将上述使偏导数不连续的点都包含在 $\varSigma _ { 1 }$ 的内部， $\varSigma _ { 1 }$ 的法向量指向它所包围的有界区域的外侧，则有公式

$$
\oint _ { \cal { L } } P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \oint _ { \cal { L } _ { 1 } } P \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ .
$$

$$
= \varepsilon ^ { 2 }
$$

如果后一积分比前一积分容易计算，就达到化难为易的目的了．

例18.28 设£是椭球面 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } = 1$ ，法向量指向外侧，则 $\begin{array} { r } { \oint _ { z } \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } = } \end{array}$

分析）与格林公式的挖洞法是一样的，除奇点外，通量全是零，包围奇点的任一曲面的积分都是相等的.  
解 应填4π.

经计算有

$$
\frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \equiv 0 , \frac { \ d y } { \ d z } \left( x , y , z \right) \ne \left( 0 , 0 , 0 \right) .
$$

但是这里不能用高斯公式，因为在Σ内部的点O(0,0,0)处，P,Q,R都不连续，故在Σ内部作一球面

$$
\Sigma _ { 1 } \colon x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r > 0 ) ,
$$

它的法向量指向球面外侧，于是有

![](images/273b7dcb6a625d29eaade750b367bb08b06443170f3d65d321a3d65c562ae954.jpg)  
，

$$
\begin{array} { r l } & { \quad \quad \oint \oint \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \frac { ( x ) } { x } \frac { \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \oint \oint \frac { x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { x _ { 1 } } } \\ & { \qquad \quad \frac { ( x ) } { r ^ { 3 } } \oint \oint x \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z \mathrm { d } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { \qquad \frac { ( x ) } { r ^ { 3 } } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \iint \int \int \mathrm { d } y \mathrm { d } \nu = \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \cdot 3 \cdot \frac { 4 } { 3 } \pi \nu ^ { 3 } = 4 \pi \mathrm { , } } \end{array}
$$

其中(\*)处来自高斯公式， $\varOmega _ { \mathrm { r } }$ 为 $\varSigma _ { 1 }$ 所包围的闭球域.

方法总结挖洞后利用高斯公式，在包围奇点的任一曲面上的积分都是相等的.

□ 例18.29 计算

$$
\begin{array} { r } { I = \displaystyle \iint \big | x y \big | z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \Big [ \big | x \big | y ^ { 2 } z \mathrm { d } y \mathrm { d } z \Big ] , \textit { \textmd { d } \textless \oint \textmu z = 1 \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } z } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \downarrow \ , } \\ { \underset { \textit { \enclose{circle} { 1 } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { \tiny ~ \times ~ \Omega } } } { \mathrm { \oint \mathrm { i } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } } } \mathrm { d } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } \mathrm { \Omega } } \end{array}
$$

其中Σ为 $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ 与z=1所围区域Ω的表面，方向向外.

分析这个题稍难，但并非难题，可以利用概念解题，一个卦限的通量×4即可．

$$
I = 4 { \left( \int \limits _ { 5 } ^ { \infty } f ( \mathbf { j } ) d \mathbf { j } \right) }
$$

$$
= 4 \left[ \underset { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 } { \iint } \ \underset { \ast x } { \iiint } \ \underset { \ast \mathrm { d } x \mathrm { d } y } + \underset { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 } { \iint } \ x y ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( - \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) \right] = \frac { 1 } { 4 } \mathrm { , }
$$

其中 $\textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 }$ 为图18-25所示卦限的上面， $\varSigma _ { 2 }$ 为图18-25所示卦限的侧面，

本题也可利用高斯公式去解题.方法见解.

![](images/95f4422c770575c86bb8f05bb1420238ed6c8f80b447d50d358f9377683b1ac2.jpg)

解 由题设得， $I = \oiint _ { z } \left. x y \right. z ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y +$ 州 $y ^ { 2 } z \mathrm { d } y \mathrm { d } z \overset { \mathrm { i }  } { \mathrm { = } } I _ { 1 } + I _ { 2 }$ ，如图18-25所示，则

$$
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } \frac { \widetilde { H } _ { 1 } \widetilde { H } _ { 1 } } { 2 \widetilde { x } \widetilde { x } } \iiint [ | x y | \cdot 2 z \mathrm { d } y - \iiint ( \big | 2 | x y | z \mathrm { d } y   } \\ & {   - 8  \int   ( x y \mathrm { Z } \mathrm { d } v - 8 \big ) \iint \mathrm { d } \sigma \int _ { x ^ { + } y ^ { * } } ^ { 1 } x y z \mathrm { d } z   } \\ & {    x _ { x , y , \infty } ^ { 0 }  \qquad \quad \quad \quad \quad \quad x _ { x , y , \infty } ^ { + + } \mathrm { e } ^ { 2 }  \mathrm { e } ^ { 4 } } \\ & { = 4 \iint \mathrm { J }  1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 }  \mathrm { d } \sigma } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad x _ { x , y , \infty } ^ { + + } } \\ & { = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta ( 1 - r ^ { 4 } ) r \mathrm { d } r = \frac { 1 } { 4 } \ . } \end{array}
$$

![](images/7816087881feb347d40befa1535d9e2fa44a42cad3113db91567e53e4d4761ee.jpg)  
图18-25

$I _ { 2 }$ 不能用高斯公式，因 $\frac { \hat { \sigma } } { \hat { \sigma } x } ( \left| x \right| y ^ { 2 } z )$ 在x=0，yz≠0处不存在.而在点(x，y，z)与点 $( - x , y , z )$ 处的通量分别为 $\left| x \right| y ^ { 2 } z \mathrm { d } y \mathrm { d } z$ 与x $y ^ { 2 } z ( - \mathrm { d } y \mathrm { d } z )$ ，又在面z=1上dz=0，故 $I _ { 2 } = \oiint _ { \Sigma } \left| x \right| y ^ { 2 } z \mathrm d y \mathrm d z = 0$ .于是 $I = \frac { 1 } { 4 }$

![](images/3222549a1891b9b0a0e21f2d2394f4284bd72a71f7c04a4f7c70063dc66de5eb.jpg)

## 空间第二型曲线积分的计算

![](images/d8320e44b4f720f2330b3893bf2aedd9c376f10d7a78d2cce73910c6c5126d6e.jpg)

①一投二代三计算.（基本方法）

设厂： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , t \colon \alpha \to \beta } \\ { z = z ( t ) , } \end{array} \right.$ ，则有

$$
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \int _ { r } P \mathrm { d } \boldsymbol { x } + Q \mathrm { d } y + R \mathrm { d } z } \\ & { = \displaystyle \int _ { \alpha } ^ { \beta } \{ P [ \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { z } ( t ) ] \boldsymbol { x } ^ { \prime } ( t ) + Q [ \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { z } ( t ) ] \boldsymbol { y } ^ { \prime } ( t ) + R [ \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { z } ( t ) ] \boldsymbol { z } ^ { \prime } ( t ) \} \mathrm { d } t \ . } \end{array}
$$

②用斯托克斯公式.—→实现边界与内部的转换

设Ω为某空间区域，£为Ω内的分片光滑有向曲面片，「为逐段光滑的Σ的边界，它的方向与Σ的法向量成右手系，函数 $P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z )$ 与 $R ( x , y , z )$ 在Ω内具有连续的一阶偏导数，则有斯托克斯公式：

$\oint _ { r } { P \mathrm { d } x } + Q \mathrm { d } y + R \mathrm { d } z = \iint _ { \Sigma } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } y \mathrm { d } z } & { \mathrm { d } z \mathrm { d } x \quad \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \displaystyle P } & { \displaystyle Q } & { \textit { \textbf { R } } } \end{array} } \end{array} \right\}$ （此为第二型曲面积分形式）$= \iint _ { \Sigma } \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \Bigg | ,$ dS（此为第一型曲面积分形式），

其中 ${ \pmb n } ^ { \circ } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )$ 为Σ的单位外法向量.

注可以证明（这里不证），公式的成立与绷在厂上的曲面大小、形状无关，如图18-26所示，有網 $\oint _ { r } = \iint _ { \Sigma _ { 1 } } = \iint _ { \Sigma _ { 2 } }$

举个容易理解的例子，小孩玩的泡泡棒（泡泡机），蘸了肥皂水吹一下泡泡就出来了，Γ就是蘸肥皂水的塑料圈，上面绷着的就是泡泡，在这些泡泡中无论是哪个，不管大小和形状，都可以作为计算公式中的∑  
再问大家，绷在厂上的什么曲面最简单？答得好，平面！在泡泡还没有脱离圈圈之前可…有各种形状，但最简单的形状是平面，是吹之前的最原始的形状！

![](images/ff51cc6f212b981a350e11dd61fb39549e36ca80e7ce382b60ca72240426c184.jpg)  
图18-26

例18.30 已知曲线L的方程为 $\left\{ { \begin{array} { l } { z = { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } \\ { z = x , } \end{array} } \right.$ 起点为 $A ( 0 , { \sqrt { 2 } } , 0 )$ ，终点为 $B ( 0 , - \sqrt { 2 } , 0 )$ 计算曲线积分 $I = \int _ { L } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z$

2 T分析方法一利用基本方法（参数法）.0-2 B

![](images/41f687298fb72059b7807ec11fc18c6d8b3dde86d769f918c0829ca3d08f71a0.jpg)

方法二利用斯托克斯公式.

![](images/91084a2d522bef91931c22f7589381ed214f9d0681b410ff5fcdc410e1e9387e.jpg)

方法三利用做功取微元分析.

对于i方向做功微元： $( - y + z ) ( - \mathrm { d } x ) + ( y + z ) \mathrm { d } x = 2 y \mathrm { d } x$

对于j方向做功微元： $( - y ) \mathrm { d } y + y \mathrm { d } y = 0$

对于k方向做功微元： $x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( - \mathrm { d } z ) + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z = 0$

解方法一由 $\left\{ { \begin{array} { l } { z = { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } } \\ { z = x } \end{array} } \right.$ '得 ${ \sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } = x$ ，即 $2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ ，亦即 $x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$

于是曲线L的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = \cos t , } \\ { y = { \sqrt { 2 } } \sin t } \\ { z = \cos t , } \end{array} \right. }$ ，t从 $\frac { \pi } { 2 }$ （起点A）到 $- { \frac { \pi } { 2 } }$ （终点B）.

$$
\begin{array} { r l } & { I = \int _ { L } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z } \\ & { = \int _ { \frac { z } { 2 } } ^ { \frac { x } { 2 } } [ ( \sqrt { 2 } \sin t + \cos t ) \cdot ( - \sin t ) + \sqrt { 2 } \sin t \cdot \sqrt { 2 } \cos t + \cos ^ { 2 } t \cdot 2 \sin ^ { 2 } t \cdot ( - \sin t ) ] \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \frac { z } { 2 } } ^ { \frac { x } { 2 } } ( - \sqrt { 2 } \sin ^ { 2 } t ) \mathrm { d } t = \int _ { \frac { z } { 2 } } ^ { \frac { z } { 2 } } \sqrt { 2 } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t } \\ & { = 2 \sqrt { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { z } { 2 } } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t = 2 \sqrt { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \pi } { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \pi \ . } \end{array}
$$

方法二设 $L _ { \eta }$ 是从点B到点A的直线段，£为平面z=x上由L与 $L _ { \eta }$ 围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为 $\left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } , 0 , - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \right)$ ，且在L与 $L _ { \mathrm { 1 } }$ 上，均有 $z ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 0$

由斯托克斯公式，

$$
\oint _ { L + L _ { 1 } } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z
$$

$$
= \iint _ { \Sigma } \left| \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \displaystyle \frac { y + z } { y + z } } & { y } & { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } \end{array} \right| \mathrm { d } S = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \iint ( 2 x ^ { 2 } y + 1 ) \mathrm { d } S \ .
$$

因为曲面Σ关于xOz平面对称，所以 $\iint _ { \varSigma } 2 x ^ { 2 } y \mathrm { d } S = 0$ ，故

$$
\oint _ { L _ { L + L _ { 1 } } } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \iint \mathrm { d } S = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi ~ .
$$

又 $L _ { \eta }$ 的参数方程为 $x = 0 , y = y , z = 0 \ ( \ y \not \cup - \sqrt { 2 }$ 到 $\sqrt { 2 } )$ ，所以

$$
\int _ { L _ { 1 } } ( y + z ) \mathrm { d } x + ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } + y ) \mathrm { d } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z = \int _ { - \sqrt { 2 } } ^ { \sqrt { 2 } } y \mathrm { d } y = 0 \ .
$$

因此 $I = \oint _ { L + L _ { 1 } } - \int _ { L _ { 1 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi$

方法三如图18-27所示，在点(x，y,z)和(x,-y，z)处的三个方向的通量分别为

$$
\begin{array} { r } { ( y + z ) \mathrm { d } x , ( - y + z ) ( - \mathrm { d } x ) , } \\ { \qquad \quad } \\ { y ( - \mathrm { d } y ) , ( - y ) ( - \mathrm { d } y ) , } \\ { \qquad \quad } \\ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } \mathrm { d } z , x ^ { 2 } y ^ { 2 } ( - \mathrm { d } z ) . } \end{array}
$$

于是

$$
I = \int _ { L } y \mathrm { d } x { \frac { \mathrm { d } | { \mathcal { H } } | { \mathcal { H } } { \mathrm { i } } \Sigma - } { \frac { \pi } { 2 } { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } } \sin t \mathrm { d } ( \cos t ) } } = 2 { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { 2 } t \mathrm { d } t = 2 { \sqrt { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } } \bullet { \frac { \pi } { 2 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi \ .
$$

![](images/cc6b4a5da63e00c544261898b3b37a4566952e38d8b3305e569e0a42b8005af3.jpg)  
图18-27

![](images/a50417308a0164683b06eb47d97b7e159516d0dbf639f26896657b685f6f59d5.jpg)

## 基础习题精练

## 习题

18.1设L为曲线 $\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y + z = 0 , } \end{array} } \right.$ 则 $\oint _ { L } ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } s = \left( \begin{array} { l l l } { \begin{array} { r l } \end{array} } & { \begin{array} { r l } \end{array} } & { } \end{array} \right)$ （A) $2 7 \pi$ (B) 18π (C) 12π (D) 6π

18.2设£为球面 $( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = 1$ ，则 $\bigoplus _ { \mathfrak { x } } ( 2 x + 3 y + z ) \mathrm { d } S = \left( \begin{array} { l l } { \quad } & { \quad } \end{array} \right)$ (A)4π (B)2π （C）π (D)0

18.3设L是柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 与平面 $z = x + y$ 的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\oint _ { L } x z \mathrm { d } x + x \mathrm { d } y + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { d } z =$

18.4设L为取正向的圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 } , a > 0$ ，则曲线积分 $\oint _ { L } \frac { ( \mathbf { e } ^ { x ^ { 2 } } - x ^ { 2 } y ) \mathrm { d } x + ( x y ^ { 2 } - \sin y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$

18.5设Σ为球面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ ，则第一型曲面积分 $\bigoplus _ { z } x ( 4 x - z ) \mathrm { d } S =$

18.6设曲面 $\textstyle { \mathcal { Z } } : \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 1$ ，则 $\bigoplus _ { \Sigma } ( x + \vert y \vert ) \mathrm { d } S =$

18.7设Σ为球面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ 的外侧， $a > 0$ ，则第二型曲面积分 ${ \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ( x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x +$ M$z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) \ =$

18.8设Ω是由椭圆抛物面 $z = 4 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } )$ 和平面z=4所围成的区域，则三重积分 $\iiint _ { \mathcal { Q } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \nu =$

18.9设L为自点O(0,0)沿曲线y=sin x至点A(π,0)的有向弧段，计算平面第二型曲线积分

$$
I = \int _ { L } [ { \mathrm { e } } ^ { x } \cos y + 2 ( x + y ) ] { \mathrm { d } } x + \left( - { \mathrm { e } } ^ { x } \sin y + { \frac { 3 } { 2 } } x \right) { \mathrm { d } } y .
$$

18.10计算曲面积分 $\iint _ { \Sigma } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，其中Σ为有向曲面 $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ( 0 \leqslant z \leqslant 1 )$ ，其法向量与z轴正向夹角为锐角.

18.11设Σ为任意封闭曲面，

$$
I = \oiint _ { \mathscr { L } _ { \mathrm { p q e } } } \bigg ( x - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \bigg ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z - \frac { 4 } { 3 } y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + \bigg ( 3 y - \frac { 1 } { 3 } z ^ { 3 } \bigg ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \enspace .
$$

(1)证明Σ为椭球面 $x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ 时，I达到最大值;

(2)求I的最大值.

## 解答

18.1(B）解由轮换对称性可得

$$
\begin{array} { r } { \oint _ { L } ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) { \mathrm { d } } s = \oint _ { L } x ^ { 2 } { \mathrm { d } } s = \oint _ { L } \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { 3 } { \mathrm { d } } s } \\ { = 3 \oint _ { L } { \mathrm { d } } s = 3 ( 2 \pi \times 3 ) = 1 8 \pi ~ . } \end{array}
$$

18.2（A）解 $\bigoplus _ { \boldsymbol { \Sigma } } ( 2 x + 3 y + z ) \mathrm { d } S = 2 \big \{ \iint _ { \mathcal { X } } x \mathrm { d } S + 3 \big \} \big \{ \int _ { \mathcal { X } } y \mathrm { d } S + \big \{ \iint _ { \mathcal { Z } } z \mathrm { d } S$ ，又有 ${ \overline { { x } } } = { \frac { 1 } { S } }$ fxds, ${ \overline { { y } } } = { \frac { 1 } { S } }$ fyds,£ ∑$\overline { { z } } = \frac { 1 } { S }$ fzds是球面 $( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = 1$ 的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1,0,-1)处，故£

$$
\oint _ { \cal { S } } ( 2 x + 3 y + z ) \mathrm { d } { \cal { S } } = ( 2 \overline { { { x } } } + 3 \overline { { { y } } } + \overline { { { z } } } ) { \cal { S } } = ( 2 + 0 - 1 ) \bullet 4 \pi = 4 \pi \ .
$$

18.3π解方法一将L的方程化为参数形式

$$
\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos t , } \\ { y = \sin t , \qquad ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ) , } \\ { z = \cos t + \sin t } \end{array} \right.
$$

则

$$
\begin{array} { c } { { \displaystyle \oint _ { \cal L } x z \mathrm { d } x + x \mathrm { d } y + \frac { y ^ { 2 } } 2 \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left[ \cos t \cdot ( \cos t + \sin t ) \cdot ( - \sin t ) + \cos t \cdot \cos t + \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } t \cdot ( - \sin t + \cos t ) \right] \mathrm { d } t } } \\ { { { } } } \\ { { = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } t \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 + \cos 2 t } { 2 } \mathrm { d } t = \pi \ . } } \end{array}
$$

方法二 记S是平面 $z = x + y$ 上位于柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 内的部分，则S在 $x O y$ 平面上的投影为$D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 \}$ ，平面 $z = x + y$ 向上的单位法向量为 $\left( - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } , - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } , { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \right)$

根据斯托克斯公式，得

$$
\begin{array} { r l } { | \displaystyle \frac { - 1 } { \sqrt { 3 } }  } & { - \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }  \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } | } \\ {  \oint _ { L } x \mathrm { d } x + x \mathrm { d } y + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { d } z = \int _ { s } ^ { [ 1 ] }  \frac { \partial } { \partial x } \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { \partial y } } \end{array} | \mathrm { d } S } \\ { = \displaystyle \int \int \displaystyle \frac { 1 } { s } ( 1 - x - y ) \mathrm { d } S } \\ { = \displaystyle \iint \displaystyle \frac { 1 } { s } ( 1 - x - y ) \sqrt { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \pi \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
$$

18.4 ${ \frac { 1 } { 2 } } \pi a ^ { 2 }$ 解先将L的方程 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ 代人，得

$$
{ \begin{array} { l } { \displaystyle | { \overrightarrow { \mathfrak { H } } } | { \overrightarrow { \mathfrak { L } } } | = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \oint _ { L } ( \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - x ^ { 2 } y ) \mathrm { d } x + ( x y ^ { 2 } - \sin y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \iint _ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant a ^ { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { a } r ^ { 2 } \bullet r \mathrm { d } r = { \frac { 1 } { 2 } } \pi a ^ { 2 } ~ . } \end{array} }
$$

18.5 $\frac { 1 6 \pi } { 3 }$ 分析本题考查关于轮换对称性的判断.

①函数xz在Σ的8个卦限内，4正4负，且对应点有相同的绝对值，故 $\oint _ { z } ^ { } { \boldsymbol { x } } z \mathrm { d } S = 0$

②根据轮换对称性得到 $\oiint _ { \varSigma } { x ^ { 2 } \mathrm { d } \varSigma } = \oiint _ { \varSigma } { y ^ { 2 } \mathrm { d } \varSigma } = \oiint _ { \varSigma } { z ^ { 2 } \mathrm { d } \varSigma }$

解 $\iint _ { \Sigma } { x ( 4 x - z ) \mathrm { d } S } = \underset { \Sigma } { \iint } 4 x ^ { 2 } \mathrm { d } S = \frac { 4 } { 3 } \underset { \Sigma } { \iint } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \mathrm { d } S = \frac { 4 } { 3 } \underset { \Sigma } { \iint } \mathrm { d } S = \frac { 1 6 \pi } { 3 }$

18.6 ${ \frac { 4 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }$ 解曲面£对称于 $y O z$ 平面，x为关于x的奇函数，所以 $\bigoplus _ { z } x \mathbf { d } S = 0$ .又因Σ关于$x , y , \overset { \cdot } { z }$ 轮换对称，所以

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \iint \big | y \big | \mathrm { d } S = \displaystyle \iint \big | z \big | \mathrm { d } S = \displaystyle \iint \big | x \big | \mathrm { d } S , } \\ { \displaystyle \iint \big | y \big | \mathrm { d } S = \frac { 1 } { 3 } \iint ( | x | + | y | + \big | z \big | ) \mathrm { d } S = \frac { 1 } { 3 } \iint \mathrm { d } S } \\ { \displaystyle \qquad \quad = \frac { 1 } { 3 } \times A _ { z } , } \end{array}
$$

![](images/d29628176e9de28ec80bd23c5d8a43a74598493aa145c8ed792ac6fe2def235f.jpg)

其中 $A _ { \Sigma }$ 为Σ的面积.而Σ由8块同样的等边三角形组成，每块等边三角形的边长为 $\sqrt { 2 }$ ，所以

$$
A _ { \scriptscriptstyle 5 } = 8 \times { \frac { 1 } { 2 } } \times ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } \times \sin { \frac { \pi } { 3 } } = 4 \sqrt { 3 } \ ,
$$

所以 $\big | \big | y \big | \big | \big | \big | \big | \big | \big | = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { 3 }$ ，从而原式 $= { \frac { 4 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }$

18.7 ${ \frac { 1 2 } { 5 } } \pi a ^ { 3 }$ 解记Ω是£所围的空间区域.

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle \iint \frac { x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } = \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \oint \int x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \frac { 3 } { a ^ { 2 } } \iiint \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z } } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 3 } { a ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { a } r ^ { 4 } \sin \varphi \mathrm { d } r = \frac { 1 2 } { 5 } \pi a ^ { 3 } ~ . } } \end{array}
$$

18.8 $\frac { 2 } { 3 } \pi$ 解如图18-28所示，积分区域 $^ { g }$ 在 $x O y$ 面上的投影是一个圆心在原点的单位圆，所以

$$
\mathcal { Q } = \left\{ ( r , \theta , z ) \big | 0 \leqslant r \leqslant 1 , 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi , 4 r ^ { 2 } \leqslant z \leqslant 4 \right\} \ .
$$

![](images/b7e8418b4047848b0f66ed186d73a737e0f564824d96b2d8457ca9612ea0c0d7.jpg)

于是

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle { \iiint ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \nu = \iiint r ^ { 2 } \cdot r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \cdot r \mathrm { d } r \int _ { 4 r ^ { 2 } } ^ { 4 } \mathrm { d } z } } \\ { \displaystyle { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 4 r ^ { 3 } - 4 r ^ { 5 } ) \mathrm { d } r = \frac { 2 } { 3 } \pi \ . } } \end{array}
$$

图18-28

18.9解补线，用格林公式.

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \oint _ { L + \overline { { { A O } } } } - \int _ { \overline { { { A O } } } } = - \iint _ { D } \biggl [ - \displaystyle \frac 1 2 \biggl ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y - \int _ { \pi } ^ { 0 } ( \mathrm { e } ^ { x } + 2 x ) \mathrm { d } x } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle ~ = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \mathrm { s i n } x } \mathrm { d } y - ( \mathrm { e } ^ { x } + x ^ { 2 } ) \biggr | _ { \pi } ^ { 0 } } } \\ { { ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = \frac 1 2 \times 2 - [ 1 - ( \mathrm { e } ^ { \pi } + \pi ^ { 2 } ) ] = \mathrm { e } ^ { \pi } + \pi ^ { 2 } ~ . } } \end{array}
$$

18.10解以 $\varSigma _ { 1 }$ 表示法向量指向z轴负向的有向平面 $z = 1 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 )$ ，D为 $\varSigma _ { 1 }$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域，则

$$
\int \limits _ { \Sigma _ { 1 } } ^ { \Delta } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \iint \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \pi \ .
$$

设 $\pmb { \varOmega } .$ 表示由Σ和 $\varSigma _ { 1 }$ 所围成的空间区域，则由高斯公式知

$$
\begin{array} { r } { \underset { \underset { \overset { . } { z } + z _ { 1 } } { \xi + z _ { 1 } } } { \iint } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \underset { \overset { . } { z } } { \iint } ( 2 + 1 ) \mathrm { d } \nu = - 3 \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } r \mathrm { d } r \int _ { r ^ { 2 } } ^ { 1 } \mathrm { d } z } \\ { = - 6 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } ( r - r ^ { 3 } ) \mathrm { d } r = - 6 \pi \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) = - \frac { 3 } { 2 } \pi \ . } \end{array}
$$

因此， $\int \limits _ { 5 } ^ { \infty } ( 2 x + z ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + z \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \frac { 3 } { 2 } \pi - ( - \pi ) = - \frac { 1 } { 2 } \pi$

18.11 (1)证明根据高斯公式， $I = \underset { \Omega } { \iint } \{ 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z $ ，其中为Σ所围的空间区域.为

使I最大，要求Ω是使得 $1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } \geqslant 0$ 的最大空间区域，即

$$
\Omega = \{ ( x , y , z ) | 1 - x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } - z ^ { 2 } \geqslant 0 \} \ ,
$$

Σ为的表面，即为椭球面 $x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ 时，I最大.

(2)解由例18.5知， $I _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 4 \pi } { 1 5 }$

## 附录1

## 图像变换

图像变换方式一般有如下三种.

(1)平移变换.

①将函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移 $x _ { 0 } ( x _ { 0 } > 0 )$ 个单位长度，得到函数 $y = f ( x + x _ { 0 } )$ 的图像[见图1(a)；将函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移 $x _ { 0 } ( x _ { 0 } > 0 )$ 个单位长度，得到函数 $y = f ( x - x _ { 0 } )$ 的图像[见图1(b)].

![](images/51c2fd626c690f63f6eb0464f9143c3842eacc12ac98c6b5c09b2ef0d01c1586.jpg)  
(a)

![](images/d55887349d72a9ba3bdc0781b6f0e4a3f5c0a7fdfa59ca1461294436e90c79c6.jpg)  
(b)  
图1

②将函数y=f(x)的图像沿y轴向上平移 $y _ { 0 } ( y _ { 0 } > 0 )$ 个单位长度，得到函数 $y = f ( x ) + y _ { 0 }$ 的图像[见图2(a)]；将函数y=f(x)的图像沿y轴向下平移 $y _ { 0 } ( y _ { 0 } > 0 )$ 个单位长度，得到函数 $y = f ( x ) - y _ { 0 }$ 的图像[见图2(b)].

![](images/ae6a1eeab4962c53168d9ba3e1e5c945e713c8d66fc0c5b440c64da2b6a341d1.jpg)  
(a)

![](images/b2e5558780099d734d911a46c16e200b90fcb5c84f5859569c0d51bd85b37bb7.jpg)  
(b)  
图2

(2)对称变换.

①将函数y=f(x)的图像关于x轴对称，得到函数y=-f(x)的图像[见图3(a)].

②将函数y=f(x)的图像关于y轴对称，得到函数y=f(-x)的图像[见图3(b)].

![](images/820295de53a51d6e7b2c8d91e643aab6f6efef03abb6266c0c8e1c83c12a77f6.jpg)  
(a)

![](images/696d2a4d90aa0cd1c9ce40eac1bc7672b7ce212d7f680f93be699806b489a32a.jpg)  
(b)  
图3

③将函数 $y = f ( x )$ 的图像关于原点对称，得到函数y=-f(-x)的图像[见图4(a)]

④将函数 $y = f ( x )$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称，得到函数 $y = f ^ { - 1 } ( x )$ 的图像[见图4(b)].

![](images/53e28de6aa211440efd939e29fa7370ccde53aecce2c98f8a589df277b2b1b3c.jpg)  
(a)

![](images/11bb6baf76c4860c1f293cf24d7d6d50a75b4c6ace90e45a2fadcaa1ef660149.jpg)  
(b)  
图4

③保留函数y=f(x)在x轴及x轴上方的部分，把x轴下方的部分关于x轴对称到x轴上方并去掉原来下方的部分，得到函数 $y = \left| f ( x ) \right|$ 的图像[见图5(a)].

⑥保留函数 $y = f ( x )$ 在y轴及y轴右侧的部分，去掉y轴左侧的部分，再将y轴右侧图像关于y轴对称到y轴左侧，得到函数 $y = f ( \boldsymbol { \vert x \vert } )$ 的图像[见图5(b)].

![](images/ef19864a568cc471531f8a9a1851e321e2bc5ff1092bea8af0c6b84e588dd966.jpg)  
(a)

![](images/5b5fba117688a54c6e9b9bdbdfbf8bde375ff290a6e401fdd5684a3ce42953dc.jpg)  
(b)

图5  
![](images/9c352c7de58357faa7c403a7599da017ac49407644c340c027cbd761e990490b.jpg)

注 $y = f ( x ) \Rightarrow F ( x , y ) = f ( x ) - y$

①若 $F ( x , y ) = F ( - x , y )$ ，则 $y = f ( x )$ 关于y轴（x=0）对称.<对应

②若 $F ( x , y ) = F ( 2 T - x , y )$ 或 $F ( T + x , y ) = F ( T - x , y )$ ，则 $y = f ( x )$ 关于x=T对称.

③若 $F ( x , y ) = F ( x , - y )$ ，则 $y = f ( x )$ 关于x轴（y=0）对称.<对应

④若F(x，y）=F（x，2T-y）或 $F ( x , T + y ) = F ( x , T - y )$ ，则y=f（x）关于y=T对称.

③若F(x，y）=F（-x，-y），则y=f（x）关于（0,0）点对称.

若 $F ( a + x , y ) = F ( a - x , - y )$ ，则y=f（x）关于（a，0）点对称.

?若 $F ( x , y ) = F ( y , x )$ ，则y=f（x）关于y=x对称

以上结论中，②，④，⑥分别是①，③，⑤的更一般结论，将原对称性进行“平移”，要重视。

如

$$
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } - x ^ { 4 } , \frac { y ^ { 2 } = ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { \sqrt { \frac { \displaystyle { 3 + y ^ { 3 } - 3 x y } = 0 } { \displaystyle { \frac { \displaystyle { 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 x y } } { \displaystyle { \frac { \displaystyle { 3 x ^ { 3 } } { \displaystyle { \sqrt { \pi } } } } } } } } } } .
$$

$$
\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 2 } = ( 2 \pi - t ) - \sin ( 2 \pi - t ) = 2 \pi - ( t - \sin t ) = 2 \pi - x _ { 1 } , } \\ { y _ { 2 } = 1 - \cos ( 2 \pi - t ) = 1 - \cos t = y _ { 1 } , } \end{array} \right.
$$

关于x=π对称

(3)伸缩变换.

①水平伸缩：y=f(kx)(k>1)的图像，可由y=f(x)的图像上每点的横坐标缩短到原来的 $\frac { 1 } { k }$ 倍且纵坐标不变得到[见图6(a)}; $y = f ( k x ) ( 0 < k < 1 )$ 的图像，可由y=f(x)的图像上每点的横坐标伸长到原来的 $\frac { 1 } { k }$ 倍且纵坐标不变得到.

②垂直伸缩：y=kf(x)(k>1)的图像，可由 $y = f ( x )$ 的图像上每点的纵坐标伸长到原来的k倍且横坐标不变得到[见图6(b)]; $y = k f ( x ) ( 0 < k < 1 )$ 的图像，可由 $y = f ( x )$ 的图像上每点的纵坐标缩短到原来的k倍且横坐标不变得到.

![](images/c7e78acdf5817ab58ff7f73a65c247339c20e3310b051949fffcf071bfa26dc4.jpg)  
(a)

图6  
![](images/84c9ecd38ec2da12c0b0a435fc736ef86e77ade99fd96f418fb25b273541434c.jpg)  
(b)

## 附录2

(1)心形线（外摆线的一种）.

![](images/1978a24d9b7b31292aeaa7b94aa9bea6ebf1681c9378ddc75242c477fc780f67.jpg)  
(a)

![](images/c7dcf867d87789c5b05fab3bd46dba8b878cf7e0d0cb2deab63ebf0ce77f8c30.jpg)

![](images/c2326b37f9aa35e6636fb14b20d4ea55500070b812e8f32d3d99cc44364a0e95.jpg)

![](images/5d7b2fe723231a027b09dd2c5e698bf5f56cdd0f77cf7cc6638762eac73f396a.jpg)

(2)伯努利双纽线.

![](images/55aa7241701f0fd5f736f2108dde6f39d9e3e039aa43f1ecc42c0af908246791.jpg)

![](images/cd6b2a4e9927c62b36fe75e32cbcf3d3b95e45edda68cbf5f617da4d9754ce0f.jpg)

(3)阿基米德螺线.

![](images/0248d658b9ae1cc302fd687947aa23b309ec956aff791a02747f00888202cd97.jpg)

(4)对数螺线.

![](images/9ac5357c31c156c1316070c9b07b2866a138144916f6f5c2f7625619a99329e0.jpg)

(5)双曲螺线.

![](images/704654b6ad93dd85fc35b0f02cb71824266f00430b8472e22a094e55d8c2436d.jpg)

(6)三叶玫瑰线.

![](images/0ce3ca60df57423c9472ea2c080f0a80aa7e7ad6bde3c171cc91fcc7d54cc296.jpg)

![](images/f9dec2883c17d51ed1aa2201362eb059c75ee6ac8e4434e5dd42f3bcb75d3598.jpg)

(7)四叶玫瑰线.

![](images/0657b8c771592bf4c6305bba79f84855b9ecad92a4fd4ed7888281a966d2e9a3.jpg)

![](images/c8c879c39cbdbfe3706c88981c8c2150ad67cc2846b541da3de83996e34cb117.jpg)

(8)摆线（平摆线）.

![](images/55b1dd735d4324ebf65567d4ad8007d647339092a02ee91077dcb6ee65930c4f.jpg)

(9)星形线（内摆线的一种）.

![](images/27af59f877dd80478e2335170a63c3f96724f432fa2229a23d27e759eab06813.jpg)

![](images/8f9efb850203d0b383088f824b6f0f4563bd975f25962441dde6dd79243834e8.jpg)

(10)笛卡儿叶形线.

![](images/ca6cc05e281c8a7b5bd8dcb4d811a9528f245e3ab97669bcff1e47f07517cb8f.jpg)

$$
\displaystyle { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } - 3 a x y = 0 \frac { \pi } { x } \left\{ \displaystyle { x = \frac { 3 a t } { 1 + t ^ { 3 } } } , \right. } ( a > 0 ) 
$$

## 附录3

(1)  
![](images/4a126a3156fc7489e6a9de475bad2a680f4a162876325da54a03874cbb3eff07.jpg)

(2)  
![](images/8a5e2ea350ae3c2289e99e34a1fdc31602542e3383576317abc88f6938d970b8.jpg)

![](images/8ee2a44060c5977f0071608a905cc251e98120caa022bd785319fab66d47c0e0.jpg)

![](images/b57e6413910fcec455a21411be3e1eccb4413edce6d1b780bdebfead3d52b225.jpg)

(3)  
![](images/ea43b8f6fb6e088be2be10eeb67b75a0447c42c4b1f3126e202fb9e128f38629.jpg)

(4)  
![](images/22b63ccff17ab2fd08594d367567bb4f2511643aa446cddd68925c4512b28763.jpg)

(5)  
![](images/68dbaee475b4c3ab6b1e5ab567f5dee86320de750d55946efece89b1a57889e3.jpg)

(6)

![](images/fd86ac39afa454d4eed2ec6c9b85c7d46550889d76202bee08183fe16a99bac7.jpg)

$$
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 } , z \geqslant 0 , a > 0
$$

(7)  
![](images/58be09883863fb6cc6ece9889c255a7f6e3ba1a08e8f186547392ef2a00e76dc.jpg)

(8)  
![](images/6e088818ae4db7870b39a942a69e34240b23aaa43545571ebe38c9c558d57723.jpg)

![](images/e7e64811c425103359fea8dfea23c3034f916a48ec7cce705777fbba04d7cf82.jpg)

![](images/58e9d1baf4d9dab608c301c9461b23c4707f56b742f2b5b1ee516f835c50d939.jpg)

(9)

![](images/9402d08226f77fad2287e8ea5e2ad727667877015b0f31fa8ff676e4493c7220.jpg)  
(10)

![](images/945c551ddb20780e14495050c5f8f1ef39a48cb403be40fab54514b47e9e5af6.jpg)

![](images/9964c7a3495a9bbfdc7dab7e9d9a0ceb9435eed87fc59ae4cc1385270f3d77e7.jpg)

(11)

![](images/f53cba439283d9798c28f95e8d1b1a3e0605eccd45a45676194f2667f961bf46.jpg)

(12)

![](images/631cf332a7de1f1c16f2379f8d102608bef15245fa00286f814612dad423ec46.jpg)

![](images/b9ce0607d798b274f46dd3bdb0cfcfcba60518cc4ba3efc6235b58e609b43a3c.jpg)

![](images/46ff2ed32e1e2e3f8e83cca3cc4d8bf011ab50471f3c09da1f4ea15ecc0ef0a5.jpg)

(13)  
![](images/6df20cf5a187fe69d58f7a37d7b16dd3c69f752dda80abaedb6f97a656585843.jpg)  
(14)

![](images/94747d3b6736e4ec0877f8b09f3574645366431a252a8f5ac18806c9c6857875.jpg)

![](images/71e3154b2174bf72977f6bfabbf13ca5667700e854071b44182c3e78b4cd5413.jpg)

![](images/52112d9bbb8a64cfe9423c33e60f1a16ebadd69d4de4ac1d17e3e8220012e801.jpg)

(15)

![](images/1ee4b6a4792fa90a6b81ff39066221169e49dbb22397a237ddfaa8869310f105.jpg)

(16)  
![](images/8e5d7e6137578132aea0170334cc551c3044f4c94ce76f580956483e85181a2a.jpg)

![](images/7aa1e15efa7972a6bc0b884d56ee7f7502c062511e81c834384b8cc66136a3ab.jpg)

![](images/f324b53c351d8f16454e1e6603d87adf758ec08b1ca5f05e8ae6039a05767f23.jpg)

(17)  
![](images/3f7096f6a16fdc4b39fa2d41762f3475525d04adadd86ef7f26715449800a7ca.jpg)

(18)  
![](images/0f138687930263a3926d03eaee32aa48d7a4e76ec03c7984c03e1d68e8afefc1.jpg)

![](images/0d4eee66fd3b8dd1a1dde7b89cdf8090acff0139329dcc95b0c0a13f1ab79493.jpg)

![](images/7d3d105a4c866805479c7251504ab176fa99c249fde5d5631c18c3549e6daa99.jpg)

## 附录4

## 重要公式

## 1三角函数常用公式

(1)诱导公式.

★小结： $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } \pm \alpha \right) = \cos \alpha , } \\ { \sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp \sin \alpha , } \\ { \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } \pm \alpha \right) = \mp \sin \alpha , } \\ { \cos ( \pi \pm \alpha ) = - \cos \alpha , } \end{array} \right. }$ 这8个公式要熟稔于心

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>角θ函数</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { \pi } { 2 } } - \alpha$ </td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { \pi } { 2 } } + \alpha$ </td><td rowspan=1 colspan=1>π-α</td><td rowspan=1 colspan=1>π+α</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 3 \pi } { 2 } + \alpha$ </td><td rowspan=1 colspan=1>2π-α</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>sinθ</td><td rowspan=1 colspan=1>cosα</td><td rowspan=1 colspan=1>cosa</td><td rowspan=1 colspan=1>sina</td><td rowspan=1 colspan=1>-sina</td><td rowspan=1 colspan=1>-cosa</td><td rowspan=1 colspan=1>-cosa</td><td rowspan=1 colspan=1>-sina</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>cos0</td><td rowspan=1 colspan=1>sina</td><td rowspan=1 colspan=1>-sina</td><td rowspan=1 colspan=1>-cosα</td><td rowspan=1 colspan=1>-cosa</td><td rowspan=1 colspan=1>-sina</td><td rowspan=1 colspan=1>sina</td><td rowspan=1 colspan=1>cosa</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>tanθ</td><td rowspan=1 colspan=1>cota</td><td rowspan=1 colspan=1>-cotα</td><td rowspan=1 colspan=1>-tan α</td><td rowspan=1 colspan=1>tan a</td><td rowspan=1 colspan=1>cota</td><td rowspan=1 colspan=1>-cotα</td><td rowspan=1 colspan=1>-tan a</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>cotθ</td><td rowspan=1 colspan=1>tan a</td><td rowspan=1 colspan=1>-tan α</td><td rowspan=1 colspan=1>-cota</td><td rowspan=1 colspan=1>cotα</td><td rowspan=1 colspan=1>tan a</td><td rowspan=1 colspan=1>-tanα</td><td rowspan=1 colspan=1>-cotα</td></tr></table>

注(1)如上表所示，奇变偶不变，符号看象限（因任一角度均可表示为 $\frac { k \pi } { 2 } + \alpha , k \in { \bf Z } , | \alpha | \leq \frac { \pi } { 4 }$ 故k为奇数时得角α的异名函数值，k为偶数时得角α的同名函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原来函数值的符号）

（2)三角函数在四个象限中的符号如下表所示

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>角0所在象限函数</td><td rowspan=1 colspan=1>第一象限</td><td rowspan=1 colspan=1>第二象限</td><td rowspan=1 colspan=1>第三象限</td><td rowspan=1 colspan=1>第四象限</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>sinθ</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>cos0</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>tanθ</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>cotθ</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

(3) secα和csca的函数值可由 $\frac { 1 } { \cos \alpha }$ 和ä $\frac { 1 } { \sin \alpha }$ 得出．

(2)倍角公式.

$$
\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha , \cos 2 \alpha = \cos ^ { 2 } \alpha - \sin ^ { 2 } \alpha = 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha = 2 \cos ^ { 2 } \alpha - 1 ,
$$

$$
\sin 3 \alpha = - 4 \sin ^ { 3 } \alpha + 3 \sin \alpha , \cos 3 \alpha = 4 \cos ^ { 3 } \alpha - 3 \cos \alpha ,
$$

$$
\tan 2 \alpha = { \frac { 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^ { 2 } \alpha } } , \cot 2 \alpha = { \frac { \cot ^ { 2 } \alpha - 1 } { 2 \cot \alpha } } .
$$

(3)半角公式.

$$
\sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \cos \alpha ) , \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \cos \alpha ) , ( | \sharp \sharp \sharp / \angle \cdot \ j \ d { \overline { { \Sigma } } } | )
$$

$$
\sin { \frac { \alpha } { 2 } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 - \cos \alpha } { 2 } } } , \cos { \frac { \alpha } { 2 } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } } ,
$$

$$
\tan { \frac { \alpha } { 2 } } = { \frac { 1 - \cos \alpha } { \sin \alpha } } = { \frac { \sin \alpha } { 1 + \cos \alpha } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 - \cos \alpha } { 1 + \cos \alpha } } } ,
$$

$$
\cot { \frac { \alpha } { 2 } } = { \frac { \sin \alpha } { 1 - \cos \alpha } } = { \frac { 1 + \cos \alpha } { \sin \alpha } } = \pm { \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 1 - \cos \alpha } } } \ .
$$

(4)和差公式.

$$
\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta , \cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,
$$

$$
\tan ( \alpha \pm \beta ) = { \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 mp \tan \alpha \tan \beta } } , \cot ( \alpha \pm \beta ) = { \frac { \cot \alpha \cot \beta \mp 1 } { \cot \beta \pm \cot \alpha } } .
$$

(5)积化和差与和差化积公式.

①积化和差公式.

$$
\tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } - \alpha \right) = { \frac { 1 - \tan \alpha } { 1 + \tan \alpha } }
$$

$$
\sin \alpha \cos \beta = { \frac { 1 } { 2 } } [ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) ] , \cos \alpha \sin \beta = { \frac { 1 } { 2 } } [ \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) ] ,
$$

$$
\cos \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) ] , \sin \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \cos ( \alpha - \beta ) - \cos ( \alpha + \beta ) ] ~ .
$$

②和差化积公式.

$$
\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac { \alpha + \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha - \beta } { 2 } , \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac { \alpha - \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha + \beta } { 2 } ,
$$

$$
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac { \alpha + \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha - \beta } { 2 } , \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac { \alpha + \beta } { 2 } \sin \frac { \alpha - \beta } { 2 } .
$$

(6)万能公式.

若 $u = \tan \frac { x } { 2 } ( - \pi < x < \pi )$ ，则 $\sin x = { \frac { 2 u } { 1 + u ^ { 2 } } } , \cos x = { \frac { 1 - u ^ { 2 } } { 1 + u ^ { 2 } } }$

## ②一元二次方程基础

①一元二次方程 $a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$

②判别式 $\scriptstyle { \mathcal { A } } = b ^ { 2 } - 4 a c$

$\scriptstyle A \geq 0$ ，方程有两个实根 $x _ { 1 , 2 } = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } ; A < 0$ ，方程有两个共轭的复根 $\scriptstyle { x _ { 1 , 2 } = { \frac { - b \pm { \sqrt { 4 a c - b ^ { 2 } } } \mathrm { { i } } } { 2 a } } }$

③根与系数的关系（韦达定理） $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - { \frac { b } { a } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = { \frac { c } { a } }$

## ③ 因式分解公式

① $( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 }$ ② $( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 }$

$\left( a + b \right) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 }$ $( a - b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } - 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } - b ^ { 3 }$

$a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b )$

$$
a ^ { 3 } - b ^ { 3 } = ( a - b ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } )
$$

? $a ^ { 3 } + b ^ { 3 } = ( a + b ) ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } )$

$a ^ { n } - b ^ { n } = ( a - b ) ( a ^ { n - 1 } + a ^ { n - 2 } b + \cdots + a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } ) ( n$ 是正整数）.

⑨n为正奇数时， $a ^ { n } + b ^ { n } = ( a + b ) ( a ^ { n - 1 } - a ^ { n - 2 } b + \cdots - a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } )$

@二项式定理

$$
( a + b ) ^ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathbf { C } _ { n } ^ { k } a ^ { n - k } b ^ { k } = a ^ { n } + n a ^ { n - 1 } b + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 ! } } a ^ { n - 2 } b ^ { 2 } + \cdots + { \frac { n ( n - 1 ) \cdots ( n - k + 1 ) } { k ! } } a ^ { n - k } b ^ { k } + \cdots + n a b ^ { n - 1 } + b ^ { n } .
$$

## 4阶乘与双阶乘

①n!=1·2·3…·n，规定0!=1.

② $( 2 n ) ! ! = 2 \bullet 4 \bullet 6 \cdots \bullet 2 n ) = 2 ^ { n } \bullet n !$

③ $( 2 n - 1 ) ! ! = 1 \bullet 3 \bullet 5 \bullet \cdots \bullet ( 2 n - 1 )$

## 附录5

# 从指数函数到双曲函数

## 指数函数

对于指数函数 $y = a ^ { x }$ ，底数a可以是不等于1的任何正数.在实际问题中常遇到以e为底数的指数函数 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ ，e是一个常数.

在微分方程中，凡是因变量y的变化速率与因变量y成正比的函数关系都是这种指数函数.即$\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } = k y ( k > 0 )$ ，得 $\int { \frac { \mathrm { d } y } { y } } = \int k \mathrm { d } t$ ，有

$$
\ln \left| y \right| = k t + \ln C _ { 1 } ,
$$

于是 $\vert y \vert = C _ { 1 } \mathrm { e } ^ { k t } , y = \pm C _ { 1 } \mathrm { e } ^ { k t } = C \mathrm { e } ^ { k t }$

指数函数 $y = \mathbf { e } ^ { - x } = \left( { \frac { 1 } { \mathbf { e } } } \right) ^ { x }$ 也具有同样的重要性（见图1）.

![](images/9a3a3fb362c919d7b292ed9357011e1aa13b299f9638280ae74dca3410f543b7.jpg)  
图1

下面列出一张简单的函数值表，将有助于我们认识这两种指数函数.详细的函数表可在各种数学手册中查到.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $x$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>0.5</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1.5</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>2.5</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1> $\boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { x }$ </td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1.65</td><td rowspan=1 colspan=1>2.72</td><td rowspan=1 colspan=1>4.48</td><td rowspan=1 colspan=1>7.39</td><td rowspan=1 colspan=1>12.2</td><td rowspan=1 colspan=1>20.1</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1> $\mathbf { e } ^ { - x }$ </td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>0.607</td><td rowspan=1 colspan=1>0.368</td><td rowspan=1 colspan=1>0.223</td><td rowspan=1 colspan=1>0.135</td><td rowspan=1 colspan=1>0.082</td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td></tr></table>

指数函数 $y = \mathbf { e } ^ { x }$ 的反函数是 $y = \log _ { \mathrm { e } } x$ .正像 $\log _ { 1 0 } x$ 常简记为lgx一样， $\log _ { \mathfrak { e } } x$ 也常简记为lnx，称之

为自然对数.

自然对数与普通以10为底的对数的联系是

$$
\ln x = \ln 1 0 \cdot \lg x ( \ln 1 0 \approx 2 . 3 0 2 5 8 5 ) ,
$$

$$
\begin{array} { r } { \log x = \lg \mathrm { e } \cdot \ln x ( \log \mathrm { e } \approx 0 . 4 3 4 2 9 4 ) \ . } \end{array}
$$

## 2双曲函数

双曲函数是由指数函数 $\mathrm { e } ^ { x }$ 与 $\mathbf { e } ^ { - x }$ 构成的初等函数.

(1)定义.

双曲正弦函数

$$
\mathrm { s h } x = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { 2 } \ .
$$

双曲余弦函数

$$
\mathtt { c h } x = \frac { \mathtt { e } ^ { x } + \mathtt { e } ^ { - x } } { 2 } \ .
$$

双曲正切函数

$$
\mathrm { t h } \ x = \frac { \mathrm { s h } \ x } { \mathrm { c h } \ x } = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { \mathrm { e } ^ { x } + \mathrm { e } ^ { - x } } \ .
$$

$$
\mathtt { s h } ( - x ) = { \frac { \mathtt { e } ^ { - x } - \mathtt { e } ^ { x } } { 2 } } = - { \frac { \mathtt { e } ^ { x } - \mathtt { e } ^ { - x } } { 2 } } = - \mathtt { s h } x \ ,
$$

$$
\operatorname { c h } ( - x ) = { \frac { \mathrm { e } ^ { - x } + \mathrm { e } ^ { x } } { 2 } } = { \frac { \mathrm { e } ^ { x } + \mathrm { e } ^ { - x } } { 2 } } = \operatorname { c h } x \ ,
$$

$$
\operatorname { t h } ( - x ) = { \frac { \operatorname { s h } ( - x ) } { \operatorname { c h } ( - x ) } } = { \frac { - \operatorname { s h } x } { \operatorname { c h } x } } = - \operatorname { t h } x ,
$$

故shx，thx都是奇函数，chx是偶函数.

想要画出这三种函数的图形，只要先画出右半平面的曲线部分 $( x \geqslant 0 )$ ，再根据对称性就能画出整个曲线（见图2）.注意到

$$
\mathrm { s h } x = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { x } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { - x } ,
$$

$$
\mathrm { c h } x = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { - x } \ ,
$$

先作出 $y = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x }$ 与 $y = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { - x }$ 的图形，shx的值正是这两条曲线在点x处的纵坐标之差，chx的值正是这两条曲线在点x处的纵坐标之和.容易看出，当x很大时，chx总是大于 $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x }$ ，但很接近它，shx总是小于 $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { e } ^ { x }$ ，也很接近它．

![](images/5835042f7bf8723e104aff9e7a59cb67c5986354d5f6f3c68d445ac67ed7a5ff.jpg)  
图2

由于

$$
\operatorname { t h } x = { \frac { \sin x } { \operatorname { c h } x } } ,
$$

当x从0变大时，shx，chx都取正值，且ch x>shx，故x>0时，thx的值总是介于0与1之间，并且当x很大时，thx很接近于1，由此就容易画出y=thx在右半平面的曲线部分.根据曲线关于原点的对称性，就可画出整个图形来（见图3）.

![](images/e269b1175453a97c350f40dc65250d77b48acadd55dea21846d54c74df8de3dd.jpg)  
图3

(2)关系式.

双曲函数之间具有一些重要恒等式.

根据双曲正弦与双曲余弦的定义立即可知

$$
\displaystyle \mathbf { e } ^ { x } = \mathrm { c h } x + \mathrm { s h } x , \displaystyle \mathbf { e } ^ { - x } = \mathrm { c h } x - \mathrm { s h } x ,
$$

利用这两个恒等式，就能通过指数函数的性质来证明一些关于双曲函数的恒等式.如

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle \mathrm { s h } ( u + \nu ) = \frac { 1 } { 2 } [ \mathrm { e } ^ { ( u + \nu ) } - \mathrm { e } ^ { - ( u + \nu ) } ] = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { e } ^ { u } \cdot \mathrm { e } ^ { \nu } - \mathrm { e } ^ { - u } \cdot \mathrm { e } ^ { - \nu } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle \qquad = \frac { 1 } { 2 } [ ( \mathrm { c h } u + \mathrm { s h } u ) ( \mathrm { c h } \nu + \mathrm { s h } \nu ) - ( \mathrm { c h } u - \mathrm { s h } u ) ( \mathrm { c h } \nu - \mathrm { s h } \nu ) ] } \ , } \end{array}
$$

也就是

$$
\sinh ( u + \nu ) = \sinh u \cosh \nu + \coth u \sinh \nu \ .
$$

在这个恒等式中，将两端所包含的v换作-v，并利用双曲函数的奇偶性，立即可得

$$
\mathtt { s h } ( u - \nu ) = \mathtt { s h } u \mathtt { c h } ( - \nu ) + \mathtt { c h } u \mathtt { s h } ( - \nu )
$$

$$
= \sinh u \operatorname { c h } \nu - \operatorname { c h } u \sinh \nu \ .
$$

同样可证明关于 $\operatorname { c h } ( u \pm \nu )$ 的恒等式.故有

$$
\mathrm { s h } ( u \pm \nu ) = \mathrm { s h } u \mathrm { c h } \nu \pm \mathrm { c h } u \mathrm { s h } \nu ,\tag{5-1}
$$

$$
\operatorname { c h } ( u \pm \nu ) = \operatorname { c h } u \operatorname { c h } \nu \pm \operatorname { s h } u \operatorname { s h } \nu ~ .\tag{5-2}
$$

在关于 $\operatorname { c h } ( u - \nu )$ 的恒等式中，令 $\nu = u$ ，又可得到一个重要的恒等式

$$
{ \mathrm { c h } } ^ { 2 } u - { \mathrm { s h } } ^ { 2 } u = 1 \ .\tag{5-3}
$$

由(5-1)\~(5-3)可以推出很多恒等式.(5-3)式两端同除以 $\operatorname { c h } ^ { 2 } { u }$ ，就得到

$$
1 - \mathrm { t h } ^ { 2 } u = { \frac { 1 } { \mathrm { c h } ^ { 2 } u } } \ .\tag{5-4}
$$

(5-1)，(5-2)式中（取加号的情况），令 $\nu = u$ ，就得到

$$
\sinh 2 u = 2 \mathrm { s h } u \mathrm { c h } u \ ,\tag{5-5}
$$

$$
\mathrm { c h } ~ 2 u = \mathrm { c h } ^ { 2 } ~ u + \mathrm { s h } ^ { 2 } ~ u = 2 \mathrm { c h } ^ { 2 } ~ u - 1 ~ .\tag{5-6}
$$

双曲函数的反函数叫作反双曲函数，分别记作arsh x，arch x及arthx.由于双曲函数是由指数函数构成的，故反双曲函数与对数函数有一定的联系.

设 $y = \mathrm { a r s h } x$ ，则 $x = \operatorname { s h } y$ ，即

$$
x = { \frac { { \bf e } ^ { y } - { \bf e } ^ { - y } } { 2 } } ,\tag{5-7}
$$

我们希望由此解出 $y$ ，将 $y$ 表达为x的一个数学式子.

(5-7)式两端乘以 $2 \mathrm { e } ^ { y }$ ，就得到

$$
( \mathrm { e } ^ { y } ) ^ { 2 } - 2 x \mathrm { e } ^ { y } - 1 = 0 ~ ,\tag{5-8}
$$

将(5-8)式看成关于 $\mathrm { e } ^ { y }$ 的二次方程，即可解得

$$
\mathbf { e } ^ { y } = x \pm { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ~ ,\tag{5-9}
$$

但 $\mathrm { e } ^ { y }$ 不能取负值，故(5-9)式右端只取正号，即

$$
\mathbf { e } ^ { y } = x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ~ ,
$$

也就是

$$
y = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) ,
$$

这样，我们就得到

$$
y = \operatorname { a r s h } x = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) ~ .
$$

应该注意到反双曲正弦函数的定义域.由于 $y = \mathop { \mathrm { a r s h } } x$ 就是 $x = \operatorname { s h } y$ ，由后式可以看出，x的取值范围是 $( - \infty , + \infty )$ ，故得

$$
\operatorname { a r s h } x = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) \quad ( - \infty < x < + \infty ) \ .\tag{5-10}
$$

同样，可以求得

$$
\operatorname { a r c h } x = \pm \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } ) ( x \geq 1 ) ,\tag{5-11}
$$

$$
\operatorname { a r t h } x = \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { 1 + x } { 1 - x } \ ( - 1 < x < 1 ) \ .\tag{5-12}
$$

推导 (5-11)式时，化简过程中要用到

$$
\ln ( x - \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } ) = \ln \frac { 1 } { x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } = - \ln ( x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } ) \ ( x \geq 1 ) \ .
$$

$y = \operatorname { a r s h } x$ ， $y = \operatorname { a r t h } x$ 都是单值函数，而 $y = \operatorname { a r c h } x$ 是双值函数，一般取它在上半平面的那一支作为主值分支，即取表达式 $\operatorname { a r c h } x = \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } ) ( x \geq 1 )$

反双曲函数的图形与相应的双曲函数的图形关于直线 $y = x$ 对称，由此就容易画出反双曲函数的图形(见图4).

![](images/8ea542b3c46aff99f87be928b898790643f75f0d0ccf97bf29c427db34bf1c4e.jpg)  
图4

## 附录6

## 变形技巧

![](images/a8c793d8ab64fe7787887ec7adac35a0ef19fcdc67fd313f16eae73f92fce22f.jpg)

数学考题的解题过程，本质上就是建立一座连接条件与结论的桥梁，搭建这座桥梁的每一步都是一个转化.无论这种转化所体现的是“等量关系”“等价关系”，还是“不等量放缩”“充分关系”“必要关系”，均可在形式上统称为变形、在做题中，变形的处理，贯穿始终，请读者务必高度重视，且在多次研读本部分内容后做到实践，总结，再实践，再总结，形成自己强大的数学题变形转化的能力，使变形如行云流水，必有所成.

## 1 等式变形与等价变形

用“=”连接数学中的量A与量B，称为等式，于是A与B的相互转化，即等式变形.

用“”连接命题A与命题B，称为等价，于是A与B的相互转化，即等价变形.

(1)定义法.

定义法是说，用A定义B，则 $B \Leftrightarrow A$ ，给出B，回归定义A，这是最基本的方法.

如 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } f ( x ) = 0$ ，用定义：任给ε>0，存在 $\delta > 0$ ，当 $0 < \mid x \mid < \delta$ 时，恒有 $\left| f ( x ) \right| < \varepsilon$ ，按题意取δ,如下面的注例.

注例设f（x）具有一阶连续导数，且 $\operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } [ x - f ( x ) ] = 0 \ , f ( 1 ) < 1$ ，证明：

(1)存在 $\xi > 1$ ，使得 $| \xi - f ( \xi ) | < 1 - f ( 1 )$ ！

（2)存在n>1，使得f‘(n)>1.

证（1）由 $\operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } [ x - f ( x ) ] = 0$ ，得对于任意的ε>0，存在𝑋>1，当 $\xi > X > 1$ 有 $| \xi - f ( \xi ) | < \varepsilon$ 取 $\varepsilon = 1 - f ( 1 ) > 0$ 得证

（2）由 $| \xi - f ( \xi ) | \geq \xi - f ( \xi )$ ，结合（1)），有 $\xi - f ( \xi ) { \le } | \xi - f ( \xi ) | { < } 1 - f ( 1 )$ ，移项得 $\xi - 1 < f ( \xi ) - f ( 1 )$

由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in ( 1 , \xi )$ ,使 $f ^ { \prime } ( \eta ) = \frac { f ( \xi ) - f ( 1 ) } { \xi - 1 } > 1$ ,得证.

再如，导数定义是常考题：

①给出f(x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 处连续，且 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { x - x _ { 0 } } } = a$ ，则

$$
\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = 0 = f ( x _ { 0 } ) ,
$$

于是 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = a$

②给出f(x)在 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 的某邻域内一阶可导，且 $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } } = a$ ，则

$$
\operatorname * { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = 0 = f ( x _ { 0 } ) ,
$$

于是 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { \frac { f ( x ) } { \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } } ( x - x _ { 0 } ) = a \bullet 0 = 0$

③给出可导函数f(x)在 ${ \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } _ { 0 }$ 处的切线方程为 $y = g ( x )$ ，则 $f ( x _ { 0 } ) = g ( x _ { 0 } ) \ , \ f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = g ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$

进一步，若 $f ^ { \prime \prime } ( x ) > 0$ ，且令 $F ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ ，则有

$$
F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) - g ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 ~ ,
$$

$$
F ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0 ,
$$

所以 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 为F(x)的极小值点.

④给出可导函数f(x)与g(x)在 ${ \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { x } } _ { 0 }$ 处相切，则 $f ( x _ { 0 } ) = g ( x _ { 0 } ) \ , f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = g ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$

进一步，若 $f ^ { \prime \prime } ( x ) > 0 \ , g ^ { \prime \prime } ( x ) < 0$ ，且令 $F ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ ，则有

$$
F ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) - g ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = 0 ~ ,
$$

$$
F ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) - g ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) > 0 \ ,
$$

所以 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ 为 $F ( x )$ 的极小值点.

(2)公式法.

数学公式是用数学思想与方法已经得出的解决问题的简便数学表达.一方面，要注意公式的特征（也就是说，这个数学表达式的独特性在哪里？此独特性就指向解题思考的方向）；另一方面，要注意公式的成立条件（也就是说，这个数学表达式在什么条件下使用？对成立条件的思考，可加强对解题方向的把握）.

如：

$$
f ( x ) = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + \frac { f ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { 2 } x ^ { 2 } + \cdots ,
$$

泰勒展开式的独特性就在于它用函数在 $x = 0$ 处的各阶导数值来近似表示 $x = 0$ 附近的值，形式上联系了${ } ^ { \ast } f ( x ) { } ^ { \prime \prime }$ 与 ${ } ^ { 4 } f ^ { ( n ) } ( x ) , n \geqslant 2 ^ { \prime \prime }$ .独特性的成立条件是“n阶可导， $n \geq 2 ^ { \prime \prime }$ ，更可确认用泰勒公式.

(3)换元法.

引入新元，代换掉旧元，使问题在形式或表述上简单化、规范化和常规化，从而解决问题.

①复杂部分代换.

正如前述，引入新元，使表达式简单，易于处理，如计算 $\int \ln \left( 1 + \sqrt { \frac { 1 + x } { x } } \right) \mathrm { d } x$ , 令 $t = \ln \left( 1 + { \sqrt { \frac { 1 + x } { x } } } \right)$ 即可打开局面.

②平移换元法 $\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \vec { \mathcal { J } } _ { \triangle } ^ { \pm } \vec { \mathcal { K } } \vec { \mathcal { K } } , } \\ { \vec { \mathcal { W } } \vec { \mathcal { K } } \vec { \mathcal { K } } . } \end{array} \right. } \end{array}$

a.宏观上，若x→1，令 $t = x - 1$ ，则 $t \to 0$

b.微观上，若 $a < b$ ，则令 $c = a + \varepsilon ( 0 < \varepsilon < b - a )$ ，于是有 $a < a + \varepsilon < b$

当 $b - a$ 很小时，可称“见缝插针”，此法常用于研究局部性质.

![](images/ca4317f18705946f315579512fba05833ba1fb617cb24bf278dd01e12f07cb8e.jpg)

③消元换元法．

此换元法的目的在于消元.

a.若 $x _ { 1 } > x _ { 2 }$ ，可令 $x _ { 1 } = x _ { 2 } + t , t > 0$ ，则 $x _ { 1 } x _ { 2 } = ( x _ { 2 } + t ) x _ { 2 }$

b.若 $x _ { 1 } > x _ { 2 } > 0$ ，可令 $x _ { 1 } = t x _ { 2 } \ , t > 1$ ，则 $x _ { 1 } x _ { 2 } = t x _ { 2 } ^ { 2 }$

c.零和换元法.

当 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = a$ 时，令

$$
x _ { 1 } = { \frac { a } { 2 } } + t \ , x _ { 2 } = { \frac { a } { 2 } } - t \ .
$$

当 $2 x + y = 1$ 时，令

$$
2 x = \frac { 1 } { 2 } + t \ , y = \frac { 1 } { 2 } - t \ .
$$

当 $x + y + z = 1$ 时，令

$$
x = \frac { 1 } { 3 } + t _ { 1 } , y = \frac { 1 } { 3 } + t _ { 2 } , z = \frac { 1 } { 3 } - t _ { 1 } - t _ { 2 } .
$$

注多说一句，对数学一、数学三的读者，看到 $x + y + z = 1$ 可否想到概率的归一性？如下面的注例

注例设x，y，z均大于0，且 $x + y + z = 1$ 证明

$$
\frac { 4 } { x } + \frac { 1 } { y } + \frac { 1 } { z } \geq 1 6 .
$$

证设随机变量X的分布为

$$
P \left\{ X = { \frac { 2 } { x } } \right\} = x , P \left\{ X = { \frac { 1 } { y } } \right\} = y , P \left\{ X = { \frac { 1 } { z } } \right\} = z ,
$$

则有

$$
E X = x \cdot { \frac { 2 } { x } } + y \cdot { \frac { 1 } { y } } + z \cdot { \frac { 1 } { z } } = 4 ,
$$

$$
E ( X ^ { 2 } ) = x \cdot { \frac { 4 } { x ^ { 2 } } } + y \cdot { \frac { 1 } { y ^ { 2 } } } + z \cdot { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { x } } + { \frac { 1 } { y } } + { \frac { 1 } { z } } \ .
$$

由于

$$
D X = E ( X ^ { 2 } ) - ( E X ) ^ { 2 } \geq 0 ~ ,
$$

因此

$$
\frac { 4 } { x } + \frac { 1 } { y } + \frac { 1 } { z } \geq 1 6 ,
$$

得证

$$
\begin{array} { r } { \underset { \mathrm { H F - } } { \overset { { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ r ~ } } } {  } } \frac { \mathrm { ~ \mathord { \mathbb ~ g } ~ } } { \mathrm { \mathbb ~ g } } + \frac { \mathrm { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ f ~ } } } { \mathrm { \mathbb ~ g } } \frac { \mathrm {  { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ } } } } { \mathrm { \mathbb ~ H } } \mathrm {  ~ } E ( X ^ { 2 } ) \geq ( E X ) ^ { 2 } \overset { + } { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ f ~ } } \frac { \mathrm { \scriptsize ~ f ~ f ~ } } { \mathrm { \mathbb ~ g } } \mathrm {  { \mathbb ~ g } } \mathrm {  { \mathbb ~ g } } \ast \mathrm {  { \mathbb ~ g } } \ast \mathrm {  ~ \{ \mathbb ~ R } ~ } _ { 0 } \mathrm {  ~ \mathrm { \scriptstyle ~ f ~ f ~ } } \ast \mathrm {  ~ { \mathbb ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \mathbb ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ f ~ } } \ast \mathrm {  ~ { \mathbb ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^ { \ast } \mathrm {  ~ { \scriptstyle ~ g } ~ } _ { 0 } ^  \end{array}
$$

④商抵换元法.

当 $x _ { 1 } x _ { 2 } = a ^ { 2 }$ 时，令 $\scriptstyle x _ { 1 } = t a \ , x _ { 2 } = { \frac { a } { t } }$

（4）相消法.

加减相消法、乘除相消法和错位相消法是相消法的三种情况.

①加减相消法.

a.裂项为 $a _ { n + 1 } - a _ { n } ; \mathsf { b } .$ 创造 $a _ { n + 1 } - a _ { n } = f ( n )$ ，然后得 $a _ { n + 1 } = a _ { n + 1 } - a _ { n } + a _ { n } - a _ { n - 1 } + \dots + a _ { 2 } - a _ { 1 } + a _ { 1 }$ ，本质 上是通分的逆运算，形式上作同形分解.

如

$$
{ \frac { 1 } { n ( n + k ) } } = { \frac { 1 } { k } } \left( { \frac { 1 } { n } } - { \frac { 1 } { n + k } } \right) ,
$$

$$
\frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 n - 1 } - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \right) ,
$$

$$
\frac { 1 } { n ( n + 1 ) ( n + 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \Bigg [ \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } - \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } \Bigg ] ,
$$

$$
{ \frac { \mathrm { e } ^ { - n } ( \mathrm { e } - 1 ) } { ( 1 - \mathrm { e } ^ { - n } ) ( \mathrm { e } - \mathrm { e } ^ { - n } ) } } = { \frac { \mathrm { e } ^ { n } ( \mathrm { e } - 1 ) } { ( \mathrm { e } ^ { n } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { n + 1 } - 1 ) } } = { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { n } - 1 } } - { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { n + 1 } - 1 } } ,
$$

在思想上，还可与共轭法和对数运算性质结合在一起思考.

关键就是有同形分解的意识和办法.

$$
\not { k } | | | \frac { 2 ^ { - n } } { ( 1 - 2 ^ { - n } ) ( 2 - 2 ^ { - n } ) } = \frac { 2 ^ { n } } { ( 2 ^ { n } - 1 ) ( 2 ^ { n + 1 } - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 ^ { ^ n } - 1 } - \frac { 1 } { 2 ^ { ^ n + 1 } - 1 } \ .
$$

又如 $\frac { a _ { n + 1 } } { n } = \frac { a _ { n } } { ( n + 1 ) ( n a _ { n } + 1 ) } , a _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，则

$$
( n + 1 ) a _ { n + 1 } = \frac { n a _ { n } } { n a _ { n } + 1 } \Rightarrow \frac { 1 } { ( n + 1 ) a _ { n + 1 } } = 1 + \frac { 1 } { n a _ { n } } \Rightarrow \frac { 1 } { ( n + 1 ) a _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { n a _ { n } } = 1 \ ,
$$

故

$$
\frac { 1 } { n a _ { n } } = \frac { 1 } { n a _ { n } } - \frac { 1 } { ( n - 1 ) a _ { n - 1 } } + \frac { \cdot } { ( n - 1 ) a _ { n - 1 } } - \frac { 1 } { ( n - 2 ) a _ { n - 2 } } + \cdots + \left( \frac { 1 } { 2 a _ { 2 } } - \frac { 1 } { a _ { 1 } } \right) + \frac { 1 } { a _ { 1 } } = ( n - 1 ) + 2 = n + 1 \Rightarrow a _ { n } = \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } \ .
$$

②乘除相消法.

创造 $\frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = f ( n )$ ，然后得 $a _ { n } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } \bullet { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } \bullet \cdots \bullet { \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } } \bullet a _ { 1 }$

如 $a _ { n } = ( n - 1 ) a _ { n - 1 } + \cdots + 3 a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } + a _ { 1 } \ , a _ { 1 } = 1 \ , n \geqslant 2$ ，则 $\scriptstyle a _ { n + 1 } - a _ { n } = n a _ { n } , \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } = n + 1$

故 $a _ { n } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } \bullet { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } \bullet \cdots \bullet { \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } } \bullet a _ { 2 } = n ( n - 1 ) \bullet \cdots \bullet a _ { 3 } \bullet a _ { 2 }$ ，且 $a _ { 2 } = a _ { 1 } = 1$ ，得 $a _ { n } = { \frac { n ! } { 2 } }$

③错位相消法.

$$
S _ { n } = a + a q + a q ^ { 2 } + \cdots + a q ^ { n - 1 } ,\tag{*}
$$

$$
q S _ { n } = a q + a q ^ { 2 } + \cdots + a q ^ { n } \ ,\tag{**}
$$

由(\*)-(\*\*），得 $( 1 - q ) S _ { n } = a - a q ^ { n }$ ，于是 $S _ { n } = { \frac { a ( 1 - q ^ { n } ) } { 1 - q } } , q \not = 1$

(5)同除法或解方程法.

①形如 $a _ { n + 1 } = k a _ { n } + f ( n ) ( k \neq 0 , 1 ) \Rightarrow { \frac { a _ { n + 1 } } { k ^ { n + 1 } } } = { \frac { a _ { n } } { k ^ { n } } } + { \frac { f ( n ) } { k ^ { n + 1 } } }$ ，得 $\left\{ { \frac { a _ { n } } { k ^ { n } } } \right\}$

例1 设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = 2 a _ { n } + 2 ^ { n + 2 } , a _ { 1 } = 2$ ，求 $a _ { n }$ 的表达式．

解 由题设可知,

$$
\frac { a _ { n + 1 } } { 2 ^ { n + 1 } } = \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } + 2 \Rightarrow \frac { a _ { n + 1 } } { 2 ^ { n + 1 } } - \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } = 2 \ ,
$$

因此 $\left\{ { \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } } \right\}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，则

$$
\frac { a _ { n } } { 2 ^ { n } } = 1 + 2 ( n - 1 ) = 2 n - 1 \ .
$$

故 $a _ { n } = 2 ^ { n } ( 2 n - 1 )$

②当 $a _ { n + 1 } + A a _ { n } = B ^ { n } \bullet P _ { m } ( n )$ 时，有 $a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { C \bullet ( - A ) ^ { n } + B ^ { n } Q _ { m } ( n ) , } & { B \neq - A , } \\ { C \bullet ( - A ) ^ { n } + n \bullet B ^ { n } Q _ { m } ( n ) , } & { B = - A , } \end{array} \right.$ 其中 $P _ { m } ( n )$ 为n的m次多项式，

$Q _ { m } ( n )$ 为n的m次多项式.

如例1中， $a _ { n + 1 } - 2 a _ { n } = 4 \bullet 2 ^ { n }$ ，则 $a _ { n } = C { \bullet } 2 ^ { n } + n { \bullet } 2 ^ { n } { \bullet } D$ .又 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 2$ ，有 $a _ { 2 } = 2 \bullet a _ { 1 } + 2 ^ { 3 } = 1 2$ ，因此有

$$
2 = a _ { 1 } = C \bullet 2 + 2 \bullet D , 1 2 = a _ { 2 } = C \bullet 2 ^ { 2 } + 2 \bullet 2 ^ { 2 } \bullet D \Rightarrow \left\{ { C + D = 1 , \atop C + 2 D = 3 }  \right\} { C = - 1 , }
$$

故 $a _ { n } = ( - 1 ) \bullet 2 ^ { n } + 2 n \bullet 2 ^ { n } = 2 ^ { n } ( 2 n - 1 )$

③形如 $a _ { n } a _ { n + 1 } = p a _ { n } + q a _ { n + 1 }$

当 $p q \neq 0$ 时， $\frac { p } { a _ { n + 1 } } + \frac { q } { a _ { n } } = 1$

当 $p + q \neq 0$ 时， $p { \left( { \frac { 1 } { a _ { n + 1 } } } - a \right) } + q { \left( { \frac { 1 } { a _ { n } } } - a \right) } = 0 \ , a = { \frac { 1 } { p + q } }$

例2 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $\sqrt { a _ { n } a _ { n - 2 } } = \sqrt { a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } } + 2 a _ { n - 1 } ( n \geqslant 2 )$ ，且 $a _ { 0 } = a _ { 1 } = 1$ ，求 $a _ { n } ( n \geqslant 2 )$ 的表达式.解 由题设可知， ${ \sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } } - 2 { \sqrt { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } } = 1$ ，因此有 $\sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } + 1 = 2 \left( \sqrt { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } + 1 \right)$ ，故 $\left\{ { \sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } } + 1 \right\}$ 是以$\sqrt { \frac { a _ { 1 } } { a _ { 0 } } } + 1 = 2$ 为首项，以2为公比的等比数列，所以 $\sqrt { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } + 1 = 2 ^ { n }$ ，故 $\frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = \left( 2 ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 }$ ，所以

$$
a _ { n } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } \bullet { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n - 2 } } } \bullet \cdots \bullet 1 = \prod _ { k = 2 } ^ { n } \left( 2 ^ { k } - 1 \right) ^ { 2 } ( n \geqslant 2 ) ~ .
$$

④若有 $f ( a _ { n + 1 } , \ a _ { n } , \ a _ { n - 1 } ) = 0$ ，可创造 $a _ { n + 1 } - a _ { n } , a _ { n } - a _ { n - 1 }$ ，命其分别为 $b _ { n + 1 } , b _ { n }$ ，再创造如①,③的情形.

例3 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = { \frac { 1 } { n + 1 } } ( n a _ { n } + a _ { n - 1 } ) ( n \geqslant 1 )$ ，a=1， $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 0$ ，求 $a _ { n } - a _ { n - 1 } ( n \geq 1 )$

解 由题设可知， $( n + 1 ) a _ { n + 1 } - ( n + 1 ) a _ { n } = - ( a _ { n } - a _ { n - 1 } )$ ，故 $a _ { n + 1 } - a _ { n } = - { \frac { 1 } { n + 1 } } ( a _ { n } - a _ { n - 1 } )$ ，所以

$$
a _ { n } - a _ { n - 1 } = \left( - \frac { 1 } { n } \right) \bullet \left( - \frac { 1 } { n - 1 } \right) \bullet \cdots \bullet \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \bullet ( a _ { 1 } - a _ { 0 } ) = ( - 1 ) ^ { n } \bullet \frac { 1 } { n ! } ( n \geqslant 1 ) \ .
$$

⑤当 $f ( a _ { n + 1 } , \ a _ { n } , \ a _ { n - 1 } ) = 0$ 为线性方程，即 $a _ { n + 1 } + A a _ { n } + B a _ { n - 1 } = 0$ 时，因 $a _ { n } = \lambda ^ { n }$ 是其解的形式，故$\lambda ^ { n + 1 } + A \lambda ^ { n } + B \lambda ^ { n - 1 } = 0$ ，有 $\lambda ^ { n - 1 } ( \lambda ^ { 2 } + A \lambda + B ) = 0$ ，若 $\scriptstyle 4 = A ^ { 2 } - 4 B > 0$ ，解此方程有两个互异的实根 $\lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 }$ 则根据线性方程的解的结构有 $a _ { n } = C _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { ~ n } + C _ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { ~ n }$ .若 $\scriptstyle 4 = A ^ { 2 } - 4 B = 0$ ，有 $a _ { n } = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } n ) { \biggl ( } - { \frac { A } { 2 } } { \biggr ) } ^ { n }$ ，并由初始条件来定 $C _ { 1 } , \ C _ { 2 }$ 即可．

(6)倒置法.

将题给表达式取倒数，改变表达式结构，常用于分母复杂、分子单一的情形，即将 $\ " \Delta \ "  \ \ " \nabla \ "$ 例4 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n } + 2 } }$ ，且 $a _ { 1 } = 1$ ，求 $a _ { n }$ 的表达式.

解 由题设可知， $\frac { 1 } { a _ { n + 1 } } = 1 + \frac { 2 } { a _ { n } }$ ，因此有

$$
\frac { 1 } { a _ { n + 1 } } + 1 = 2 \biggl ( \frac { 1 } { a _ { n } } + 1 \biggr ) ,
$$

又 $a _ { 1 } = 1$ ，则 $\frac { 1 } { a _ { 1 } } + 1 = 2$ ，故 ${ \frac { 1 } { a _ { n } } } + 1 = 2 ^ { n }$ ，所以 $a _ { n } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } - 1 } }$

(7)平方开方法.

将题给表达式配成 $a ^ { 2 }$ 或 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的形式，其表达式一般有如下特征．

①倒数之和，即若 $a = \frac { 1 } { b }$ ，则有 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 = ( a - b ) ^ { 2 } + 2$ ，如

$$
x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } - 2 = \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 \ ,
$$

$$
{ \bf e } ^ { 2 x } + { \bf e } ^ { - 2 x } = ( { \bf e } ^ { x } + { \bf e } ^ { - x } ) ^ { 2 } - 2 = ( { \bf e } ^ { x } - { \bf e } ^ { - x } ) ^ { 2 } + 2 .
$$

②线性组合，如若 $a + { \frac { b } { 2 } } = c$ （定值），则

$$
a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } = \left( a + { \frac { b } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 4 } } b ^ { 2 } = c ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 4 } } b ^ { 2 } \ .
$$

$\widehat { 3 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } , a + b + c , a b + b c + a c , ( a + b ) ^ { 2 } + ( b + c ) ^ { 2 } + ( c + a ) ^ { 2 } + \ldots$ 的关系．

$$
a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = ( a + b + c ) ^ { 2 } - 2 ( a b + b c + a c ) \ ,\tag{*}
$$

$$
a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + a b + b c + a c = \frac { 1 } { 2 } [ ( a + b ) ^ { 2 } + ( b + c ) ^ { 2 } + ( a + c ) ^ { 2 } ] .\tag{**}
$$

(\*)，(\*\*)式可将上述表达式联系起来，遇到相关表达式时，可用(\*)，(\*\*)式试着作等式变形与转化.  
④三角函数的倍角公式.

$$
1 + \sin 2 \theta = \left( \sin \theta + \cos \theta \right) ^ { 2 } \ .
$$

注这里可有启发：若 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ( x > 0 , y > 0 )$ 7 $\{ x = \cos \theta , \quad \theta \in ( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } ) \quad$ 则可化简一些式子，如$z = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } + \frac { x } { y } + 1 = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } + \cot \theta + 1 = \csc ^ { 2 } \theta + \cot \theta + 1 = \left( \cot \theta + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 7 } { 4 } \geqslant \frac { 7 } { 4 }$ >1+cot²0

③平方后可简化.

若 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = A$ $a b = B$ ，则 $\vert a + b \vert = \sqrt { \left( a + b \right) ^ { 2 } } = \sqrt { A + 2 B }$

如

$$
\sqrt { 1 + \sqrt { a _ { n } } } + \sqrt { 1 - \sqrt { a _ { n } } } = \sqrt { 2 + 2 \sqrt { 1 - a _ { n } } } \ ,
$$

$$
{ \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 3 } } } } = { \sqrt { 4 + 2 { \times } 1 } } = { \sqrt { 6 } } ~ .
$$

又如

$$
y = \sqrt { x + 1 } + \sqrt { 2 - x } \Rightarrow y ^ { 2 } = 3 + 2 \sqrt { ( 2 - x ) ( x + 1 ) } \ ,
$$

这样一变形，方便讨论最值.

(8)特殊值法.

区 $\boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } _ { 0 }$ ，使欲求表达式与条件表达式产生联系．

如 $f ( x ) = a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d$ ，则

$$
a + b + c + d = f ( 1 ) ,
$$

$$
a - b + c - d = - f ( - 1 ) ,
$$

$$
3 a + 2 b + c = f ^ { \prime } ( 1 ) ,
$$

所以

$$
a + c = \frac { 1 } { 2 } [ f ( 1 ) - f ( - 1 ) ] \ ,
$$

$$
b + d = \frac { 1 } { 2 } [ f ( 1 ) + f ( - 1 ) ] \ .
$$

(9)因式分解法.

$$
a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } = { \frac { a ^ { 3 } - b ^ { 3 } } { a - b } } ,
$$

$$
a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } = { \frac { a ^ { 3 } + b ^ { 3 } } { a + b } } \ .
$$

当 $_ n$ 为正整数时， $a ^ { n - 1 } + a ^ { n - 2 } b + \cdots + a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } = { \frac { a ^ { n } - b ^ { n } } { a - b } }$

当n为正奇数时， $a ^ { n - 1 } - a ^ { n - 2 } b + \cdots - a b ^ { ^ { n - 2 } } + b ^ { n - 1 } = \frac { a ^ { n } + b ^ { n } } { a + b }$

(10)整数幂和法.

$$
1 ^ { k } + 2 ^ { k } + \cdots + n ^ { k } = { \frac { 1 } { k + 1 } } n ^ { k + 1 } + R _ { k } \ .
$$

如

$$
1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + \cdots + n ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 3 } } n ^ { 3 } + R _ { 2 } ,
$$

$$
1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + \cdots + n ^ { 3 } = { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 4 } + R _ { 3 } ,
$$

$$
1 ^ { 4 } + 2 ^ { 4 } + \cdots + n ^ { 4 } = { \frac { 1 } { 5 } } n ^ { 5 } + R _ { 4 } \ .
$$

这在放缩法中有重要作用.

![](images/fa4b551a700225c5aa70ed5d13fee625f4f3e4f6d6f4b58712789f534ac1735c.jpg)

山 例5 计算 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \sin { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + \sin { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + \sin { \frac { n } { n ^ { 2 } } } \right)$

解 由

$$
x - { \frac { 1 } { 6 } } x ^ { 3 } < \sin x < x ( 0 < x < 1 ) ,
$$

故 ${ \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { 1 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + { \frac { 2 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + \cdots + { \frac { n ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } \right) < \sin { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + \sin { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + \sin { \frac { n } { n ^ { 2 } } } < { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } + \cdots$ 而

$$
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } n ( n + 1 ) } { n ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } , \qquad { \frac { 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + \cdots + n ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } = { \frac { { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 4 } + R _ { 3 } } { n ^ { 6 } } } \to 0 ,
$$

无须计算

$$
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \left( { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { n } { n ^ { 2 } } } \right) - { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { 1 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + { \frac { 2 ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } + \cdots + { \frac { n ^ { 3 } } { n ^ { 6 } } } \right) \right] = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { 2 } } n ( n + 1 ) \atop n ^ { 2 }  - 0 = { \frac { 1 } { 2 } } , \qquad N = 2 \pi .
$$

由夹逼准则,

$$
\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } ( \sin \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \sin \frac { 2 } { n ^ { 2 } } + \cdots + \sin \frac { n } { n ^ { 2 } } ) = \frac { 1 } { 2 } \ .
$$

注此题不是形如 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum f { \biggl ( } { \frac { k } { n } } { \biggr ) } { \frac { 1 } { n } }$ 的问题，不能用定积分定义

(11)三角公式法.

①

$$
\begin{array} { l } { { a \sin x + b \cos x = \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } \Bigg ( \sin x { \bullet } \frac { a } { \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } } + \cos x { \bullet } \frac { b } { \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } } \Bigg ) } } \\ { { = \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } ( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi ) = \sqrt { { a ^ { 2 } } + { b ^ { 2 } } } \sin ( x + \varphi ) ~ , } } \end{array}
$$

其中φ为向量(a，b)的方向角.

② $\tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } - \alpha \right) = { \frac { 1 - \tan \alpha } { 1 + \tan \alpha } }$

(12)共轭法.

A与B互为共轭式，可理解为A，B具有函数形式上的相似性，且其代数运算结果简单，当题中出现A时，可考虑B，并与A作运算．

①由于 ${ \sqrt { a } } - { \sqrt { b } } = { \frac { a - b } { { \sqrt { a } } + { \sqrt { b } } } }$ ，故见到 ${ \sqrt { a } } - { \sqrt { b } }$ ，可考虑其共轭式 $\sqrt { a } + \sqrt { b }$

当然，更为广泛地， $a + b$ 与a-b亦互为共轭式.

②由于 $\sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x = 1$ 或 $2 \sin x \cos x = \sin 2 x$ ，则 sin x与cos x互为共轭式.

③由于

$$
( a \sin x + b \cos x ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x + 2 a b \sin x \cos x \ ,
$$

$$
( b \sin x - a \cos x ) ^ { 2 } = b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x - 2 a b \sin x \cos x \ ,
$$

故

$$
( a \sin x + b \cos x ) ^ { 2 } + ( b \sin x - a \cos x ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \ .
$$

所以见到 $a \sin x + b \cos x$ ，可考虑其共轭式 $b \sin x - a \cos x$

④由于

$$
\cos a x \cos b x + \sin a x \sin b x = \cos ( a - b ) x \ ,
$$

$$
\cos a x \cos b x - \sin a x \sin b x = \cos ( a + b ) x \ ,
$$

故见到cos ax cos bx，可考虑其共轭式 sin ax sin bx.

例6已知 $f ( x ) = \cos a x \cos b x$ ，则 $f ^ { ( n ) } ( x ) = { \underline { { \quad } } }$

解 应填 $\frac { ( a + b ) ^ { n } } { 2 } \cos \left[ ( a + b ) x + \frac { n \pi } { 2 } \right] + \frac { ( a - b ) ^ { n } } { 2 } \cos \left[ ( a - b ) x + \frac { n \pi } { 2 } \right] .$

方法一积化和差.

先将函数变形为 $\scriptstyle { \mathcal { f } } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } [ \cos ( a + b ) x + \cos ( a - b ) x ]$ ，再利用常用函数的高阶导数公式得

$$
f ^ { ( n ) } ( x ) = { \frac { ( a + b ) ^ { n } } { 2 } } \cos \left[ ( a + b ) x + { \frac { n \pi } { 2 } } \right] + { \frac { ( a - b ) ^ { n } } { 2 } } \cos \left[ ( a - b ) x + { \frac { n \pi } { 2 } } \right] .
$$

方法二直接使用莱布尼茨公式.

$$
{ \begin{array} { r } { f ^ { ( n ) } ( x ) = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } a ^ { k } \cos { \left( a x + { \frac { k \pi } { 2 } } \right) } \bullet b ^ { n - k } \cos { \left[ b x + { \frac { ( n - k ) \pi } { 2 } } \right] } } \\ { = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } a ^ { k } b ^ { n - k } \cos { \left( a x + { \frac { k \pi } { 2 } } \right) } \cos { \left[ b x + { \frac { ( n - k ) \pi } { 2 } } \right] } . } \end{array} }
$$

注尽管法二看起来似乎直接，但读者应当充分意识到，其结果是没有什么实用价值的，如果要求0处的高阶导数值，法二的结果做不到，真正有价值的结果应该仍然是法一所给出的（至少不带有求和符号），而这就需要对三角函数进行积化和差的变换：题目所给的是乘积的形式，求导是复杂的，但如果能变成加减法，每一项求导是简单的，几个式子的加减当然仍然是简单的，我们常见的裂项、这里的积化和差，都是朝加减法的角度做转化.

也希望读者能借此记住三角函数的积化和差与和差化积公式，形如此题的积化和差不仅在求高阶导数时会遇到，未来在求原函数时一样可能遇到.

此题中涉及的公式可以简要推导如下，即寻找cosaxcosbx的共轭式：

$$
\cos a x \cos b x + \sin a x \sin b x = \cos ( a - b ) x ~ , ~ \cos a x \cos b x - \sin a x \sin b x = \cos ( a + b ) x ~ ,
$$

两式相加、相减即得到两个积化和差公式，类似方法可以得到另外两个积化和差公式，对其换元，即可得到和差化积公式

显然，以上内容还未包括以下常用的等式变形：

① $a = a + b - b$ （加项减项）.

$a = \frac { a } { b } \bullet b$ （除项乘项）.

1 $1 = a \bullet { \frac { 1 } { a } } = \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x = a ^ { 0 }$ （1的转化）（如 $1 = \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { \circ } } \ \boldsymbol { ) }$

$x ^ { 4 } + 1 = x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right)$ （创造 $a + \frac { 1 } { a } )$

⑤ $a ^ { b } = c ^ { d } \Rightarrow b \ln a = d \ln c$ （取对数法）.

⑥ $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$

## ②不等式变形

用不等号连接数学中的量A与量B，称为不等式，于是A与B的相互转化形成了放大与缩小，即不等式变形.

(1)抽象型基本不等关系.

① $0 \leqslant a + | a | \leqslant 2 | a |$

② $\mid a \mid = \mid a - b + b \mid \leqslant \mid a - b \mid + \mid b \mid$

③ $\mid a - b \mid = \mid a - c + c - b \mid \leqslant \mid a - c \mid + \mid c - b \mid$ →三个量的关系

${ \frac { 2 } { { \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { b } } } } \leqslant \sqrt [ 6 ] { a b } \leqslant { \frac { a + b } { 2 } } \leqslant \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } \ ( a , \ b > 0 )$

5 $\vert \stackrel { \lbrack a b ) \vert \leqslant \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }$

$\enclose{circle} { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \geq 2 a b .  \cdots ^ { - 3 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } -$ 为目标放缩$4 a b { \leqslant } ( a + b ) ^ { 2 } \leqslant 2 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } )$ $\begin{array} { l l } { { \ldots } } &  { { } ^ { \bullet } a + b { \mathrm {  ~ \Pi ~ } } ^ { \bullet } { \mathfrak { K } } { \mathrm {  ~ \} } ^ { \bullet } ( a + b ) ^ { 2 } { \mathrm {  ~ \cdot ~ } } } } \\ { { \widehat { \mathcal { H } } { \mathrm {  ~ \div ~ } } { \widehat { \mathcal { H } } } { \mathrm {  ~ \div ~ } } { \widehat { \mathcal { H } } } { \mathrm {  ~ \xi ~ } } { \widehat { \mathcal { H } } } { \mathrm {  ~ \cdot ~ } } } } \end{array}$

8 $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \geq \frac { 2 } { \sqrt { a b } } ( a , b > 0 )$ $\gamma ^ { \cdots 3 } \cdot \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \cdot$ 为目标放缩

$$
\enclose{circle} { 9 } \enclose{circle}  \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \geq \frac { 4 } { a + b } ( a , \ b > 0 )
$$

10 $\enclose{circle} { ( a + b ) } \left( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \right) \geqslant 4 ( a , \ b > 0 ) \ . \qquad \stackrel { \triangledown } { \scriptscriptstyle \mathscr { A } } { } ^ { * } = a + b ^ { * } \ { } ^ { * } \ { } ^ { * } \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } ^ { * } \ .$ 为目标放缩

① $\scriptstyle \sum _ { c } ^ { \prime } + { \frac { b ^ { 2 } } { d } } \geq { \frac { ( a + b ) ^ { 2 } } { c + d } } ( a , \ b , \ c , \ d > 0 ) \ .$ $\ldots 3 \ ^ { - } k _ { 1 } a ^ { 2 } + k _ { 2 } b ^ { 2 } \ ^ { - }$ 为目标放缩

① ${ \frac { a + b + c } { 3 } } \geqslant { \sqrt [ { 3 } ] { a b c } } ( a , b , c > 0 )$

如： $a > 0 \ , \frac { 2 a ^ { 3 } + 1 } { 3 a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 3 } \left( a + a + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \right) \geqslant \sqrt [ 3 ] { a \bullet a \bullet \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } = 1$

? $a + { \frac { 1 } { a } } \geq 2 ( a > 0 )$

如：a>1， $\frac { ( a - 1 ) ^ { 2 } + 1 } { a - 1 } = a - 1 + \frac { 1 } { a - 1 } \geqslant 2 \sqrt { ( a - 1 ) \bullet \frac { 1 } { a - 1 } } = 2$ ‘(x-a)²+(b-x)²”为目标放缩

4 $\frac { ( b - a ) ^ { 2 } } { 2 } \leqslant ( \lfloor - a \rfloor ^ { 2 } + ( b - x ) ^ { 2 } ) \leqslant ( b - a ) ^ { 2 } , x \in [ a , \ b ]$

$$
\enclose{circle} { 1 5 } \frac { ( b - a ) ^ { 3 } } { 4 } \leqslant \left( \underline { { { ( x - a ) } } } ^ { 3 } + { ( b - x ) } ^ { 3 } \right) \leqslant ( b - a ) ^ { 3 } , \ x \in [ a , \ b ] ^ { - 3 } \ . \ x - a ) ^ { 3 } + ( b - x ) ^ { 3 - \ \frac { 2 } { 9 0 } } \ \sharp \sharp \sharp \sharp \sharp \cdot \partial _ { x } \varphi .
$$

$$
\| \widehat { \Theta } \left| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { a } ^ { b } \left| f ( x ) \right| \mathrm { d } x ( a < b ) \ .
$$

$$
\left\| { \mathfrak { D } } \right\| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \bigg | } = \left| \int _ { a } ^ { c } f ( x ) \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x \right| \leqslant \int _ { a } ^ { c } [ f ( x ) | \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } | f ( x ) | \mathrm { d } x \ .
$$

?8 $( a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } ) ( b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } )$ （柯西不等式）.

注设 $\alpha = ( a _ { 1 } , \ a _ { 2 } ) \ , \beta = ( b _ { 1 } , \ b _ { 2 } )$ 则 $\alpha \cdot \beta = \| \alpha \| \| \beta \| \cos \theta$ 即 $a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } = \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } \bullet \sqrt { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } ,$ $\cos \theta$ .显然， $\cos \theta { \leqslant } 1$ 故有 $( a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } ) \bullet ( b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } )$ cosθ是刻画α，β位置关系的量，α，β越趋向于“正交”位置关系， $a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 }$ 越小，此不等式在积分学中的表达为

$$
{ \biggl [ } \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x { \biggr ] } ^ { 2 } \leqslant \int _ { a } ^ { b } f ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \bullet \int _ { a } ^ { b } g ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x \ .
$$

(2)抽象型条件不等关系.

这里的不等关系，是要在相关变量满足一定条件下才能成立的，故称条件不等关系.

① $0 < a < 1 \Rightarrow a > a ^ { 2 } , \frac { a ^ { 2 } } { 2 } < a - \frac { a ^ { 2 } } { 2 } < a$

② $0 < a < 1 \Rightarrow ( 1 - a ) ^ { n } - ( 1 - a ) ^ { n + 1 } = ( 1 - a ) ^ { n } ( 1 - 1 + a ) = ( 1 - a ) ^ { n } \bullet a > 0$

V 以“ab”为起点， $" a + b "$ ③若 $\enclose{circle} { a b } = A$ ，则 $\enclose{circle} { a + b } { \geq } 2 \sqrt { A } ( a , b > 0 ) .$ 为目标放缩

④若 $\enclose{circle} { a + b } = A$ ，则 $\enclose{circle} { a b } { < } \frac { 1 } { 4 } A ^ { 2 } ( a , b > 0 )$ $\overrightarrow { a } + b ^ { - }$ 为起点， $" a b "$ 为目标放缩

如： $x _ { 0 } + ( 1 - x _ { 0 } ) = 1 \ , x _ { 0 } \in ( 0 , \ 1 )$ ，则 $x _ { 0 } ( 1 - x _ { 0 } ) { \leqslant } \frac { 1 } { 4 } , \ \frac { 1 } { x _ { 0 } ( 1 - x _ { 0 } ) } { \geqslant } 4$

⑤ $c \geqslant M \Rightarrow a + b + c \geqslant a + b + M$

⑥ $c { \leqslant } M \Rightarrow a + b + c { \leqslant } a + b + M$

? $\mid c \mid \leqslant M \Rightarrow \mid a + b + c \mid \leqslant \mid a \mid + \mid b \mid + \mid c \mid \leqslant \mid a \mid + \mid b \mid + M$

8 $a _ { n } > 0 \ , a _ { n }$ 单调减少 $\cdot \Rightarrow a _ { n + 1 } \leqslant { \sqrt { a _ { n } a _ { n + 1 } } }$

⑨ $a , \ b > 0 \Rightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { a + b } } } < { \frac { 1 } { \sqrt { a } } }$

a>1,b>0=-va<a-√a <1 a+b a

① $\alpha > 1 \Rightarrow \frac { a } { 1 + a } > \frac { 1 } { 2 }$

$0 < a < 1 \Rightarrow { \frac { a } { 2 } } < { \frac { a } { 1 + a } } < a$

3 $0 < a < \frac { 1 } { 2 } \Rightarrow a < \frac { a } { 1 - a } < 2 a$

4 $0 < a < 1 \Rightarrow \frac { a } { 1 - a } > a$

$\mid 0 < a < 1 \Rightarrow 1 - \sqrt { 1 - a } = \frac { a } { 1 + \sqrt { 1 - a } } < a$

16 $\textrm { ) } a > 0 \Rightarrow \sqrt { b ^ { 2 } - 2 a b + 2 a ^ { 2 } } = \sqrt { ( b - a ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \geqslant | b - a |$

? $b > a > 0 \Rightarrow \sqrt { b ^ { 2 } - 2 a b + 2 a ^ { 2 } } = \sqrt { b ^ { 2 } - 2 a ( b - a ) } \leqslant b$

$0 < a < 2 \Rightarrow \sqrt { a ( 2 - a ) } \leqslant \frac { a + 2 - a } { 2 } = 1$

$$
\enclose{circle} { 1 9 } 0 < a < \frac { 1 } { 2 } \Rightarrow \sqrt { a ( 1 - 2 a ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 2 a ( 1 - 2 a ) } \leqslant \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bullet \frac { 2 a + 1 - 2 a } { 2 } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \ .
$$

b

$\displaystyle a + \frac { 4 } { a } ( a > 0 ) \leqslant 4 \Longrightarrow ( a - 2 ) ^ { 2 } \leqslant 0 \Longrightarrow a = 2$

4,<<4=444

(3)初等函数不等关系.

$\mathbf { e } ^ { x } \geqslant x + 1 \Rightarrow \mathbf { e } ^ { \circ } \geqslant \ j + 1$ ，如： $\mathbf { e } ^ { x - 1 } \geqslant x$

② $\mathtt { e } ^ { x } \geqslant \mathtt { e } x$

③ $1 - { \frac { 1 } { x } } \leqslant \ln x \leqslant x - 1$

④当 $0 < x < 1$ 时， ${ \frac { x } { x + 1 } } { \leqslant } \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) { \leqslant } { \frac { 1 } { x } }$

如： $\ln ( 1 + n ) \leqslant n$ ；ln $n < n ~ ; ~ \frac { 1 } { \ln \sqrt { n } } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { 2 } \ln n } = \frac { 2 } { \ln n } > \frac { 2 } { n } ~ .$

事实上，根据泰勒展开式，当 $x > 0$ 时，

$$
\ln ( 1 + x ) = x - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } - \cdots .
$$

又有

$$
\ln ( 1 + x ) - x = - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } - \cdots > - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } ,
$$

$$
x - \ln ( 1 + x ) = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \cdots < \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } ,
$$

故

$$
\frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \ln \frac { n ^ { 2 } + 1 } { n ^ { 2 } } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \ln \left( 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) < \frac { 1 } { 2 n ^ { 4 } } \ .
$$

⑤ $\mathrm { e } ^ { x } - \ln x > 2$

⑥ $n ! < n ^ { n } , \ln n ! < \ln n ^ { n } = n \ln n , n > 1$

7 $\sin x < x < \tan x \ , x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right)$

⑧ ${ \frac { 2 } { \pi } } < { \frac { \sin x } { x } } < 1 , \ x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right)$

9 $1 < \frac { \tan x } { x } < \frac { 4 } { \pi } , \ x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$

$\left( 1 + { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { x } < \mathbf { e } , \ x > 0$

① $x \ln x \geq - { \frac { 1 } { \mathrm { e } } } , \ x > 0$

① $\lvert \cos x \lvert = \left. \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } - x \right) \right. \leqslant \left. x - { \frac { \pi } { 2 } } \right.$

(4)函数性态中的不等关系.

①极限保号性中的不等关系.

若 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = a \neq 0$ ，则当n足够大时，有 $\left| x _ { n } \right| > { \frac { \left| a \right| } { 2 } }$

若 $\operatorname* { l i m } _ { x \to \cdot } f ( x ) = a \neq 0$ ，则当x与·足够接近时，有 $| f ( x ) | > { \frac { | a | } { 2 } }$

当a=0时，当n足够大时，有 $\left| x _ { n } \right| < { \frac { 1 } { 2 } }$ ，当x与·足够接近时，有 $| f ( x ) | < \frac { 1 } { 2 }$

②函数单调性中的不等关系.

a.若f(x)单调递增，则当 $x > x _ { 0 }$ 时， $f ( x ) \geqslant f ( x _ { 0 } )$

b.若f(x)单调递增，则 $( x - x _ { 0 } ) [ f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) ] { \geqslant } 0$

如：f(x)在[a,b]上单调递增 $\Rightarrow { \Bigg \{ } { \Bigg [ } f ( x ) - f { \Bigg ( } { \frac { a + b } { 2 } } { \Bigg ) } { \Bigg ] } { \Bigg ( } x - { \frac { a + b } { 2 } } { \Bigg ) } \geq 0 ,$

c.a， $b > 0 \ , a = \ln ( a + \mathrm { e } ^ { b } ) \Rightarrow a > \ln \mathrm { e } ^ { b } = b ( \ln x .$ 单调）.

d.0<a，b<π cosa-a=cosb=cosa-cosb=a>0（cos x单调） $\Rightarrow b > a$ 2

e.若f(x)单调递增，x>0，则 ${ \frac { x f ( x ) - \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t } { x ^ { 2 } } } = { \frac { x f ( x ) - f ( \xi ) x } { x ^ { 2 } } } = { \frac { f ( x ) - f ( \xi ) } { x } } > 0 \ , \xi \in ( 0 , \ x )$

f.若f(x)单调递减，则 $\sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } f ( k + 1 ) \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } f ( x ) \mathrm { d } x \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } f ( k ) \mathrm { d } x = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } f ( k ) $

如： $\sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { k + 1 } } \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x \leqslant \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { k } ^ { k + 1 } { \frac { 1 } { k } } \mathrm { d } x = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { k } }$ 即 ${ \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } \leqslant \int _ { 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x \leqslant 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n - 1 } }$ ，也即 ${ \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } \leqslant \ln n \leqslant 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n - 1 } }$ ，从而 $\ln 2 > { \frac { 1 } { 2 } } , \ln 3 > { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } > { \frac { 2 } { 3 } } , \cdots , \ln n > { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { n } } > { \frac { n - 1 } { n } }$

故 $\ln 2 \bullet \ln 3 \bullet \cdots \ln n > { \frac { 1 } { 2 } } \bullet { \frac { 2 } { 3 } } \bullet \cdots \bullet { \frac { n - 1 } { n } } = { \frac { 1 } { n } }$

③曲线凹凸性中的不等关系.

$$
f ^ { \prime } ( x ) > 0 \Longrightarrow f ( x ) \leqslant f ( a ) + \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } ( x - a ) , \ a \leqslant x \leqslant b \ .
$$

④积分不等关系.

$$
0 < a _ { n } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \tan ^ { n } x \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { t ^ { n } } { 1 + t ^ { 2 } } } \mathrm { d } t < \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { n } \mathrm { d } t = { \frac { 1 } { n + 1 } } \Rightarrow 0 < a _ { n } < { \frac { 1 } { n + 1 } } < { \frac { 1 } { n } } \Rightarrow { \frac { a _ { n } } { n ^ { p } } } < { \frac { 1 } { n ^ { 1 + p } } } \ .
$$

③绝对值不等关系.

$$
\begin{array} { r l } { \displaystyle \| { \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \mathrm { d } x - \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \frac { k - 1 } { n } ) } \| = \displaystyle | { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { \frac { k - 1 } { n } } ^ { \frac { k } { n } } f ( x ) \mathrm { d } x - \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( \frac { k - 1 } { n } ) } | } & { } \\ { \displaystyle } & { = | { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { \frac { k } { n } - 1 } ^ { \frac { k } { n } } [ f ( x ) - f ( \frac { k - 1 } { n } ) ] \mathrm { d } x } | } \\ { \displaystyle } & { \leqslant { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { \frac { k } { n } - 1 } ^ { \frac { k } { n } } \int _ { f } ( x ) - f ( \frac { k - 1 } { n } ) } \| \mathrm { d } x \ . } \end{array}
$$

(5)消去法中的不等关系.

①因 $\frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } } > \frac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 n - 1 } - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \right) \nonumber$ ，故

$$
{ \begin{array} { r l } & { 1 + { \cfrac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + { \cfrac { 1 } { 5 ^ { 2 } } } + \dots + { \cfrac { 1 } { ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } } } > 1 + { \cfrac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { 1 } { 3 } } - { \cfrac { 1 } { 5 } } + { \cfrac { 1 } { 5 } } - { \cfrac { 1 } { 7 } } + \dots + { \cfrac { 1 } { 2 n - 1 } } - { \cfrac { 1 } { 2 n + 1 } } \right) } \\ & { \qquad = 1 + { \cfrac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { 1 } { 3 } } - { \cfrac { 1 } { 2 n + 1 } } \right) } \\ & { \qquad = { \cfrac { 7 } { 6 } } - { \cfrac { 1 } { 2 ( 2 n + 1 ) } } ~ . } \end{array} }
$$

$$
( \overline { { { 2 } } } ) 0 < a < b \ , \ \sqrt { b } - \frac { a } { \sqrt { b } } = \frac { b - a } { \sqrt { b } } = \frac { ( \sqrt { b } + \sqrt { a } ) ( \sqrt { b } - \sqrt { a } ) } { \sqrt { b } } = \left( 1 + \sqrt { \frac { a } { b } } \right) ( \sqrt { b } - \sqrt { a } ) < 2 ( \sqrt { b } - \sqrt { a } ) \ .\tag{③}
$$

$$
S _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } \ , a _ { n } > 0 \Rightarrow { \frac { a _ { n } } { S _ { n } ^ { 2 } } } = { \frac { S _ { n } - S _ { n - 1 } } { S _ { n } ^ { 2 } } } < { \frac { S _ { n } - S _ { n - 1 } } { S _ { n } \bullet S _ { n - 1 } } } = { \frac { 1 } { S _ { n - 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { n } } } \ ,
$$

故

$$
\sum _ { k = 2 } ^ { n } { \frac { a _ { k } } { S _ { k } ^ { 2 } } } < { \frac { 1 } { S _ { 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { 2 } } } + { \frac { 1 } { S _ { 2 } } } - { \frac { 1 } { S _ { 3 } } } + \ldots + { \frac { 1 } { S _ { n - 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { n } } } = { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } - { \frac { 1 } { S _ { n } } } \ .
$$

本部分内容至此结束，但本书作者希望考生将本部分内容反复练习、思考，自行扩充，甚至反复抄写，达到能背诵的程度，你自会发现能力不知不觉上来了.变形能力的提升，既要在科学的方向，也要有足够量的反复实践，若解题者数学变形可如行云流水，则可达“用数学思考数学”的状态，这便是真正学会了.

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参与打卡活动免费领27版《张宇强化36

高等数学18讲主编张宇 A

## 活动时间

打卡时间：2025.10.15-2026.8.30

兑奖时间：2025.10.15-2026.8.30

## 以下两种玩法任选其一

## 玩法

## 活动规则

活动期间发布10篇优质笔记（不要求连续，且每天最多发布1篇），内容必须原创。

（1）平台：仅限小红书

(2）标题：张宇30讲【某章节/知识点】复盘总结（例如中值定理）

(3）正文：>500字（本章节的详细复盘总结）

（4）图片：>5张（必须含30讲封面、内页笔记、张宇课程页面）

（5）话题词：#张宇基础30讲#考研数学基础#27考研 #30讲#张宇30讲

## 玩法②

## 活动规则

活动期间发布打卡笔记满足60天/90天（不要求连续，且每天最多发布1篇），内容必须原创。

(1）平台：小红书或抖音

(2）标题：张宇30讲+打卡第X天+【某章节/知识点】

(3）正文：>100字，内容为今日学习内容（某章节、某知识点、某题目等）、学习感受

（4）图片或视频：图片>3张或视频>1min（必须含30讲封面、内页笔记、张宇课程页面）

（5）话题词：#张宇基础30讲#考研数学基础#27考研#30讲#张宇30讲

## 奖品内容

审核通过可免费获得1本27版《张宇高数18讲》

![](images/5797489beed9e45d2063ad761a9201b433ae98f8fd9c17375e8e399666c020e7.jpg)

## 温馨提示

1、玩法①和玩法②不可重复参与。

2、玩法②两项奖励不叠加。

3、本活动最终解释权归启航教育所有。

## 奖品内容

打卡60天，可免费获得1本27版《张宇高数18讲》

![](images/80e6c23cf583b9686927aa1b1edac4538e4ba07c359c97cc388fff1f11216cd6.jpg)

打卡90天，可免费获得1套27版《张宇强化36讲》（包含高数18讲、线代9讲、概率9讲）

![](images/d688255a6f5f78abd4af93830c0f0d9939e4c3c6bc80c02eed0a9b3f523c74f1.jpg)

## 兑奖入口

①扫码联系老师进群

②填写兑奖链接

## 第①步

![](images/42f7c6b7ffd9b89a0861aec05bc6a69a28d2f52f443d4f693776dc600d8d5eb5.jpg)

![](images/0e1328210d03bf0a5cfe8a98329175c3ff29d1b262d395f45e1d3d44473a4b45.jpg)
