## 第17讲

## 多元函数积分学的预备知识（仅数学一）

![](images/7de35d4e2e54aa756eaf4288af04818d1dafbf7af700e2a00cf95cbf98255035.jpg)

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>空间曲线与曲面方程、曲线切线与法平面、曲面切平面与法线的求解，散度与旋度的概念、方向导数和梯度的计算</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题、填空题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①会计算空间曲线与曲面的方程，会求曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；②了解散度与旋度的概念，并会计算方向导数和梯度</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>空间曲线与曲面方程的求解</td></tr></table>

![](images/4981703c06e8155c1385d2a5b773838fc8f757c7991164d67a70af241788a46e.jpg)

## 基础知识结构

![](images/6a2e86a522225eac149183d238c1571d743e02c89906e95a81df77b7fb3a15db.jpg)

![](images/c5e312b455f0f97b83e96e09653b2d6949c22c3f76d698e1e78ea22433f246cc.jpg)

![](images/279f8e6b322d33812b8708a7d8e4ece42c3585f623c1a9124deff03b4789e461.jpg)

![](images/6ce9d1964e27f45cc817f2ff453593d86c4d9d0c32e620909da783b7643cc0c8.jpg)

## 基础内容精讲

## 向量代数

## 向量及其表达形式

既有大小又有方向的量称为向量.

注两个向量，只要它们的大小相等、方向相同，它们就是相等的向量，与它们在空间中的位置无关（这也称为向量的自由性）.

向量的表达形式为

$$
\boxed { a } = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) = a _ { x } \dot { \iota } + a _ { y } \dot { \pm } { a _ { z } } k \ .
$$

→高等数学中手写要打箭头：a.

## ②向量的运算及其应用

设 $a = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) , b = ( b _ { x } , b _ { y } , b _ { z } ) , c = ( c _ { x } , c _ { y } , c _ { z } ) , a , b , c$ 均是非零向量.

线性代数中不需要， $a = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] }$

(1)数量积（内积、点积)及其应用.

→结果是数

① $\begin{array} { r } { { \bf { \sigma } } \cdot { \bf { \sigma } } b = ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) \bullet ( b _ { x } , b _ { y } , b _ { z } ) = a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } } \end{array}$

》可以用此公式反求买用$\scriptstyle a \cdot b = \left| a \right| \left| b \right| \cos \theta$ ，则 $\cos \theta = \frac { { a \cdot b } } { { \left| a \right| } { \left| b \right| } } = \frac { { a _ { x } } { b _ { x } } + { a _ { y } } { b _ { y } } + { a _ { z } } { b _ { z } } } { \sqrt { { a _ { x } ^ { 2 } } + { a _ { y } ^ { 2 } } + { a _ { z } ^ { 2 } } } \cdot \sqrt { { b _ { x } ^ { 2 } } + { b _ { y } ^ { 2 } } + { b _ { z } ^ { 2 } } } }$ ，其中θ为a,b的夹角.

$a \perp b \Leftrightarrow \theta = \frac { \pi } { 2 } \Leftrightarrow a \cdot b = \left| a \right| \left| b \right| \cos \theta = 0 \Leftrightarrow \left| a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } = 0 \right|$ ·垂直方程最常用 J

例：若(1，2，1)与(a，1，-1)垂直，则a+2-1=0，即a=-1

> =lalcosθA $\boxed { \mathrm { P r } \mathbf { j } _ { b } \pmb { a } } = \frac { \pmb { a } \cdot \pmb { b } } { \vert \pmb { b } \vert } = \frac { a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } } { \sqrt { b _ { x } ^ { 2 } + b _ { y } ^ { 2 } + b _ { z } ^ { 2 } } }$ ，称为a在b上的投影，

(2)向量积(外积、叉积)及其应用.

![](images/214397a219a65c6544754f3654f725e46da4b213c410f64e5e311b7a2117309c.jpg)

$\pmb { a } \times \pmb { b } = \left| a _ { x } \begin{array} { c c c } { \pmb { i } } & { \pmb { j } } & { \pmb { k } } \\ { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \\ { b _ { x } } & { b _ { y } } & { b _ { z } } \end{array} \right|$ → →b，其中 $| \pmb { a } \times \pmb { b } | = | \pmb { a } | | \pmb { b } | \sin \theta$ ，用右手规则确定方向（转向角不超过π)，0为a,b

的夹角.

反平行a $/ / \ b \Leftrightarrow \theta = 0$ 或 $\left| \Leftrightarrow \middle | \frac { a _ { x } } { b _ { x } } = \frac { a _ { y } } { b _ { y } } = \frac { a _ { z } } { b _ { z } } \right|$

(3)混合积及其应用.

![](images/dd4b965ac67224d677957602717252ebb3d3c4e5afce31510aef96368eef9bd1.jpg)

![](images/14cd81f4fac87c3cde54724005a24d9a777151b14ccdead66d9d3d4201a38abf.jpg)

② $\scriptstyle { \left| \begin{array} { l l l } { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \\ { b _ { x } } & { b _ { y } } & { b _ { z } } \\ { c _ { x } } & { c _ { y } } & { c _ { z } } \end{array} \right| } = 0 \Leftrightarrow$ 三向量共面：

![](images/67c8d7cddba39adcdf63a211a98a967dcbb26c9ff210701d1ee5f1a857e460e6.jpg)

## ③向量的方向角和方向余弦

(1)非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角α，β，γ称为a的方向角.

![](images/48a4a63ff090d8902f247185faafb58c0c353d88a0af708ba90a050bbd30478d.jpg)

![](images/d0ecf292be71551043d11b6d780cbf60438d9358f77dc825bb4a91eb772ba44a.jpg)

(2) $\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma$ 称为a的方向余弦，且 $\cos \alpha = \frac { a _ { x } } { \left| a \right| } , \cos \beta = \frac { a _ { y } } { \left| a \right| } , \cos \gamma = \frac { a _ { z } } { \left| a \right| }$

(3) $\stackrel { \circ } { \pmb { a } ^ { \circ } } = \frac { \pmb { a } } { | \pmb { a } | } = ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )$ 称为向量a的单位向量(表示方向的向量).

$$
r = x i + y j + z k = ( r \cos \alpha , r \cos \beta , r \cos \gamma ) = r ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )
$$

$$
\cos \alpha , \cos \beta
$$

cosγ为r的方向余弦，r为r的模, $\cos \alpha = \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \cos \beta = \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \cos \gamma = \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ,$ $r = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } }$ $\cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \beta + \cos ^ { 2 } \gamma = 1$

例a=(1,1,2), $\vert a \vert = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 6 }$

例17.1 设函数f(x，y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,

$$
a ^ { \circ } = \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } , { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } , { \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } } \right)
$$

$\left. \pmb { n } = \left( \frac { \partial f } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial y } , - 1 \right) \right| _ { ( 0 , 0 ) }$ ，则，lim n.(x，y，f(x，y))(x，）（0,0） √x²+y²

分析可微：△z-dz=(p).

解 应填0.

因为f(x，y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，所以

$$
f ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) = \frac { \partial f } { \partial x } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } ( x - 0 ) + \frac { \partial f } { \partial y } \bigg | _ { ( 0 , 0 ) } ( y - 0 ) + o \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) ,
$$

故 ${ \frac { \partial f } { \partial x } } { \bigg | } _ { ( 0 , 0 ) } x + { \frac { \partial f } { \partial y } } { \bigg | } _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) = o \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right)$ ，即

$$
\operatorname * { l i m } _ { ( x , y )  ( 0 , 0 ) } \frac {  \frac { \partial f } { \partial x } | _ { ( 0 , 0 ) } x + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = 0 .
$$

因为 $\left. \pmb { n } = \left( \frac { \partial f } { \partial x } , \frac { \partial f } { \partial y } , - 1 \right) \right| _ { ( 0 , 0 ] }$ ，所以 $ \pmb { n } \bullet ( \boldsymbol { x } , y , f ( x , y ) ) = \frac { \partial f } { \partial x } | _ { ( 0 , 0 ) } x + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { ( 0 , 0 ) } y - f ( x , y )$ ，从而

$$
\operatorname * { l i m } _ { ( x , y )  ( 0 , 0 ) } \frac { n \cdot ( x , y , f ( x , y ) ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = 0 \ .
$$

![](images/c30dc4dc3f143219c82499468956e84825d5776ede1920e39662668809f3066e.jpg)

![](images/ed603e11477dc3bfe7313c3c0ea88414dcddbe218fd4261b566cb249fe187c53.jpg)

## 空间平面与直线

## 平面方程

以下假设平面的法向量n=(A,B,C)

①一般式： $A x + B y + C z + D = 0$

${ \mathfrak { L } } \sharp \circ \varprojlim _ { \mathbf { \Phi } ^ { * } \mathbf { \Phi } ^ { * } } \varPsi _ { \mathfrak { o } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } , \ z _ { 0 } ) }$ 一法向量n)，定平面的二要素过一点P。

$$
\overrightarrow { P _ { 0 } P } = ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } , z - z _ { 0 } ) , \ ; \ ; \ ; \overrightarrow { P _ { 0 } P } \perp n \Rightarrow ( \overrightarrow { P _ { 0 } P } , n ) = 0 ,
$$

即 $A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0$

将点法式展开，记 $D _ { 1 } = A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 }$ ，则得到一般式的形式

②点法式： $A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0$

③三点式： $\begin{array} { r l } { \left| x - x _ { 1 } \quad y - y _ { 1 } \quad z - z _ { 1 } \right| } & { { } } \\ { \left| x - x _ { 2 } \quad y - y _ { 2 } \quad z - z _ { 2 } \right| = 0 } & { { } } \\ { \left| x - x _ { 3 } \quad y - y _ { 3 } \quad z - z _ { 3 } \right| ( \vec { x } . } \end{array}$ （平面过不共线的三点 $P _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } ) , i = 1 , 2 , 3 \ )$ 常用）

![](images/2f945689922ad97de7449a8e67630e110fa66179ec194c4032804a218518b10d.jpg)

三点连线构成一个平面

④截距式： $\displaystyle { \frac { x } { a } } + { \frac { y } { b } } + { \frac { z } { c } } = 1$ （平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点）.

![](images/16e78ea3a631422f8d47b2927d0940f5f67fb593f08a66b3055e54499a0015ff.jpg)

③平面束方程：设 $\pi _ { i } \colon A _ { i } x + B _ { i } y + C _ { i } z + D _ { i } = 0 , i = 1 , ~ 2 ~ . ~ A _ { 1 } , ~ B _ { 1 } , ~ C _ { 1 }$ 与 $A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 }$ 不成比例，则 过L： $\left\{ \begin{array} { l } { { A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 , } } \\ { { A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 } } \end{array} \right.$ 的平面束方程为

(交面式方程)

$$
A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } + \lambda ( A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } ) = 0 \ ( \widehat { \mathcal { K } } \widehat { \Xi } \ \pi _ { 2 } \ ) ,
$$

或

$$
A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } + \lambda ( A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } ) = 0 \ ( \widehat { \mathcal { K } } \widehat { \Xi } \ \pi _ { 1 } \ ) .
$$

![](images/334cea1f31a2055c0e117a769338f34300a976396705eca9d702762f471a9bf3.jpg)

π，π的法向量分别为n=(A，B，Ci)，n=(A，B,C)，

$\lambda n _ { 1 } + \mu n _ { 2 }$ 生成整个平面，

$\lambda ( A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } ) + \mu ( A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } ) = 0$ 表示过交线的所有平面.

令=1，则不包含π，令μ=1，则不包含 $\pi _ { 1 }$

## ②直线方程

以下假设直线的方向向量 $\pmb { \tau } = ( l , m , n )$

①一般式： $\begin{array} { r } { \left\{ A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } z + D _ { 1 } = 0 , n _ { 1 } = ( A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 } ) , \right. } \\ { \left. A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } z + D _ { 2 } = 0 , n _ { 2 } = ( A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } ) \right. } \end{array}$ 其中 $\pmb { n } _ { 1 }$ 不平行于 ${ \pmb n } _ { 2 }$ (交面式方程)

## 注其几何背景很直观，是两个平面的交线，且该直线的方向向量 ${ \pmb \tau } = { \pmb n } _ { 1 } \times { \pmb n } _ { 2 }$

[方向向量②点向式： ${ \frac { x - x _ { 0 } } { l } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { m } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { n } }$ 二要素过一点P。

$$
\pmb { n } _ { 1 }
$$

$$
\pmb { n } _ { 2 }
$$

③参数式： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x _ { 0 } + l t , } \\ { y = y _ { 0 } + m t , P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } \\ { z = z _ { 0 } + n t , } \end{array} \right.$ 为直线上的已知点，t为参数.

④两点式： ${ \frac { x - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } } = { \frac { y - y _ { 1 } } { y _ { 2 } - y _ { 1 } } } = { \frac { z - z _ { 1 } } { z _ { 2 } - z _ { 1 } } }$ （直线过不同的两点 $P _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } ) , i = 1 , 2 \ )$ 1

![](images/d1de175ed757bcaf408d615d63fbb2a43698ce8b0a93ca9b4d1b4169b2940280.jpg)

## ③位置关系

(1)点到直线的距离.

点 $M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$ 到直线 $L \colon \frac { x - x _ { 0 } } { l } = \frac { y - y _ { 0 } } { m } = \frac { z - z _ { 0 } } { n }$ 的距离

![](images/39e10283da681fb744aac4ff05e1262e09c10492abdfeb6822fdc29279935486.jpg)

其中向量 $\overrightarrow { M _ { 1 } M } _ { 0 } = ( x _ { 0 } - x _ { 1 } , y _ { 0 } - y _ { 1 } , z _ { 0 } - z _ { 1 } ) , M _ { 0 } = ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) , \tau = ( l , m , n )$

注更为简单的是平面的情形：设在二维平面上直线L的方程为 $A x + B y + C = 0$ ，点 $P _ { 0 }$ 的坐标为$( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，则点 $P _ { 0 }$ 到直线L的距离公式为 $d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } \mathrm { ~ , ~ }$

若B≠0， $\left\{ \begin{array} { l } { { S _ { \square } = \displaystyle \left| \overrightarrow { P _ { 0 } } \stackrel { \star } { P } \times \tau \right| } , } \\ { { S _ { \square } = \displaystyle \left| \tau \right| \cdot d } , } \end{array} \right.$ 则 $| d = { \frac { \left\| x - x _ { 0 } \quad y _ { \ast } - y _ { 0 } \right\| } { \sqrt { 1 + \left( - { \frac { A } { B } } \right) ^ { 2 } } } } = { \frac { | A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C | } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } .$

若 $A \neq 0 , B = 0$ 则 $A x + C = 0 , x = - { \frac { C } { A } } ,$ 于是

![](images/43c61dda8b78cccf1d2b8ed57c5a1248ca11c0eb48533edea2abf34a23c48032.jpg)

綜上，成立

$$
d = \left| x - x _ { 0 } \right| = \left| x _ { 0 } + { \frac { C } { A } } \right| = { \frac { \left| A x _ { 0 } + 0 y _ { 0 } + C \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } } } .
$$

![](images/bea8d02b0d81eb0112d072a8e6bc634f8d1e69ce2715dbce48ed1a2bbb72778d.jpg)

(2)点到平面的距离.

点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 到平面 $A x + B y + C z + D = 0$ 的距离 $d = \frac { \left| A x _ { 0 } + B y _ { 0 } + C z _ { 0 } + D \right| } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } }$ (3)直线与直线

设 $\pmb { \tau } _ { 1 } = ( l _ { 1 } , m _ { 1 } , n _ { 1 } ) , \pmb { \tau } _ { 2 } = ( l _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 } )$ 分别为直线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ 的方向向量.

① $\begin{array} { r } { I _ { 1 } \perp I _ { 2 } \Leftrightarrow \tau _ { 1 } \perp \tau _ { 2 } \Leftrightarrow l _ { 1 } l _ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 2 } + n _ { 1 } n _ { 2 } = 0 } \end{array}$

② $L _ { 1 } / / L _ { 2 } \Leftrightarrow \pmb { \tau } _ { 1 } / / \tau _ { 2 } \Leftrightarrow \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } = \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } = \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } }$

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle = \big \lvert \overrightarrow { P _ { 0 } P } \big \rvert \cos \theta } \\ { \displaystyle = \frac { \big \lvert A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) \big \rvert } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } } \end{array}
$$

③直线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ 的夹角 $\theta = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \bullet { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \right| \left| { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } }$ ，其中 $\theta = \operatorname* { m i n } \{ ( { \widehat { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ) , \pi - ( { \widehat { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ) \} \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$

(4)平面与平面.

设平面 $\pi _ { 1 } , \pi _ { 2 }$ 的法向量分别为 ${ \pmb n } _ { 1 } = ( A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 } ) , { \pmb n } _ { 2 } = ( A _ { 2 } , B _ { 2 } , C _ { 2 } )$

① $\pi _ { 1 } \perp \pi _ { 2 } \Leftrightarrow n _ { 1 } \perp n _ { 2 } \Leftrightarrow A _ { 1 } A _ { 2 } + B _ { 1 } B _ { 2 } + C _ { 1 } C _ { 2 } = 0$

② $\pi _ { 1 } / / \pi _ { 2 } \Leftrightarrow n _ { 1 } / / n _ { 2 } \Leftrightarrow \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } = \frac { B _ { 1 } } { B _ { 2 } } = \frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } }$

③平面 $\pi _ { 1 } , \pi _ { 2 }$ 的夹角 $\theta = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| \pmb { n } _ { 1 } \cdot \pmb { n } _ { 2 } \right| } { \left| \pmb { n } _ { 1 } \right| \left| \pmb { n } _ { 2 } \right| } }$ ，其中 $\theta = \operatorname * { m i n } \{ ( { \widehat { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ) , \pi - ( { \widehat { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ) \} \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$

(5)平面与直线.

设直线L的方向向量为 ${ \pmb \tau } = ( l , m , n )$ ，平面π的法向量为 $\pmb { n } = ( A , B , C )$

$L \perp \pi \Leftrightarrow \tau / / n \Leftrightarrow \frac { l } { A } = \frac { m } { B } = \frac { n } { C }$ 平行方程

②1 $\cdot / / \pi \Leftrightarrow \tau \bot n \Leftrightarrow A l + B m + C n = 0$ 垂直方程

③直线L与平面π的夹角 $\theta = \arcsin { \frac { | { \boldsymbol { \tau } } \cdot { \boldsymbol { n } } | } { | { \boldsymbol { \tau } } | | { \boldsymbol { n } } | } }$ ，其中 $\theta = \left[ \frac { \pi } { 2 } - ( \widehat { \pmb { \tau } , \pmb { n } } ) \right| \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$

例17.2 与两直线

![](images/78f28b958f55926aee9aba0e6ba31c9096ee1aea9d83a33f2997c8bd0160e79c.jpg)

$$
\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \overrightarrow { \left[ x = 1 \right] } , } \\ { \displaystyle y = - 1 + t , \frac { x + 1 } { 1 } = \frac { y + 2 } { 2 } = \frac { z - 1 } { 1 } } \\ { \displaystyle z = 2 + t , } \end{array} \right. }
$$

$$
{ \boldsymbol { \tau } } \bullet { \boldsymbol { n } } = \left| { \boldsymbol { \tau } } \right| \bullet \left| { \boldsymbol { n } } \right| \bullet \cos ( { \boldsymbol { \widehat { \tau } } } , { \boldsymbol { n } } ) .
$$

都平行，且过原点的平面方程为

分析 两直线的方向向量分别为 $\tau _ { 1 }$ $\tau _ { 2 }$ ，则所求平面的法向量 $\pmb { n } = \pmb { \tau } _ { 1 } \times \pmb { \tau } _ { 2 }$

解 应填 $x - y + z = 0$

所求平面法向量可取为

$$
\pmb { n } = \left| \begin{array} { c c c } { { i } } & { { j } } & { { k } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = - i + j - k \ .
$$

由题设可知所求平面过原点，则所求平面方程为

$$
- 1 \bullet ( x - 0 ) + 1 \bullet ( y - 0 ) - 1 \bullet ( z - 0 ) = 0 \ ,
$$

即

$$
x - y + z = 0 .
$$

例17.3 已知直线L是直线 $L _ { 0 }$

$$
\left\{ { \begin{array} { l } { 2 x - z - 3 = 0 , } \\ { y - 2 z + 4 = 0 } \end{array} } \right.
$$

在平面 $x + y - z = 5$ 上的投影方程，求L的表达式.

→用交面式方程表示

解设过直线 $L _ { 0 }$ 的平面束方程为 $( 2 x - z - 3 ) + \lambda ( y - 2 z + 4 ) = 0$ ，即

$$
2 x + \lambda y - ( 2 \lambda + 1 ) z + 4 \lambda - 3 = 0 \ ,
$$

其中λ为待定常数.此平面与平面x+y-z=5垂直的条件是

$$
2 \bullet 1 + \lambda \bullet 1 - ( 2 \lambda + 1 ) \bullet ( - 1 ) = 0 \ ,
$$

解得λ=-1，故直线L为

$$
\scriptstyle { \left\{ { \begin{array} { l l } { { 2 x - y + z - 7 = 0 , } } \\ { { x + y - z = 5 . } } \end{array} } \right. }
$$

例17.4设有直线 $L _ { \eta }$ ： ${ \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y - 5 } { - 2 } } = { \frac { z + 8 } { 1 } }$ 与 $L _ { 2 }$ ： $\begin{array} { r } { \left\{ { x - y = 6 , \atop 2 y + z = 3 } \right. } \end{array}$ 则 $L _ { \eta }$ 与 $L _ { 2 }$ 的夹角为（）.（A) $\frac { \pi } { 6 }$ (B) $\frac { \pi } { 4 }$

(C） $\frac { \pi } { 3 }$

(D) $\frac { \pi } { 2 }$

分析先求出直线 $L _ { 1 } , L _ { 2 }$ 的方向向量 $\tau _ { 1 } , \tau _ { 2 }$ ，再利用公式 $\varphi = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \bullet { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } { \left| { \pmb { \tau } } _ { 1 } \right| \left| { \pmb { \tau } } _ { 2 } \right| } }$ 求出其夹角.  
解 应选(C).

直线 $L _ { \mathrm { r } }$ 的方向向量为 $\pmb { \tau } _ { 1 } = ( 1 , - 2 , 1 )$ ，直线 $L _ { 2 }$ 的方向向量为

$$
\pmb { \tau } _ { 2 } = \left| \begin{array} { c c c } { { i } } & { { j } } & { { k } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = - i - j + 2 k ~ ,
$$

从而直线 $L _ { \eta }$ 和 $L _ { 2 }$ 的夹角φ的余弦为 $\cos \varphi = \frac { \left| \pmb { \tau } _ { 1 } \bullet \pmb { \tau } _ { 2 } \right| } { \left| \pmb { \tau } _ { 1 } \right| \left| \pmb { \tau } _ { 2 } \right| } = \frac { 3 } { \sqrt { 6 } \bullet \sqrt { 6 } } = \frac { 1 } { 2 }$ ，因此 $\varphi = \frac { \pi } { 3 }$

![](images/4ceff990839104acd47a5d75f0a1c3daf6cce0e86fece16a0e3a8b3cfb06191e.jpg)

## 空间曲线与曲面

![](images/8b7e654b7b7e6f337c2da7f587a0b275bc56677f9e46ee1fc023c0d1b84474fa.jpg)

## 1 空间曲线

(1)一般式 $\Gamma \colon \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 } , \atop { G ( x , y , z ) = 0 . }  \right.$

![](images/479744618ec32ff110eb75bf4413575701ca66a2a8cf44cff4bb9b66cf11a9b9.jpg)

## 注其几何背景为两个曲面的交线

(2)参数方程 $\Gamma \colon \left\{ \begin{array} { l } { x = \varphi ( t ) , } \\ { y = \psi ( t ) , t \in [ \alpha , \beta ] } \\ { z = \omega ( t ) , } \end{array} \right.$

注在 $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right.$ 中选取某直角坐标变量为自变量（看作参数），解出其他两变量为此变量的函数，即得参数式.如曲线 $\left\{ \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) } \\ { y = 0 , } \end{array} \right.$ x=t，则可写成参数式方程： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = t , } \\ { y = 0 , } \\ { z = f ( t , 0 ) } \end{array} \right.$ 当然，有时由于后两变量解出为第一变量的函数表达式带来多值或根式等麻烦事，或者甚至“解不出”，故一般用新的变量作参数再写参数方程，如下面的注；亦或题设直接给出参数方程，如例17.6.

(3)在坐标面上的投影.

以求曲线厂在xOy平面上的投影曲线为例.将 $\begin{array} { r } { \Gamma \colon \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 \mathrm { , } } \right. } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array}$ 中的z消去，得到 $\varphi ( x , y ) = 0$ 则曲线r在xOy面上的投影曲线包含于曲线 $\left\{ \begin{array} { l } { \varphi ( x , y ) = 0 } \\ { z = 0 . } \end{array} \right.$ V①往xOy面投影，消z；往xOz面投影，消y；往yOz面投影，消x.曲线厂在其他平面上的投影曲线可类似求得. ②联立方程，且令z=0或y=0或x=0.

![](images/325473859b0669b48d1b040b3358f86ff80991ef054981ee10dfb38184f7a540.jpg)

国将 $\left\{ { \cal F } ( x , y , z ) = 0 , \right.$ 消去某变量（例如消去z），便得该曲线在z=0平面上的投影曲线方程$\left\{ { \begin{array} { l } { f ( x , y ) = 0 } \\ { z = 0 , } \end{array} } \right.$ 如果 $f ( x , y ) = 0$ 能容易地写出它的参数式：

$$
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } = \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { y } = \boldsymbol { y } ( t ) , t \in I , } \end{array}
$$

其中I为某区间，则以x=x(t)，y=y(t)代入原曲线的方程中，若能解得单值的 $z = z ( t )$ ，则得原曲线的参数式：

$$
\begin{array} { r } { x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) , t \in I . } \end{array}
$$

如将 $r : \left\{ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 , \atop z = x + y } \right.$ 的方程化为参数形式

$$
\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos t , } \\ { y = \sin t , \qquad ( 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ) } \\ { z = \cos t + \sin t } \end{array} \right. .
$$

## ②空间曲面

(1)曲面方程： $F ( x , y , z ) = 0$

(2)二次曲面.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>曲面名称</td><td rowspan=1 colspan=1>方程</td><td rowspan=1 colspan=1>图形</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>椭球面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ 当 $a = b = c$ 时为球面</td><td rowspan=1 colspan=1>用平行于坐标平→面的平面去切，<img src="images/cb2bb3dbda9b522f43572a4aa9877219c0b136c555beecfcb7c5cc5a44f3d74a.jpg"/>得出椭圆或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>单叶双曲面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1$ </td><td rowspan=1 colspan=1>用 $x = k _ { 1 } ( k _ { 1 }$ 不等于a)或 $y =$  $k _ { 2 } ( k _ { 2 }$ 不等于b)切得双曲线，<img src="images/10faebc5ede444e68a555c702bd47fed2dc55a2f3efada2029afa89031898ae8.jpg"/>               ${ z = k _ { 3 } ( }$ 伍意常数)切得椭圓或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>双叶双曲面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\begin{array} { r } { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { \overset { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } ^ { - } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dot { \nabla } _ { \perp \perp \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \xi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \times \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } \ll \frac { 3 } { 2 } \sin \frac { \triangledown } { \boldsymbol { \chi } } } } \end{array}$ </td><td rowspan=1 colspan=1><img src="images/5d7d2bbfd35ed41e2573a32369a5ff29a28b1324f614c6be6ce71f7a85fb7671.jpg"/>用y=k或z=k切得双曲线，用 $\scriptstyle x = k ( | k | > | a | )$ 切得椭圓或圓</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>椭圆抛物面</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } } = z ( p , q > 0 )$  $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z$ <img src="images/38884c7b22ada4d67cd493d186a55b6ba2a68ab34cab650032fa17d164f64999.jpg"/></td><td rowspan=1 colspan=1>用x=k或y=k切得抛物线，<img src="images/02bb2af3ff4fc512c807db2c2e1a2a3b2d3189101cd043f5826825dd6eb17a12.jpg"/>         用 $z = k ( k > 0 )$ 切得椭圆或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>椭圆锥面</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }$ V $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ ，只有上半部分AZV般考a=bo  →yx</td><td rowspan=1 colspan=1><img src="images/84fcb57d7209bc671c117b6aa6065dcadc5b0b52aa3b34a2e114900e6ed35efc.jpg"/></td></tr></table>

