## 第4讲

![](images/f6836ebf2436ccebb68fea070552927b61ca191ac684ff6f32c0edbdbfe13fb7.jpg)

上一讲讲概念，这一讲讲计算，要学会熟练地计算

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>-元函数导数的计算</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>选择题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>求复合函数的导数，分段函数的导数，隐函数的导数</td></tr></table>

![](images/b02e42d19ee61382b429c587852c7d91b06dbf224ad6dd597e653fef7c6c0ed4.jpg)

## 基础知识结构

![](images/02417b260925438370a0de178ad7c47ea9734dc3785d70d8f1fa09bd11124891.jpg)

![](images/b52231db2b262d5cdd48c5a65ea2e44135054b2b6eeed7613be14dc6e10b57ff.jpg)

## 基本求导公式

以下公式要熟记.

$( x ^ { \alpha } ) ^ { \prime } { = } { \cos } x ^ { \alpha - 1 }$ (α为常数）， $( { a ^ { x } } ) ^ { \prime } = a ^ { x } \ln a ( a > 0 , a \neq 1 ) , ( { \mathrm { e } } ^ { x } ) ^ { \prime } = { \mathrm { e } } ^ { x } , ( \log _ { a } x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x \ln a } } ( a > 0 , a \neq 1 ) , ( { \mathrm { e } } ^ { x } ) ^ { \prime } = { \mathrm { e } } ^ { x } , ( \log _ { a } x ) ^ { \prime } = \ln a ( a > 0 , a \neq 1 ) .$ a拿下来

$$
\begin{array} { l } { { \qquad \displaystyle { \downarrow } } } \\ { { ( a ^ { x } ) ^ { \prime } = ( a ^ { x } \ln a ) ^ { \prime } = a ^ { x } ( \ln a ) ^ { 2 } ~ , } } \end{array}
$$

根据规律得： $( a ^ { x } ) ^ { ( n ) } = a ^ { x } ( \ln a ) ^ { n } \ , ( \mathrm { e } ^ { x } ) ^ { ( n ) } = \mathrm { e } ^ { x }$

(类似地，后面的高阶导数也可以用归纳法去推导)

$\left( \ln | x | \right) ^ { \prime } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \ln x \right) ^ { \prime } , } & { x > 0 , } \\ { \left[ \ln ( - x ) \right] ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { x } } \bullet ( - 1 ) , } & { x < 0 } \end{array} \right. } = { \frac { 1 } { x } } ( x \neq 0 )$ ，视绝对值符号而不见！ $\widetilde { \left[ \ln \left| u ( x ) \right| \right] } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \left[ \ln u ( x ) \right] ^ { \prime } = \frac { 1 } { u ( x ) } \bullet u ^ { \prime } ( x ) } , } \\ { \displaystyle { \left\{ \ln \left[ - u ( x ) \right] \right\} ^ { \prime } = - \frac { 1 } { u ( x ) } \left[ - u ^ { \prime } ( x ) \right] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) } { u ( x ) } } } \end{array} \right.$

复合函数

$$
( \ln \left| x \right| ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } , \left[ ( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x , ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x , ( \arcsin x ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } , \right.
$$

$$
( \operatorname { a r c c o s } x ) ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } , ( \tan x ) ^ { \prime } = \sec ^ { 2 } x , ( \cot x ) ^ { \prime } = - \csc ^ { 2 } x , ( \arctan x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } , ( \tan x ) ^ { \prime } = - \tan ^ { 2 } x .
$$

$$
( \operatorname { a r c c o t } x ) ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } , ( \sec x ) ^ { \prime } = \sec x \tan x , ( \csc x ) ^ { \prime } = - \csc x \cot x , \bigg ] \equiv \widetilde M \widetilde M \widetilde M \widetilde M \widetilde s \widetilde \Psi \cdot \widetilde M \widetilde s \widetilde \Psi \cdot \widetilde s \widetilde \Psi \Psi ^ { 2 } . \widetilde s \widetilde \Psi 
$$

$$
\left[ \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } , \left[ \ln ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } .
$$

## 2四则运算

若以下函数均可导，则

$$
\because \mathcal { H } \sharp \frac { \cdot \mathrm {  ~ d ~ } } { \mathrm {  ~ d ~ } x } ^ { \mathrm {  ~ \cdot ~ } }
$$

和、差的导数（微分） $[ u ( x ) \pm \nu ( x ) ] ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) \pm \nu ^ { \prime } ( x ) , \mathrm { d } [ u ( x ) \pm \nu ( x ) ] = \mathrm { d } [ u ( x ) ] \pm \mathrm { d } [ \nu ( x ) ]$

积的导数(微分) $[ u ( x ) \nu ( x ) ] ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) \nu ( x ) + u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) , \mathrm { d } [ u ( x ) \nu ( x ) ] = u ( x ) \mathrm { d } [ \nu ( x ) ] + \nu ( x ) \mathrm { d } [ u ( x ) ] ^ { \prime }$

$$
) \frac { 1 } { 1 0 } \times ( 2 0 0 0 - 4 0 0 0 ) = \frac { 1 } { 1 1 } \times ( 2 0 \times 1 0 0 ) = 1 1 1 7 \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 } \times \frac { 1 } { 1 1 }
$$

注（1）函数乘积求导公式的证明，设 $f ( x ) = u ( x ) \nu ( x )$ （2015年考研考过）

$$
\begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta x \xrightarrow [ { \Delta x  0 } ] { f ( x _ { 0 } ) } \cdots \omega \omega . } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta x } \\ & { \quad \quad \quad \quad f ^ { \prime } ( x ) = [ u ( x ) \nu ( x ) ] ^ { \prime } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \Delta x  0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - [ f ( x ) ] } { \Delta x } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta x } \end{array}
$$

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle = \underset { \Delta x \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { u ( x + \Delta x ) \nu ( x + \Delta x ) - u ( x ) \nu ( x + \Delta x ) + u ( x ) \nu ( x + \Delta x ) - u ( x ) \nu ( x ) } { \Delta x } } \\ { \displaystyle = \underset { \Delta x \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { u ( x + \Delta x ) - u ( x ) } { \Delta x } \Bigg | \bullet \nu ( x + \Delta x ) + \underset { \Delta x \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { \nu ( x + \Delta x ) - \nu ( x ) } { \Delta x } \Bigg | \bullet u ( x ) } \\ { = u ^ { \prime } ( x ) \bullet \nu ( x ) + u ( x ) \bullet \nu ^ { \prime } ( x ) \Longleftarrow } \end{array}
$$

（2) $[ u ( x ) \nu ( x ) w ( x ) ] ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) \nu ( x ) w ( x ) + u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) w ( x ) + u ( x ) \nu ( x ) w ^ { \prime } ( x )$ ，如果遇到因式超过三个的式子，

一般不要直接求导，而要另谋他法

·公式巧记：3个人排一排，第一个人一巴掌加中间人一巴掌再加最后

商的导数（微分） ${ \Bigg [ } { \frac { u ( x ) } { \nu ( x ) } } { \Bigg ] } ^ { \prime } = { \frac { u ^ { \prime } ( x ) \nu ( x ) - u ( x ) \nu ^ { \prime } ( x ) } { [ \nu ( x ) ] ^ { 2 } } } , \nu ( x ) \neq 0$ 巩固： C $u \pm v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } \pm v ^ { \prime }$ (uv)'=u'v+uv'.

$$
\mathrm { d } \left[ \frac { u ( x ) } { \nu ( x ) } \right] = \frac { \nu ( x ) \mathrm { d } \left[ u ( x ) \right] - u ( x ) \mathrm { d } \left[ \nu ( x ) \right] } { \left[ \nu ( x ) \right] ^ { 2 } } , \nu ( x ) \ne 0 .
$$

例4.1 设 $f ( x ) = \prod _ { n = 1 } ^ { 1 0 0 } \left( \tan { \frac { \pi x ^ { n } } { 4 } } - n \right)$ ，则f'(1)=

$$
{ \begin{array} { r l } & { \left( { \frac { u } { \nu } } \right) ^ { \prime } = \left( u \cdot { \frac { 1 } { \nu } } \right) ^ { \prime } } \\ & { \qquad = u ^ { \prime } \cdot { \frac { 1 } { \nu } } + u \cdot \left( - { \frac { 1 } { \nu ^ { 2 } } } \right) \cdot \nu ^ { \prime } } \\ & { \qquad = { \frac { u ^ { \prime } \nu - u \nu ^ { \prime } } { \nu ^ { 2 } } } } \end{array} }
$$

分析此题是100项相乘！

$$
f ( x ) = \left( \tan { \frac { \pi } { 4 } } x - 1 \right) \left( \tan { \frac { \pi } { 4 } } x ^ { 2 } - 2 \right) \cdots \left( \tan { \frac { \pi } { 4 } } x ^ { 1 0 0 } - 1 0 0 \right) .
$$

若用乘法求导公式计算，计算量十分大.如果因式超过3项，不要直接求导，另寻他法.把它转化为两项相乘，往“经典形式”转化.

解 应填 $- { \frac { \pi \cdot 9 9 ! } { 2 } }$

本题的研究对象f(x)是多因式相乘,如果直接对其使用导数定义或者先求导再代值,都比较麻烦.本题希望考生发现，当把x=1代入每个因式后，只有第一项 $\tan { \frac { \pi } { 4 } } - 1 = 0$ ，而其余所有项都不等于0，抓住第一项这个“特立独行”的主要条件，记 $g ( x ) = \prod _ { n = 2 } ^ { 1 0 0 } \left( \tan { \frac { \pi x ^ { n } } { 4 } } - n \right)$ ，于是

$$
f ( x ) = \left( \tan \frac { \pi x } { 4 } - 1 \right) \bullet \underbrace { g ( x ) } _ { \nu } ,
$$

故

$$
f ^ { \prime } ( x ) = \sec ^ { 2 } { \frac { \pi x } { 4 } } \bullet { \frac { \pi } { 4 } } \bullet g ( x ) + \left( \tan { \frac { \pi x } { 4 } } - 1 \right) \bullet g ^ { \prime } ( x )
$$

$$
f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { \pi } { 4 } \sec ^ { 2 } \frac { \pi x } { 4 } \Bigg | _ { x = 1 } \cdot g ( 1 ) = - \frac { \pi \cdot 9 9 ! } { 2 } \ .
$$

方法总结）多因式相乘的题目不要直接用乘法求导公式计算，而是巧妙地变化为“经典形式”再去算．公式 $( \tan x ) ^ { \prime } = \sec ^ { 2 } x$

③复合函数的导数与微分形式不变性徽兮不变性是徽兮学中最重要的计算方法，要认识规则，严守规则.

设 $\scriptstyle u = g ( x )$ 在点x（没有下标是泛指的点，下同)处可导， $y = f ( u )$ 在点 $\scriptstyle u = g ( x )$ 处可导，则

$$
- \bigl \{ f \lbrack g ( x ) \rbrack \bigr \} ^ { \prime } = f ^ { \prime } \lbrack g ( x ) \rbrack g ^ { \prime } ( x ) ,
$$

$$
{ \bigl \{ } f { \bigl [ } g ( x ) { \bigr ] } { \bigr \} } ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } { \bigl \{ } f { \bigl [ } g ( x ) { \bigr ] } { \bigr \} } } { \mathrm { d } x } } =  \frac { \mathrm { d } { \bigl \{ } f [ } g ( x ) { \bigr \} { \bigr \} } { \mathrm { d } [ g ( x ) ] } } \bullet { \frac { \mathrm { d } [ g ( x ) ] } { \mathrm { d } x } } = f ^ { \prime } { \bigl [ } g ( x ) { \bigr ] } \bullet g ^ { \prime } ( x ) .
$$

${ \frac { { \bigl \{ } } f [ g ( x ) ] { \bigr \} } { \bigr \downarrow } } ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } { \bigl \{ } } f [ g ( x ) ] { \bigr \} } { \mathrm { d } x } }$ 而 $\frac { \partial f ^ { \prime } [ g ( x ) ] = 0 \{ f [ g ( x ) ] \} } { \big | }$ ，要看清楚求导符号的位置，不要弄错了.整体对x求导 代表对中间变量求导

一元复合函数求导规则图（链式求导法则）：

$$
\widehat { f  u  x }
$$

$$
\left\{ f [ g ( x ) ] \right\} ^ { \prime } = f ^ { \prime } ( u ) \bullet u ^ { \prime } = f ^ { \prime } [ g ( x ) ] \bullet g ^ { \prime } ( x ) .
$$

再来一层：

$$
\widehat { f  u } \widehat {  \nu } \widehat {  x }
$$

$$
f _ { x } ^ { \prime } \{ u [ \nu ( x ) ] \} = f _ { u } ^ { \prime } \bullet u _ { \nu } ^ { \prime } \bullet \nu _ { x } ^ { \prime } = { \frac { \mathrm { d } f } { \mathrm { d } u } } \bullet { \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } u } } \bullet { \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } x } } .
$$

正如歌词：如果你愿意一层一层一层地剥开“它”的心，你会发现，你会讶异…

考试最多3层，对于多元函数的链式求导法则后面会讲！

$$
\mathsf { d } \big \{ f [ g ( x ) ] \big \} = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] \mathsf { d } \big [ g ( x ) \big ] .
$$

上式就是微分形式的不变性—无论u是中间变量还是自变量， $\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u$ 都成立.

例4.2 设 $y = \ln ( x + \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } ) ( a \neq 0 )$ ，求 $y ^ { \prime } \big | _ { x = 0 }$

分析 当a=1时，就是反双曲正弦函数.本题是复合函数，外层 $y = \ln u$ ，内层 $u = x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } }$ .所求的导数等于外层导数乘以内层导数．

解 因为

$$
{ \begin{array} { r l } & { y ^ { \prime } = { \cfrac { 1 } { x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } \cdot ( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } ) ^ { \prime } } \\ & { \quad = { \cfrac { 1 } { x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } { \Biggl [ } 1 + { \cfrac { 1 } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } \bullet ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { \prime } { \Biggr ] } } \\ & { \quad = { \cfrac { 1 } { x + { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } { \Biggl ( } 1 + { \cfrac { x } { { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } } { \Biggr ) } = { \cfrac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } , } \end{array} }
$$

所以

$$
 y ^ { \prime } | _ { x = 0 } = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } | _ { x = 0 } = { \frac { 1 } { | a | } } ( a \neq 0 ) ~ .
$$

方法总结对于复合函数的求导，直接使用链式求导法则.

公式 $( \ln x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } } , \left( { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } \right) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } } \cdot 2 x$

例4.3 设函数 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \ln { \sqrt { x } } , } & { x \geq 1 , } \\ { 2 x - 1 , } & { x < 1 , } \end{array} \right. }$ 且 $y = f [ f ( x ) ]$ ，则 $\left. { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = \mathrm { ~ e ~ } } =$

>x=e不是分段点！

分析本题是分段函数和复合函数的综合，不要盲目地先求出 $f [ f ( x ) ]$ 的表达式，应先看看对应的求导表达式是什么.

![](images/d19273c43825c3ee7f0d7c6ee72a7c67091c93630ec637bac74cf24182d753dc.jpg)

解 应填 $\frac { 1 } { \mathbf { e } }$

因为

$$
\left. { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = \mathrm { c } } = f ^ { \prime } [ f ( x ) ] f ^ { \prime } ( x ) { \big | } _ { x = \mathrm { c } } = f ^ { \prime } [ f ( \mathrm { e } ) ] f ^ { \prime } ( \mathrm { e } ) ,
$$

其中

$$
f ( \mathsf { e } ) = \ln \sqrt { x } \Big | _ { x = \mathsf { e } } = \frac { 1 } { 2 } , \ f ^ { \prime } [ f ( \mathsf { e } ) ] = f ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = \left( 2 x - 1 \right) ^ { \prime } \Big | _ { x = \frac { 1 } { 2 } } = 2 , \ f ^ { \prime } ( \mathsf { e } ) = ( \ln \sqrt { x } ) ^ { \prime } \Big | _ { x = \mathsf { e } } = \frac { 1 } { 2 \mathsf { e } } ,
$$

所以

$$
\left. \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right| _ { x = \mathrm { ~ c ~ } } = 2 \cdot \frac { 1 } { 2 \mathrm { e } } = \frac { 1 } { \mathrm { ~ e ~ } } .
$$

方法总结本题求的是某一点的导数值，不是求导函数，所以无须先求 $f [ f ( x ) ]$ 的表达式．

公式 ${ \bigl \{ } f [ f ( x ) ] { \bigr \} } ^ { \prime } = f ^ { \prime } [ f ( x ) ] \bullet f ^ { \prime } ( x )$

例4.4 设 $y = \mathtt { e } ^ { \sin ( \mathrm { l n } x ) }$ ，求dy及 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x }$

分析本题是函数求导的题目，可以直接用复合函数的链式求导法则，先求导数，后求微分.也可以用微分形式不变性先求微分，再求导.

方法一：链式求导法则；

方法二：微分形式的不变性.

$$
\mathsf { d } \big \{ f \big [ g ( x ) \big ] \big \} = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x = f ^ { \prime } \big [ g ( x ) \big ] \mathsf { d } \big [ g ( x ) \big ] .
$$

![](images/52fb99942f992016d378fced262d670b92ba930fe8e923905ae2ece4ed266c64.jpg)

解 由一阶微分形式的不变性，得

$\mathsf { d } [ f ( u ) ] = f ^ { \prime } ( u ) \mathsf { d } u$ $\scriptstyle u = g ( x )$ 为中间变量，形式不变！

→若u就是x，则 $\mathrm { d } [ f ( x ) ] = f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x$ ，这就是一阶徽分形式不变性！

$$
\begin{array} { r l } & { { \mathsf { d } } [ { \mathsf { e } } ^ { \mathsf { s i n } ( \mathsf { n } \bar { \boldsymbol { x } } ) } ] { = } { \mathsf { e } } ^ { \mathsf { s i n } ( \mathsf { I n } \boldsymbol { x } ) } { \mathsf { d } } [ \mathsf { s i n } ( \mathsf { I n } \boldsymbol { x } ) ] \qquad \Longrightarrow { \mathsf { d } } ( \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { u } } ) { = } ( \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { u } } ) ^ { \prime } \mathsf { d } \boldsymbol { u } = \mathsf { e } ^ { \boldsymbol { u } } \mathsf { d } \boldsymbol { u } } \\ & { \qquad = { \mathsf { e } } ^ { \mathsf { s i n } ( \mathsf { I n } \boldsymbol { x } ) } \cos ( \ln \boldsymbol { x } ) { \mathsf { d } } ( \ln \boldsymbol { x } ) \qquad \Longrightarrow { \mathsf { d } } ( \sin \nu ) = ( \sin \nu ) ^ { \prime } \mathsf { d } \nu = \cos \nu \mathsf { d } \nu } \\ & { \qquad = \mathsf { e } ^ { \mathsf { s i n } ( \ln \boldsymbol { x } ) } \cos ( \ln \boldsymbol { x } ) \frac { 1 } { \boldsymbol { x } } \mathrm { d } \boldsymbol { x } , } \end{array}
$$

所以

$$
\mathrm { d } y = \mathrm { e } ^ { \sin ( \ln x ) } \cos ( \ln x ) { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x , { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } = \mathrm { e } ^ { \sin ( \ln x ) } \cos ( \ln x ) { \frac { 1 } { x } } .
$$

方法总结求微分的题目可以选择用链式求导法则，也可以选择用一阶微分形式不变性处理.

公式）(e)=e，(sinx)'=cosx, $( \ln x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } }$

## 4分段函数的导数

设 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ( x ) , } & { x \geq x _ { 0 } } \\ { f _ { 2 } ( x ) , } & { x < x _ { 0 } } \end{array} \right. }$ 其中 $\mathcal { I } _ { 1 } ( x ) , f _ { 2 } ( x )$ 分别在 $x > x _ { 0 } , x < x _ { 0 }$ 时可导，则

①在分段点 $x _ { 0 }$ 处用导数定义求导： $f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { + } } { \frac { f _ { 1 } ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } } , f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { 0 } ^ { - } } { \frac { f _ { 2 } ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } }$ .根据 $f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 是否等于 $f _ { - } ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 来判定 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } )$ 右导数表达式 左导数表达式

②在非分段点用导数公式求导，即 $x > x _ { 0 }$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) = f _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) ~ ; ~ x < x _ { 0 }$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) = f _ { 2 } ^ { \prime } ( x )$

例4.5 设 $y = \ln \left| x \right| , x \neq 0$ ，求 $y ^ { \prime }$ ：

分析 此题需要注意，x=0是无定义点，无定义自然不连续，不连续一定不可导，所以只需要讨论 $x \neq 0$ 时的导数即可.加绝对值的函数无法直接求导，需要先去绝对值将其写成分段函数.

解

$$
y = \ln | x | = { \left\{ \ln x , \qquad x > 0 , \right. } \nonumber
$$

当 $x > 0$ 时，

$$
y ^ { \prime } { = } ( \ln x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } } ;
$$

当 $x < 0$ 时，

$$
y ^ { \prime } = \left[ \ln ( - x ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { - x } } \bullet \left( - x \right) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { - x } } \bullet ( - 1 ) = { \frac { 1 } { x } } \ .
$$

因此

$$
y ^ { \prime } = ( \ln | x | ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } ( x \neq 0 ) \ .
$$

方法总结）对含绝对值的函数求导，先将其写成分段函数，然后在分段点处有定义用导数定义求导，无定义不用求，非分段点用导数公式求导．

公式 $\left[ \ln ( - x ) \right] ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } }$

## 注Inx求导时，可视“绝对值符号”而不见。

## 例4.6 设函数 $y = \left| x \mathbf { e } ^ { - x } \right|$ ，求 $y "$ ：

分析 带绝对值的题目是考研的热点，需要去绝对值写成分段函数的形式． $\mathbf { e } ^ { - x } > 0$ ，所以去绝对值只看x的正负.

本题是求二阶导，所以应该先去分析一阶导的情形，即需要分别求出分段点x=0处的导数 $y ^ { \prime } ( 0 )$ 和非分段点处的导数 $y ^ { \prime } ( x ) ( x \neq 0 )$ .在求 $y ^ { \prime } ( 0 )$ 时采用导数的定义，求 $y ^ { \prime } ( x ) ( x \neq 0 )$ 利用导数公式.本题 $y ^ { \prime } ( 0 )$ 不存在，即 $\scriptstyle x = 0$ 是不可导点，所以二阶导 $y ^ { \prime } ( x )$ 其实是非分段点处的导数，直接用导数公式求导.

![](images/0bfa6bc2f56613ae44710e32b74c7845da5f38301f51a31eddc3812fcfa4f1dc.jpg)

解 y的表达式含有绝对值符号，可知其为分段函数，x=0为其分段点，则

$$
y = \left| x \mathbf { e } ^ { - x } \right| = \left\{ { \begin{array} { l l } { - x \mathbf { e } ^ { - x } , } & { x < 0 , } \\ { x \mathbf { e } ^ { - x } , } & { x \geqslant 0 , } \end{array} } \right.
$$

所以

>非分段点处用导数公式求导.

$$
y ^ { \prime } = \left\{ \left[ { \tt e } ^ { - x } ( x - 1 ) , \right] x < 0 , \right.
$$

而

$$
y _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname * { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } { \frac { y ( x ) - y ( 0 ) } { x } } = \operatorname * { l i m } _ { x \to 0 ^ { - } } { \frac { - x { \mathrm { e } } ^ { - x } } { x } } = - 1 \ ,
$$

分段点处用导数定义求导

$$
\underbrace { y _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) } _ { x \to 0 ^ { + } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { y ( x ) - y ( 0 ) } { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { x \mathrm { e } ^ { - x } } { x } } = 1 \ ,
$$

可知y在x=0处不可导.所以

√因为 $y _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) \neq y _ { + } ^ { \prime } ( 0 )$

→非兮段点处用导数公式求导.

$$
y ^ { * } = \left\{ \left[ { \tt e } ^ { - x } { ( 2 - x ) } , \right] x < 0 , \right.
$$

## 反函数的导数

设y=f(x)为单调、可导函数，且f'(x)≠0，则存在反函数 $x = \varphi ( y )$ ，且 $\cdot \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } { = } \frac { 1 } { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } }$ ，即 $\varphi ^ { \prime } ( y ) = { \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } }$ →f与Φ互逆<

注（1）设 $y = \arcsin x , - 1 < x < 1$

由y=arcsinx，得反函数x=siny, $y \in \left( - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$ .根据反函数求导公式，得

$$
( \arcsin x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { ( \sin y ) ^ { \prime } } } = { \frac { 1 } { \cos y } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } y } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } ( - 1 < x < 1 ) .
$$

（2）反函数的二阶导数重要

在y=f(x)单调，且二阶可导的情况下，若 $f ^ { \prime } ( x ) \neq 0$ 则存在反函数 $x = \varphi ( y )$ ，记 $f ^ { \prime } ( x ) = y _ { x } ^ { \prime }$ $\varphi ^ { \prime } ( y ) = x _ { y } ^ { \prime }$ ，则有

$$
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast = \ast \ast \ast = \frac { 1 } { \mathrm { d } \ast } = \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
$$

$$
y _ { x } ^ { \prime \prime } = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } = - { \frac { \mathrm { d } \left( { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \right) } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } \left( { \frac { 1 } { \left| x _ { y } ^ { \prime } \right| } } \right) } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } \left( { \frac { 1 } { x _ { y } ^ { \prime } } } \right) } { \mathrm { d } y } } \cdot  \frac { \mathrm { d } y } { \left| x _ { y } ^ { \prime } \right| = - { \frac { 1 } { \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } \cdot \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { \prime } _ { y } } \cdot { \frac { 1 } { x _ { y } ^ { \prime } } } = - { \frac { x _ { y y } ^ { \prime } } { \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } \cdot { \frac { 1 } { x _ { y } ^ { \prime } } } = - { \frac { x _ { y y } ^ { \prime } } { \left( x _ { y } ^ { \prime } \right) ^ { 3 } } } \cdot
$$

反过来，则有

$$
x _ { y } ^ { \prime } = \frac { 1 } { y _ { x } ^ { \prime } } , x _ { y y } ^ { \prime } = - \frac { y _ { x } ^ { \prime \prime } } { ( y _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 3 } } .
$$

例4.7 当x>0时，设 $y = f ( x ) = 3 x ^ { 2 } + \mathbf { e } ^ { x }$ 有反函数 $\scriptstyle x = \varphi ( y )$ ，则 $\varphi ^ { \prime } ( 3 + { \mathsf { e } } ) \ =$

分析）本题若想得式子x=φ(y)比较困难，它考查的是反函数求二阶导数知识，可以直接用公式

$$
\varphi ^ { \prime \prime } ( y ) = - { \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 3 } } } \ .
$$

注意当y=3+e时，x=1.

解 应填 $- \frac { 1 } { \left( 6 + \mathrm { e } \right) ^ { 2 } }$

当 $f ( x ) = 3 x ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { x } = 3 + \mathrm { e }$ 时，有x=1，于是

$$
 \varphi ^ { \prime } ( y )  _ { y = 3 + \mathrm { e } } = - \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 3 } }  _ { x = 1 } = - \frac { 6 + \mathrm { e } ^ { x } } { ( 6 x + \mathrm { e } ^ { x } ) ^ { 3 } } \Bigg \vert _ { x = 1 } = - \frac { 1 } { ( 6 + \mathrm { e } ) ^ { 2 } } \ .
$$

方法总结）求反函数的二阶导数，可熟记公式，直接套公式即可．

公式y=f(x），x=𝜑(y)， $\varphi ^ { \prime \prime } ( y ) = - { \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { [ f ^ { \prime } ( x ) ] ^ { 3 } } }$

## 6隐函数求导法 （实际问题中常见，要掌握好方法）

设函数y=y(x)是由方程 $F ( x , y ) = 0$ 确定的可导函数，则

①方程 $F ( x , y ) = 0$ 两边对自变量x求导，注意 $y = y ( x )$ ，即将y看作中间变量，得到一个关于y的方程； $F [ x , y ( x ) ] { = } 0$ 涉及复合求导！

②解该方程便可求出y.

例4.8 设函数y=y(x)由方程 $y ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y + 6 = 0$ 确定，且 $y ^ { \prime } ( 1 ) = 0$ ，求 $y " ( 1 )$ 的值.

分析该方程不容易得到显式 $y = y ( x )$ ，但仍可以求导.只要方程两边对x求导即可！

解在 $y ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y + 6 = 0$ 两边关于x求导，得

$$
3 y ^ { 2 } y ^ { \prime } + y ^ { 2 } + 2 x y y ^ { \prime } + 2 x y + x ^ { 2 } y ^ { \prime } = 0 \ ,
$$

由y'(1)=0，得 $y ^ { 2 } ( 1 ) + 2 \cdot 1 \cdot y ( 1 ) = 0$ ，解得y(1)=-2或y(1)=0（不满足题目所给方程，舍去）.

在 $3 y ^ { 2 } y ^ { \prime } + y ^ { 2 } + 2 x y y ^ { \prime } + 2 x y + x ^ { 2 } y ^ { \prime } = 0$ 两边关于x求导，得

$$
( 3 y ^ { 2 } + 2 x y + x ^ { 2 } ) y ^ { \prime \prime } + 2 ( 3 y + x ) ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 4 ( y + x ) y ^ { \prime } + 2 y = 0 ,
$$

代人 $\ x = 1 , y ( 1 ) = - 2$ 与y(l)=0，解得 $y ^ { \prime \prime } ( 1 ) = \frac { 4 } { 9 }$

方法总结 隐函数求导，直接两边对x求导，注意复合结构.

公式 $( y ^ { 2 } ) ^ { \prime } = 2 y y ^ { \prime } , ( x y y ^ { \prime } ) ^ { \prime } = y y ^ { \prime } + x y ^ { \prime } y ^ { \prime } + x y y ^ { \prime }$

## 7 参数方程所确定的函数的导数 （在实际问题中用得最多）

设函数y=y(x)由参数方程 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = \varphi ( t ) , } \\ { y = \psi ( t ) } \end{array} \right. }$ 确定，其中t是参数，且φ(t),ν(t)均可导， $\varphi ^ { \prime } ( t ) \neq 0$ ，则

t是中间变量，要把t拉进来

$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } { = } \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } { = } \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) } ~ .
$$

## 注由参数方程确定的函数的二阶导数，（不要背）

设函数 $y = y ( x )$ 由参数方程 $\left\{ { x = \varphi ( t ) , } \right. $ 确定，其中t是参数，且𝜑(t)，γ(𝑡)均二阶可导， $\varphi ^ { \prime } ( t ) \neq 0$

$$
: \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = w ( t ) \ : .
$$

$$
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { d } ( \mathrm { d } y / \mathrm { d } x ) } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } [ w ( t ) ] / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } } = { \frac { w ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) } }
$$

$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } = \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) } { \varphi ^ { \prime } ( t ) } , \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } \left( \displaystyle \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } \left( \displaystyle \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } = \frac { \psi ^ { \prime } ( t ) \varphi ^ { \prime } ( t ) - \psi ^ { \prime } ( t ) \varphi ^ { \prime } ( t ) } { [ \varphi ^ { \prime } ( t ) ] ^ { 3 } }
$$

例4.9 设 $y = y ( x )$ 由参数方程 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l } { x = \sin t , } \\ { y = t \sin t + \cos t } \end{array} \right. }$ 确定，则 $\left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right| _ { t = { \frac { \pi } { 4 } } } =$

分析本题是参数方程求导，将 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x }$ 转化为 ${ \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } } = t$ ，二阶导 $\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) } { \mathrm { d } x } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) \bullet \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x }$

解 应填 $\sqrt { 2 }$

因为

$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } { = } \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } { = } t ,
$$

$$
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } \right) \bullet \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x } = \frac { 1 } { \cos t } ,
$$

所以

$$
\left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right| _ { t = { \frac { \pi } { 4 } } } = { \frac { 1 } { \cos { \frac { \pi } { 4 } } } } = \sqrt { 2 } \ .
$$

公式 $( \sin t ) ^ { \prime } = \cos t \ , ( \cos t ) ^ { \prime } = - \sin t$

→参数方程求导的题目与其他知识综合考查，提升难度.

例4.10 设函数y=y(x)由 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = \arctan t , } \\ { 2 y - t y ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { t } = 5 } \end{array} \right.$ 所确定，则 ${ \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } \ =$

分析本题是参数方程的求导，第二个方程 $2 y - t y ^ { 2 } + \mathbf { e } ^ { t } = 5$ 是y关于t的隐函数，直接两端对t求导得 $\left| \Phi \right. / \mathrm { d } t$ 然后利用参数方程的求导公式 ${ \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } = { \frac { \mathrm { d } y / \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x / \mathrm { d } t } }$

解 应填 $\frac { ( y ^ { 2 } - \mathbf { e } ^ { t } ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 ( 1 - t y ) }$

$$
{ \frac { { \mathrm { d } } x } { { \mathrm { d } } t } } = { \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } } ,
$$

由 $2 { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } - y ^ { 2 } - 2 t y { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } + \mathbf { e } ^ { t } = 0$ ，得 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } = \frac { y ^ { 2 } - \mathrm { e } ^ { t } } { 2 ( 1 - t y ) }$ ，因而

$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { ( y ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { e } } ^ { t } ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 ( 1 - t y ) } \ .
$$

方法总结 本题是一个综合型求导题目，根据它的类型套用相应公式！

公式 $( \arctan t ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } }$

## 8对数求导法

称为对数求导法，实际问题中出现多项相乘、相除等问题利用对数，将乘除变成加减.

对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导.

设 $y = f ( x ) ( f ( x ) > 0 )$ ，则

①等式两边取对数，得 $\ln y = \ln f ( x )$

②两边对自变量x求导（同样注意 $y = f ( x )$ ，即将y看作中间变量），得 ${ \frac { 1 } { y } } y ^ { \prime } { = } [ \ln f ( x ) ] ^ { \prime }$ ，则

$y ^ { \prime } { = } { \frac { y f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } }$ ·复杂的表达式转化为简单的表达式运算.

例4.11 设函数 $y = y ( x )$ 由方程 $x { \mathbf e } ^ { f ( y ) } = { \mathbf e } ^ { y } \ln { 2 }$ 确定，其中f具有二阶导数，且 $f ^ { \prime } \neq 1 \gg$ ，则 ${ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } =$ 可山大

分析本题中有 $" e ^ { f ( y ) } \ " \mathrm { e } ^ { y  }$ 这种复杂的形式，可以考虑两边取对数，同时，经分析可知 $\mathrm { e } ^ { y } \ln 2 > 0$ 所以 $x > 0$ ，满足取对数条件，此时变为简单的隐函数方程，两边直接对x求导.因为本题是求二阶导数，所以需要再次求导.

解 应填 $- \frac { [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 2 } - f ^ { \prime \prime } ( y ) } { x ^ { 2 } [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 3 } }$

方程 $x \mathbf { e } ^ { f ( y ) } = \mathbf { e } ^ { y } \ln 2$ 两端取对数，得 $\ln x + f ( y ) = y + \ln ( \ln 2 )$ .两端关于x求导，得 ${ \frac { 1 } { x } } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime } = y ^ { \prime }$ 两端继续关于x求导，得 $- { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime } = y ^ { \prime }$ ，由此可得

$$
y ^ { \prime \prime } = - { \frac { [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 2 } - f ^ { \prime \prime } ( y ) } { x ^ { 2 } [ 1 - f ^ { \prime } ( y ) ] ^ { 3 } } } \ .
$$

@方法总结）对于多项式相乘、相除、开方、乘方的式子，先取对数将形式复杂的表达式化为形式简单的表达式，再去求导.

公式 $\left[ f ^ { \prime } ( y ) y ^ { \prime } \right] ^ { \prime } = f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime } \bullet y ^ { \prime } + f ^ { \prime } ( y ) \bullet y ^ { \prime }$

## 9幂指函数求导法

对于 $u ( x ) ^ { \nu ( x ) } ( u ( x ) > 0$ ，且u(x)≠1)，除了用上面的对数求导法外，还可以先化成指数函数

$$
u ( x ) ^ { \nu ( x ) } = { \mathrm { e } } ^ { \nu ( x ) \ln \overbrace { u ( x ) } ^ { \nu ( x ) } } , \quad \overbrace { \mathfrak { L } \underbrace { \partial \sin \notin z } } ^ { \nu ( x ) } ,
$$

然后求导，得

${ \Big [ } u ( x ) ^ { \nu ( x ) } { \Big ] } ^ { \prime } = { \Big [ } \mathbf { e } ^ { \nu ( x ) \ln u ( x ) } { \Big ] } ^ { \prime } = u ( x ) ^ { \nu ( x ) } { \Bigg [ } \nu ^ { \prime } ( x ) \ln u ( x ) + \nu ( x ) \cdot { \frac { u ^ { \prime } ( x ) } { u ( x ) } } { \Bigg ] }$ ，公式不要记，直接求导.

例4.12 求函数 $y = x ^ { x } ( x > 0 )$ 的导数.

分析 $x ^ { x }$ 是典型的幂指函数，将 $x ^ { x }$ 化为 $\mathrm { e } ^ { x \mathrm { i n } x }$ ，再去求导.

解

$$
\begin{array} { l } { { y ^ { \prime } = ( x ^ { x } ) ^ { \prime } = ( { \mathrm { e } } ^ { x \ln x } ) ^ { \prime } } } \\ { { \ } } \\ { { \ } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle \ = { \mathrm { e } } ^ { x \ln x } ( x \ln x ) ^ { \prime } } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle \ = x ^ { x } ( 1 + \ln x ) ( x > 0 ) ~ . } } \end{array}
$$

方法总结遇到幂指函数，先化成指数函数，转化为简单的复合函数再去求导.

公式 $( x \ln x ) ^ { \prime } = \ln x + 1$

山 例4.13 求函数 $y = x ^ { \frac { 1 } { x } } ( x > 0 )$ 的导数.

分析 $\scriptstyle { \frac { 1 } { x ^ { x } } }$ 是幂指函数，将 $\scriptstyle { \frac { 1 } { x ^ { x } } }$ 化为 $\mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x } \mathrm { l n } x }$ ，再去求导.

解

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle y ^ { \prime } = \left( x ^ { \frac 1 { x } } \right) ^ { \prime } = \left( \mathrm { e } ^ { \frac 1 { x } \mathrm { n } x } \right) ^ { \prime } } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle ~ = \mathrm { e } ^ { \frac 1 { x } \mathrm { n } x } \left( - \frac 1 { x ^ { 2 } } \cdot \ln x + \frac 1 { x } \cdot \frac 1 { x } \right) } } \\ { { ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = x ^ { \frac 1 { x } - 2 } ( 1 - \ln x ) ( x > 0 ) ~ . } } \end{array}
$$

方法总结遇到幂指函数，先化成指数函数，转化为简单的复合函数再去求导．

公式 $\left( { \frac { 1 } { x } } \ln x \right) ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \ln x + { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } }$

$$
 n \geqslant 2
$$

是考研数学中一个区分度较高的题型

求高阶导数主要有三种方法.—→不同问题选择不同的方法，题型具有灵活性！

(1)归纳法.

逐次求导，探索规律，得出通式．

例4.14 求 $y = \sin x$ 的n阶导数.

分析）当不知道高阶求导公式时，只能逐阶求导，本题还需要借助于三角函数的诱导公式，写成同名下的三角函数形式，再去探索规律．

解

$$
y ^ { \prime } { = } ( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x ,
$$

$$
y ^ { \prime \prime } { = } ( \cos x ) ^ { \prime } { = } { - } \sin x ,
$$

$$
y ^ { \prime \prime } { = } ( { - } \sin x ) ^ { \prime } { = } { - } \cos x ,
$$

但这样算下去，很难找到规律.想到 $\cos x = \sin ( x + { \frac { \pi } { 2 } } )$ ，则有

$$
y ^ { \prime } = \left( \sin x \right) ^ { \prime } = \cos x = \sin \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) ,
$$

$$
y ^ { * } = \left[ \sin ( x + { \frac { \pi } { 2 } } ) \right] ^ { \prime } = \cos \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \sin \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \sin \left( x + 2 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) ,
$$

$$
y ^ { \pm } = \left[ \sin ( x + 2 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } ) \right] ^ { \prime } = \cos { \left( x + 2 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) } = \sin { \left( x + 3 \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) } ,
$$

于是

$$
y ^ { ( n ) } = \sin \left( x + n \cdot { \frac { \pi } { 2 } } \right) ,
$$

即

$$
( \sin x ) ^ { ( n ) } = \sin \left( x + n \bullet { \frac { \pi } { 2 } } \right) , n = 1 , 2 , \cdots .
$$

@方法总结）在没有相应的高阶公式情况下，可以逐阶求导，探索规律，写出通项的表达式.

公式 $( \sin x ) ^ { \prime } = \cos x \ , ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x$

## 注常用高阶导数（n为正整数）：

$$
( \mathrm { e } ^ { a x + b } ) ^ { ( n ) } = a ^ { n } \mathrm { e } ^ { a x + b } ;
$$

$$
[ \sin ( a x + b ) ] ^ { n } = a ^ { n } \sin ( a x + b + { \frac { n \pi } { 2 } } ) ;
$$

推导： $\left( { \frac { 1 } { a x + b } } \right) ^ { \prime } = ( - 1 ) { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { 2 } } } \cdot a$

$$
[ \cos ( a x + b ) ] ^ { n } = a ^ { n } \cos ( a x + b + { \frac { n \pi } { 2 } } ) ;
$$

每次求 $( a x + b ) ^ { \prime } = a$ 就多一个a．

$$
\left( \frac { 1 } { a x + b } \right) ^ { \circ } = ( - 1 ) ( - 2 ) \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { 3 } } \cdot a \cdot a \ ,
$$

$$
[ \ln ( a x + b ) ] ^ { n } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \underline { { { a } } } ^ { n } \frac { ( n - 1 ) ! } { ( a x + b ) ^ { n } } ;
$$

$$
\left( { \frac { 1 } { a x + b } } \right) ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ( - 2 ) \cdots ( - n ) a ^ { n } \cdot { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { n + 1 } } }
$$

$$
\left( \frac { 1 } { a x + b } \right) ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ^ { n } \underline { { { a } } } ^ { n } \frac { n ! } { ( a x + b ) ^ { n + 1 } } .
$$

$$
{ \frac { 1 } { a } } [ \ln ( a x + b ) ] ^ { ( n + 1 ) }
$$

考生若能记住这些式子，那是最好的．若记不住，学会推导的方式，在考试中快速计算出来，也是可以的．

例4.15 设 $y = \frac { 1 - x } { 1 + x }$ ，则y(")(0)=（）.(A) $( - 1 ) ^ { n } 2 \cdot n !$ (B) $- 2 ^ { n } \cdot n !$ (C) $2 ^ { n } \cdot ( n - 1 ) !$ (D) $- 2 ^ { n } \cdot ( n - 1 ) !$

分析）本题不能直接用常用高阶导数公式，可考虑先转化为有常用高阶导数公式的式子.因

$$
y = { \frac { 1 - x } { 1 + x } } = - 1 + { \frac { 2 } { 1 + x } } ,
$$

然后对 $\frac { 1 } { 1 + x }$ 求导可直接套公式.

解 应选(A).

本题考查的知识点是高阶导数运算.求高阶导数的关键在于将 $y , y ^ { \prime } , y ^ { \prime }$ 恒等变形，简化运算以寻找规律.

由于

$$
y = \frac { 1 - x } { 1 + x } = - 1 + \frac { 2 } { 1 + x } = 2 ( 1 + x ) ^ { - 1 } - 1 ,
$$

套公式，得

$$
y ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ^ { n } 2 \cdot n ! ( 1 + x ) ^ { - ( n + 1 ) } ,
$$

因此

$$
y ^ { ( n ) } ( 0 ) = ( - 1 ) ^ { n } 2 \cdot n ! .
$$

故选(A).

方法总结不能直接套用常用高阶导数公式的题目，可考虑先转化为有常用高阶导数公式的函数.

公式 $\left( { \frac { 1 } { 1 + x } } \right) ^ { ( n ) } = ( - 1 ) ^ { n } { \frac { n ! } { ( x + 1 ) ^ { n + 1 } } }$

例4.16 已知函数f(x)具有任意阶导数，且 $f ^ { \prime } ( x ) = [ f ( x ) ] ^ { 2 }$ ，其中n为正整数，则 $f ^ { ( n ) } ( x ) =$

分析本题为抽象函数求导，给出关系式，可考虑用好该关系式，逐次求导，探索规律.若是解答题，探索规律后应给出相应数学归纳法的证明，若是客观题，不必给出证明.

解 应填 $n ! [ f ( x ) ] ^ { n + 1 }$

$f ^ { \prime } ( x ) = [ f ( x ) ] ^ { 2 }$ 两边同时对x求导，得

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = 2 f ( x ) f ^ { \prime } ( x ) = 2 [ f ( x ) ] ^ { 3 } ,
$$

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = 2 \bullet 3 [ f ( x ) ] ^ { 2 } \bullet f ^ { \prime } ( x ) = 2 \bullet 3 [ f ( x ) ] ^ { 4 } ,
$$

$$
f ^ { ( 4 ) } ( x ) = 2 \bullet 3 \bullet 4 [ f ( x ) ] ^ { 3 } \bullet f ^ { \prime } ( x ) = 2 \bullet 3 \bullet 4 [ f ( x ) ] ^ { 5 } ,
$$

于是得到

$$
f ^ { ( n ) } ( x ) = n ! [ f ( x ) ] ^ { n + 1 } \ .
$$

方法总结若题目中给出的是抽象形式的相关等式可考虑用好关系式，逐次求导，探索规律.

公式 $( y ^ { 2 } ) ^ { \prime } = 2 y y ^ { \prime }$

注可用数学归纳法严格证明，但考试中不必给出

设n=k时，有 $f ^ { ( k ) } ( x ) = k ! [ f ( x ) ] ^ { k + 1 }$ ，则 $n = k + 1$ 时，将上式两边再对x求导，有

$$
f ^ { ( k + 1 ) } ( x ) = ( k + 1 ) \bullet k ! [ f ( x ) ] ^ { k } f ^ { \prime } ( x ) = ( k + 1 ) ! [ f ( x ) ] ^ { k + 2 } ,
$$

故对正整数n，有 $f ^ { ( n ) } ( x ) = n ! [ f ( x ) ] ^ { n + 1 }$

(2)莱布尼茨公式→主要考乘积形式

设u=u(x),v=v(x)均n阶可导，则

$$
\begin{array} { c } { { ( \boldsymbol { u } \pm \boldsymbol { \nu } ) ^ { ( n ) } = \boldsymbol { u } ^ { ( n ) } \pm \boldsymbol { \nu } ^ { ( n ) } , } } \\ { { \ } } \\ { { ( \boldsymbol { u } \boldsymbol { \nu } ) ^ { ( n ) } = \boldsymbol { u } ^ { ( n ) } \nu + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } \boldsymbol { u } ^ { ( n - 1 ) } \nu ^ { \prime } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } \boldsymbol { u } ^ { ( n - 2 ) } \nu ^ { \prime } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { k } \boldsymbol { u } ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( k ) } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { n - 1 } \boldsymbol { u } ^ { \prime } \nu ^ { ( n - 1 ) } + \boldsymbol { u } \nu ^ { ( n ) } \overset { \scriptscriptstyle { + } } { \underset { + } { \cdots } } n + 1 \not { \underset { + } { \cdots } } \boldsymbol { \mathscr { R } } } } \\ { { \ } } \\ { { = \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } \boldsymbol { u } ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( \widehat { E } ) } . } } \end{array}\tag{*}
$$

考研中往往给出的是低次幂的幂函数作为u(x)或v(x).

例如，给出的u(x)或v(x)为x²，其三阶导数为0，则u(x)·v(x)的n阶导数只有3项

(\*)式，就是求函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，其中 $\boldsymbol { u } ^ { ( 0 ) } = \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nu } ^ { ( 0 ) } = \boldsymbol { \nu } .$

注（1)见到求两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼茨公式即可，有时要结合 $^ { \mathrm { { \sc ~ \mathfrak { \omega } } } } ( 1 )$ 归纳法”中的通式；当一个函数求高阶导数较困难时，若能转化成两个函数的乘积形式，亦可用莱布尼茨公式．

（2）若n不太大，其系数 $\mathbf { C } _ { n } ^ { 0 } , \mathbf { C } _ { n } ^ { 1 } , \mathbf { C } _ { n } ^ { 2 } , \cdots , \mathbf { C } _ { n } ^ { n - 1 } , \mathbf { C } _ { n } ^ { n }$ 的记忆方法可按下述“三角形”：

$( \arcsin x ) ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } }$ ，则(aresin x)·√1-x² =1.

$\cdot u = ( \arcsin x ) ^ { \prime } , \nu = \sqrt { 1 - x ^ { 2 } }$ ，故u·v=1.所 $\cdots 3 ( u \cdot \nu ) ^ { ( n - 1 ) } = 1 ^ { ( n - 1 ) } = 0$

$$
\theta \bar { \rho } \ : \Gamma _ { n - 1 } ^ { 0 } ( \arcsin x ) ^ { ( n ) } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \ : + \cdots +  { \Gamma _ { n - 1 } ^ { n - 1 } } ( \arcsin x ) ^ { \prime } \Big ( \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \Big ) ^ { ( n - 1 ) } = 0 \ : ,
$$

![](images/faf47c68d2f144651e421f31944fefae29367f5afaa8b5453136dbe2a0ae7c36.jpg)

1 例4.17 设 $f ( x ) = x \mathbf { e } ^ { x }$ ，则 $f ^ { ( n ) } ( x ) =$

分析本题是两类不同函数乘积的n阶导数，且其中 $u ( x ) = x$ 是低次幂函数，可以考虑莱布尼茨公式，最后只有2项！

解 应填 $( n + x ) e ^ { x }$

$$
f ^ { ( n ) } ( x ) = ( x { \bf e } ^ { x } ) ^ { ( n ) } = ( { \bf e } ^ { x } ) ^ { ( n ) } x + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } ( { \bf e } ^ { x } ) ^ { ( n - 1 ) } \bullet \boldsymbol { 1 } = x { \bf e } ^ { x } + n { \bf e } ^ { x } = ( n + x ) { \bf e } ^ { x } \ .
$$

方法总结）求两类不同函数乘积的n阶导数，用莱布尼茨公式.

$$
\widehat { \varphi ^ { \prime } \mathscr { L } \overrightarrow { \lambda \lambda } } \quad ( u \nu ) ^ { ( n ) } = u ^ { ( n ) } \nu + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } u ^ { ( n - 1 ) } \nu ^ { \prime } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } u ^ { ( n - 2 ) } \nu ^ { \prime } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { k } u ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( k ) } + \cdots + \mathrm { C } _ { n } ^ { n - 1 } u ^ { \prime } \nu ^ { ( n - 1 ) } + u \nu ^ { ( n ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathrm { C } _ { n } ^ { k } u ^ { ( n - k ) } \nu ^ { ( k ) } \ .
$$

(3)泰勒展开式.

①任何一个无穷阶可导的函数都可写成

![](images/837b825821e27aee541b78ba9db1fee515746b11a304d5ca18fad1ab99d1736b.jpg)

$$
y = f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) } { n ! } ( x - x _ { 0 } ) ^ { n } ,
$$

或者

$$
y = f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } \overbrace { x ^ { ^ n } \cdot \mathrm { ~ . ~ } } ^ { } x _ { _ 0 } = 0
$$

②题目给出一个具体的无穷阶可导函数 $y = f ( x )$ ，可以通过已知公式展开成幂级数.这些已知公式为

$$
\left\lceil \mathbf { e } ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n ! } } = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + \cdots + { \frac { x ^ { n } } { n ! } } + \cdots , - \infty < x < + \infty \right. .
$$

$$
{ \frac { 1 } { 1 + x } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } x ^ { n } = 1 - x + x ^ { 2 } - x ^ { 3 } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } x ^ { n } + \cdots , - 1 < x < 1 ~ .
$$

$$
{ \frac { 1 } { 1 - x } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } x ^ { n } = 1 + x + x ^ { 2 } + \cdots + x ^ { n } + \cdots , - 1 < x < 1 .
$$

$$
\ln ( 1 + x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } = x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 4 } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } + \cdots , - 1 < x \leqslant 1 \ .
$$

$$
\sin x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } + \cdots , - \infty < x < + \infty \ .
$$

$$
\cos x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } = 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } - { \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } + \cdots , - \infty < x < + \infty \ .
$$

$$
( 1 + x ) ^ { \alpha } = 1 + \alpha x + { \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) } { 2 ! } } x ^ { 2 } + \cdots + { \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) \cdots ( \alpha - n + 1 ) } { n ! } } x ^ { n } + \cdots , { \left\{ \begin{array} { l l } { x \in ( - 1 , 1 ) , } & { \alpha \leqslant - 1 , } \\ { x \in ( - 1 , 1 ] , } & { - 1 < \alpha < 0 , } \\ { x \in [ - 1 , 1 ] , } & { \alpha > 0 , \alpha \notin \mathbf { N } _ { + } , } \\ { x \in \mathbf { R } , } & { \alpha \in \mathbf { N } _ { + } . } \end{array} \right. }
$$

$$
\tan x = x + { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } + \cdots
$$

$$
\arcsin x = x + { \frac { 1 } { 6 } } x ^ { 3 } + \cdots .
$$

$$
\arctan x = x - { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 3 } + \cdots
$$

③函数泰勒展开式的唯一性：无论f(x)由何种方法展开，其泰勒展开式具有唯一性.于是我们可以通过比较①，②中公式的系数，获得 $f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } )$ 或者 $f ^ { ( n ) } ( 0 )$

例4.18 设 $f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - x )$ ，则当 $n \geqslant 3$ 时， $f ^ { ( n ) } ( 0 ) ~ = ~ ( \qquad )$ （A) $- { \frac { n ! } { n - 2 } }$ (B) $\frac { n ! } { n - 2 }$ (C) $- { \frac { ( n - 2 ) ! } { n } }$ (D) $\frac { ( n - 2 ) ! } { n }$

分析 本题可以用莱布尼茨求导公式，也可以用泰勒公式.

若用泰勒公式，先抽象展开， $f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n }$ ，然用具体展开， $f ( x ) = - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m + 3 } } { m + 1 } }$ ，最后令 $x ^ { n }$ 的系数相等.

利用泰勒公式展开，有

$$
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - x ) = x ^ { 2 } \cdot \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m - 1 } \cdot { \frac { ( - 1 ) ^ { m } x ^ { m } } { m } } = - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m + 2 } } { m } } = - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m + 3 } } { m + 1 } } \ .
$$

由于 $f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n }$ ，根据函数展开式的唯一性，比较系数，有 $n = m + 3$ ，所以

$$
\frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } = - \frac { 1 } { m + 1 } ,
$$

即 $f ^ { ( n ) } ( 0 ) = - { \frac { n ! } { n - 2 } }$

@方法总结对于 $g ( x ) = x ^ { k } f ( x )$ 型，可以考虑用泰勒公式求 $g ^ { ( n ) } ( 0 )$

公式 $\ln ( 1 + x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } = x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { x ^ { 4 } } { 4 } } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } + \cdots , - 1 < x \leqslant 1$

$$
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - x ) = x ^ { 2 } \left( - x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - \cdots - { \frac { x ^ { n - 2 } } { n - 2 } } - \cdots \right)
$$

$f ( x ) = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + { \frac { f ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 ! } } x ^ { 2 } + \cdots + { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } + \cdots$ 根据展开式的唯一性，对比 $x ^ { n }$ 的系数，得$- \frac { 1 } { n - 2 } = \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! }$ $f ^ { ( n ) } ( 0 ) = - { \frac { n ! } { n - 2 } }$

例4.19 设 $f ( x ) = x ^ { 2 } 2 ^ { x }$ ，则当 $n \geqslant 1$ 时， $f ^ { ( n ) } ( 0 ) =$

分析本题可以用莱布尼茨求导公式，也可以用泰勒公式.

莱布尼茨法： $x ^ { 2 }$ 幂次较低， $f ^ { ( n ) } ( x )$ 只有3项.

泰勒公式： $2 ^ { x }$ 没有泰勒展开式，需要对其变形后再展开.

解 应填 $n ( n - 1 ) ( \ln 2 ) ^ { n - 2 }$

方法一利用泰勒公式展开，有

$$
f ( x ) = x ^ { 2 } 2 ^ { x } = x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x \ln 2 } = x ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( x \ln 2 ) ^ { n } } { n ! } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n } } { n ! } } x ^ { n + 2 } = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } x ^ { n } ,
$$

又 $f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n }$ ，由泰勒展开式的唯一性，得 ${ \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } = { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } }$ .又 $f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ ，故

$$
f ^ { ( n ) } ( 0 ) = { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } n ! = n ( n - 1 ) ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \ .
$$

方法二利用莱布尼茨高阶求导公式，有

$$
\begin{array} { l } { { f ^ { ( n ) } ( x ) = \displaystyle \mathrm { C } _ { n } ^ { 0 } x ^ { 2 } ( 2 ^ { x } ) ^ { ( n ) } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } \bullet 2 x \bullet ( 2 ^ { x } ) ^ { ( n - 1 ) } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } \bullet 2 \bullet ( 2 ^ { x } ) ^ { ( n - 2 ) } } } \\ { { \qquad } } \\ { { = x ^ { 2 } \bullet 2 ^ { x } \bullet ( \ln 2 ) ^ { n } + n \bullet 2 x \bullet 2 ^ { x } \bullet ( \ln 2 ) ^ { n - 1 } + \displaystyle \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } \bullet 2 \bullet 2 ^ { x } \bullet ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } , } } \end{array}
$$

当x=0时， $f ^ { ( n ) } ( 0 ) = n ( n - 1 ) ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$

方法总结对于 $g ( x ) = x ^ { k } f ( x )$ 型，k取值较小，本题可以用莱布尼茨求导公式，也可以用泰勒公式.

$$
( \theta ^ { \prime } \overrightarrow { \Delta } \overrightarrow { \mathfrak { x } } \big ) \ \mathrm { e } ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } = 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \cdots + \frac { x ^ { n } } { n ! } + \cdots , - \infty < x < + \infty \ .
$$

$$
( 2 ^ { x } ) ^ { ( n ) } = 2 ^ { x } ( \ln 2 ) ^ { n } \ .
$$

注在方法一中，事实上，由于 $f ( 0 ) = 0 , f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ ，故

$$
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } } x ^ { n } \ ,
$$

$\sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { ( \ln 2 ) ^ { n - 2 } } { ( n - 2 ) ! } } x ^ { n }$ 完全对应

![](images/4e69e98f9f35ed1ca74a5ea880275721635f09c3d44bb40be3c391d2fa4a9ac5.jpg)

## 基础习题精练

## 习题

4.1设函数g(x)可微， $h ( x ) = \mathbf { e } ^ { 1 + g ( x ) }$ $h ^ { \prime } ( 1 ) = 1 , g ^ { \prime } ( 1 ) = 2$ ，则g(l)=（）.

(A) In3-1 (B) $- \ln 3 - 1$ (C) -ln2-1 (D) In2-1

4.2设 $f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } x { \bigl ( } 1 - 2 t { \bigr ) } ^ { - { \frac { x } { t } } }$ ，则f(x)=_

4.3已知 $f ^ { \prime } ( x ) = A \mathbf { e } ^ { x }$ （A为正常数)，则f(x)的反函数的二阶导数为

4.4设函数y=y(x)由 $\left\{ \begin{array} { l } { { x = \ln ( 1 + t ^ { 2 } ) + 1 , } } \\ { { y = 2 \arctan t - ( t + 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right.$ 确定，则 ${ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \ =$

4.5设函数f(x)在x=2的某邻域内具有任意阶导数，且 $f ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { f ( x ) } , f ( 2 ) = 1$ ，则当n≥1时，$f ^ { ( n ) } ( 2 ) =$

4.6设y=y(x)是由方程 $\sin ( x y ) = \ln { \frac { x + e } { y } } + 1$ 确定的隐函数，求y(0)的值.

4.7已知g(x)在x=0处二阶可导，且 $g ( 0 ) = g ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ ，设

$$
f ( x ) = \{ { \begin{array} { l l } { \displaystyle { g ( x ) } } \\ { \displaystyle x } \end{array} } , \quad x \neq 0 , \quad
$$

证明：f(x)的导函数在x=0处连续.

4.8求函数

$$
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 + x )
$$

在x=0处的n阶导数 $f ^ { ( n ) } ( 0 ) ( n \geq 3 )$

## 解答

4.1(C）解 $h ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { 1 + g ( x ) } \cdot g ^ { \prime } ( x )$ .因 $h ^ { \prime } ( 1 ) = 1 , g ^ { \prime } ( 1 ) = 2$ ，故

$$
g ( 1 ) = \ln \frac { h ^ { \prime } ( 1 ) } { g ^ { \prime } ( 1 ) } - 1 = \ln \frac { 1 } { 2 } - 1 = - \ln 2 - 1 .
$$

4.2 $( 1 + 2 x ) { \mathrm { e } } ^ { 2 x }$ 解 $f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } x ( 1 - 2 t ) ^ { - { \frac { x } { t } } } = x \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \left[ \left( 1 - 2 t \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 t } } } \right] ^ { 2 x } = x \mathrm { e } ^ { 2 x }$ ，因此

$$
f ^ { \prime } ( x ) = ( x \mathrm { e } ^ { 2 x } ) ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { 2 x } + x \mathrm { e } ^ { 2 x } \bullet 2 = ( 1 + 2 x ) \mathrm { e } ^ { 2 x } \ .
$$

4.3 $- \frac { 1 } { A ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x } }$ 解设 $y = f ( x )$ ，则

$$
{ \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } } = { \frac { 1 } { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } } } = { \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } } ,
$$

$$
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } \left( \displaystyle \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } \right) } { \mathrm { d } y } = \frac { \mathrm { d } \left[ \displaystyle \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } \right] } { \mathrm { d } x } \cdot \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } = - \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { \left[ f ^ { \prime } ( x ) \right] ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( x ) } } \\ & { \quad \quad \quad = - \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { \left[ f ^ { \prime } ( x ) \right] ^ { 3 } } = - \frac { A \mathrm { e } ^ { x } } { \left( A \mathrm { e } ^ { x } \right) ^ { 3 } } = - \frac { 1 } { A ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 x } } \ . } \end{array}
$$

$$
- { \frac { ( 1 + 2 t ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 t } }
$$

解

$$
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } \cdot \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } - \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } t } \cdot \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } \\ & { \quad = \frac { \displaystyle \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } \cdot \left[ - \frac { 4 t } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 2 \right] - \frac { 2 - 2 t ^ { 2 } } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \cdot \left[ \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } - 2 ( t + 1 ) \right] } { \frac { 8 t } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } } \\ & { \qquad - \frac { ( 1 + 2 t ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 t } , } \end{array}
$$

或

$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } = \frac { \displaystyle \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } { \displaystyle \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } - 2 ( t + 1 ) \int \frac { \ d t } { \mathrm { d } t } = - ( t ^ { 2 } + t + 1 ) \ : ,
$$

$$
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ - ( t ^ { 2 } + t + 1 ) \right] \cdot \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } x } = \frac { \displaystyle \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ - ( t ^ { 2 } + t + 1 ) \right] } { \displaystyle \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = - \frac { ( 1 + 2 t ) ( 1 + t ^ { 2 } ) } { 2 t } \ .
$$

4.5 $( n - 1 ) ! \mathbf { e } ^ { n }$ 解对 $f ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { f ( x ) }$ 两边关于x求导，得

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { f ( x ) } \bullet f ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { 2 f ( x ) } ,
$$

两边再对x求导，得

$$
f ^ { m } ( x ) = \mathrm { e } ^ { 2 f ( x ) } \cdot 2 f ^ { \prime } ( x ) = 2 ! \mathrm { e } ^ { 3 f ( x ) } ,
$$

两边再对x求导，得

$$
f ^ { ( 4 ) } ( x ) = 2 { \mathrm e } ^ { 3 f ( x ) } \bullet 3 f ^ { \prime } ( x ) = 3 ! { \mathrm e } ^ { 4 f ( x ) } ,
$$

由以上导数规律可得

$$
f ^ { ( n ) } ( x ) = ( n - 1 ) ! \mathrm { e } ^ { n f ( x ) } ,
$$

所以 $f ^ { ( n ) } ( 2 ) = ( n - 1 ) ! \mathbf { e } ^ { n }$

4.6解在方程中令 $\scriptstyle x = 0$ 可得 $0 = \ln \frac { \mathbf e } { y ( 0 ) } + 1$ ，故 $y ( 0 ) = \mathtt { e } ^ { 2 }$ .将方程两边对x求导，得

$$
\cos ( x y ) ( y + x y ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { x + e } } - { \frac { y ^ { \prime } } { y } } ~ .
$$

将 $x = 0 , y ( 0 ) = \mathbf { e } ^ { 2 }$ 代人，有 $\mathbf { e } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \mathbf { e } } - \frac { y ^ { \prime } ( 0 ) } { \mathbf { e } ^ { 2 } }$ ，即 $y ^ { \prime } ( 0 ) = \mathbf { e } - \mathbf { e } ^ { 4 }$

4.7证明根据导数定义，有

$$
f ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { \displaystyle \frac { g ( x ) } { x } - 0 } { x - 0 } = \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { g ( x ) } { x ^ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { 2 x } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { g ^ { \prime } ( x ) - g ^ { \prime } ( 0 ) } { x - 0 } = \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } ( 0 ) \ .
$$

当 $x \neq 0$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { x g ^ { \prime } ( x ) - g ( x ) } { x ^ { 2 } } }$ ，则

$$
\begin{array} { c } { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x  0 } f ^ { \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { x g ^ { \prime } ( x ) - g ( x ) } { x ^ { 2 } } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { x } - \operatorname* { l i m } _ { x  0 } \frac { g ( x ) } { x ^ { 2 } } } } \\ { { = g ^ { \prime } ( 0 ) - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } ( 0 ) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } ( 0 ) = f ^ { \prime } ( 0 ) , } } \end{array}
$$

所以f(x)的导函数在x=0处连续.

4.8解方法一由莱布尼茨公式

$$
\left( u \nu \right) ^ { ( n ) } = u ^ { ( n ) } \nu + \mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } u ^ { ( n - 1 ) } \nu ^ { \prime } + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } u ^ { ( n - 2 ) } \nu ^ { \prime } + \cdots + u \nu ^ { ( n ) } ,
$$

及

$$
\left[ \ln ( 1 + x ) \right] ^ { ( k ) } = { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } ( k - 1 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { k } } } ~ ( ~ k ~ { \mathcal { H } } \operatorname { I E } \not \equiv { \mathcal { H } } \not \equiv { \mathcal { H } } \medskip ~ ) ~ ,
$$

得当 $n \geqslant 3$ 时，

$$
f ^ { ( n ) } ( x ) = x ^ { 2 } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { n } } } + 2 n x { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 2 } ( n - 2 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { n - 1 } } } + n ( n - 1 ) \bullet { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } ( n - 3 ) ! } { ( 1 + x ) ^ { n - 2 } } } ,
$$

所以

$$
f ^ { ( n ) } ( 0 ) = ( - 1 ) ^ { n - 3 } n ( n - 1 ) ( n - 3 ) ! = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } n ! } { n - 2 } } ( n \geqslant 3 ) ~ .
$$

方法二利用泰勒展开，

$$
f ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 + x ) = x ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } x ^ { n } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } } x ^ { n + 2 } = \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } } { n - 2 } } x ^ { n } ,
$$

由泰勒展开系数的唯一性，得 ${ \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } } { n - 2 } } = { \frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) } { n ! } }$ ，故 $f ^ { ( n ) } ( 0 ) = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 3 } } { n - 2 } } n ! = { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n - 2 } } n ! ( n \geqslant 3 )$

