## 第17讲多元函数积分学的预备知识（仅数学一）

续表

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>曲面名称</td><td rowspan=1 colspan=3>方程</td><td rowspan=1 colspan=1>图形</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>双曲抛物面（马鞍面）</td><td rowspan=1 colspan=3> $- \frac { x ^ { 2 } } { 2 p } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 q } = z ( p , q > 0 )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>用2 $z = k ( k > 0 )$ 切得双曲线，<img src="images/e495e4d5e68574006967470fb06323918494fbbe12e19482706a023f8db587d5.jpg"/>           用x=k或y=k切得抛物线，其中k为位意常数</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>双曲抛物面（马鞍面）</td><td rowspan=1 colspan=3> $\scriptstyle z = x y$ 坐标变换： $\scriptstyle { \widehat { \varphi } } \sqrt [ ] { u = y + x } , $ </td><td rowspan=1 colspan=1>&gt;在上图的基础上，令x轴与y<img src="images/423f4ff07d7977cced3bf01c73e9f02aeb4a0cf4d14136749a6d8991f2900ce8.jpg"/>          轴逆时针旋转 $\frac { \pi } { 4 }$ </td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=5> $z = x y$ 中由x+y=1截出的图形，                       <img src="images/7d9b57fb06c49d97f3e20aac625925ac699443d9298e5d8b3a5ec0fb056ee403.jpg"/>可以与三重积分、曲线积分、曲面积分相结合缺z，母线平行于z轴&lt;(3)柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面.</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=2>椭圆柱面</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ </td><td rowspan=1 colspan=2><img src="images/f362a15ec9f2b2b72d10b013d90d2e668b4a312d2374824ca65345662bb36411.jpg"/>→准线是椭圆或圆</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=2>双曲柱面</td><td rowspan=1 colspan=1> ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ </td><td rowspan=1 colspan=2><img src="images/f59fe0942c3c3b57dcef96b63b10f2e1cfd7eb3b607130413e0e9b1825c23ccf.jpg"/>             →准线是双曲线</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=2>抛物柱面</td><td rowspan=1 colspan=1> $y = a x ^ { 2 } ( a > 0 )$ </td><td rowspan=1 colspan=2><img src="images/ea59e7c2b0b7b7a441bd139388850cae771fa0123fd70a0098b03c229e0b1b28.jpg"/></td></tr></table>

(4)旋转曲面：曲线厂绕一条定直线旋转一周所形成的曲面.

曲线 $\Gamma \colon \textstyle \left\{ { F ( x , y , z ) = 0 } \right. \mathrm { }$ 绕直线 $L \colon \frac { x - x _ { 0 } } { l } = \frac { y - y _ { 0 } } { m } = \frac { z - z _ { 0 } } { n }$ 旋转一周形成一个旋转曲面，旋转曲面方程的求法如下.

![](images/439319db0350c47aa0f7e34f7694ab6078f1cfd9e0245910b8a3d4e0102f0bd6.jpg)

如图17-1所示，设 $M _ { \scriptscriptstyle 0 } ( x _ { \scriptscriptstyle 0 } , y _ { \scriptscriptstyle 0 } , z _ { \scriptscriptstyle 0 } )$ ，方向向量 $\pmb { \tau } = ( l , m , n )$ .在母线r上任取一点 $M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$ ，则过 $M _ { 1 }$ 的纬圆上的任意一点P(x，y,z)满足条件

图17-1

$$
\overrightarrow { M _ { 1 } P } \perp \tau  , \ \left| \overrightarrow { M _ { 0 } P } \right| = \left| \overrightarrow { M _ { 0 } M } _ { 1 } \right| ,
$$

即

$$
\left\{ \begin{array} { l l } { l ( x - x _ { 1 } ) + m ( y - y _ { 1 } ) + n ( z - z _ { 1 } ) = 0 , } \\ { \qquad \quad \hfill ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) ^ { 2 } , } \end{array} \right.
$$

与方程 $F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = 0$ 和 $G ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) = 0$ 联立消去 $x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 }$ ，便可得到旋转曲面的方程.

常考曲线厂： $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right.$ 绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程如图17-2所示，在曲线Γ上任取一点 $M _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )$ 则过点 $M _ { 1 }$ 的纬圆上的任意一点P(x,y，z)满足条件 $\left. \overrightarrow { O P } \right. { = } \left. \overrightarrow { O M _ { 1 } } \right.$ 和 $\scriptstyle z = z _ { 1 }$ 即$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 }$ 且 ${ z = z _ { 1 } }$ ，得 因为 $( x - x _ { 1 } , y - y _ { 1 } , z - z _ { 1 } ) \perp ( 0 , 0 , 1 )$

$$
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } .
$$

![](images/de38dc890d01de9242cf943fc70244c02a8960d4d651e6a850c8b4543f29c016.jpg)

从方程组 $\left\{ \begin{array} { l l } { F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z ) = 0 , } \\ { G ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z ) = 0 , } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right.$ 中消去 $x _ { 1 }$ 和 $y _ { 1 }$ ，便得到旋转曲面的方程

图17-2

如果能从方程组 $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 } \end{array} } \right.$ 中解出 $\scriptstyle x = f _ { 1 } ( z )$ 和 $y = f _ { 2 } ( z )$ 则旋转曲面的方程为

$$
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = [ f _ { 1 } ( z ) ] ^ { 2 } + [ f _ { 2 } ( z ) ] ^ { 2 }
$$

如求 $\left\{ y ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 2 } = 1 , \right.$ 绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的方程，由方程组知 $\left\{ \begin{array} { l } { { x = 0 , } } \\ { { y ^ { 2 } = 1 + ( z - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right.$ 则旋,转曲面的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + 1 + ( z - 1 ) ^ { 2 }$ ，即 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 2 } = 1$

例17.5设 $\varSigma _ { 1 }$ 是由过点(0,-1,1)与点(0,0,0)的直线L绕z轴旋转一周所得的旋转曲面位于$z \geqslant 0$ 的部分， $\varSigma _ { 2 }$ 的方程为 $z ^ { 2 } = 2 x$ ，则 $\textstyle { \mathcal { Z } } _ { 1 }$ 与 $\varSigma _ { 2 }$ 的交线r在xOy面上的投影曲线方程为

解 应填 $\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.$

直线L的两点式方程为 ${ \frac { x } { 0 } } = { \frac { y + 1 } { 1 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } }$ ，参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 , } \\ { y = - 1 + t , } \\ { z = 1 - t , } \end{array} \right.$ t为参数，即 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 , } \\ { y = - z } \end{array} \right. }$ 由“三、2.（4)注”，得 $\varSigma _ { 1 }$ 的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + ( - z ) ^ { 2 } = z ^ { 2 }$ ，也即 $z = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$

将 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } \\ { z ^ { 2 } = 2 x } \end{array} \right. }$ '中的z消去，得 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x$ ，即得到投影曲线方程为$\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x , } \\ { z = 0 . } \end{array} } \right.$ 曲线r和其在 $x O y$ 面上的投影如图17-3所示.

![](images/7d5f0db72377fad970e2cba170e6547d27375f522d1ff093c96cf0258654a975.jpg)  
图17-3

## 四多元函数微分学的几何应用

![](images/43ae56492652b117a5d61178f6a965cdc37e6d93741f802eb7b8a0935a04ad22.jpg)

## 1空间曲线的切线与法平面

(1)用参数方程给出曲线： $\left\{ \begin{array} { l l } { x = x ( t ) , } \\ { y = y ( t ) , \ t \in I } \\ { z = z ( t ) , } \end{array} \right.$

其中 x(t)，y(t),z(t)在I上可导，且三个导数不同时为0，则曲线在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的切向量$\tau = ( x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) , y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) , z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) )$

切线方程： $\frac { x - x _ { 0 } } { x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) } = \frac { y - y _ { 0 } } { y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) } = \frac { z - z _ { 0 } } { z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) }$

法平面方程： $x ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) + y ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) + z ^ { \prime } ( t _ { 0 } ) ( z - z _ { 0 } ) = 0$

(2)用方程组给出曲线： $\left\{ { \begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 . } \end{array} } \right.$

当 $\left. \frac { \partial ( F , G ) } { \partial ( y , z ) } = \right| \frac { \partial F } { \partial y } \left. \frac { \partial F } { \partial z } \right| _ { \partial z }$ 时，可确定 $\begin{array}{c} \begin{array} { l } { \left\{ x = x , \right. } \\ { \left\{ y = y ( x ) \right. } \\ { \left. z = z ( x ) . \right.} \end{array}   \end{array}$

雅可比行列式

其在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的切向量 $\underline { { \tau } } = \left| \frac { i } { \underline { { F } } _ { x } ^ { \prime } } \begin{array} { c c c } { j } & { k } \\ { \underline { { F } } _ { y } ^ { \prime } } & { F _ { z } ^ { \prime } } \end{array} \right| _ { \underline { { \tau } } } = ( A , B , C )$ 梯度向量n两个梯度向量的叉乘：n×nG在P的梯度向量n

![](images/df90d57769654eb3eadc390e360fa4377fd9f76f5d1cff3791fe0eff17000f46.jpg)

切线方程： ${ \frac { x - x _ { 0 } } { A } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { B } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { C } }$

法平面方程： $A ( x - x _ { 0 } ) + B ( y - y _ { 0 } ) + C ( z - z _ { 0 } ) = 0$

## ②空间曲面的切平面与法线

(1)用隐式方程给出曲面： $F ( x , y , z ) = 0$ ，其中F的一阶偏导数连续．F在P的梯度向量

其在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的法向量 $\left. \pmb { n } = ( F _ { x } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } , F _ { y } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } , F _ { z } ^ { \prime } \big | _ { P _ { 0 } } ) \right.$

切平面方程： $\left. F _ { x } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( x - x _ { 0 } \right) + \left. F _ { y } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( y - y _ { 0 } \right) + \left. F _ { z } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } \bullet \left( z - z _ { 0 } \right) = 0$

![](images/61080ee1325dee1e114560e9c253649e5ec2857c46fa7efe4f777ffb7363b2af.jpg)

法线方程： $\frac { x - x _ { 0 } } { \left. F _ { x } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } = \frac { y - y _ { 0 } } { \left. F _ { y } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } } = \frac { z - z _ { 0 } } { \left. F _ { z } ^ { \prime } \right| _ { P _ { 0 } } }$ 或 $z - f ( x , y ) = 0$ 则曲面在P处的法向量为 $( - f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , - f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , 1 )$

(2)用显式函数给出曲面： $\ O _ { z } = f ( x , y ) \Rightarrow f ( x , y ) - \stackrel { \textstyle \top } { z } = 0$ ，其中f的一阶偏导数连续．

其在 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处的法向量 ${ \pmb n } = ( f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , - 1 )$ .此法向量方向向下.

→若为正值，与z轴正方向夹角为切平面方程： $f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) + f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) - ( z - z _ { 0 } ) = 0$ 锐角，即法向量向上：若为负值，与z轴正方向夹角为钝角，即法向量向下

法线方程： ${ \frac { x - x _ { 0 } } { f _ { x } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , \  y _ { 0 } ) } } = { \frac { y - y _ { 0 } } { f _ { y } ^ { \prime } ( x _ { 0 } , \ y _ { 0 } ) } } = { \frac { z - z _ { 0 } } { - 1 } }$

例17.6 空间曲线 $r : \left\{ \begin{array} { l l } { { x = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { u } \cos u \mathrm { d } u , } } \\ { { y = 2 \sin t + \cos t } } \\ { { z = 1 + \mathrm { e } ^ { 3 t } } } \end{array} \right.$ 在t=0处的切线方程为

分析x，y，z分别对t求导，然后代入t=0.

解 应填 ${ \frac { x - 0 } { 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z - 2 } { 3 } }$

当t=0时， $x = 0 , y = 1 , z = 2$ ；由 $x ^ { \prime } = \mathbf { e } ^ { t } \cos t , y ^ { \prime } = 2 \cos t - \sin t , z ^ { \prime } = 3 \mathrm { e } ^ { 3 t }$ ，得 $x ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , y ^ { \prime } ( 0 ) = 2$ $z ^ { \prime } ( 0 ) = 3$ .于是，切线方程为 ${ \frac { x - 0 } { 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z - 2 } { 3 } }$

例17.7 设函数z=f(x，y)在点(0,0)附近有定义，且f(0,0)=3，则曲线 $\left\{ \begin{array} { l l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = 0 } \end{array} \right.$ 在 点(0,0,f(0,0))处的法平面方程为

解 应填 $x + 3 z - 3 f ( 0 , 0 ) = 0$

曲线 $\left\{ \begin{array} { l } { z = f ( x , y ) , } \\ { y = 0 } \end{array} \right.$ 可写成参数式： $\left\{ { \begin{array} { l } { x = t , } \\ { y = 0 , } \\ { z = f ( t , \ 0 ) } \end{array} } \right.$ 则

$$
\tau = ( x _ { t } ^ { \prime } , y _ { t } ^ { \prime } , z _ { t } ^ { \prime } ) \big | _ { t = 0 } = ( 1 , 0 , f _ { x } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) ) = ( 1 , 0 , 3 ) \ .
$$

故所求法平面方程为 $x + 3 z - 3 f ( 0 , 0 ) = 0$

例17.8 曲面 $z - \mathbf { e } ^ { z } + 2 x y = 3$ 在点(1,2,0)处的切平面方程为

应填2x+y-4=0.

$F ( x , y , z ) = z - \mathbf { e } ^ { z } + 2 x y - 3$ ，则 $\pmb { n } = ( F _ { x } ^ { \prime } , F _ { y } ^ { \prime } , F _ { z } ^ { \prime } ) | _ { ( 1 , 2 , 0 ) }$ ，其中

$$
 F _ { x } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 y | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 ,  F _ { y } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 x | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 ,  F _ { z } ^ { \prime } | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = ( 1 - \mathrm { e } ^ { z } ) | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 0 \ .
$$

故切平面方程为 $4 ( x - 1 ) + 2 ( y - 2 ) + 0 \bullet ( z - 0 ) = 0$ ，即 $2 x + y - 4 = 0$

例17.9 设f可微，则曲面 $\mathrm { e } ^ { 2 x - z } = f ( \pi y - \sqrt { 2 } z )$ 是（ ）.

(A)旋转抛物面 (B)双叶双曲面 (C)单叶双曲面 (D)柱面

解 应选(D).

设 $F = f ( \pi y - { \sqrt { 2 } } z ) - \mathbf { e } ^ { 2 x - z }$ ，则曲面上任一点处的法向量为

定直线L

$$
\pmb { n } = ( - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x - z } , \pi f ^ { \prime } , - \sqrt { 2 } f ^ { \prime } + \mathrm { e } ^ { 2 x - z } ) \ .
$$

设某定向量τ=(a,b,c)（a,b,c不同时为零)与n垂直，即

![](images/428c47b32b576b437d19df9965cd896d3e65b9b9c66d1884fbaecc54c5d0aa28.jpg)

$$
{ \pmb n } \bullet ( a , b , c ) = - 2 a { \bf e } ^ { 2 x - z } + \pi b f ^ { \prime } + ( - \sqrt { 2 } f ^ { \prime } + { \bf e } ^ { 2 x - z } ) c \equiv 0 ,
$$

解得 $a = { \frac { c } { 2 } } , b = { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } c$ ，令c=1，则 $a = { \frac { 1 } { 2 } } , b = { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } }$ ，这样曲面上任一点处的法向量n均与定向量$\left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } } , 1 \right)$ 垂直，这说明该曲面是柱面.

## 场论初步

![](images/170c1ed18706fe0fcb978679feb3088f8e5291a32bcc75c610dd189e7f6759cb.jpg)

什么叫“场”？从数学上说，场就是空间区域Ω上的一种对应法则.

(1)如果Ω上的每一点M(x，y,z)都对应着一个数量u，则在Ω上就确定了一个数量函数$u = u ( x , y , z )$ ，它表示一个数量场.数量场的例子很多，比如温度场，温度场只讲大小，不讲方向.

(2)如果Ω上的每一点M(x，y，z)都对应着一个向量F，则在Ω上就确定了一个向量函数

$$
F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ,
$$

它表示一个向量场.向量场的例子也很多，比如引力场，引力场既讲大小，也讲方向.

## 1方向导数

定义设三元函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 的某空间邻域 $U \subset { \mathbf { R } } ^ { 3 }$ 内有定义，1为从点 $P _ { 0 }$ 出发的射线， $P ( x , y , z )$ 为l上且在U内的任一点，则

$$
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x - x _ { 0 } = \Delta x = t \cos \alpha , } \\ { \displaystyle y - y _ { 0 } = \Delta y = t \cos \beta , } \\ { \displaystyle z - z _ { 0 } = \Delta z = t \cos \gamma . } \end{array} \right. \overset { , } { = } \mathrm { , }
$$

以 $t = \sqrt { \left( \Delta x \right) ^ { 2 } + \left( \Delta y \right) ^ { 2 } + \left( \Delta z \right) ^ { 2 } }$ 表示P与 $P _ { 0 }$ 之间的距离，如图17-4所示，若极限

$$
\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( P ) - u ( P _ { 0 } ) } { t } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( x _ { 0 } + t \cos \alpha , y _ { 0 } + t \cos \beta , z _ { 0 } + t \cos \gamma ) - u ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } { t }
$$

存在，则称此极限为函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 }$ 沿方向I的方向导数，记作 $\left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \alpha } l } \right| _ { P _ { 0 } }$

定理（方向导数的计算公式）设三元函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点$P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处可微分，则 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 }$ 处沿任一方向1的方向导数都存在，且

![](images/b992cd070d18a58192af98acc0d75f745626468c4a65f3e8b409fadf9241c7d7.jpg)  
图17-

$$
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \frac { \hat { \omega } u } { \hat { \omega } l } \bigg \vert _ { P _ { 0 } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u ( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y , z _ { 0 } + \Delta z ) - u ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } \longmapsto _ { \Delta u } } \\ & { \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta x + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta y + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \Delta z + o ( t ) } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } \quad \quad \xrightarrow { \mathrm { d } x } \quad \quad \quad \quad \Delta x } \\ & { \quad = u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \alpha + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \beta + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \gamma , \quad \quad \quad \quad \frac { \Delta y } { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } = \cos \beta , } \end{array}
$$

其中cosα，cosβ,cosγ为方向l的方向余弦.

(cosα,cosβ，cosy)一定是单位向量

注二元函数f（x，y）的情况与三元函数类似

## ②梯度

定义设三元函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处具有一阶连续偏导数，则定义

$$
\left. \mathbf { g r a d } u \right| _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) \longrightarrow _ { \# \# \# , \frac { 5 } { 4 } \# , \frac { 5 } { 4 } \delta \xi \xi \xi \eta \neq \frac { 5 } { 4 0 } \# \delta \xi \xi \eta \neq \frac { 5 } { 4 0 } \# \frac { 5 } { 4 0 } \# \frac { 5 } { 4 0 } \frac { \delta \eta } { \delta x } }
$$

为函数 $u = u ( x , y , z )$ 在点 $P _ { 0 }$ 处的梯度.

$$
\mathbf { g r a d } { \binom { u } { \nu } } = { \frac { \nu \mathbf { g r a d } u - u \mathbf { g r a d } \nu } { \nu ^ { 2 } } } ( \nu \neq 0 ) .
$$

## ③方向导数与梯度的关系

由方向导数的计算公式 $\left. { \frac { \hat { \partial } { \boldsymbol u } } { \hat { \partial } t } } \right| _ { P _ { 0 } } = u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \alpha + u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \beta + u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) \cos \gamma$ 与梯度的定义

$$
\begin{array} { r } { \mathbf { g r a d } u \vert _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) , } \end{array}
$$

可得到

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \hat { \boldsymbol \alpha } \boldsymbol { u } } { \hat { \boldsymbol \alpha } \boldsymbol { l } } \bigg \vert _ { P _ { 0 } } = ( u _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) , u _ { z } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ) \bullet ( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ) = \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \cdot \boldsymbol { l } ^ { \prime } } \\ { \displaystyle \quad \quad = \big \vert \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \big \vert \big \vert l ^ { \circ } \big \vert \cos \theta = \big \vert \mathbf { g r a d } u \big \vert _ { P _ { 0 } } \big \vert \cos \theta , } \end{array}
$$

其中θ为 $\left. \mathbf { g r a d } u \right| _ { P _ { 0 } }$ 与l的夹角.

→此时向量与梯度同方向①当 $\cos \theta = 1$ 时， $\left. \frac { \partial u } { \partial l } \right| _ { P _ { 0 } }$ 有最大值.

②当 $\cos \theta = 0$ ，即 $\theta = \frac { \pi } { 2 }$ 时，向量l与梯度垂直，有 $\left. \frac { \partial u } { \partial t } \right| _ { P _ { 0 } } = 0$ ，即变化率为0.

于是有重要结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，为

$$
\left| \mathbf { g r a d } u \right| = \sqrt { ( u _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( u _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( u _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } .
$$

## 4 散度

定义设向量场 $A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k$ ，则

$$
\operatorname { d i v } A = \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z }
$$

叫作向量场A的散度.

## 5旋度

![](images/d5ecf68ada3c7ef718b4f6d92088d62c85cec529344b680469047afbd834cccb.jpg)

表示向外（内）流的强度

定义设向量场 $A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k$ ，则

$$
\begin{array} { r } { \mathbf { r o t } ~ A = \left| \frac { i } { \partial x } ~ \frac { \partial } { \partial y } ~ \frac { \partial } { \partial z } \right| } \\ { P ~ Q ~ R \left| ~ R \right| } \end{array}
$$

叫作向量场A的旋度.描述向量场中向量旋转量的强度

例17.10 函数 $f ( x , y , z ) = x ^ { 2 } y + z ^ { 2 }$ 在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为（）.(A)12 (B)6 (C)4 (D)2

解 应选(D).

因为函数可微分，且

$$
\left. \frac { \partial f } { \partial x } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 x y \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 , \left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = x ^ { 2 } \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 1 , \left. \frac { \partial f } { \partial z } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 2 z \big | _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 0 \ ,
$$

与n同方向的单位向量为 ${ \frac { n } { | n | } } = \left( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 3 } } \right)$ ，所以所求方向导数为

$$
\left. \frac { \partial f } { \partial n } \right| _ { ( 1 , 2 , 0 ) } = 4 \times \frac { 1 } { 3 } + 1 \times \frac { 2 } { 3 } + 0 \times \frac { 2 } { 3 } = 2 .
$$

例17.11 设a,b为实数，函数 $z = 2 + a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 }$ 在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10.则a,b的值分别为（ ）(A)-1，-1 (B)-1,1(C)1，-1 (D)1，1

分析）方向导数最大时，即为梯度方向，值为梯度的模.

函数 $z = 2 + a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 }$ 在点(3,4)处的梯度为

$$
\left. \mathbf { g r a d } \ z \right| _ { ( 3 , 4 ) } = 6 a \pmb { i } + 8 b \pmb { j } \ .
$$

由题设条件，知 $\left\{ \begin{array} { l l } { 6 a = - 3 k , } \\ { 8 b = - 4 k , } \\ { \sqrt { 3 6 a ^ { 2 } + 6 4 b ^ { 2 } } = 1 0 } \end{array} \right.$ 其中k>0，解得a=-1,b=-1.

例17.12 已知函数z=f(x，y)可微，其在点 $P _ { 0 } ( 1 , 2 )$ 处沿从 $P _ { 0 }$ 到P(2,3)的方向的方向导数为$2 \sqrt { 2 }$ ，沿从 $P _ { 0 }$ 到P2(1,0)的方向的方向导数为-3，则z在点 $P _ { 0 }$ 处的最大方向导数为

$$
\sqrt { 1 0 }
$$

如图17-5所示， $l _ { 1 } = \overrightarrow { P _ { 0 } P _ { 1 } } = ( 1 , 1 ) , l _ { 2 } = \overrightarrow { P _ { 0 } P _ { 2 } } = ( 0 , - 2 )$ ，且

$$
\mathring { l _ { 1 } ^ { \circ } } = ( \cos \alpha _ { 1 } , \cos \beta _ { 1 } ) = \left( \frac 1 { \sqrt 2 } , \frac 1 { \sqrt 2 } \right) ,
$$

$$
\bar { l _ { 2 } ^ { \circ } } = ( \cos \alpha _ { 2 } , \cos \beta _ { 2 } ) = ( 0 , - 1 ) \ .
$$

由方向导数计算公式，有

$$
 \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } \ ,
$$

$$
 \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot 0 + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot ( - 1 ) = - 3 ~ ,
$$

解得 $z _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) { = } 1 , z _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) { = } 3$ ，故z在点 $P _ { 0 }$ 处的最大方向导数为

$$
| \mathbf { g r a d } z | _ { P _ { 0 } } | = \sqrt { [ z _ { x } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ] ^ { 2 } + [ z _ { y } ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 0 }
$$

![](images/a5e100f531e46b69636576660e3de022e944942f82602565d0ce82dc0215ff9e.jpg)  
图17-5

注本题的问题可作如下推广：设 $z = f ( x , y )$ 可微，记任意一点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ ，从 $P _ { 0 }$ 出发，沿两条不共线的方向 $l _ { 1 } ^ { \circ } = \left( \cos \alpha _ { 1 } , \cos \beta _ { 1 } \right)$ 与 $\hat { l _ { 2 } } = ( \cos \alpha _ { 2 } , \cos \beta _ { 2 } )$ 的方向导数分别为

$$
[  { \frac { \partial f } { \partial t _ { 1 } ^ { o } } } | _ { P _ { 0 } } = { \frac { \partial f } { \partial x } } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \alpha _ { 1 } + \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \beta _ { 1 } ,
$$

$$
| \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { o } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \alpha _ { 2 } + \frac { \partial f } { \partial y } \Bigg | _ { P _ { 0 } } \cdot \cos \beta _ { 2 } ,
$$

其中 $\left| \begin{array} { l l } { \cos \alpha _ { 1 } } & { \cos \beta _ { 1 } } \\ { \cos \alpha _ { 2 } } & { \cos \beta _ { 2 } } \end{array} \right| \neq 0$

（1）若 $\left. \frac { \partial f } { \partial l _ { 1 } ^ { \circ } } \right| _ { P _ { 0 } } , \left. \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { \circ } } \right| _ { P _ { 0 } }$ 不全为0，则该非齐次方程组有唯一解，如例17.12的解答过程

（2）若 $ \frac { \partial f } { \partial l _ { 1 } ^ { \circ } } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial l _ { 2 } ^ { \circ } } | _ { P _ { 0 } } = 0$ 则该齐次方程组只有零解，即 $ \frac { \partial f } { \partial x } | _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial y } | _ { P _ { 0 } } = 0$ 故 $ \mathrm { d } f  _ { P _ { 0 } } = \frac { \partial f } { \partial x }  _ { P _ { 0 } } \mathrm { d } x +$ $\left. \frac { \partial f } { \partial y } \right| _ { P _ { 0 } } \mathrm { d } y = 0$ 由 $P _ { 0 }$ 的任意性，有 $\mathrm { d } f = 0$ ，故 $f ( x , y )$ 为一常数

例17.13 设 $F ( x , y , z ) = x y i - y z j + z x k$ ，则 $\mathbf { r o t } F ( 1 , 1 , 0 ) =$

## 解 应填i-k.

记三元向量函数 $F ( x , y , z ) = ( P , Q , R )$ ，则

$$
\mathrm { r o t } \ F ( x , y , z ) = \left| \frac { \hat { \omega } } { \partial x } \begin{array} { c c c } { { j } } & { { k } } \\ { { \hat { \omega } } } & { { \hat { \omega } } } & { { \hat { \omega } } } \\ { { { \hat { \omega } } } } & { { { \hat { \omega } } } } & { { { \hat { \omega } } z } } \\ { { P } } & { { Q } } & { { R } } \end{array} \right| ,
$$

其中 $P = x y , Q = - y z , R = z x$ ，于是

$$
\mathbf { r o t } F ( 1 , 1 , 0 ) = \left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } } \\ { x y } & { - y z } & { z x } \end{array} \right| _ { ( 1 , 1 , 0 ) } = \left( y i - z j - x k \right) \Bigr | _ { ( 1 , 1 , 0 ) } = i - k \ .
$$

![](images/8eb1b1cd1795e9b4cf2f3d8b660a359b5bd217b89b2b2009e47543e4fe539069.jpg)

## 基础习题精练

## 习题

17.1设直线 $L : \left\{ { x + y - z + 1 = 0 } , \atop { x - y + 3 z + 3 = 0 }  \right.$ 平面 $\scriptstyle \pi : x - 2 y - z + 3 = 0$ ，则直线L（ ）.(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π (D)与π相交但不垂直

17.2在曲线 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = t , } \\ { y = - t ^ { 2 } } \\ { z = t ^ { 3 } } \end{array} \right.$ ,的所有切线中，与平面 $x + 2 y + z = 4$ 平行的切线（ ）：(A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在

17.3已知曲面 $z = 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ 上点P处的切平面平行于平面 $2 x + 2 y + z - 1 = 0$ ，则点P的坐标是 ） (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)

17.4设 $| a + b | = | a - b |$ ，且a=(3,-5,8),b=(-1,1,z)，则z=

17.5直线 $L : { \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y } { 1 } } = { \frac { z - 1 } { - 1 } }$ 在平面 $\scriptstyle \pi : 3 x - y + 3 z = 5$ 上的投影直线 $L _ { 0 }$ 的方程为

17.6经过点A(1,0,0)与点B(0,1,1)的直线绕z轴旋转一周生成的曲面方程是

17.7函数 $u = \ln ( x + \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } )$ 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为

17.8设u是由方程 $\mathrm { e } ^ { z + u } - x y - y z - z u = 0$ 所确定的x,y,z的隐函数，则 $\scriptstyle u = u ( x , y , z )$ 在点P(1,1,0)处方向导数的最大值为

17.9已知 $\scriptstyle { F = x ^ { 3 } i + y ^ { 3 } j + z ^ { 3 } k }$ ，则在点(1,0,-1)处的div F为

17.10向量场A=(z,3x，2y)的旋度rot A=

## 解答

## 17.1(C）解先将直线

$$
L : \left\{ { x + y - z + 1 = 0 } , \atop { x - y + 3 z + 3 = 0 }  \right.\tag{①}
$$

②

化为点向式方程.

由①+②可得 ${ \frac { x + 2 } { - 1 } } = z$

由①-②可得 ${ \frac { y - 1 } { 2 } } = z$

因此所给直线化为

$$
{ \frac { x + 2 } { - 1 } } = { \frac { y - 1 } { 2 } } = { \frac { z } { 1 } } ,
$$

其方向向量为τ=(-1,2,1).

又所给平面的法向量为 $\pmb { n } = ( 1 , - 2 , - 1 )$ ，有 $\tau / / n$ ，因此 $L \perp \pi$ ，故选(C).

17.2(B）解曲线在 $t _ { 0 }$ 处的切向量为 $\tau = ( 1 , - 2 t _ { 0 } , 3 t _ { 0 } ^ { 2 } )$ ，该切线与平面 $x + 2 y + z = 4$ 平行 $\Leftrightarrow \tau$ 与 该平面的法向量n=(1,2,1)垂直 $\Leftrightarrow \tau \bullet n = 0 \Leftrightarrow 1 - 4 t _ { 0 } + 3 t _ { 0 } ^ { 2 } = 0 \Leftrightarrow t _ { 0 } = 1$ 或 $t _ { 0 } = \frac { 1 } { 3 }$

将 $t _ { 0 } = 1 , t _ { 0 } = \frac { 1 } { 3 }$ 代入曲线方程可得点(1,-1,1)和点 $\left( { \frac { 1 } { 3 } } , - { \frac { 1 } { 9 } } , { \frac { 1 } { 2 7 } } \right)$ ，再代入平面方程知两点均不在平面上，符合题意.故与平面平行的切线只有2条.

17.3（C）解设P点的坐标为 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ ，则曲面在P点的法向量为

$$
\begin{array} { r } { n = ( - 2 x _ { 0 } , - 2 y _ { 0 } , - 1 ) , } \end{array}
$$

又因为切平面平行于平面 $2 x + 2 y + z - 1 = 0$ ，则

$$
\frac { - 2 x _ { 0 } } { 2 } = \frac { - 2 y _ { 0 } } { 2 } = \frac { - 1 } { 1 } ,
$$

从而可得 $x _ { 0 } = 1 , y _ { 0 } = 1$ ，代入曲面方程解得 $z _ { 0 } = 2$ .故选(C).

17.41解由 $\pmb { a } = ( 3 , - 5 , 8 ) , \pmb { b } = ( - 1 , 1 , z )$ ，可知

$$
a + b = ( 3 - 1 , - 5 + 1 , 8 + z ) = ( 2 , - 4 , 8 + z ) ,
$$

$$
a - b = ( 3 + 1 , - 5 - 1 , 8 - z ) = ( 4 , - 6 , 8 - z ) ,
$$

$$
\left| a + b \right| = \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 4 ) ^ { 2 } + ( 8 + z ) ^ { 2 } } = \sqrt { 2 0 + ( 8 + z ) ^ { 2 } } ,
$$

$$
\left| a - b \right| = \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( - 6 ) ^ { 2 } + ( 8 - z ) ^ { 2 } } = \sqrt { 5 2 + ( 8 - z ) ^ { 2 } } ,
$$

由题设可知

$$
{ \sqrt { 2 0 + ( 8 + z ) ^ { 2 } } } = { \sqrt { 5 2 + ( 8 - z ) ^ { 2 } } } ,
$$

可解得z=1.

17.5 $\left\{ { \begin{array} { l } { 3 x - y + 3 z = 5 , } \\ { x - 3 y - 2 z + 1 = 0 } \end{array} } \right.$ 解欲求直线L在已给平面π上的投影直线 $L _ { 0 }$ ，应先求过L且与π垂直

的平面 $\pi _ { 1 }$ .为此先将L的方程化为一般式方程：

$$
\left\{ { \begin{array} { l } { x + z - 2 = 0 , } \\ { y + z - 1 = 0 , } \end{array} } \right.
$$

则过L的平面束方程为

$$
( x + z - 2 ) + \lambda ( y + z - 1 ) = 0 ,
$$

其中与π垂直的平面 $\pi _ { 1 }$ 的法向量应满足

$$
3 \times 1 + ( - 1 ) \lambda + 3 ( 1 + \lambda ) = 0 ,
$$

可解得 $\lambda = - 3$ ，则 $\pi _ { 1 }$ 的方程为

$$
x - 3 y - 2 z + 1 = 0 ,
$$

因此L在π上的投影直线 $L _ { 0 }$ 的方程为

$$
\left\{ { \begin{array} { l } { 3 x - y + 3 z = 5 , } \\ { x - 3 y - 2 z + 1 = 0 . } \end{array} } \right.
$$

17.6 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0$ 解由直线方程的两点式得直线AB的方程：

$$
{ \frac { x - 1 } { 1 } } = { \frac { y } { - 1 } } = { \frac { z } { - 1 } } \ .
$$

写成参数式：

$$
x = 1 + t , y = - t , z = - t ,
$$

得旋转曲面的方程：

$$
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( 1 - z ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } , \mathrm { ~ } \sharp \mathbb { \ : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0 \ .
$$

17.7 $\frac { 1 } { 2 }$ 解因为

$$
 { \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } x } } | _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } | _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ,
$$

$$
\left. { \frac { \hat { \sigma } u } { \hat { \sigma } y } } \right| _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \cdot \left. { \frac { y } { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \right| _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = 0 \ ,
$$

$$
 { \frac { \partial u } { \partial z } } | _ { A } = { \frac { 1 } { x + { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \cdot { \frac { z } { \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } | _ { ( 1 , 0 , 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } ,
$$

而 $\overrightarrow { A B }$ 的单位向量为 $\left( { \frac { 2 } { 3 } } , - { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 3 } } \right)$ ，故所求的方向导数为

$$
\left. \frac { \hat { \alpha } u } { \hat { \partial } \vec { A } B } \right| _ { A } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 2 } { 3 } + 0 \times \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ~ .
$$

17.8 $\sqrt { 2 }$ 解方向导数的最大值就是 $| \mathbf { g r a d } u | _ { P } |$ .由所给方程两边对x求偏导数，u视为x，y，z的函数，有

$$
{ \mathrm { e } } ^ { z + u } { \frac { \partial u } { \partial x } } - y - z { \frac { \partial u } { \partial x } } = 0 , { \frac { \partial u } { \partial x } } = { \frac { y } { { \mathrm { e } } ^ { z + u } - z } } \ .
$$

当 $x = 1 , y = 1 , z = 0$ 时 $\scriptstyle u = 0$ ，代人上式后，得 $\frac { \partial u } { \partial x } \bigg | _ { P } = 1$ .类似可得 $\left. \frac { \partial u } { \partial y } \right| _ { P } = 1 , \left. \frac { \partial u } { \partial z } \right| _ { P } = 0$ .所以

$$
\begin{array} { r } { \mathbf { g r a d } u \vert _ { r } = ( 1 , 1 , 0 ) , \left| \mathbf { g r a d } u \right| _ { r } = \sqrt { 2 } \ . } \end{array}
$$

17.96解设向量场 $\pmb { F } = P \pmb { i } + Q \pmb { j } + R \pmb { k }$ ，则在点 $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$ 处

$$
\operatorname { d i v } F = \left( \frac { \partial P } { \partial x } + \frac { \partial Q } { \partial y } + \frac { \partial R } { \partial z } \right) \bigg | _ { M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } ~ .
$$

因为 $\frac { \partial ( x ^ { 3 } ) } { \partial x } = 3 x ^ { 2 } , \frac { \partial ( y ^ { 3 } ) } { \partial y } = 3 y ^ { 2 } , \frac { \partial ( z ^ { 3 } ) } { \partial z } = 3 z ^ { 2 }$ ，故

$$
\operatorname { d i v } F = ( 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } ) { \big | } _ { ( 1 , 0 , - 1 ) } = 6 ~ .
$$

17.102i+j+3k解设向量场 $\pmb { A } = P \pmb { i } + Q \pmb { j } + R \pmb { k }$ ，则

$$
\begin{array} { r } { \mathrm { r o t } ~ { A } = | \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial x } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial y } } & { \displaystyle \frac { \partial } { \partial z } | } \\ { P } & { Q } & { R } \end{array} | } \\ { = ( \frac { \partial R } { \partial y } - \frac { \partial Q } { \partial z } ) i + ( \frac { \partial P } { \partial z } - \frac { \partial R } { \partial x } ) j + ( \frac { \partial Q } { \partial x } - \frac { \partial P } { \partial y } ) k . } \end{array}
$$

因 $P = z , Q = 3 x , R = 2 y$ ，则

$$
\mathbf { r o t } \ { \cal A } = 2 i + j + 3 k \ .
$$

