## 第13讲

↓ ①联系联想与一元的 [形式[②区别[本质

<table><tr><td>考题</td><td>连续、可微、隐函数存在定理、极值与最值</td></tr><tr><td>题型</td><td>选择题、填空题、解答题</td></tr><tr><td>目标</td><td>①会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式不变性，了解隐函数 存在定理，会求多元隐函数的偏导数； ②了解二元函数的二阶泰勒公式（仅数学一）； ③掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极 值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题</td></tr><tr><td>重难点</td><td>①可微的判断；②条件最值与拉格朗日乘数法</td></tr></table>

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## 基础知识结构

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## 基础内容精讲

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## 基本概念

## 1邻域

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δ邻域设 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点$P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 的距离小于δ的点P(x，y)的全体，称为点 $P _ { 0 }$ 的δ邻域（见图13-1），记为 $U ( P _ { 0 } , \delta )$ ，即

![](images/24fe424cf1514e133b55f9aa093434a1edbad27eb142ed498de39f753121be2e.jpg)  
图13-1

$$
U ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ P \big | \big | P P _ { 0 } \big | < \delta \big \} \xrightarrow { \sharp \widehat { \chi } } U ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ ( x , y ) \Big | \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } < \delta \}
$$

去心δ邻域点 $P _ { 0 }$ 的去心δ邻域（见图13-2），记作 $\overset { \circ } { U } ( P _ { 0 } , \delta )$ ，郎$\overset { \circ } { U } ( P _ { 0 } , \delta ) = \{ P | 0 < | P P _ { 0 } | < \delta \}$

特别指出，如果不需要强调邻域的半径δ，则用 $U ( P _ { 0 } )$ 表示点 $P _ { 0 }$ 的某个邻域，点 $P _ { 0 }$ 的去心邻域记作 $\check { U } ( P _ { 0 } )$

![](images/316e0ec034af642a37e1b96e5fb44d55a634c563a85f116bb09d81c7397b130d.jpg)  
图13-2

8邻域的几何意义 $U ( P _ { 0 } , \delta )$ 表示 $x O y$ 平面上以点 $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 为中心， $\delta > 0$ 为半径的圆内部的点$P ( x , y )$ 的全体，一元极限： $\operatorname* { l i m } _ { x  x _ { 0 } } f ( x ) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , 0 < | x - x _ { 0 } | < \delta$ 时，|f(x)-A<ε—→此刻画f(x)与A充分靠近

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## 2 极限

设函数f(x，y)在区域D上有定义， $P _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in D$ 或为区域D边界上的一点.如果对于任意给定的$\varepsilon > 0$ ，总存在 $\delta > 0$ ，当点 $P ( x , y ) \in D$ ，且满足 $0 < \left| P P _ { 0 } \right| = \sqrt { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } < \delta$ 时，恒有

$$
\left| f ( x , y ) - A \right| < \varepsilon ,
$$

则称常数A为 $( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 时f(x，y)的极限，记作

也常记作

$$
\begin{array} { c } { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = { \cal A } \frac { \equiv \Re \bigl [ \operatorname * { l i m } _ { x \to x _ { 0 } } { f ( x , y ) = A } \bigr ] } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { x \to x _ { 0 } } { \to y _ { 0 } } } \frac { - ( x , y ) } { } } } } \\ { { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { P \to P _ { 0 } } f ( P ) = { \cal A } ~ . } } \end{array}
$$

注（1）一元极限中 $x \to x _ { 0 }$ 有且仅有两种方式 $( \boldsymbol { x } \to \boldsymbol { x } _ { 0 } ^ { - }$ 和 $x  x _ { 0 } ^ { + } )$ 二重极限中 $( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 一般有无穷多种方式，如图13-3所示.

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→否定存在

图13-3

★(2)若有两条不同路径使极限 $\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y )$ 的值不相等或某一路径使极限 $\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y )$ 的值不存在，则说明 $\operatorname * { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y )$ 不存在.（根据极限若存在，则必具有唯一性这一准则去判断.）

肯定存在

★（3)除洛必达法则和单调有界准则外，可照搬一元函数求极限的方法来求二重极限，二重极限保持了一元极限的各种性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性、运算规则及脱帽法：$\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } f ( x , y ) = A \Leftrightarrow f ( x , y ) = A + \alpha$ 其中当 $( x , y ) \to ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 时，α是无穷小量．

一元脱帽法： $\operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { n } } f ( x ) = A \Leftrightarrow f ( x ) = A + \alpha , \operatorname* { l i m } _ { x \to x _ { n } } \alpha = 0$

等价替换法： $\mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ , ( x , y )  ( 0 , 0 )$

例13.1 设 $I _ { 1 } = \operatorname* { l i m } _ { { x  0 } \atop { y  0 } } { \frac { | x y | } { \sqrt { { x ^ { 2 } } + { y ^ { 2 } } } } }$ $I _ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 \atop y \to 0 } { \frac { x \big | y \big | } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$ ，则（

（A) $I _ { 1 }$ 存在， $I _ { 2 }$ 不存在 (B) $I _ { 1 }$ 存在， $I _ { \imath }$ 存在

(C) $I _ { 1 }$ 不存在， $I _ { 2 }$ 存在 (D) $I _ { \ u _ { 1 } }$ 不存在， $I _ { 2 }$ 不存在

分析 $I _ { 1 }$ ：分子次数为2，分母次数为1.

