## 第14讲

## 二重积分

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>考题</td><td rowspan=1 colspan=1>二重积分</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>题型</td><td rowspan=1 colspan=1>解答题</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>目标</td><td rowspan=1 colspan=1>①理解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理；②掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>重难点</td><td rowspan=1 colspan=1>计算二重积分</td></tr></table>

![](images/afe5db71fb95a90240843515041bbf565585177dba05e77b0516d3b19701b5ff.jpg)

## 基础知识结构

![](images/276507f467a3b78ffe62288a5cf57923d9597adf04fe954b0ce7cec4e7db00ac.jpg)

思考问题：

1.直角坐标系中先积x，还是先积y？

2.极坐标系r，θ谁先积?

3.极坐标系和直角坐标系如何互相转化?

## 基础内容精讲

→概念可以联系前面所学的定积分！

## 概念、性质与对称性

![](images/0bf2e826f7216e3ed61118d49d0c1ed65cb78be5be832eea8d8ac61784b9fd6d.jpg)

![](images/0e79803c93286f97dd2d9249342d9b9aeb19cdf0adbc43b437acabe07ad65770.jpg)

## 1 概念

按照第8讲中给出定积分定义的方法，可以得到二重积分的定义， 定中是对线段的分割，这设f(x，y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域小柱体体积的近似，定积分f(5i)△xi是面积的近似 $\Delta \sigma _ { 1 } , \Delta \sigma _ { 2 } , \cdots , \Delta \sigma _ { n }$

其中 $\Delta \sigma _ { i }$ 表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个 $\Delta \sigma _ { i }$ 上任取一点 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ ，作乘积  
$f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ ，并作和 $\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i }$ ，如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，→取极限  
和的极限总存在（与 $\Delta \sigma _ { i }$ 的分法及点 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ 的取法均无关），则称此极限值为函数f(x，y)在闭区域D  
上的二重积分，记作 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma$ ，即 定积分是 $\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } ) \Delta x _ { i }$ ，注意 $\Delta x _ { i }$ 的取值：要求 $\mathrm { m a x } \{ \Delta x _ { i } \} = \lambda  0$ ，这里也是

$$
\iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \varprojlim _ { i  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } ,
$$

λ→0，这不是一个方向的积分，区域为二维，则有2个积分符号，即』其中f(x，y)称为被积函数，f(x，y)dg称为被积表达式，dg称为面积元素，x与y称为积分变量，DV称为积分区域， $\sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i }$ 称为积分和. dσ>0

若f(x，y)在有界闭区域D上连续，则二重积分 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma ^ { - }$ 一定存在.

实际问题：

通常它们的每一点处的密度不同，如何求它们的总质量？

一维： $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x$ 二维： $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma$ 三维： $\iiint _ { a } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu$

数学思想：先把它们分得足够细，也就是测度足够小，在这个测度上近似认为函数值是常数，则一小块的质量为 $f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } ) \Delta \sigma _ { i } ($ 定积分是 $f ( \xi _ { i } ) \Delta x _ { i } )$ ，再求和；最后求极限！

后面所讲的三重积分也是这个思想！ $( \operatorname* { l i m } _ { \lambda  0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \bullet \Delta \nu _ { i } = \iiiint _ { \Omega } f ( x , y , z ) \mathrm { d } \nu \ )$

注1）设 $f ( x , y ) \geq 0$ ，如图14-1所示，被积函数f(x，y）可作为曲顶柱体在点（x，y）处的柱体微元

的竖坐标（高），用底面积dσ乘以高f（x，y），得到一个“小竖条”的体积，再在区域D上把所有的“小竖条”累加起来，就得到了整个曲顶柱体的体积

![](images/e0aec1d93c029f95b8f6e0f072de418bcffc5c2d9dc0c426f79a6453dae0eb79.jpg)

(2)如果f(x，y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．（类似于定积分）

图14-1

（3）如果f(x，y）在D的若干部分区域上是正的，而在其他部分区域上是

负的，那么，f（x，y）在D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差：（类似于定积分）

## ②性质（与一元函数类似

性质1（求区域面积） $\iint _ { D } 1 \cdot \mathrm { d } \sigma = \iint _ { D } \mathrm { d } \sigma = A$ ，其中A为D的面积.

性质2(可积函数必有界）当f(x，y)在有界闭区域D上可积时，f(x，y)在D上必有界.

性质3（积分的线性性质）设 $k _ { 1 } , k _ { 2 }$ 为常数，则

$$
\iint [ k _ { 1 } f ( x , y ) \pm k _ { 2 } g ( x , y ) ] \mathrm { d } \sigma = k _ { 1 } \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma \pm k _ { 2 } \iint g ( x , y ) \mathrm { d } \sigma \cdot \mp \sigma \psi \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \frac { \lambda } { \mathcal { P } } = \mp \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \psi \partial _ { z } ^ { 2 } \sigma
$$

性质4(积分的可加性）设f(x，y)在有界闭区域D上可积，且 $D _ { 1 } \bigcup D _ { 2 } = D , D _ { 1 } \bigcap D _ { 2 } = \emptyset$ ，则

$$
\int _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { D _ { 1 } } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma + \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma .
$$

性质5(积分的保号性）当f(x，y)，g(x，y)在有界闭区域D上可积时，若在D上有

$$
f ( x , y ) { \leqslant } g ( x , y ) ,
$$

则有

$$
\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma { \leqslant } \iint g ( x , y ) \mathrm { d } \sigma { \overset { . } { : } }
$$

→保持原有的不等关系

特殊地，有

$$
\left| \iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma \right| \leqslant \int _ { D } \left| f ( x , y ) \right| \mathrm { d } \sigma .
$$

性质6(二重积分的估值定理）设M,m分别是f(x，y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，A为D的面积，则有

$$
m A { \leqslant } \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma { \leqslant } M A . { \longrightarrow } m { \leqslant } f ( x , y ) { \leqslant } M
$$

性质7（二重积分的中值定理）设函数 $f ( x , y )$ 在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点 $( \xi , \eta )$ ，使得

$$
\iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = f ( \xi , \overbrace { \eta ) d . } ^ { } \qquad \longrightarrow \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = f ( \xi ) ( b - a ) , \xi \in ( a , b )
$$

$$
L _ { 1 } : \ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 \ , L _ { 2 } : \ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 \ ,
$$

$$
L _ { 3 } : \ x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 \ , L _ { 4 } : \ 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2
$$

围成的平面区域，记

$I _ { \phantom { } _ { i } } = \int \int _ { \phantom { } D _ { i } } \biggl ( 1 - x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \biggr ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ →在不同的区域上对同一个被积函数做二重积兮

$$
\mathrm { m a x } \{ I _ { 1 } , I _ { 2 } , I _ { 3 } , I _ { 4 } \} \ = \ ( \qquad )
$$

$$
I _ { 1 }
$$

$$
I _ { \imath }
$$

$$
I _ { 3 }
$$

$$
I _ { 4 }
$$

分析 此题是同一个函数在不同区域的积分比大小的问题，不需要计算二重积分，应研究在不同积分区域下，被积函数的正负情形.被积函数 $1 - x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { 2 } \geqslant 0$ 正好对应的区域为 $D _ { 4 }$ ，而 $D _ { 1 } < D _ { 4 }$ ，故 $I _ { 1 } < I _ { 4 } , D _ { 4 } < D _ { 2 }$ ，在$D _ { 2 } - D _ { 4 }$ 区域，被积函数值为负，所以 $I _ { 2 } < I _ { 4 }$ ，同理 $I _ { 3 } < I _ { 4 }$

解 应选(D).

曲线 $L _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 , 4 )$ 如图14-2所示.记被积函数为 $f ( x , y ) =$ $1 - ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } )$ ，由于 $L _ { 4 } : \ 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ ，则 $D _ { 4 }$ 内部为 $x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } < 1$ ，于是在 $D _ { 4 }$ 内部有 $f ( x , y ) > 0$ ，而在 $D _ { 4 }$ 外部有 $f ( x , y ) < 0$

①比较 $I _ { 1 }$ 与 $I _ { 4 }$

![](images/e5b74021fb76a6a7523b2395fa1d89e520c1a8c0a352a1f8cc8a0debd7d792f1.jpg)

$$
\begin{array} { r l } & { I _ { 4 } = \displaystyle { \int \int _ { { \cal D } _ { 4 } } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } = \displaystyle { \int _ { { \cal D } _ { 1 } } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } + \displaystyle { \int _ { { \cal D } _ { 4 } - { \cal D } _ { 1 } } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ & { \quad = I _ { 1 } + \displaystyle { \int _ { { \cal D } _ { 4 } - { \cal D } _ { 1 } } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y > I _ { 1 } } . } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \frac { { \cal D } _ { 4 } - { \cal D } _ { 1 } } { \nabla { \cal I } _ { 4 } } . } \end{array}
$$

图14-2

②比较 $I _ { 2 }$

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle I _ { 2 } = \int \int \int f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y = \int \int f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y + \int \int _ { D _ { 2 } - D _ { 4 } } f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y } } \\ { { \displaystyle \quad \ } } \\ { { \displaystyle \quad = I _ { 4 } + \int \int _ { 0 } f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y < I _ { 4 } \ . } } \\ { { \displaystyle \quad \quad \frac { D _ { 2 } - D _ { 4 } } { D _ { 2 } } \quad \quad } } \end{array}
$$

③比较 $I _ { 3 }$ 与 $I _ { 4 }$ .如图14-3所示，将 $D _ { 3 }$ ， $D _ { 4 }$ 中互不重合的部分分别记为 $D _ { 3 1 } , D _ { 3 2 } , D _ { 4 1 } , D _ { 4 2 }$ ，则

$$
\begin{array} { r } { I _ { 3 } = \displaystyle { \iint _ { f ( x , \ y ) } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \displaystyle { \iint _ { f ( x , \ y ) } } f ( x , \ y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \displaystyle { \iint _ { D _ { 3 } \cap D _ { 4 } } } f ( x , \ y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ { \displaystyle { \bigoplus _ { f ( x , \ y ) < 0 } }  \ge \int _ { } ^ { D _ { 3 } } } \end{array}
$$

![](images/3f5f3ba3e06f20d7138a6443d95537a6def09734827d144ac7358c9133b749c5.jpg)  
图14-3

$$
\begin{array} { l } { { < \displaystyle \iint f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y + \displaystyle \iint f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y + \displaystyle \iint _ { D _ { 3 } \cap D _ { 4 } } f ( x , y ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y } } \\ { { > \qquad \quad > _ { f ( x , y ) > 0 } \Longleftrightarrow } } \\ { { = I _ { 4 } . } } \end{array}
$$

所以 $\operatorname* { m a x } \{ I _ { 1 } , I _ { 2 } , I _ { 3 } , I _ { 4 } \} = I _ { 4 }$ ，即应选 (D).

注事实上， $D _ { 4 }$ 是使得 $\iint _ { D } \left( 1 - x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ 取得最大值的区域，因为 $D _ { 4 }$ 包含了所有使 $1 - x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$ 大于零的区域，而不包含任何使 $1 - x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$ 小于零的区域，由二重积分的性质知 $I _ { 4 }$ 最大.

方法总结 寻找二重积分的最大值的区域，即是寻找被积函数大于等于零的区域．

例14.2 设

$$
D ( t ) = \{ ( x , y ) \bigl | 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \leqslant 6 t \} ( t \geqslant 0 ) ,
$$

$$
f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \sqrt [ 3 ] { 1 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } - 1 } { \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 } , } & { ( x , y ) \neq ( 0 , 0 ) , } \\ { a , } & { ( x , y ) = ( 0 , 0 ) } \end{array} \right.
$$

为连续函数，令 $F ( t ) = \iint _ { D ( t ) } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，则F(0）=

分析本题积分区域为动态区域D(t)，当t→0时， $D ( t ) \to 0$

本题研究的是在一点处的导数，所以用导数的定义，当 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma$ 难计算时，可以利用二重积分的中值定理来处理.

解 应填 $- \frac { \sqrt { 6 } \pi } { 3 }$

由例13.2可知 $a = - { \frac { 1 } { 3 } }$

由二重积分的中值定理知，存在 $( \xi , \eta ) \in D ( t )$ ，使得

$$
F ( t ) = \int _ { D ( t ) } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = { \sqrt { 6 } } \pi t f ( \xi , \eta ) \ .
$$

于是，

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle F _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { t  0 ^ { + } } \frac { F ( t ) - F ( 0 ) } { t - 0 } = \operatorname* { l i m } _ { t  0 ^ { + } } \frac { \sqrt { 6 } \pi t f ( \xi , \eta ) } { t } = \operatorname* { l i m } _ { t  0 ^ { + } } \sqrt { 6 } \pi f ( \xi , \eta ) } } \\ { { \displaystyle ~ } } \\ { { \displaystyle ~ = \sqrt { 6 } \pi f ( 0 , 0 ) = - \frac { \sqrt { 6 } \pi } { 3 } ~ . } } \end{array}
$$

注此题的被积函数被命制成具体函数，但 $\iint _ { D ( t ) } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma$ 难以计算，故考虑利用二重积分的中值定理来处理.同理，若被积函数被命制成抽象函数，也可以考虑利用二重积分中值定理来处理，如：设f(x，y)具有二阶连续偏导数，

$$
D ( t ) = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant t , 0 \leqslant y \leqslant t \} \ ,
$$

令藍 $F ( t ) = \iint _ { D ( t ) } f _ { x y } ^ { n } ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，求F（0）

解

$$
F _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) = \operatorname* { l i m } _ { t  0 ^ { + } } \frac { F ( t ) - F ( 0 ) } { t - 0 } = \operatorname* { l i m } _ { t  0 ^ { + } } \frac { D ( t ) } { t - 0 }
$$

方法总结 当 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma$ 难计算或者f(x，y)为抽象型时，可考虑利用二重积分的中值定理来处理.

公式 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = f ( \xi , \eta ) \bullet S _ { \scriptscriptstyle D } , ( \xi , \eta ) \in D$ ，其中 $S _ { p }$ 为D的面积.

## ③普通对称性与轮换对称性 必考题！

(1)普通对称性.

设区域D关于y轴对称，如图14-4所示，取对称的两块小面积dg，对称点分别为(x，y)与(-x，y)，则对称点处的高分别为f(x，y)与f(-x，y).依据定义，对称位置的两个“小竖条”的体积分别为f(x，y)dσ与 $f ( - x , y ) { \mathrm { d } } \sigma$ 因为dσ一样，所以，当 $f ( x , y ) = f ( - x , y )$ 时， $f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = f ( - x , y ) \mathrm { d } \sigma$ 体积相同，此时只需计算对称区域的一半，然后乘以2即可得到整个积分值;而当 $f ( x , y ) = - f ( - x , y )$ 时， $f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = - f ( - x , y ) \mathrm { d } \sigma$ ，对称区域的体积正好相反，这样累加起来的总体积自然就是0.于是，我们有

![](images/655b9bae096f4307c4f1ccaae34402fecc68c3b1313d449101de942cb103bb75.jpg)  
图14-4

$$
\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \displaystyle \iint f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y , } & { f ( x , y ) = f ( - x , y ) , } \\ { _ { D _ { 1 } } } & { f ( x , y ) = - f ( - x , y ) , } \\ { 0 , } & { f ( x , y ) = - f ( - x , y ) , } \end{array} \right.
$$

把对称点代入，函数值相同，即2倍；函数值相反，即为0（偶倍奇零）

其中 $D _ { 1 }$ 是D在y轴右侧的部分.

你看，用这种基于概念的分析方法，不用死记硬背，而且真正理解了性质的本质.现将二重积分有关的对称性全面总结如下.

①若D关于y轴对称，则

![](images/a6991be57d65425518843d2482a5eaf59f10e99ee1e2f65168ce65587685833c.jpg)

![](images/69a0118a0fb3a776cb3d7f349a9d7e9e12949a0e102538ba61a9bdc48a67729a.jpg)

$$
\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \left\{ { \begin{array} { l l } { 2 \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma , } & { f ( x , y ) = f ( - x , y ) , } \\ { D _ { 1 } } & { f ( x , y ) = - f ( - x , y ) , } \\ { 0 , } & { f ( x , y ) = - f ( - x , y ) , } \end{array} } \right.
$$

其中 $D _ { 1 }$ 是D在y轴右侧的部分.

如ʃ(x-a)dσ，因f(x,y)=x-a，而f(2a-x,y)=a-x，故 $\iint _ { D \Gamma } ( x - a ) \mathrm { d } \sigma = 0 .$ D

注若D关于 $x = a ( a \neq 0 )$ 对称，（x，y）关于 $x = a$ 的对称点为 $( 2 a - x , y )$ ，则

相当于将x=0平 移了a个单位长度 $\iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \displaystyle \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma , } & { f ( x , y ) = f ( 2 a - x , y ) , } \\ { D _ { 1 } } & { f ( x , y ) = - f ( 2 a - x , y ) , } \\ { 0 , } & { f ( x , y ) = - f ( 2 a - x , y ) , } \end{array} \right.$

![](images/a686d84ffeaa3de30ada1b670a124f1a98db99d4b53b6a73bbef080908d1126a.jpg)

其中 $D _ { 1 }$ 是D在 $x = a$ 右侧的部分。

②若D关于x轴对称，则

$$
\iint _ { \tiny D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma , } & { f ( x , y ) = f ( x , - y ) , } \\ { { D _ { 1 } } } & { } \\ { 0 , } & { f ( x , y ) = - f ( x , - y ) , } \end{array} \right.
$$

![](images/d7a837143ac9bc592cb4c1a7596444be9322a7e45a82a4ab419b115788090c64.jpg)

其中 $D _ { 1 }$ 是D在x轴上侧的部分.

若D关于 $y = a ( a \neq 0 )$ 对称，（x，y）关于 $y = a$ 的对称点为 $( x , 2 a - y )$ ，则

$$
\iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \displaystyle \int \int f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma , } & { f ( x , y ) = f ( x , 2 a - y ) , } \\ { D _ { 1 } } & { f ( x , y ) = - f ( x , 2 a - y ) , } \\ { 0 , } & { f ( x , y ) = - f ( x , 2 a - y ) , } \end{array} \right.
$$

![](images/1890149ddcf7bbdee8c5fd712a9d04d5600f306dc2830b4bea5dc6068ca6ef8d.jpg)

其中 $D _ { 1 }$ 是D在 $y = a$ 上侧的部分

关键两点：

①看D关于谁对称；

②将点代入f(x，y)，相等则2倍，相反则为0.

③若D关于原点对称，则

(x，y)关于原点的对称 ↓ $\iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \left\{ { 2 \atop D _ { 1 } } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma , f ( x , y ) = f ( - x , - y ) , \right.$ 点为(-x，-y)

其中 $D _ { 1 }$ 是D关于原点对称的半个部分.

![](images/94b4af2b681becead88849204f5b0b8d7cd54a04cf2d09101afd13331238175b.jpg)

④若D关于y=x对称，则

x,y对调，f(x,y)=f(y，x)

(x，y)关于y=x的

对称点为(y，x)

$$
\iint _ { \mathbf { \Phi } _ { D } } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \displaystyle \iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma , } & { f ( x , y ) = f ( y , x ) , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { D _ { 1 } } ^ { D _ { 1 } } } & { f ( x , y ) = - f ( y , x ) , } \end{array} \right.
$$

其中 $D _ { 1 }$ 是D关于y=x对称的半个部分.

![](images/872bb1762f476b9b551dc5b66ac1c6de6085f7a4e75a17d9b319d3dfa70f312e.jpg)

例14.3设 $J _ { _ i } = \underset { D _ { i } } { \iint } \sqrt [ 3 ] { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ( i = 1 , 2 , 3 )$ ，其中D={(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1)， $D _ { 2 } = \{ ( x , y ) | 0 \leqslant$ $x { \leqslant } 1 , 0 { \leqslant } y { \leqslant } { \sqrt { x } } \}$ $D _ { 3 } = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , x ^ { 2 } \leqslant y \leqslant 1 \}$ ，则（ ）.（A) $J _ { 1 } < J _ { 2 } < J _ { 3 }$ (B) $J _ { 3 } < J _ { 1 } < J _ { 2 }$ (C） $J _ { 2 } < J _ { 3 } < J _ { 1 }$ (D) $J _ { 2 } < J _ { 1 } < J _ { 3 }$

分析）本题先画出每部分的积分区域图，然后研究同一函数在不同区域的积分值的大小.本题是结合对称性和被积函数正负的问题.  
因 $D _ { 1 }$ 关于y=x对称， $f ( y , x ) = - f ( x , y )$ ，故 ${ \cal J } _ { _ 1 } = 0$   
$D _ { 2 }$ 不对称，但可以作辅助曲线，创造对称性，对称部分积分为0，另一部分 $f ( x , y ) { \geqslant } 0$ ，故 ${ \cal J } _ { 2 } > 0$ 同理， $D _ { 3 }$ 也可作辅助曲线，对称部分积分为0，另一部分 $f ( x , y ) { \leqslant } 0$ ，故 $J _ { 3 } < 0$

## 解 应选(B).

如图14-5(a)所示， $D _ { 1 }$ 被直线y=x分成 $D _ { 1 1 }$ 和 $D _ { 1 2 }$ 两部分，故 $\iint _ { { D _ { 1 } } } ^ { 3 } \sqrt { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint _ { { D _ { 1 1 } } + { D _ { 1 2 } } } \sqrt [ 3 ] { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，由于$\sqrt [ 3 ] { x - y } = - \sqrt [ 3 ] { y - x }$ ，故由普通对称性，有 $J _ { 1 } = \iint _ { D _ { 1 } } ^ { 3 } \sqrt { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0$

如图14-5(b)所示，作辅助线 $y = x ^ { 2 }$ ，将 $D _ { 2 }$ 分为 $D _ { 2 1 }$ 和 $D _ { 2 2 }$ 两部分，由普通对称性知，$\iint _ { { D _ { 2 1 } } } \sqrt [ 3 ] { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0$ .而在 $D _ { 2 2 }$ 上， $\scriptstyle { \sqrt [ { x - y } ] } = 0$ ，由保号性知，

$$
J _ { _ { 2 } } = \int \int _ { D _ { 2 } } \int \sqrt { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int \int _ { D _ { 2 2 } } ^ { 3 } \sqrt { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y > 0 .
$$

如图14-5(c)所示，作辅助线 $y = { \sqrt { x } }$ ，将 $D _ { 3 }$ 分为 $D _ { 3 1 }$ 和 $D _ { 3 2 }$ 两部分，由普通对称性知，$\iint _ { { D _ { 3 2 } } } \sqrt [ 3 ] { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0$ .而在 $D _ { 3 1 }$ 上， $\sqrt [ 3 ] { x - y } \leqslant 0$ ，由保号性知，

$$
J _ { _ 3 } = \int \int _ { D _ { 3 } } ^ { 3 } \sqrt { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int \int _ { D _ { 3 1 } } ^ { 3 } \sqrt { x - y } \mathrm { d } x \mathrm { d } y < 0 .
$$

综上， $J _ { 3 } < J _ { 1 } < J _ { 2 }$

![](images/ae9fce794bef5aee039327c64099c958f148a1b11b60754713bafe2d743b6558.jpg)  
(a)

![](images/80b9875247fe195f645cbc3a36a6acde226ba1ee4ae0bde9add1585a201a3a15.jpg)  
(b)

图14-5  
![](images/81a271bb7ca63b4e1d095f5e0e775a9d80ca596721d515ac875959530172e920.jpg)  
(c)

公式当D关于y=x对称， $f ( x , y ) = - f ( y , x )$ 时， $\iint _ { D } f ( x , y ) = 0$

(2)轮换对称性（一定是直角坐标系下）.

引例1

![](images/370df73104b8cff4dee35fd405e8f7def0e1f3f13f49aa936eebe71d733176ec.jpg)

因为上述两个积分只是将x与y这两个字母对调了，而积分值与用什么字母表示是无关的，故它们是相等的. 相当于字母x变v.字母v变x

引例2

$$
\underset { D ; \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } \leqslant 1 } { \iint } ( 2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \overset { ? } { = } \underset { D ; \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } \leqslant 1 } { \iint } ( 2 y ^ { 2 } + 3 x ^ { 2 } ) \mathrm { d } y \mathrm { d } x \mathrm { ~ . ~ }
$$

![](images/1ec78faedb4a391b8b735b465920bd8738047eb6a86b41da64c4c58a8375f484.jpg)

解 理由如上，它们也是相等的.

引例2中的区域D有个特点，就是当你把x与y对调后，区域D不变（事实上，区域D关于y=x对称）.于是抽象化写出的式子为

$$
\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint _ { D } f ( y , x ) \mathrm { d } y \mathrm { d } x ~ .
$$

整理一下，我们可以这样来描述：

在直角坐标系下，若把x与y对调后，区域D不变（或区域D关于y=x对称），则

$$
\int _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { D } f ( y , x ) \mathrm { d } \sigma , \longrightarrow \mathrm { d } \sigma = \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \mathrm { d } y \mathrm { d } x
$$

这就是轮换对称性.

轮换对称性的应用： $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma \Bigg ( \iint _ { D } f ( y , x ) \mathrm { d } \sigma \Bigg )$ 难计算，但 $f ( x , y ) + f ( y , x )$ 之和式子简单，如注(1).

例如：当 $D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 , x > 0 , y > 0 \}$ 时，

$$
{ \begin{array} { r l } & { \quad \int [ \underbrace { a { \sqrt { f ( x ) } } } _ { D } + b { \sqrt { f ( y ) } } ] \ d \sigma } \\ & { \quad = \int [ \underbrace { a { \sqrt { f ( y ) } } } _ { D } ] + b { \sqrt { f ( x ) } } \ d \sigma } \\ & { \quad = { \frac { 1 } { 2 } } \iint ( a + b ) \mathrm { d } \sigma } \\ & { \quad = { \frac { a + b } { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 4 } } \cdot \pi \cdot 1 ^ { 2 } \ . } \end{array} }
$$

普通对称性 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { D } D \not \prec \mp y = x \mathbb { X } \mathrm { f } / / \egroup | } \\ { \qquad \quad } \\ { \big ( \mathfrak { 2 } \big ) f ( x , y ) = f ( y , x ) \not \equiv } \end{array} \right.$ 轮换对称性 ①D关于y=x对称；成 $f ( x , y ) = - f ( y , x )$ ②利用 $f ( x , y ) + f ( y , x )$ 简化计算.

注（1）在直角坐标系中，若 $f ( x , y ) + f ( y , x ) = a$ ，则

$$
I = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ f ( x , y ) + f ( y , x ) ] \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { D } ^ { } a \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ = { \frac { a } { 2 } } S _ { D } \ .
$$

(2)要注意区分普通对称性中的④与这里轮换对称性的区别与联系.虽然它们都是D关于y=x对称，但普通对称性考查的是f(x，y)与f(y，x)是相等还是相反，轮换对称性考查的是 $f ( x , y ) + f ( y , x )$ 是否简单，事实上，当 $f ( x , y ) = - f ( y , x )$ 时，它们是一回事。

例14.4 设 $f ( x ) = \iint _ { D ( x ) } { \frac { \nu \ln \sqrt { u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } } { u + \nu } } \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu , D ( x ) = \left\{ ( u , \nu ) \Big | { \frac { 1 } { 4 } } \leqslant u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } \leqslant x ^ { 2 } , u > 0 , \nu > 0 \right\} \left( x > \frac { 1 } { 2 } \right)$ ，则$f ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } \end{array} \right)$ （A) $\frac { 1 } { 4 } \int \int \limits _ { D ( x ) } ^ { 1 } \ln ( u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu$ (B) $\frac { 1 } { 2 } \iint _ { D ( x ) } \ln ( u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu$ (C） $\iint _ { D ( x ) } \ln ( u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu$ (D) $2 \iint _ { \cal D ( x ) } \mathrm { l n } ( u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu$

分析 D中u，v互换位置，D不变，接着看g(u,v)与 $g ( \nu , u )$ 的关系既不相等，也不相反，考虑将其加起来，$g ( u , \nu ) + g ( \nu , u )$ 计算简单，所以考虑轮换对称性.

应选 (A).

由轮换对称性，有

$$
\begin{array} { r } { f ( x ) = \displaystyle \iint _ { D ( x ) } \frac { \nu \ln \sqrt { u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } } { u + \nu } \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu = \displaystyle \iint _ { D ( x ) } \frac { u \ln \sqrt { u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } } { u + \nu } \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu } \\ { = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \iint _ { D ( x ) } \ln \sqrt { u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu = \frac { 1 } { 4 } \displaystyle \iint _ { D ( x ) } \ln ( u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu . } \end{array}
$$

@方法总结当D关于y=x对称， $f ( x , y ) = - f ( y , x )$ 或 $f ( x , y ) = f ( y , x )$ 时，考虑普通对称性，若不满足，可看 $f ( x , y ) + f ( y , x )$ 是否简单，考虑轮换对称性．

![](images/1ada435a166ed8869dcbcb19110de791120823faaa64d109bc372d8f1e746796.jpg)

## 计算

![](images/643630f25dff4ac1888277dd9b4389b1b5e44a7cab4fd491b48eddf6c42dc4a4.jpg)

## 直角坐标系下的计算方法

直角坐标系用平行于坐标系的线切割.

问题：先对x积分，还是对y积分？

![](images/aed2f4fee5573a6e42d26473b646a63097384bda30c369c68908254caeefa772.jpg)

dσ=dxdy直角坐标系下的标志

在直角坐标系下，按照积分次序的不同，一般将二重积分的计算分为两种情况，如图14-6所示.

后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限.

![](images/c3551528ef367368ef4e1bc0da17632a94f2c6d862a24d391bdec92562fdeb92.jpg)  
(a)

![](images/85d09e28fdffd863fcb116ada8493c1923d8d4779e0e4a0cbf60f67b903884da.jpg)  
(b)  
图14-6

先定 后和x 再定，的上下上限≥下限 型区城特点是界安不平行于y

(1) $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \big \rvert \binom { b } { d } \mathrm { d } x \big \rvert _ { \left. \varphi _ { 1 } ( x ) \right. } ^ { \left. \varphi _ { 2 } ( x ) \right. } f ( x , y ) \mathrm { d } y$ ,其中D为X型区域： $\varphi _ { 1 } ( x ) \leqslant y \leqslant \varphi _ { 2 } ( x ) , a \leqslant x \leqslant b$ ，如图 $1 4 6 ( \mathfrak { a } )$ 所示.积分区域是X型区域的后积x，类似还有其他几种（见批注图）.

![](images/736d4dcf8ccbd89080205cb67a44b223d3c85ee5e57450c4c9b3f4cf4995c6d1.jpg)

![](images/8fb7dc1f45a4668cb9bfabc2fab931cddcdfc6db7ad801ee43999fc591ad7dbc.jpg)

$$
\iint f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { a } ^ { c } \mathrm { d } x \int _ { \varphi _ { 1 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( x ) } f ( x , y ) \mathrm { d } y + \int _ { c } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { \varphi _ { 2 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 1 } ( x ) } f ( x , y ) \mathrm { d } y
$$

先定y的 再定x的上下限上下限个后积y /注意，这里上限≥下限

>Y型区域的特点是：穿过D内部且平行于x 轴的直线与D的边界相交不多于两点

(2) $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { \left. c \right. } ^ { 2 } \mathrm { d } y \int _ { \left. \psi _ { 1 } ( y ) \right. } ^ { \left. \psi _ { 2 } ( y ) \right. } f ( x , y ) \mathrm { d } x$ ，其中D为Y型区域： $\psi _ { 1 } ( y ) \leqslant x \leqslant \psi _ { 2 } ( y ) , c \leqslant y \leqslant d$ ，如图14-6(b)所示.积分区域是Y型区域的后积y. →二重积公玄上下限添负号

$$
\llangle \rlap / { \bar { m } } | \llangle \ b _ { 1 } : \ \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { \varphi _ { 1 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 2 } ( x ) } f ( x , y ) \mathrm { d } y = \overbrace { - \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { \varphi _ { 2 } ( x ) } ^ { \varphi _ { 1 } ( x ) } f ( x , y ) \mathrm { d } y } ^ { = } \biggr ] ( a < b , \varphi _ { 1 } ( x ) > \varphi _ { 2 } ( x ) )
$$

（2)若被积函数f(x，y）易于对y积分或积分区域D是X型区域，则选择先y后x的积分次序；  
若被积函数f(x，y)易于对x积分或积分区域D是Y型区域，则选择先x后y的积分次序。

(3)计算二重积分的关键是确定积分限，为此，要画好积分区域D的边界图形，当D的边界图形不易画出时，要写出D的不等式表达式，从而确定上下限． D不易画时，采用分析法

例14.5 设函数f(x，y)连续，则二次积分 $\int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \mathrm { d } x \int _ { \sin x } ^ { 1 } f ( x , y ) \mathrm { d } y = \left( \begin{array} { l l l } { } & { } & { ) } \end{array} \right.$ （A) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { \pi + \arcsin { y } } ^ { \pi } f ( x , y ) \mathrm { d } x$ (B) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { \pi - \arcsin y } ^ { \pi } f ( x , y ) \mathrm { d } x$ (C) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi + \arcsin y } f ( x , y ) \mathrm { d } x$ (D) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi - \arcsin y } f ( x , y ) \mathrm { d } x$

分析）题干是后积x，选项是后积y，可知本题考虑的是交换积分顺序，应先确定积分区域，然后先积x，后积y，写成累次积分的形式.后积y，先定限，下限为0，上限为1，再定x的限，限内画平行于x轴的直线，当$\frac { \pi } { 2 } < x \leqslant \pi$ 时， $x = \pi - \arcsin y$ ，所以下限为 $x = \pi - \arcsin y$ ，上限为x=π.

应选(B).

根据所给二次积分得到积分区域为D： $\left\{ { \begin{array} { l } { \sin x < y < 1 } \\ { \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } } < x < \pi , } \end{array} } \right.$ 如图14-7所示，则

![](images/24bd76cd79c22f9611cf14a9a8c477cccee2f8955709cc236b98bf565591be89.jpg)

$$
\int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \mathrm { d } x \int _ { \sin x } ^ { 1 } f ( x , y ) \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { \frac { \pi - \operatorname { a r c s i n } y } { \pi - \operatorname { a r c s i n } y } } ^ { \pi } f ( x , y ) \mathrm { d } x .
$$

图14-7

》由例1.12得，当 $\frac { \pi } { 2 } < x \leq \frac { 3 } { 2 } \pi$ 时， $\scriptstyle x = \pi - \arcsin y$

方法总结交换积分顺序的题目，应先确定积分区域，然后交换积分顺序写成相应的累次积分．

$$
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } x \displaystyle \int _ { 1 } ^ { \sin x } f ( x , y ) \mathrm { d } y } & { \quad \sin x < 1 ( \vec { x } , \mathbb { R } \neq \pm \mp \mp \mp \frac { 4 } { 2 } \mathbb { R } \frac { 2 } { 3 } , \{ \mathcal { R } , \mathbb { R } , \mathbb { R } , \{ \| \vec { x } , \vec { y } \| \leq \vec { 0 } \vec { \cdot } \vec { \Phi } \} \} ) } \\ { = \displaystyle - \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \mathrm { d } x \displaystyle \int _ { \sin x } ^ { 1 } f ( x , y ) \mathrm { d } y \cdot } & { \preceq \frac { 4 } { 7 } \mp \frac { 4 } { 3 } \frac { 2 } { 3 } } \end{array}
$$

例14.6 当 $x \to 0 ^ { + }$ 时， $f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { d } y \int _ { x } ^ { \sqrt { y } } \sin { \frac { y } { t } } \mathrm { d } t$ 与 $g ( x ) = a x ^ { b }$ 是等价无穷小量，则ab =

分析 $\sin { \frac { y } { x } }$ 若对x积分，则没有初等函数形式的原函数表达，若对y积分，可用初等函数形式表示，所以先积y后积x，本题属于交换积分顺序的题目.

又因为 $0 \leqslant y \leqslant x ^ { 2 }$ ，所以 $\sqrt { y } \leqslant x$ ，故 $\int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { d } y \int _ { x } ^ { \sqrt { y } } \sin \frac { y } { t }$ dt先添一个负号变为 $- \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { d } y \int _ { \sqrt { y } } ^ { x } \sin \frac { y } { t } \mathrm { d } t$ ，变为二重积分后，画出积分区域图，再交换积分顺序．

解 应填 $- { \frac { 1 } { 2 } }$

交换上下限，保证上限大于等于下限

$$
\begin{array} { r l } & { f ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { d } y \displaystyle \iint _ { | x | } ^ { | y | } \sin \frac { y } { t } \mathrm { d } t = - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { d } y \displaystyle \iint _ { [ y ] } ^ { x } \sin \frac { y } { t } \mathrm { d } t } \\ & { \quad \quad = - \displaystyle \iint _ { D } ^ { x } \sin \frac { y } { t } \mathrm { d } \sigma = - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { d } t \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t } \sin \frac { y } { t } \mathrm { d } y } \\ & { \quad \quad = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } t \cdot \left( \cos \frac { y } { t } \right) \displaystyle \frac { \| y \| _ { \infty } ^ { 2 } } { \| \ge 0 \| } \mathrm { d } t \cdot \frac { t } { \| \tilde { x } \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } \| \tilde { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \| \tilde { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \| \mathcal { H } \| \tilde { x } \| \le \mathcal { H } \| \tilde { x } \| \le \mathcal { F } \| \mathcal { E } \| \mathcal { E } \| } { 1 } , } \\ & { \quad \quad = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } t ( \cos t - 1 ) \mathrm { d } t , } \end{array}
$$

![](images/9fb7078226f4980170e15579c77023fecfa20a885fdfac2370635729db4181a3.jpg)

于是 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { x { \bigl ( } \cos x - 1 { \bigr ) } } { a b x ^ { b - 1 } } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } { \frac { - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 3 } } { a b x ^ { b - 1 } } } = 1$ ，故 $a b = - { \frac { 1 } { 2 } }$

国(1) $\frac { \sin x } { x } , \frac { \cos x } { x } , \frac { \ln ( 1 + x ) } { x } , \frac { 1 } { x } , \sin x ^ { 2 } , \cos x ^ { 2 } , \sin \frac { 1 } { x } , \cos \frac { 1 } { x } , \frac { \tan x } { x } , \frac { \mathrm { e } ^ { x } } { x } , \tan x ^ { 2 } , \mathrm { e } ^ { \alpha ^ { 2 } + \beta x + c } ( a \neq 0 )$ 均没有初等函数形式的原函数，见到它们，一般都要交换积分次序，避免先对x求积分。

（2）事实上， $a = - { \frac { 1 } { 8 } } , b = 4 .$

方法总结）当累次积分无法积分，即没有初等函数形式的原函数表达式时，可考虑交换积分顺序.

公式 $\int \sin { \frac { y } { t } } \mathrm { d } y = - t \cos { \frac { y } { t } } + C$

当 $x \to 0 ^ { * }$ 时， $f ( x ) - g ( x )$ ，则 $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ .（可用洛必达法则证明）

山 例14.7 计算 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { y } ^ { 1 } \mathrm { a r c s i n } \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$

分析）被积函数只含有x，而且先对x积分较困难，所以考虑交换积分顺序.

解 先对x积分较困难，交换积分次序.

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle \vert \overrightarrow { { \mathbb H } } { \mathbb T } { \mathbb E } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \mathrm { d } } x { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } } { \arcsin \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } y } \\ { ~ = \int _ { 0 } ^ { 1 } x { \arcsin \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ . \quad \quad \stackrel { { \mathrm { d } } } { \oplus } { \llangle } { \mathrm { d } } { \mathrm { ) } } 9 . 1 5 { \rlap / v } } \end{array}
$$

![](images/b93a5abce12fc9f220f389587068c99c4712b10ba623d2bb1f59470c7f0d498b.jpg)

方法总结 $\int _ { c } ^ { d } \mathrm { d } y \int _ { x _ { 1 } ( y ) } ^ { x _ { 2 } ( y ) } f ( x ) \mathrm { d } x$ 对x积分比较困难时，可转化为先积y，即 $\int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \int _ { y _ { 1 } ( x ) } ^ { y _ { 2 } ( x ) } f ( x ) \mathrm { d } y$

公式 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \arcsin \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = 1 \ , \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } x \arcsin \sqrt { 4 x - 4 x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 }$

## 2 极坐标系下的计算方法

因为是中心对称图像，一般先积r，后积θ

极坐标系：与中心对称图像有关！

直角坐标与极坐标关系 $\scriptstyle { \left\| { \begin{array} { l } { x = r \cos \theta , } \\ { y = r \sin \theta . } \end{array} } \right. }$ →转换桥梁

$$
r = r _ { 0 } , \theta = \theta _ { 0 }
$$

![](images/45293f06bfa1983688dbc42f1ccd0addb4538c3c67ae77f9305c6a60f888bed3.jpg)

则有 $\mathrm { d } \sigma = \mathrm { d } r \cdot r \mathrm { d } \theta = r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta$ 近似看成矩形.

(r，θ)

在极坐标系下，按照积分区域与极点位置关系的不同，一般将二重积分的计算分为三种情况，如图14-8所示.

![](images/8a4dca685d0fe4e86cdfade99d4ba813e87c0b97d6e79d332e8917353076a5de.jpg)  
(a)

![](images/d016be96bf14247066676904538d50a7481d308bef6a3dd20b42b4658824ba7d.jpg)  
(b)

图14-8  
![](images/90f79c44549e9f239d14f3c2ae7edb7316d96475faaa516c19f58dfc9641b504.jpg)  
（c）

从Ox轴逆时针出发，先碰到积分区域时，记 $\theta = \alpha$ ，后离开区域时，记 $\theta = \beta$ 所以θ的下限为α，上限为 $\beta$ ，然后限内画条线，先交内曲线记 $r = r _ { 1 } ( \theta )$ ，然后交外曲线 $r = r _ { 2 } ( \theta )$

(1) $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \mathrm { d } \theta \int _ { r _ { 1 } ( \theta ) } ^ { r _ { 2 } ( \theta ) } f ( r \cos \theta , r \sin \theta ) r \mathrm { d } r$ （极点O在区域D外部）；

(2) $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { r ( \theta ) } f ( r \cos { \theta }$ ,rsinθ)rdr（极点O在区域D边界上）；

(3) $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { r ( \theta ) } f ( r \cos \theta , r \sin \theta ) r \mathrm { d } r$ （极点O在区域D内部）.

注极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

一般来说，给出一个二重积分是否用极坐标系计算主要看①。

①看被积函数是否为 $f ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) , f \left( { \frac { y } { x } } \right) , f \left( { \frac { x } { y } } \right)$ 等形式；

②看积分区域是否为圆或者圆的一部分.

如果①，②至少满足其中之一，那么优先选用极坐标系，否则，就优先考虑直角坐标系。

例14.8 设区域 $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant { \sqrt { 2 } } \right\}$ ，则 $\iint _ { D } \left( x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \ =$

分析）积分区域是圆，但被积函数不是平方和，这里注意到x与y互换时，积分区域D不变，说明D关于$y = x$ 对称，此时考虑轮换对称性，最后在极坐标系下计算此二重积分．

解 应填 $\frac { 3 \pi } { 4 }$

$$
\begin{array} { r } { \displaystyle \iint _ { D } \Biggl ( x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \Biggr ) { \mathrm { d } x \mathrm { d } y } = \displaystyle \iint _ { D } \Biggl ( y ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \Biggr ) { \mathrm { d } x \mathrm { d } y } = \frac { 1 } { 2 } \Biggl ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \Biggr ) \iint _ { D } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) { \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Biggl ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \Biggr ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } } } ( r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) r \mathrm { d } r = \frac { 3 \pi } { 4 } ~ . } \end{array}
$$

@方法总结）积分区域D关于y=x对称，考虑轮换对称性，即利用 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = { \frac { 1 } { 2 } } \iint [ f ( x , y ) + f ( y , x ) ] \mathrm { d } \sigma$ ★★★二重积兮复习标杆

例14.9 设平面有界区域D位于第一象限，由曲线 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1 , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 2$ 与直线 $y =$ ${ \sqrt { 3 } } x , y = 0$ 围成，计算 $\iint _ { D } \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$

分析对于 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1 \ , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 2$ ，将x，y互换，式子不变，所以图像关于 $y = x$ 对称，根据一些特殊的点及 $y ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { 1 } { 2 } > 0 , y ^ { \prime } ( 1 ) = - 1 < 0$ 确定单调性，最后将积分区域草图确定下来，根据积分区域来确定θ，而且曲线含有 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ ，被积函数分母有平方，则考虑极坐标系下计算．

在考试时，有些D的边界图形不易画出，考生可根据D的表达式来确定上下限.

解 由 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1$ ，得 $r ^ { 2 } - r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta = 1$ ，故 $r = { \sqrt { \frac { 1 } { 1 - \cos \theta \sin \theta } } }$ ；由 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 2$ 得$r ^ { 2 } - r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta = 2$ ，故 $r = { \sqrt { \frac { 2 } { 1 - \cos \theta \sin \theta } } }$ 又 $y = \sqrt { 3 } x$ ，得 $r \sin \theta = { \sqrt { 3 } } r \cos \theta$ ，有 $\tan \theta = { \sqrt { 3 } }$ ，则 $\theta = \frac { \pi } { 3 }$

$$
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int \frac { \| \boldsymbol { \hat { x } } \| } { 3 ^ { 3 / 2 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } } \| \boldsymbol { \hat { x } } \| _ { \frac { \sqrt { 3 \times ( \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } ) } } { 1 - \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } ) } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot } & { \boldsymbol { \hat { x } } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \| \boldsymbol { \hat { x } } \| _ { \frac { \sqrt { 3 \times ( \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } ) } } { 1 - \frac { 1 } { 3 } ( 2 \times \frac { 1 } { 2 } ) } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \frac { 1 } { 3 ( 2 \times \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 3 } } \cdot \frac { 1 } { 5 } \cdot \qquad \frac { 1 } { 5 } \| \frac { \| \boldsymbol { \hat { x } } \| _ { \frac { 1 } { 2 \times ( \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } ) } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \frac { 1 } { | \boldsymbol { x } | _ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { \frac { 1 } { 3 } \leq \frac { 1 } { 4 } } \alpha ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } \alpha ^ { 5 } } \\ { \displaystyle \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \frac { d x } { d x } \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \alpha ^ { 1 } \alpha ^ { 2 } \hat { x } ( 3 \cdot 6 ) } &  \boldsymbol { \hat { x } } \| _ { \frac { 1 } { 2 } } ^  \frac  1  \end{array}
$$

![](images/c85cc7858daed212118915fd9cd58addfb48699db147cf1b2ed0605e5bf443bc.jpg)

注本题有两个办法画出D的边界图形

第一，描点法．显然， $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1$ 与 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 2$ 分别与x轴、y轴和 $y = x$ 交于(1,0）与(√2,0），(0,1）与(0,√2)，(1,1）与 $( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 2 } } )$ 将这些点连起来即可得到其大致图形.

$=$ 事实上 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = [ x$ $\left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right]$ 其二次型矩阵为 $\begin{array} { r } { A = \left[ { \begin{array} { l l } { 1 } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { 1 } \end{array} } \right] } \end{array}$ $\vert \lambda E - A \vert =$ 学完线性代数分册再看此处$\left| { \begin{array} { l l } { \lambda - 1 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 1 } & { \lambda - 1 } \end{array} } \right| = 0$ $\lambda _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } , \lambda _ { 2 } = \frac { 3 } { 2 }$ （或用配方法 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = ( x - \frac { 1 } { 2 } y ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } y ^ { 2 } )$ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y$ 可经正交变换化为 $\frac { 1 } { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 }$ 于是 $\frac { 1 } { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } = 1$ 与 $\frac { 1 } { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } = 2$ 均为椭圆，即可画出图形.

方法总结 当积分区域给出的不是常见曲线时，可考虑描点法画积分区域图.

$$
\left( \mathop { \mathcal { O } \ A \bar { z } \bar { z } } \right) \int \frac { 1 } { 3 \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta } \mathrm { d } \theta = \int \frac { \mathrm { d } ( \tan \theta ) } { 3 + \tan ^ { 2 } \theta } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \arctan \frac { \tan \theta } { \sqrt { 3 } } + C \ .
$$

例14.10 设 $f ( x ) = \iint _ { D ( x ) } \frac { \nu \ln \sqrt { u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } } { u + \nu } \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu , D ( x ) = \left\{ ( u , \nu ) \big | \frac { 1 } { 4 } \leqslant u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } \leqslant x ^ { 2 } , u > 0 , \nu > 0 \right\}$ ，求曲线 $y ( x ) =$ $\int _ { 1 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \left( x > \frac { 1 } { 2 } \right)$ 的拐点.

分析）积分区域关于y=x对称，同时观察被积函数的特点，所以考虑轮换对称性.又因为积分区域是 $\frac { 1 } { 4 }$ 个圆环，且被积函数含有平方和，所以考虑极坐标计算.

因为本题最终求的是y(x)的二阶导数，即f(x)的一阶导数，所以不必要真正计算出二重积分，只转化为变限积分即可.

解 由轮换对称性，根据例14.4知，有

$$
\begin{array} { l } { f ( x ) { = } \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \iint \ln ( u ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu } \\ { \displaystyle { \quad } = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \mathrm { d } \theta \int _ { \frac 1 2 } ^ { x } \ln \ r ^ { 2 } \cdot r \mathrm { d } r } \\ { \displaystyle { \quad } = \frac { \pi } { 4 } \int _ { \frac 1 2 } ^ { x } r \ln \ r \mathrm { d } r , } \end{array}
$$

![](images/4517c7f8d03d39cde3d5bed263f04f79acfc61c5bfd3f796085d86b7e3d93be3.jpg)

故 $y ^ { \prime } ( x ) = f ( x ) , y ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { \pi } { 4 } } x \ln x { \frac { \widehat { < } } { - 1 } } 0$ ，得x=1.当 $\frac { 1 } { 2 } < x < 1$ 时， $y ^ { \prime \prime } ( x ) < 0$ ，当 $x > 1$ 时， $y ^ { \prime \prime } ( x ) > 0$ 于是(1,0)为y(x)的拐点.

@方法总结）积分区域D关于y=x对称，考虑轮换对称性，即利用 $\iint _ { D } f ( x , y ) \mathrm { d } \sigma = { \frac { 1 } { 2 } } \iiint [ f ( x , y ) + f ( y , x ) ] \mathrm { d } \sigma$

$$
\int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x
$$

分析因为 $ { \mathbf { e } } ^ { a x ^ { 2 } + b x + c } ( a \neq 0 )$ 没有初等函数形式下的原函数，积分与字母无关，所以 $I = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } \mathrm { d } y$ 又因为 $\iint _ { D } \mathrm { e } ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } \sigma$ 易计算，所以计算 $I ^ { 2 }$ .根据被积函数为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ 的表达式，选择极坐标计算，将第一象限看成广义的 $\frac { 1 } { 4 }$ 个圆，其半径 $r  + \infty$

解设 $I = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ ，则简化版解法

$$
\begin{array} { r l } & { I ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \cdot \Biggl \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \cdot \Biggl \mathrm { e } ^ { + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } \\ & { \qquad = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } y = \int \underset { 0 \leqslant x ^ { * } + \infty } { \iint } \mathrm { e } ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { \qquad = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \cdot \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \cdot r \mathrm { d } r = \frac { \pi } { 2 } \cdot \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } ( - r ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad = - \frac { \pi } { 4 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \Biggr | _ { 0 } ^ { + \infty } = \frac { \pi } { 4 } , } \end{array}
$$

![](images/e11e845713df6db78e9ecb0f6c0b3df11e7c0bfbfa2c90f70c65eb9fc8a4de09.jpg)

$\int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = { \sqrt { \pi } }$ ，这叫高斯积分，如同欧拉公式 $\mathrm { e } ^ { \mathrm { r \mathrm { i } } } + 1 = 0 \mathrm { ~ - ~ }$ 样美妙.它们都同时包含e，π

由积分的保号性知I>0，故 $I = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 }$

注应记住这一结果，它经常被用到，如例14.12.

方法总结 积分与字母用谁无关！

$$
\iint _ { { D _ { v } } } f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint f ( y , x ) \mathrm { d } y \mathrm { d } x , \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { a } ^ { b } f ( t ) \mathrm { d } t .
$$

公式 $\int e ^ { - x } d x = - e ^ { - x } + C$

例14.12 计算 $\int \limits _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$

分析被积函数为偶函数，因为 $\int \limits _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ 收敛，所以可以用对称性处理，然后借助Γ函数计算结果.

解 $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = 2 \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ ，又由例9.28知， $2 { \int _ { 0 } } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \operatorname { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = 2 { \int _ { 0 } } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \cdot ^ { { 2 } } { \operatorname { e } } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \Gamma { \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } = { \frac { 1 } { 2 } } \bullet \Gamma { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } =$ $\frac { \sqrt { \pi } } { 2 }$ .故 $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } }$

本题若不用函数，对于 $\int \limits _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x$ ，要这样算：

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) x \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } ( - x ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) x \mathrm { d } ( \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } ) } } } \\ { { \displaystyle { = - \frac { 1 } { 2 } x \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \Bigg \vert _ { 0 } ^ { + \infty } - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x } } } \\ { { \displaystyle { = 0 + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } } , } } \end{array}
$$

$\int \limits _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } d x = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 }$ ，显然，这是相对麻烦的

方法总结 函数的相关结论要牢记： $\Gamma ( \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - x } \mathrm { d } x$ $\Gamma ( \alpha + 1 ) = \alpha \Gamma ( \alpha )$

例14.13 已知 $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t + a \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } } { x ^ { b } } } = - { \frac { 1 } { 2 } }$ ，求a,b的值.

分析）一开始，可能看不出是什么类型的未定式，作恒等变形（分子分母同时除以 $\mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } )$ 再看.

解

$$
\overbrace { \jmath _ { \ P } ^ { * } } \overrightarrow { \_ { x } } = \operatorname* { l i m } _ { x  + \infty } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t + a } { x ^ { b } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } } = - \frac { 1 } { 2 } \ : ,
$$

此时不论b取何值, $\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { x ^ { b } } \mathbf { e } ^ { - x ^ { 2 } } = 0$ ，即判定为 $\mathbf { \Omega } _ { \mathfrak { a } } \underbrace { 0 } _ { 0 } ,$ 型（事实上，变形前为 $\because \frac { \infty } { \infty } , 0$ 型)

故

$$
\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } { \mathrm e } ^ { - t ^ { 2 } } { \mathrm d } t + a \right) = 0 \ ,
$$

于是

$$
a = - { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { + \infty } } t ^ { 2 } { \mathrm e } ^ { - t ^ { 2 } } { \mathrm d } t = - \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } ~ ; ~ \xrightarrow { } { \mathrm d } { \mathrm d } { \mathrm i } | 1 4 . 1 2 { \mathrm j } { \mathrm e } |
$$

则

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle | \overrightarrow { \mathfrak { H } } | \mathfrak { L } | \mathfrak { L } | = \operatorname* { l i m } _ { x  + \infty } \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t - \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } } { x ^ { b } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } } \frac { \displaystyle \sharp \sharp \mathcal { H } \cdot \mathcal { V } \mathrm { 1 } \pm \frac { \chi } { 2 } \pm \mathrm { H } \rfloor } { \displaystyle \sharp \mathrm { e } ^ { - x + \infty } b x ^ { b - 1 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } + x ^ { b } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } ( - 2 x ) } } \\ { \displaystyle = \operatorname* { l i m } _ { x  + \infty } \frac { x ^ { 2 } } { b x ^ { b - 1 } - 2 x ^ { b + 1 } } = - \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
$$

故b=1.

方法总结 ）当分母→0时，若分式的极限不为0，则可知分子→0．

$$
\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } { \mathrm e } ^ { x ^ { 2 } } \left( \left[ \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } { \mathrm e } ^ { - t ^ { 2 } } { \mathrm d } t \right] + a \right) = \infty .
$$

无穷大常数常数

公式 $\int _ { 0 } ^ { + \infty } t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t = \frac { \sqrt { \pi } } { 4 }$

## ③极坐标系与直角坐标系的互相转化

一是用好 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = r \cos \theta , } \\ { y = r \sin \theta } \end{array} \right. }$ 这个公式；二是画出区域D的边界图形，做好上限、下限的转化.

山 例14.14 $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 1 - x } ^ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \frac { x + y } { { x ^ { 2 } } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } y =$

分析本题乍一看，也许我们会先考虑题目是否在积分次序上设置了障碍，是否需要交换积分次序再做积分，但是，细致做来，我们会发现不管是先对x积分，还是先对y积分，都不容易计算.看来这不是积分次序上的问题，这时想想看是不是选择何种坐标系的问题呢？被积函数中含有 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ 的形式，且积分区域是圆的一部分，如图14-9所示，显然应该优先考虑极坐标系，题目给出的却是直角坐标系，我们需要改变一下.

![](images/3512059003a10061ec4ba554e5a11a4149012ac702aa4fd539ccb46b220b3bd6.jpg)  
图14-9

即使发现区域D关于y=x对称，使用轮换对称性 $f ( x , y ) + f ( y , x )$ 的等式仍复杂，所以不用轮换对称性，只需要放在极坐标下计算即可．

![](images/130222592bc8018ff69dbfe904a5b9a8dad61f83da01d8a4e59b38756db64a8e.jpg)

应填 $2 - { \frac { \pi } { 2 } }$

$$
\begin{array} { r l } & { \mathbb { H } _ { 0 } ^ { * } \mathbb { A } _ { = } ^ { * } \displaystyle \sum _ { 0 } ^ { \frac { r } { 2 } } \mathbb { d } \displaystyle \int _ { \frac { \sin \theta + \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } } ^ { 1 } \frac { r ( \cos \theta + \sin \theta ) } { r ^ { 2 } } r \mathrm { d } r } \\ & { \qquad = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( \cos \theta + \sin \theta ) \frac { \cos \theta + \sin \theta - 1 } { \cos \theta + \sin \theta } \mathrm { d } \theta } \\ & { \qquad = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos \theta \mathrm { d } \theta + \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin \theta \mathrm { d } \theta - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta } \\ & { \qquad = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos \theta \mathrm { d } \theta + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin \theta \mathrm { d } \theta - \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta } \\ & { \qquad = 1 + 1 - \frac { \pi } { 2 } = 2 - \frac { \pi } { 2 } ~ . } \end{array}
$$

方法总结 当题目是累次积分时，通常考虑换积分顺序或者换坐标系.

公式 $\int \cos \theta \mathrm { d } \theta = \sin \theta + C , \int \sin \theta \mathrm { d } \theta = - \cos \theta + C$

## 换元法

二重积分亦有和定积分一脉相承的换元法，有时很有用，现介绍于此，供参考，若能够用上，可直接使用，不必证明.

先回顾一元函数积分换元法，见 $" \enclose{circle} { 1 } "$ ，再看二重积分换元法，见 $" ( 2 ) "$

$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x { \frac { x = \varphi ( t ) } { \mathrm { d } t } } \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ \varphi ( t ) ] \varphi ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t$ a. $ \begin{array} { l } { { f ( x )  f [ \varphi ( t ) ] ~ . } } \\ { { { } } } \\ { { { \displaystyle \int _ { a } ^ { b }  \int _ { \alpha } ^ { \beta } ~ . } } } \\ { { { } } } \\ { { \mathrm { d } x  \varphi ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t ~ . } } \end{array} \}$ b. 换元的三换 C.

注意：x=φ(t)单调，存在一阶连续导数.

$\iint f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y \frac { x = x ( u , \nu ) } { y = y ( u , \nu ) } \iint f [ x ( u , \nu ) , y ( u , \nu ) ] \bigg | \frac { \partial ( x , y ) } { \partial ( u , \nu ) } \bigg | \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu$   
a. $f ( x , y ) \to f [ x ( u , \nu ) , y ( u , \nu ) ]$   
b. $\iint _ { \ d u }  \iint _ { \ d u }$   
C. $\mathrm { d } x \mathrm { d } y \to \left| \frac { \partial ( x , y ) } { \partial ( u , \nu ) } \right| \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu$ J行列式的绝对值

注意：其中 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = x ( u , \nu ) , } \\ { y = y ( u , \nu ) } \end{array} } \right.$ 是(x，y)面到(u,v)面的一对一映射， $x = x ( u , \nu ) , y = y ( u , \nu )$ 存在一阶连续偏导数， $\begin{array} { r } { \frac { \partial ( x , y ) } { \partial ( u , \nu ) } = \left| \frac { \partial x } { \partial u } \begin{array} { l l } { \frac { \partial x } { \partial \nu } } \\ { \frac { \partial y } { \partial u } } \end{array} \right| \neq 0 } \end{array}$ >二阶行列式，称为J行列式

另外，令 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = r \cos \theta , } \\ { y = r \sin \theta , } \end{array} } \right.$ 则

$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \iint f ( x , y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint _ { { D _ { \rho } } } f ( r \cos \theta , r \sin \theta ) \Bigg | \frac { \displaystyle \frac { \partial x } { \partial r } } { \partial r } \frac { \partial x } { \partial \theta } \Bigg | \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta ~ ^ { * } \mathrm { \tiny ~ \cdot } _ { \sharp \sharp , \sharp ^ { * } } , } \\ { \displaystyle = \iint f ( r \cos \theta , r \sin \theta ) \Bigg | \frac { \displaystyle \mathrm { d } \theta } { \displaystyle \mathrm { i n } \theta } ~ ^ { - r \sin \theta } \Bigg | \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta = \iint f ( r \cos \theta , r \sin \theta ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta ~ . } \end{array}
$$

这就是直角坐标系到极坐标系的换元过程.

例14.15 设平面区域 $D = \{ ( x , y ) | 0 { \leqslant } x { \leqslant } 1 - y , 0 { \leqslant } y { \leqslant } 1 \}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint _ { D } \mathrm { e } ^ { \frac { y } { x + y } } \mathrm { d } \sigma ,$

分析 虽然积分区域简单，但是无论是先积x，还是先积y，都比较困难.若考虑极坐标系，由于积分区域是三角形，计算量也很大，主要是e的指数为 $\frac { y } { x + y }$ ，造成“头重脚轻”.可以考虑换元，令 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y = u } \\ { y = \nu , } \end{array} } \right.$ 则 $\frac { y } { x + y }$ 就变为 $\frac { \nu } { u }$ 此时积分区域变为另一个三角形区域，被积函数也变得简单.

解 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x + y = u } \\ { y = \nu , } \end{array} \right. }$ 则 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = u - \nu , } \\ { y = \nu , } \end{array} \right. }$

$$
J = \left| \begin{array} { c c } { { \displaystyle { \frac { \partial x } { \partial u } } } } & { { \displaystyle { \frac { \partial x } { \partial \nu } } } } \\ { { \displaystyle { \frac { \partial y } { \partial u } } } } & { { \displaystyle { \frac { \partial y } { \partial \nu } } } } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { c c } { { \displaystyle 1 } } & { { \displaystyle - 1 } } \\ { { \displaystyle 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right| = 1 ~ ,
$$

且由 $\left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leqslant x \leqslant 1 - y } \\ { 0 \leqslant y \leqslant 1 , } \end{array} \right.$ 知 $\left\{ \begin{array} { l l } { \nu \leqslant u \leqslant 1 , } \\ { 0 \leqslant \nu \leqslant 1 , } \end{array} \right.$ 如图14-10所示.故

![](images/78e775c6dacb61ab6c756810fb51307f874e46aa4cd6c9331aaaef6254f2b3e6.jpg)  
图14-10

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \int \int _ { D } ^ { \nu } \mathrm { e } ^ { \frac { \nu } { x + y } } \mathrm { d } \sigma = \int \int _ { D _ { w } } ^ { \frac { \nu } { u } } | J | \mathrm { d } u \mathrm { d } \nu = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } u \int _ { 0 } ^ { u } \mathrm { e } ^ { \frac { \nu } { u } } \mathrm { d } \nu } } \\ { { \displaystyle \quad = \int _ { 0 } ^ { 1 } u \mathrm { e } ^ { \frac { \nu } { u } } | _ { \nu = 0 } ^ { \nu = u } \mathrm { d } u = \int _ { 0 } ^ { 1 } u ( \mathrm { e } - 1 ) \mathrm { d } u = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { e } - 1 ) . } } \end{array}
$$

注此题亦可用常规方法（极坐标系，见图14-11）求解：

$$
\begin{array} { r l } & { I = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \theta \int _ { 0 } ^ { \infty + \infty } e ^ { - \omega \omega \theta \omega } r d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \omega \theta \omega } r d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \sin \theta } { 2 } } e ^ { - \omega \theta \omega } r d \theta } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \omega \theta \omega } r d \theta } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \omega \theta \omega } r d \theta \left( { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } } + { \frac { \sin \theta } { \sin \theta } } \right) ^ { 2 } d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \omega \theta \omega } r d \theta \left( { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } } + { \frac { \sin \theta } { \sin \theta } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \sin \theta } { \sin \theta } \frac { 1 } { \theta } = \frac { 1 } { 2 } ( e - 1 ) \ . } \end{array}
$$

![](images/b1ff10dfd77be90cee9ac09029c1e10ad09fce77ea92d3aee89db09870824e2c.jpg)  
图14-11

方法总结 二重积分的换元：注意“三换”，换积分区域，换被积函数，换积分变量.极坐标换元 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = r \cos \theta , } \\ { y = r \sin \theta } \end{array} \right. }$ 仅是一种换元法，

$$
( \underbrace { \mathcal { \theta } ^ { \prime } \Delta \overrightarrow { \sf z } \overrightarrow { \sf z } } ) \left( \frac { \sin \theta } { \cos \theta + \sin \theta } \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { \left( \cos \theta + \sin \theta \right) ^ { 2 } } \mathrm { ~ . ~ }
$$

![](images/510ff3e88fd197ed3a0046b0831f8afe6ddf0f3083e8fee15d70bc1de647e99f.jpg)

## 古鲁金第二定理

如图14-12所示，将平面有界闭区域D任意分成n个小闭区域， $\Delta \sigma _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ 为面积，在$\Delta \sigma _ { i }$ 中任取一点 $( \xi _ { i } , \eta _ { i } )$ ，记 $\lambda = \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \Delta \sigma _ { i } \}$ ，则

$$
\Delta V _ { i } = 2 \pi r _ { i } \Delta \sigma _ { i } = 2 \pi \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta \sigma _ { i } ,
$$

故

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle V = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta V _ { i } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } 2 \pi \frac { \left| a \xi _ { i } + b \eta _ { i } + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \Delta \sigma _ { i } } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle = \iint _ { D } 2 \pi \frac { \left| a x + b y + c \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \mathrm { d } \sigma } } \\ { { \displaystyle = \frac { 2 \pi } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \iint \left| a x + b y + c \right| \mathrm { d } \sigma . } } \end{array}\tag{14-1}
$$

与第12讲的公式(12-5)比较，得

即

$$
\begin{array} { c } { { \displaystyle r ( \overline { { { x } } } , \ \overline { { { y } } } ) = \frac { M _ { L _ { 0 } } } { M } = \frac { 2 \pi M _ { L _ { 0 } } } { 2 \pi M } = \frac { V } { 2 \pi \bullet S } \ , } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \frac { V } { \sqrt } } } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \frac { V } { \sqrt } } \frac { V = 2 \pi \bullet S \bullet r ( \overline { { { x } } } , \ \overline { { { y } } } ) } { \sqrt { 2 } } \ \cdot \ \star } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \frac { V } { \sqrt } } \frac { V = 3 \ \ast \widehat { \langle \mathbf { k } , \ \overline { { { y } } } \rangle } } { \sqrt { 2 } \widehat { \langle \mathbf { k } , \ \overline { { { \xi } } } \rangle } } \ ~ \stackrel { \widehat { \mathrm { d e t } } } { \widehat { \mathrm { d e t } } } \ \frac { \widehat { \langle \mathbf { k } , \overline { { { y } } } \rangle } } { 2 \pi M } = \ \frac { \widetilde { V } } { 2 \pi \bullet S } \ , } } \\ { { \displaystyle \phantom { \frac { V } { \sqrt { 2 } } } \widehat { \mathrm { d e t } } \ \widehat { \langle \mathbf { k } , \ \mathbf { B } ^ { \mathrm { e f f } } \ \mathbf { g } \widehat { \mathrm { d } } _ { 2 } ^ { \mathrm { a } } } } } \end{array}
$$

![](images/5fb6910c6bcd782d5599726f2cafb7ba5a07af4171c226f24dcf155d4055df91.jpg)  
图14-12

例14.16曲线 $y = \sin x ( 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi )$ 与x轴所围区域D绕直线 $y = - x$ 旋转一周所成的旋转体的体积为

解 应填 $4 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 }$

由古鲁金第二定理，有

$$
\begin{array} { l } { { { \cal V } = 2 \pi \bullet S \bullet { \underline { { { r } } } } ( { \overline { { { x } } } } , { \overline { { { y } } } } ) } } \\ { { ~ } } \\ { { ~ = 2 \pi \bullet 4 \bullet { \underline { { { \pi } } } } } } \\ { { ~ { \overline { { { \sqrt { 2 } } } } } } } \end{array}
$$

![](images/006172d4f59a0be9c5503cd92206c69d5699b9b24f48b730f9b5f548073f72a7.jpg)

例14.17设D为 $( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 与 $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 ^ { 2 }$ 及x轴所围区域在第一象限的部分，则D的形心(x，y)= D

解 应填 $\left( \frac { 7 } { 3 } , \frac { 2 8 } { 9 \pi } \right)$

![](images/f62f9dd9c42574074b5af71b5a05df69cd6af8aeb83818616b0628c0bd6203b5.jpg)

D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积

$$
V = 2 \pi \bullet \frac { \pi \bullet 2 ^ { 2 } } 2 \bullet 2 - 2 \pi \bullet \frac { \pi \bullet 1 ^ { 2 } } 2 \bullet 1 = 7 \pi ^ { 2 } \ : ,
$$

故D的形心到y轴的距离为 $r ( { \overline { { x } } } , { \overline { { y } } } ) = { \frac { V } { 2 \pi S } } = { \frac { 7 \pi ^ { 2 } } { 2 \pi ( \pi \bullet 2 ^ { 2 } - \pi \bullet 1 ^ { 2 } ) \bullet { \frac { 1 } { 2 } } } } = { \frac { 7 } { 3 } }$

显然，即 ${ \overline { { x } } } = { \frac { 7 } { 3 } }$ .同理可求得 $\overline { { y } } = \frac { 2 8 } { 9 \pi }$

注y的求解较x稍微复杂一些，要先求出半圆域（ $( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 ( y \geq 0 )$ 与半圆域 $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq$ $2 ^ { 2 } ( y \geqslant 0 )$ 的形心竖坐标 $\overline { { y } } _ { 1 } , \overline { { y } } _ { 2 }$

$\overline { { y } } _ { 1 } = \frac { \iint y \mathrm { d } \sigma } { \iint \mathrm { d } \sigma } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r \sin \theta \cdot r \mathrm { d } r } { \pi \bullet 1 ^ { 2 } \bullet \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 4 } { 3 \pi }$ $\overline { { { y } } } _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 \pi }$ 同理可得 $\overline { { { y } } } _ { 2 } = \frac { 8 } { 3 \pi }$ 则D绕x轴旋转-周所成的旋转体的体积

$$
V _ { _ { x } } = 2 \pi \cdot \frac { \pi \cdot 2 ^ { 2 } } { 2 } \cdot \frac { 8 } { 3 \pi } - 2 \pi \cdot \frac { \pi \cdot 1 ^ { 2 } } { 2 } \cdot \frac { 4 } { 3 \pi } = \frac { 2 8 \pi } { 3 } \ : ,
$$

故D的形心到x轴的距离为

$$
r ( \overline { { { x } } } , \ \overline { { { y } } } ) = \frac { V _ { x } } { 2 \pi S } = \frac { \frac { 2 8 \pi } { 3 } } { 2 \pi ( \pi \bullet 2 ^ { 2 } - \pi \bullet 1 ^ { 2 } ) \bullet \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 2 8 } { 9 \pi } ,
$$

藥即 $\overline { { y } } = \frac { 2 8 } { 9 \pi }$

## 平面区域D大观

要想正确计算二重积分，准确画出平面区域D是必不可少的基本功，本讲最后，总回结出常见的平面区域D的图形及表达，考生应多画、多练，这些图不是背的，而是训练画区域能力的素材.

## 直角坐标系下直线边界型

考生应能熟练画出平面区域D.

(1) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 \right\}$

![](images/3ad3a1637d01111385cba2b0405ec164d6e883a335bd1ca57abe5416ddb9c7f0.jpg)

(2） $D = \{ ( x , y ) { \big | } x + y { \leqslant } 1 , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 \}$

![](images/55cd317db8f787d69cb623d3df557b2a00a1672fb39af0299c1e62289bbc66bd.jpg)

(3) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant x \right\}$

（4） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 2 , x \leqslant y \leqslant { \sqrt { 3 } } x \right\}$

![](images/734d00dbe78f17f0fbf1f6f0fbe35eb182f4335243f3004cc6764681607ab1b0.jpg)

![](images/30d1310144884b0cb9444c35f0c523b287f3d23868a5116b8e7f50d1929d2e09.jpg)

(5） $D = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant \pi , 0 \leqslant y \leqslant 1 \}$

(6) $D = \{ ( x , y ) { \big | } 1 { \leqslant } x + y { \leqslant } 2 , x { \geqslant } 0 , y { \geqslant } 0 \}$

![](images/12e10ca1cdc8cfba83abfebd48003cdb4af2c5e9e1131a1e613cf3e954fbbefd.jpg)

![](images/ff30646567ff171a759b541db3d620391a31a7f553d1f72a844382521d6690ea.jpg)

(7) $D = \left\{ ( x , y ) \bigg | 0 \leqslant x \leqslant 3 , 0 \leqslant y \leqslant 3 , \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x \leqslant y \leqslant \sqrt { 3 } x \right\}$ .(8) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 1 { \leqslant } x + y { \leqslant } 2 , 0 { \leqslant } y { \leqslant } x \right\}$

![](images/6db7f6bb079e00f3be97050a4eb838cd1ad1645d098e8cb6ada539842ff6ec1f.jpg)

(9) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x + y \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 \right\}$

![](images/179c6f2863732dd5701da5d85510bc7eba2072a0739add638908988d02e8ddce.jpg)

(11) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x \leqslant 1 , y \geqslant - 1 , y \leqslant x \right\}$

![](images/88252644c2f9acd14d69a2546f247c8d639fffc41d3b0ada915dffcbf8c493f4.jpg)

(13) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 { \leqslant } x { \leqslant } 1 , x { \leqslant } y { \leqslant } 1 + x \right\}$

![](images/582e9ae7dfa68aeff07f2cdf5a69675252998a7a724aedb83d61d9862102adcc.jpg)

(15) $D = \{ ( x , y ) { \big | } { \big | } x { \big | } + { \big | } y { \big | } \leqslant 1 \}$

![](images/c83e38fc35d0df14e39713762019381d361a5b2734c77f185f65ab157219fffa.jpg)

(10) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , x \leqslant y \leqslant 1 \right\}$

![](images/495832d763975612ea5f570046f72ccba03f9b8f6f3c79149c02e742212f5943.jpg)

(12) $D = \left\{ ( x , y ) \bigg \vert \frac { 1 } { 4 } \leqslant y \leqslant \frac { 1 } { 2 } , y \leqslant x \leqslant \frac { 1 } { 2 } \right\} \ .$

![](images/bce9ea2132541eda2f883a023eff0c57f7bdcb1d05b2c26e169394687a5b38a6.jpg)

(14) $D = \{ ( x , y ) { \big | } x \leqslant 3 y , y \leqslant 3 x , x + y \leqslant 8 \}$

![](images/7de2d32e83b93105036ba44d9a097616ed2e70c8b262b1e0e19dbacf598db783.jpg)

$$
\left( \ 1 6 \right) \ D = \left\{ \left( x , y \right) \bigg \vert 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 , \big \vert x - y \big \vert \leqslant \frac { 1 } { 2 } \right\} \ .
$$

![](images/1de31f8d4fb538205c0271894c5b1a4a3cfd3c23e4212644d2d2eb686c6dc017.jpg)

![](images/2798861ea7f1dc223b86a9191b44765c0d7b61664af117e0aa6094b7757317e3.jpg)

（17） $D = \{ ( x , y ) { \big | } { \big | } x { \big | } \leqslant 1 , { \big | } y { \big | } \leqslant 1 \}$

![](images/a24c624961b63e23ea87a90dea2f573fa719bc1c75534807146c80f0077a65c1.jpg)

## 2 直角坐标系下曲线边界型

考生应能熟练画出平面区域D.

(1) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , \sqrt [ 3 ] { x } \leqslant y \leqslant 1 \right\}$

![](images/f08409d285211e2b471a44c0dcb41c8577353ddc1090fcbd5724c08d8e0f2707.jpg)

(2） $D = \left\{ ( x , y ) { \bigg | } 0 { \leqslant } x { \leqslant } 1 , \arctan x { \leqslant } y { \leqslant } { \frac { \pi } { 4 } } \right\}$

![](images/88e1066b92a2b4aede2eea3a862182030897e56d41cdcafbd6710675983fa23a.jpg)

(3） $D = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 , ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } \leqslant 1 \}$ (4) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant y \leqslant x , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$

![](images/b0f194913b8cf8b303f78da85516bb2110bc9258239c42b01574c4e7274c4b10.jpg)

![](images/a07a4f3cf95b30a6c030c0fbe692f5ad6ed39b9a667858e7cf51707aceb1fa6c.jpg)

(5) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 1 \leqslant x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant \mathbf { e } ^ { 2 } , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 \right\}$

![](images/c771c8e2e77e65dd1b94a90efbcca97b3dc56eb5c97726671fa94e1810ba67db.jpg)

(7) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } \leqslant 2 , 0 \leqslant x + y \leqslant 4 \right\}$

![](images/398c9e3c6f28d2a8afa669e38f3cccc604dfd61370ccab94348b185bafb2d755.jpg)

(9) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant \ln 2 , \mathbf { e } ^ { x } \leqslant y \leqslant 2 \right\}$

![](images/c2e1f424925f866147965b8453fdc1ba30791ffde6f8f8d2101339ce951934c2.jpg)

(6) $D = \{ ( x , y ) | y \geqslant - x , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 ,$

$$
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geqslant 2 x , y \geqslant 0 \} .
$$

![](images/14233b28e1156525c9307dfe05096f7e8752874e0153cf740a6aa6716310be87.jpg)

（8） $D = \left\{ ( x , y ) \left| { \frac { 1 } { 4 } } \leqslant x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geqslant x ^ { 4 } + y ^ { 4 } , \right. \right.$

![](images/fce1563e2e1d2ecef8783409df988accf81018952e8d8adab72569c139a6f235.jpg)

![](images/77628ff9eec7f3739723c8070c152cf639da4be6e5431e7316edefc9a47228b9.jpg)

（10) $D = \left\{ ( x , y ) { \Big | } 0 \leqslant y \leqslant 1 , 0 \leqslant x \leqslant 1 - { \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } } \right\}$

![](images/761c4e655ec98fad09361b97a03239702b02aaf27ac6f31d006b2eebfcc88aae.jpg)

(11) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant { \sqrt { 2 } } x , 0 \leqslant y \leqslant x , { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \leqslant 1 \right\}$ .(12) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant 2 x y , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 \right\}$

![](images/6be5c593ddd23111171b57f63ec4c8575ecac6a061f641d259ad359813fced11.jpg)

![](images/3cf5d68f5ad5f7d4e74440c2bb9ed997aae4b4362390ebacc80a57e315790b6b.jpg)

(13） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x \geq 1 , x ^ { 2 } \leq y \right\}$

![](images/dd50636e3d520523cf98391dd28717751b450653807e17eb93f8079f8866316f.jpg)

(15） $D = \left\{ ( x , y ) \left| { \frac { 1 - x } { 1 + x } } \leqslant y \leqslant { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } , 0 \leqslant x \leqslant 1 \right. \right\}$

![](images/68556a06bed317e1cdd20316231119090c1c5e05c5cdf7e2aff62a99165dd7cd.jpg)

(17) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } y \leqslant { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } , y \geqslant 1 - { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right\}$

![](images/af8b19209d005faa449ded44b1b8d176ca24267cbc2035a84ec3feec675305df.jpg)

(19) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant 2 x y \right\}$

![](images/d735831fa5c826d39a3e8dc4e1fbf500a36ae8e6fa049d63907f418dfe25faf8.jpg)

（14) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } y \leqslant { \sqrt { 2 x - x ^ { 2 } } } , x + y \geqslant 2 \right\}$

![](images/29a9dbfb73adb9035fcdc9c46d95e4eaea2ec24def1f8293772f635050d723a5.jpg)

(16) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x + y + x y \geqslant 1 , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 \right\}$

![](images/d3666cb0be738ba107e4a1eefaa0de4f5e9622fd72524185936f1a235ec411b0.jpg)

（18） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 , 2 x - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \leqslant 0 \right\}$

![](images/dad4b16f531c4aa7bd768dd9c7cc16d3861c6fdc7ac406495663bdceede0c24f.jpg)

(20） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant y \leqslant 1 , - { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \leqslant x \leqslant 1 - y \right\}$

![](images/ba11c2250cf39a82873833fd8938ae30e4f0240c04f1897ea832220ca8a25120.jpg)

(21) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \leqslant y \leqslant { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } } , - x \leqslant y , y \geqslant 0 \right\}$ .(22） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 1 { \leqslant } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 2 x , y { \geqslant } 0 \right\}$

![](images/975cbfd45cd5f4ca28b8914ad81cd30076fc78076a1d6b7ecba2d38cc12152ec.jpg)

![](images/ba152942c6d383ed48c5fe853d43cc0d0a9ea75a6cebc752c7025d1362e684ac.jpg)

(23) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } \leqslant x ^ { 2 } - y ^ { 2 } , x \geqslant 0 \right\}$

![](images/ebb346ccf33f2c572a6edc1c8e0f1b39786237132702961fdd25561963ab41d5.jpg)

(24) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 2 , 0 \leqslant y \leqslant 4 - x ^ { 2 } \right\}$

![](images/86faa6c155d8d7ac34a3124bef4cc6b9f7858a916c1851f8bd8970ecaba6a7fb.jpg)

$$
D = \left\{ ( x , y ) \bigg | \sin x \leqslant y \leqslant 1 , \frac { \pi } { 2 } \leqslant x \leqslant \pi \right\} \ .
$$

![](images/b641d2dad44d12c61c7340136c89cdd55bcd4c9966dd59766e306cdcd3f58723.jpg)

![](images/3539032080d9352e9fa1c27b64cea54f20523bddb3e14cedca2cb7d974b1e2f6.jpg)

(27) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 2 x y \leqslant 1 , 4 x y \geqslant 1 , y \geqslant x , y \leqslant { \sqrt { 3 } } x \right\}$

![](images/8563bf0150142409c7f19d7edf803e42fff81354bc4634ae2e64d3f5e1d31f77.jpg)

![](images/42ab01a27ab773c646c6cb6f8502eba95fab22c2685d0f9a47372e720c7bc4e9.jpg)

(28） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } - 1 { \leqslant } x { \leqslant } 0 , - x { \leqslant } y { \leqslant } 2 - x ^ { 2 } \right\}$

![](images/845a421cbc2aea72f843ddb3f74f7d41b1d13907e5d85cf7ae5a054f1313ac91.jpg)

(29) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 4 x ^ { 2 } \leqslant y \leqslant 9 x ^ { 2 } , x \geqslant 0 \right\}$

![](images/95d340e8a587497bf6ef5b9a451c561a68b05d9a36de80eea9301afed1b4e7af.jpg)

(31) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x \geq - 2 , 0 \leqslant y \leqslant 2 , x \leqslant - { \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } } \right\}$

![](images/a0c99b2ac980ead81bc1074e8511bbcde80294318753607158bdcb90f6805dd4.jpg)

(33） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 , ( x + 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geqslant 1 \right\}$

![](images/dbdc3977c9f53a0801699a7b2f1d2fe2cd215d889c3730925863db97c2d6ba11.jpg)

(35） $D = \Bigr \{ ( x , y ) \bigl | x \leq \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } , x + \sqrt { 2 } y \geq 0 ,$

$$
x - { \sqrt { 2 } } y \geq 0 ]
$$

![](images/08cabfcd647d4116554cb5c17ed6a7d240440d655968e08d5034368a541a672a.jpg)

(30） $D = \left\{ ( x , y ) { \Big | } 0 \leqslant y \leqslant 1 , { \sqrt { y } } \leqslant x \leqslant { \sqrt { 2 - y ^ { 2 } } } \right\}$

![](images/2adc0f61f4c45d57b671b0cd24c0e56b816b4afb80d58d6f46bdb7bfd2689db5.jpg)

(32） $D = \left\{ ( x , y ) { \bigg | } 0 \leqslant y \leqslant { \frac { 1 } { 4 } } , y \leqslant x \leqslant { \sqrt { y } } \right\}$

![](images/d5c7b1fa3231728327b814200346b6c171d16704322b2d2d6f6883518cb2d301.jpg)

(34) $D _ { 1 } = \left\{ ( x , y ) { \left| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 \right. } \right\} \mathrm { ~ , ~ }$

$$
D _ { 2 } = \left\{ ( x , y ) { \left| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geqslant 1 , 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 \right. } \right\} \ .
$$

![](images/81b68885662c969a443cf0d02c72be5f1a99f33dddd40cfbad7513cae988aec8.jpg)

(36) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant { \sqrt { x } } \right\} \ .$

![](images/c84ca29590b9bc041a414bc1d3ae8e987b26118d3bb44205236b4561f3a5c2dc.jpg)

(37） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant 1 , x ^ { 2 } \leqslant y \leqslant 1 \right\}$

![](images/6ceb676158c62d1161c20163baf2153c5322d4cfe5119eaaeba289bb0a985928.jpg)

(39) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 2 \leqslant x \leqslant 4 , { \sqrt { x } } \leqslant y \leqslant 2 \right\}$

![](images/347f572191820c09c9cb40d590a5bf52543af95f2c785b2f52c654ea64c384e3.jpg)

（41） $D = \left\{ ( x , y ) { \bigg | } { \frac { 1 } { 2 } } \leqslant y \leqslant 1 , y \leqslant x \leqslant { \sqrt { y } } \right\}$

![](images/3039211f7fd687350a84073cefa31f5238195adcbc4e1e3ff51d549ef69ae588.jpg)

（43） $D = \left\{ \left( x , y \right) \vert x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x y { \leqslant } 1 \right\} \ .$

![](images/be80f30f9c87a07acdc21664d0cb797d9d1d02017355bf7a9964558e278be621.jpg)

$$
D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 1 { \leqslant } x { \leqslant } 2 , { \sqrt { x } } \leqslant y { \leqslant } x \right\} ~ .
$$

![](images/51485b37e5dbbd5510b813ebac2d3e1cafd4edef89eacefea4fb1aa3ede724cf.jpg)

（40） $D = \left\{ ( x , y ) \left| { \frac { 1 } { 4 } } \leqslant y \leqslant { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } \leqslant x \leqslant { \sqrt { y } } \right. \right\}$

![](images/f16bc1a653c2edd28e83cd6899a5a4d7451344695343028a484ea0622f0ced77.jpg)

(42） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 2 \leqslant 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 4 , x \geqslant 0 , y \geqslant 0 \right\}$

![](images/4fd4d79817fbb44cfb6281a32088fa1957d37ec5fb980ff17e5a1599552e61b6.jpg)

$$
D = \left\{ ( x , y ) \bigg | 0 \leqslant x \leqslant 2 , 0 \leqslant y \leqslant 2 , y \leqslant \frac { 1 } { x } \right\} \ .\tag{44}
$$

![](images/84c06716ab19b0feac01bbe7af3674f3ce6b0277234a0b5efdc97be94a172fca.jpg)

## ③极坐标方程型

考生应能熟练画出平面区域D.

(1) $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg | 0 \leqslant r \leqslant \frac { 1 } { \sin \theta } , \frac { \pi } { 4 } \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 2 } \right\}$

![](images/50ae755e14562cad6566b46851ade3f82b52c3ea1a3a4b00bc47af11c7a7f136.jpg)

(3) $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg \vert 0 { \leqslant } \theta { \leqslant } 2 \pi , \frac { \theta } { 2 } { \leqslant } r { \leqslant } \pi \right\}$

![](images/e3dc7ad0e14d6bddee17edeadce5ed4d6252bf347a24a469e6c53eda636d5c1e.jpg)

(5） $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg \vert \frac { 1 } { \sqrt { \sin \theta \cos \theta } } \leqslant r \leqslant \frac { 2 } { \cos \theta } , \right.$

![](images/9e6b16b97404d142262372e761ce99cdcefb14504bafee89d2ce8d0b780240bd.jpg)

(7） $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg \vert 0 { \leqslant r } { \leqslant } \sqrt { \sin 2 \theta } , 0 { \leqslant } \theta { \leqslant } \frac { \pi } { 2 } \right\}$

(2) $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg | 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta , 0 \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 4 } \right\}$

![](images/0b6d36d298acd5542f31b6ed5432b410c687efbd11667838d419b14d2dd59321.jpg)

(4） $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg | 0 \leqslant r \leqslant 1 , 0 \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 4 } \right\} \ .$

![](images/746868b6152682991959866e90e790657a2b6604dbb6415f2135fac8413f7641.jpg)

$$
\left( 6 \right) \ D = \left\{ \left( r , \theta \right) \bigg \vert 2 \leqslant r \leqslant 2 ( 1 + \cos \theta ) , - \frac { \pi } { 2 } \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 2 } \right\} \ .
$$

![](images/fb563df89aba3328d96fc627488483437d87b98ee15bef594ffbaca95f9fb0c2.jpg)

（8） $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg | 0 \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 2 } , 0 \leqslant r \leqslant 2 \cos \theta , \right.$

$$
0 { \leqslant } r { \leqslant } \frac { 2 } { \cos \theta + \sin \theta } \Bigg \} \ .
$$

![](images/9f4f265de25da79cb12ff8a5c6250933e8dec844162af924ad3af58924c77c56.jpg)

![](images/30291580681da24fa84e26d671143d105be1d8fbb92bbd4770af13feaa727b3a.jpg)

![](images/8a3b22b4e7b9bc07d3d6a36b132f5310539e44e5d944242f4ad4ae43f20ac4ed.jpg)

![](images/1a675d53e897e2152984cfda9737109309c6c6beb1647adef0eb32f0a4b119df.jpg)

![](images/69adbd4a495c2a8045e2bf6e4f682cadd28b91a2b36dd8a4f3c4e9bf126177f6.jpg)

![](images/0e6b5ec36d9c26c35bd33d9b4b4217cb51b0fda2bf6dbbb4e880c99bbf5225d7.jpg)

![](images/d2cb30bd69bd4c0013381e74aa537a3544d0eeea897a251045e38fc325fc0666.jpg)

![](images/b9903efad9998bf362701700b9cdc68f29d3b1b87faf0a4cb18d05e39befd316.jpg)

![](images/7ef881ff70bbb2c69c4e0d400cbf96167bc75d10234435fa573ec3e3c5bd6f5b.jpg)

![](images/e1f8034af27d5c497537671650ef577a27a2ce24514dcf18e152315a04226edd.jpg)

![](images/f586d35a4d40279bbbc7027314a81bd454590c36695098055b91417563063d13.jpg)

(15） $D = \left\{ ( r , \theta ) \big | 1 \leqslant r \leqslant u , 0 \leqslant \theta \leqslant \nu \right\}$

![](images/27e5e1c539b9f4d11d56411f3952094270a2972cac64bdca10bdd742735d2776.jpg)

注有些D是用直角坐标系下的表达式描述的，但实际上用极坐标方程更方便，要归到这里来。如2019年考研真题数学二（18）的平面区域为 $D = \left\{ \left( x , y \right) \left\| x \right| \leqslant y , ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 } \leqslant y ^ { 4 } \right\}$

![](images/78a4be2e39b1ab37fea8c1ae9e459d0531297bd1dbe70e0f1a504484570fe579.jpg)

$$
g : y = \left| x \right| , f : y ^ { 4 } = ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 }
$$

## 4参数方程型

考生应能熟练画出平面区域D.

(1) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 { \leqslant } y { \leqslant } t - x , 0 { \leqslant } x { \leqslant } t , 0 < t { \leqslant } 1 \right\}$

![](images/a8c9c7aeb29db90316c083088e45b1cc49524c58b17ff4350326e14071e330ba.jpg)

(2) $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant t , x \leqslant y \leqslant t \right\}$

![](images/084a49883b73907679c4ae3a2a936aefac287d1bc995d8493522a8c0dee4bcb5.jpg)

(3) $D = \{ ( x , y ) { \big | } 0 \leqslant x \leqslant t , 0 \leqslant y \leqslant x , t > 0 \}$

(4) $D = \left\{ ( u , \nu ) { \big | } 0 \leqslant u \leqslant x ^ { 4 } , \sqrt [ 4 ] { u } \leqslant \nu \leqslant x \right\}$

![](images/ecf1b5e1254a73735686cf471efcfa0694f3f8d46294323209fe916e5079b00c.jpg)

![](images/b0925363ef6f798c33ff86c02fe1fc235fb733a216a9a7138573117e0d00abd9.jpg)

(5） $D = \left\{ ( x , y ) \bigg | x ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } \leqslant 1 , \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } y ^ { 2 } \leqslant a ^ { 2 } , a > 0 \right\}$

![](images/84d0eba7d862e539fcf6066c0179c4dda8095f231d97a7669986619a543d056b.jpg)  
(a)

![](images/b0e450ada5ba303ae953edc9265767648877eda8d885ac6b736ccb09cf087dc0.jpg)  
(b)

![](images/284fbe5738565c0ee06d3e7189da83fbd6827d432a75a1f4137280abf9eb164c.jpg)  
(c)

(6) $D = \left\{ ( x , y ) \bigg | 0 < y < \sqrt { 2 a x - x ^ { 2 } } , x > y , a > 0 \right\}$ （7） $D = \{ ( x , y ) { \big | } 0 { \leqslant } x { \leqslant } 2 t , 0 { \leqslant } y { \leqslant } t , t > 0 \}$

![](images/7135a4d629e8bef3af52ec9cf3b35645f7be221d423fd275fdb61a4ca02a512c.jpg)

![](images/aa5a17538440f7b056fb82f7fc8da875e23c40229108e5bc1c6a1f2476ce1be8.jpg)

(8） $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } y \geqslant - x , y \leqslant - a + { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } , \ a > 0 \right\}$ (9） $D = \{ ( x , y ) { \big | } y \leqslant x \leqslant t , 1 \leqslant y \leqslant t , t > 1 \}$

![](images/091f27faa5bc90446fc00869aedb8fc1192af217689c72b6f2bd7db829d46fe9.jpg)

![](images/585ea53f3e6e107bd08be57f42c61d50fab958f41582ec8985575cae14b6c52a.jpg)

![](images/202a4c5f54014cbfd65cfd271c419eb57222c6353bf063ca1adcef69e52776b8.jpg)

## 基础习题精练

## 习题

14.1 $\operatorname * { l i m } _ { n  \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { n } { ( n + i ) ( n ^ { 2 } + j ^ { 2 } ) } = ( \begin{array} { l l l } { { } } & { { } } & { { ) } } \end{array} $

(A) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } y$ (B) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ) } \mathrm { d } y$

(C) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ) } \mathrm { d } y$ (D) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } y$

14.2 设函数f(t)连续，区域 $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 2 y \right\}$ ，则 $\iint _ { D } f ( x y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \left( \begin{array} { l l l } { \begin{array} { r l } \end{array} } & { \begin{array} { r l } \end{array} } & { \begin{array} { r l } \end{array} } \end{array} \right)$

(A) $\int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } f ( x y ) \mathrm { d } y$ (B) $2 \int _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } } f ( x y ) \mathrm { d } x$

(C) $\int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \sin \theta } f ( r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta ) \mathrm { d } r$ (D) $\int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \sin \theta } f ( r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta ) r \mathrm { d } r$

14.3 累次积分 $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { \cos \theta } f ( r \cos \theta , r \sin \theta ) r \mathrm { d } r$ 可以写成（ ）（A) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { \sqrt { y - y ^ { 2 } } } f ( x , y ) \mathrm { d } x$ (B) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } f ( x , y ) \mathrm { d } x$ (C） $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x , y ) \mathrm { d } y$ (D) $\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x - x ^ { 2 } } } f ( x , y ) \mathrm { d } y$

14.4 $\int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { | x | } ^ { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } \sin ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = \mathrm { ~ ( ~ \qquad ~ ) ~ }$ (A) $\frac { \pi } { 4 } ( \cos 2 - 1 )$ (B) $\frac { \pi } { 4 } ( - \cos 2 + 1 )$ (C） $\frac { \pi } { 4 } ( \cos 2 + 1 )$ (D) $\frac { \pi } { 4 } ( - \cos 2 - 1 )$

14.5设 $a > 0 , f ( x ) = g ( x ) = \left\{ { a , 0 \leqslant x \leqslant 1 } , \right.$ 而D表示全平面，则 $I = \iint _ { D } f ( x ) g ( y - x ) { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y =$

14.6 设f(x)为连续函数， $F ( t ) = \int _ { 1 } ^ { t } \mathrm { d } y \int _ { y } ^ { t } f ( x ) \mathrm { d } x$ ，则F'(t)=

14.7设区域D是由曲线y=sinx与直线 $x = \pm \frac { \pi } { 2 } , y = 1$ 围成的平面区域，则 $\iint _ { D } ( x y ^ { s } - 1 ) \mathrm { d } \sigma =$

14.8设区域 $D = \{ ( x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } { \leqslant } 1 , x { \geqslant } 0 \}$ ，计算二重积分 $I = \iint _ { D } { \frac { 1 + x y } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y$

14.9计算二重积分 $\iint _ { D } \mathrm { e } ^ { \operatorname* { m a x } \{ x ^ { 2 } \cdot \ y ^ { 2 } \} } \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ ，其中 $D = \{ ( x , y ) | 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant 1 \}$

14.10计算二重积分 $I = \iint _ { D } r ^ { 2 } \sin \theta \sqrt { 1 - r ^ { 2 } \cos 2 \theta } \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta$ ，其中

$$
D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg | 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta , 0 \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 4 } \right\} .
$$

14.11计算二重积分 $I = \iint _ { D } r ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \cos \theta \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta$ ，其中 $D = \left\{ ( r , \theta ) { \bigg | } r \geqslant 0 , { \frac { \pi } { 4 } } \leqslant \theta \leqslant { \frac { \pi } { 2 } } \right\}$

14.12(1)设积分区域D能使二重积分 $\iint _ { D } ( 1 - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \sigma$ 的值达到最大，求出该积分区域D；

(2)对(1)中的二重积分 $\iint _ { D } ( 1 - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \sigma$ ，求出其最大值.

## 解答

14.1(D）解设 $D = \{ ( x , y ) | 0 < x { \leqslant } 1 , 0 < y { \leqslant } 1 \}$ ，记 $f ( x , y ) = { \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } }$

用直线 $x = x _ { i } = \frac { i } { n } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$ 与 $y = y _ { j } = \frac { j } { n } ( j = 1 , 2 , \cdots , n )$ 将D分成 $n ^ { 2 }$ 等份，和式

$$
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { ( 1 + x _ { i } ) ( 1 + y _ { j } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { i } { n } \right) \left( 1 + \frac { j ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { n } { ( n + i ) ( n ^ { 2 } + j ^ { 2 } ) }
$$

是函数f(x，y)在D上的一个二重积分，所以

$$
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { n } { ( n + i ) ( n ^ { 2 } + j ^ { 2 } ) } = \iint \frac { 1 } { D } \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \mathrm { d } } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } { \mathrm { d } } y \ .
$$

注（1）实际还可以用“配凑法”，直接从题干出发，

$$
\begin{array} { r l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n } \displaystyle \frac { n } { ( n + i ) ( n ^ { 2 } + j ^ { 2 } ) } = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \displaystyle \frac { 1 } { \left( 1 + \displaystyle \frac { i } { n } \right) \left( 1 + \displaystyle \frac { j ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) } \cdot \displaystyle \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } & { } \\ { \displaystyle } & { = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \displaystyle \frac { 1 } { 1 + \displaystyle \frac { i } { n } } \cdot \displaystyle \frac { 1 } { 1 + \displaystyle \frac { j ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } \cdot \displaystyle \frac { 1 } { n } \cdot \displaystyle \frac { 1 } { n } } \\ { \displaystyle } & { = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \displaystyle \frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } \mathrm { d } y \ . } \end{array}
$$

（2)此题结果为 $\frac { \pi } { 4 } \ln 2$

14.2(D）解所给问题为直角坐标系下的二重积分，积分区域 $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 2 y \right\}$ 在直角坐标系下可以表示为 $x ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } \leqslant 1$ ，即圆心在(0,1)，半径为1的圆域.因此区域D可表示为

$$
- 1 \leqslant x \leqslant 1 , 1 - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \leqslant y \leqslant 1 + \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } ,
$$

也可以表示为

$$
0 \leqslant y \leqslant 2 , - \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } \leqslant x \leqslant \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } \enspace .
$$

因此

$$
\iint _ { D } f ( x y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 1 - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } ^ { 1 + \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } f ( x y ) \mathrm { d } y ,
$$

可知(A)不正确.又

$$
\iint _ { D } f ( x y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { d } y \int _ { - \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 2 y - y ^ { 2 } } } f ( x y ) \mathrm { d } x ,
$$

且题设中没有给出f为偶函数的条件，可知(B)也不正确.

在极坐标系下， $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 y$ 转化为 $r = 2 \sin \theta$ .因此D可以表示为

$$
0 \leqslant \theta \leqslant \pi , 0 \leqslant r \leqslant 2 \sin \theta ,
$$

因此

$$
\iint _ { D } f ( x y ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \sin \theta } f ( r ^ { 2 } \cos \theta \sin \theta ) r \mathrm { d } r ,
$$

可知(C)不正确，(D)正确.故选(D).

14.3(D）解积分区域 $D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg \vert 0 \leqslant \theta \leqslant \frac { \pi } { 2 } , 0 \leqslant r \leqslant \cos \theta \right\}$ 化为直角坐标，可表示为$\begin{array} { l } { { \displaystyle { D = \left\{ ( x , y ) \bigg | 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant \sqrt { x - x ^ { 2 } } \right\} } } } \\ { { \displaystyle { \ } } } \\ { { \displaystyle { \ = \left\{ ( x , y ) \bigg | 0 \leqslant y \leqslant \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - y ^ { 2 } } \leqslant x \leqslant \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - y ^ { 2 } } \right\} } . } } \end{array}$

14.4(B）解先画出积分区域D，如图14-13所示，因积分区域D的边界曲线为 $y = \left| x \right|$ 与$y = \sqrt { 2 - x ^ { 2 } }$ ，其交点为(1,1)与(-1,1)，故D可用极坐标表示为 y

$$
D = \left\{ ( r , \theta ) \bigg \vert 0 \leqslant r \leqslant \sqrt { 2 } , \frac { \pi } { 4 } \leqslant \theta \leqslant \frac { 3 \pi } { 4 } \right\} ,
$$

![](images/9d77019a3375f0b73c69440bcbb207fceb4b8edfcd3a10b14e27de99345e684b.jpg)

则

$$
\displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \displaystyle \int _ { | x | } ^ { \sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } \sin ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \mathrm { d } y = \displaystyle \int _ { \frac { \pi } { 4 } } ^ { \frac { 3 \pi } { 4 } } \mathrm { d } \theta \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } r \sin r ^ { 2 } \mathrm { d } r
$$

图14-13

$$
= \frac { \pi } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } \left( - \cos r ^ { 2 } \right) \times \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } = \frac { \pi } { 4 } ( - \cos 2 + 1 ) \ .
$$

14.5 $a ^ { 2 }$ 解 $g ( y - x ) = \{  \begin{array} { l } { a , 0 \leqslant y - x \leqslant 1 , } \\ { 0 , \hfill \ddag \smash { \mathstrut / } \mathstrut } \mathrm { s } \qquad \Rightarrow g ( y - x ) = \{ { \begin{array} { l } { a , x \leqslant y \leqslant 1 + x , } \\ { 0 , \hfill \ddag \smash { \mathstrut } \mathstrut } \mathrm { s } \end{array} }  \end{array}$

设 $D _ { 1 } = \{ ( x , y ) | 0 { \leqslant } x { \leqslant } 1 , x { \leqslant } y { \leqslant } 1 + x \}$ ，如图14-14所示，令 $D _ { 2 } = D - D _ { 1 }$ ，故

$$
f ( x ) g ( y - x ) = \left\{ { a } ^ { 2 } , ( x , y ) \in D _ { 1 } , \right.
$$

所以

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \iint _ { { D } } f ( x ) g ( y - x ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint a ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \iint 0 \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { { \displaystyle D _ { 1 } } } \\ { { \displaystyle = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { x } ^ { 1 + x } a ^ { 2 } \mathrm { d } y = a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } y \Big | _ { x } ^ { 1 + x } \mathrm { d } x } } \\ { { \displaystyle } } \\ { { \displaystyle = a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 + x - x ) \mathrm { d } x = a ^ { 2 } ~ . } } \end{array}
$$

![](images/ac4a19e29fdb28dfb89f8c9b78e6219facbb2c310c1e99d4c5aaa75b00811aeb.jpg)  
图14-14

14.6(t-1)f(t）解所给积分为二次变限积分，它是变量t的函数，故求 $F ^ { \prime } ( t )$ 需先将二次变限积分化为变限的单积分.为此考虑所给二次积分的特点，由于依给定的积分次序，不能化为变限单积分，因此先交换积分次序，可得

$$
F ( t ) = \int _ { 1 } ^ { t } \mathrm { d } y \int _ { y } ^ { t } f ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { 1 } ^ { t } \mathrm { d } x \int _ { 1 } ^ { x } f ( x ) \mathrm { d } y = \int _ { 1 } ^ { t } ( x - 1 ) f ( x ) \mathrm { d } x ,
$$

于是 $F ^ { \prime } ( t ) = ( t - 1 ) f ( t )$

14.7-π解所给积分区域如图14-15所示.

记 $A { \Bigg ( } - { \frac { \pi } { 2 } } , - 1 { \Bigg ) } , B { \Bigg ( } - { \frac { \pi } { 2 } } , 1 { \Bigg ) } , C { \Bigg ( } { \frac { \pi } { 2 } } , 1 { \Bigg ) }$ .作辅助线 $y = - \sin x$ ，则曲线BO将区域D划分为 $D _ { 1 } , D _ { 2 }$ 两个子区域，区域 $D _ { 1 }$ 关于x轴对称,区域 $D _ { 2 }$ 关于y轴对称.而 $x y ^ { 5 }$ 既为x的奇函数，也为y的奇函数，从而 $\iint x y ^ { 5 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0 , \iint x y ^ { 5 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = 0$ ，因此

![](images/cafd5ca8f7be8c1ba2cbdecd8a99430e49da95f4a830b7700ebc7a98b2b3c2e4.jpg)  
图14-15

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle \int \displaylimits _ { | \overrightarrow { { \mathcal H } } | = { \Sigma } } \left[ \rule { 0.2 em } { 0 ex } - \int \displaylimits _ { | \frac { D } { D } } ^ { \pi } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = - \int \displaylimits _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } x \int \displaylimits _ { \sin { x } } ^ { 1 } \mathrm { d } y \right. } } \\ { { \displaystyle \qquad = - \int \displaylimits _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( 1 - \sin { x } ) \mathrm { d } x = - 2 \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } x = - \pi \enspace . } } \end{array}
$$

14.8解因为 $I _ { 1 } = \iint \frac { 1 } { D } \mathop { 1 + { x } ^ { 2 } + { y } ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + { r } ^ { 2 } } { r } \mathrm { d } r = \frac { \pi } { 2 } \ln ( 1 + { r } ^ { 2 } ) \bigg | _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } \ln 2$

$$
I _ { 2 } = \iint _ { 0 } \frac { x y } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { \frac { - \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { r ^ { 3 } \cos \theta \sin \theta } { 1 + r ^ { 2 } } \mathrm { d } r = \int _ { \frac { - \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos \theta \sin \theta \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { r ^ { 3 } } { 1 + r ^ { 2 } } \mathrm { d } r = 0 ,
$$

所以

$$
I = I _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 2 } } = \frac { \pi } { 2 } \ln 2 .
$$

14.9解设 $D _ { 1 } = \{ ( x , y ) | 0 \leqslant x \leqslant 1 , 0 \leqslant y \leqslant x \} , D _ { 2 } = \{ ( x , y ) | 0 \leqslant x \leqslant 1 , x \leqslant y \leqslant 1 \}$ ，则

$$
\begin{array} { r l r } & { } & { \displaystyle { \iint _ { D } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { m a x } \{ x ^ { 2 } , y ^ { 2 } \} } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \displaystyle { \iint _ { D _ { 1 } } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { m a x } \{ x ^ { 2 } , y ^ { 2 } \} } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \displaystyle { \iint _ { D _ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { m a x } \{ x ^ { 2 } , y ^ { 2 } \} } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \displaystyle { \iint _ { D _ { 1 } } } \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \displaystyle { \iint _ { D _ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { } & { \displaystyle { = } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { x } } \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { d } y + \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } \mathrm { d } y \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { y } } \mathrm { e } ^ { y ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } x \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } \mathrm { d } x + \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { 1 } } y \mathrm { e } ^ { y ^ { 2 } } \mathrm { d } y = \mathrm { e } - 1 ~ . } \end{array}
$$

14.10解先画出积分区域D（见图14-16)，然后将积分化为直角坐标系下的二重积分，再去计算，即

$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle I = \iint _ { D } ^ { 1 } \sin \theta \sqrt { 1 - r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta = \iint J \sqrt { 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 1 } } D } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { x } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathrm { d } ( 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Bigg | _ { 0 } ^ { x } \mathrm { d } x } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ 1 - ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right] \mathrm { d } x . \qquad \quad r = \sec \theta , \ \mathrm { e } \vartheta r = \frac { 1 } { \cos \theta } \ , \ \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 1 } } \ } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ 1 - ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right] \mathrm { d } x . \qquad \quad \lambda \mathrm { ~ } \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 1 } } \theta ^ { p } r \cos \theta = 1 , \ \mathrm { d } z = 1 } } \end{array}
$$

![](images/514e71b2536698cb833b4918fad531732eb4e9c9c3515b9dd326945895962199.jpg)  
图14-16

设 $x = \sin t$ ，则 $I = { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { 4 } t \mathrm { d } t = { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 3 } } \times { \frac { 3 } { 4 } } \times { \frac { 1 } { 2 } } \times { \frac { \pi } { 2 } } = { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { \pi } { 1 6 } }$

14.11解积分区域D为图14-17中阴影部分，转换成直角坐标系进行计算.

$$
I = \int _ { D } \int x \mathrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { y } x \mathrm { d } x = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { + \infty } y ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - y ^ { 2 } } \mathrm { d } y \frac { \mathrm { d } \mathrm { f } \mathrm { f } \mathrm { f } | 1 4 . 1 2 } { 8 } \frac { \sqrt { \pi } } { 8 } \ .
$$

![](images/ae0f3166917166cffaba40c13581002fbbd255016998cd84e60cc393eed4f1e9.jpg)  
图14-17

14.12解 (1)由二重积分的性质可知，当积分区域D包含了所有使被积函数 $1 - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ 大于等于零的区域，而不包含使被积函数 $1 - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ 小于零的区域，即当D是椭圆 $2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

(2)由(1)知 $D = \left\{ ( x , y ) { \big | } 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$ ，此时令 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } r \cos \theta , } \\ { \displaystyle y = r \sin \theta , } \end{array} \right.$ 则

$$
{ \begin{array} { r l } { \displaystyle \iint ( 1 - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \mathrm { d } \sigma = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta - r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) \cdot { \frac { \sqrt { \alpha } } { \sqrt { \beta } } } \cdot { \frac { \hat { \alpha } r } { \hat { \theta } \theta } } \Big \| \mathrm { d } r } & { } \\ { \displaystyle { \frac { \sqrt { \beta } } { D } } \cdot { \frac { \hat { \sigma } r } { \hat { \theta } \theta } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - r ^ { 2 } ) { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } r \mathrm { d } r } \\ & { = 2 \pi \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left[ 1 ( r - r ^ { 2 } ) \right] { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } r \mathrm { d } r } \\ & { = 2 \pi \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } ( r - r ^ { 3 } ) \mathrm { d } r } \\ & { = { \sqrt { 2 \pi } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } r ^ { 4 } \right) { \Bigg | } _ { 0 } ^ { 1 } = { \frac { { \sqrt { 2 } \pi } } { 4 } } . } \end{array} }
$$

